APLICAÇÃO DE SOFTWARES LIVRES NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA: UM RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA

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1 APLICAÇÃO DE SOFTWARES LIVRES NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA: UM RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA Resumo: O presente trabalho relata a experiência de um aluno bolsista de Iniciação Científica do curso de Engenharia de Computação, cujo interesse foi o estudo da aplicação de softwares livres para a resolução de problemas matemáticos. São apresentados três problemas resolvidos pelos softwares GeoGebra e Winplot, destacando as suas diferenças, vantagens e desvantagens. Palavras-chave: Softwares livres; GeoGebra; Winplot; Conteúdos matemáticos INTRODUÇÃO A evolução tecnológica educacional, sobretudo a disponibilidade de softwares livres para o ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos, sugere que as escolas busquem alternativas para incluir os seus alunos nesse contexto. A utilização da tecnologia pode ser encarada como uma aliada, no sentido de apresentar a característica de ser facilitadora na visualização de imagens para produzir conhecimento, podendo minimizar algumas dificuldades de aprendizagem de alguns conteúdos matemáticos. Além disso, o uso de imagens é muito importante, pois tem a característica de ser uma linguagem universal. A tecnologia pode também colaborar para suprir as exigências do mercado de trabalho, que requer do profissional uma formação generalista, crítica e reflexiva. Lévy (1996) assinala que um ambiente computacional que proporciona aos alunos a produção de hipertexto ou multimídia interativa adapta-se às tendências modernas da aplicabilidade educacional da tecnologia no ensino. Para o autor, o conhecimento é produzido pela simulação e experimentação. Dubinsky e Schwingendorf (apud Murphy, 2005) reconhecem que o uso do computador ou de outro recurso, com a finalidade de explorar idéias matemáticas, pode provocar a mudança do ambiente da sala de aula centrada no professor para um alunado que é levado a formular e testar hipóteses. O computador pode ser considerado como um meio de aprender fazendo, pensando e argumentando, de forma que a interação seja o ponto forte. Isso não é uma tarefa fácil, pois o aluno está acostumado a receber tudo explicado do professor. Borba e Villarreal (2005) afirmam que nós, seres humanos, não pensamos sozinhos, pois nosso desenvolvimento cognitivo é condicionado pelas mídias ou

2 tecnologias da inteligência (oralidade, escrita e informática). A tecnologia é essencial no processo da visualização e essa por sua vez ocupa um papel fundamental na compreensão de conteúdos matemáticos. Segundo Arcavi (2003), a visualização pode ser caracterizada como um objeto, uma imagem, e também como um processo, uma atividade. A animação proporcionada pelos recursos computacionais constitui um elemento fundamental na visualização de forma que as imagens podem ser dinâmicas e interpretadas pelos alunos em outras formas de produzir o conhecimento. Stewart (2009), por exemplo, ao enfatizar a compreensão dos conceitos no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, lembra que a visualização e as experiências numéricas e gráficas, entre outras ferramentas, alteram fundamentalmente a forma como ensinamos os raciocínios conceituais. Nesse contexto, este trabalho tem por objetivo relatar alguns problemas resolvidos pelos softwares livres GeoGebra e Winplot, buscando explorar as representações matemáticas desses problemas, e ao mesmo tempo, apresentando as diferenças, as vantagens e desvantagens da utilização desses softwares aplicados à resolução desses problemas. APLICAÇÃO DOS SOFTWARES PARA RESOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS MATEMÁTICOS A seguir são apresentados alguns problemas retirados dos livros textos universitários (STEWART, 2009; CRUZ, 2006) e com as suas respectivas resoluções através dos softwares GeoGebra e Winplot. Os comandos utilizados pelos softwares estão representados em itálicos. Os softwares GeoGebra e Winplot são de acessos livres, pois não precisam de licença para sua utilização. Para utilizar o GeoGebra é necessário instalá-lo a partir do endereço eletrônico Para acessar o Winplot basta instalá-lo a partir do endereço eletrônico Problema 1. (STEWART, 2009, p. 260, exercício 69). Entre 0 ºC e 30 ºC, o volume V (em centímetros cúbicos) de 1 kg de água a uma temperatura x é aproximadamente dado por: V = f(x) = 999,87 0,06426 x 0, x² - 0, x³

3 Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima. Resolução usando o software GeoGebra Primeiramente passamos a função definida no exercício para o software, através do comando Polinômio[ x x² x³] e calculamos a derivada de f(x), Derivada[f]. A figura 1 ilustra a função polinomial f(x) e a sua derivada usando o programa GeoGebra. Observando que a função f(x) possui dois pontos críticos, pois f (x) corta o eixo x em dois momentos. Assim podemos achar a interseção de f (x) com o eixo x. Isto pode ser feito achando as raízes de f (x), raiz[f ]. Feito esse comando o GeoGebra irá criar as raízes da função desejada. No nosso caso ele criará dois pontos, pois f (x) é uma função do 2º grau. Para acharmos seus correspondentes no eixo y usaremos uma função do próprio objeto f(x), f(3.966) ; f( ). Isto resulta em f(3.966) = e f( ) = Agora podemos marcar na função f(x) os pontos críticos e observar o que o exercício pede. Criar Novo Ponto e mudar as coordenadas para os pontos críticos. Ponto Minimo(3.966, ) e Ponto Máximo( , ). Como o exercício pede para achar a temperatura onde a densidade da água é máxima, seguindo a fórmula de densidade, para obtermos a densidade máxima precisamos utilizar o volume mínimo que é 999,745. Portanto, o volume mínimo corresponde a temperatura igual a 3,966 ºC, representado pelo ponto C na figura 1. Figura 1. Representação da função polinomial f(x) do problema 1 e de sua derivada pelo GeoGebra

4 Resolução usando o software Winplot Primeiramente passamos a função definida no exercício para o software, como uma Função Explícita, na aba Equação do menu superior existe uma ferramenta chamada Explícita, no qual podemos digitar a função f(x) = x x^ x^3. Outra opção direta seria pelo comando F1 e em seguida, calcularmos a derivada de f(x), clicando no ícone DERIVAR da janela do inventário. A figura 2 apresenta a função polinomial f(x) e a sua derivada usando o programa Winplot. Como já mencionado anteriormente, a função f(x) possui dois pontos críticos, assim podemos achar a interseção de f (x) com o eixo x. Isto pode ser feito de duas maneiras: 1) Criar uma reta auxiliar y = 0, e achar a interseção de f (x) com a reta, F1, ou pelo menu superior, e digitar a função f(x) = 0. Dessa forma podemos achar a interseção entre essas duas funções, na aba DOIS do menu superior existe uma ferramenta chamada Interseção, no qual podemos ver os pontos que f (x) intercepta o eixo x. Isso permite marcar os pontos e ver os seus valores no qual o valor de x terá seu correspondente máximo ou mínimo na função f(x). 2) Achar as raízes de f (x), na aba UM do menu superior existe uma ferramenta chamada Zeros, no qual podemos ver os pontos que f (x) intercepta o eixo x. Visualmente podemos observar que o volume mínimo corresponde a temperatura de 3,966 ºC e o volume máximo corresponde a temperatura de 79,5317 ºC. Como já mencionado anteriormente, para a densidade da água ser máxima, temos que ter o volume máximo, isto é, a temperatura igual a 3,966 ºC.

5 Figura 2. Representação da função polinomial f(x) do problema 1e de sua derivada pelo Winplot Problema 2. (STEWART, 2009, p. 395, exemplo 6) Encontre a área limitada pela reta y = x 1 e pela parábola y² = 2x 6. Resolução usando o software GeoGebra Primeiramente passamos a função definida no exercício para o software, f(x) = x 1. Em seguida, dividimos a parábola em duas partes, e passamos as funções para o software, g(x) = (2x 6) ^ (0.5); h(x) = - (2x 6) ^ (0.5). Para achar a interseção das funções, Interseção[f,g]; Interseção[f,h]. Assim podemos achar a integral da função g(x) delimitada pela sua parte negativa h(x), Integral[g, h, -3, -1]. O GeoGebra irá criar uma área que será preenchida e terá seu valor numérico. Para acharmos a área pedida no exercício, devemos achar mais uma área para fazermos uma soma de áreas, Integral[g, f, -1, 5]. Agora podemos somar as áreas e achar a área pedida, ab, resultando num valor c = 18, ou seja, a área limitada pela reta e pela parábola é de 18 u.a. A figura 3 apresenta os comandos para calcular a área entre as curvas do problema 2 pelo programa GeoGebra. Figura 3. Comandos para calcular a área entre as curvas do problema 2 pelo GeoGebra Resolução usando o software Winplot Primeiramente passamos as funções definidas no exercício para o software, como uma Função Explícita, na aba Equação do menu superior existe uma ferramenta chamada Explícita, no qual podemos digitar a função f(x) = x 1, f(x) = (2 x 6)^0.5,

6 f(x) = - (2 x 6)^0.5. Outra opção direta seria pelo comando F1. Com isso podemos calcular as interseções entre as funções, na aba DOIS do menu superior existe uma ferramenta chamada Interseções, no qual podemos marcar os pontos. Para calcularmos a área pedida no exercício precisamos dividir as áreas e somálas em seguida, na aba DOIS do menu superior existe uma ferramenta chamada Integração, no qual podemos achar os valores das áreas e somá-las sem o uso do software, pois o Winplot não salva os valores das áreas obtidas. A primeira área é a integral da parte positiva da parábola limitada pela parte negativa dela mesma no intervalo de -3 a -1. A segunda área é a integral da parte positiva da parábola limitada pela reta no intervalo de -1 a 5. A soma delas resultará numa área de 18 u.a. A figura 4 apresenta os comandos para calcular a área entre as curvas do problema 2 pelo programa Winplot. Figura 4. Comandos para calcular a área entre as curvas do problema 2 pelo Winplot Problema 3. (CRUZ, 2006, p. 175, exercício 11.5). Resolva o circuito elétrico representado pela figura 5, onde R representa resistores elétricos conhecidos e E são fontes de tensão conectadas ao elementos de cada malha do circuito.

7 Figura 5. Exemplo de um circuito elétrico Aplicando conhecimentos adquiridos na disciplina de Circuitos Elétricos através das Leis das Malhas, o circuito da figura 5 pode ser representado pelo sistema linear (1). 670x 1 270x x 270x 840x x 2 150x 3 270x 920x 3 3 = 18 = 9 (1) = 6 onde x 1, x 2 e x 3 representam as correntes elétricas em cada malha do sistema elétrico. Usamos o software GeoGebra para obter a solução do sistema (1) representado por Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas e b é o vetor de termos independentes. O vetor solução x do sistema Ax = b pode ser obtido por x = A -1 b, onde A -1 é a matriz inversa de A. Primeiramente passamos as equações em forma de matriz para a planilha do GeoGebra, sendo a primeira matriz [3x3] os coeficientes da matriz A (matriz1) e a segunda matriz [3x1] os coeficientes do vetor b (matriz2). Com isso podemos gerar essas matrizes para o software, selecionando os dados na planilha e clicando com o botão direito em Criar Matriz (figura 6). Figura 6. Inserindo a matriz A e o vetor b do problema 3 no software GeoGebra Em seguida, determinamos a matriz inversa de A (matriz 1), Comando: MatrizInversa[matriz1], obtendo a matriz 3. A solução do sistema (vetor x, que corresponde aos valores das correntes elétricas do circuito) é representada pela matriz 4, isto é, x = A -1 b, Comando: matriz3*matriz2. A figura 7 representa as matrizes no software GeoGebra. A solução obtida por esse procedimento, isto é, x 1 = 0,0454, x 2 = 0,0329 e x 3 = -0,0236, corrobora com aquela apresentada no livro texto. Vale destacar que não foi possível criar as matrizes pelo Winplot, inviabilizando a resolução desse problema por meio deste software.

8 Figura 7. Representação das matrizes do problema 3 no software GeoGebra O quadro 1 resume as vantagens e as desvantagens ao utilizar os softwares GeoGebra e Winplot para os problemas aqui considerados. Quadro1. Resumo das vantagens e desvantagens do GeoGebra e Winplot Conteúdos matemáticos Vantagens Desvantagens Problema 1: traçado de gráficos; derivada; raízes de funções; ponto de mínimo e ponto de máximo GeoGebra: facilidade de uso dos comandos de derivação. Winplot: facilidade de uso dos comandos de derivação. GeoGebra: dificuldade de localização dos objetos no plano cartesiano. Winplot: dificuldade em encontrar os comandos adequados. Problema 2: traçado de gráficos; área; integral Problema 3: matriz; matriz inversa; resolução de sistema linear GeoGebra: facilidade de uso dos comandos de integração. Winplot: facilidade de uso dos comandos de integração GeoGebra: facilidade de uso dos comandos utilizados com planilhas e total integração com os melhores programas de planilha do mercado. GeoGebra: não faz integrais em relação ao eixo y. Winplot: dificuldades em encontrar os comandos adequados e não permite visualizar mais de uma área sombreada, para isso é preciso fazer manualmente. GeoGebra: não possui um comando próprio para se calcular o resultado do sistema. Winplot: não permite criar matrizes CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho apresentado foi o resultado de um estudo realizado por um aluno bolsista de Iniciação Científica do CNPq, cursando o terceiro ano de Engenharia de Computação de uma Universidade particular de Campinas, Estado de São Paulo.

9 Os softwares livres estudados foram: GeoGebra e Winplot. Entretanto, o GeoGebra despertou um maior interesse pelo estudante, possivelmente pela apresentação proporcionada pelo software, na forma de ícones. Este software possui a tela mais limpa, isto é, com uma menor quantidade de menus, disponibilizados de maneira simples e mais acessível. Além disso, ele possui duas janelas: uma janela geométrica e outra algébrica, que propiciam uma maior interação entre as equações, pontos e a visualização do desenho que o mesmo produz. O presente estudo possibilitou que o estudante não apenas adquirisse o conhecimento na manipulação dos softwares acima abordados, mas também privilegiou o uso de vários conteúdos matemáticos fundamentais para a sua formação. Isso nos permite concluir que o uso de softwares livres pode não apenas gerar conhecimento, mas também servir como uma ferramenta motivadora no aprendizado. Além disso, essa experiência proporcionou ao aluno envolvido uma nova fonte de trocas de idéias com seus companheiros de curso, resultando em discussões interessantes e possibilitando a expansão do uso desses softwares aplicando-os em outras funções e ferramentas gráficas para problemas de interesse do cotidiano. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARCAVI, A. The role of visual representations in the learning of mathematics. Education Studies en Mathematics, v. 52, n. 3, p , BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humans-With-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking: information and communication techonogies, modeling, experimentation and visualization. New York: U.S.A., Springer, 2005, v.39. CRUZ, Eletricidade aplicada em corrente contínua, 1ª. ed.: Érica, LÉVY, P. As Tecnologias da Inteligência: o futuro do Pensamento na Era da Informática. Trad. Carlos Irineu Costa. Rio de Janeiro: Editora MURPHY, L.D. Computer algebra systems in calculus reform. Disponível em: Acesso em: 20mai STEWART, J. Cálculo. 6 a. ed. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2009.