ESTATÍSTICA II Ficha de Revisões - 1

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1 Um dos objectivos da Estatística Indutiva é permitir conhecer o valor dos parâmetros populacionais de uma variável a partir de estatísticas descritivas calculadas numa amostra retirada da população. Este processo denomina-se estimação. A construção de intervalos de confiança é uma das formas de proceder à estimação de parâmetros populacionais e consiste na identificação de um intervalo de valores em que temos elevada confiança de que nele se encontra o parâmetro que pretendemos conhecer. Quanto mais estreito for o intervalo, maior a precisão da estimação. Exercício 1 A Direcção Regional de Turismo do Algarve pretende saber quantos Portugueses (10 milhões) planeiam passar férias na região. Para responder a esta questão solicitaram um estudo à turma de segundo ano do curso de Psicologia. Os alunos inquiriram 1000 portugueses e perguntaram-lhes quais eram os seus planos de férias: 400 inquiridos responderam que tencionavam passar férias no Algarve. Indique o intervalo de confiança para a proporção de portugueses que pensa vir passar férias no Algarve. Utilize um nível de confiança de 95%. Exercício 2 A partir de uma amostra aleatória de ficheiros de consultas médicas de diversos centros de saúde de determinada região, avaliou-se a taxa de diagnósticos de ansiedade através da contagem do número de prescrições de medicamentos para estes sintomas/diagnósticos (ansiolíticos). Os resultados do número de prescrições obtidos entre amostras aleatórias de 500 homens e 610 mulheres foram, respectivamente, 110 e 189. Calcule os seguintes intervalos de confiança: a) Intervalo de confiança a 99% para a taxa de diagnósticos de ansiedade na população de utentes do sexo masculino. b) Intervalo de confiança a 92% para a taxa de diagnósticos de ansiedades na população de utentes do sexo feminino. c) Intervalo de confiança a 97% para a taxa de diagnósticos de ansiedade na população global de utentes. 1

2 Exercício 3 Pretende-se conhecer o nível médio de QI de alunos de uma escola de ensino especial que segue determinado regime pedagógico. A partir de uma amostra de 30 estudantes dessa escola, obteve-se a média 85,3. Sabendo que as medidas de QI são calculadas de forma a garantir um desvio-padrão de 15: a) Indique o intervalo de confiança a 95% para o valor médio do QI dos estudantes dessa escola. b) Indique também o intervalo de confiança a 90% para o valor médio do QI dos estudantes dessa escola. Exercício 4 Os níveis de precipitação no último Inverno foram mínimos e as entidades do Algarve estão preocupadas com o consumo de água para o próximo Verão. Um estudo realizado no Verão passado indicou que a média do consumo de água nessa época do ano foi de 5,5 litros por pessoa e o desvio-padrão foi 0,5. Participaram nesse estudo 30 pessoas. Indique quais os valores do intervalo de confiança do consumo de água com uma confiança de 95%. Exercício 5 Qual a capacidade de memória a curto prazo? Para responder a esta pergunta, dois investigadores apresentaram a 210 alunos do liceu uma lista de 16 palavras comuns num ecrã de televisão à razão de uma palavra de 2 em 2 segundos. O número médio de palavras recordadas foi de 6,91, enquanto que o desvio padrão foi igual 2,08. a) Pretende-se avaliar, com uma confiança de 99%, a capacidade média de memória da população da qual se extraiu a amostra. b) Imagine que aumentávamos o valor de participantes no nosso estudo para 420. Curiosamente obtínhamos os mesmos valores de média e de desvio-padrão. Calcule com uma confiança de 99% a capacidade média de memória da população. 2

3 Exercício 6 Quarenta e cinco estudantes responderam a um teste psicológico (aptidão verbal), tendo-se obtido os seguintes resultados: Teste Sexo Teste Sexo Teste Sexo 84 Masculino 83 Feminino 69 Feminino 63 Masculino 87 Feminino 93 Feminino 75 Masculino 52 Feminino 83 Feminino 78 Masculino 83 Feminino 65 Feminino 59 Masculino 66 Feminino 70 Feminino 80 Masculino 92 Feminino 76 Feminino 76 Masculino 51 Feminino 64 Feminino 70 Masculino 59 Feminino 70 Feminino 67 Masculino 77 Feminino 81 Feminino 77 Masculino 86 Feminino 76 Feminino 81 Masculino 86 Feminino 87 Feminino 35 Masculino 68 Feminino 71 Feminino 63 Masculino 79 Feminino 47 Feminino 75 Masculino 58 Feminino 61 Feminino 68 Masculino 73 Feminino 59 Feminino a) Considere que a variância da população é 144. Construa um intervalo de confiança a 92% para o valor médio da população. b) Considere que a variância da população é desconhecida. Construa um intervalo de confiança a 99% para o valor médio da população. Compare o resultado com o intervalo de confiança obtido através do SPSS. c) Considere que a variância da população é desconhecida. Construa um intervalo de confiança a 95% para o valor médio da população masculina e outro para a população feminina. Haverá diferenças entre os sexos no que respeita ao valor 3

4 médio da aptidão verbal? Que pressuposto tem de assumir sobre a distribuição da variável na população? O controlo dos limites do intervalo de confiança Se analisarmos a fórmula do Intervalo de confiança para o valor médio verificamos que a margem de erro envolvida na estimação, e que determina a amplitude do intervalo, depende de três factores: 1) o nível de confiança pretendido; 2) a variância da variável em estudo; 3) a dimensão da amostra. 1) Em relação ao nível de confiança, sabemos que quanto maior o nível de confiança maior a amplitude do intervalo de confiança. Ou seja, quando aumentamos o nível de confiança a precisão do intervalo diminui. A escolha do nível de confiança do intervalo é uma decisão da responsabilidade do investigador que efectua os cálculos, pois ele é que sabe que confiança deseja para a estimação que pretende fazer. 2) No que respeita à variância da variável em estudo, geralmente expressa pelo desvio-padrão, esta depende exclusivamente da dispersão da variável na população. Pela análise da fórmula, depreende-se que quanto menor o desviopadrão (ou seja, quanto maior a concentração dos valores da variável em torno do seu valor médio) maior a precisão do intervalo de confiança. 3) A dimensão da amostra influencia a amplitude do intervalo de confiança, uma vez que quanto maior a amostra maior o nível de precisão que podemos obter. Mas será que a um aumento significativo do número de sujeitos que constituem uma amostra corresponde um aumento igualmente significativo na precisão do intervalo de confiança? A esta questão poder-se-á responder através do cálculo da dimensão da amostra. De uma forma geral, o problema coloca-se nos seguintes termos: se pretender realizar a estimação intervalar de um parâmetro com um nível de confiança determinado à partida e com uma margem de erro (precisão) também determinada à partida, quantas observações deverão constituir a minha amostra? 4

5 Determinação da dimensão da amostra Normalmente a determinação da dimensão da amostra antecede a recolha de dados, uma vez que ao aumento do número de participantes por vezes não corresponde a um aumento significativo da precisão associada a determinado nível de confiança. Assim, recorre-se às fórmulas seguintes para determinar a dimensão mínima da amostra necessária para obter um intervalo de confiança com a precisão pretendida. Determinação da dimensão da amostra para o intervalo de confiança para a proporção N Determinação da dimensão da amostra para o intervalo de confiança para o valor médio N Exercício 7 Desconhece-se a percentagem de estudantes universitários que é a favor da despenalização do aborto. a) Sobre quantos indivíduos deverá incidir uma sondagem para que essa proporção seja estimada, com a confiança de 95% e com uma margem de erro de ±2%? b) E se desejar uma confiança de 99%? c) E se desejar um nível de confiança de 99% e souber de antemão que essa percentagem é inferior a 33%? 5

6 Exercício 8 Um investigador pretende conhecer o QI médio de doentes com determinado tipo de afasia. Sabendo que a variância do QI nessa população é 225, a quantos doentes tem de ser aplicado o teste de QI para garantir que o valor médio da população seja estimado com uma precisão de ±3 pontos (para a confiança de 95%). 6

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