TRANSMISSÃO DE CALOR E MASSA 1 PROBLEMAS

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1 TRANSMISSÃO DE CALOR E MASSA 1 PROBLEMAS 1. Uma placa plana tem uma superfície isolada e a outra exposta ao sol. A superfície exposta ao sol absorve radiação à taxa de 800 W/m 2 e perde calor por convecção e radiação para o ar ambiente a 300 K. Se a emissividade da superfície for 0.9 e o coeficiente de convecção for 12 W /m 2 ºC, determine a temperatura da placa em regime estacionário. 2. Uma placa de 50 cm x 50 cm recebe uma potência de 400 W e dissipa calor por convecção e radiação pela outra superfície para o ar ambiente a 290 K. A emissividade da superfície da placa é 0.9 e o coeficiente de convecção é 15 W / m 2 ºC. Determine a temperatura da placa. 3. Uma tubagem com 2 m de comprimento e 5 cm de diâmetro exterior transporta água quente, dissipando calor por convecção e radiação para o meio ambiente a 0ºC. Seja 125 ºC a temperatura da superfície exterior da tubagem, a qual pode ser assumida como um corpo negro. Determine a taxa de transmissão de calor para o exterior, sabendo que o coeficiente de convecção exterior é 20 W/m 2 ºC. 4. Durante o Inverno, a superfície de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida. A temperatura da água no lago encontra-se a 4º C e a temperatura do ar ambiente é -30 ºC. A temperatura na interface entre a água e o gelo é 0ºC. A condutibilidade térmica do gelo é 2.25 W/m K. Os coeficientes de convecção do lado do ar e do lado da água são 100 W/m 2 K e 500 W/m 2 K, respectivamente. Calcule a temperatura na superfície do gelo em contacto com o ar e a espessura da camada de gelo. 5. Em determinadas condições, a temperatura na superfície da pele de um indivíduo é 30 ºC, sendo inferior à temperatura do corpo, que é de 36.5 ºC. A transição entre estas temperaturas tem lugar numa camada da pele coma espessura de 1 cm. A condutibilidade térmica é 0.42 W/m K. (a) Estime o fluxo de calor que se escapa através da pele, considerando-a um meio condutor em repouso. (b) Supondo que o ar ambiente está a 20 ºC, determine o coeficiente de convecção. 6. Considere a condução de calor numa placa rectangular em regime estacionário. A superfície x = 0 é aquecida electricamente à taxa q o W/m 2. A superfície x = a é mantida à temperatura T o. A superfície y = b é mantida isolada. A superfície y = 0 dissipa calor por convecção para um meio à temperatura T com um coeficiente de convecção h. A condutibilidade térmica do material é uniforme e não há geração interna de energia. Formule o problema de condução de calor, estabelecendo a equação que rege a distribuição de temperaturas na placa e as condições de fronteira. 7. Considere uma esfera de raio r o e condutibilidade térmica k. A bola é inicialmente aquecida num forno até atingir uma temperatura uniforme T 1, sendo no instante t = 0 subitamente imersa num banho de óleo à temperatura T. Supondo que o coeficiente de convecção é constante, formule o problema que descreve a variação de temperatura na esfera ao longo do

2 tempo, isto é, estabeleça a equação diferencial que permite determinar a variação da temperatura em função do tempo e do raio para t > 0 e as condições de fronteira. 8. Considere um cone truncado com 30 cm de altura, 15 cm de diâmetro na base e 7.5 de diâmetro no topo. A superfície inferior é mantida a 6 ªC e a superior a 40 ºC. A superfície lateral está isolada. Assuma condução unidimensional. Determine a a taxa de transmissão de calor através do cone, supondo que a condutibilidade térmica do material é 1 W /m ºC. 9. Considere um tronco de cone como indicado na figura. As coordenadas x 0 e x 1 indicam as posições das faces em relação ao vértice do cone de onde esse tronco foi seccionado. Considere que as faces laterais se encontram isoladas e que a temperatura em cada secção x = constante é uniforme. Na face maior conhece-se a temperatura e na face menor o fluxo de calor imposto. Determine a distribuição de temperatura ao longo de x. x 0, r 0 r T 1, x 1, r 1 x 10. Uma parede plana é composta por três materiais, A, B e C, dispostos em série, com condutibilidades térmicas diferentes, sendo k A > k B > k C e L A = L B = L C. Suponha que a condução de calor na parede pode ser tratada como unidimensional e que ambas as faces da placa estão em contacto com um fluido, sendo T,A e h A a temperatura ambiente e o coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da placa em contacto com o material A e T,C e h C a temperatura ambiente e o coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da placa em contacto com o material C. Seja T,A > T,C e h A > h C. (a) Trace, com o rigor possível, o gráfico T(x), em regime estacionário, sendo x a direcção normal à parede, desde um ponto onde T = T,A até outro onde T = T,C. Marque a localização das extremidades da placa e das interfaces entre os materais. Tenha em atenção a variação relativa das temperaturas no fluido dos dois lados da placa e em cada material constituinte da placa. (b) Suponha que, num determinado instante, a temperatura T,A aumenta, mantendo-se T,C, h A e h C inalteráveis. Diga, justificando, se a temperatura na extremidade da placa em contacto com material C aumenta, diminui ou não se altera. 11. Uma parede plana é composta por dois materiais, A e B, de igual espessura, mas com condutibilidades térmicas diferentes, k A e k B, respectivamente. A parede está em contacto com um fluido à temperatura T,A do lado do material A, sendo h A o coeficiente de convecção, e com outro fluido à temperatura T,B do lado do material B, sendo h B o

3 coeficiente de convecção. Considere o caso de regime estacionário com T,A > T,B. Diga, justificando, em qual dos casos (a) a (d) se pode garantir que a temperatura na interface entre os dois materiais é mais próxima de T,A do que de T,B, isto é, T,A -T interface < T interface -T,B : (a) k A > k B e h A > h B (b) k A > k B e h A < h B (c) k A < k B e h A > h B (d) k A < k B e h A < h B 12. Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de temperaturas como mostra a figura: isto é, na parte central entre - nl e + nl a temperatura inicial é To e entre L e nl, tal como entre - L e nl, a temperatura inicial é Ta, igual à temperatura ambiente. O coeficiente de transmissão de calor à superfície é h. (a) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, x), as distribuições de temperatura para t e para um instante entre t = 0 e t. (b) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, t), as distribuições de temperatura no plano médio da placa e na sua superfície. 13. Uma placa plana, unidimensional, homogénea, com condutibilidade térmica constante, separa um fluido A, no lado esquerdo da placa, de um fluido B, no lado direito da placa. Os fluidos A e B estão em repouso e as suas temperaturas são T A e T B, respectivamente, sendo T A > T B. (a) As figuras 1 a 3 representam os perfis de temperatura, em regime estacionário, para diferentes combinações de fluidos (ar e água). Identifique, para cada figura, os fluidos A e B. Justifique. (b) Na figura 4 está representado o perfil de temperaturas, em regime estacionário, para uma placa constituída por um material diferente. Quais são os fluidos A e B? A

4 condutibilidade térmica deste material é maior, igual ou menor do que a do material da alínea anterior? Justifique. T A T A T A T B T B T B T B > T A T A T B T A T B Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 T A T B T A > T B Fig Considere uma placa plana, de espessura 2L, na qual a face x = 0 é mantida à temperatura T 1. A condutibilidade térmica do material da placa varia com a temperatura de acordo com a seguinte expressão: k = k 1 [ + a( T )] o T o onde k = k o à temperatura de referência T o e a é uma constante. Determine a distribuição de temperatura na placa, T(x), em função de T 1 e do fluxo de calor q. Esboce, justificando, a distribuição de temperatura na placa para a = 0, a > 0 e a < Considere uma conduta de condutibilidade térmica constante onde circula ar a temperatura inferior à temperatura ambiente, conforme esquematizado na figura: A B C r T

5 (a) Qual dos perfis de temperatura representados na figura (A, B, C) está correcto? Justifique. (b) Suponha que é colocado um material isolante (baixa condutibilidade térmica) na superfície exterior da conduta. Podemos garantir que o calor transmitido para o ar que circula na conduta irá diminuir? Justifique. 16. A principal linha de vapor de uma central termo-eléctrica transporta vapor a 113 bar e 400 ºC. Foi decidido usar um isolamento com k 1 = W/m K, mas dado que este não se comporta de modo adequado acima de 300 ºC, será complementado por uma camada de isolamento resistente a temperaturas elevadas, com k 2 = 0.2 W/mºC, junto à tubagem de vapor. Tem de ser usado isolamento suficiente para que a temperatura da superfície exterior seja 48 ºC. A tubagem onde circula o vapor é constituída por aço com k aço = 40 W/m K e tem um diâmetro interior de 30 cm, com uma espessura de 3 cm. Os coeficientes de convecção são 4500 W/m 2 K do lado do vapor e 12 W/m 2 K do lado do ar. Determine as espessuras dos dois isolamentos para uma temperatura ambiente de 30 ºC. 17. Considere um fio condutor (condutibilidade eléctrica = 5,1 x 10 6 Ω -1 m -1 ), de secção circular (diâmetro = 0,04 m), sem protecção, percorrido por uma corrente contínua I = 450 Amp. A potência gerada por efeito de Joule, por unidade de comprimento do fio, é 31,6 W/m e a condutibilidade térmica do material é 300 W/(m K). (a) Admitindo uma temperatura máxima no condutor de 80 ºC e uma temperatura ambiente de 20 ºC, calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção. (b) Considere dois isolantes A e B, com 0,005 m de espessura e condutibilidades térmicas k A = 0,3 W/(m K) e k B = 4 W/(m ºC). Pretendendo-se proteger a superfície exterior do fio condutor, qual dos dois isolantes escolheria de modo a não aumentar a temperatura máxima do condutor em mais de 10% em relação ao anteriormente considerado? Considere para esta alínea h = 3 W/(m 2 K). (c) Qual a temperatura exterior do isolante nas condições da alínea b)? 18. Um cabo de secção circular, com raio R, percorrido por corrente eléctrica, encontra-se num meio à temperatura T. Admita que a potência libertada por efeito Joule, por unidade de volume, é uniforme numa secção transversal do cabo. (a) Diga, justificando, em que medida a condutibilidade térmica do material influencia a temperatura em r = 0 e em r = R. (b) Subitamente a corrente eléctrica é cortada. Represente, no mesmo gráfico, o perfil de temperaturas no instante em que a corrente é cortada e num instante posterior, antes de o regime estacionário ter sido restabelecido. Justifique a forma dos perfis traçados e compare, para esses dois instantes, as temperaturas e os gradientes de temperatura em r = 0 e r = R.

6 19. Considere um reservatório esférico destinado a conter uma mistura de fluidos em reacção exotérmica. O reservatório é formado, tal como indicado na figura, por duas camadas sendo a condutibilidade térmica da camada A igual a k A = 19 W/mK e a condutibilidade térmica do material B k B = 0.21 W/mK. As dimensões do reservatório são R 0 =0.3 m, R 1 =0.35 m, R 2 =0.4 m. Por razões de resistência dos materiais não convém ultrapassar no material A a temperatura de 450 C e no material B a temperatura de 400 C. O reservatório encontra-se num ambiente à temperatura de T amb = 35 C e o coeficiente de convecção na superfície do lado exterior é igual a h ext = 8 W/m 2 K. O coeficiente de convecção na superfície interior é igual a h int = 200 W/m 2 K e a mistura dos reagentes é homogénea e encontra-se toda à mesma temperatura. Despreze a resistência térmica de contacto entre os materiais A e B. (a) Calcule a potência máxima que se pode libertar no interior do reactor. (b) Nestas circunstâncias, qual é a temperatura no interior do reactor? (c) Se a taxa de libertação de calor aumentar 50% qual terá de ser o novo valor do raio exterior R 2 a usar para garantir um correcto funcionamento do sistema? Suponha que todos os parâmetros mantêm os seus valores. R 0 R 1 R 2 A B 20. Num reservatório esférico, de raio interior r 1 e raio exterior r 2, a superfície interior é mantida à temperatura T 1 e a superfície exterior à temperatura T 2. Determine a coordenada radial para a qual a temperatura é igual à média das temperaturas T 1 e T 2 em função das dimensões do reservatório. 21. Calcule a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, numa esfera sujeita a uma geração de calor interna com intensidade uniforme q & [W/m 3 ], cuja superfície se comporta como um corpo negro e troca calor por radiação com o ambiente a uma temperatura T. 22. Deduza uma expressão para o raio critico do isolamento de uma esfera oca de raio exterior r o, colocada num meio onde a temperatura ambiente é T e e o coeficiente de transmissão de calor 1 r o 2 por convecção exterior é proporcional a. O raio interno da esfera é r i e a sua superfície interna está à temperatura T i. A condutibilidade térmica da esfera é k. 23. Um termómetro, constituído por um termopar colocado no fundo de uma baínha metálica que lhe dá a resistência mecânica necessária, está montado na parede de uma tubagem onde circula vapor de água à temperatura real T v (ver figura).

7 (a) Admitindo que o contacto térmico entre o termopar e a baínha é perfeito e desprezando o efeito da resistência do ar no interior da baínha, determine a temperatura real do vapor, T v. Despreze as trocas de calor por radiação e tenha em atenção que o termómetro pode ser tratado como uma alheta. (b) Como procederia para diminuir a diferença de temperaturas T v -T t encontrada na alínea anterior? 24. No interior de um tubo de aço (k = 50 W m -1 K -1 ) de 25 mm de diâmetro (exterior) circula um fluido que está a condensar à temperatura de 50ºC (h = 3500 W m -2 K -1 ). A espessura do tubo é de 1mm. Um ventilador faz passar um caudal de ar a 25ºC perpendicularmente ao tubo (v = 20m/s). De forma a aumentar a troca de calor, foi decidido colocar alhetas anulares com uma espessura de 1.5mm e largura de 1cm, sendo o espaçamento entre alhetas de 5mm. Justifique se as alhetas devem ser colocadas pelo interior ou pelo exterior do tubo. Para o caso que considerou corresponder ao do maior aumento da troca de calor, calcule: (a) O coeficiente de convecção exterior, indicando as aproximações que efectuar. (b) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo antes da colocação das alhetas. (c) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo após a colocação das alhetas. 25. Água à temperatura de 95 ºC escoa-se no interior de um tubo de aço (k = 41 W m -1 K -1 ) com 2.54 cm de diâmetro interior. Na superfície exterior do tubo há 8 alhetas longitudinais, com secção rectangular, do mesmo material, com 1.90 cm de comprimento. O tubo e as alhetas têm a mesma espessura, que é 0.25 cm. Os coeficientes de convecção dos lados interior e exterior são 5000 W m -2 ºC -1 e 12 W m -2 K -1, respectivamente. Desprezando a perda de calor através das extremidades das alhetas, calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de comprimento do tubo, supondo que a temperatura do ar exterior é 15 ºC.

8 26. Um tubo de aço, com espessura t e diâmetro exterior D é usado para transportar água à '' temperatura T e. O tubo está sujeito a um fluxo radiativo uniforme q rad sobre 180º da sua circunferência exterior, encontrando-se a parte restante perfeitamente isolada. O coeficiente de transmissão de calor por convecção na face interna do tubo é h e a condutibilidade térmica da parede do tubo é k. Despreze a condução de calor na direcção radial. (a) Estabeleça as equações e condições de fronteira que permitem determinar a distribuição de temperaturas no tubo ao longo da direcção tangencial. (b) Repita a alínea anterior admitindo que existe geração uniforme de calor na parede do tubo, q &. 27. Numa alheta de secção constante, com comprimento L, foram medidas as temperaturas às distâncias L/3, 2L/3 e L da base, tendo-se registado os valores T 1, T 2 e T 3, respectivamente. Sabendo que a temperatura da base é T b e a temperatura do meio ambiente é T, estime a eficiência da alheta em função das temperaturas conhecidas. 28. Suponha que uma colher de chá, parcialmente mergulhada numa chávena, é modelada como uma barra de secção transversal circular e uniforme de diâmetro D e comprimento 2l. Seja k a condutibilidade térmica do material constituinte da colher. Os coeficientes de convecção do lado do chá e do ar são h 1 e h 2, respectivamente. As temperaturas do chá e do ar são uniformes e iguais a T o e T, respectivamente. Supondo que metade da barra está em contacto com o chá, determine a distribuição de temperaturas na barra em regime estacionário. 29. Considere uma alheta de comprimento 2l. Metade da alheta está isolada, não havendo transmissão de calor através da sua superfície. Essa extremidade da alheta é mantida a uma temperatura T w. A outra metade da alheta está rodeada por um fluido à temperatura T < T w, sendo h o coeficiente de convecção. Determine a temperatura no meio da alheta e na outra extremidade. 30. Uma barra de 2.5 cm de diâmetro, 1 m de comprimento e condutibilidade térmica 20 W / m K está apoiada em dois suportes mantidos à temperatura de 50 ºC. A barra está exposta ao ar que se encontra a 300 ºC. Determine a temperatura a meio da barra e a taxa de transmissão de calor do ar para a barra supondo que o coeficiente de convecção é 50 W/m 2 ºC. 31. Um termopar de cobre/constantan (constantan é uma liga com 55% de cobre e 45% de níquel) tem ambos os fios embutidos num isolamento, como esquematizado na figura, sendo num utilizado para medir a temperatura de um fluido que se escoa no interior de uma conduta. O termopar pode ser simulado como uma alheta. Seja d = 0.25 mm o diâmetro de cada fio do termopar, cujo perímetro exterior é 1.5 mm e área do isolamento é 10-7 m 2. O ar no interior da conduta encontra-se a 350 K, o coeficiente de convecção é 30 W/m 2 K e a temperatura da parede é 300 K. Suponha que a condutibilidade térmica do cobre, constantan e isolamento são 385 W m -1 K -1, 23 W m -1 K -1 e 0.1 W m -1 K -1, respectivamente. Determine o comprimento do termopar que deve ser inserido na conduta de modo a que o erro na leitura da temperatura seja inferior a 0.1 K.

9 isolamento Fio de cobre Fio de constantan d termopar 32. Em muitos casos, o coeficiente de convecção na extremidade de uma alheta, h e, difere do coeficiente de convecção na superfície lateral, h l. Determine a distribuição de temperaturas, a taxa de transmissão de calor, a eficiência e a eficácia de uma alheta de secção transversal uniforme nessas condições. 33. Um chip de secção quadrangular, com 16 mm de lado, tem 16 alhetas de alumínio com 2 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento, dispostas num arranjo quadrangular com passos longitudinal e transversal de 4 mm. Um ventilador promove o escoamento do ar a 25 ºC, sendo o coeficiente de convecção de 110 W / m 2 K. Qual é a potência máxima do chip de modo a que a sua temperatura, suposta uniforme, não exceda 75 ºC? 34. A pá de uma turbina de gás recebe calor dos produtos de combustão por convecção e por radiação. Suponha que a secção transversal da pá é constante e que a extremidade pode ser considerada adiabática. Se a energia emitida por radiação pela pá for desprezável, determine a distribuição de temperaturas ao longo da alheta. 35. Uma alheta de perfil parabólico com 20 mm de comprimento e 6 mm de espessura na base é constituída por um material com condutibilidade térmica igual a 187 W m -1 K -1. Sabendo que a alheta, cuja base é mantida a 500 K, se encontra num meio a 300 K e que o coeficiente de convecção é 2800 W m -2 K -1, determine a taxa de transmissão de calor através da alheta e a sua massa. 36. Um transístor é arrefecido por uma alheta anular, de alumínio, com 5 mm de raio interior, 20 mm de raio exterior e 0.2 mm de espessura. Determine a eficiência da alheta e o calor dissipado quando a base se encontra a 380 K, sendo 300 K a temperatura do meio e 8.2 W m -2 K -1 o coeficiente de convecção. Suponha que a condutibilidade térmica do material é 205 W m -1 K Um aquecedor eléctrico com 5 cm de comprimento e 4 mm de diâmetro dissipa 10 W através das suas extremidades, estando a superfície lateral perfeitamente isolada. Em cada extremidade do aquecedor está montada uma alheta cilíndrica com o mesmo diâmetro e com 10 cm de comprimento. Tanto o aquecedor como as alhetas são constituídos por uma liga de alumínio (k = 190 W m -1 K -1 ). O ar ambiente está a 300 K e o coeficiente de convecção é 50 W m -2 K -1. Determine a temperatura na extremidade das alhetas exposta ao ar. 38. Uma superfície encontra-se a 180 ºC e está em contacto com um fluido a 80 ºC. Determine o acréscimo no calor dissipado se a superfície for revestida por alhetas de perfil triangular com 6 mm de espessura na base, 30 mm de comprimento e espaçadas entre si de 15 mm. Sejam

10 20 W m -2 K -1 e 50 W m -1 K -1 o coeficiente de convecção e a condutibilidade térmica, respectivamente. 39. Corrente eléctrica passa através de um fio de cobre com 1 mm de diâmetro e 20 cm de comprimento. Se as extremidades do fio forem mantidas a 300 K, determine a máxima intensidade de corrente eléctrica que pode passar através do fio de modo a que a sua temperatura não exceda 400 K. O ar ambiente encontra-se a 290 K e o coeficiente de convecção é 20 W m -2 K -1. A condutibilidade térmica do fio é 386 W m -1 K -1, a emissividade é 0.8 e a resistência eléctrica é W m Numa fabrica de moldes, um fio de um dado material emerge de um orifício à temperatura T o e com uma velocidade constante V. O perímetro do fio é P, a sua secção recta é A c e as propriedades térmicas do material são ρ, k e c p. A temperatura ambiente, inferior a T o, é T e e o coeficiente de transmissão de calor por convecção é h. Considerando que o comprimento do fio é muito grande, estabeleça a equação e as condições de fronteira que permitem determinar a distribuição de temperatura ao longo do fio (não resolva a equação). 41. Num processo industrial de estiragem, uma chapa metálica de espessura δ move-se horizontalmente sobre dois rolos, sendo l a distância entre os centros desses rolos e R o seu raio. A superfície superior da chapa, na zona entre os dois rolos, está sujeita a um fluxo de calor uniforme q. A temperatura do meio ambiente é T e os coeficientes de convecção nas faces superior e inferior da chapa são h 1 e h 2, respectivamente. (a) Desprezando a condução axial, determine a temperatura axial da chapa em regime estacionário. (b) Determine a velocidade de rotação dos rolos de modo a temperatura em x = l seja T l. 42. Uma fornalha longa, de secção rectangular (dimensões interiores: 1 m x 1.5 m, dimensões exteriores: 2 m x 2.5 m), é constituída por um material refractário com condutibilidade térmica igual a 1.2 W m -1 K -1. As temperaturas das superfícies interior e exterior são 600 ºC e 60 ºC, respectivamente. Estime o factor de forma de condução e a taxa de transmissão de calor perdida através das paredes. 43. Um pequeno forno laboratorial, cúbico, com 20 cm de lado, está isolado com fibra de vidro de espessura 6 cm. Qual é a potência requerida para manter a temperatura no interior do forno a 440 K quando a temperatura ambiente é 20 ºC, sendo o coeficiente de convecção igual a 7 W m -2 K -1? 44. Um pipeline com 5 km de comprimento e 30 cm de diâmetro exterior encontra-se enterrado, com o centro à profundidade de 1 m. O solo tem uma condutibilidade térmica de 1.5 W/m K. O pipeline é usado para transportar 2.5 kg/s de fuel-óleo, cujo calor específico é 2000 J/Kg K, e cuja temperatura de entrada é 120 ºC. A temperatura da superfície do solo, em contacto com o ar, está a 23 ºC. Suponha que a variação desta temperatura ao longo do tempo é reduzida, de modo que possa assumir condução em regime estacionário. Estime a temperatura de saída do fuel-óleo, para os dois caso seguintes (a) Pipeline sem isolamento

11 (b) Pipeline com isolamento de espessura 15 cm e condutibilidade térmica 0.03 W/m K. 45. Um iglu de geometria hemisférica, construído com neve compactada, tem um raio interior de 1.8 m, sendo a espessura da parede igual a 0.5 m. O coeficiente de convecção no interior do iglu é 6 W m -2 K -1 e no exterior, em condições normais, é 15 W m -2 K -1. O iglu está assente sobre uma camada de gelo. A condutibilidade térmica do gelo e da neve compactada é 0.15 W m -1 K -1. A temperatura da superfície do gelo sobre o qual está construído o iglu é -20 ºC. (a) Assumindo que os ocupantes libertam uma potência calorífica de 320 W dentro do iglu, determine a temperatura do ar no interior quando a temperatura exterior for -40 ºC. Tenha em consideração as perdas de calor através das paredes e do solo. (b) Durante as tempestades, o coeficiente de convecção exterior aumenta significativamente. Isso implicará uma variação apreciável da temperatura no interior do iglu? Justifique. 46. Determine a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, numa barra muito longa, de secção rectangular, com condutibilidade térmica constante. As superfícies x = 0 e y = 0 estão perfeitamente isoladas. As temperaturas nas superfícies x = a e y = b são uniformes e iguais a T 1 e T 2, respectivamente. 47. Uma barra muito longa de secção quadrangular tem 3 dos lados mantidos a uma temperatura T 1 e o outro lado sujeito a um fluxo constante q 1. Determine a distribuição de temperaturas na barra. 48. Uma barra muito longa de secção quadrangular tem 3 dos lados mantidos a uma temperatura T 1 e o outro lado em contacto com um fluido à temperatura T, sendo h o coeficiente de convecção. Determine a distribuição de temperaturas na barra. 49. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a b, está sujeita às seguintes condições de fronteira: T(0,y) = T(x,0) = 300 T(a,y) = sin(π y / b) T(x,b) = sin(π x / a) (a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa. (b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b. 50. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a b, está sujeita às seguintes condições de fronteira: T(0,y) = T(a,y) = 300 q(x,0) = 0 T(x,b) = sin(π x / a) (a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa.

12 (b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b. 51. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a b, está sujeita às seguintes condições de fronteira: T(0,y) = 300 T(a,y) = 400 q(x,0) = 0 T(x,b) = 500 (a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa. (b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b. 52. Uma placa de espessura desprezável e secção quadrangular com 20 cm de lado tem três dos lados mantidos a 30 ºC e o quarto lado tem uma distribuição de temperaturas sinusoidal dada por T = 30 (1 + sin (π x /L)), sendo x [cm] a distância medida a partir de um dos cantos e L o comprimento do lado. Despreze a perda de calor através das faces da placa. (a) Calcule a temperatura no centro da placa. (b) Se a placa tiver 2 mm de espessura e uma condutibilidade térmica de 15 W / m K, determine a taxa de transmissão de calor necessária para manter a placa em regime estacionário. 53. Considere um domínio bidimensional, semi-infinito na direcção x, com largura t, e cuja fronteira em x = 0, é mantida à temperatura F(y). A temperatura ambiente é igual a T, sendo o coeficiente de convecção muito elevado. Determine a distribuição de temperaturas nesse domínio. 54. Considere uma chapa de comprimento muito elevado na direcção x, com espessura t na direcção z, e largura w na direcção y. A base, em x = 0, é mantida à temperatura F(y) e a espessura é muito inferior à largura, isto é, t << w.. A temperatura ambiente é igual a T, sendo o coeficiente de convecção muito elevado no plano y-z e igual a h no plano x-y. Determine a distribuição de temperaturas na chapa. 55. Uma barra infinitamente longa tem secção transversal triangular. Uma das superfícies está à temperatura T 1, outra à temperatura T 2, e a terceira encontra-se perfeitamente isolada. Determine a distribuição de temperaturas na barra. 56. Numa chapa quadrangular com espessura t e lado L tem lugar libertação interna de energia à taxa q &. Os coeficientes de convecção nas superfícies superior e inferior da chapa são h1 e h 2, respectivamente. Ao longo da periferia da chapa a temperatura pode ser considerada igual à temperatura ambiente, T. Determine a distribuição de temperaturas na chapa. 57. A base de uma barra semi-infinita, de secção transversal quadrangular, é mantida à temperatura T o, sendo T a temperatura ambiente. Determine a distribuição de temperaturas na barra em regime estacionário, supondo o coeficiente de convecção muito elevado.

13 58. Uma placa plana infinita, de espessura 2L, com condutibilidade térmica constante, encontrase inicialmente a uma certa temperatura uniforme. Subitamente, a placa é exposta a um fluido a uma temperatura mais baixa. A figura 1 representa o perfil de temperaturas num determinado instante, durante o período de arrefecimento da placa. Estime o número de Biot para este problema. θ* x* Figura Num forno de microondas há uma geração de energia térmica aproximadamente uniforme no interior dos alimentos. Num forno convencional, a superfície dos alimentos é aquecida predominantemente por radiação. Assim, considere uma fatia de carne de forma cilíndrica, com espessura 2L, e represente qualitativamente, para ambos os fornos, a distribuição de temperaturas ao longo do eixo para os seguintes instantes: (a) Instante inicial, t o, em que o forno é ligado. (b) Instante t 1 durante o processo de aquecimento. (c) Instante t 2 em que o forno é desligado. (d) Instante t 3 durante o processo de arrefecimento. Apresente dois gráficos, um para cada forno, representando em cada gráfico os perfis de temperatura para os 4 instantes indicados. Assuma que a fatia de carne é colocada de modo a que ambas as faces são aquecidas de igual modo. 60. Um corpo de volume V, área superficial A, massa específica ρ e calor específico c está inicialmente a uma temperatura uniforme T o. Em t = 0, o corpo é imerso num reservatório que contém um fluido a uma temperatura superior, T o + T. Algum tempo depois, em t = t 1, o corpo, à temperatura uniforme T = T 1, é rapidamente removido do interior do fluido quente e mergulhado num reservatório que contém um fluido a uma temperatura T o - T. Considere, em ambos os processos, que os gradientes internos de temperatura no corpo são desprezáveis e, ainda, que o coeficiente de transmissão de calor por convecção tem o mesmo valor, h. (a) Derive uma expressão para o tempo, t = t 2, ao fim do qual a temperatura do corpo atinge de novo o seu valor inicial, T o. Apresente o resultado em função dos dados do enunciado. (b) Mostre que (t 2 - t 1 ) é sempre inferior a t 1.

14 (c) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução temporal da temperatura do corpo, desde t = 0 até t. 61. Um sólido de volume V e com área superficial A encontra-se à temperatura T e está imerso num fluido à mesma temperatura. A partir de um dado instante, t = 0, começa a libertar-se calor no interior do sólido à taxa q& o exp( β t), em que q & o e β são constantes. Assumindo propriedades constantes e desprezando os gradientes internos de temperatura, deduza uma expressão para a temperatura no sólido em função do tempo para t > Uma placa plana, unidimensional, de espessura L, com propriedades constantes (ρ e c p ), encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme T o. Para t > 0, uma das superfícies da placa recebe um fluxo q, sendo o calor dissipado por convecção na outra superfície para um meio com temperatura uniforme T. Seja h o coeficiente de transmissão de calor. Determine a temperatura na placa ao longo do tempo, supondo que os gradientes térmicos são desprezáveis. 63. Uma pequena esfera metálica é mergulhada num líquido a temperatura diferente. Suponha que o volume de líquido é relativamente pequeno, de tal modo que a sua temperatura varia em resultado do calor trocado com a esfera. Determine a evolução temporal das temperaturas da esfera e do fluido, assumindo que os gradientes espaciais de temperatura são desprezáveis e que o líquido só troca calor com a esfera. 64. Pretende-se colar duas chapas de secção quadrangular, com a mesma superfície, através da aplicação de um fluxo de calor, q, sobre a superfície de uma das chapas. As chapas têm espessuras t 1 e t 2 e condutibilidades térmicas k 1 e k 2, respectivamente. Encontram-se num meio ambiente à temperatura T e com coeficientes de convecção h 1 e h 2, respectivamente. Os gradientes térmicos espaciais podem ser desprezados, sendo a temperatura igual nas duas chapas. Determine o tempo requerido para a colagem das chapas, sabendo que a colagem se dá quando a temperatura atinge um dado valor T m. 65. Uma placa plana de espessura L na direcção x e de comprimento muito elevado nas direcções y e z encontra-se inicialmente a uma temperatura T o. Subitamente, as temperaturas nas faces x = 0 e x = L sobem para T 1 e T 2, respectivamente, mantendo-se depois inalteráveis. Considere propriedades constantes. Determine a distribuição de temperaturas na placa ao longo do tempo. 66. A parede do difusor na exaustão do motor de um foguetão tem uma espessura L = 25 mm e é constituída por uma liga de aço cujas propriedades são ρ = 8000 kg/m 3, c = 500 J/kg K e k = 25 W/m K. Durante um teste de resistência ao fogo, a parede encontra-se à temperatura inicial uniforme de T i = 25 ºC e é exposta aos gases quentes resultante da combustão cuja temperatura é T = 1750 ºC. A superfície exterior está isolada. A parede deve manter-se a uma temperatura pelo menos 100 ºC abaixo da temperatura de fusão do material que é igual a 1600 ºC. Assuma que o diâmetro do difusor é muito maior que a espessura da parede e que o coeficiente de convecção do lado dos gases quentes é igual a 500 W/m 2 K. (a) Determine a temperatura na superfície da parede em contacto com gases ao fim de 30s. (b) Determine o tempo ao fim do qual a temperatura máxima permitida é atingida.

15 67. Uma placa plana de espessura 20 cm, inicialmente à temperatura de 800 K, foi colocada a arrefecer num meio a 300 K. Ao fim de 75 minutos foi medida a temperatura no centro da placa e à superfície, tendo-se registado as temperaturas de 450 K e K, respectivamente. O coeficiente de convecção é 150 W m -2 ºC -1. (a) Determine as propriedades físicas da placa relevantes para o problema descrito (condutibilidade térmica e difusibilidade térmica). (b) Determine o tempo ao fim do qual a diferença entre a temperatura no centro da placa e a temperatura na superfície é igual a 25 ºC. 68. Uma barra de secção circular de um material compósito (k = 1.2 W m -1 K -1, ρ = 1500 kg m -3 e c = 1800 J kg -1 K -1 ) com 3 cm de diâmetro está inicialmente a 30 ºC. É então colocada numa câmara onde vapor saturado a 120 ºC condensa na sua superfície, aquecendo-a. Quando a temperatura no centro da barra atinge 110 ºC, a barra é retirada e arrefecida em ar a 20 ºC até a temperatura no centro atingir 30 ºC. Determine o tempo requerido para cada um destes processos. Assuma que o coeficiente de convecção é muito elevado no processo de aquecimento e igual a 15 W m -2 K -1 no processo de arrefecimento. 69. Uma esfera de aço (k = 36.4 W m -1 K -1, ρ = 7750 kg m -3 e c = 486 J kg -1 K -1 ) de 8 cm de diâmetro é aquecida numa fornalha até atingir uma temperatura uniforme de 800 ºC. Seguidamente é arrefecida por imersão num banho mantido à temperatura de 300 ºC até a temperatura no centro da esfera atingir 500 ºC. Determine o tempo requerido para esse arrefecimento, supondo o coeficiente de convecção muito elevado. 70. Considere uma peça de carne com a forma aproximada de um cilindro, de eixo horizontal, com um diâmetro de 10 cm e uma temperatura inicial de 10ºC, a assar num forno com ar à temperatura de 175ºC e um coeficiente de convecção de 15 W/m 2 K. Considere as propriedades da carne iguais às da água a 300 K: (α=1,4x10-7 m 2 /s, k=0,6 W/mK). Considerando o comprimento infinito: (a) Calcule o tempo necessário para que a temperatura no centro atinja 80ºC. (b) Calcule a temperatura máxima da superfície para as condições da alínea anterior. (c) Admitindo que a temperatura no centro é 80ºC e a da superfície não deve ultrapassar 130ºC e mantendo as outras condições: (i) Calcule qual o coeficiente de convecção máximo que pode utilizar. (ii) Calcule a temperatura máxima do ar que pode utilizar. (d) Se o cilindro for tratado como finito, indique qual a influência nos resultados das alíneas anteriores. 71. Um cubo de aço (k = 50 W/mK, ρ = 7820 kg/m 3, c = 445 J/kgK) com 10 cm de lado, inicialmente a uma temperatura de 400ºC, é imerso num banho de óleo a 80ºC, que permite um coeficiente de convecção de 1 kw/m 2 K. Ao fim de um minuto calcule: (a) A temperatura nos centros das faces do cubo e nos vértices. (b) A temperatura média do cubo.

16 72. Um cubo (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m 3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de lado, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m 2 K. Determine a temperatura no centro, a meio de uma face e nos vértices do cubo, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cubo para o líquido durante esse período. 73. Barras de alumínio com uma secção de 2.5 cm por 5 cm são extrudidas a 500 ºC, como ilustrado na figura. Logo após a extrusão, as barras devem ser preparadas para distribuição, o que requer um arrefecimento rápido. Para esse efeito, as barras passam por uma câmara de arrefecimento onde opera um conjunto de sprays de água, à temperatura de 25 ºC. O coeficiente de convecção entre a água de arrefecimento e a superfície das barras é 5000 W/m 2 K. As propriedades do alumínio são k = 230 W/m ºC, ρ = 2707 kg/m 3 e c p = 896 J/kg K. (a) Se as barras forem extrudidas à velocidade de 0.5 m/s, determine o comprimento L da câmara de arrefecimento requerido para que, à saída, a temperatura no centro das barras seja 150 ºC. (b) Qual é a temperatura máxima na superfície das barras à saída da câmara de arrefecimento? L A 500 o C v spray 74. Um cilindro de cobre (k = 50 W/mK, α = 20x10-6 m 2 /s) com 100 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de 20ºC. O cilindro é colocado entre duas placas que permitem que as suas bases atinjam 500ºC. (Este caso pode ser considerado como coeficiente de convecção infinito). Ao mesmo tempo, a superfície lateral do cilindro é sujeita a convecção forçada com ar a 500ºC com h = 75 W/m 2 K. (a) Calcule ao fim de quanto tempo a temperatura no centro atinge 350 ºC. (b) Calcule a temperatura mínima na superfície do cilindro ao fim do mesmo tempo. Justifique a escolha do ponto do cilindro que considerou para a resolução desta alínea. 75. Um cilindro (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m 3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de diâmetro de 5 cm de altura, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m 2 K. Determine a temperatura no centro e a meio das faces do cilindro, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cilindro para o líquido durante esse período.

17 76. O tratamento térmico de uma peça cilíndrica (ρ = kg/m 3, c p = 420 J Kg -1 K -1 e k = 21.6 W m -1 ºC -1 ) com 5 cm de diâmetro e 10 cm de comprimento, à temperatura inicial de 925 ºC, requer um arrefecimento rápido num banho de óleo à temperatura de 40 ºC. O coeficiente de convecção é 568 W m -2 K -1. (a) Determine o tempo requerido para que a temperatura no centro da peça seja 260 ºC. (b) Determine, para o tempo calculado em (a): (i) A temperatura no centro da base (ii) A temperatura na superfície cilíndrica, num plano equidistante da base e do topo 77. Pretende-se arrefecer dois cilindros de diâmetro D = 10 cm e altura L = 30 cm, inicialmente à temperatura uniforme T i = 500 K. Para esse efeito, são colocados num recinto onde circula ar à temperatura T = 300 K, sendo o coeficiente de convecção igual a 100 W/m 2 K. As propriedades térmicas dos dois cilindros são as seguintes: Cilindro A: ρ A = 8000 kg/m 3 Cilindro B: ρ B = 8000 kg/m 3 k A = 300 W/mK k B = 10 W/mºC c pa = 400 J/kgºC c pa = 500 J/kgK (a) Determine, para ambos os cilindros, o tempo requerido para que a temperatura máxima seja 400 K, desprezando a troca de calor através da base e do topo. (b) Determine, para ambos os cilindros, a temperatura mínima ao fim de meia hora, desprezando a troca de calor através da base e do topo. (c) Repita a alínea anterior assumindo que o coeficiente de convecção na base e topo dos cilindros é igual ao coeficiente de convecção através da superfície lateral. 78. Considere uma ligação eléctrica de cobre (k=380 W/mK, ρ=8900 kg/m 3, c p =380 J/kgK) com um diâmetro de D=12 mm e comprimento de 2L=20 cm, com uma resistência eléctrica de 35x10-6 Ω na qual passa uma corrente de 1000 Amp. Esta ligação é arrefecida através das suas extremidades que são mantidas a 30ºC e através de uma corrente de ar também a 30ºC com um coeficiente de convecção de 30 W/m 2 K. (a) Calcule a distribuição radial de temperatura no cabo no caso de não existir condução na direcção axial. (b) Com base na equação de balanço de energia usada para as alhetas, desprezando os gradientes radiais, mostre que a distribuição de temperatura é dada por: T = T 0 q& D cosh + 1 4h cosh ( 2 h kdx) ( 2 h kdl) (c) Calcule a temperatura no centro do cabo (x = 0) no caso de não existir convecção na superfície lateral e compare o valor com o resultado da alínea anterior e o obtido na alínea (a). (d) No caso do sistema de arrefecimento das extremidades falhar, o cabo aquece, sendo interrompida a corrente eléctrica quando se atinge uma temperatura de 300ºC.

18 Considerando que o cabo se encontra a esta temperatura uniforme, calcule o tempo necessário a partir do momento que se restabelece o sistema de arrefecimento das extremidades do cabo (T 0 = 30ºC), para que a temperatura máxima seja inferior a 100ºC. Considere que se mantém o arrefecimento por convecção pela corrente de ar. T 0 =30º D=12mm L=10 cm x T 0 =30º V =1m/s; T 0 =30ºC 79. Uma alheta bidimensional, de comprimento L na direcção x e espessura 2b na direcção y, encontra-se inicialmente à temperatura T o. No instante t = 0, enquanto a temperatura da base, em x = 0, é mantida à temperatura T o, as temperaturas das superfícies y = ±b e x = L são subitamente colocadas à temperatura T e subsequentemente mantidas a essa temperatura. Determine a distribuição de temperaturas na alheta ao longo do tempo, assumindo propriedades termofísicas constantes. 80. Um copo de água a 300 K com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura é colocado num frigorífico que mantém a temperatura do ar a 277 K. O coeficiente de convecção é 5 W/m 2 K. Ao fim de 6 horas o copo é retirado do frigorífico. Estime a temperatura média da água nesse instante, assumindo que só há condução de calor na água. 81. Uma barra rectangular, com comprimento a e largura b, constituída por um material com condutibilidade térmica constante, k, tem as faces x = 0 e y = b isoladas, a face x = a em contacto com um fluido à temperatura T, sendo h o coeficiente de convecção, e a distribuição de temperaturas na face y = 0 é uma função especificada f (x). (a) Determine a distribuição de temperaturas na barra, em regime estacionário, em função dos dados do problema. (b) Suponha que a barra se encontrava inicialmente a uma temperatura uniforme T i, e que subitamente foram impostas as condições de fronteira acima descritas. Determine ao fim de quanto tempo a temperatura no ponto (x = 0, y = b/2) é igual a 150 ºC. Dados: a = 0.5 m, b = 0.25 m, T i = 600 ºC, T = 20 ºC, f (x) = 20 ºC, k = 10 W m -1 K -1, ρ = 2000 kg m -3, c p = 1500 J kg -1 K -1, h = 10 W m -2 ºC Uma parede espessa de betão, inicialmente a 400 K, é pulverizada com uma grande quantidade de água de modo a manter a superfície a 300 K. Quanto tempo é necessário para que um ponto a 5 cm da superfície arrefeça para 320 K? 83. Uma parede de betão com 15 cm de espessura e com uma absorvidade de 0.9 é exposta a uma fonte radiativa que pode ser aproximada por um corpo negro a 1000 K. Quanto tempo é necessário até que a temperatura da superfície, inicialmente a 300 K, suba para 500 K?

19 84. Uma cabana numa ilha tropical foi usada como refrigerador durante bastante tempo, sendo a temperatura do ar mantida a 5 ºC. Em determinada altura é desactivada, permitindo a circulação livre do ar a 27 ºC. Ao fim de quanto tempo a temperatura a 1 m de profundidade atinge 15 ºC? Considere h = 3 W m -2 K -1, k = 2.6 W m -1 K -1, α = 0.45 x10-6 m 2 /s. 85. Num local onde a temperatura no solo pode ser tomada como uniforme e igual a 20 ºC, uma tempestade reduz subitamente a temperatura do ar para -15 ºC. Qual é a temperatura na superfície do solo 4 horas após o início da tempestade? Nessa altura, a que profundidade é que a temperatura é de 0ºC? Ignore efeitos de mudança de fase e assuma h = 20 W m -2 K -1, α = 0.40 x10-6 m 2 /s. 86. Duas placas de aço inoxidável (ρ = 8000 kg/m3, c p = 500 J/kg K, k = 15 W/m K), com 20 mm de espessura e isoladas numa das faces, estão uma a 400 K e a outra a 300 K. Qual a temperatura na face isolada da placa quente 1 minuto após as placas serem pressionadas uma contra a outra através das faces não isoladas? 87. Uma barra longa, com os lados bem isolados, tem um aquecedor numa extremidade que provoca uma variação sinusoidal da temperatura entre 100 e 200 ºC durante um período de 90.9 s. Dois termopares colocados a 10 e a 70 cm dessa extremidade medem a temperatura, verificando-se haver um desfasamento de 15 minutos entre as temperaturas máximas registadas por esses termopares. Se a massa específica do material for 8300 kg/m 3 e o calor específico for 470 J/kg K, qual será a sua condutibilidade térmica? 88. Um termopar está instalado numa parede de um motor Diesel com 5 cm de espessura, num ponto a 1 mm da superfície. Num teste efectuado a 1000 rpm verificou-se que o termopar regista uma temperatura de 322 ºC e a amplitude térmica é 0.79 ºC. Se a variação de temperatura for sinusoidal, estime a amplitude térmica à superfície e a diferença de fase entre a superfície e o ponto onde está localizado o termopar. Suponha que α = 12 x 10-6 m 2 /s e k = 40 W m -1 K No escoamento sobre uma superfície, o perfil de temperatura tem a seguinte forma: T 2 3 ( y) = A + By + Cy Dy onde os coeficientes A a D são constantes. Determine o coeficiente de transmissão de calor por convecção, h, em termos de T, coeficientes do perfil e propriedades do fluido. 90. O perfil de temperaturas na camada limite térmica de um escoamento sobre uma placa aquecida é dado por: T T T s T s u = y 1 exp Pr ν em que y é a distância normal à superfície, o número de Prandtl é 0.7, T = 400 K, T s = 300 K, u = 0.1 ms -1, c p = 1 kj kg -1 K -1 e ν = m 2 s -1. Determine o coeficiente de convecção.

20 91. Uma expressão aproximada para o perfil de temperaturas numa camada limite térmica é T T T s T s = 2 δ t y x y 2 ( ) [ δ ( x) ] 2 enquanto a espessura da camada limite térmica pode ser aproximada por ( ) δt x 5.5 = x Re Pr 1 2 x t 1 3 Escreva uma expressão para o coeficiente de convecção local. 92. A espessura da camada limite térmica é aproximadamente 13% maior do que a espessura da camada limite hidrodinâmica num escoamento laminar de ar a 20 ºC, à pressão atmosférica, sobre uma placa plana isotérmica. Qual será a relação correspondente entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica num escoamento semelhante de água? 93. Uma chumaceira opera a 3600 rpm e é lubrificada com óleo cujas propriedades são ρ = 800 kg/m 3, ν = 10-5 m 2 /s e k = 0.13 W/m K. O diâmetro do veio é 75 mm e o espaçamento entre o veio e a chumaceira é 0.25 mm. (a) Determine a distribuição de temperaturas no óleo assumindo que não há transmissão de calor para o veio e que a superfície lubrificada da chumaceira é mantida a 75 ºC. (b) Qual é a taxa de transmissão de calor para a chumaceira e qual a potência necessária para manter a chumaceira em funcionamento? 94. Ar à temperatura de 15 ºC e com uma velocidade de 15 m/s escoa-se paralelamente a uma placa plana cuja superfície é aquecida e mantida a 140 ºC. A área da placa é 0.25 m 2 e a força de resistência ao escoamento é 0.25 N. Qual é a potência de aquecimento requerida para manter a placa àquela temperatura? 95. Considere o escoamento laminar, a baixa velocidade, com propriedades constantes, completamente desenvolvido, entre duas placas planas paralelas localizadas em y = ±b. Essas placas estão electricamente aquecidas, sendo o fluxo de calor na parede uniforme. Mostre que: 2 [ ] (a) O perfil de velocidades é dado por u = ( y b) do fluido. (b) O factor de atrito é f = 96 / Re Dh, sendo D h o diâmetro hidráulico. (c) O número de Nusselt é 140/17 = u m, sendo u m a velocidade média 96. Suponha que, no problema anterior, uma das placas está isolada enquanto a outra é mantida a temperatura constante, sendo agora a velocidade do escoamento suficientemente elevada, de modo que a dissipação viscosa é significa. Determine o perfil de temperaturas.

21 97. Suponha que, no problema 95, uma das placas está isolada e a outra é uniformemente aquecida. Mostre que o número de Nusselt é 140/26 = O comportamento de uma camada limite pode ser significativamente influenciado pela adição ou remoção de fluido na superfície sólida, mediante injecção ou extracção de fluido através dessa superfície. Suponha que o fluido é aspirado através da superfície com uma velocidade de sucção v o. Assuma que a quantidade de fluido removido é suficientemente pequena de modo a que a tensão de corte na parede seja ainda dada pela mesma expressão que se tem para uma parede impermeável. (a) Usando a solução exacta para u = u(y), determine o coeficiente de coeficiente de tensão de corte superficial local, longe do bordo de ataque. (b) Usando a solução exacta para T = T(y), determine o coeficiente convecção local, longe do bordo de ataque. 99. Considere o escoamento de um gás, a baixa velocidade, com propriedades constantes, entre duas paredes porosas. O mesmo gás é introduzido através de uma das paredes e removido através da outra, sendo a componente normal da velocidade, v s, igual nas duas paredes. Uma das paredes encontra-se à temperatura T 1 e a outra à temperatura T 2. Determine os perfis de velocidades e de temperatura longe da entrada No escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana isotérmica, de comprimento L, o número de Nusselt é: Pr 50 1/ 2 1/ 3 Nu x = 0,332 Re x Pr para 0.6 (a) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução do fluxo de calor local, longo da placa. (b) Determine a posição x (distância ao bordo de ataque da placa de comprimento L) onde o fluxo de calor local, " q x, iguala o fluxo de calor médio para toda a placa, (c) Qual a razão entre o fluxo de calor local a meio da placa e o fluxo de calor médio para toda a placa. Comente o resultado obtido Ar a 20 ºC e à pressão de escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 60 m/s. O comprimento da placa é 25 cm. Calcule a espessura da camada limite a 5, e 25 cm do bordo de ataque Ar a 15 ºC e à pressão atmosférica escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 6 m/s. A placa é mantida à temperatura de 105 ºC ao longo de todo o seu comprimento. (a) Deduza uma expressão para o coeficiente de convecção local ao longo da placa, enquanto o escoamento se mantiver em regime laminar. (b) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de largura desde o bordo de ataque até uma distância de 1 m desse ponto. " q L. (c) Determine a espessura da camada limite hidrodinâmica a 1 m do bordo de ataque. " q x, ao