ANALÍTICA AVANÇADA 2S Profa. Lilian L. R. Silva Prof. Rafael Sousa

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1 ANALÍTICA AVANÇADA 2S 2011 Profa. Lilian L. R. Silva Prof. Rafael Sousa Departamento de Química ICE Aulas 1 e 2 Estatística Aplicada à Química Analítica Notas de aula: lilian.silva@ufjf.edu.br rafael.arromba@ujfj.edu.br

2 Algarismos significativos Conceitos de exatidão e precisão CONTEÚDO Propagação de erros Distribuição normal Tipos de erros Limites de confiança da média Rejeição de resultados (Teste Q) Comparação de resultados (Teste F e Teste-t) Regressão linear e Curva de calibração Noções de quimiometria (Planejamento fatorial e Análise multivariada)

3 BIBLIOGRAFIA 1) D. A. Skoog, D. M. West and F. J. Holler, Fundamentals of Analytical Chemistry, 7 th Ed., Thomson Learning, ) J. Mendham, R. C. Denney, J. D. Barnes, M. Thomas Vogel - Análise Química Quantitativa, 6 a ed., LTC, ) D. C. Harris, Análise Química Quantitativa, 7 a ed., LTC, ) B. B. Neto, I. E. Scarminio, R. E. Bruns, Como Fazer Experimentos, Editora da Unicamp, ) J. N. Miller, J. C. Miller, Statistics and Chemometrics for Analytical Chemistry, 5th Ed, Pearson Education Limited, 2005

4 Aula 1 Estatística Aplicada à Química Analítica

5 INTRODUÇÃO Todas as medidas físicas possuem um certo grau de incerteza. Sempre que é feita uma medida há uma limitação imposta pelo equipamento. Assim, um valor numérico que é o resultado de uma medida experimental terá uma incerteza associada a ele. (Baccan e col, 2001) Números História (aspectos experimentais) Definição de estatística Apresentação numérica dos resultados de observações

6 A ESTATÍSTICA NA ANÁLISE QUÍMICA 1. Definição do problema analítico 2. Escolha do método de análise 3. Amostragem Etapas de uma análise: 4. Tratamento da amostra (e separação da espécie de interesse) 5. Calibração 6. Medida analítica RESULTADO (MÉDIA ± INCERTEZA) 7. Avaliação dos resultados : RESULTADO OBTIDO X RESULTADO ESPERADO 8. Ação

7 A ESTATÍSTICA NA ANÁLISE QUÍMICA Pontos críticos : 1. Definição do problema analítico 2. Escolha do método de análise 3. Amostragem 4. Tratamento da amostra 5. Calibração 6. Medida analítica 7. Avaliação dos resultados

8 A ESTATÍSTICA NA ANÁLISE QUÍMICA 1. Definição do problema analítico 2. Escolha do método de análise Pontos críticos : 3. Amostragem (alíquota: como amostrar? tamanho da amostra?) Teor de vitamina C de uma espécie de laranja? Considerações: onde amostrar, quantas laranjas amostrar, formato... Teor de CO no ar? Considerações: localidade, horário, tempo de amostragem...

9 A ESTATÍSTICA NA ANÁLISE QUÍMICA 4. Tratamento da amostra; 5. Calibração; 6. Medida analítica 7. Avaliação dos resultados: RESULTADO OBTIDO X RESULTADO ESPERADO (Testes estatísticos) EMISSÃO DE LAUDOS (Conclusões possíveis: qualitativa e/ou quantitativa) Analogia... = $$ = $$

10 NA INDÚSTRIA, A ESTATÍSTICA ASSOCIADA À ANÁLISE QUÍMICA É CONSIDERADA UMA FORMA DE GARANTIR A QUALIDADE DOS RESULTADOS! (exigência da ISO 17025)

11 Número de Algarismos Significativos O n o de algarismos significativos de um resultado deve expressar a precisão de uma medida e, por isso, nem sempre é igual ao n o de casas decimais obtidas no cálculo EX- O n o de alg. signif. não corresponde ao n o de casas decimais 15,1321 g 4 decimais e 6 alg signif. (incerteza está no 6º alg.) 15132,1 g 1 decimal e 6 alg signif. (incerteza está no 6º alg.) Regras para expressão de resultados: 1- Zeros à esquerda não são significativos 11 mg = 0,011 g (ambos com 2 alg. signif.) 2- Para operações de SOMA E SUBTRAÇÃO o resultado deve conter o n o de casas decimais igual ao componente com o menor n o de signif. 2,2 g + 0,1145 g = 2,3 g (maior incerteza está na 1ª casa)

12 Número de Algarismos Significativos Regras para expressão de resultados: 1- Zeros à esquerda não são significativos 2- Para operações de SOMA E SUBTRAÇÃO o resultado deve conter o n o de casas decimais igual ao componente com o menor número de signif. 3- Para operações de MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO o resultado deve conter o mesmo n o de alg. signif. que o componente com o menor n o, mas considerando também as incertezas relativas envolvidas L x 0,1000 mol = 2, mol L -1 25,50 ml x 0,0990 mol L - 1 = 0,101 OU 0,1011 mol L -1?? 24,98 ml 0,0001/0,0990= 0,10% 0,001= 0,99% 0,0001~ 0,10% (Incerteza relativa) 0,101 0,1011

13 Para casa C1- À 26 o C, a massa de um balão volumétrico vazio é de 25,0324 g e a sua massa, após ser cheio com água destilada, é de 50,0078 g. Nessa temperatura, a densidade da água é de 0,99681 g ml -1. Calcule o volume do frasco. (25,055 ml)

14 Rejeição de Resultados Quando são feitas várias medidas de uma mesma grandeza, um resultado pode diferir consideravelmente dos demais. A questão é saber se esse resultado deve ser rejeitado ou não, pois ele afeta a média. (Baccan e Col., 2001) Sempre analisar criticamente e rejeitar resultados: provenientes de procedimentos incorretos (pesagens sem tara, medidas em instrumentos descalibrados) medidas possivelmente afetadas por fatores externos ( picos de energia)

15 Teste Q : Teste possível para a rejeição de resultados 1. Colocar os valores obtidos em ordem crescente 2. Determinar a faixa: diferença existente entre o maior e o menor valor 3. Determinar a diferença (em módulo) entre o menor valor da série e o resultado mais próximo 4. Determinar Q : dividir essa diferença (em módulo) pela faixa 5. Se Q calculado > Q tab, o menor valor é rejeitado (vide Tabelas) 6. Se o valor menor é rejeitado, redeterminar a faixa e testar o maior valor da nova série Repetir o processo até que o menor e maior valores sejam aceitos 7. Se o menor valor é aceito, o maior valor é testado e o processo repetido até que o maior e menor valores sejam aceitos Se a série contiver somente três medidas apenas um teste sobre o valor duvidoso pode ser feito

16 Rejeição de Resultados (Teste Q) Valores críticos do quociente de rejeição Q Para n < 10 Número de observações Q 90% Q 95% Q 99% ,941 0,970 0, ,765 0,829 0, ,642 0,710 0, ,560 0,625 0, ,507 0,568 0, ,468 0,526 0, ,437 0,493 0, ,412 0,466 0,568

17 Exemplo 1: Quais medidas devem ser rejeitadas para uma análise de Cu em latão, com 95 % de confiança, entre 15,42; 15,51; 14,52; 15,53; 15,56; 15,56 e 15,68 % m/m? Considerando os valores na ordem: - Determinação da faixa: 15,68 15,42 = 0,26 - Cálculo da dif. entre os valores menores: 15,51 15,42 = 0,09 - Cálculo de Q: Q= 0,09 / 0,26 = 0,35 Q calc 0,35 < Q 95% 0,568 O menor valor é aceito (15,42) - Cálculo da dif. entre os valores maiores: 15,68 15,56 = 0,12 - Cálculo de Q: Q = 0,12 / 0,26 = 0,46 Q calc 0,46 < Q 95% O maior valor tb é aceito

18 Medida experimental - Deve ser representada de forma apropriada - Deve ser representativa como parte de um conjunto - Espera-se que seja exata e precisa Exatidão e precisão NÃO SÃO A MESMA COISA

19 Conceito de Exatidão Valor medido (Xi) versus Valor verdadeiro (Xv) Erro da medida (E) E absoluto = Xi Xv = X - Xv X = média para n medidas de uma população (corresponde à média amostral) Para lembrar... Média Soma aritmética das medidas da mesma grandeza (replicatas) (a média para todas as medidas de uma população é representada por µ ) Mediana Valor central (ou média dos valores centrais) das replicatas organizadas em valores crescentes

20 Exemplo 2: Calcular o erro da concentração obtida para Fe em um efluente, no qual a concentração verdadeira é de 19,8 mg/l e as concentrações encontradas por um analista foram de 19,2; 19,6; 20,4 e 20,8 mg/l. ERRO = X- X v ERRO = 20,0 19,8 = + 0,2 mg/l Fe Interpretar o sinal! QUESTÃO: Um erro de 0,2 mg/l em uma medida de 19,8 mg/l é um erro baixo?

21 Conceito de Exatidão Erro relativo (E R ) E R = (Erro absoluto / X v ) x 100 Exemplificando o cálculo: De acordo com o Exemplo 2: E R = (+ 0,2 / 19,8) x 100 = 1% (valor geralmente satisfatório)

22 Conceito de Precisão Dispersão de uma medida em relação à média Desvios da medida (d) di = Xi X Então, o desvio para a medida de 19,2 mg/l de Fe, no caso do Exemplo 2 é de -0,8 mg/l, pois a média das determinações foi de 20,0 mg/l. A A falta de precisão em uma ou mais medidas é uma razão possível para a obtenção de resultados (médias) anômalos.

23 Para casa C2- Numa determinação de Fe em minério foram obtidos os seguintes resultados: 0,3417 g, 0,3342 g e 0,3426 g. Calcule a média e o desvio médio e determine se algum destes dados podem ser desprezados usando o teste Q com 90% de confiança. (média= 0,3395 g; desvio médio= 0,0035 g; sem valores rejeitados)

24 Conceito de Precisão Os desvios obtidos para uma medida são expressos como Desvio médio (slide anterior) OU Estimativa* do desvio-padrão (S) N Σ S = (x i x ) 2 i=1 S 2 é chamado de Variância N-1 N -1 = n o de graus de liberdade S R é a Estimativa do desvio padrão relativo: S R = ( S / X ) x 100 S R também é chamado de coeficiente de variação (CV) (*) Normalmente existe um valor limitado de medidas.. Do contrário é possível calcular o desvio-padrão propriamente (δ)

25 Exemplo 3: Calcular a estimativa do desvio padrão e a estimativa do desvio padrão relativo para as determinações de Fe (19,2; 19,6; 20,4 e 20,8 mg/l) consideradas no Exemplo 1. X = 20,0 Xi Xi X ( Xi X ) 2 19,2-0,8 0,64 19,6-0,4 0,16 20,4 0,4 0,16 20,8 0,8 0,64 1,6 C Fe = ( 19,3 20,7 ) mg/l S = 1,6 / 3 S = ± 0,73 mg/l S R = ± ( 0,73 / 20,0 ) x 100 = ± 3,6 % Não existe um valor absoluto para o resultado de uma análise

26 RELAÇÃO ENTRE EXATIDÃO E PRECISÃO A Exatidão e a Precisão se relacionam de 3 formas principais: Método de análise C preciso e exato! B A preciso mas inexato impreciso e inexato valor verdadeiro Conc. do analito DISCUSSÃO DE EXEMPLOS PRÁTICOS...

27 Para casa C3- Discutir se a precisão das medidas influenciam a exatidão de uma análise e de que forma se pode avaliar o valor de uma medida em termos de exatidão.

28 OBS: Boa precisão = Boa repetibilidade ATENÇÃO ÀS TERMINOLOGIAS Codex Committee on Methods of Analysis and Sampling. Guidelines on Analytical Terminology (CAC/GL )

29 ATENÇÃO ÀS TERMINOLOGIAS

30 Teste F para comparar conjuntos de dados Comparar precisões (ou variâncias) de duas médias (A e B) F = S A 2 S B 2 A refere-se à média com o maior desvio SE F calculado < F crítico para 95 % de confiança Não existe diferença significativa entre os conjuntos de dados SE F calculado F tabelado para 95 %de confiança Existe diferença significativa entre os conjuntos de dados

31 Valores críticos para F ao nível de 5%* Graus lib Numer. 3 9,28 9,12 9,01 8,94 8,74 8,64 4 6,59 6,39 6,26 6,16 5,91 5,80 5 5,41 5,19 5,05 4,95 4,68 4,56 6 4,76 4,53 4,39 4,28 4,00 3, ,49 3,26 3,11 3,00 2,69 2, ,10 2,87 2,71 2,60 2,28 2,12 Denom. * A tabela indica as probabilidades dos valores serem diferentes Quando as precisões são comparáveis, pode-se também comparar as médias (avaliar métodos novos ou alternativos): Teste t, de Student

32 Para casa C4- Comente sobre a diferença na precisão obtida nos laboratórios A e B para a determinação de Mg em uma mesma amostra de leite considerando um nível de confiança de 95%. Dados: Lab. A : 34,97; 34,85; 34,94 e 34,88 mg L - 1 e Lab. B : 35,02; 34,96; 34,99; 35,07 e 34,85 mg L - 1. (Precisões semelhantes, comparáveis)

33 Quando as precisões são comparáveis, pode-se também comparar as médias: Teste t,, de Student (avaliar métodos diferentes) t = x 1 - x 2 n 1 n S 2 p n 1 + n 2 n é o número das medidas para cada média Sp corresponde a S agrupado S p = (n 1-1) S 12 + (n 2-1) S 2 2 n 1 + n 2-2 SE t calculado < t crítico para o nível de confiança desejado: Não existe diferença significativa entre as médias

34 Valores críticos para t nos níveis de 95 e 99% (P=0,025 e P=0,005) Graus de liberdade 95% 99% 1 12,71 63,66 2 4,30 9,93 3 3,18 5,84 4 2,78 4,60 5 2,57 4,03 6 2,45 3,71 7 2,37 3,50 8 2,31 3,36 9 2,26 3, ,23 3, ,96 2,58 Testes estatísticos são válidos quando os erros envolvidos são aleatórios

35 Entendendo os erros TIPOS: - SISTEMÁTICOS (rastreados e evitados) - ALEATÓRIOS (sempre presentes)

36 Erros Sistemáticos ou Determinados (Podem ser conhecidos e rastreados) Erros de Método : surgem do comportamento químico ou físico não ideal de sistemas analiticos Erros Pessoais : resultam da falta de cuidado, falta de atenção ou limitações pessoais do analista Erros Instrumentais: causados pelo comportamento não ideal de um instrumento, por calibrações falhas ou pelo uso de condições inadequadas afetam a exatidão Como detectar um erro sistemático? * Material certificado (CRM) * (Método de adição e recuperação) * Método comparativo * Testes interlaboratoriais

37 Erros Indeterminados (aleatórios ou randômicos) (Não podem ser localizados) Medidas flutuam aleatoriamente ao redor da média afetam a precisão Variam de acordo com uma distribuição normal

38 Ex de uma Distribuição Normal (Calibração de uma pipeta) % das medidas Curva de Gauss (Perfil da distribuição) volume (ml) Histograma mostrando a distribuição de 50 medidas do volume escoado por uma pipeta de 10 ml OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

39 Distribuição Normal de Gauss Probabilidade de ocorrência de um resultado (Y) Y = 1 σ 2π exp - 1 (X i - µ) 2 2 σ 2 µ corresponde a média da população (situação de várias medidas) Assim, pode-se calcular uma faixa para um resultado R supondo que os desvios observados seguem uma distribuição normal OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

40 Limites de confiança da média Frequência relativa 0,4 +1σ+2σ -2σ -1σ 0,3 0,2 0,1 0 _ µ 0 Distribuição Normal de Gauss + µ = x ± z σ N Níveis de Confiança para Z % 50 0, , , , ,96 95,4 2, ,58 99,7 3,00 99,9 3,29 OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

41 Limites de confiança da média quando não se tem µ µ = x ± z σ N µ = x ± t S N Graus de liberdade 95% 99% 1 12,71 63,66 2 4,30 9,93 3 3,18 5,84 4 2,78 4,60 5 2,57 4,03 6 2,45 3,71 7 2,37 3,50 8 2,31 3,36 9 2,26 3, ,23 3, ,96 2,58 OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

42 Para fazer EM AULA: Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma liga metálica, encontrando um valor médio de 31,40% m/m e uma estimativa do desvio padrão de 0,11% m/m. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de 95%? C Fe = (31,23 31,57) % m/m

43 Resposta: Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma liga metálica, encontrando um valor médio de 31,40% m/m e uma estimativa do desvio padrão de 0,11% m/m. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de 95%? µ =? µ = x ± t S N µ = 31,40 ± (3,18 x 0,11) / 4 µ = 31,40 ± 0,17 C Fe = (31,23 31,57) % m/m

44 Limites de confiança da média quando não se tem µ Comparação de uma média com um valor de referência quando não se tem o desvio do valor de referência µ = x ± t S N t = µ - x S N : Comparação da distribuição de cores de confeitos Ex: Comparação da de confeitos M&M com a especificação do fabricante Amostragem do analista média (X) e estimativa do desvio (S) Média do fabricante (µ) Calcula-se t com a confiança desejada e compara-se com o valor tabelado: Se o t calc < t tab não existe diferença significativa entre as médias