GERENCIAMENTO DE PROJETOS: SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO VIA A FERRAMENTA SIMULAR

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de GERENCIAMENTO DE PROJETOS: SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO VIA A FERRAMENTA SIMULAR Gilberto de Aguiar (SUSTENTARE) Custodio da Cunha Alves (UNIVILLE) Elisa Henning (UFSC) Muitas são as técnicas de análise quantitativa aplicadas na solução de problemas gerenciais. A simulação, objeto de estudo deste artigo, é uma delas, muito utilizada nas organizações para o tratamento de problemas administrativos dessa natuureza. O objetivo deste artigo é apresentar os fundamentos estatísticos e as aplicações do Método de Monte Carlo (MMC) em ambiente Simular, um recurso computacional gratuito. Este recurso é aplicado à análise estatística de dados para a tomada de decisão em gerenciamento de projetos por exemplo. No intuito de apresentar uma aplicação prática do método em questão, será realizada uma simulação com a ferramenta de software SimulAr, tornando possível que o leitor possa compreender o MMC e realizar suas próprias simulações. Palavras-chaves: Projetos, simulação, Monte Carlo

2 1. Introdução Atualmente, é muito comum a aplicação de simulações para obtenção de valores esperados associados a acontecimentos futuros. Isso, é resultado do advento de novas tecnologias e computadores cada vez mais potentes, um pré-requisito básico para a realização de simulações. Entretanto, alguns profissionais acabam abandonando a aplicação das ferramentas de simulação em virtude do pouco conhecimento estatístico ou da baixa atratividade pelos resultados obtidos (KWAK & INGALL, 2007). Os métodos de simulação são ferramentas utilizadas para a tomada de decisão na solução de problemas de várias naturezas, especialmente úteis em situações que envolvem análise de riscos para predizer o resultado de uma decisão face à incerteza. A aplicação da simulação em problemas gerenciais requer primeiramente a modelagem em termos matemáticos do sistema que se pretende investigar, tornando conhecidas as variáveis e os relacionamentos relevantes do problema, permitindo simular as respostas do sistema a diferentes escolhas (políticas) da tomada de decisão. Existem vários métodos de simulação. Neste trabalho, é abordado especificamente o método de Monte Carlo (MMC) que é uma técnica de simulação de sistemas discretos, muito utilizada em áreas como gestão de projetos, economia, física, química, medicina, entre outras. Quando aplicado à gestão de projetos, por exemplo, essa técnica de simulação tem como foco três áreas de conhecimento: risco, custo e tempo (GALVÃO, 2005). É possível citar algumas ferramentas que auxiliam na simulação do MMC, tais como o SimulAr (proposta de trabalho), o Crystal Ball, etc. A maioria dessas ferramentas é paga, levando muitos profissionais da gestão de projetos, por exemplo, a abandonarem a simulação e a utilização de ferramentas que necessitem de grande conhecimento em torno do modelo estatístico e distribuições utilizadas. Neste artigo, desenvolveu-se um caso prático utilizando simulação MMC com base no ambiente SimulAr, que é um recurso de auxílio a simulação de acesso gratuito. Os principais fatores que motivaram este trabalho tratam diretamente da apresentação de uma ferramenta gratuita, a contextualização objetiva e direta sobre o que realmente é o MMC e quais seus fundamentos estatísticos. Na seção 2, os pré-requisitos estatísticos para a utilização do MMC são abordados, possibilitando uma compreensão do método como um todo. Para a aplicação prática do método Monte Carlo, as seções 3 e 4 tratam respectivamente sobre sua aplicação em ambientes de projetos e utilização aliada a ferramenta gratuita SimulAr. Conclusões e considerações finais estão presentes na seção 5 do atual trabalho. 2. Monte Carlo O método de simulação Monte Carlo é uma técnica que utiliza a geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja investigar. Os números aleatórios podem ser obtidos através de algum processo aleatório como tabelas ou diretamente do computador, através de funções específicas. A simulação, então, é replicada muitas vezes, até que exista segurança sobre o comportamento característico da variável decisória sobre a qual recairá a decisão. A aplicação desse método nas empresas é comum em problemas de análise de riscos, política de estoque, fluxo de produção, filas de espera e em políticas de manutenção de máquinas. Este método de simulação consiste em um processo de operação de modelos estatísticos de modo a lidar experimentalmente com variáveis descritas por funções 2

3 probabilísticas. Nestes modelos, o tratamento analítico é muito trabalhoso, e o MMC pode ser empregado como uma excelente alternativa para analisar experimentalmente os efeitos conjuntos das variáveis aleatórias no sistema. O método recebeu este nome devido à famosa roleta de Monte Carlo, no Principado de Mônaco, no ano de 1944, período da Segunda Grande Guerra, época em que foi usado como ferramenta de pesquisa para o desenvolvimento da bomba atômica. Porém existem registros isolados de sua utilização em datas bem anteriores e próximas da segunda metade do século XIX, onde várias pessoas executaram experiências nas quais lançavam setas, utilizando do acaso, sobre uma tábua onde havia um conjunto de linhas paralelas e deduziram que o valor de π = 3,14..., observando o número de interseções entre as setas e linhas (PLLANA, 2002). A lógica do MMC é simples e como exemplo de sua utilização é possível calcular a área aproximada para a figura 1, a seguir, contida num quadrado de lado 10cm (CUNHA, 2009). Fonte: Cunha (2009) Figura 1: Quadrado de lado 10cm Para efetuar um cálculo aproximado do tamanho da imagem da figura (1) são tomados, no interior do quadrado, 100 pontos ao acaso conforme a figura (2) a seguir. Fonte: Cunha (2009) Figura 2: Quadrado de lado 10cm pontilhado por 100 valores aleatórios Dos pontos aleatórios, ocorreram 22 pontos no interior da região assinalada. Logo, uma aproximação para sua área é dada por uma relação: 22/100 = área/100 = 22 cm 2. No exemplo citado, por se tratar de uma figura poligonal, é possível efetuar o cálculo de sua área com precisão: 19,75 cm2 Segundo Fernandes (2005), o MMC consiste basicamente em gerar aleatoriamente sucessivas amostras N (variáveis aleatórias) que são então testadas contra um modelo estatístico, no caso, uma distribuição de probabilidades. Este método fornece uma estimativa de valor esperado e um provável erro para estimativa, que é inversamente proporcional ao número de iterações, logo, quanto maior o número de iterações menor será o erro. 3

4 Dias de Moura (2010) propõe para a utilização do o MMC a execução e a análise de seis etapas conforme a seguir: a) Desenvolvimento do modelo: o problema e suas características são modelados em uma planilha eletrônica, na qual a relação entre as variáveis do modelo é estabelecida; b) Identificação de incertezas: identificadas as incertezas torna-se possível enquadrá-las como variáveis do modelo em questão. O estudo de cada uma das variáveis é necessário para que se defina a melhor distribuição de probabilidade se ajusta àquela série de dados; c) Identificação de variáveis de análise ou de saída: as variáveis de estudo são identificadas e analisadas quanto ao seu comportamento; d) Gerar Simulação: executar o modelo N vezes, gerando a série de valores para a variável de análise; e) Análise do Modelo Simulado: obter a distribuição de freqüência e distribuição de freqüência acumulada para as variáveis de análise (saída); f) Tomar a Decisão: tomar a decisão com base nas informações obtidas em conjunto com outros aspectos relevantes do modelo. 3. Simulação de Monte Carlo nos segmentos de projetos Para criar a simulação do MMC em um projeto, o modelo é executado várias vezes, por meios computacionais, retornando assim uma distribuição estatística dos resultados calculados, sejam para tempo ou custos. Para simulações envolvendo tempo é necessário conhecermos o caso otimista, pessimista e esperado, tornando possível a atribuição de uma distribuição de probabilidades mais apropriada aos valores. Com o modelo formado a partir das informações já conhecidas, ao efetuar as simulações com um número de iterações tendendo ao infinito temos como resultado uma distribuição normal. Uma vez que seja conhecida a distribuição normal em torno do seu projeto, torna-se possível responder com firmeza a famosa pergunta qual a probabilidade do meu projeto terminar no prazo? (VARGAS, 2008). As simulações do MMC podem ser realizadas de várias maneiras. Atualmente, as formas mais conhecidas e aplicadas são através de métodos computacionais, porém é importante salientar que algumas formas de simulação exigem grande conhecimento estatístico ou ainda de programação (Vargas, 2008). O desenvolvimento de modelos é classificado de acordo com o enfoque estatístico do gerente de projetos em questão, sendo dividido em: a) Puramente estatístico: desenvolvimento de lógicas avançadas a partir de modelos estatísticos, fórmulas matemáticas e ainda estrutura de programação. Para esse tipo de simulação pode-se utilizar softwares estatísticos como GNU R (R Development Core Team, 2008), Matlab e Minitab. O modelo possui uma característica marcante, devida à utilização de um conjunto de técnicas um pouco afastadas do cotidiano de muitos gerentes de projeto; b) Customizável estatístico: tem sua base de utilização fundamentada em planilhas eletrônicas junto a plug-ins (complementos) diversos. Cada complemento possui função única na estrutura criada, como por exemplo, um plug-in responsável por gerar números aleatórios para uma distribuição normal. Como vantagens para os gerentes que operam neste patamar, podemos citar modelos mais enxutos e personalizados exigindo um grau menor de conhecimentos estatísticos. No entanto, existem grandes dificuldades em reunir 4

5 todos os plug-ins necessários e até mesmo saber das necessidades estatísticas do modelo a ser desenvolvido; c) Foco no modelo: os principais softwares para simulação do MMC possuem uma característica em comum: são ferramentas que operam junto a planilhas eletrônicas. O grande diferencial dessas ferramentas que exigem um conhecimento básico em estatística é a simplicidade de utilização e uma quantidade elevada de recursos para realização de simulações e análises. Elas têm como objetivo geral abstrair modelos estatísticos, fórmulas matemáticas e estruturas de programação, tornando muito mais simples e rápida a criação de novos modelos. Projetos exigem muito tempo e dedicação, porém nem sempre este recurso é disponível de forma adequada para o desenvolvimento de modelos extensos, customizados e que utilizem programação. A simulação do MMC está associada diretamente a gestão de riscos em projetos, sendo uma das análises quantitativas mais utilizadas para custo, prazo e risco. A exposição ao risco é a probabilidade multiplicada pelo seu impacto, porém na maior parte dos exercícios, essa probabilidade já é informada e o cálculo destes valores é obtido através de simulações, onde o MMC é um dos mais aplicados (VARGAS, 2008). Figura 3: Gráfico de Gantt De forma prática, o MMC gera valores aleatórios obedecendo o modelo proposto. Como exemplo, podemos utilizar o projeto da figura (3), na primeira iteração são gerados números aleatórios para as atividades A, B e C, no segundo ciclo o processo é repetido, porém com novos valores. Após um número elevado de iterações, por exemplo, vinte mil iterações, uma distribuição probabilística é obtida para o projeto em questão, indicando as probabilidades de finalização do projeto como um todo ou das atividades A, B e C. Algumas perguntas referentes ao projeto não possuem respostas simples, principalmente questões sobre custo, tempo e quantificação de riscos. Para ajudar o gerente de projetos o MMC se dispõe a auxiliar nas respostas referentes aos questionamentos de cenários do tipo e se? (KWAK & INGALL, 2007). 3.1 Cenários do tipo "e se?" Em muitos casos, por desconhecimento de ferramentas para a realização de simulações, o gerente de projetos acaba utilizando o pior caso como base para o cálculo de contingências em durações e custos por exemplo. O levantamento de riscos e análise de forma sistemática (pior caso) é uma saída rápida e fácil, mas que pode minimizar a competitividade da proposta do projeto, ou torná-la competitiva demais resultando em prejuízos a equipe (SALLES ET AL., 2007). 5

6 E se a situação representada pelo cenário X ocorrer? Essa é a pergunta base para um estudo sobre o cenário e se?. Para custos e tempo é realizada uma análise da rede do cronograma, que avalia a possibilidade de alguns acontecimentos como uma greve, atraso na entrega de um importante componente ou ainda fatores externos que interfiram no projeto. O resultado da análise efetuada são uma das entradas para a avaliação de viabilidade do cronograma do projeto e preparo de plano de resposta a situações inesperadas. A técnica mais comum para a simulação de várias durações do projeto com conjuntos diferentes de premissas das atividades é o MMC (PMBOK 4ª, 2008). A aplicação não automatizada de cenários e se? em projetos de pequeno porte pode ser viável, porém em projetos de médio ou grande porte essa tarefa passa a ser algo árduo, chegando ao ponto de consumir tanto tempo do gerente que uma abordagem manual torna-se quase impossível. Isso acontece devido ao grande número de variáveis que precisam ser controladas em virtude das revisões de cronograma ou solicitação de mudanças no projeto. A automatização de simulações fornece benefícios como o ganho de tempo e ainda uma visão mais profunda do planejamento, pois alguns modelos propostos poderão apresentar como resultado eventos não previstos pela equipe. 4. Proposta de aplicação da Ferramenta SimulAr O SimulAr é uma ferramenta desenvolvida na Argentina e pode ser acessada em de forma gratuita. Sua forma de licenciamento é considerada " ware", o que torna necessário o envio de um para a equipe responsável pela ferramenta com comentários sobre o modelo desenvolvido, objetivando a "dispersão" de simulação e técnica de análise de riscos tanto no ambiente acadêmico como empresarial (SIMULARSOFT, 2009). A criação do modelo segue os seis passos descritos por Dias de Moura (2010), onde a ferramenta SimulAr é utilizada como base de toda a simulação desenvolvida. O estudo de caso é caracterizado como foco no modelo, pois esta ferramenta robusta é própria para realizar simulações de MMC. A simulação de Monte em Carlo é realizada em um projeto simples, sem divisão por entregas e sua estrutura se refere à implantação de um produto de software padrão. O foco da simulação proposta é apresentar um percentual de certeza para a duração do projeto. Figura 4: Gráfico de Gantt e durações do projeto analisado Os dados apresentados na figura (4) são referentes ao projeto analisado e fundamentados com informações históricas a partir de várias de suas execuções em clientes distintos. O cronograma do projeto criado segue as linhas gerais de implantação utilizadas por empresas do segmento de softwares para a gestão de qualidade. Tratando-se de uma ferramenta de utilização da área de qualidade em sua maioria, a implantação acaba não afetando toda a 6

7 organização, resultando em um projeto com menor duração quando comparado com a implantação dos Sistemas Integrados de Gestão Empresarial. Vale lembrar que o projeto supracitado é algo fictício com finalidade apenas de demonstrar a real utilização da simulação do MMC. A partir do momento em que todas as informações existentes sobre o projeto são reunidas, é possível iniciar o desenvolvimento do MMC. Todos os seis passos descritos por Dias de Moura (2010) foram realizadas na simulação executada. 4.1 Desenvolvimento do modelo As condições históricas referentes ao projeto foram resgatadas e aplicadas junto às durações estimadas do projeto. Para uma definição mais clara das distribuições aplicadas a cada uma das variáveis uma coluna Desvio padrão foi criada com base na duração estimada, melhor e pior caso, conforme figura (5). Figura 5: Informações referentes ao projeto A partir das informações presentes no desenvolvimento do modelo torna-se possível realizar algumas análises como a duração total do projeto para valores estimados, melhor e pior caso. 4.2 Identificação de incertezas Esta etapa é muito importante, pois a partir dela toda a modelagem fará uso das variáveis identificadas. Caso alguma variável seja definida de forma errônea todo o modelo é comprometido, resultando em informações falsas que poderão incidir em decisões erradas no projeto. Para o projeto analisado, as incertezas estão associadas a duração de cada uma das atividades. É preciso compreender que a duração total do projeto não pode ser adotada como incerteza, mas sim como resultado a partir da soma de incertezas identificadas neste caso. Figura 6: Valores históricos em horas para atividade "Primeiro contato com cliente" e Levantamento do ambiente de TI do cliente Analisando as atividades "Primeiro contato com cliente" e Levantamento do ambiente de TI do cliente. Seus valores históricos apresentados na figura (6) podem ser caracterizados com uma distribuição normal (desvio padrão igual a 0,2 de hora) e triangular respectivamente. 7

8 Figura 7: Distribuições presentes no software SimulAr. Como se pode observar, a figura (7) contempla todas as distribuições suportadas pela ferramenta SimulAr. Dentre as quais algumas abordadas neste documento, sendo elas a distribuição normal, triangular, uniforme e lognormal. Para a variável referente a atividade "Primeiro contato com cliente" foi definida na planilha eletrônica a entrada de dados e sua respectiva distribuição de acordo com seus valores históricos, conforme figura (8). Figura 8: Criação da variável referente à atividade "Primeiro contato com cliente" Tratando-se de uma variável com características de uma distribuição triangular, a atividade Levantamento do ambiente de TI do cliente recebe uma parametrização diferente da primeira atividade. No entanto, isso não é um problema, uma vez que cada variável assume distribuições distintas, conforme figura (9). 8

9 Figura 9: Criação da variável referente à atividade Levantamento do ambiente de TI do cliente Conforme a figura (9), observa-se uma nova coluna chamada Tipo de distribuição na planilha de informações do projeto, esta coluna apresenta qual a distribuição que melhor se encaixa nos dados históricos da atividade. O relacionamento entre distribuição e variável pode ser realizado manualmente, porém existem softwares que apontam qual a distribuição que melhor expressa os valores informados. As demais atividades do projeto analisado seguem a mesma seqüência de definições, por isso, não são detalhadas. 4.3 Identificação das variáveis de análise ou de saída A análise é realizada sobre o tempo total do projeto, uma vez que todas as atividades assumem o papel de variável. A partir destas afirmações é possível considerar como variável de saída, a soma de todos os valores assumidos pelas atividades durante a simulação. Na figura 10 é apresentado a soma de valores por meio da fórmula SOMA(H2:H8), seu resultado calcula o tempo total do projeto. A cada iteração um novo valor será atribuído às atividades, e o tempo do projeto será modificado também. Os valores gerados são armazenados pela ferramenta possibilitando uma análise detalhada do valor de saída identificado como Duração do projeto. Figura 10: Definição de variável de saída A única variável de saída analisada no projeto em questão é o seu tempo de duração, porém nada impede que exista mais de uma variável a ser analisada, sendo muito usual a existência de vários valores de saída durante simulações focadas em riscos, por exemplo. 9

10 4.4 Gerar Simulação Com todo o modelo desenvolvido e condizente com a realidade do projeto analisado, é necessário realizar a simulação. São realizadas dez mil repetições da execução do projeto, um número bem elevado e que resultará em uma distribuição normal como variável de saída, conforme figura (11) Figura 11: Execução da simulação Entre todas as opções apresentadas ao executar a simulação do MMC, o único valor que interfere no resultado final é o número de iterações realizadas. Porém, quanto maior for esse valor, mais próximo de uma distribuição normal será o resultado obtido com o MMC. No entanto, o tempo de execução da simulação e o consumo de processamento serão superiores. Após a realização da simulação, todos os valores gerados são agrupados pelo SimulAr. A partir destas informações, é desenvolvido um gráfico de distribuição de probabilidades. Outras informações são fornecidas pela ferramenta, como por exemplo, o valor mínimo e máximo junto a sua média e variância, conforme figura (12). 4.5 Análise do Modelo Simulado Figura 12: Resultados numéricos obtidos durante a simulação 10

11 Com a realização da simulação obtêm-se os valores necessários para uma análise do projeto. O resultado é apresentado em forma de intervalo, pois não é factível afirmar que um ponto seja o resultado exato para a duração do projeto, conforme figura (13). Figura 13: Resultado do MMC. Como se pode observar (figura 13) os valores obtidos pelo MMC em forma do gráfico de distribuição normal e uma lista de valores com as colunas Bins (valores resultantes da simulação de duração do projeto), Frequency (quantidade de ocorrências do valor obtido na coluna Bins) e Cumul.% (percentual acumulativo dos valores obtidos). As conclusões resultantes simulação realizada são: a) Realização do projeto em 28,8 horas ou menos, ou seja, possui aproximadamente 8,3% de chances de acontecer; b) As chances de o projeto ser concluído no intervalo de 28 a 31 horas são de aproximadamente 61%; c) A maior probabilidade de finalização do projeto está em 30,05 horas, onde das dez mil iterações, um valor de 3010 apontou para esse ponto como mais provável de conclusão do projeto; d) A conclusão do projeto próximo aos 25,8 horas é algo quase intangível, possuindo 0,01% de chances; e) A possibilidade da duração do projeto ser superior a 31 horas é aproximadamente de 37%. 4.6 Tomar a Decisão Conforme mencionado anteriormente, a simulação não mostra o que acontecerá com 100% de certeza, mas disponibiliza referências de informações para a tomada de decisões. A partir das conclusões obtidas, podemos apresentar algumas das decisões, tais como: a) Estimar a duração do cronograma para o melhor caso (25,8 horas), porém ao final do projeto incluir uma reserva de 4,25 horas. A partir do momento que se conhece o ponto 11

12 mais provável do projeto (30,05 horas), é possível estipular com maior precisão uma contingência; b) Realizar a substituição do tempo mais provável pela duração obtida durante a simulação do MMC em cada uma das atividades. Com esta substituição, o projeto passa a ter como duração total o ponto de conclusão mais indicado pelo MMC. 5. Considerações finais Enquanto uma forma de realizar previsões com 100% de certeza em qualquer que seja o evento é pouco provável, a simulação do MMC oferece recursos para tornar conhecida a probabilidade da ocorrência de determinado acontecimento. A proximidade do resultado obtido está ligada diretamente ao modelo desenvolvido, uma vez que este é a base de toda a simulação a ser realizada. Durante o desenvolvimento da simulação do MMC todo o conhecimento adquirido e histórico de projetos anteriores é analisado, promovendo um modelo mais conciso e preciso. Além disso, qualquer informação identificada de forma errada poderá comprometer toda a previsão, criando falsos resultados, fornecendo um ambiente propício à tomada de decisões erradas. Para tornar mais coerentes as decisões tomadas, o gerente de projetos deve focar no modelo a ser desenvolvido, através do ambiente SimulAr resultando assim em uma redução do tempo despendido nos estudos de simulação. A simulação deve ser vista como uma ferramenta de apoio ao usuário na tomada de decisões e não como a decisão propriamente dita. É importante salientar que os resultados obtidos com o MMC possuem forma de distribuição normal, onde não existe um número exato, mas sim um intervalo ao qual pode ser utilizado como faixa de resultados esperados. O MMC proporciona ao gerente de projetos uma poderosa ferramenta que aliada a boas práticas de gestão de projetos resultará em planejamentos mais robustos que inclui fontes mais confiáveis de informação sobre as estimativas apresentadas para o projeto. Com isso, torna-se desnecessária a utilização de técnicas como o tão conhecido chute, por exemplo. Quanto às recomendações para futuros trabalhos, se propõe a partir dos resultados deste estudo, dois temas. O primeiro, um estudo de caso utilizando a ferramenta SimulAr para a análise detalhada referente a riscos em projetos. Uma segunda sugestão seria um estudo comparativo da utilização de outros pacotes livres como o GNU R e RExcel com a ferramenta abordada neste trabalho envolvendo questões de confiabilidade dos resultados obtidos, ergonomia e tempo despendido durante a realização do MMC. Referências CUNHA, M. 0. O método de Monte Carlo: algumas aplicações na Escola Básica Disponível em: Acessado em: 20/12/2009. MOURA, A. D. Análise de projetos sob condições de risco. Disponível em: Acessado em: 15/01/2010. FERNANDES, C. Gerenciamento de riscos em projetos: Como usar micrsoft excel para realizar a simulação de monte Carlo. Disponível em: Acessado em: 10/02/2010. GALVÃO, M. Análise quantitativa de riscos com simulação de Monte Carlo. Editora Mundo PM Disponível em: Acessado em: 20/01/

13 KWAK, Y. H. & INGALL, L. Exploring Monte Carlo simulation applications for project management Disponível em: home.gwu.edu/~kwak/monte_carlo_kwak_ingall.pdf Acessado em: 03/01/2010. PALISADE. Análise de Risco, Disponível em: Acessado em: 02/02/2010. PLLANA, S. History of Monte Carlo Method, Disponível em: stud2.tuwien.ac.at/~e /index.html Acessado em: 15/04/2002. R DEVELOPMENT CORE TEAM (2008). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN Disponível em: Acessado em: 23/12/2009. SALLES JR, C. A. C. J; SOLER, A. M.; VALLE, J. A. S.; RABECHINI JR, R. Gerenciamento de Riscos de Projetos. Rio de Janeiro : Editora FGV, SIMULARSOFT. SimulAr: Montecarlo Simulation in Excel, Disponível em: Acessado em: 13/01/2010. VARGAS, R. Podcast sobre simulação de Monte Carlo. Disponível em: Acessado em: 22/12/

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