Dep. Matemática Pura. FCUP ÁLGEBRA LINEAR II

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1 Dep. Matemática Pura. FCUP ÁLGEBRA LINEAR II Resumo das aulas teóricas e práticas 1. o ano da licenciatura em Matemática Ano lectivo de 005/06 João Nuno Tavares

2 ÍNDICE: 1 Determinantes. Produtos vectorial e misto (ou triplo) em IR Determinantes Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR 3. Interpretação geométrica do determinante Interpretação geométrica do det A Espaços vectoriais com produto interno 10.1 Espaços Euclideanos reais Espaços Hermitianos (ou Unitários) complexos Norma Ortogonalidade Aplicações à geometria Bases ortonormadas num espaço vectorial com produto interno Método de ortogonalização de Gram-Schmidt Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima Aplicações. Mínimos quadrados Exercícios Subespaços invariantes. Subespaços próprios. Valores próprios Conjugação Subespaços invariantes Valores e vectores próprios de um operador linear. Operadores diagonalizáveis Cálculo de valores e vectores próprios Sistemas dinâmicos lineares discretos Exercícios Transformações ortogonais e unitárias Transformações ortogonais e unitárias. Exemplos Isometrias em IR. Os grupos O() e SO()

3 1 4.3 Isometrias em IR 3. Rotações. Ângulos de Euler. Os grupos O(3) e SO(3) Transformações unitárias em C. Os grupos U() e SU() Exercícios Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos) Teorema espectral para operadores auto-adjuntos Diagonalização de formas quadráticas reais Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas reais Exercícios Cónicas e quádricas afins Parábola, Elipse e Hipérbole Quádricas Cónicas e quádricas afins Redução à forma canónica da equação geral de uma cónica Quaterniões e Rotações 95 Referências 1. T.M. Apostol: Calculus, vol.1 e vol.. Xerox College Publishing International Textbook series, Postnikov M.: Leçons de Géométrie, vol.1 e. Éditions MIR, Moscou, Banchoff T., Wermer J.. Linear Algebra through Geometry. UTM, Springer- Verlag, New York, Smith L.: Linear Algebra. UTM, Springer-Verlag, New York, Curtis C.W.: Linear Algebra, An Introductory Approach. UTM, Springer- Verlag, New York, Lipschutz S.: Linear Algebra. Schaum s Outline Series. McGraw-Hill Book Company, Hernández E.: Álgebra y Geometría (. a edicion). Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1994.

4 Capítulo 1 Determinantes. Produtos vectorial e misto (ou triplo) em IR Determinantes [ a b 1.1 Matrizes... Dada uma matriz A =, com entradas em Ik, definimos o c d seu determinante det A, como sendo o escalar: [ a b det A = det = ad bc Ik (1.1.1) c d Representemos por A 1 = [ a c Um cálculo directo mostra que: e ainda que: e A = [ b d as colunas da matriz A, de tal forma que: det A = det [A 1 A = ad bc (1.1.) det [A 1 A 0 sse A 1, A são linearmente independentes (1.1.3) det [A 1 A = det [A A 1 (1.1.4) det [A 1 + A 1 A = det [A 1 A + det [A 1 A (1.1.5) det [A 1 A + A = det [A 1 A + det [A 1 A (1.1.6) onde A t é a transposta de A. det [λ A 1 A = λ det [A 1 A = det [A 1 λ A λ Ik (1.1.7) det I = 1 (1.1.8) det (AB) = det A det B (1.1.9) det (A 1 ) = (det A) 1 A GL(; Ik) (1.1.10) det (P 1 A P ) = det A P GL(; Ik) (1.1.11) det (A) = det (A t ) (1.1.1)

5 1.1. Determinantes 3 Além disso é possível provar que para uma matriz A M, (Ik): A é inversível se e só se det A 0 e, nesse caso: [ A 1 a b = c d 1 = 1 [ det A d c b a (1.1.13) Finalmente, se L : V V é um operador linear num espaço vectorial V de dimensão, sobre Ik, define-se o respectivo determinante det L, como sendo o determinante da matriz de L, relativamente a uma qualquer base de V. Por (1.1.10), esta definição não depende da base escolhida. Veremos en breve uma interpretação geométrica para det L, no caso real. 1. Matrizes Dada uma matriz A =, com entradas em Ik, definimos o seu determinante det A, como sendo o escalar: a b c det A = det d e f g h k [ [ e f d f = a det b det h k g k Representemos por: A 1 = as colunas da matriz A, de tal forma que: a d g, A = É possível mostrar as seguintes propriedades do det : b e h a b c d e f g h k [ d e + c det g h e A 3 = c f k Ik (1.1.14) det A = det [A 1 A A 3 (1.1.15) (i). det [A 1 A A 3 0 sse A 1, A, A 3 são linearmente independentes. (ii). det [A 1 A A 3 muda de sinal, sempre que se permuta um par de colunas. (iii). det [A 1 + A 1 A A 3 = det [A 1 A A 3 + det [A 1 A A 3 (1.1.16) det [A 1 A + A A 3 = det [A 1 A A 3 + det [A 1 A A 3 (1.1.17) det [A 1 A A 3 + A 3 = det [A 1 A A 3 + det [A 1 A A 3 (1.1.18) det [λ A 1 A A 3 = λ det [A 1 A A 3 = det [A 1 λ A A 3 = det [A 1 A λ A 3 λ Ik (1.1.19)

6 1.1. Determinantes 4 e ainda que: (iv). onde A t é a transposta de A. det I = 1 (1.1.0) det (AB) = det A det B (1.1.1) det (A 1 ) = (det A) 1 A GL(3; Ik) (1.1.) det (P 1 A P ) = det A P GL(3; Ik) (1.1.3) det (A) = det (A t ) (1.1.4) (v). Além disso é possível provar que para uma matriz A M 3,3 (Ik): Nesse caso, a inversa de A = A é inversível se e só se det A 0 a b c d e f g h k lugar definimos a chamada matriz adjunta de A, adj A, através de: pode ser calculada da seguinte forma: em primeiro adj A = e h b h b e f k c k c f d g a g a d f k c k c f d g a g a d e h b h b e t (1.1.5) Esta matriz é pois obtida substituindo cada entrada de A pelo determinante, chamado o cofactor dessa entrada, obtido por remoção da linha e coluna que contêm essa entrada, afectado de um sinal + ou, como está indicado. Finalmente: A 1 = 1 adj A (1.1.6) det A Se L : V V é um operador linear num espaço vectorial de dimensão 3, sobre Ik, define-se o respectivo determinante det L, como sendo o determinante da matriz de L, relativamente a uma qualquer base de V. Por (1.1.3), esta definição não depende da base escolhida. Veremos en breve uma interpretação geométrica para det L, no caso real. 1.3 Matrizes n n... A generalização da função determinante para matrizes quaisquer n n, está contida no teorema seguinte, cuja demonstração omitimos. Dada uma matriz A M n (Ik), digamos A = [A i j, representemos por A 1, A,, A n as respectivas n colunas. A matriz A será escrita na forma: A = [A 1 A A n

7 1.1. Determinantes Teorema... Existe uma única aplicação det : det : M n (Ik) Ik A det A (1.1.7) que satisfaz as seguintes três propriedades: det [A 1 A i A j A n = det [A 1 A j A i A n det [A 1 A i + λ A i A n = det [A 1 A i A n + λ det [A 1 A i A n det 1 n = 1, onde 1 n é a matriz identidade n n. Esta função determinante verifica, além disso, as seguintes propriedades: 1. det (AB) = det A det B. det (A t ) = det A 3. det A 0 se e só se A fôr inversível. 4. Se A fôr inversível, então det (A 1 ) = (det A) 1 5. det (P 1 AP ) = det A, se P fôr inversível. 6. Se à se obtem a partir de A, usando as transformações elementares sobre A então: det à = λdet A, se à se obtem a partir de A multiplicando uma linha (ou uma coluna) por λ Ik. det à = det A, se à se obtem a partir de A permutando duas linhas (ou duas colunas). det à = det A, se à se obtem a partir de A substituindo uma linha (respectivamente, uma coluna) pela que se obtem somando a essa linha (respectivamente, coluna) um múltiplo escalar de uma outra. 7. O det A pode ser obtido pela seguinte regra de Laplace: fixamos uma qualquer linha i da matriz A = [A i j e desenvolvemos segundo esta linha : det A = n ( 1) i+j A i j det Âi j (1.1.8) j=1 onde Âi j representa a matriz (n 1) (n 1) que se obtem a partir de A, omitindo a linha i e a coluna j.. Estas propriedades serão usadas sistemàticamente no cálculo prático de determinantes. Finalmente, se L : V V é um operador linear num espaço vectorial de dimensão n, sobre Ik, define-se o respectivo determinante det L, como sendo o determinante da matriz de L, relativamente a uma qualquer base de V. Como det (P 1 LP ) = det L, se P fôr inversível, esta definição não depende da base escolhida.

8 1.. Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR 3. Interpretação geométrica do determinante 6 1. Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR 3. Interpretação geométrica do determinante 1.5 Produto vectorial em IR 3... Comecemos por recordar o que é o produto vectorial x x de dois vectores em IR 3. Dados dois vectores x = y z e x = y z, em IR 3, define-se o produto vectorial x x, de x por x, como sendo o seguinte vector de IR 3 : x x def = (yz y z) i + (zx z x) j + (xy x y) k (1..1) O produto vectorial x y, pode ser obtido desenvolvendo segundo a primeira linha, o determinante formal: i j k x y = det x y z x y z 1.6 Propriedades... A seguir indicam-se as propriedades mais importantes deste produto vectorial, todas elas de demonstração simples (que deve ser feita como exercício). O produto vectorial é bilinear: (x + y) z = x z + y z x (y + z) = x y + x z λ x y = x λ y = λ (x y), λ IR, x, y, z IR 3 (1..) O produto vectorial é antissimétrico: x y = y x (1..3) Além disso, se x IR 3 e y IR 3, são ambos não nulos, então: 1. x y é perpendicular a x e a y, i.e.:. (x y) x = 0 = (x y) y (1..4) Se x e y são linearmente independentes, x y é perpendicular ao plano gerado por x e y. x y = x y sin θ (1..5) onde θ é o ângulo entre x e y. Portanto, x y é igual à área do paralelogramo cujos lados adjacentes são x e y. 3. x y = 0 x e y são linearmente dependentes.

9 1.. Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR 3. Interpretação geométrica do determinante 7 4. O produto vectorial não é associativo. De facto: (x y) z = (x z)y (y z)x (1..6) enquanto que: x (y z) = (x z)y (x y)z (1..7) Em particular, se consideramos o paralelogramo de lados adjacentes x = contido no plano z = 0, vemos que a respectiva área é dada por: x x = = i j k det x y 0 x y 0 [ x y det x y = xy x y x y 0 e x = = área do paralelogramo gerado por x e x (1..8) x y 0, Uma equação (cartesiana) para o plano vectorial span IR {u, v}, gerado por dois vectores u, v IR 3 {0}, linearmente independentes, é: (u v) x = 0 (1..9) 1.7 Produto misto (ou triplo) em IR 3... produto misto (ou triplo). Definamos agora, ainda em IR 3, o chamado Dados três vectores x, y, z em IR 3, define-se o produto misto (ou triplo) [x, y, z, de x, y e z (por esta ordem), através de: É fácil ver que [x, y, z é dado por: [x, y, z x (y z) (1..10) [x, y, z = det [x y z x 1 y 1 z 1 = det x y z (1..11) x 3 y 3 z Propriedades... Eis algumas propriedades do produto triplo: São válidas as igualdades seguintes, que se deduzem das propriedades sobre determinantes: [x, y, z = [y, z, x = [z, x, y = [y, x, z = [x, z, y = [z, y, x (1..1)

10 1.3. Interpretação geométrica do det A 8 O volume vol (x, y, z), do paralelipípedo de lados adjacentes x, y, z IR 3, é igual ao módulo do produto misto: vol (x, y, z) = [x, y, z (1..13) Com efeito, o volume de um paralelipípedo é igual ao produto da área da base pela sua altura. A base é o paralelogramo de lados adjacentes x e y, e por isso, a sua área é x y. A altura é igual à norma da projecção de z sobre um vector perpendicular à base. Mas x y é perpendicular à base, e, portanto, a projecção de z sobre x y, é igual a: donde se deduz fàcilmente o resultado. z (x y) x y (x y) (1..14) Quando x 1, x e x 3 são linearmente independentes, de tal forma que: det [x 1 x x 3 0 dizemos que a base ordenada {x 1, x, x 3 } é positiva se det [x 1 x x 3 > 0, e negativa se det [x 1 x x 3 < Interpretação geométrica do det A Consideremos agora uma aplicação linear A : IR 3 IR 3. A imagem do cubo Q IR 3, gerado pelos vectores da base canónica (que é positiva) {e 1, e, e 3 }: Q = {ae 1 + be + ce 3 : 0 a, b, c 1} é o paralelipípedo A(Q), de lados adjacentes A(e 1 ), A(e ) e A(e 3 ). a 1 Pondo A(e 1 ) = a 1 1 e 1 + a 1 e + a 3 1 e 1 a 1 3 = a 1, A(e ) = a 1 a 3 e 1 + a e + a 3 e 3 = a, e 1 a 3 a 1 A(e 3 ) = a 1 3 e 1 + a 3 e + a 3 3 e 3 3 = a 3 sabemos que o volume deste paralelipípedo é igual a: a 3 3 Portanto: vol A(Q) = [A(e 1 ), A(e ), A(e 3 ) = det [A(e 1 ) A(e ) A(e 3 ) a 1 = det 1 a 1 a 1 3 a 1 a a 3 a 3 1 a 3 a 3 3 = det A (1.3.1) vol A(Q) = det A (1.3.) Mais geralmente, se P é um paralelipípedo gerado pelos vectores x, y e z, então a imagem A(P) é o paralelipípedo gerado por A(x), A(y) e A(z), e é fácil provar que o volume dessa imagem é igual a: vol A(P) = [A(x), A(y), A(z) = det [A(x) A(y) A(z) = det A vol (P) (1.3.3)

11 1.3. Interpretação geométrica do det A 9 Em particular, se os vectores x, y e z são linearmente independentes, de tal forma que vol P 0, então: vol A(P) det A = (1.3.4) vol P Diz-se que uma aplicação linear inversível A : IR 3 IR 3 preserva a orientação (ou é positiva) se det A > 0, e que inverte a orientação (ou é negativa) se det A < 0.

12 Capítulo Espaços vectoriais com produto interno.1 Espaços Euclideanos reais.1 Definição... Seja V um espaço vectorial real. Um produto interno em V é, por definição, uma aplicação: : V V IR (.1.1) (u, v) u v que satisfaz as três propriedades seguintes: [PI1. é uma forma bilinear: (u + v) w = u w + v w u (v + w) = u w + u w λu v = u λv = λ u v (.1.) [PI. é uma forma simétrica: u v = v u (.1.3) [PI3. é não degenerada: u v = 0 v V u = 0 (.1.4) u, v, w V, λ IR. Um produto interno diz-se um produto interno Euclideano, se satisfaz além disso a seguinte propriedade: [PI4. é uma forma definida positiva: u u 0, u V (.1.5) Um espaço vectorial real, munido de um produto interno Euclideano chama-se um espaço Euclideano. Outras notações muito comuns para u v são por exemplo u, v, β(u, v), g(u, v), u v ou ainda u v. 10

13 .1. Espaços Euclideanos reais 11. Exemplo [Produto interno Euclideano usual em IR n... Dados dois vectores x = [x i e y = [y i, em IR n, define-se o respectivo produto interno (Euclideano), como sendo o escalar x y IR, dado por: x y def = n x i y i = x 1 y 1 + x y + + x n y n i=1 = x t y em notação matricial (.1.6) O espaço vectorial IR n, munido deste produto interno Euclideano, diz-se o espaço Euclideano usual e nota-se por IE n..3 Exemplo [Produto interno L em C o ([a, b, IR)... Consideremos o espaço vectorial real constituído pelas funções contínuas reais, definidas no intervalo [a, b IR. Dadas duas funções f, g C o ([a, b, IR), define-se o respectivo produto interno L, como sendo o escalar f g IR, dado por: f g def = b a f(t)g(t) dt (.1.7).4 Exemplo [Produto interno de Minkowski em IR 4... Dados dois vectores x = x 0 y 0 x 1 x e y = y 1 y, em IR4, define-se o respectivo produto interno de Minkowski, como x 3 y 3 sendo o escalar x y IR, dado por: x y = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 y 0 = [ x 0 x 1 x x 3 y 1 y y 3 = x t η y (.1.8) onde η representa a matriz simétrica: (.1.9) O produto interno de Minkowski não é definido positivo, isto é, não é verdade que x x 0, x IR 4. Com efeito, por exemplo o vector e 0 = (1, 0, 0, 0), satisfaz e 0 e 0 = 1. Note no entanto que a restrição do produto escalar de Minkowski ao hiperplano {0} IR 3 = {x = (x α ) IR 4 : x 0 = 0} = IR 3, é um produto interno euclideano, portanto em particular definido positivo..5 Expressões matriciais... Seja (V, ) um espaço vectorial real, de dimensão n, com um produto interno Euclideano.

14 .1. Espaços Euclideanos reais 1 Seja C = [ e 1 e e n uma base qualquer para V, escrita como um vector-linha com entradas vectoriais e i. Se u, v V podemos escrever: onde [v C = v 1. v n v = i v i e i = [ e 1 e e n v 1 v. v n = C [v C (.1.10) é o vector-coluna das componentes do vector v na base C. Analogamente: u = i u i e i = C [u C Calculemos agora o produto interno u v : u v = u i e i v j e j i j = u i v j e i e j i,j = i,j g ij u i v j = [u T C G C [v C (.1.11) onde definimos a chamada matriz de Gram, G C = [g ij, do produto interno, na base C através de: def = e i e j (.1.1) g ij Como u v = v u, deduzimos que a matriz de Gram G C é simétrica, isto é: G T C = G C Como v v > 0, v 0 V deduzimos que a matriz de Gram G C é definida positiva, isto é: [v T C G C [v C = i,j g ij v i v j > 0, v i não simultâneamente nulos É possível provar os critérios seguintes (necessários e suficientes) para decidir quando uma matriz simétrica G = [g ij é definida positiva: n = g ij > 0, g 11 g 1 g 1 g > 0 n = 3 g ij > 0, g 11 g 1 g 1 g > 0, g 11 g 1 g 13 g 1 g g 3 g 31 g 3 g 33 > 0

15 .. Espaços Hermitianos (ou Unitários) complexos 13. Espaços Hermitianos (ou Unitários) complexos.6 Definição... Seja V um espaço vectorial complexo. Um produto interno Hermitiano em V é, por definição, uma aplicação: : V V C (u, v) u v (..1) que satisfaz as propriedades seguintes: [PH1. é uma forma sesquilinear, isto é, é linear na primeira variável e semi-linear na segunda variável 1 : (u + v) w = u w + v w u (v + w) = u w + u w (..) λu v = λ u v u λv = λ u v (..3) [PH. é uma forma Hermitiana: u v = v u (..4) [PH3. é não degenerada: u v = 0 v V u = 0 (..5) [PH4. é definida positiva: u, v, w V, λ C. u u 0 (..6) Um espaço vectorial complexo, munido de um produto interno Hermitiano chama-se um espaço Hermitiano ou um espaço unitário..7 Exemplo [Produto interno Hermitiano usual em C n... Dados dois vectores z = [z i e w = [w i, em C n, define-se o respectivo produto interno (Hermitiano), como sendo o escalar x y C, dado por: z w def = n z i w i = z 1 w 1 + z w + + z n w n i=1 = [z 1 z z n w 1 w. w n = z t w em notação matricial (..7) O espaço vectorial C n, munido deste produto interno Euclideano, diz-se o espaço unitário usual e nota-se por U n. 1 em Física, nomeadamente em Mecânica Quântica, é usual considerar outra convenção - linearidade na segunda variável e semi-linearidade na primeira variável!

16 .3. Norma 14.8 Exemplo [Produto interno L em C o ([a, b, C)... Consideremos o espaço vectorial real constituído pelas funções contínuas complexas, definidas no intervalo [a, b IR. Dadas duas funções f, g C o ([a, b, C), define-se o respectivo produto interno L, como sendo o escalar f g C, dado por:.3 Norma f g def = b a f(t)g(t) dt (..8).9 Definição [Norma... Seja (V, ) um espaço com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo). Define-se a norma v, de um vector v V, através da fórmula: v def = v v (.3.1).10 A norma verifica as propriedades seguintes: [N1. é positiva e não degenerada: v 0 e v = 0 sse v = 0 (.3.) [N. é homogénea (positiva): λv = λ v (.3.3) [N3. satisfaz a desigualdade triangular seguinte: v, w V, λ Ik = IR ou C. v + w v + w (.3.4) Todas as propriedades são de demonstração imediata com excepção da desigualdade triangular, que resulta da seguinte proposição:.11 Proposição [Desigualdade de Cauchy-Schwarz... v w v w, v, w V (.3.5) Dem.: Se w = 0 a desigualdade é trivial. Se w 0 consideremos o vector: u = v v w w w de tal forma que u w = 0. Temos então que: ( 0 u = v v w ) ( w w v v w ) w w o que demonstra a desigualdade. = v v v w w v w = v v w w (.3.6)

17 .4. Ortogonalidade 15.1 Demonstremos agora a desigualdade triangular (.3.4): u + v = u + v u + v = u u + u v + v u + v v = u + u v + u v + v = u + Re u v + v u + u v + v u + u v + v, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (.3.5) = ( u + v ) e portanto u + v u + v, como se pretendia..13 Exemplos... (i). No espaço Euclideano IE n, a norma de um vector x = (x i ) IR n é dada pelo teorema de Pitágoras: x = [ n 1/ x t x = (x i ) (.3.7) (ii). No espaço Unitário U n, a norma de um vector z = (z i ) C n é dada por: i=1 z = [ n 1/ z t z = z i (.3.8) (iii). No espaço Unitário C o ([a, b, C), munido do produto interno L, dado por (..8): def f g = b a f(t)g(t) dt, a norma de uma função f Co ([a, b, C) é dada por: i=1 f = [ b 1/ f f = f(t) dt (.3.9) Neste exemplo, a desigualdade de Cauchy-Schwarz toma o aspecto: b a [ b f(t)g(t) dt enquanto que a desigualdade triangular tem o aspecto seguinte: [ b 1/ [ b f(t) + g(t) dt.4 Ortogonalidade a a a 1/ 1/ [ b dt f(t) dt g(t) (.3.10) a a 1/ [ b 1/ f(t) dt + g(t) dt (.3.11) a.14 Definição... Seja (V, ) um espaço com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo). Dois vectores u, v V dizem-se ortogonais se: u v = 0 (.4.1)

18 .4. Ortogonalidade Ângulo não orientado... Suponhamos agora que (V, ) é um espaço real Euclideano. Dados dois vectores não nulos u, v V, deduzimos da desigualdade de Cauchy-Schwarz que: 1 u v u v 1 (.4.) o que permite definir o ângulo (não orientado) θ = θ(u, v) [0, π, entre os referidos vectores não nulos u, v V, como sendo o único θ [0, π, tal que: cos θ = u v u v [ 1, 1 (.4.3) Portanto: u v = u v cos θ(u, v) (.4.4) Como vimos antes, dois vectores u, v V dizem-se ortogonais se u v = 0. Se ambos são não nulos isto significa que o ângulo θ(u, v) é igual a π/..16 Definição [Ortogonal de um subconjunto... Seja (V, ) um espaço com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo). Se S é um subconjunto não vazio de V, define-se o ortogonal de S como sendo o subconjunto S de V constituído por todos os vectores que são ortogonais a todos os vectores de S: S def = {u V : u s = 0, s S} (.4.5) Vamos verificar que S é um subespaço de V. De facto, se u, v S, então u s = 0 e v s = 0, s S e portanto u + v s = u s + v s = 0, s S, i.e., u + v S. Anàlogamente λu S, λ Ik, se u S..17 Hiperplanos vectoriais... No espaço Euclideano IE n, dado um vector não nulo u IR n {0}, o conjunto dos vectores x IE n que são ortogonais a u: {x IE n : x u = 0} (.4.6) formam um subespaço em IE n, que se diz o hiperplano (vectorial) ortogonal a u. Se x = (x i ) é um ponto genérico desse hiperplano, e se u = (u i ), a equação x u = 0, é equivalente à seguinte equação cartesiana: u i x i = u 1 x 1 + u x + + u n x n = 0 (.4.7) i.18 Hiperplanos afins em IE n...

19 .5. Aplicações à geometria 17 No espaço Euclideano IE n, com a estrutura afim canónica, dado um ponto A e um vector não nulo u IR n {0}, o conjunto dos pontos P IE n tais que AP = P A é ortogonal a u: {P IE n : AP u = 0} (.4.8) diz o hiperplano (afim) ortogonal a u, que passa em A. Se OA = (a i ), u = (u i ) e se OP = (xi ) é um ponto genérico desse hiperplano, a equação AP u = 0, é equivalente a: 0 = ( OP OA) u = OP u OA u = u i x i a i u i i i e portanto à seguinte equação cartesiana: u i x i = u 1 x 1 + u x + + u n x n = c (.4.9) onde c = OA) u = i a iu i. i.19 Teorema [Pitágoras... Seja (V, ) um espaço com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo), e u, v V dois vectores ortogonais. Então: Dem.: u + v = u + v (.4.10) u + v = u + v u + v = u + v + u v + v u = u + v (.4.11).5 Aplicações à geometria.0 Exemplo... As diagonais de um losango intersectam-se perpendicularmente. Dem.: Como OQRP é um losango, u = v. Pretendese provar que QP OR, isto é que, (u v) (u + v) = 0. Mas: (u v) (u + v) = u v = 0

20 .5. Aplicações à geometria 18.1 Exemplo [Lei dos cossenos... Num triângulo plano (ABC), onde a = BC, etc. tem-se que: c = a + b ab cos C Dem.: Escolhamos um referencial com origem em C, e ponhamos u = CA e v = CB. Então AB = v u, e daí que: AB = v u = v u v + u ou, com as notações referidas: c = a + b ab cos C. Exemplo... Se R é um ponto sobre um círculo de diâmetro P OQ, mostre que P R QR. Dem.: Seja u = OQ, v = OR. Então P R = OR OP = u + v QR = OR OQ = v u Sabe-se que u = v e portanto: P R QR = (u + v) (v u) = v u = 0.3 Exemplo... As alturas de um triângulo intersectam-se num único ponto (chamado o ortocentro do triângulo). Dem.: Pretende-se encontrar um ponto X tal que: AX BC = 0, BX CA = 0, CX AB = 0 Identificando um ponto P com o seu vector de posição OP, relativamente a uma origem fixa O no plano, é fácil verificar a identidade seguinte: (X A) (C B)+(X B) (A C)+(X C) (B A) = 0 (.5.1) Seja X o ponto de intersecção de duas das alturas, digamos, das alturas partindo de A e de B. Temos então que, lembrando que AX = X A, etc: (X A) (C B) = 0 (.5.) (X B) (A C) = 0 (.5.3)

21 .5. Aplicações à geometria 19 Subtraindo (.5.) e (.5.3) de (.5.1), obtemos: como se pretendia. (X C) (B A) = 0.4 Exemplo... Dados dois pontos distintos A B no plano, mostrar que o lugar geométrico dos pontos P cuja distância a A é o dobro da distância a B é um círculo..5 Exemplo... Calcular a distância entre um ponto P e um hiperplano afim em IE n. Res... Suponhamos que esse hiperplano é perpendicular ao vector u 0 e passa num ponto a e, portanto, tem equação: (x a) u = 0 ou x u + c = 0, c = a u A recta que passa em P OP = p e tem a direcção do vector u, tem equação: x(t) = p + tu O ponto desta recta que pertence ao plano referido, corresponde ao valor do parâmetro t que verifica: 0 = x(t) u + c = (p + tu) u + c = p u + t u + c t = p u + c u A distância entre um ponto P p e o hiperplano afim é pois dada por: d = p x(t) = p p + p u + c u u p u + c = u Assim por exemplo: No plano, a distância entre um ponto P = (α, β) e a recta afim ax + by + c = 0 é: d = p u + c u = (α, β) (a, b) + c (a, b) = aα + bβ + c (a + b ) 1/ No espaço, a distância entre um ponto P = (α, β, γ) e o plano afim ex + fy + gz + h = 0 é: d = p u + c u = (α, β, γ) (e, f, g) + h (e, f, g) = eα + fβ + gγ + h (e + f + g ) 1/.6 Exemplo... Calcular a distância entre um ponto P e uma recta afim em IE 3, quando: 1. essa recta é definida parametricamente.. essa recta é definida como intersecção de dois planos afins.

22 .6. Bases ortonormadas num espaço vectorial com produto interno 0.6 Bases ortonormadas num espaço vectorial com produto interno.7 Definição [Base ortonormada... Seja (V, ) um espaço vectorial de dimensão n com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo). Uma base {e 1,, e n } diz-se uma base ortonormada para V se: { def 1 se i = j e i e j = δ ij = 0 se i j (.6.1).8 Proposição... Seja (V, ) um espaço vectorial de dimensão n com um produto interno (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo) e {e 1,, e n } uma base ortonormada para V. Então v V: n v = v e i e i (.6.) e: Dem.: Cálculo directo. v = i=1 n v e i (.6.3) i=1.7 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.9 Ortogonalização de Gram-Schmidt... Dada uma base qualquer {f 1,, f n }, para V, é possível construir, a partir dela, uma base ortogonal {e 1,, e n }, para V: e i e j = 0, i j através do chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, que passamos a descrever: [1. Em primeiro lugar pômos: [. e 1 = f 1 (.7.1) Em segundo lugar, começamos por calcular a chamada projecção ortogonal de f sobre a recta gerada por f 1 = e 1. Esta projecção ortogonal, por estar na recta gerada por f 1 = e 1, vai ser um vector do tipo λe 1, onde λ Ik é calculado pela condição de que f λe 1 e 1 = 0. Obtemos então: λ = f e 1 e 1 Pômos agora e igual a: e = f f e 1 e 1 e 1 (.7.)

23 .7. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt 1 [3. Em terceiro lugar, começamos por calcular a chamada projecção ortogonal de f 3 sobre o plano gerado por {f 1, f }, que é também o plano gerado por {e 1, e }. Esta projecção ortogonal, por estar no plano gerado por {e 1, e }, vai ser um vector do tipo λe 1 + ηe, onde λ, η Ik são calculados pela condição de que f 3 (λe 1 + ηe ) e 1 = 0 e f 3 (λe 1 +ηe ) e = 0. Fazendo os cálculos, atendendo a que e 1 e, obtemos: λ = f 3 e 1 e 1, η = f 3 e e Portanto a projecção ortogonal de f 3 sobre o plano gerado por {e 1, e } é dada por: f 3 e 1 e 1 e 1 + f 3 e e e Pômos agora e 3 igual a: e 3 = f 3 f 3 e 1 e 1 e 1 f 3 e e e (.7.3) [k. o processo decorre agora indutivamente: se supômos já construídos os vectores ortogonais {e 1,..., e k }, de tal forma que: span{e 1,..., e k } = span{f 1,..., f k } o vector e k+1 será construído da seguinte forma - começamos por calcular a chamada projecção ortogonal de f k+1 sobre o subespaço gerado por {e 1,..., e k }. Esta projecção ortogonal é dada por: k f k+1 e i e i e i Pômos agora e k+1 igual a: i=1 e k+1 = f k+1 k i=1 f k+1 e i e i e i (.7.4) É claro que a base ortogonal assim obtida, pode ser transformada numa base ortonormada, normalizando os vectores e i, isto é, dividindo cada um deles pela respectiva norma..30 Polinómios de Legendre... Consideremos o espaço vectorial V constituído por todas as funções polinomiais de grau n, definidas no intervalo [ 1, 1, munido do produto interno L : p q = 1 1 p(t)q(t) dt

24 .8. Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima Uma base para V é {1, t, t,, t n }. Quando aplicamos o processo de ortogonalização de Gram- Schmidt a esta base obtemos os chamados polinómios de Legendre {ψ 0, ψ 1, ψ,, ψ n }. Vejamos como. Em primeiro lugar pômos: Depois pômos: Em seguida: ψ 0 (t) = 1 ψ 1 = t t = t t dt dt 1 = t (.7.5) ψ = t t t t t t 1 1 t dt = t = t dt t3 dt 1 1 t dt t (.7.6) e procedendo da mesma forma: ψ 3 = t t ψ 4 = t t (.7.7) Quando normalizamos estes polinómios obtemos os chamados polinómios de Legendre normalizados {ϕ 0, ϕ 1, ϕ,, ϕ n }: 1 ϕ 0 = 3 ϕ 1 = t ϕ = 1 5 (3t 1) ϕ 3 = 1 7 (5t3 3t). (.7.8).8 Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima.31 Teorema [Decomposição ortogonal... Consideremos um espaço vectorial com um produto interno (V, ) (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo), e seja S um

25 .8. Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima 3 subespaço de dimensão finita. Então: V = S S (.8.1) isto é, qualquer vector v V pode ser representado de maneira única como uma soma de dois vectores: v = s + (v s), onde s S e v s S (.8.) Além disso: v = s + v s (.8.3) Dem.: Como S tem dimensão finita, existe uma base ortonormada {e 1,..., e m } para S, onde m = dim S. Dado um vector qualquer v V, definamos: s def = m v e i e i (.8.4) i=1 É claro que s S. Por outro lado, como: v s e j = v e j s e j = v e j v e j = 0, j = 1,..., m o que significa que v s está em S. Obtemos portanto a decomposição (.8.). Mostremos agora que esta decomposição é única. Isto é equivalente a provar, como já sabemos, que S S = {0}. Suponhamos então que 0 u S S. Então, por definição de S, e como u S, u é ortogonal a todo o vector de S. Em particular é ortogonal a si próprio, isto é, 0 = u u = u, o que implica que u = 0. Finalmente (.8.3) deduz-se do Teorema de Pitágoras (ver o teorema.19)..3 Projectores... Consideremos de novo um espaço vectorial com um produto interno (V, ) (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo), e suponhamos que S é um subespaço de dimensão finita em V. Então, como V = S S, podemos ainda definir uma aplicação linear: P S : V V (.8.5) chamada a projecção ortogonal sobre S da seguinte forma. Por definição de soma directa, todo o vector v V admite uma decomposição única da forma: v = s + (v s), onde s S e v s S. Pômos então P S (v) = s. É fácil ver que P S verifica as propriedades seguintes: im P S = S ker P S = S P S = P S P S (v) v, v V Se {e 1,, e m } é uma base ortonormada para S, então: P S (v) = m v e i e i (.8.6) i=1

26 .8. Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima 4.33 Exemplo [Projecção ortogonal sobre uma recta, em IE 3... Sejam a 0 e x dois vectores em IR 3, com a não nulo. Então existe um único vector u, na recta gerada por a, e um único vector v, ortogonal a a, tais que x = u + v. O vector u, notado por P a (x), diz-se a projecção ortogonal de x sobre a recta gerada por a, e é dado por: P a (x) = x a a a (.8.7) A aplicação P a : IR 3 IR 3 definida por (4.1.1), é linear. Note que P a = P a. Por outro lado, se considerarmos um qualquer vector b 0 ortogonal a a (i.e.: a b = 0), vemos que P a (b) = 0 e portanto: ker P a = span{b} = {b IR 3 : b a = 0} = a é o plano vectorial ortogonal a a..34 Exemplo [Projecção ortogonal sobre um plano vectorial, em IE 3... Consideremos um plano vectorial ortogonal a um vector n IR 3 {0} (se esse plano é gerado por dois vectores u, v linearmente independentes, podemos tomar n = u v). Notemos esse plano por π = n. Dado um vector x IR 3, ao vector: P n x P n (x) chamamos a projecção ortogonal de x sobre o plano vectorial ortogonal a n. De acordo com (4.1.1), temos que: P n x P n (x) = x x n n n (.8.8) A aplicação P n : IR 3 IR 3 definida por (4.1.13), é linear. Note que P n = P n. Se x n = 0, i.e., se x é ortogonal a n, então P n (x) = x, enquanto que, por outro lado, P n (n) = 0. Portanto vemos que: ker P n = span{n} e: P n (x) = x x n

27 .8. Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima 5.35 Teorema [da aproximação óptima... Consideremos um espaço vectorial com um produto interno (V, ) (Euclideano se V é real ou Hermitiano se V é complexo), e seja S um subespaço de dimensão finita. Dado um vector v V, a projecção ortogonal de v sobre S: s = P S (v) S é o vector de S que está mais perto de v, isto é: v P S (v) v u, u S (.8.9) e v P S (v) = v u, com u S se e só se u = P S (v). Dem.: Por (.8.), temos que v = s + (v s), onde s = P S (v) S e v s S. Como u S se tem: v u = (s u) + (v s) }{{}}{{} S S esta é a decomposição ortogonal de v u. Pelo teorema de Pitágoras: v u = s u + v s v s sendo a igualdade válida sse s u = 0, isto é, sse s = u..36 Exemplo (Aproximação de funções contínuas em [0, π por polinómios trigonométricos)... Seja V = C o ([0, π; IR) o espaço das funções reais contínuas definidas em [0, π, munido do produto L : f g = π 0 f(t)g(t) dt e S n o subespaço de dimensão n + 1 seguinte: { S n = span IR ϕ 0 (t) = 1 } cos kt sin kt, ϕ k 1 (t) =, ϕ k (t) = : k = 1,, n π π (.8.10) As n + 1 funções {ϕ 0, ϕ 1,, ϕ n 1, ϕ n }, chamadas polinómios trigonométricos, formam uma base ortonormada para S (mostrar isto ). Se f C o ([0, π; IR), representemos por F n (f) a projecção ortogonal de f sobre S n. De acordo com a fórmula da projecção ortogonal (.8.6), temos que: Usar as relações trigonométricas seguintes: F n (f) = n k=0 cos A cos B = 1 {cos(a B) + cos(a + B)} sin A sin B = 1 {cos(a B) cos(a + B)} sin A cos B = 1 {sin(a B) + sin(a + B)} f ϕ k ϕ k (.8.11)

28 .8. Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima 6 onde: f ϕ k = π 0 f(t)ϕ k (t) dt (.8.1) são os chamados coeficientes de Fourier de f. Usando a definição das funções ϕ k, podemos escrever as fórmulas anteriores na forma: F n (f) = 1 a 0 + n (a k cos kt + b k sin kt) (.8.13) k=1 onde os coeficientes de Fourier são dados por: a k = 1 π b k = 1 π π 0 π 0 f(t) cos kt dt f(t) sin kt dt (.8.14) para k = 0, 1,,..., n. O teorema da aproximação óptima diz-nos que o polinómio trigonométrico F n (f) S n, dado por (.8.13), aproxima f melhor que qualquer outro polinómio trigonométrico em S n, no sentido em que f F n (f) é o menor possível..37 Exemplo (Aproximação de funções contínuas em [ 1, 1 por polinómios de grau n )... Seja V = C o ([ 1, 1; IR) o espaço das funções reais contínuas definidas em [ 1, 1, munido do produto L : f g = 1 1 f(t)g(t) dt e S n o subespaço de dimensão n + 1 gerado pelos polinómios de Legendre normalizados, introduzidos no exemplo.30: S n = span IR {ϕ o, ϕ 1,, ϕ n } (.8.15) É claro que S é o subespaço constituído por todas as funções polinomiais de grau n, definidas no intervalo [ 1, 1. f C o ([ 1, 1; IR), representemos por P n (f) a projecção ortogonal de f sobre S n. De acordo com a fórmula da projecção ortogonal (.8.6), temos que: n P n (f) = f ϕ k ϕ k, onde f ϕ k = k=0 1 1 f(t)ϕ k (t) dt (.8.16) que é o polinómio de grau n, para o qual f P n (f) é o menor possível. Por exemplo, se f(t) = sin πt, os coeficientes f ϕ k são dados por: f ϕ k = 1 1 sin πtϕ k (t) dt Em particular, f ϕ 0 = 0 E. f ϕ 1 = t sin πt dt = π

29 .9. Aplicações. Mínimos quadrados 7.9 Aplicações. Mínimos quadrados.38 Solução dos mínimos quadrados... Seja: Ax = b (.9.1) um sistema de equações lineares, não homogéneo, escrito em forma matricial. A é uma matriz m n, x IR n e b IR m é um vector fixo. Uma solução dos mínimos quadrados do sistema (.9.1) é, por definição, um vector x, que satisfaz: A x b é mínimo (.9.) Interpretando A como a matriz de uma aplicação linear A : IR n IR m, relativamente às bases canónicas de cada um destes espaços, vemos que o significado de uma solução dos mínimos quadrados é o seguinte: é um vector x IR n cuja imagem está mais próxima de b..39 Quando ker A = {0} a solução x é única. Quando b im A, x é uma solução exacta do sistema. Quando b / im A, e ker A = {0} a solução x é dada por: x = A 1 P im A (b) (.9.3) Isto é, para calcular a solução dos mínimos quadrados do sistema (.9.1) procede-se da seguinte forma: 1. Calcula-se a projecção ortogonal ŷ im A, de b sobre a imagem de A. Pelo teorema da aproximação óptima, este será o vector da imagem de A, que melhor aproxima b.. Calcula-se x tal que A x = ŷ.40 Exemplo... Calcular a solução dos mínimos quadrados do sistema: x + y = 1 3x y + z = 0 x + y + z = 1 x y z = x + y z = (.9.4) e o erro correspondente..41 Aproximação de dados por uma recta pelo método dos mínimos quadrados...

30 .9. Aplicações. Mínimos quadrados 8 Suponhamos que se fazem n medições de uma certa grandeza y, em n instantes t i, i = 1,..., n, obtendo os resultados: t 1 t t 3 t n y 1 y y 3 y n (.9.5) Representemos os n pontos (t i, y i ) no plano em IR t,y,e suponhamos que se pretende calcular uma recta do tipo: y = αt + β (.9.6) que melhor ajuste esses dados. Em que sentido deve ser entendido este melhor ajustamento? Para cada t i, o erro e i entre o valor medido y i e o valor estimado a partir da recta referida (supondo que ela está já calculada) é igual a: e i = y i (αt i + β), i = 1,,, n onde: Em forma matricial: e = e 1 e. e n, y = y 1 y. y n e = y Ax (.9.7), A = t 1 1 t. t n n, x = e é o chamado vector de erro e y o vector dos dados. Os coeficientes α, β - as incógnitas do problema - são as componentes do vector x. Se os dados se ajustassem exactamente, y i = αt i + β, os erros seriam todos nulos e i = 0, e poderíamos resolver o sistema Ax = y. Por outras palavras, os dados estarão todos numa linha recta sse y im A. Se eles não forem colineares então devemos procurar a recta para a qual o erro total: e = ( e e n ) 1/ seja mínimo. Em linguagem vectorial, procuramos pois o vector x = ) que minimiza a norma Euclideana do vector erro: e = Ax y ( α β ( α β ) que é exactamente a situação que caracteriza a procura da solução dos mínimos quadrados para o sistema Ax = y, que foi explicada no ponto anterior..4 Exemplo... Calcular a recta de aproximação dos mínimos quadrados para os dados seguintes: t i (.9.8) y i Solução: y = 1/7(1 + t).

31 .9. Aplicações. Mínimos quadrados 9.43 Exemplo... Considere a aplicação linear A : IR IR 3 definida por: A(x, y) = (x + y, x y, x) a.) Calcule o ortogonal da imagem de A em IR 3, com a estrutura Euclideana usual. b.) Calcule a solução dos mínimos quadrados do sistema: x + y = 1 x y = 1 x = 0 Calcule o erro associado a essa solução e explique qual o seu significado geométrico (da solução e do seu erro). Resolução... a.) A imagem de A é constituída por todos os vectores (X, Y, Z) IR 3 tais que: (X, Y, Z) = A(x, y) = (x + y, x y, x) para algum vector (x, y) IR. A questão é pois: quais os vectores (X, Y, Z) IR 3 para os quais existe (x, y) tal que: x + y = X x y = Y? x = Z Resolvendo o sistema em ordem a x, y (com X, Y, Z como parâmetros), vem que: x = Z y = X Z 0 = X + Y Z Portanto a imagem de A é o plano X + Y Z = 0 em IR 3. O seu ortogonal é a recta gerada pelo vector n = (1, 1, ). b.) Por definição (e pelo teorema da aproximação óptima), a solução dos mínimos quadrados é a solução do sistema: Ax = P im A (b) onde P im A (b) é a projecção ortogonal do vector b = (1, 1, 0) sobre o plano imagem de A: X + Y Z = 0. Essa projecção pode ser calculada pela seguinte fórmula: P im A (1, 1, 0) = (1, 1, 0) Logo a solução procurada é a solução do sistema: (1, 1, 0) (1, 1, ) (1, 1, ) (1, 1, ) = (1, 1, 1) 3 x + y = /3 x y = /3 x = /3

32 .9. Aplicações. Mínimos quadrados 30 que é: x = /3, y = 0 O erro associado é, por definição, igual à distância entre o ponto (1, 1, 0) e a P im A (b): e = (1, 1, 0) 3 (1, 1, 1) = 6/3.44 Exemplo... Considere o espaço vectorial IR 3 [t das funções polinomiais p(t), de grau 3, de coeficientes reais, munido do produto interno: p(t) q(t) = +1 0 p(t)q(t) dt a.) Mostre que: S = {p(t) IR 3 [t : p(t) = p( t) } é um subespaço vectorial. Calcule dim S e determine uma base ortonormada para S. b.) Calcule o polinómio de S que está mais próximo do polinómio p(t) = t. c.) Calcule o ortogonal de T = span{1} em IR 3 [t. d.) Calcule o núcleo e a imagem da aplicação linear: T : IR 3 [t IR 3 [t p(t) T[p(t) = p (t) tp (t) Resolução... a.) Se p, q S então (p + q)(t) = p(t) + q(t) = p( t) + q( t) = (p + q)( t) e portanto p + q S. Se p S e λ IR então (λp)(t) = λp(t) = λp( t) = λp( t) e portanto λp S. Se p(t) = a + bt + ct + dt 3 S então a + bt + ct + dt 3 = p(t) = p( t) = a bt + ct dt 3, isto é, bt + dt 3 = 0 e portanto b = d = 0. Logo: S = {p(t) = a + bt + ct + dt 3 IR 3 [t : b = d = 0 } = {p(t) = a + ct IR 3 [t : a, c IR } = span{1, t } e dim S =. Os polinómios p(t) 1 e q(t) = t constituem uma base para S. Uma base ortonormada obtem-se pelo processo de Gram-Schmidt. 1 = dt = 1 e t t 1 1 = t t dt = t 1/3. Além disso t 1/3 = 1 0 (t 1/3) dt = 4/45. Logo os polinómios 1 e (3 5/)(t 1/3) constituem uma base ortonormada para S. b.) Pelo teorema da aproximação óptima esse polinómio é dado pela projecção ortogonal de t sobre S: P S (t) = t t (3 5/)(t 1/3) (3 5/)(t 1/3) 1 ( 1 ) = t dt + (45/4) t(t 1/3) dt (t 1/3) 0 = 1/ + (45/48)(t 1/3) 0

33 .10. Exercícios 31 c.) Um polinómio p(t) = a+bt+ct +dt 3 IR 3 [t estará em T sse (a+bt+ct +dt 3 ) 1 = 0 isto é, sse a + b/ + c/3 + d/4 = 0. Portanto: T = {p(t) = a + bt + ct + dt 3 IR 3 [t : a + b/ + c/3 + d/4 = 0 } que é um hiperplano em IR 3 [t. d.) Um polinómio p(t) = a + bt + ct + dt 3 IR 3 [t estará em ker T sse: 0 = T[p(t) = p (t) tp (t) = (a + bt + ct + dt 3 ) t(a + bt + ct + dt 3 ) = (c + 6dt) t(b + ct + 3dt ) = c + (6d b)t 4ct 6dt 3 donde c = 0, 6d b = 0, 4c = 0, 6d = 0, isto é, b = c = d = 0. Portanto o ker T é constituídio pelos polinómios p(t) = a + bt + ct + dt 3 IR 3 [t tais que b = c = d = 0, isto é, ker T = {a : a IR} = span{1}. im T é constituídia pelos polinómios P (t) = A + Bt + Ct + Dt 3 IR 3 [t tais que: T(a + bt + ct + dt 3 ) = A + Bt + Ct + Dt 3 para algum polinómio p(t) = a+bt+ct +dt 3 IR 3 [t. Como T[p(t) = c+(6d b)t 4ct 6dt 3, vem que: c + (6d b)t 4ct 6dt 3 = A + Bt + Ct + Dt 3 isto é: c = A b + 6d = B 4c = C 6d = D b + 6d = B c = A 6d = D 0 = A + C e portanto im T = {P (t) = A + Bt + Ct + Dt 3 IR 3 [t : A + C = 0}..10 Exercícios Exercício.1... Verifique quais das seguintes funções são produtos internos Euclidianos em IR ou IR 3 : a) u, v = x 1 y 1 x 1 y x y 1 + 3x y, sabendo que u = (x 1, x ), e v = (y 1, y ). b) u, v = x 1 y 1 + x 1 y x y 1 + 3x y, sabendo que u = (x 1, x ), e v = (y 1, y ). c) u, v = 6x 1 y 1 + x y, sabendo que u = (x 1, x ), e v = (y 1, y ). d) u, v = x 1 y 1 + 3x y + 4x 3 y 3, sabendo que u = (x 1, x, x 3 ), e v = (y 1, y, y 3 ). e) u, v = x 1 y 1 +3x y +4x 3 y 3 x 1 y y 1 x, sabendo que u = (x 1, x, x 3 ), e v = (y 1, y, y 3 ). Exercício.... Calcule em cada caso u, v usando o produto interno Euclidiano usual e o produto interno definido em.1-a). Depois, calcule u e v recorrendo também a cada um desses dois produtos internos. a) u = (1, 1), v = ( 1, 1); b) u = (1, 0), v = (1, ); c) u = (, 1), v = (4, 1);

34 .10. Exercícios 3 Exercício.3... Calcule em cada caso u, v usando o produto interno euclidiano usual e o produto interno definido em.1-d). Depois, calcule u e v recorrendo também a cada um destes dois produtos internos. a) u = (1, 1, 1), v = ( 1, 1, ); b) u = (1, 0, 1), v = (3, 1, ); c) u = (0, 0, 1), v = ( 1, 4, 6); Exercício.4... Determine todos os valores reais de k para os quais u, v é um produto interno Euclidiano em IR : u, v = x 1 y 1 3x 1 y 3x y 1 + kx y Exercício.5... Determine todos os valores reais de a, b, c, d para os quais u, v é um produto interno Euclidiano em IR : u, v = ax 1 y 1 + bx 1 y + cx y 1 + dx y Exercício.6... Sejam, u = (z 1, z ) e v = (w 1, w ) elementos de C. Verifique que a função que se segue é um produto interno Hermitiano em C : f(u, v) = z 1 w 1 + (1 + i)z 1 w + (1 i)z w 1 + 3z w Calcule a norma de v = (1 i, + 3i) usando o produto interno Hermitiano usual e depois o produto interno definido neste exercício. Exercício.7... Em cada caso, determine o cos do ângulo θ entre os vectores u e v : a) u = (1, 3, ), v = (, 1, 5) em IR 3, usando o produto interno euclidiano usual e o produto interno definido em.1-d). b) u = t 1, v = t em IR [t, usando o produto interno Euclidiano definido no exercício.14. Exercício.8... No espaço linear IR [t verifique se f, g é um produto interno. a) f, g = f(1)g(1) b) f, g = 1 0 f(t)g(t) dt c) f, g = 1 0 f (t)g (t) dt ( ) ( 1 ) d) f, g = 0 f(t) dt 1 0 g(t) dt Exercício.9... No espaço vectorial real das funções contínuas em [ 1, 1, seja f, g = 1 1 f(t)g(t) dt. Considere as três funções u 1, u, u 3 dadas por: u 1 (t) = 1, u (t) = t, u 3 (t) = 1 + t. Mostre que duas delas são ortogonais, duas fazem um angulo de π 3 fazem um ângulo de π 6 entre si. entre si e as outras duas

35 .10. Exercícios 33 Exercício Prove cada uma das afirmações das alíneas seguintes e interprete-as geométricamente no caso do produto interno usual em IR ou IR 3. a) x, y = 0 x + y = x + y. b) x, y = 0 x + y = x y. c) x, y = 0 x + cy x para todo o real c. d) x + y, x y = 0 x = y. Exercício Calcule o ângulo que o vector (1, 1,, 1) de IR n faz com os vectores coordenados unitários de IR n. Exercício.1... Como se sabe, num espaço Euclidiano real com produto interno x, y fica definida ume norma por x = x, x 1. Dê uma fórmula para obter o produto interno x, y a partir de normas de vectores apropriados. Exercício Seja V um espaço linear real normado e designe-se a norma de x V por x. Prove que se a norma se pode obter de um produto interno na forma x = x, y 1 então: x y + x + y = x + y Esta identidade é conhecida por lei do paralelogramo. Verifique que corresponde a afirmar que para um paralelogramo a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais. Exercício Considere o espaço vectorial real IR [t no qual está definido o seguinte produto interno: f, g = 1 0 f(t)g(t) dt. Seja f(t) = t + e g(t) = t t 3. Determine : a) f, g b) f c) Um vector unitário com a direcção de g. Exercício Seja E um espaço vectorial no qual está definido um produto escalar. Mostre que : a) u + v + u v = u + v b) u, v = 1 4 u + v 1 4 u v Exercício Em cada um dos casos, determine uma base ortonormada do subespaço de IR 3 gerado pelos seguintes vectores: a) x 1 = (1, 1, 1), x = (1, 0, 1), x 3 = (3,, 3). b) x 1 = (1, 1, 1), x = ( 1, 1, 1), x 3 = (1, 0, 1). Exercício Em cada um dos casos, determine uma base ortonormada do subespaço de IR 4 gerado pelos seguintes vectores: a) x 1 = (1, 1, 0, 0), x = (0, 1, 1, 0), x 3 = (0, 0, 1, 1), x 4 = (1, 0, 0, 1). b) x 1 = (1, 1, 0, 1), x = (1, 0,, 1), x 3 = (1,,, 1).

36 .10. Exercícios 34 Exercício No espaço vectorial real IR [t, com o produto interno x, y = 1 0 x(t)y(t) dt, mostre que as funções que se seguem formam uma base ortonormada do subespaço por elas gerado: y 1 (t) = 1, y (t) = 3(t 1), y 3 (t) = 5(6t 6t + 1). Exercício Seja S um subespaço de um espaço vectorial V. Mostre que o S é o conjunto dos vectores ortogonais a todos os vectores de uma base de S. Exercício.0... Seja W o subespaço de IR 5 gerado pelos vectores u = (1,, 3, 1, ) e v = (, 4, 7,, 1). Determine uma base do complemento ortogonal W de W. Exercício.1... Determine uma base do subespaço W de IR 4 ortogonal a u 1 = (1,, 3, 4) e u = (3, 5, 7, 8). Exercício.... Considere o espaço vectorial real IR [t no qual está definido o produto interno f, g = 1 0 f(t)g(t) dt. a) Determine uma base do subespaço W ortogonal a h(t) = t + 1. b) Aplique o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base (1, t, t ) para obter uma base ortonormada (u 1 (t), u (t), u 3 (t)) de IR [X. Exercício.3... Seja V o espaço linear das matrizes de componentes reais, com as operações usuais. Prove que fica definido um produto interno em V por: A, B = a 11 b 11 + a 1 b 1 + a 1 b 1 + a b onde A = (a ij ) e B = (b ij ). ( a b Calcule a matriz da forma b a ). ( ), com a, b IR, mais próxima da matriz A = Exercício.4... Considere o subespaço S de IR 3 gerado pelos vectores (1, 0, 0) e (0, 1, 0). a) Verifique que fica definido em IR 3 um produto interno por: x, y = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + x y + x 3 y 3, onde x = (x 1, x, x 3 ) e y = (y 1, y, y 3 ). b) Determine uma base ortonormal para o subespaço S, com este produto interno. c) Determine o elemento de S mais próximo do ponto (0, 0, 1),usando o produto interno de a). d) Calcule um vector diferente de zero e ortogonal a S usando o produto interno de a). Exercício.5... No espaço vectorial real das funções contínuas definidas em [0,, com o produto interno f, g = 0 f(x)g(x) dx, seja f(x) = exp(x). Mostre que, o polinómio constante g, mais próximo de f é g = 1 (exp() 1). Calcule g f.

37 .10. Exercícios 35 Exercício.6... Usando os produtos internos usuais em IR e IR 3, calcule em cada caso a projecção ortogonal P u (v), de v sobre a recta gerada pr u: a) u=(1,1), v=(,3); b) u=(4,3), v=(0,1); c) u=(1,1,1), v=(1,-1,0); d) u=(1,0,0), v=(0,1,). Exercício.7... Determine as projecções ortogonais seguintes: a) v = (1, 1, ), w = (0, 1, 1) sobre F = { (x, y, z) IR 3 : x + y + z = 0 } usando o produto interno Euclidiano usual de IR 3. b) v = t 1, w = t sobre IR 1 [t usando o produto interno L.

38 Capítulo 3 Subespaços invariantes. Subespaços próprios. Valores próprios 3.1 Conjugação 3.1 Mudança de base... Suponhamos que V é um espaço vectorial e que: C = [ e 1 e e n é uma base qualquer, escrita como um vector-linha com entradas vectoriais e i. Se v V é um vector qualquer em V, designemos por v i as suas componentes na base C, isto é: v = i v i e i = [ e 1 e e n v 1 v. v n = C [v C (3.1.1) Suponhamos agora que mudamos de base: que escrevemos na forma matricial seguinte: ou muito simplesmente: C C P = C = [ ê 1 ê ê n [ [ ê1 ê ê n = e1 e e n C = C P P 1 1 P 1 P 1 n P 1 P P n... P1 n P n Pn n Se v i são as componentes do mesmo vector v na base C, isto é, se: (3.1.) (3.1.3) v = i v i ê i = C [v C (3.1.4) 36