caderno do PROFESSOR MATEMÁTICA ensino fundamental 7 a - SÉRIE volume

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1 caderno do PROFESSOR ensino fundamental 7 a - SÉRIE volume MATEMÁTICA

2 Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião S9c São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7 a série, volume / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo : SEE, 009. ISBN Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.0/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas. Matemática. Ensino Fundamental. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 7.:

3 Prezado(a) professor(a), Dando continuidade ao trabalho iniciado em 008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo o ensino de qualidade, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você. Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

4 Sumário São Paulo faz escola Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem Situação de Aprendizagem Os racionais como mostruário das frações Situação de Aprendizagem As dízimas periódicas são previsíveis... 9 Situação de Aprendizagem Do googol ao angstrom, um caminho para as potências 7 Situação de Aprendizagem As potências e a memória do computador Orientações para Recuperação Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

5 São PAulo FAz ESColA uma ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de a a 8 a séries do Ensino Fundamental Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o tempo de discussão, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse tempo foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

6 Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 0 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

7 FiCHA do CAdErno números racionais e potenciação: ampliando horizontes nome da disciplina: área: Etapa da educação básica: Série: Matemática Matemática Ensino Fundamental 7 a Período letivo: o bimestre de 009 temas e conteúdos: Números racionais Decimais e frações Dízimas periódicas e geratrizes Potenciação Expoentes inteiros Tratamento da informação 7

8 orientação GErAl SobrE os CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem deles, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores desse currículo, destacando-se a contextualização dos conteú dos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um desses assuntos. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicará a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (,, e ), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno e sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. 8

9 Matemática 7 a série, o bimestre Conteúdos básicos do bimestre Os dois temas centrais do o bimestre da 7 a série são as frações e as potências. Com relação ao estudo das frações, além da construção da ideia de número racional e da determinação de frações geratrizes, temas normalmente tratados nesta série, a natureza desses assuntos permite que sejam exploradas também duas importantes noções matemáticas: a do infinito e a de classes de equivalência. Concepções relacionadas ao infinito podem ser exploradas por meio de discussões sobre as dízimas periódicas. Quando, por exemplo, chamamos de x a dízima periódica 0,... para, em seguida, multiplicar os dois lados da igualdade x = 0,... por 0, produzindo a nova igualdade 0x =,..., temos a intenção de usar o seguinte artifício algébrico na sequência: 0x x =,... 0,... 9x = x = 9 x =. Ocorre que o uso de tal artifício para a determinação da geratriz exige que se compreenda um fato importante sobre os conjuntos infinitos, o de que um elemento a menos em um conjunto de infinitos elementos ainda assim produz um conjunto de infinitos elementos. Esse fato foi usado quando concluímos que,... 0,... é igual a. Note que o primeiro fator tem infinitos algarismos à direita da vírgula, ao passo que o segundo tem um algarismo a menos, o que, ainda assim, garante infinitos algarismos à direita da vírgula. Outra questão que também deve ser explorada no contexto das dízimas periódicas é o da dupla representação com vírgula das frações decimais finitas, uma vez que toda fração decimal finita pode ser escrita na forma de uma dízima periódica. Utilizando o mesmo argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, podemos mostrar que todo decimal finito pode ser transformado em uma dízima periódica (exemplos: 0, = 0,999...; 8,9 = 8, ; 7 =,999...). Com relação à discussão sobre classes de equivalência, o desafio proposto será o de compreender o conjunto dos números racionais como uma forma particular de organização das frações, em que cada número racional será um representante de uma classe de frações equivalentes. A compreensão dos racionais nesse contexto explora diretamente duas habilidades frequentemente utilizadas no pensamento matemático, a de organizar e a de classificar elementos em conjuntos de acordo com certa propriedade estabelecida. No que diz respeito ao estudo das potências, na a série os alunos foram apresentados ao assunto explorando-se potências de base inteira e expoente natural. No o bimestre da 7 a série, a ideia de potência deve ser ampliada, incorporando-se o uso de expoentes inteiros negativos e discutindo-se as principais propriedades operatórias das potências. A opção de não apresentar neste Caderno uma Situação de Aprendizagem específica para o trabalho com as propriedades operatórias das potências não implica que o assunto não seja importante. Espera-se de um aluno de 7 a série que ele seja capaz, ao longo do ano, de trabalhar com as propriedades operatórias das potências com razoável destreza e agilidade. As propostas de trabalho nas atividades deste Caderno exploram a ideia do uso das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos em situações práticas e aplicadas como, por 9

10 exemplo, a de investigarmos o significado das unidades de medida frequentemente usadas na informática (bits, bytes, megabytes, etc.). Na Situação de Aprendizagem, o objeto de estudo são as semelhanças e diferenças envolvendo as ideias de fração, razão entre números quaisquer e números racionais. Com relação ao conjunto dos números racionais, a Situação de Aprendizagem sugere a exploração do tema por meio da ideia de classes de equivalência, o que precederia a formalização tradicional apresentada na maioria dos livros. As classes de equivalência são apresentadas em situações de contexto e de forma intuitiva, para então serem aplicadas nas frações. Em seguida, a localização das frações na reta numérica está combinada a discussão sobre o caráter de densidade dos números racionais, isto é, o fato de entre dois nú meros racionais existirem uma infinidade de outros números racionais. Esta propriedade marcará um passo entre o caráter discreto ou não-contínuo dos números inteiros para a continuidade representada pelos números reais. Na Situação de Aprendizagem, o tema central são as dízimas periódicas. Nela discutimos que toda fração irredutível possui uma representação decimal que pode ser finita ou infinita e periódica. Nessa Situação de Aprendizagem, além da discussão sobre a obtenção das frações geratrizes, também será explorado o ponto de vista da previsão do tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Partindo da motivação de que números muito grandes ou muito pequenos encontram nas potências um caminho adequado e prático de representação, a Situação de Aprendizagem procura motivar o estudo das potências a partir de situações práticas e desafiadoras, envolvendo notações como as do googol e do angstrom. A atividade também apresenta uma proposta de uso da calculadora no estudo das potências. Na Situação de Aprendizagem, exploramos a relação entre o uso das potências e a memória do computador. Termos como bits, bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemente, em terabyte, de uso corrente na informática, geram contexto e significado, pois se referem a unidades de memória dos computadores cuja compreensão e uso estão diretamente relacionados ao estudo das potências, fato que será explorado nessa Situação de Aprendizagem. As atividades propostas são sugestões que podem ser utilizadas ao longo das seguintes oito unidades que poderão compor o bimestre. Quadro Geral de conteúdos do o bimestre da 7 a Série do Ensino Fundamental unidade Frações e números racionais. unidade Decimais finitas e as dízimas periódicas. unidade Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível. unidade Potências: definição e contextos. unidade Potências: aplicações práticas. unidade Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias. unidade 7 Propriedades operatórias das potências. unidade 8 Potências e problemas de contagem. 0

11 Matemática 7 a série, o bimestre SituAçõES de APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM OS RACIONAIS COMO MOSTRUáRIO DAS FRAçõES tempo previsto: semanas. Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; números racionais. Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalência, a partir de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, compreendendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racionais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações equivalentes; localizar números racionais na reta. Estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir classes de equivalência. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é a razão entre dois números inteiros, ou seja, uma fração é um número racional. Mas também podemos falar da razão entre dois segmentos, entre duas grandezas, mesmo que suas medidas não constituam números inteiros, entre duas frações ou entre dois números decimais. A igualdade entre duas razões é uma proporção. Euclides dedicou um dos volumes de seus famosos Elementos de Geometria ao estudo das razões e proporções, tratando-as como se fossem algo especial, não apenas frações. Nosso objetivo, nesta Situação de Aprendizagem, é esclarecer as seguintes questões: f Qual é a diferença entre uma fração e a razão entre dois números quaisquer? f Qual é a diferença entre uma fração e um número racional? A primeira questão é mais simples. É muito comum associarmos a representação a/b ao resultado da divisão de a por b e chamarmos o símbolo a de fração, mesmo que a e b b não sejam inteiros. Em sentido próprio, uma fração é a razão entre dois números inteiros. No entanto, quando falamos de frações como,,, ou então, x, em que x e y representam grandezas quaisquer, estamos usando y a palavra fração em sentido figurado, assim como falamos dente de um serrote ou pé de uma cadeira, e é perfeitamente compreensível tal uso.

12 A segunda questão exige uma conversa mais longa. Existe uma diferença conceitual importante entre uma fração e um número racional. Para esclarecer tal ponto, vamos precisar da noção de relação de equivalência. Quando temos diante de nós um conjunto muito bagunçado de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. Por exemplo, o conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto bagunçado ; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério. Se considerarmos apenas o fabricante de cada automóvel, tratando como equivalentes todos os automóveis produzidos pelo mesmo fabricante, o conjunto dos automóveis resultará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis produzidos pela montadora A estarão em uma mesma classe, todos os automóveis da montadora b estarão em outra, todos os fabricados pela montadora C em outra e assim por diante. A definição da relação de equivalência dois automóveis são equivalentes se e somente se têm o mesmo fabricante conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência ter o mesmo fabricante, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto. O mostruário caracterizará, na verdade, o conjunto dos fabricantes de automóveis. outros A H I F Mostruário do conjunto dos automóveis quanto aos fabricantes A B C D E F G H I OUTROS Podemos olhar para o conjunto inicial dos automóveis tendo outros interesses na organização: a cor dos automóveis, por exemplo. Podemos estabelecer que dois automóveis de mesma cor são equivalentes, agrupando-os em classes homogêneas quanto à cor. O mostruário representará, então, o conjunto das cores. PRETO AzUL B PRATA BRANCO G E OUTROS C VERDE D CINzA

13 Matemática 7 a série, o bimestre Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros Voltemos, agora, ao conjunto das frações, ou seja, ao conjunto de todas as razões pos- síveis entre dois números inteiros. Trata-se de um conjunto muito bagunçado, em que se encontram tanto as frações próprias quanto as impróprias, tanto as positivas quanto as negativas, tanto as ordinárias quanto as decimais, as redutíveis e as irredutíveis, etc. Se considerarmos equivalentes e situarmos em uma mesma classe todas as frações que representarem a mesma parte da unidade, como, ; ; ; 0,; 0 ; 7 ( ) ;,... (todas representam a metade da unidade), ou então ; 0 ; ;,...; 00 ; ( 9) 00 00,... (todas representam um inteiro mais 80 dois terços), então todas as frações podem ser organizadas em classes de equivalência. Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. 0 ; ; ; 0,87...; 7 ; ; 0,; 0 ; ;...;... 7 ;,...;,; ; ; 9 ; 9 ; 0,; ; ; 7 ; 90 ; ; 7 9 ; ; ; Mostruário das frações: Conjunto dos números racionais

14 resumindo, podemos dizer que um número racional sempre representa uma classe de frações equivalentes. Assim como o número natural representa o que há de comum entre todos os conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os dedos de uma mão, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade. As frações ; 0, e 9 são diferentes, embora equivalentes; os números ; 0, e 9 são diferentes representações do mesmo número racional. Para explorar um pouco mais a ideia de relação de equivalência, vamos resolver as seguintes atividades. Atividade Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem organizando-os em classes de equivalência, segundo o critério do número de lados. Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos, etc. hexágonos quadriláteros b) Qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos? O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.} ou {,,,, etc.} Atividade Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se e somente se situamse à mesma distância da origem, onde está o número zero. 0 Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, e assim por diante. 0 b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {,,,,,...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros. triângulos pentágonos... Atividade Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja

15 Matemática 7 a série, o bimestre soma do numerador com o denominador dá sempre o mesmo número. Por exemplo, estaria na mesma classe de e de ; estaria na mesma classe de e de 7 ; e assim por 0 diante. Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador com o denominador fosse constante, começando pelo menor valor possível, que é, depois,, e assim por diante: soma igual a :, ou seja, ; soma igual a : ; ; soma igual a ; ; ; ; soma igual a : ; ; ; ;... Soma igual a : ; ; 0 ; 8 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; ;... e assim por diante. Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência por meio do seguinte conjunto: soma igual a, soma igual a,,, soma igual a soma igual a,, 0, 8, 7, 7, 8, 9, 0,,...,, soma igual a Se o professor preferir, também pode propor a construção da seguinte tabela: b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador + denominador: {,,,,,...,,,...}. A localização dos números racionais na reta A criação dos números racionais representa um momento importante do curso de Matemática no Ensino Fundamental, pois ela trata de noções que servirão de base para a construção do conjunto dos números irracionais e, portanto, dos reais, objeto de estudo da 8 a série. O fato fundamental do conjunto dos números reais é a equivalência com os pontos da reta, isto é, a associação de cada número real a um ponto da reta e a sua recíproca, cada ponto da reta está associado a um número real. Esta equivalência entre pontos da reta e número real representa um passo muito importante na construção de noções geométricas e numéricas com aplicações na Matemática e nas ciências em geral, particularmente na Física

16 Na a série, os alunos representaram os números inteiros, positivos e negativos por pontos equidistantes sobre a reta, respectivamente à direita e à esquerda em relação ao zero. Esta representação permite compreender os números inteiros como uma ampliação dos números naturais na medida em que a escala, a partir de então, necessitava, além da medida do comprimento de segmento unitário, ser orientada para a esquerda do zero negativa e para a direita do zero positiva: Agora, para representar na reta um número racional com denominador n, devemos dividir cada segmento de comprimento unitário em n partes iguais, os pontos da subdivisão representarão as frações na forma m n. Por exemplo, a representação na reta de todos os números racionais cujo denominador é será, portanto, da seguinte forma: Embora cada número racional esteja associado a um ponto da reta, a recíproca aqui não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não se esgotam com os números racionais. Como sabemos, existem pontos da reta que serão associados aos números irracionais, dando ao conjunto real a qualidade de continuidade que é atribuída à reta. A localização dos números racionais na reta permite fazermos algumas considera Assim, cada fração de denominador estará associada a um ponto da reta. Repetindo esta operação para todo denominador n inteiro, teremos para cada classe de equivalência de frações um ponto correspondente na reta: ções lógicas sobre algumas das propriedades fundamentais que diferem os campos numéricos: a possibilidade da determinação do sucessor de um outro número. Uma destas ideias se refere à possibilidade da determinação do sucessor de um número.

17 Matemática 7 a série, o bimestre A todo número inteiro, seja positivo, negativo ou zero, podemos determinar seu sucessor e antecessor. Agora, vamos pensar nos racionais: quem é o sucessor de ou de 0,? Como vemos, não existem sucessores de números racionais. Outra ideia simples que pode ser discutida é a de que dados dois números inteiros, podemos determinar que a quantidade de números inteiros entre eles é sempre finita e determinada. Por exemplo, entre e existem 7 números inteiros: {,,,, 0,, }. E com os racionais, como isso se dá? Vamos tomar os números racionais e : quantos racionais existem entre eles? Bem, sabemos que pelo menos um existe: o número médio entre eles, isto é: + = =. Mas, tomando agora os números e podemos novamente determinar o número + 9 que está no meio deles: = = 9 =. Logo, o número encontrado também 8 está entre e. Pensando desta forma, podemos admitir que sempre haverá um número racional entre dois racionais, e que a este será associado um ponto na reta. Este fato permite dizer que entre dois números racionais existe uma grande quantidade de outros números racionais. Todo conjunto em que entre dois quaisquer de seus elementos exista uma infinidade de elementos do mesmo conjunto é chamado de conjunto denso. É curioso notar que o conjunto dos números racionais é denso sem ser contínuo. Como dissemos, embora entre dois números racionais quaisquer sempre haja uma infinidade de números racionais, uma vez que ele é denso, o conjunto dos números racionais não completa a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade é uma qualidade exclusiva do conjunto dos números reais, quando cada ponto da reta imagem associada à continuidade corresponderá a um número real, seja racional ou irracional. Abaixo, propomos algumas atividades que representam uma possibilidade ao professor para discutir com os alunos as ideias anteriormente desenvolvidas. Nesse momento, não é necessário se deter a aspectos e termos relativos à densidade ou continuidade. O interessante agora é que os alunos percebam que com os números racionais muitos mais pontos da reta serão associados a números. As noções aqui iniciadas poderão ser mais exploradas na Situação de Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas periódicas, favorece nova oportunidade de representação de números racionais na reta. Atividade Localize na reta abaixo os seguintes números racionais:,,,, e 0,. 7

18 0 Encontre um número racional que esteja entre: Resposta: a) e 0, 0 + = = Atividade b) e Responda às perguntas: a) qual é o número natural sucessor de?. b) qual é o número inteiro sucessor de 7?. c) qual é o número racional consecutivo de? Não existe. d) quantos números inteiros existem entre e 0?. e) quantos números racionais existem entre e 0? Infinitos. f) quantos números racionais existem entre 0, e 0,? Infinitos. Atividade No exercício anterior você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional e que entre dois números racionais sempre existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem estas propriedades são chamados de conjuntos densos. + 0 = = 0 c) 0,88 e 0,889 0,88. d), e, , Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média aritmética entre os números dados. Considerações sobre a avaliação A apresentação dos racionais como o mostruário das frações, baseada na ideia de classificações, é fundamental para a compreensão do conceito em questão e pode ser muito esclarecedora no significado que as relações de equivalência desempenham na Matemática. Uma vez compreen dida, tal apresentação pode servir de base para uma reorganização conceitual dos outros conjuntos numéricos já estudados ou a estudar. Na resolução das atividades propostas, a aquisição de uma linguagem mais adequada para o tratamento de tais temas é mais 8

19 Matemática 7 a série, o bimestre importante do que os inúmeros cálculos que podem ser associados a ela. A expectativa ao final desta Situação de Aprendizagem é a de que os alunos tenham ampliado suas noções sobre as frações, condição essencial para a compreensão do conjunto dos números racionais. Essa ampliação está apoiada, substancialmente, ao conceito de classes de equivalência, sendo, portanto, um conceito importante para o professor avaliar, seja utilizando classes que envolvem equivalências contextualizadas ou numéricas. Outra noção desenvolvida nesta unidade está associada à localização de números racionais na reta. Para esse trabalho, o professor pode sugerir algumas atividades cujo denominador seja 0, preparando, de certa forma, a discussão sobre frações decimais e periódicas que é objeto da próxima Situação de Aprendizagem. SITUAçãO DE APRENDIzAGEM AS DízIMAS PERIóDICAS SãO PREVISíVEIS... tempo previsto: semanas. Conteúdos e temas: dízimas periódicas. Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as condições que fazem com que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Estratégias: análise de dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso de calculadora. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem As frações representam a razão ou a divisão entre dois números inteiros. Quando nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes o quociente obtido é um número decimal bem-comportado, com um número finito de casas decimais, como, por exemplo, o número 0, que corresponde à fração ; outras vezes, o resultado da divisão é um número com uma infinidade de casas decimais, das quais um grupo delas se repete periodicamente, ou seja, é uma dízima periódica, como na fração, que corresponde ao número 0,... As frações do primeiro tipo podem ser escritas com seus denominadores em potências de 0: = 00, = 0, 7 0 =

20 Nessa situação, as frações são transformadas de modo que seus denominadores se convertam em potências de 0, e isso é possível ser feito quando observamos que o denominador divide alguma potência de 0. Frações como estas representam uma grande vantagem prática, pois além de serem de fácil comparação, permitem, na sua forma decimal, a aplicação dos mesmos algoritmos usados para efetuar as operações aritméticas. No caso de frações que geram dízimas periódicas, como ou, as frações não serão 70 propriamente frações decimais no sentido de ter um denominador que seja potência de 0, pois, como não existe um último algarismo no desenvolvimento decimal, não existirá uma potência adequada de 0. Assim, essas frações terão representação decimal ilimitada ou infinita. Esta primeira atividade pretende instrumentar os alunos para reconhecerem, com razoável grau de certeza, quando uma fração qualquer gerará uma dízima periódica no caso de ser efetuada a divisão entre numerador e denominador. Para responder a tal questão, basta observar o seguinte fato: Se esperamos que uma fração qualquer a seja equivalente b a uma fração decimal, ou seja, a um número decimal finito, então devemos ter a b equivalente a uma fração com denominador igual a c uma potência de 0, ou seja, do tipo 0 para n algum valor de n. Logo, partindo de uma fração a b já reduzida à sua forma mais simples, para termos a b = c devemos multiplicar o n 0 numerador e o denominador de a pelos mesmos fatores de modo a atingir uma potência b de 0 no denominador. Isso significa que não podem existir em b fatores que não existam na potência de 0, ou seja, b não pode ter fatores que não sejam ou. No caso de qualquer fator primo diferente de ou, é certo que o resultado da divisão será uma dízima periódica. Atividade Descrição Com a realização da atividade, espera-se que os alunos consigam prever se a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gerará ou não uma dízima periódica. Para refletir sobre as possíveis combinações entre numerador e denominador, propomos que o professor solicite aos alunos a construção de uma tabela de dupla entrada, e que nela sejam registrados os números de a 9 em duas colunas, como neste exemplo: denominador numerador E 7 M 8 9 0

21 Matemática 7 a série, o bimestre Cada casa da tabela corresponde a uma fração cujos numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a casa assinalada na tabela com a letra E corresponde à fração, enquanto a casa assinalada com a letra M corresponde à fração. Caberá ao aluno 7 dividir numerador por denominador, em cada caso, e assinalar com um X as casas correspondentes às frações geratrizes de dízimas periódicas. Isso feito, a tabela ficará desta maneira: denominador numerador X X X X X X X X X X X X 7 X X X X X X X X 8 9 X X X X X X X X Questões Observando as linhas da tabela, os alunos poderão, inicialmente, refletir sobre a seguinte questão:. Quando uma fração irredutível não gera uma dízima ao ser dividido numerador por denominador? É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em que o denominador é formado apenas pelos fatores primos e, geram decimais exatos quando o numerador é dividido pelo denominador. Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida a partir da tabela, é conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores do que 9, como, por exemplo, 7 ou 0. Na sequência, os alunos devem ser motivados a refletir sobre os casos de frações irredutíveis em que a divisão entre numerador e denominador geram dízimas periódicas. Para tanto, podem ser questionados:. Quando uma fração com denominador igual a não gera uma dízima? Quando for possível simplificar os termos da fração, eliminando o fator do denominador, como, por exemplo, em 9 = =,.. É verdade que todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a geram dízimas periódicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores geram dízimas periódicas, quando o numerador não é múltiplo de.. Escreva a sequência dos números primos menores do que 0. Estes números compõem o seguinte conjunto: {9,, 9, 7,,, 7,,, }.. Quais dos números primos encontrados no item anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?

22 Analisando os valores deste conjunto com os dados da tabela, observa-se que, excetuando-se os fatores e, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Desta forma, podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente destes dois, a fração irredutível gerará uma dízima.. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas anteriormente, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador gerará uma dízima periódica. Nesse caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo denominador seja um número primo e, com certeza, o denominador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis soluções seriam:, 9,, 9, 7, Quando a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica? Quando o denominador tem fatores primos que são diferentes de e. O encerramento dessa parte da atividade pode envolver a socialização de todas as respostas e a escrita de uma conclusão geral da classe, sob a coordenação do professor. Feito isso, o próximo passo pode ser discutir pelo menos um processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica dada. dízimas periódicas e cíclicas Preparando a próxima etapa, pode ser comentado com os alunos que, quando uma fração corresponde a uma dízima, é interessante notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do período. De fato, quando dividimos por 7, por exemplo, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, sabemos que as divisões parciais não serão exatas e os restos possíveis serão menores do que 7, ou seja, serão,,,, ou. O resto 0 (zero) é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, se efetuarmos a divisão com sete casas decimais, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, neste caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, casas decimais, o que efetivamente ocorre: r e s t o s ,87... quocientes Quocientes 8 7 Restos Na divisão de por 7, é necessário colocar um zero para produzir as casas decimais. Este zero não faz parte da dízima periódica, pois não representa a quantidade de unidades na divisão. Na tabela construída ao lado da divisão colocamos, na ordem, os quocientes decimais e os restos que aparecem na divisão. No caso da divisão de por, podemos garantir que a repetição de um resto parcial ocorrerá no máximo até a a casa decimal. De fato, para a fração, a dízima é a seguinte:

23 Matemática 7 a série, o bimestre, ou seja, ela apresenta um período enorme, formado por um pacote de casas decimais. Portanto, ao efetuarmos a divisão da fração irredutível m, os únicos restos possíveis serão n {,,,,,..., n }. Assim, o processo de divisão que gera uma dízima periódica recomeça no enésimo passo ou antes dele. O desenvolvimento decimal de m será periódico e seu período terá, no máximo, n algarismos. n No caso do exemplo acima, a fração tem por período seu comprimento máximo: n = = algarismos. Outro aspecto interessante de se investigar com os alunos é o caráter cíclico dos períodos das razões m para diferentes valores de m, n mas mesmos valores de n. Por exemplo, tomemos a fração 7 = 0,8787 Com esses dados, podemos montar uma tabela que corresponda, na ordem, aos quocientes e aos restos encontrados no processo de divisão: r e s t o s ,87... quocientes Quocientes 8 7 Restos Vamos observar que nesse caso, como o denominador é 7 e o comprimento do período é máximo, os restos serão todos os números menores que 7, que colocados em ordem formam o seguinte conjunto: {,,,,, }. Agora, quando calculamos a expressão decimal, encontramos o seguinte: 7 7 = 0, Quocientes Restos r 0 0,87 quocientes e 0 8 s 0 t 7 o 0 s 0 Comparando-se os períodos gerados pelas duas frações, observamos que elas possuem os mesmos algarismos ordenados de formas diferentes, respeitando contudo uma ordem cíclica. Observando que a divisão de 7 começa com resto, que também aparece como resto na divisão de, os restos, a partir deste ponto, também vão coincidir em ambas 7 as divisões uma vez que o desenvolvimento de 7 tem período de comprimento máximo : 7 Quocientes i n 8 í c 7 i o do ciclo Restos resto inicial 7 = 0,87...

24 Seguindo este processo, podemos deduzir que em, como o primeiro resto é, seu desenvolvimento será: 7 = 7 0,78... r e s t o s 7 Quocientes 8 i 7 n í c i o do ciclo Restos 7 o resto = 0, Tomemos agora para estudo a fração = 0, , quocientes 0 Quociente Restos 0 9 Aplicando-se o método discutido anteriormente, somos capazes de encontrar o desenvolvimento de: 0 = 0, = 0, = 0, = 0,07... e = 0, Contudo, observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta o resto igual a, ela não permite se prever o desenvolvimento de a partir de. Portanto, temos a necessidade de efetuar a divisão de. r e s t o s Quocientes 0,8... quocientes Restos 7 8 Nessa divisão, além do resto, aparecem outros restos que não estavam presentes na primeira tabela: {,,, 7, 8, }. Agora, de posse desse novo desenvolvimento, podemos escrever as frações 7, e 8 observando o caráter cíclico dos quocientes: 7 = 0,8... = 0,8... ou 8 = 0,8... A primeira e a segunda tabelas juntas formam, agora, todos os restos que podem ser numeradores ou frações irredutíveis de denominador : {,,,,,, 7, 8, 9, 0,, }. Diferente da fração, em que todos os possíveis restos apareceram na primeira 7 tabela, na fração houve a necessidade de construir duas tabelas. O professor pode, nesta discussão, fazer o uso de calculadoras ou planilhas eletrônicas, explorando outras frações como. Nesse caso, também serão necessárias duas tabelas que darão como restos os valores do conjunto {,,,, 8, 0,,,, 7, 9, 0}.

25 Matemática 7 a série, o bimestre O interessante será perceber que a quantidade de restos, igual a, não é máxima como com os denominadores 7 e. Os números {,, 7, 9,,,, 8} não estarão na tabela dos restos, pois podem ser simplificados com o denominador, isto é, não representam frações irredutíveis. Como o professor pode observar, o trabalho com dízimas, para além da abordagem comum, pode ser feito sob uma forma investigativa que envolve conceitos simples de divisão e decomposição em fatores primos. Encontrando a geratriz de uma dízima periódica Todo número racional escrito na forma decimal finita se transforma facilmente em uma fração:, = 00 =. Mas como fazemos quando o número racional for escrito na forma decimal periódica infinita? Combinado à análise das frações que geram dízimas, um trabalho complementar que permite o aprofundamento deste tema é o de operação recíproca, isto é, partindo de um número decimal escrito na forma de dízima perió dica encontrar sua fração geratriz. Existem vários métodos para obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica, mas, para o nível de conhecimento dos alunos de 7 a série, propomos o seguinte: Obtenção da geratriz de uma dízima a) simples Em uma dízima periódica simples, o período se apresenta imediatamente após a vírgula, como, por exemplo, 0,... ou,... ou, ainda,,... Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-la como uma incógnita, como y, por exemplo. y = 0,... Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 0 cujo expoente é igual à quantidade de numerais do período da dízima. y = 0,... 0y = (0,...). 0 0y =,... Subtraindo uma expressão da outra, isto é, fazendo (0y y) =,... 0,... obtemos: 9y = y = 9 Assim, a geratriz da dízima 0,... é a fração 9. Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz da dízima,... y =,... (Multiplicaremos os dois termos por 0² = 00) 00y =,... (Subtrairemos uma expressão da outra) 99y = y = 99 Assim, a geratriz da dízima,... é a fração 99.

26 b) composta Em uma dízima periódica composta, entre o período e a vírgula há um ou mais numerais que não fazem parte do período, como, por exemplo, 0,... ou,0... De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, nomearemos a dízima de y. y = 0,... Visto que o período é formado apenas por um algarismo, multiplicaremos toda a expressão por 0¹. y = 0, 0y =,... Subtraindo uma expressão da outra, teremos: 9y =, y =, 9 = 90 Dessa forma, a geratriz da dízima 0,... é a fração 90. Vamos, agora, acompanhar o processo para a determinação da geratriz de 0,... Observe que é importante destacar que o produto por potências de 0 deve ser desenvolvido até que encontremos a parte decimal periódica igual. Nesse caso, isso foi feito para os produtos obtidos por 00 e Nesse momento do trabalho, a atividade exemplar refere-se à capacidade do aluno de aplicar os processos desenvolvidos até aqui para encontrar a geratriz da dízima. Caso o professor considere adequado, sugerimos o uso da calculadora para a verificação do resultado. No Ensino Médio, esse assunto será retomado quando o objeto de estudo for a soma de termos infinitos de uma progressão geométrica. Neste momento, por exemplo, a dízima,... será interpretada como a soma infinita das parcelas: + 0, + 0,0 + 0, Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas: a), b) 0, x 00x 9 900x x = 0,... 0x =,... 00x =, x =, x =,...,..., x 00x =,..., x = x = x = 9 00