UM MODELO DE LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE

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1 XXVI COBENGE 2337 UM MODELO DE LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE Basilio, João Carlos, E.E., M.Sc. Ph.D. Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola de Engenharia - Depto. de Eletrotécnica Cidade Universitária - Ilha do Fundão Rio de Janeiro - R.J. basilio@vishnu.coep.ufrj.br RESUMO - Num curso introdutório de sistemas de controle são apresentados conceitos novos como funções de transferências, especificação da resposta transitória resposta em freqüência, estabilidade e realimentação. Como esses conceitos são apresentados na forma de blocos independentes, o aluno, ao final do curso, em geral não possui um conhecimento global da área de controle, nem sequer dos passos necessários para se chegar a um controlador. É sabido que o projeto de um sistema de controle compreende as seguintes etapas: modelagem/identifi-cação do sistema a ser controlado, projeto de um controlador que satisfaça as especificações de desempenho e estabilidade relativa, simulação utilizando computadores digitais e implementação do controlador no sistema real. O modelo de laboratório aqui proposto abrange todas essas etapas e, além de dar uma visão global da disciplina, tem a vantagem de propiciar que os alunos visualizem, na prática, conceitos que muitas vezes lhes parecem

2 2338 abstratos, tais como: diferentes funções de transferências para um mesmo sistema físico, sensibilidade a variações de parâmetros, ruídos e perturbações externas. 1 INTRODUÇÃO Num curso introdutório de Sistemas de Controle são apresentados conceitos novos tais como funções de transferências, especificações de desempenho, sensibilidade em relação à variação de parâmetros do sistema, ruídos e perturbações externas, estabilidade e realimentação. Um laboratório de Sistemas de Controle ministrado simultaneamente à disciplina teórica serviria para ilustrar os conceitos apresentados na disciplina teórica, porém seu escopo, em termos de um projeto global de um sistema de controle ficaria seriamente comprometido. v a (t) o Motor CC Gerador CC Tacômetro o v t (t) o o i g (t) o o Figura 1: Representação esquemática do grupo motor-gerador Um projeto de um sistema de controle compreende, de uma maneira geral, as seguintes etapas: modelagem/identificação do sistema a ser controlado, projeto de controladores que satisfaçam as especificações de desempenho e estabilidade relativa exigidas, simulação utilizando computadores digitais e implementação do controlador no sistema real. No modelo de laboratório de sistemas de controle aqui proposto, todas essas etapas são consideradas. A planta adotada é um grupo motorgerador, representado esquematicamente na figura 1, onde v a (t) representa a tensão nos terminais da armadura do motor, v t (t) a tensão nos terminais do tacômetro (proporcional à velocidade angular do motor/gerador) e i g (t) denota a corrente fornecida pelo gerador quando uma carga é conectada aos seus terminais.

3 XXVI COBENGE 2339 Assim como na prática, também aqui o aluno fará uso recursos computacionais tais como o MATLAB e o SIMULINK. O SIMULINK será usado na validação da identificação do sistema e para a análise do desempenho do sistema após a introdução do controlador, enquanto o MATLAB é utilizado como ferramenta auxilar de projeto. Essas duas ferramentas são fundamentais para um bom rendimento dos alunos no laboratório. Assim sendo, quando os alunos não são familiares com essas linguagens, devem ser reservadas algumas seções para o seu ensino. Este artigo está estruturado da seguinte forma: na seção 2 será feita a formulação do problema de controle e, em seguida, será apresentado um modelo matemático que descreve o grupo motor-gerador; na seção 3 serão descritas as etapas para a identificação do sistema; a seção 4 trata do projeto de um controlador que satisfaça as exigências impostas na seção 2 e finalmente, na seção 5, será considerada a implementação do controlador no sistema real. 2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTROLE E MODE- LAGEM DO SISTEMA Ao se formular um problema de controle, o primeiro passo é a definição da grandeza a ser controlada. Em nosso caso, a grandeza escolhida será a velocidade angular do gerador. A motivação para essa escolha reside no fato de que, na geração de tensões alternadas senoidais, a freqüência angular deve ser mantida dentro de um intervalo bastante rígido. Como a freqüência angular é proporcional à velocidade angular do motor, o controle da velocidade angular do gerador surge como um objetivo claro de projeto. De uma forma mais detalhada, o problema a ser perseguido aqui pode ser enunciado da seguinte forma: projete um controlador de tal sorte que o sistema realimentado (i) seja estável; (ii) tenha erro de regime permanente nulo para uma determinada velocidade de referência; (iii) rejeite assintoticamente (para valores infinitamente grandes do tempo) perturbações que, no sistema em estudo, são decorrentes da introdução de cargas nos terminais do gerador isto se deve ao fato de que tais cargas, ao demandarem corrente do gerador, aumentam o torque resistivo no eixo do motor, fazendo com que a

4 2340 velocidade de rotação do grupo motor-gerador tenda a diminuir; (iv) tenha um desempenho transitório pelo menos equivalente ao sistema sem compensação e (v) seja imune a variações nos parâmetros do grupo motor-gerado ou a erros de identificação dos parâmetros da sua função de transferência. Uma vez definidos os objetivos de controle, o passo seguinte é a modelagem do sistema. A partir do esquema da figura 2, observa-se que, para tanto, basta fazer a modelagem de um motor CC controlado pela armadura. A influência do gerador no modelo do motor será levada em conta conta pelo aparecimento de um torque de perturbação resultante da introdução de cargas de natureza elétrica nos terminais do gerador e pelo maior momento de inércia R a L a R g L g v a (t) Uma vez definidos os objetivos de controle, v t (t) o passoi g (t) seguinte é a Tacômetro Motor Gerador Figura 2: Circuito equivalente para o sistema motor-gerador-tacômetro O modelo matemático do motor CC será desenvolvido a partir do circuito equivalente da figura 3, onde i a (t) e v a (t) denotam, respectivamente, a corrente e a tensão de armadura, ω(t) é a velocidade angular do motor e J e f são o momento de inércia da carga e o coeficiente de atrito nos mancais, respectivamente. Pode-se demonstrar [1] que: R

5 XXVI COBENGE 2341 Ka Kd Ws () = Va () s Td () s (1) τs + 1 τs + 1 onde t d (t) representa o torque de perturbação, K a e K d são constantes que levam em conta os conjugados elétrico e mecânico do motor, a resistência de armadura e a fricção nos mancais e 1/τ representa a constante de tempo do sistema, que é função do momento de inércia da carga e também das mesmas grandezas que influenciam as constantes K a e K d. Note ainda que, como td ( t) = Kig (t), e inserindo-se o tacômetro no sistema, tem-se que a função de transferência que relaciona v t (t), v a (t) e i g (t) é dada por: K K K K a t g t Vt () s = Va () s Ig () s (2) τs + 1 τs + 1 que pode ser representada pelo diagrama de blocos da figura 4. i a (t) R a L a v a (t) R f V f L f I f (constante) f ω(t) J Figura 3: Circuito equivalente de um motor CC controlado pela armadura

6 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS K a, K t, K g E τ Uma vez que se dispõe do modelo matemático da planta, o próximo passo é a identificação dos ganhos K a, K t e K g e da constante de tempo τ. I g (s) K g _ V a (s) 1 W a (s) K a τ s + 1 K t V t (s) Figura 4: Diagrama de blocos para o grupo motor-gerador 3.1 IDENTIFICAÇÃO DE K a E K t Inicialmente, assuma i g (t) = 0 (A), isto é, não há carga alguma conectada nos terminais do gerador e suponha que seja aplicado um sinal de tensão constante V a (V) nos terminais do motor. Portanto, V a (s)=v a /s e a equação (2) se torna: KaKt Va Vt ()= s. (3) τ s + 1 s Não é difícil verificar que, em estado permanente, v t (t) = V t = K a K t V a, o que mostra que quando uma tensão de valor constante é aplicada a um motor CC, a tensão em regime permanente nos terminais do tacômetro acoplado ao eixo desse motor será proporcional ao valor da tensão aplicada. Note, ainda, que v t (t) = K t ω(t) e, portanto, em estado permanente, para a mesma entrada V a, ω(t) = W = K a V a e V t = K t W. Isto sugere o seguinte procedimento para a identificação dos ganhos K a e K t : Algoritmo 1:

7 XXVI COBENGE Excita-se o motor com tensões constantes e iguais a V a1,v a2,...,v an, medindo-se os valores correspondentes de tensão nos terminais do tacômetro, V t1,v t2,...,v tn, e as respectivas rotações angulares no eixo do motor, W 1,W 2,...,W n. 2. Forme os seguintes grupos de pares cartesianos: (i) (V a1,v t1 ), (V a2,v t2 ),,...,(V an,v tn ); (ii) (V a1,w 1 ), (V a2,w 2 ),...,(V an,w n ); (iii) (W 1,V t1 ), (W 2,V t2 ),,...,(W n,v tn ); 3. Os valores de K a K t, K a e K t podem ser obtidos utilizando-se o método dos mínimos quadrados para ajustar os coeficientes das retas (i) V t = K a K t V a,; (ii) W = K a V a e (iii) V t = K t W aos pares ordenados obtidos em 2(i),(ii),(iii). 3.2 IDENTIFICAÇÃO DE K g Para a identificação de K g, suponha que seja conectada uma carga resistiva nos terminais do gerador. Isto fará com que circule uma corrente contínua de valor I g, que é função da tensão aplicada nos terminais do motor, conforme mostra a equação seguinte: KKV K K I a t a g t g Vt ()= s (5) τs + 1 s τs + 1 s de onde se pode concluir que o valor de estado permanente de v t (t) após a introdução da carga será V tg = V t - K g K t I g, onde V t = K a K t V a é o valor da tensão nos terminais do tacômetro para uma entrada igual a um degrau de amplitude V a, quando não há cargas conectadas ao gerador. Definindo-se V t = V t - V tg, tem-se que V t = K g K t I g. A identificação de K g pode ser feita de acordo com o seguinte algoritmo. Algoritmo 2: Inicialmente, sem carga alguma conectada aos terminais do gerador, aplica-se ao motor CC uma tensão igual a V a1 (V) e medese a tensão resultante nos terminais do tacômetro V t1 (V).

8 Mantendo a mesma tensão aplicada ao motor, conecte um carga resistiva ao gerador e meça a corrente fornecida pelo gerador, I g1 (A), e a tensão nos terminais do tacômetro, V tg1 (V). 2. Defina V t1 = V t1 - V tg1 e forme o par ordenado (I g1,v t1 ). 3. Repita os passos 1 a 3 acima para outros valores de V a, obtendo, ao final, os pares ordenados (I g1,v t1 ), (I g2,v t2 ),..., (I gn,v tn ). 4. Utilize o método dos mínimos quadrados para ajustar o coeficiente angular K g K t da reta V t = K g K t I g aos pontos obtidos no passo 4. Observação: Na identificação de K a, K t e K g utiliza-se o método dos mínimos quadrados para determinar o coeficiente angular de uma reta que passa pela origem. Este problema pode ser formulado da seguinte maneira: sejam n-pares cartesianos (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) e considere o problema de se ajustar o coeficiente angular (α) da reta y = αx tal que a soma dos quadrados das diferenças entre as ordenadas y 1,y 2,...,y n e αx 1, αx 2,..., αx n seja mínima. Seja y t = [ y 1 y 2... y n ] e x t = [ x 1 x 2... x n ] e assuma que. 2 denota norma euclideana de um vetor, então ferramentas elementares de cálculo diferencial e álgebra linear permitem escrever: α= y t x 2 x (6) 3.3 IDENTIFICAÇÃO DE τ Considere novamente o gerador em vazio, isto é, assuma que não há carga alguma conectada nos seus terminais. Desta forma, tem-se que i g (t) = 0 e a função de transferência (2) torna-se: V G( s) = V t a ( s) ( s) 2 K a K t =. (7) τs + 1

9 XXVI COBENGE 2345 A constante de tempo τ pode, então, ser identificada a partir do diagrama de módulo de Bode, uma vez que, para freqüências muito menores que 1/τ rd, G(jω) db = 20 log(k a K t ), que corresponde à assíntota de baixa freqüencia e para freqüências muito maiores que 1/τ rd, tem-se que G(jω) db = 20 log(k a K t /τ) - log ω. As duas assíntotas se encontram em ω = 1/τ rd, sendo esta, portanto, a freqüência de canto. Como K a e K t foram determinados na seção 3.1, a constante de tempo τ pode ser determinada a partir de um experimento de resposta em freqüência de acordo com o seguinte algoritmo: Algoritmo 3: 1. Excite o motor com tensões senoidais de amplitude V ai (V) e freqüências f i medindo-se a correspondente tensão de saída V ti (V). 2. Construa, utilizando a função semilogx do MATLAB, o diagrama de módulo de Bode para o sistema, com os pontos cujas coordenadas são (ω,,20log V ti /V ai ), onde ω i = 2π f i. Em seguida, despreze os pontos que são discrepantes. 3. Represente, no mesmo gráfico obtido ao final do passo 2, a assíntota de baixa freqüência utilizando os valores de K a e K t obtidos na seção 3.1. Essa assíntota deve iniciar numa freqüência pelo menos uma década abaixo da menor freqüência utilizada em 1 4. Utilizando a função polyfit do MATLAB ajuste os pontos representados no gráfico obtido ao final do passo 2 por um polinômio p(ω) cujo grau será definido da seguinte forma: 4.1 Defina um vetor ϖ contendo freqüências, espaçadas logaritmicamente, iniciando-se pelo menos uma década antes da menor freqüência utilizada no passo 1 e terminado aproximadamente na maior freqüência utilizada em 1.

10 Calcule p(ϖ) para cada freqüência definida em 4.1 e, em seguida, represente no gráfico obtido ao final do passo 3 os pontos de coordenadas (ϖ i, p(ϖ i )). Se a curva ajustada for aproximadamente tangente à assíntota de baixa freqüência e passar próxima aos pontos representados no passo 2, então, p(ϖ i ), i = 1,...,k, onde k denota a dimensão do vetor ϖ, representa uma boa aproximação para o diagrama de módulo de Bode da equação (7). Caso contrário, escolha um novo grau para p(ϖ) e repita este passo. 5. Determine os dois pontos do vetor ϖ para os quais p(ϖ) é, respectivamente, maior ou igual e menor ou igual a 20 log K a K t - 3, e os correspondentes valores de p(ϖ). Em seguida, utilize interpolação linear para encontrar a freqüência ω c para a qual G(jω c ) db = 20 log K a K t - 3. A constante de tempo τ será igual a 1/ω c. 4 PROJETO DO CONTROLADOR Tendo sido obtido um modelo matemático para o grupo motorgerador, o passo seguinte é o projeto de um controlador que satisfaça as seguintes exigências: 1. Estabilidade; 2. Erro de regime permanente nulo, i.e., para uma dada tensão de referência v r (t) (V) (equivalente à velocidade angular desejada), a tensão nos terminais do tacômetro v t (t) deve ser, em regime permanente, igual à tensão de referência; 3. Baixa sensibilidade à variação dos parâmetros no modelo, que no presente caso se deve a erros de identificação de K a, K t, K g e τ. 4. Rejeição assintótica à perturbação, i.e., para uma carga inserida nos terminais do gerador, a tensão nos terminais do tacômetro deve, em regime permanente voltar a ser igual à da tensão de referência.

11 XXVI COBENGE Desempenho transitório satisfatório. Como se trata de uma plantadidática o desempenho do sistema será definido unicamente em termos do tempo de acomodação do sistema em malha aberta. Como o objetivo aqui é controlar a velocidade de rotação do motor, isto é, mantê-la em um determinado valor, é natural considerar como sinal de referência o degrau, i.e.: V r (V), t 0 vr (t) = (8) 0, t < 0 Como forma de ilustrar os benefícios da realimentação, iremos inicialmen-te considerar a possibilidade de usar um controle em malha aberta para, em seguida, introduzir a realimentação. 4.1 SISTEMA DE CONTROLE EM MALHA ABERTA A partir da equação (2) vê-se que o sistema em estudo é estável e, portanto, poder-se-ia considerar a possibilidade de se fazer um controle em malha aberta. Para tanto, considere o diagrama de blocos da figura 5, onde K(s) representa a função de transferência do controlador a ser projetado. Como, por simplicidade, foi adotado como satisfatório o tempo de acomodação do sistema sem compensação, pode ser adotado um controlador estático, isto é: K(s) = K (9) onde K será determinado de tal forma que, em regime permanente v t (t) = V r (V) (assumindo, inicialmente que não há carga conectada nos terminais do gerador). É fácil verificar que K=1/(K a K t ) leva o sistema a um erro de regime permanente nulo.

12 2348 I g (s V r (s) K(s) K g _ V a (s) 1 V t (s K a K t + τs + 1 Figura 5: Diagrama de blocos para o controle em malha aberta O passo seguinte é fazer a análise do desempenho do sistema compensado, utilizando o SIMULINK. Para tanto, deve-se inicialmente construir um modelo, em SIMULINK, do diagrama de blocos da figura 5 e, em seguida, proceder ao seguinte exercício de simulação com o objetivo de verificar se as exigências de desempenho 2 a 4 serão satisfeitos: 1. Para uma corrente i g (t) = 0 (A), aplica-se um degrau de amplitude igual a V r (V) com início em t = 0s. Os alunos verificarão que, de fato, o objetivo de erro de regime permanente foi atingido. Em seguida, registre o valor do tempo de acomodação (t s ) da resposta. 3. Suponha que tenha havido um erro de 10% na identificação de K a. Em seguida, ainda com i g (t) = 0 (A), aplica-se um degrau de amplitude igual a V r (V) com início em t = 0s. Os alunos terão, agora, a oportunidade de verificar que há um erro de regime permanente e, portanto, o controlador proposto não mais se mostra eficiente. 4. Finalmente, aplique simultaneamente as entradas v r (t) e i g (t), sendo ambas iguais ao degrau, com amplitudes, respectivamente, iguais a V r (V) e I g (A), e inícios em t = 0s e t=t o (s), onde t o é um instante superior ao tempo de acomodação. Os alunos mais um vez verificarão que haverá um erro entre a tensão de referência e aquela nos terminais do tacômetro.

13 XXVI COBENGE SISTEMA DE CONTROLE EM MALHA FECHADA A realimentação surge, então, como única alternativa para se superar as deficiências do controlador em malha aberta. Considere, portanto o diagrama de blocos da figura 6. I g (s) V _ r (s) V a (s) 1 K(s) K K V t (s) + _ + τs + 1 K g Figura 6: Diagrama de blocos para o controle em malha fechada O primeiro passo é definir uma estrutura para o controlador K(s). Para tanto, considere o seguinte resultado: Teorema 1: Considere um sistema realimentado (realimentação negativa) cujo sinal de perturbação atua na entrada da planta. Sejam G(s) = n G (s)/d G (s) e K(s) = n K (s)/d K (s) as funções de transferências da planta e do controlador, respectivamente, e R(s)=α(s)/β(s) e D(s) = γ(s)/δ(s) as transformadas de Laplace dos sinais de referência e de perturbação. Suponha ainda que K(s) estabiliza o sistema. (i) Assumindo d(t)=0 então lim e( t) = 0 se e somente d G (s)d K (s) t = x(s)β + (s), onde e(t) = r(t) - y(t), β + (s) é um polinômio cujos zeros são os zeros de β(s) com parte real positiva ou nula e x(s) um polinômio qualquer. (ii) Assumindo agora que d(t) 0, então lim y( t) = lim r( t), t t

14 2350 isto é, o sistema rejeita assintoticamente o sinal de perturbação d(t) se e somente se n G (s)d K (s) = p(s)δ + (s), onde δ + (s) é um polinômio cujos zeros são os zeros de δ (s) com parte real positiva ou nula e p(s) um polinômio qualquer. Prova: Ver [2]. O teorema acima mostra que para que um sinal possa ser rastreado (rejeitado) então os zeros do polinômio do denominador da transformada de Laplace do sinal a ser rastreado (rejeitado) com parte real positiva ou nula devem ser pólos do controlador ou da planta (pólos do controlador ou zeros da planta). No presente caso, tanto o sinal de referência como o de perturbação são degraus e portanto β + (s)=δ + (s)=s. Assim sendo o controlador deve ter ação integradora, i.e., K( s) K( s) = (10) s onde K (s) será determinada para que o sistema realimentado seja estável. Vamos inicialmente considerar um controlador integral puro, isto é, seja K ( s) = K. O diagrama do lugar das raízes para esse é dado na figura 7. Note que, o sistema realimentado será estável para todo valor de K maior que zero. Assim sendo, a escolha de K será feita com base no desempenho transitório do sistema. Com isso em mente, são calculados valores para K de tal sorte que o sistema realimentado será (i) criticamente amortecido e; (ii) sub-amortecido com percentual de ultapassagem menor que 5%. Em seguida, constrói-se um modelo em SIMULINK equivalente ao diagrama de blocos da figura 6. Observa-se que:

15 XXVI COBENGE 2351 Im(p) X -1/τ X Re(p) Figura 7: Lugar das raízes para K(s)=K /s 1. O tempo de acomodação da resposta o aluno verificará que o desempenho transitório do sistema realimentado é pior que o do sistema em malha aberta tanto para a condição de sub-amortecido quanto para criticamente amortecido. 2. Mesmo para um erro de 10% em K a, o erro de estado permanente continua igual a zero. 3. O sistema realimentado foi capaz de rejeitar a perturbação. Observe que o tempo de acomodação para o sistema em malha aberta é menor que o de malha fechada. Isto se deve ao fato de que, o sistema em malha aberta é de 1ª ordem, cuja constante de tempo é τ; o que implica que t s =4τ. Para o sistema realimentado com controlador integral puro, os pólos do sistema têm parte real igual a -1/2τ, o que implica que t s 8τ. Assim sendo, para que o desempenho seja aproximadamente igual ao do sistema em malha aberta, tais pólos devem ter parte real aproximadamente igual a -1/τ. Isto implica que o diagrama do lugar das raízes deve se deslocar para a esquerda e, para tanto, é necessário que exista um zero -z à esquerda de -1/τ. Portanto, K(s) deve ter a seguinte forma:

16 2352 K P ( s + z) K I K( s) = = K P + (11) s s onde K I = K P z. Note pela equação acima que a introdução do zero no controlador equivale a dotar o controlador de ação proporcional. É fácil verificar para K P =1/(K a K t ), os pólos do sistema realimentado terão parte real igual a -1/τ. Note ainda que a escolha de z ditará a ultrapassagem da resposta, isto é, qual mais próximo de 1/τ estiver z, menor será o percentual de ultrapassagem. Substituindo-se, então a função de transferência (12) no modelo do SIMULINK, obtém-se que o tempo de acomodação da resposta ao degrau será aproximadamente 4τ (s). Finalmente, observe que o procedimento acima permite, inclusive, obter um tempo de acomodação menor, bastando para isso aumentar K P. 5 IMPLEMENTAÇÃO Uma vez obtida a função de transferência para o controlador, o passo final é a implementação do controlador. Como se trata de um laboratório para um primeiro curso de Sistemas de Controle, são utilizados controladores analógicos. A implementação de sistema de controle, nada mais é do que a construção de circuitos analógicos do comparador e do controlador, do sistema realimentado mostrado na figura 6. Tais circuitos são mais facilmente projetados utilizando-se amplificadores operacionais, por exemplo, 741 ou LF356 (os últimos são preferíveis por serem construídos com transistores de efeito de campo e, por essa razão têm maior impedância de entrada).

17 XXVI COBENGE IMPLEMENTAÇÃO DO COMPARADOR O circuito para o comparador está representado na figura 8. Note que, para esse circuito tem-se que: e(t) = v tr (t) - v t (t). (12) Quando de sua implementação, a equação (12) não será, em geral, verificada, uma vez que os valores dos resistores não são exatamente iguais. Para se superar este problema, devem ser ligados potenciômetros em série com os resistores, que serão ajustados de tal forma que a equação (12) possa ser verificada (a menos do "offset" característico do amplificador operacional). O ajuste é feito da seguinte forma: (1) aplica-se o mesmo sinal de tensão a ambos os terminais (v t (t) e v tr (t)) e; (2) ajusta-se os potenciômetros até que a amplitude da tensão de saída seja aproximadamente igual ao "offset" do amplificador: v (t) v tr (t) e(t) Figura 8: Circuito elétrico para a implementação do comparador

18 IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR Um circuito para um controlador PID (proporcional + integral + derivativo) está representado na figura 9, onde: Vc ( s) K I = ( K P + + K Ds) (13) E( s) s K P = C i /C f + R f /R i, K I = 1/(R i C f ) e K D = R f C i. Note que, como o controlador projetado na seção 4.2 é do tipo PI, então, o termo K P deve ser feito igual a zero, o que é conseguido fazendo-se R f 0. Em seguida, escolhe-se de R i, C i e C f são calculados de forma a que a o circuito da figura 9 tenha uma mesma função de transferência do controlador projetado o mais próxima possível daquela obtida em (11). Podemos salientar os seguintes fatos: 1. Além das ações proporcional e integral, o circuito tem ainda ação inversora, conforme pode ser visto a partir da equação (14); 2. O circuito compõem-se ainda de um amplificador de potência; R i R f C e(t) v (t) v (t) C i Figura 9: Circuito elétrico para o controlador-amplificador de potência Para solucionar o problema introduzido pela inversão, dois caminhos podem ser seguidos: (i) se o amplificador de potência for também um inversor, então o problema está resolvido; (ii) caso contrário, inverte-se as posições das entradas v t (t) e v tr (t) no circuito comparador da figura 8.

19 XXVI COBENGE CONCLUSÃO Neste artigo foi apresentado um modelo de laboratório para um primeiro curso de Sistemas de Controle. Devido ao fato de se basear num projeto, o laboratório proposto tem as seguintes vantagens: (i) faz uso de todos os conceitos apresentados na disciplina teórica, solidificando, portanto, tais conceitos; (ii) dota o aluno de conhecimentos suficientes para desenvolver projetos de sistemas de controle. AGRADECIMENTOS Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq (projeto de pesquisa no /96-3). REFERÊNCIAS [1] Dorf, R. C., Modern Control Systems. Addison-Wesley, Reading, MA, USA, [2] Basilio, J. C., Laboratório de Sistemas de Controle I. Editora da Escola de Engenharia da UFRJ, 1998.