Encontrar Falsas Soluções

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1 Encontrar Falsas Soluções ID: 8109 Tempo necessário 45 minutos Descrição Geral da Actividade Os estudantes resolverão passo a passo e graficamente diferentes tipos de equações. Poderão observar que algumas das equações apresentam uma solução falsa e analisarão o passo da resolução da equação em que aparecem estas soluções extra. Conceitos Resolver equações graficamente Resolver equações algebricamente Preparação do Professor Esta análise permite uma expansão após os estudantes terem aprendido a resolver equações ou pode servir como uma introdução à resolução de equações mais complexas. Esta actividade pode ser utilizada no ensino básico como expansão, após os estudantes terem resolvido diferentes tipos de equações. Também pode ser utilizada no ensino secundário como revisão dos diferentes tipos de equações, que foram resolvidas pelos estudantes no ensino básico. Comece por rever com os estudantes a resolução gráfica de equações, observando cada membro de uma equação como uma função a solução para a equação é o ponto de intersecção da função. Nas figuras das páginas são apresentados os resultados esperados dos estudantes. Consulte as figuras da página 50 para uma visualização prévia do ficheiro.tns dos estudantes. Orientação da Turma Pretende-se que esta actividade seja orientada pelo professor. Pode utilizar as páginas seguintes para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os estudantes seguirão a aula com o TI-Nspire, embora a maior parte das ideias e conceitos esteja incluída apenas neste documento; certifique-se de que descreve todo o material necessário, de forma a que os estudantes fiquem completamente esclarecidos. A ficha de trabalho tem por finalidade orientar os estudantes através das ideias principais da actividade fornecendo, ao mesmo tempo, instruções mais detalhadas sobre como realizar certas acções, através da utilização das ferramentas do TI-Nspire. Também permite que os estudantes registem as suas respostas. Em alternativa, pode pedir à turma para que registe as suas respostas numa folha de papel em separado ou apenas que utilizem as perguntas colocadas para iniciar uma discussão na turma. A informação para uma expansão é fornecida no final desta actividade; a informação para os estudantes é fornecida nas fichas de trabalho e no Problema 3 do ficheiro TI-Nspire dos estudantes. Se não pretender que os estudantes avancem para a expansão, pode eliminar o Problema 3 do ficheiro.tns e peça aos estudantes para ignorarem essa parte na ficha de trabalho. Aplicações do TI-Nspire Calculator, Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes 007 Texas Instruments Incorporated Página 45

2 Problema 1 Resolver uma equação quadrática Os estudantes deverão resolver passo a passo e graficamente a equação x + 3= 5x. Apenas é necessário alterar as expressões em f1(x) e f(x), de forma a representarem o membro direito e esquerdo, respectivamente, da equação em cada passo. As funções podem ser alteradas ao clicar duas vezes na caixa de texto da página Graphs & Geometry. Os estudantes observarão que as abcissas dos pontos de intersecção permanecem iguais, cada vez que a equação é manipulada graficamente. Inicialmente pode trabalhar neste problema com os estudantes, se os mesmos não estiverem familiarizados com a resolução gráfica de equações. Os estudantes terão de avançar e retroceder entre as páginas 1. e 1.3 para acederem às equações e, em seguida, ao gráfico. Devem escrever a(s) solução(ões) (ou seja, as abcissas do(s) ponto(s) de intersecção das funções f1 e f) nas fichas de trabalho. Os gráficos das funções em cada passo da resolução são apresentados à direita e em baixo. Passo 1 Passo Passo 3 Página Texas Instruments Incorporated

3 Na página 1.4, os estudantes podem verificar as soluções algebricamente e utilizando a tabela de valores. Para utilizarem a tabela, devem regressar à página Graphs & Geometry e introduzir novamente as equações do Passo 1 como f1(x) e f(x). Na aplicação Calculator, a primeira solução já está assinalada ao introduzir f1(1)=f(1) o resultado é true. Peça aos estudantes para verificarem a segunda solução, 1.5, inserindo f1(1.5)=f(1.5) e premindo. Se o resultado for true, então o valor é de facto uma solução. Os estudantes devem concluir que x = 1 e x = 1.5 são ambas as soluções para a equação x + 3= 5x. Problema Resolver uma equação com radicais No Problema, os estudantes analisarão a equação x = x conforme anteriormente, mas desta vez observarão o aparecimento de uma solução falsa durante o traçado gráfico das funções no Passo 3. Os gráficos das funções são, em cada passo da solução, apresentados novamente em baixo e na página seguinte. Passo 1 Passo 007 Texas Instruments Incorporated Página 47

4 Após traçarem graficamente as equações no Passo 3, os estudantes podem pretender ajustar a janela. Para tal, uma das opções é segurar uma marca de escala no semi-eixo positivo das ordenadas e arrastá-la para baixo em direcção à origem. A outra opção é seleccionar MENU > Window > Window Settings e inserir os valores pretendidos. Passo 3 Os estudantes terão talvez de assinalar a nova intersecção para a nova solução, seleccionando MENU > Points & Lines > Intersection Point(s) e, em seguida, clicando uma vez sobre o gráfico de cada função. Também podem pretender desenhar uma perpendicular (utilizando a ferramenta Perpendicular ( ) do menu Construction) ao eixo x através deste novo ponto. Ao utilizarem a ferramenta Attributes ( ) do menu Tools, os estudantes podem alterar o aspecto da recta. Durante o traçado gráfico das equações no Passo 4, os estudantes devem observar que o gráfico da função y = ( x 1) não mudou de posição quando foi alterado para a função y = x x + 1. Peça aos estudantes para explicarem a razão disto. (As expressões ( x 1) e x x + 1 são equivalentes a anterior é apenas a decomposição em factores da última. Então, os seus gráficos são idênticos). Passo 4 Passo 5 Passo 6 Página Texas Instruments Incorporated

5 Os estudantes devem verificar mais uma vez as suas soluções lembre-lhes que devem repor as funções f1 e f conforme estavam no Passo 1. Desta vez, os estudantes devem observar que apenas uma das suas soluções, x = 5, faz com que a equação seja verdadeira. Indiquelhes que x = é designada por solução extra ou falsa. Extensão Resolver uma equação racional Como extensão da actividade, o Problema 3 oferece aos estudantes a solução passo a passo de uma equação racional. É fornecida uma página de Graphs & Geometry, para que possa ser utilizada pelos estudantes conforme anteriormente. Peça-lhes para identificarem o passo no qual aparece a solução falsa. Também é fornecida uma tabela de valores aos estudantes, de forma a verificarem se as soluções são verdadeiras ou falsas. (x = 3 é uma solução verdadeira; x = 3 é uma solução falsa ambas as expressões não estão definidas para x = 3.) 007 Texas Instruments Incorporated Página 49

6 Calcular Soluções Externas ID: 8109 (Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Cálculo Encontrar Falsas Soluções.tns Página Texas Instruments Incorporated

7 Começar com Equações Encontrar Falsas Soluções ID: 8109 Nome Turma Nesta actividade, poderá explorar: soluções falsas que são às vezes introduzidas nas equações, quando ambos os membros de uma equação são multiplicados por uma variável. Abra o ficheiro Cálculo Encontrar Falsas Soluções.tns no TI-Nspire e siga as instruções do professor ao longo da actividade. Utilize este documento como referência e para registar as suas respostas. Problema 1 Resolver uma equação quadrática Na página 1., a equação x + 3= 5x é resolvida passo a passo. A sua tarefa é resolver graficamente a equação em cada passo, utilizando a aplicação Graphs & Geometry fornecida na página 1.3. Apenas é necessário introduzir a expressão do membro esquerdo da equação na caixa de texto que define f1(x) e a expressão do membro direito na caixa de texto que define f(x). Repita o mesmo processo para cada passo da equação e registe a(s) solução(ões) o(s) ponto(s) de intersecção nas linhas apropriadas em baixo. Passo 1: x = Passo 3: x = Passo : x = Passo 4: x = A solução (ou soluções) gráfica de cada passo é igual à solução (ou soluções) algébrica calculada no Passo 4? Volte a introduzir as funções traçadas graficamente para o Passo 1 como f1 e f, isto é, defina f1( x)= x + 3 e f( x)= 5x. Na página 1.4, verifique as soluções calculadas em cima, utilizando a tabela de valores das funções apresentada à esquerda e substituindo os valores na equação por x. A primeira solução já foi calculada. Ambas as soluções satisfazem a equação original? 007 Texas Instruments Incorporated Página 1

8 Começar com Equações Problema Resolver uma equação com radicais A página.1 apresenta a solução passo a passo da equação x = x. Resolva esta equação graficamente, conforme efectuado no Problema 1: trace graficamente ambos os membros da equação em cada passo (na página.) e registe os resultados em baixo. Quando tiver concluído, reponha as funções f1 e f conforme apresentadas no Passo 1 e verifique o(s) resultado(s) na tabela de valores e algebricamente (na página.3). Passo 1: x = Passo : x = Passo 5: x = Passo 3: x = Passo 6: x = Passo 4: x = Passo 7: x = Todas as soluções obtidas fazem com que a equação original seja verdadeira? Em que passo aparece a solução falsa? O que aconteceu nesse passo em particular? Extensão Resolver uma equação racional 3x x 3 Os passos para resolver a equação = são x 3 x 3 apresentados na página 3.1. Mais uma vez, utilize a página Graphs & Geometry e a tabela de valores fornecida para resolver a equação em cada passo e verificar os resultados. Quais, se existirem, as soluções que são soluções verdadeiras? Em que passo aparece a solução falsa (ou soluções)? Explique porque é que isto ocorre. 007 Texas Instruments Incorporated Página