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2 Prezado aluno, Esta apostila é a versão estática, em formato.pdf, da disciplina online e contém todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do conteúdo. Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a respeito de cada item. Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você deve assistir no ambiente online aquelas que o ajudarão a refletir, de forma mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais complementares tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, artigos, links etc. para enriquecer seu conhecimento. Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu aprendizado! Bons estudos! FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1

3 Introdução As situações-problema encontradas no dia a dia do profissional de negócios, em sua grande maioria, não se enquadram nos modelos dos fenômenos determinísticos analisados na física e na engenharia, nos quais observamos nítidas relações de causalidade, como, por exemplo, a variação de velocidade dos corpos atraídos para o centro da Terra (aceleração da gravidade). Nos casos em que é possível examinar relações entre variáveis, porém sem nítida relação de causalidade e com certo grau de aleatoriedade, a modelagem que relaciona as variáveis pode ser feita ao considerarmos o fenômeno como de natureza probabilística. Esta aula apresenta conceitos fundamentais de estatística descritiva e conceitos de correlação e regressão no tratamento de conjuntos de dados entre os quais se deseja estabelecer algum grau de relação. Objetivo: 1. Apontar os fundamentos de estatística descritiva; 2. Definir os conceitos de correlação e regressão e sua importância para as relações entre variáveis. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2

4 Conteúdo Conceitos elementares: estatística, população e amostra Para iniciar nossos estudos, vamos entender as diferenças entre estatística, população e amostra? Estatística É um resumo de dados. Os dados são necessários para gerar informações, tanto para aplicação estratégica quanto operacional, utilizadas para auxiliar na tomada de decisão. Entretanto, os dados brutos são apresentados de maneira desordenada e é necessário decodificá-los em informação e conhecimento. Para isso existem métodos científicos para a coleta, resumo e apresentação de dados que viabilizam análises objetivas para auxílio à solução de problemas. População É um grande conjunto sobre o qual desejamos colher informações. A população que seja considerada de interesse para algum estudo pode ser finita ou infinita, e pode estar mais ou menos acessível. Em alguns casos, é praticamente impossível ter acesso à totalidade do universo em questão. Amostra É um subconjunto de uma população utilizado para coletar dados quando é impraticável observar a totalidade do grupo. Se uma amostra é representativa de sua população de origem, é possível analisar certas características dessa população a partir de medidas colhidas na amostra. A parte da estatística que trata da representatividade chama-se inferência. A parte da estatística que procura somente descrever os dados, sem tirar conclusões sobre um grupo maior, é a estatística descritiva. Tratamento dos dados Essencialmente, o tratamento dos dados é feito em amostras. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3

5 Para que seja mais fácil de identificar parâmetros de interesse, muitas vezes utilizamos gráficos que nos ajudam a destacar certas estatísticas calculadas. Planilhas eletrônicas com seus recursos gráficos são muito úteis para o cálculo e a apresentação de resultados de estatísticas. O cálculo de estatísticas é feito por meio de fórmulas matemáticas que buscam medir determinadas características de interesse. Para conseguirmos utilizar fórmulas, é necessário definir variáveis, sejam elas contínuas ou discretas, dependendo do fenômeno observado. Essa prática é o início da abstração matemática, quando associamos algum número à característica observada. Isso é útil para tornar a abordagem de determinado problema mais objetiva e menos subjetiva, tentando enxergar aspectos quantitativos em problemas que se apresentam de forma subjetiva. Distribuições de frequência A contagem do número de vezes que determinado evento ocorre muitas vezes é útil para tornar objetiva a abordagem de um problema particular. Ao contarmos quantas vezes um dado se repete, podemos comparar o número obtido com a repetição dos demais dados em uma amostra ou população e concluirmos sobre suas características particulares. Para resumir um conjunto de dados em estatísticas, costumamos distribuir esses dados em classes ou categorias, determinando o número de elementos dentro de cada classe e, dessa maneira, obtendo a frequência da classe. Essa organização dos dados é mais fácil de ser feita em tabelas ou planilhas. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4

6 Medidas de tendência central A procura por estatísticas que representem uma determinada amostra ou população leva à busca por um indicador numérico que melhor represente a maioria dos dados. Um valor equidistante dos extremos (menor e maior valor) deixaria de considerar a influência dos dados entre esses extremos, podendo conduzir a uma escolha de número não condizente com o conjunto que quer representar. Usualmente, escolhemos a tendência central da população ou as amostras: Mediana Para que possamos obter a mediana de um conjunto de dados é necessário organizar o conjunto em ordem de grandeza, ou seja, dispor os dados do menor valor para o maior. A mediana é o valor central em conjuntos com N ímpar ou a média aritmética dos dois valores centrais em conjuntos com N par. Moda A moda de um conjunto de números é o valor (ou valores) que ocorre(m) com a maior frequência, ou seja, o valor mais comum. Quando todos os números possuem a mesma frequência, dizemos que não há moda. Medida de Dispersão É o grau de espalhamento dos dados em torno de um valor médio. As medidas de dispersão mais usuais são a amplitude total e o desvio-padrão. Amplitude total A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor número de um conjunto de dados. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5

7 Desvio-padrão A ideia de obter um desvio-padrão surgiu na busca de um valor médio de todos os desvios em relação à média aritmética, ou seja, a média dos desvios da média. Uma vez conhecida a média aritmética, podemos calcular o desvio de cada dado dessa média (Xi - ). Para saber mais sobre o desvio-padrão, acesse o texto no ambiente. Correlações A busca por soluções de problemas muitas vezes requer explorar conjunto de dados para a obtenção de informações relevantes. Assim, a leitura do grau de relação entre duas ou mais variáveis muitas vezes se faz necessária para ser possível concluir sobre qual modelo melhor se aplica para auxiliar em determinada solução. A ciência estatística fornece ferramentas úteis para a análise de conjuntos de dados, podendo auxiliar no estabelecimento de expressões matemáticas que relacionem esses dados, ou seja, equações que liguem duas ou mais variáveis. Vejamos duas dessas ferramentas: Regressão O conceito de regressão, segundo a estatística, está associado à estimação de uma variável (dependente) a partir de uma ou mais variáveis correlatas (independentes). Correlação A correlação estabelece o grau de relação entre as variáveis e determina quão bem uma equação linear descreve ou explica a relação entre variáveis associadas à conjunto de dados. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6

8 Utilizando os conceitos que acabamos de ver, podemos obter os seguintes resultados: Correlação perfeita Quando é possível observar que todos os valores das variáveis satisfazem exatamente uma determinada equação, pode-se afirmar que há uma correlação perfeita entre elas. Isso pode ser observado, por exemplo, se medirmos circunferências e compararmos tais medidas com as medidas dos respectivos diâmetros. Se dividirmos os valores das circunferências pelos diâmetros encontraremos sempre o número 3, , ou o número pi. Resultados não correlacionados Por outro lado, se realizarmos múltiplos lançamentos simultâneos de dois dados, um fenômeno nitidamente aleatório, não observaremos relação entre os números obtidos em cada lançamento, ou seja, os resultados obtidos não são correlacionados. Atenção No caso em que somente duas variáveis estão em jogo, dizemos que é o caso de correlação e regressão simples. Quando se trata de mais de duas variáveis, dizemos que é o caso de correlação e regressão múltipla. Como esta aula se insere no contexto de fundamentos de estatística, vamos tratar somente de correlação e regressão simples. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7

9 Correlação linear Se X e Y representam duas variáveis, é possível construir um diagrama com os pares ordenados (X, Y) em um sistema de coordenadas retangulares. Esse diagrama é conhecido como diagrama de dispersão. As possibilidades da disposição desses pontos no diagrama são várias, porém, no caso de haver correlação entre as variáveis, podemos observar concentrações dos pontos em áreas específicas do gráfico. Quando todos os pontos do diagrama parecem cair nas proximidades de uma reta, a correlação existente é denominada linear. Nesse caso, uma equação linear é apropriada para estimação da regra de relação entre as variáveis, ou seja, para a regressão: Correlação positiva Se Y tende a aumentar quando X cresce, a correlação é denominada positiva ou direta. Correlação negativa Se Y tende a diminuir quando X aumenta a correlação é denominada negativa ou inversa. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8

10 Correlação não linear Se os pontos estiverem próximos de alguma curva, a correlação é denominada não linear e uma equação não linear é apropriada para a regressão. Não correlação Quando, ao observarmos um gráfico, não percebemos alguma concentração dos pontos nas proximidades de alguma linha, não há relação direta entre as variáveis, ou seja, não há correlação entre elas. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9

11 Linha de regressão de mínimos quadrados Quando se deseja verificar quão bem uma linha reta representa a relação entre duas variáveis, equações da reta de regressão de mínimos quadrados podem ser utilizadas. O estabelecimento da reta de regressão é feito para ajustar a melhor reta pelos pontos que representam as duas variáveis. Essencialmente, uma reta de regressão de mínimos quadrados de Y para X pode ser obtida de duas formas: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10

12 Coeficiente de Correlação FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11

13 Atenção Uma correlação perfeita (-1 ou 1) indica que o valor de uma variável pode ser determinado exatamente ao se saber o valor da outra. No oposto, uma correlação de valor zero indica que não há relação linear entre as variáveis. Não há unanimidade de critério para interpretar os valores intermediários. Alguns autores apontam para uma classificação ligeiramente diferente: r = 0,10 até 0,30 (fraco); r = 0,40 até 0,6 (moderado); r = 0,70 até 1 (forte). FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12

14 Atividade proposta A produção de aço de um país, em milhões de toneladas, no período de 2001 a 2007, está indicada na tabela a seguir. Determine a equação de uma reta de mínimos quadrados que se ajuste aos dados. Como se trata de uma série temporal (anos), para facilidade dos cálculos, é conveniente trabalhar com uma variável X iniciando em zero com incremento 1. A reta dos mínimos quadrados é Y = 4,59X - 175,25. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13

15 Referências NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. São Paulo: Editora Ática, SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makron Books, Exercícios de fixação Questão 1 Os salários mensais de seis funcionários são: R$1.950,00, R$4.230,00, R$3.260,00, R$2.780,00, R$5.830,00 e R$3.690,00. Determine a razão entre a média aritmética e a mediana de seus salários. a) 1,12 b) 1,53 c) 0,93 d) 1,04 e) 0,87 Questão 2 Entre 100 números, vinte são 3, quarenta são 4, trinta são 5 e os restantes são 6. Determine a média aritmética dos números. a) 4,5 b) 2,9 c) 3,2 d) 3,8 e) 4,3 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14

16 Questão 3 Considere a tabela a seguir que registra a contagem do número de alunos em classes de estatura (altura) em uma sala de aula onde estudam cem alunos. Determine a média das alturas dos alunos. a) 175,78 b) 169,94 c) 158,27 d) 176,26 e) 155,92 Questão 4 Os salários mensais de seis funcionários são: R$1.950,00, R$4.230,00, R$3.260,00, R$2.780,00, R$5.830,00 e R$3.690,00. Calcule o desvio-padrão dos salários. a) R$1.216,90 b) R$1.345,67 c) R$957,14 d) R$1.212,12 e) R$1.289,55 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15

17 Questão 5 Considere a tabela a seguir que registra a contagem do número de alunos em classes de estatura (altura) em uma sala de aula onde estudam cem alunos. Determine o desvio-padrão das alturas dos alunos. a) 5,78 b) 8,94 c) 7,27 d) 6,91 e) 7,92 Questão 6 A tabela a seguir apresenta registros das massas de 10 pais e de seus respectivos filhos mais velhos. A reta de regressão de mínimos quadrados correspondente é: a) Y = 29,45 + 0,45X b) Y = 31,67 + 0,32X c) Y = 45,55 + 0,57X d) Y = 32,77 + 0,54X FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16

18 e) Y = 24,51 + 0,65X Questão 7 Determine o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y apresentadas na tabela a seguir. a) 0,98 b) 0,75 c) 0,65 d) 0,88 e) 0,95 Questão 8 Determine a reta de regressão de mínimos quadrados para as variáveis X e Y apresentadas na tabela a seguir. a) Y = 0,64X + 0,86 b) Y = 0,63X + 0,87 c) Y = 0,64X + 0,88 d) Y = 0,63X + 0,89 e) Y = 0,64X + 0,90 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17

19 Questão 9 A tabela a seguir indica as idades, X, e as pressões arteriais, Y, de 8 mulheres. Determine o coeficiente de correlação entre X e Y. a) 0,87 b) -0,95 c) -0,87 d) 0,93 e) 0,95 Questão 10 A tabela a seguir indica as idades, X, e as pressões arteriais, Y, de 8 mulheres. Apresente a reta de regressão de mínimos quadrados correspondente. a) Y = 0,67X + 52,86 b) Y = 1,16X + 78,48 c) Y = 1,54X + 45,88 d) Y = 0,93X + 33,89 e) Y = 1,64X + 76,90 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18

20 Aula 5 Exercícios de fixação Questão 1 D Questão 2 E Questão 3 B FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19

21 Questão 4 A Questão 5 D FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 20

22 Questão 6 D Questão 7 - A FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 21

23 Questão 8 - C Questão 9 E FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 22

24 Questão 10 B FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 23

25 Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia de Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de Automóveis pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e de várias Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de Graduação e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com pesquisa, desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa. Currículo Lattes: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 24