SOLUÇÃO GENÉRICA DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE UNIDIMENSIONAL PARA ELEVADAS ORDENS DE QUADRATURA. Cynthia F. Segatto e Marco Túllio M. B.

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1 OLUÇÃO GEÉRICA DA EQUAÇÃO DE TRAPORTE UIDIEIOAL PARA ELEVADA ORDE DE QUADRATURA Cynthia F egatto e arco Túllio B de Vilhena Inituto de atemática, Universidade Federal do Rio Grande do ul Av Bento Gonçalves, 9500 CEP cynthia@cesupufrgsbr Vilhena@cesupufrgsbr REUO ee trabalho é propoo um método recursivo de inversão da matriz sa+b associada à solução analítica de aproximações da equação de transporte Ee método combina a decomposição de chur e o método do particionamento para inversão de matrizes bloco Resultados numéricos são apresentados ITRODUÇÃO Recentemente foi propoa uma solução analítica para as aproximações [-8], P [9,0], W [],Ch [,3], A [4] e LD [5] da equação de transporte que resultam na resolução de um siema de equações diferenciais ordinárias [6] A idéia básica do método consie na aplicação da transformada de Laplace no siema de equações diferenciais ordinárias provenientes da aproximação da equação linear de transporte unidimensional, solução analítica da equação matricial resultante para o fluxo angular transformado e reconrução do fluxo angular pela técnica de expansão de eaviside Cabe ressaltar que a matriz simbólica a ser invertida é do tipo sa+b, onde A e B são matrizes que contém os parâmetros da equação de transporte e s é um parâmetro complexo proveniente da aplicação da transformada de Laplace Cumpre também observar que no caso da aproximação a matriz A reduz-se a matriz identidade Os métodos usuais para inversão deas matrizes (si+b e sa+b) são feitas através da definição de matriz inversa [] e pelo algoritmo de Trzasa [9] Para viabilizar a aplicação do método genérico na solução de problemas que requerem elevada ordem de quadratura, bem como controle de erro, é propoo um método recursivo de inversão da matriz genérica sa+b A idéia básica consie na combinação da decomposição generalizada de chur [7] e o método do particionamento para inversão de matrizes bloco [8] erão apresentadas simulações numéricas para a inversão da matriz LT, com variando de 00 até 390 O ÉTODO GEÉRICO Consideremos o seguinte problema de transporte µ τ ψ ( τ, µ ) + σ ψ ( τ, µ ) = + () σ s ( µ ', µ ) ψ ( τ, µ ') dµ ' + Q( τ, µ ) sujeito às condições de contorno ψ ( 0, µ ) = f ( µ ), µ > 0 e t (a) ψ ( L, µ ) = g( µ ), µ < 0, (b) onde ψ ( τ, µ ) é o fluxo angular de partículas em τ, na direção µ, σ t é a seção de choque total e σ ( µ ', µ ) é a s seção de choque diferencial de espalhamento A aproximação da equação linear de transporte, é obtida pela aproximação do termo integral da equação () por quadratura de Gauss de ordem e pela aplicação do método da colocação na variável angular, considerando como função tee a Delta de Dirac e usando como pontos de colocação as raízes do polinômio de Legendre de grau A aproximação A, é encontrada transformando o domínio da variável angular do fluxo angular de partículas do intervalo [-,] no intervalo [0,] e aproximando o termo integral por quadratura de Gauss As aproximações P, W, e Ch

2 são encontradas expandindo o fluxo angular, na variável angular, em séries truncadas de polinômios de Legendre, funções de Walsh e polinômios de Chebyshev, na equação () e tomando os momentos Finalmente, a aproximação LD é obtida considerando uma expansão linear do fluxo angular de partículas na variável angular em cada nó da malha angular, subituindo eas expansões na equação () e tomando os momentos Todas eas aproximações podem são descritas por uma equação diferencial da forma d A φ x Bφ x x dx ( ) + ( ) = ( ), () onde as matrizes A e B e os vetores φ ( x ) e ( x ) dependem da aproximação considerada Para as aproximações e A, os elementos dees vetores são respectivamente o fluxo angular transformado e o termo de fonte nas direções discretas as aproximações P, W e Ch os elementos dos vetores são respectivamente as expansões do fluxo angular de partículas e da fonte em termos dos polinômios de Legendre, funções de Walsh ou polinômios de Chebychev na variável angular Aplicando a transformada de Laplace na equação () obtemos, _ ( As + B) φ( s) = φ( 0 ) + ( s) (3) _ Aplicando a transformada inversa em (3), temos a solução de () como, ( A B ) Aφ ( A + B ) φ ( ) ( ) x = L s + ( 0 ) + (4) L ( s ) * ( x) onde a erela denota convolução As componentes desconhecidas do vetor φ ( 0 ) para o problema de contorno () podem ser obtidas resolvendo-se o siema linear resultante da aplicação das condições de contorno (a) e (b) na equação (4) Devemos ainda notar que nos métodos A e a matriz A é a identidade 3 IVERÃO DA ATRIZ sa+b Vamos considerar a matriz ( s) = sa + B (5) onde os elementos das matrizes A e B não dependem do parâmetro s Primeiramente vamos aplicar a decomposição genérica de chur [] nas matrizes A e B Assim temos que A = Q TZ e B = Q UZ (6) onde U e T são matrizes triangulares superiores e Q e Z são matrizes unitárias e Q é a conjugada transpoa da matriz Q Dea forma temos que, ( sa B) ( sq TZ Q UZ) [ ( s + ) ] = ( s + ) + = + =, (7) Q T U Z Z T U Q com st + U = (8) Para procedermos a inversão da matriz (8), vamos usar o seguinte resultado de inversão de matrizes bloco, C D C C DE 0 E = 0 E (9) Agora, vamos considerar a seguinte seqüência de matrizes, [ ] = + = 0 u (0) 3 = 0 0 = ,, (0a) (0b) (0c) Aplicando a fórmula (9) na seqüência de matrizes (0), obtemos que, = ()

3 3 = 0 = 0 0 ( ) = ,, (a) (b) (c) Para encontrarmos a transformada inversa de Laplace, usamos o método de expansão de eaviside, assim precisamos conhecer uma fórmula para o cálculo da matriz adjunta abendo que determinante da matriz triangular,, é dado por, ( ) = ( ) det ii ii temos que i= Adj( ) = det( ) =, (),, Adj( )( ) Adj( ) (3),, [ 0 0] det( ) Finalmente, usando a eq (7) e a técnica de expansão de eaviside obtemos, [( ) ] ( ) ( det( )) [ ] L sa + B = Z L st + U Q = Z Adj( ) s= si i= d ds s= si Q, (4) onde s = u / t e Z denota a matriz conjugada i ii ii transpoa (hermiteana) da matriz Z 4 REULTADO UÉRICO o que segue, usamos a formulação de inversão eabelecida na seção anterior na solução LT para o cálculo do fluxo escalar de partículas em uma placa plana homogênea de expessura ótica unitária, fluxo incidente unitário em τ = 0 e vácuo em τ = Consideramos, ainda, albedo de espalhamento ω = 09 e a lei de espalhamento descrita pela tabela TABELA - Lei de Espalhamento l β l l β l l β l 0, v A implementação do algorítimo de inversão foi feita em FORTRA 90, e pode rodar tanto em microcomputadores PC como em super-computação Para sua implementação foram utilizadas sub-rotinas do LAPACK [9] a tabela apresentamos os resultados obtidos no CRAY Y-P-E, com variando de 00 até 390 Analisando os resultados, apresentados, é facilmente detetada a convergência da solução LT com pelo menos seis dígitos significativos quando =390 Ee argumento é reforçado pela comprovada convergência do método LT para a solução exata da equação unidimensional de transporte [0] Agora, pretendemos aplicar o método LT, com a inversão propoa, para problemas de transferência radiativa em nuvens com aniotropia de grau 300

4 TABELA - Fluxo Escalar considerando ω = 0,9 τ = 0 τ = 05 τ = AGRADECIETO O segundo autor agradece ao CPq (Conselho acional de Desenvolvimento Tecnológico e Científico) pelo apoio parcial na realização dee trabalho Os autores também agradecem ao CEUP (Centro acional de uper Computação da Universidade Federal do Rio Grande do ul), onde foi implementado o algorítmo ABTRACT In this wor, it is proposed a recursive inversion method of the matrix sa+b, associated to analytical solution of the transport equation approach This method combine the chur decomposition and the partitioned method for bloc matrix inversion umerical results are presented REFERÊCIA [] Barichello, L B; Formulação Analítica Para olução do Problema de Ordenadas Discretas Unidimensional Tese de Doutorado pelo Programa de Pós-Graduação de Engenharia ecânica (PROEC), UFRG, 99 [] Vilhena, T and Barichello, L B; A ew Analytical Approach to olve the eutron Transport Equation Kerntechni, vol 56 pp , 99 [3] Vilhena, T and Barichello, L B; A General Approach to One-Group One-Dimensional Transport Equation Kerntechni, vol 58 pp 8-84, 993 [4] Vilhena, T and Barichello, L B; An Analytical olution For The ulti-group lab Geometry Discrete Ordinates Problem Transport Theory and tatiical Physics, vol 4 pp , 995 [5] egatto, C F; Extensão da Formulação LT Para Problemas de Transporte em imetria Azimutal e Problemas Dependentes do Tempo Tese de Doutorado pelo Programa de Pós-Graduação de Engenharia ecânica (PROEC), UFRG, 995 [6] egatto, C F and Vilhena, T; Extension of the LT Formulation For Discrete Ordinates Problem Without Azimutal ymmetry Annals of uclear Energy, vol pp 70-70, 994 [7] Vilhena, T, egatto, C F and Barichello, L B; A Particular olution For the Radiative Transfer Problems Journal of Quantitative pectroscopy and Radiativa Transfer vol 53 pp , 995 [8] Vilhena, T, egatto, C F; A ew Iterative ethod to olve the Radiative Transfer Equation Journal of Quantitative pectroscopy and Radiativa Transfer, vol 55 pp , 996 [9] trec, E E; olução Analítica Para a Aproximação P da Equação de Transporte Linear Unidimensional Tese de Doutorado pelo Programa de Pós-Graduação de Engenharia ecânica (PROEC), UFRG, 993 [0] Vilhena, T and trec, E E; An Aproximated Analytical olution For The One-Group lab-geometry eutron Transport Equation; vol 57 pp 96-98, 99 [] Cardona, A V and Vilhena, T; A olution of Linear Tranfer Equation Using Walsh Function and Laplace Transform Annals of uclear Energy, vol pp , 994 [] Cardona, A V and Vilhena, T; A olution of The Linear Transport Equation Using Chebychev Polinomials and Laplace Transform Kernthechni, vol 59 pp 78-8, 994 [3] Cardona, A V, egatto, C F and Vilhena, T; olução da Equação Bidimensional de Transporte Pelo étodo LTCh, Anais do V Congresso Geral de Energia uclear (V CEGE) em CD, Rio de Janeiro, 996 [4] Cardona, A V and Vilhena, T; Analytical olution For the A Approximation Progress in uclear Energy, vol 3 pp 9-3, 997

5 [5] Barros, R, Cardona, A V and Vilhena, T; Analytical umerical ethod Applyied to Linear Discontinuous Angular Approximations of The Transport Equation in lab Geometry Kernthechni, vol 6 pp -6, 996 [6] Cardona, A V; étodo Genérico de olução Analítica Para Aproximações da Equação Linear de Transporte Tese de Doutorado pelo Programa de Pós- Graduação de Engenharia ecânica (PROEC), UFRG, 996 [7] Golup, G and Van Loan, C F; atrix Computation The Jonhs opins University Press, 989 [8] Demidovich, B P and aron, I A; Computational athematics ir Publishers, 987 [9] Anderson, E et Alli; LAPACK, User s Guide ociety for Indurial and Applied athematics - IA, Philadelphia, 99 [0] Pazos, R P and Vilhena, T; Convergence of the LT ethod: An Approach of C 0 -emi-group To appear