3 MODELOS EMPÍRICOS E TEÓRICOS PARA A PREVISÃO DE REFLUXO DE PROPANTE

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1 MODELOS EMPÍRICOS E TEÓRICOS PARA A PREVISÃO DE REFLUXO DE PROPANTE Moelos ara revisão e reluxo e material e sustentação e raturas hiráulicas têm sio esenvolvios e utilizaos em situações ráticas, aesar os mecanismos que regem o enômeno aina não terem sio esclarecios em sua totaliae. Os moelos existentes atualmente na literatura são classiicaos em ois gruos istintos: moelos emíricos e moelos teóricos. Aesar a inaliae comum, os moelos ierem bastante quanto à aboragem os arâmetros e as variáveis e controle envolvias. Assim seno, são aresentaos, rimeiramente, as rorieaes o luio e outros arâmetros ísicos associaos a alguns moelos e revisão e reluxo e roante, não citaos aina nessa issertação. Em seguia, os ois gruos e moelos existentes na literatura são escritos brevemente..1. DENSIDADE DO FLUIDO A razão entre a massa e o volume e um luio é enominaa massa esecíica, cuja uniae no SI é kg/m. A variação e tal rorieae é, geralmente, inversamente roorcional à variação a temeratura. A razão entre a massa esecíica o luio e a massa esecíica a água (1,0 g/cm ) é einia como ensiae relativa e inica a caaciae e um eterminao luio lutuar em água. No resente estuo, o luio em questão é o óleo rouzio ela rochareservatório. Para a caracterização o etróleo, uas meias e ensiae oem ser utilizaas: a ensiae comumente emregaa na Física e na Engenharia, einia acima ou a ensiae API (American Petroleum Institute). A escala API, meia em graus, varia inversamente com a ensiae relativa, isto é, quanto maior a ensiae relativa, menor o grau API. O grau API é maior quano o óleo é mais leve. Petróleos com grau API maior que 0 são consieraos leves; entre º e 0º, são méios; abaixo e º, são esaos; com grau API igual ou

2 4 inerior a 10º, são etróleos extra esaos. Quanto maior o grau API, maior é o valor o etróleo no mercao. Os valores a ensiae relativa δ 0 em unção a ensiae API oem ser estimaos ela equação a seguir: 141,5 δ 0 = (.1) 11,5 + one, é o valor a ensiae o óleo em graus API... EFEITOS DA GRAVIDADE E DA VISCOSIDADE Devio à verticaliae as raturas hiráulicas, a graviae e a viscosiae o luio, tanto e raturamento quanto a ormação, aetam o transorte e a eosição e roantes, oeno inluir no enômeno e reluxo e material e sustentação a ratura. Seno o luio e baixa viscosiae, a graviae é reonerante na seimentação as artículas e tal mecanismo é escrito através a lei e Stokes. Destaca-se a imortância e se evitar que uma viscosiae insuiciente o luio e raturamento resulte em uma colocação inaequaa o material e sustentação no interior a ratura. No entanto, a aição e roantes tene a aumentar a viscosiae e um luio, tornano seus eeitos mais imortantes o que os a graviae. Tanto em alicações e engenharia quanto e geoísica, a viscosiae é uma as rinciais rorieaes o luio. Aesar e inluenciaa ela ressão e teor e gás, a mesma oe ser consieraa uma unção rimária a ensiae o óleo e a temeratura, como oe ser observao nas exressões esenvolvias or Beggs & Robinson (1975) eq. (.): Z =,04 0,00( ) Y = 10 µ = 10 z X = Y( T x 1,16 1 ) (.) one T é a temeratura em graus Farenheit, é a ensiae o luio em graus API e µ é a viscosiae o luio em centioises (c). Ressalta-se que o luio em questão é o óleo rouzio ela rocha-reservatório, ou seja, o luio a ormação.

3 5.. MODELOS EMPÍRICOS..1. Correlação Stimlab Essa correlação oi obtia meiante exerimentos realizaos ese 1996 elo consórcio e emresas etrolíeras coorenaas ela comanhia Stimlab na tentativa e simular as conições reais e uma ratura através e um aarato enominao célula e reluxo. O moelo aresenta como variável e controle a velociae crítica o luio, ou seja, a velociae acima a qual a roução e roante ocorre. A correlação elaboraa ara a eterminação a velociae crítica normalizaa, Vc,s (t/s), oi elaboraa em unção o iâmetro méio as artículas e roante, (em olegaas), a concentração e roante, C (lb/t ), a viscosiae o luio, µ (c), a ensiae esecíica o roante, SG, a tensão eetiva sobre o roante, Pc,net (Psia), a largura normalizaa a ratura ( largura real a ratura iviia elo iâmetro méio a artícula e roante), r, e o ator e coesão, Co, roosto elo rório Consórcio Stimlab, cujo valor varia e 1 a e acoro com o aitivo misturao no tratamento e roantes. Esta correlação está aresentaa a seguir ela eq. (.): V c, s SG P, net = 1,17 C0 + 0,11 c,5 C µ 1 r (.) Na eq. (.), a velociae Vc,s, reresenta um valor normalizao ara uma ratura sustentaa or 8,4 camaas e roante e tamanho 0/40. Para converter à velociae real e interesse, Vc, também em t/s, sugere-se a seguinte relação: 8,4 5,4 V c = Vc, s (.4) r 0,7 As características o material granular têm inluência ercetível no moelo, articiano e ambas as equações através o iâmetro a artícula. Além isso, como a largura normalizaa a ratura aresenta uma otência e,5 e outra e,0, ossivelmente, é o rincial ator e inluência o moelo.

4 6... Moelo e Cunha Livre O moelo e Cunha Livre oi elaborao or Anrews & Kjorholt (1998) a artir os resultaos e 50 ensaios laboratoriais realizaos elas emresas etrolíeras coorenaas ela Stimlab até É baseao no conceito e regiões e estabiliae, one a conição e estabiliae a ratura eene e três arâmetros: largura normalizaa a ratura, tensão e echamento e orça e arraste. No moelo e Cunha Livre, a tensão e echamento é reresentaa or um termo e echamento C, enquanto que o graiente hiráulico é reresentao or um termo e arraste F. As equações abaixo eq. (.5) e eq. (.6) - ornecem os termos e echamento e e arraste, resectivamente: 1 re C = (.5) P c, net P F = (.6) x re one o graiente e ressão P/x e o termo e arraste F são exressos em si/t, a tensão eetiva sobre o roante, em sia e o ator e escala / re é aimensional, com re = 0,071 cm = 0,084 in, reresentano o iâmetro méio o roante Carbolite 0/40. Com base nesses termos, a largura normalizaa máxima ara que a roante ermaneça estável na ratura, evitano a roução o mesmo, é eterminaa através a seguinte equação: r,max =, + 5,51 10 C 5, ,61 10 CF 6,9 10 F 5 C 5, ,17 F + C F (.7) one r,max é a largura normalizaa estável máxima. Portanto, a largura normalizaa máxima é a variável e controle o moelo, eeneno e uma combinação olinomial entre os termos e echamento e e arraste eterminaos a artir a tensão e echamento e o graiente hiráulico. O ator reominante nas equações os termos e echamento e e arraste é o iâmetro a artícula, que aresenta um exoente ierente e um em ambos os termos. Assim, esse arâmetro é o que ossui

5 7 maior inluência no valor a largura normalizaa máxima eterminaa elo moelo.... Moelo e Potência Sugerio, também, elo consórcio Stimlab (Barree & Conway, 00), o moelo e Potência é baseao na hiótese e haver um iâmetro e roante mínimo,,min, normalizao em relação à largura a ratura,, ara o qual se garante a estabiliae o material e sustentação ineenentemente o valor a velociae o luio monoásico. Nesse caso, a variável e controle o moelo é, na verae, o inverso a largura normalizaa a ratura, que como já citao anteriormente, é a razão entre a largura a ratura e o iâmetro a artícula e roante. Matematicamente, esta conição oi ormulaa consierano o moelo reológico e otência ara a viscosiae através a utilização as equações roostas or Richarson & Zaki (1954), mostraa a seguir:,min = max + 1,5 R 1+ R t (.8) max = 0,01 + 0,165 (.9) R t = 79 (.10) Na eq. (.8) o menor valor e / é teoricamente zero, mas, inicialmente, oi eterminao como 0,001; o maior valor e / max ever ser obtio exerimentalmente; R reresenta o número e Reynols ara as conições reais e luxo; R t reresenta o número e Reynols crítico. A aboragem emírica este moelo sugere que / max seja uma unção o iâmetro a artícula e o número e Reynols crítico seja uma unção o quarao o iâmetro a artícula. Mais uma vez o iâmetro a artícula se aresenta como ator relevante na eterminação o valor crítico a variável e

6 8 controle. A viscosiae e a massa esecíica o luio são consieraas no moelo através o número e Reynols ara as conições reais o luxo; no entanto, a relevância esses atores é reuzia iante a Inluência o iâmetro a artícula o roante...4. Moelo e Bi-otência Barree et al. (00) esenvolveram esse moelo com base na hiótese e que uma artícula lutua em um luio e Poiseuille sob eterminao número e Reynols a artícula e sob eterminao número e Reynols o luio, einios, resectivamente, a artir as equações a seguir: R G ( ρ ρ )( /1) ( µ /1488,16 ) ρ g = (.11) ~ R = (.1) ρ ν ( /1) ( µ /1488,16 ) ~ Q ν = 8600 P (.1) ( /1) Os arâmetros envolvios nas exressões são: massa esecíica o luio, ρ, massa esecíica o roante, ρ, ambas exressas em lb/t, aceleração a graviae, g =, t/s, viscosiae o luio, µ, em c, iâmetro a artícula,, em olegaas, vazão e roução o oço, Q P, em t /ia e, inalmente, largura o canal e luxo,, em olegaas, que nesse caso é a rória largura méia a ratura. Os resultaos os ensaios e laboratório, ara os quais a roução e roante não ocorreu, oram utilizaos ara einir os valores os exoentes a lei e bi-otência, eterminano, então, a eq. (.14) que ornece o valor a máxima largura a ratura estável, r,max, normalizaa em relação ao iâmetro a artícula. r max 0,148 1,971 0,416RG 0, RG R, = 146 (.14)

7 9 Como observao, o moelo e Bi-otência consiera tanto as características o luio quanto as o roante, consierano, inclusive a vazão e roução o oço, ierentemente os emais moelos existentes na literatura. No entanto, as características o roante são mais relevantes ara a eterminação o valor a variável e controle o moelo, que mais uma vez, é a largura normalizaa a ratura. Isso oe ser veriicao na eq. (.14), one o número e Reynols a artícula aresenta exoente maior que um, além e ser eterminante ara o exoente o número e Reynols o luio..4. MODELOS TEÓRICOS.4.1. Moelo e Velociae Mínima e Fluiiicação Esse moelo sugere um valor ara a velociae o luio no qual as artículas não ermanecem mais em reouso, mas se luiiicam sob a ação o luio. Essa velociae é eterminaa a artir o conjunto e equações aresentaas a seguir: ( B 4A C ) B + ν = (.15) A 1,75 A = φ ε m ( /1) ρ ( ) µ /1488,16 (.16) B 150 = φ ε ( /1) ρ ( 1 ε ) m m ( µ /1488,16 ) (.17) C ( /1) ( 6,48SG ρ ) gρ = (.18) ( µ /1488,16 ) one ν á a velociae e luiiicação, em t/s, g é a aceleração a graviae (g =, t/s ), é o iâmetro méio as artículas e roante em olegaas, µ é a viscosiae o luio a ormação em c, ρ e ρ são, resectivamente, as massas esecíicas o roante e o luio em lb/t.

8 40 A esericiae as artículas é reresentaa or φ s, teno o valor máximo igual a 1,0 ara as artículas consieraas ereitamente eséricas. A orosiae mínima e luiiicação é reresentaa or ε m e eterminaa ela eq. (.19), na qual D é o valor o iâmetro méio as artículas em mícron. ( log D' 1) ε = 1 0,56 (.19) m O acote granular é consierao estável quano a velociae real o luio é menor que a velociae crítica eterminaa elas equações anteriores. Portanto, a variável e controle o moelo é a rória velociae o luio. As características o luio e o roante são consieraas no moelo, não seno e ácil erceção os atores e maior inluência. No entanto, atores relevantes no enômeno e reluxo e roante, como largura normalizaa a ratura, tensão e echamento e graiente hiráulico não são aboraos..4.. Moelo Semimecânico Esse moelo oi elaborao or Canon et al. (00) através a combinação o moelo teórico e Velociae Mínima e Fluiiicação e o moelo emírico e Cunha livre. A eterminação a orça e arraste é o oco rincial o moelo em questão, seno eetuaa através a eq. (.0): ( P ) ex FFV (.0) ln c, net a' F sta = T 0,5 + S T Na eq. (.0) F sta reresenta o máximo graiente em si/t que um acote granular estável no interior e uma ratura oe suortar, sob eterminaas conições e tensão e echamento, largura a ratura e resistência o roante. A tensão eetiva sobre o roante, reresentaa or P c,net, é exressa or si. O termo a é uma constante o moelo, cujo valor é igual a 7,717. A contribuição, na eq. (.0), a largura a ratura e a resistência os grãos ao esmagamento está reresentaa elos termos T e S T, eterminaos ela eq. (.1) e eq. (.), resectivamente: T = 14,5ex( 1,048 r ) (.1)

9 41 5 S = 10 T S + 0,68 (.) max one r reresenta a largura normalizaa a ratura em relação ao iâmetro méio o roante e S max reresenta a resistência nominal ao esmagamento o roante em si. Finalmente, o termo F FV reresenta o mínimo graiente e ressão ara esestabilizar os grãos e roante. Tal valor eene a velociae mínima e luiiicação, ν em t/s, calculaa conorme o moelo homônimo (Sarlin & Hagen, 1995; Parker et al., 1999; Staalman et al., 1985), a viscosiae o luio a ormação, µ em c e a ermeabiliae o acote, k em m, conorme aresentao na eq. (.). F FV ν µ 7 = 1,65 10 (.) k No moelo Semimecânico, a variável e controle o moelo é o máximo graiente hiráulico. Desta orma, a estabiliae o acote granular é eterminaa através a comaração entre os valores e graiente e ressão real na ratura e aquele obtio através as equações aresentaas no moelo Semimecânico. Quano este último é maior o que o graiente real, a ratura é estável; caso contrário é instável..4.. Moelo e Potência Moiicao Baseao no mesmo rincíio aotao or Canon et al. (00), Cachay (004) sugeriu algumas moiicações no moelo e Potência ara incluir um limite inerior ara a roução o material e sustentação, ou seja, eterminar, ara um iâmetro esecíico a artícula, o valor a velociae mínima ara o início o luxo e roante ineenentemente a concentração o roante e a viscosiae o luio. Dessa orma, alguns valores oram ajustaos. O exoente 1,5 oi moiicao ara 1,8, enquanto que o exoente oi moiicao ara,9. Além isso, se escolheu ara / o valor e 0,015, antes consierao 0,001. Portanto, a eq. (.8) assou a ser:

10 4,min = max + 1,8 R 1+ R t,9 (.4) original. As emais equações e consierações oram mantias conorme o moelo.4.4. Métoo os elementos iscretos (DEM) O métoo os elementos iscretos (DEM) oi esenvolvio or Cunall no inal a écaa e 70 ara analisar, no temo, o comortamento mecânico e um grane número e artículas iniviuais e e iversas ormas e rorieaes. Dese então, esse métoo tem sio utilizao ara analisar as interações resentes em acotes granulares. Asgian & Cunall (1994) alicaram essa técnica numérica ao roblema e reluxo e roante, consierano a interação mecânica entre artículas eséricas e elásticas. O DEM é baseao em algoritmos e ierenças initas ara resolver a equação e movimento e caa artícula, consierano equenos intervalos sucessivos e temo. Em caa intervalo, as orças atuantes são amitias constantes e a aceleração e caa artícula é eterminaa através a seguna lei e Newton. Assim, a velociae e o eslocamento e caa artícula são obtios or uas integrações seqüenciais no temo. A caa novo incremento e temo, as orças são atualizaas com base nos eslocamentos obtios e consierano as leis e contato aroriaas. Essa técnica numérica ermite simular o enômeno e reluxo e roante evienciao ela ormação e um arco na suerície externa a ratura evio à ação e tensões e comressão sobre a camaa e artículas. Desta orma, os resultaos numéricos obtios or Asgian & Cunall (1994) se mostraram coerentes com os estuos exerimentais e Milton-Tayler & Stehenson (199): raturas com largura suerior a 5,5 camaas e roante tenem à instabiliae.

11 4.5. COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS Alguns estuos anteriores (Cachay, 004) airmam que os moelos Stimlab e Semimecânico são mais consistentes em seus resultaos, seno o último mais conservativo na revisão o reluxo e roante. No entanto, teoricamente, toos os moelos aresentam restrições em suas ormulações e, em situações ráticas, são iicilmente comaráveis evio a incertezas os aos e camo. Além isso, a grane ierença quanto à aboragem os arâmetros e quanto às variáveis e controle utilizaas tornam a comaração entre os moelos e revisão e reluxo e roante aina mais comlexa. Para uma melhor visualização e análise os moelos e revisão e reluxo e roante, a Tabela.1 aresenta toos os arâmetros e as variáveis e controle envolvias.

12 44 Tabela.1 Comaração entre os moelos e revisão e reluxo e roante. Variável MODELOS e Controle Stimlab V c Cunha livre r,max Potência / Bi-otëncia r,max Mínima velociae ν Semimecänico F sta SG r φ C ρ K S max P c,net D/x µ ρ Q ν V one: V c velociae crítica o luio; r,max largura normalizaa máxima; / relação entre o iâmetro o roante e a largura a ratura; ν velociae mínima e luiiicação; F sta máximo graiente hiráulico; SG ensiae o roante; iâmetro o roante; r largura normalizaa a ratura; largura a ratura φ esericiae a artícula; C concentração e roante; ρ massa esecíica o roante; k ermeabiliae o acote granular; S max resistência o roante ao esmagamento; P c,net tensão eetiva sobre o roante; D/x graiente hiráulico; µ - viscosiae o luio a ormação; ρ massa esecíica o luio; Q vazão e roução a ratura; V velociae o luio;

13 45 Constantes: g =, t/s ara os moelos e Mínima velociae e luiiicação e Biotência; re = 0,084 in; / 0.001; Como oe ser observao na Tabela.1, nenhum arâmetro é consierao em toos os moelos. A largura a ratura, a tensão e echamento a ratura e o graiente hiráulico, que são arâmetros e grane relevância ara o enômeno, não são consieraos em toos os moelos, evienciano as limitações os mesmos.