caderno do PROFESSOR matemática ensino médio 1 a - SÉRIE volume

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1 caderno do PROFESSOR ensino médio 1 a - SÉRIE volume matemática

2 Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião S239c São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1 a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. São Paulo : SEE, ISBN Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título. CDU: 373.5:51

3 Prezado(a) professor(a), Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo o ensino de qualidade, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você. Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

4 Sumário São Paulo faz escola Uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 11 Situação de Aprendizagem 1 Conjuntos numéricos Regularidades numéricas e/ ou geométricas 11 Situação de Aprendizagem 2 Progressões aritméticas ou progressões geométricas 22 Situação de Aprendizagem 3 Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita aplicações à Matemática Financeira 36 Situação de Aprendizagem 4 Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 51 Orientações para Recuperação 58 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59 Considerações finais 60 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 61

5 São PAulo FAz ESColA uma ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5 a a 8 a séries do Ensino Fundamental Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o tempo de discussão, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse tempo foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados. 5

6 Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola 6

7 Ficha do caderno Sequências numéricas nome da disciplina: Matemática Área: Matemática etapa da educação básica: Ensino Médio Série: 1 a Período letivo: 1 o bimestre de 2009 Temas e conteúdos: Conjuntos numéricos: regularidades numéricas e/ou geométricas Progressões aritméticas e progressões geométricas Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita: aplicações à Matemática Financeira Limite da soma dos termos de uma PG infinita 7

8 orientação geral Sobre os cadernos Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos e as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um deles. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados, também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. 8

9 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre Conteúdos básicos do bimestre A abordagem dos conceitos deste 1 o bimestre da 1 a série, relativos ao bloco Números e Sequências, priorizará aspectos considerados fundamentais para a compreensão de alguns dos diferentes significados dos conceitos envolvidos. O primeiro aspecto do qual pretendemos ressaltar a importância para este estudo refere-se ao reconhecimento da regularidade envolvida na construção de sequências numéricas ou de sequências geométricas. Para tanto, propomos que o início do trabalho se dê com a retomada das características dos conjuntos numéricos, a fim de que os alunos percebam, por um lado, a regularidade do conjunto dos números naturais e dos números inteiros e, por outro, a questão da densidade dos números reais. Partindo do conhecimento desses conjuntos, esperamos que os alunos possam relacionar a regularidade dos números naturais à de outras sequências numéricas e também geométricas, identificando essa regularidade, sempre que possível, por intermédio de uma equação matemática. Para tanto, apresentamos, na Situação de Aprendizagem 1 Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e/ou geométricas, uma série de situações-problema exemplares, para que o professor possa optar pela utilização total ou parcial no início de seu trabalho. Partindo do princípio de que os alunos devem reconhecer a regularidade de sequências numéricas de qualquer natureza e escrever equações matemáticas que reflitam a regularidade observada, julgamos importante que não sejam tratadas de maneiras completamente distintas as sequências aritméticas e as sequências geométricas, como se costuma observar nos livros didáticos. Essa proposta de abordagem simultânea dos dois tipos mais comuns de sequências, as PAs e as PGs está contemplada na Situação de Aprendizagem 2 Progressões aritméticas ou progressões geométricas e permite, ao nosso ver, que o foco do tratamento conceitual se desloque do formalismo algébrico para a construção do significado real e importante das características da regularidade de cada sequência. Progressões aritméticas ou geométricas estão presentes em várias situações contextualizadas, conforme alguns modelos apresentados na Situação de Aprendizagem 2, e não costumam trazer dificuldades adicionais de compreensão para os alunos. Dentre as inúmeras aplicações desse conteúdo, destacamos especialmente uma, na Situação de Aprendizagem 3 Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à Matemática Financeira, quando propomos que problemas clássicos de cálculos de juros e de montantes envolvidos em processos de capitalização ou amortização componham o contexto possível para o tratamento da soma de um número finito de termos de uma PA ou de uma PG. Para o desenvolvimento das atividades que compõem essa Situação de Aprendizagem, conforme justificaremos adiante, julgamos fundamental que os alunos possam dispor de calculadoras. 9

10 O conceito de infinito, de suma importância em Matemática, costuma ser bastante motivador para o estudo de alguns conceitos, desde as séries iniciais, quando os alunos tomam contato com a ideia do mais 1, que conduz à construção do campo numérico dos naturais. A ideia da quantidade infinita de números existente entre dois números reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que parece inicialmente estranho para nossos alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se como um conceito fundamental da Matemática, dependendo das diferentes abordagens que destinamos ao conceito durante toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto é, com o objetivo de que os estudantes construam, gradual e lentamente, o conceito de limite de uma função, não devemos perder oportunidades que surjam durante nossas aulas para, de maneira apropriada ao momento, abordar a ideia de limite. É nesse contexto que propomos a realização da sequência de atividades que compõem a Situação de Aprendizagem 4 limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita, durante a qual o foco estará sempre colocado sobre o conceito de limite, em detrimento de dificuldades de natureza algébrica. A organização do trabalho do bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser feita nas oito unidades seguintes, referentes, aproximadamente, a oito semanas. Quadro geral de conteúdos do 1 o bimestre da 1 a série do Ensino Médio unidade 1 Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade. unidade 2 Progressões aritméticas e progressões geométricas termo geral e aplicações. unidade 3 Progressões aritméticas e progressões geométricas termo geral e aplicações. unidade 4 Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita. unidade 5 Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita aplicações à Matemática Financeira. unidade 6 Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita aplicações à Matemática Financeira. unidade 7 Limite da soma dos termos de uma PG infinita. unidade 8 Limite da soma dos termos de uma PG infinita. 10

11 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre SituAçõES de APrEndizAGEM SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS E/Ou GEOMÉtRICAS tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequências numéricas. Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas. Estratégias: resolução de exercícios exemplares. roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Na 1 a série do Ensino Médio, é bem provável que os alunos conheçam os conjuntos numéricos, Naturais, Inteiros, Racionais e Reais, e é provável, também, que tragam construída a ideia preliminar da relação entre dois subconjuntos desses conjuntos, conhecimento este que é a base do conceito de função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao professor relembrar aos alunos algumas características desses conjuntos, com o objetivo de construir a base para a apresentação, posterior, das leis de formação das sequências numéricas. Caso a premissa não seja verdadeira, isto é, se os alunos não conhecem com qualidade os conjuntos numéricos, convém que o professor apresente a eles, formalmente, cada conjunto (N, z, Q e R), antes de iniciar a aplicação da Etapa 1. Conhecidos os conjuntos numéricos, os alunos poderão reconhecer que, na maioria das vezes, uma sequência ordenada de números pode ser identificada por intermédio de uma sentença matemática que relaciona um número natural a um número real. Essa ideia é fundamental para o estudo das relações de dependência entre um par de grandezas, ou, em outros termos, para o estudo das funções. Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos, inicialmente, na Etapa 1, a construção dos conjuntos numéricos e algumas de suas propriedades. Em seguida, apresentaremos algumas sequências, em que será possível a identificação de determinados padrões de regularidades, e pediremos que os alunos descrevam, em língua materna, a regularidade que identificam. Isso feito, o próximo passo será pedir que os alunos encontrem termos sucessivos dessas sequências, caso elas mantenham a regularidade observada. Completando a primeira 11

12 etapa, os alunos serão convidados a exprimir a regularidade observada, por intermédio de uma sentença matemática. Realizada a etapa inicial, proporemos, na Etapa 2, que os alunos obtenham sequências numéricas a partir de condições dadas em língua materna ou em linguagem matemática e, ainda, que obtenham termos determinados de algumas dessas sequências. Etapa 1 observando padrões e regularidades Inicialmente, recomendamos que o professor liste o conjunto dos números naturais e dos números inteiros para, em seguida, pedir que identifiquem alguns subconjuntos descritos por informações comunicadas em língua materna, como, por exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... } z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Quais são os elementos do conjunto numérico assim formado: a) números naturais menores do que 7. b) números naturais maiores ou iguais a 8. c) números inteiros menores do que 7 e maiores do que 2. d) números inteiros cujo valor absoluto é menor do que 4. Em seguida, após a exposição desses e de outros exemplos que o professor julgar apropriados, poderá ser pedido que os alunos transcrevam as informações comunicadas em língua materna para a linguagem matemática. No caso dos exemplos anteriores, teríamos: a) {x N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) {x N / x 8} = {8, 9, 10, 11, 12,...}. c) {x z / 2 < x < 7} = { 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. d) {x z / x < 4} = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Discutidos alguns casos, como exemplificado, recomendamos que os alunos se envolvam na resolução dos seguintes problemas: Problema 1 Dados os conjuntos seguintes, descritos em linguagem cotidiana, encontre, em cada caso, seus elementos e traduza a descrição dada para a linguagem matemática. a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11. {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 6. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a 3 e menores do que 5. { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}. 12

13 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a 2. { 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Problema 2 Quais são os cinco menores números que pertencem a cada um dos seguintes conjuntos? a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 4. E = {0, 4, 8, 12, 16}. b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 7. F = {9, 11, 13, 15, 17}. c) G é o conjunto dos números inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10. G = { 3, 2, 1, 0, 1}. d) H é o conjunto dos números naturais que, quando dobrados e somados a 1, resultam em um número maior do que 7. H = {4, 5, 6, 7, 8}. Após a resolução desses e de outros problemas de mesma natureza, convém questionar os alunos sobre como descrever, em linguagem matemática, os conjuntos E, F, G e H do Problema 2. O desafio pode ser lançado aos alunos a fim de que seja verificada a compreensão que podem ou não ter conseguido da atividade. Embora possam ser aceitas diferentes respostas, caberá ao professor avaliar aquelas que apresentam maior grau de correção, valorizandoas. De qualquer maneira, apresentamos, a seguir, possíveis respostas corretas. E = {4n, sendo n N, e n < 5}. F = {2n + 1, sendo n N, e 4 n 8}. G = {x Z / 4 < x < 2}. H = {2n + 1 > 7, sendo n N, e n < 9}. A resolução e a discussão desses problemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algumas sequências. A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportunidade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma receita ou uma sentença que indique como a sequência deve continuar, o professor pode apresentar tipos diferentes de sequências para que os alunos observem as propriedades de seus elementos e descubram a lei de formação, ou seja, o padrão utilizado para a construção da sequência. Oriente-os a construir uma sentença algébrica que permita calcular um termo qualquer, em função de sua posição na sequência (sequências, sob o ponto de vista funcional). 13

14 Assim, uma possível abordagem desse tema pode iniciar-se com a proposição de questões que envolvam sequências repetitivas ou não, solicitando do estudante que observe o padrão de cada uma, escreva os próximos termos e determine, por exemplo, o centésimo termo da sequência. f 1, 1, 1, 1, 1,...,...,... Para tanto, o aluno deverá perceber que a sétima figura é igual à primeira, a oitava figura é igual à segunda e assim por diante. Ou seja, cada período é formado por seis figuras; portanto, a 152 a figura será igual à segunda, pois tanto o número 2 (que indica a posição da segunda figura) quanto o número 152 (que indica a posição da 152 a figura), quando divididos por 6, deixam resto 2. f 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1,... f 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4,... É importante que o professor auxilie os alunos na observação de que, nessas sequências, os motivos (períodos) são repetidos igualmente um elemento ou um grupo de elementos se repete periodicamente, levando-os a perceber que essa característica deve ser levada em conta, na organização dos dados, para a identificação do termo solicitado. As sequências figurais também podem enriquecer o trabalho com a observação de regularidades e generalização de padrões. No caso da sequência abaixo, o professor pode, por exemplo, solicitar que o aluno indique a figura que deve ocupar a 152 a posição. Assim, o professor poderá auxiliar os alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à primeira figura, pois os números 1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as Figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc., quando divididos por 6, deixam resto 3 e assim sucessivamente. A exploração de sequências repetitivas, numéricas ou não, favorece a discussão sobre algumas noções trabalhadas nas séries anteriores, como múltiplos, divisores e regras de divisibilidade, e permite uma aproximação da noção de congruência, uma vez que trabalha com números que, divididos por um determinado número inteiro, apresentam o mesmo resto. Realizada a discussão do exemplo proposto e de outros que o professor julgar apropriados, propomos que os alunos resolvam os seguintes problemas: Problema 3 Observe a sequência de figuras:

15 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre Supondo que a lei de formação continue a mesma, desenhe as figuras que deverão ocupar as posições 38 a e 149 a, nessa sequência. Justifique sua resposta. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1. Problema 4 Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça a lei de formação dessa sequência, determine o 38 o e o 149 o termos dessa sequência. O período é de cinco números. Assim, o 38 o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149 o termo é igual a 3, pois a divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da sequência é o número 3. Problema 5 Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da semana cairá o 90 o dia? O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6; portanto o 90 o dia será o sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90 o dia será terça-feira. Problema 6 Um processo de reflorestamento previa a plantação de um número x de mudas de árvores. No primeiro dia, foram plantadas 120 árvores, e planejou-se que, nos próximos dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores a mais do que teria sido plantado no dia anterior. Isso sendo feito, a) quantas árvores serão plantadas no sétimo dia? = 180 árvores. b) qual é o número x, se, no final do décimo dia, havia-se plantado a metade do total previsto inicialmente? No décimo dia = = 210 S = S = ( ). 5 = 1650 (Metade do total) Total de árvores = x = 3300 Problema 7 Observe os seis primeiros termos de uma sequência. A B C D A B C D A B C D (I) (III) (V) A B C D A B C D A B C D (II) (IV) (VI)

16 Supondo que a regularidade observada na formação desses termos seja mantida para a formação dos demais, isto é, que o termo (I) seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja igual ao termo (VIII) e assim por diante, a) quais quadrículas estarão pintadas no termo (XXX)? O período da sequência é de seis termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3, D3 e D4. b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido pintada, desde o termo (I) até o termo (XIX)? A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será pintada = 10 vezes. Professor, uma prática que costuma motivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é solicitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no estímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobiliza suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas. Etapa 2 Sequências definidas por sentenças matemáticas Nesta etapa, os alunos serão convidados a obter sequências numéricas a partir de condições definidas, inicialmente, na língua materna e, posteriormente, na linguagem matemática. Além disso, desenhando um percurso inverso ao anterior, uma série de problemas será proposta para que os alunos obtenham a expressão do termo geral de determinada sequência numérica. Propomos que o exemplo seguinte seja apresentado e discutido com os alunos antes que eles se envolvam com a resolução dos problemas propriamente dita. Em uma sequência numérica, o primeiro termo é uma fração de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao numerador e ao denominador da fração do termo imediatamente anterior. a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência? 1 4, 2 5, 3 6, 4 7, b) Chamando o primeiro termo de a 1, o segundo termo de a 2, o terceiro de a 3 e assim por diante, quanto é a 9? c) Quanto é a 54?

17 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre d) Como se pode determinar um termo a n qualquer? Um termo qualquer a n é uma fração em que o numerador é igual a n e o denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, a n = n n+3. Chamamos a atenção do professor para o fato de que o conjunto de problemas desta etapa envolve sequências numéricas de várias naturezas, e não apenas as aritméticas e as geométricas, e também para a necessidade de os alunos escreverem em língua materna a regularidade expressa na linguagem matemática. Problema 1 Em uma sequência numérica, o primeiro termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos a partir do acréscimo de 3 unidades ao termo imediatamente anterior. Nessa sequência: a) quais são os cinco primeiros termos? (2, 5, 8, 11, 14). b) qual é o a 10? (29). c) qual é o a 20? (59). d) como se pode determinar um termo a n qualquer? Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos sempre iguais a 3. Para obter um termo n qualquer, devemos somar o primeiro termo, 2, com n 1 termos iguais a 3. Assim, a n = (n 1) = 3. n 1. Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3. n. Para que a 1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3. n. Assim, a n = 3. n 1. Problema 2 Para obter os termos de uma sequência numérica, é necessário fazer o seguinte: 1. Elevar a posição do termo ao quadrado, isto é, calcular 1 2 para o primeiro termo, 2 2 para o segundo termo, 3 2 para o terceiro termo e assim por diante. 2. Adicionar duas unidades ao resultado obtido após elevar ao quadrado a posição do termo. Para essa sequência numérica: a) quais são os cinco primeiros termos? (3, 6, 11, 18, 27). b) qual é o oitavo termo? a 8 = = 66. c) qual é o a 20? a 20 = = 402. d) como se pode determinar um termo a n qualquer? a n = n

18 Problema 3 Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequência numérica: 3, 2, 5 3, 3 2, 7 5. Verifique que é possível determinar os termos dessa sequência a partir da expressão a n = n + 2, atribuindo a n valores naturais n maiores do que zero. Para n = 1 a 1 = 1+2 = 3; 1 Para n = 2 a 2 = 2+2 = 2; 2 Para n = 3 a 3 = = 5 3. Problema 4 A expressão a n = n 1 é a expressão do n + 1 termo geral de uma sequência numérica, isto é, os termos da sequência podem ser obtidos, se forem atribuídos a n valores naturais maiores do que zero. Para essa sequência, encontre: a) a 1 a 1 = = 0. b) a 5 a 5 = = 4 6 = 2 3. c) o oitavo termo a 8 = = 7 9. d) a posição do termo que é igual a O termo pode ser escrito como Portanto, ele é o décimo termo. Problema 5 uma determinada sequência numérica tem a 1 = 9, a 2 = 3, a 3 = 1 e a 4 = 1. Nessa sequência, 3 qual é: a) o quinto termo? Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a 1 3 3= 1 9. b) o a 6? a 6 = a 5 3 = 1 9 3= c) a posição do termo que é igual a 1 81? Como 27 é igual a 81 3, e 1 27 é o sexto termo, 1 81 Problema 6 é o sétimo termo. Qual das duas expressões listadas a seguir é a expressão do termo geral da sequência do exercício anterior? (Lembre-se que n é o número que dá a posição do termo na sequência, 18

19 Matemática 1ª- série, 1 o bimestre isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5, temos o quinto termo e assim por diante.) a n = 9 3 n a n = 33 n O termo geral da sequência é a n = 3 3 n, que poderá ser verificado a partir da substituição de n por números naturais maiores do que zero. Problema 7 A sequência dos números pares positivos é esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10,... Nessa sequência: a) qual é o décimo termo? O décimo termo é 18. b) qual é o 15 o termo? O 15 o termo é 28. c) qual é o a 35? a 35 = 68. d) qual é o a 101? a 101 = 200. e) qual é a posição do termo que é igual a 420? 420 é o 211 o termo. f) como se pode determinar um termo a n qualquer? Fazendo (n 1). 2, sendo n um número natural maior do que zero. Problema 8 Escreva os cinco primeiros termos da sequência dos números ímpares positivos. 1, 3, 5, 7, 9... Nessa sequência: a) qual é o décimo termo? a 10 = 19. b) qual é o a 13? a 13 = 25. c) qual é o a 25? a 25 = 49. d) como se pode determinar um termo a n qualquer? Fazendo 2. n 1, em que n é um número natural maior do que zero. Problema 9 Observe a sequência numérica 1, 4, 9, 16, 25,... Nessa sequência, qual é: a) o sexto termo? O sexto termo é 6 2 = 36. b) o a 7? a 7 = 7 2 = 49. c) a expressão de seu termo geral? a n = n 2. 19

20 Problema 10 uma sequência numérica é dada pelo seguinte termo geral: a n = n +1 Para essa sequência, determine: a) os cinco primeiros termos. 2, 3, 2, 5, 6. b) os cinco primeiros termos que sejam números inteiros. Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito. a 3 = 2 a 8 = 3 a 15 = 4 a 24 = 5 a 35 = 6 Problema 11 Observe a sequência de figuras. b) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de quadrinhos brancos, em função da posição n da figura na sequência. (Sugestão: você pode organizar os dados em uma tabela como a que segue.) Posição da figura na sequência c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39 a figura dessa sequência? 39² 39 = = Problema 12 número de quadrinhos pretos número de quadrinhos brancos ² ² ² 4 n n n² n = n. (n 1) A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que representam os chamados números quadrangulares. Analiseos e responda às questões propostas a) Quantos quadrinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o décimo termo? Responda: a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência? 30 quadrinhos brancos, pois = ; 100. b) Escreva a expressão do termo geral dessa sequência. n². 20

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