INCERTEZAS DE CURVAS DE CALIBRAÇÃO AJUSTADAS SEGUNDO OS MODELOS LINEAR E QUADRÁTICO

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1 ENQUALAB 8 - Congresso da Qualidade em Metrologia Rede Metrológica do Estado de São Paulo - REMESP 9 a de junho de 8, São Paulo, Brasil INCERTEZAS DE CURVAS DE CALIBRAÇÃO AJUSTADAS SEGUNDO OS MODELOS LINEAR E QUADRÁTICO Sérgio L. G. Petroni Divisão de Materiais - Instituto de Aeronáutica e Espaço - Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial São José dos Campos - SP - Brasil slpetroni@iae.cta.br Resumo: O objetivo deste trabalho é avaliar as diferenças verificadas nas incertezas de curvas de calibração de análises químicas quando estas são ajustadas aos modelos linear e quadrático. Para isso, foram utilizados dados de análises de ferro por espectrometria de absorção atômica em amostras de alumínio, ligas de alumínio e outras ligas não-ferrosas. Os resultados das incertezas calculadas foram avaliados comparativamente entre si e com relação às suas contribuições para as incertezas combinadas dos resultados. Palavras chave: incerteza; curva de calibração; espectrometria de absorção atômica.. INTRODUÇÃO Uma das principais contribuições para a incerteza de resultados de métodos analíticos que utilizam curvas de calibração está associada ao ajuste da curva pelo método dos mínimos quadrados. O guia Eurachem [] orienta para que o cálculo desta componente seja feito de acordo com a equação E3., a qual descreve o intervalo de confiança do valor da concentração da amostra obtido de uma curva de calibração ajustada segundo o modelo linear y = b + b x []. Apesar disso, verifica-se que, para algumas técnicas de análise instrumental, os valores de concentração fornecidos pelo software do equipamento são calculados a partir de curvas de calibração ajustadas ao modelo quadrático y = b + b x + b x. Nestes casos, a incerteza da concentração da amostra pode ser calculada por uma expressão matricial geral, a qual se aplica a qualquer regressão, independentemente do número de termos do modelo [3]. O intuito deste trabalho é avaliar as diferenças observadas nos valores das incertezas de curvas de calibração calculadas segundo estas duas equações. Para isso, foram utilizados, como estudo de caso, dados de análises de ferro em amostras de alumínio, ligas de alumínio e outras ligas não-ferrosas por espectrometria de absorção atômica. Com a finalidade de explorar o efeito prático destas diferenças, foram utilizados dados de serviços de análise química realizados no Laboratório Químico de Caracterização de Materiais do Instituto de Aeronáutica e Espaço do CTA - Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Por razões óbvias de manutenção do direito de propriedade dos clientes, a identificação original das amostras foi omitida.. TEORIA A incerteza do ajuste linear de uma curva de calibração utilizada para a determinação da concentração de um analito (x ), pode ser calculada por [-3]: u( x ) = S b + + p n ( x x) ( x x) i Onde S representa o desvio padrão residual do ajuste, b o coeficiente angular, p o número de medições realizadas para determinação de x, n o número de medições para a construção da curva, x o valor médio das concentrações dos padrões de calibração e x i os valores das concentrações dos padrões utilizados []. Para casos em que as curvas de calibração são ajustadas a modelos com mais termos, recomenda-se recorrer à forma geral da equação (), a qual, por motivos de simplificação dos cálculos, pode ser expressa em termos de álgebra matricial, sob a forma [3]: u( x ) = S b + x p t t (x x) x O termo x t (x t x) - x pode ser calculado por meio das operações com as matrizes de x e x i. Para um modelo com dois termos (quadrático), por exemplo, as matrizes x e x são: x = e x = x x... x x x x x n x n () ()

2 As operações para os cálculos de S e b, bem como a teoria completa a respeito de regressão e intervalos de confiança, é apresentada de forma didática e detalhada em [4]. 3. MÉTODO 7 amostras de alumínio, ligas de alumínio e outras ligas nãoferrosas com diferentes teores de ferro foram selecionadas para o estudo (Tabela ). 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO Na Figura são apresentadas as médias das absorbâncias obtidas na construção das nove curvas, acompanhadas de seus respectivos desvios padrão. O melhor ajuste dos pontos ao modelo quadrático pode ser claramente observado na Figura e na Tabela, por meio dos valores obtidos de coeficiente de correlação R e desvio padrão residual S (calculados via software Origin ). Tabela. Amostras selecionadas para a realização do estudo. Amostra Fe Amostra Fe Alumínio em pó (a),4 Alumínio em pó (b),39 Superliga Ni-Cr (a),78 Liga NIMONIC 8A,4 Liga AA 663 (a),74 Liga UNS A383,77 Liga AA 77,8 Liga SAE 36,867 Liga AA 63,9 Alumínio fundido 36, Liga AA 663 (b),36 Liga Cu-Ni UNS C76,3 Liga AA,6 Superliga Ni-Cr (b), Liga AA,73 Bronze UNS C 63,9 Liga AA 4,37 As análises foram realizadas segundo um método desenvolvido pelo Laboratório baseado na norma ASTM E []. O procedimento de análise consistiu basicamente da retirada das amostras (aproximadamente, g), solubilização com água régia, diluição, construção das curvas de calibração, determinação da concentração de ferro nas soluções e cálculo da porcentagem de ferro nas amostras. Considerando as concentrações esperadas de ferro e as diluições efetuadas, o laboratório utilizou (por questões de praticidade), para construção das curvas de calibração, soluções padrão do metal nas concentrações de, mg.l -,, mg.l -,, mg.l - e, mg.l -, tendo sido efetuadas quatro medições de absorbância para cada ponto da curva. Ao todo foram construídas nove curvas de calibração para a análise das 7 amostras. A qualidade dos ajustes das curvas foi testada por meio da análise das variâncias (ANOVA). Os valores de incerteza expandida apresentados consideraram as contribuições da curva de calibração, da repetitividade das análises, da pesagem das amostras e das diluições efetuadas. Apesar disso, neste trabalho serão detalhadas e avaliadas comparativamente somente as incertezas da repetitividade e das curvas de calibração - as quais se destacaram como contribuições majoritárias para a incerteza expandida dos resultados. A incerteza da repetitividade foi calculada em,38 % pelo desvio padrão da média de sete análises de ferro em material de referência certificado de liga de alumínio 34 - NIST 83a (valor certificado =,4 ±, %). As estimativas das incertezas das curvas segundo as equações () e (), bem como as ANOVA dos ajustes das curvas foram calculadas com o auxílio de planilhas eletrônicas do Excel. Absorbância,6,4,, Fe (mg.l - ) linear quadrático Fig.. Médias das absorbâncias das curvas de calibração. Tabela. Parâmetros de ajuste da curva de calibração média. Modelo R S Linear,998,698 Quadrático,99997,3 Os ajustes de cada uma das curvas de calibração utilizadas foram também avaliados individualmente por meio da ANOVA. Nesse tipo de análise, as relações entre as médias quadráticas da regressão e dos resíduos (MQ R /MQ r ) e entre as médias quadráticas da falta de ajuste e do erro puro (MQ faj /MQ ep ) são calculadas e comparadas, respectivamente, aos valores de F νr,νr e F νfaj,νep tabelados (no nível de confiança desejado). Na prática, quanto maior os valor de MQ R /MQ r em relação à F νr,νr, maior a significância estatística da regressão, enquanto que, valores de MQ faj /MQ ep inferiores à F νfaj,νep evidenciam o ajuste satisfatório do modelo [4]. Na Tabela 3 são apresentados os resultados das ANOVA para as curvas utilizadas e os respectivos valores tabelados de F νr,νr e F νfaj,νep (nível de confiança de 9 %) para os dois ajustes. Pode-se observar, na Tabela 3, que os valores de MQ R /MQ r foram superiores aos valores de F νr,νr para todas as curvas, sendo que os valores calculados para o ajuste quadrático superaram os do ajuste linear em todos os casos.

3 Tabela 3. Resultados das ANOVA das curvas de calibração. Linear Quadrático F,4 = 4,6 F, = 3,89 F,3 = 3,8 F, = 4,7 Curva MQ R /MQ r MQ faj /MQ ep MQ R /MQ r MQ faj /MQ ep , , , , , , , Com relação aos valores de MQ faj /MQ ep, para o ajuste linear, verificou-se que os mesmos foram superiores ao valor de F νfaj,νep (3,89) para todas as curvas, indicando ao falta de ajuste do modelo nesse caso. Para o ajuste quadrático, estes valores superaram o valor de F νfaj,νep (4,7) apenas para as curvas 3, 6 e 8, sendo que nesta última curva o valor foi obtido bem próximo ao do valor tabelado. Para exemplificar como foram feitos os cálculos das incertezas utilizando as equações () e (), na Tabela 4 é apresentada a curva de calibração construída para a análise da amostra Liga AA 4 (Tabela ). Tabela 4. Curva de calibração para a amostra Liga AA 4. x i (mg.l - ) Absorbância,,74,73,74,73,,4,4,4,4,,336,33,336,337,,94,98,98,99 Considerando a concentração x do analito obtida a partir de três determinações em 3,8 mg.l -, os parâmetros utilizados para o cálculo de u(x ) foram: p = 3; n = 6 e x = 4,. Os valores de S e b foram calculados com o auxílio do software em, respectivamente,,3 e,8. Assim, a incerteza da curva de calibração ajustada segundo o modelo linear u(x ) L foi calculada por meio a equação () em:,3 (3,8 4,) u ( x ) L = + + =,4 mg.l -, A incerteza da curva ajustada pelo modelo quadrático foi calculada partindo-se das matrizes: x = 3,8,8 e x = As operações com as matrizes x e x permitiram o cálculo do termo x t (x t x) - x em,3 e, assim como foi feito para o modelo linear, os parâmetros S e b foram obtidos via software em, respectivamente,,8 e,7. Dessa forma, o cálculo da incerteza u(x ) Q pela equação () resultou em:,8 u ( x ) Q = +,3 =,6 mg.l -,7 3 Na Tabela são apresentados os resultados das análises ferro nas soluções (x ) e nas amostras (Fe), juntamente com as incertezas (u(x ) L e u(x ) Q ) padrão (em mg.l - ) e relativa (em %) das curvas, além das incertezas expandidas (U L e U Q ), calculadas, respectivamente, para as condições de ajuste linear e quadrático das curvas. Para todas as amostras o ajuste quadrático das curvas resultou em valores de incerteza padrão inferiores aos do ajuste linear (Tabela ). Por conseqüência, as incertezas expandidas foram calculadas inferiores (em até vezes) para o modelo quadrático. Um aspecto importante a ser avaliado a partir dos dados obtidos refere-se aos níveis de contribuição destas incertezas padrão (comparativamente aos de outras fontes), para a incerteza dos resultados. Conforme mencionado, as incertezas padrão relativas foram comparadas à incerteza da repetitividade das análises (obtida em,38 %). Na Figura e 3 são apresentados os percentuais de contribuição das incertezas das curvas e da repetitividade para as incertezas combinadas nos dois casos estudados. É importante esclarecer que a soma das contribuições não totaliza os cem por cento, uma vez que existem outras contribuições que são consideradas no processo de cálculo, porém não são apresentadas nas Figuras (incertezas das pesagens e das diluições das amostras).

4 Tabela. Valores de incerteza calculados a partir do ajuste linear e quadrático das curvas de calibração. Linear Quadrático Amostra x (mg.l - ) Fe u(x ) L (mg.l - ) u(x ) L U L u(x ) L (mg.l - ) u(x ) Q U Q. Alumínio em pó (a) 4,,4,,,9,3,3,8. Superliga Ni-Cr (a),76,78,3,3,,,,8 3. Liga AA 663 (a),79,74,3,3,46,8,7, 4. Liga AA 77,83,8,3,3,6,4,4,. Liga AA 63,93,9,9,3,7,44,44, 6. Liga AA 663 (b),48,36,86,8,36,9,8,8 7. Liga AA,6,6,83,8,37,4,4, 8. Liga AA,77,73,8,8,37,4,4, 9. Liga AA 4 3,8,37,43,4,3,6,6,9. Alumínio em pó (b) 3,96,39,,,4,3,3,. Liga NIMONIC 8A 4,,4,,,4,3,3,. Liga UNS A383 3,8,77,79,36,7,44,88, 3. Liga SAE 36 4,37,867,79,3,7,46,9, 4. Alumínio fundido 36,8,,7,4,8,,44,7. Liga Cu-Ni UNS C76,7,3,6,,4,,7,3 6. Superliga Ni-Cr (b) 4,4,,9,4,9,49,4, 7. Bronze UNS C 63 4,73,9,9,6,3,,8, Contribuição 6 4 Contribuição Amostra Curva Repetitividade Amostra Curva Repetitividade Fig.. Contribuições das incertezas para a incerteza combinada - modelo linear. Na Figura, a contribuição mais significativa da repetitividade é verificada somente para as duas primeiras amostras, com teores mais baixos de ferro (<,8 %), enquanto que, para as demais amostras, esta contribuição passa a ser desprezível, chegando a praticamente zero nas amostras com mais de, % de ferro. A redução dos valores das incertezas das curvas em decorrência do ajuste quadrático resultou na aproximação dos valores das contribuições das duas fontes, conforme apresentado na Figura 3. Ou seja, para o conjunto de amostras analisadas, quando as curvas de calibração são ajustadas segundo o modelo linear, as incertezas dos resultados, além de superiores (Tabela ), Fig.3. Contribuições das incertezas para a incerteza combinada - modelo quadrático. passam a ser quase que integralmente oriundas do ajuste da curva de calibração. Por outro lado, quando as curvas são ajustadas de acordo com o modelo quadrático, além de serem obtidos valores inferiores de incerteza, a incerteza da repetitividade passa a apresentar uma contribuição mais significativa para a incerteza combinada (Figura 3).. CONCLUSÃO O presente trabalho apresentou um estudo comparativo de estimativas de incerteza de resultados de análise de ferro por espectrometria de absorção atômica calculadas quando as

5 curvas de calibração são ajustadas segundo os modelos linear e quadrático. O melhor ajuste das curvas utilizadas foi verificado para o modelo quadrático por meio dos valores de R e S (calculados para uma curva construída a partir das médias das absorbâncias), bem como pelos resultados das ANOVA realizadas para cada uma das curvas individualmente. O ajuste quadrático das curvas de calibração das amostras utilizadas no estudo resultou em valores de incerteza significativamente inferiores aos calculados para o ajuste linear. Além disso, as contribuições das incertezas das curvas para as incertezas combinadas passaram a ter seus valores próximos ao valor da incerteza da repetitividade das análises. O estudo realizado representa uma investigação isolada realizada para um grupo de amostras, e tem como intuito indicar a utilização do ajuste quadrático da curva de calibração como uma possibilidade de cálculo de incerteza para a obtenção de resultados de análise menos dispersos. A extensão de aplicação deste ajuste deve ser avaliada para cada caso, de acordo com a natureza do elemento analisado, da curva de calibração utilizada, bem como de outros fatores inerentes à técnica de espectrometria de absorção atômica. REFERÊNCIAS [] Guia EURACHEM/CITAC. Determinando a Incerteza na Medição Analítica. Primeira Edição Brasileira coordenada pela Sociedade Brasileira de Metrologia, Rio de Janeiro, RJ. [] L. Brüggemann, R. Wennrich, Evaluation of measurement uncertainty for analytical procedures using a linear calibration function, Accred. Qual. Assur., vol. 7, pp ,. [3] M.F. Pimentel, B.B. Neto, Calibração: Uma revisão para químicos analíticos, Química Nova, vol. 9, n. 3, pp , 996. [4] B.B. Neto, I.S. Scarminio, R.E. Bruns, Como fazer experimentos. Pesquisa e desenvolvimento na ciência e na indústria, ª ed. Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 3. [] ASTM E (Reapproved ), Standard test methods for chemical analysis of aluminum and aluminum-base alloys, ASTM International,.