MATERIAL DE APOIO À PRÁTICA PEDAGÓGICA AS 4 OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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1 Departamento de Orientações Educacionais e Pedagógicas - DOEP MATERIAL DE APOIO À PRÁTICA PEDAGÓGICA AS 4 OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

2 Caro (a) educador (a), Bem-vindo (a) à terceira Edição da Olimpíada Municipal de Matemática - OMM, que está repleta de novidades! Tendo em vista que, infelizmente, a Matemática sempre foi considerada o bicho papão para muitos e/ou enorme desafio para outros, planejamos esta edição tendo você como nosso (a) parceiro (a) na luta pela conquista de uma Educação Matemática de qualidade. Nesse sentido, a Olimpíada de Matemática busca proporcionar aos educadores e aos educandos a participação ativa e direta no processo de elaboração do conhecimento, afinal, estudar faz mais sentido se for para ter uma profunda compreensão das relações matemáticas com a vida, e em seu cotidiano ser capaz de entender uma situação-problema e utilizar as ferramentas adquiridas para resolvê-la. Vale ressaltar que não estamos em busca de talentos. Nosso objetivo é contribuir com a melhoria da aprendizagem de todos e o aprimoramento do fazer pedagógico. A Olimpíada de Matemática vai além de um concurso, pois oferece formação de educadores, seja por meio da socialização de práticas e da veiculação de materiais com orientações pedagógicas no endereço eletrônico da OMM, seja pela participação do educador em encontros para reflexão sobre as práticas educativas, inclusive em hora-atividade. A abordagem dos blocos de conhecimento (Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação - QSN) deve integrar a matemática com o contexto da educação ambiental. O importante é que todos os educandos participem e aprendam. Confiamos e contamos com seu empenho, seu talento e sua criatividade. Bom trabalho! Comissão da Olimpíada Municipal de Matemática - Guarulhos

3 O EDUCANDO E A LINGUAGEM MATEMÁTICA A palavra Matemática tem origem na palavra grega máthema que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí mathematikós, que significa o prazer de aprender. É uma linguagem que possui códigos próprios e um sistema de comunicação e representação construído ao longo de sua história. Ela está presente no dia a dia das pessoas, assim como em outras áreas do conhecimento, portanto, seu ensino não deve se resumir a regras mecânicas inacessíveis ao professor e insuficientes para produção de conhecimentos aos alunos, que trazem para a escola vivências matemáticas construídas em seu grupo sociocultural. A linguagem matemática desempenha um papel significativo dentro dessa Ciência e Cultura, mas não sobrevive isolada, pois necessita do apoio da linguagem materna para a realização da sua comunicação. Cabe à escola utilizar esse conhecimento, ampliar esse repertório e aprender a trabalhar com os exemplos dos alunos. Conhecedor do que ensina e para quem ensina, o professor torna o processo mais significativo e tende a perceber, por exemplo, a insuficiência do ensino das quatro operações desligadas das inúmeras variedades de ideias e de fatos do mundo real, não se limitando a explicar o saber-fazer e, sim, a busca de uma compreensão conceitual para ambos. A formação desses conceitos depende da compreensão do educador como mediador do processo de construção do conhecimento, refletindo sobre suas práticas de ensino, e criando situações pedagógicas em que a criança exercite a capacidade de pensar e buscar soluções. Um currículo eficiente quanto aos saberes de Matemática permite que o sujeito desenvolva habilidades de resolver problemas, lide com informações numéricas, faça inferências, possa agir de forma crítica e independente e perceba o uso social e o papel formativo dessa disciplina, ajudando-o a estruturar seu pensamento e raciocínio lógico. Isso tudo lhe possibilitará exercer, de forma mais plena, o exercício de sua cidadania. (Quadro de Saberes Necessários QSN, página 32).

4 AS 4 OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Assim como a matriz de referência que norteia os testes de Matemática do Sistema de Avaliação da Educação Básica - SAEB e da Prova Brasil, a Olimpíada Municipal está estruturada com foco na resolução de problemas. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os educandos têm situações desafiadoras e desenvolvem estratégias no para resolvê-las. Nesse sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do educando e fazê-lo a se interessar pela Matemática, de modo que, ao tentar resolvê-los, o educando aprimora a criatividade e o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático. Resolução de problemas matemáticos é uma barreira que a maioria dos educandos enfrenta no aprendizado da matemática, pois eles têm dificuldade em identificar a operação a ser utilizada para sua resolução. Ao resolvermos um problema matemático, antes de fazermos as contas, devemos interpretar, entender o que ele quer que calculemos. É fato que, nas escolas, por muito tempo, a ênfase do ensino da Matemática esteve nas técnicas operatórias e na compreensão dos algoritmos em si e pouca atenção foi dada à compreensão dos conceitos matemáticos e às propriedades envolvidas nas operações. Esta realidade tem contribuído para que muitas crianças se desmotivem e gradativamente, percam o gosto e o interesse em aprender matemática. Muitas vezes a atividade matemática escolar é organizada apenas a partir de exercícios nos quais a meta é aprender a realizar cálculos (mentais e escritos) e a usar algoritmos, de modo a tornar a rotina na sala de aula marcada por intermináveis exercícios sem significado para os alunos. É insuficiente um educando saber fazer contas mecanicamente se não souber as ideias matemáticas que lhes são pertinentes. O uso de algoritmos deve estar associado à compreensão pelos educandos dos significados conceituais nele envolvidos. Adição e subtração A adição corresponde sempre a dois tipos básicos de ação: juntar (ou reunir) ou acrescentar; enquanto a subtração corresponde às ações de: retirar, comparar ou completar. É muito importante que as crianças vivenciem experiências envolvendo estes tipos de ação. A dificuldade que os alunos sentem na resolução de problemas é causada, principalmente, pela falta de experiências concretas variadas.

5 Ideias da adição: Juntar ou reunir: Ao juntarmos duas ou mais quantidades ou quantias, apenas somamos valores já existentes e próximos, de modo que teremos apenas que reuni-los para obter um único resultado. Acrescentar: Já a ideia de acrescentar não envolve a ação de reunir, mas sim de adquirir mais para totalizar o valor almejado. Para a compreensão dessa ideia, duas formas interessantes de se trabalhar são: conto de histórias e jogo da trilha. Ideias da subtração: Todas essas situações podem ser resolvidas por subtração, mas possuem ideias diferentes em cada uma delas.

6 Retirar: De um total, uma parte foi retirada, em que aparecem situações de perda, empréstimo etc. Em uma classe com 15 alunos, 8 saíram para ensaiar uma peça de teatro. Quantos alunos ficaram na classe? Poderíamos representá-la da seguinte maneira: Comparar: Geralmente uma parte é comparada com outra parte. Em uma classe há 9 meninas e 6 meninos. Tem mais meninas ou meninos? Quanto (a)s a mais? Completar: temos uma parte e devemos ir acrescentando elementos até chegar ao todo. O 5º Ano C decidiu fazer um passeio. Como o micro-ônibus transporta 23 passageiros e a classe tem apenas 15 alunos, quantos passageiros faltam para lotar o ônibus?

7 Multiplicação e Divisão Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente. A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação realizar. Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números naturais desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais. Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas em experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. A professora ou o professor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da operação. A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob os enfoques: a) como adição de parcelas iguais Por exemplo: 3 x 2 = b) como raciocínio combinatório, no qual verificamos quantas possibilidades existem de formar pares com duas coleções Por exemplo: - Se um menino tem 2 calças e 3 camisas, de quantas maneiras ele poderá se vestir?. 2 x 3 = 6

8 Considerando, porém, que o enfoque da multiplicação como adição de parcelas repetidas é mais natural, a professora ou o professor deve inicialmente se prender a experiências deste tipo. c) como representação retangular, trabalhando a leitura de linha por coluna ou vice-versa. Por exemplo: Um engradado de refrigerantes pode sugerir o produto de 4X6 ou 6X4; uma caixa de ovos o produto 2X6 ou 6X2. A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida. a) Divisão-repartição: A ação de repartir se encontra em situações nas quais é conhecido o número de grupos que deve ser formado com certo total de objetos, e é preciso determinar a quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: 12 lápis precisam ser separados em 4 subconjuntos iguais. Quantos lápis haverá em cada subconjunto? b) Divisão-comparação ou medida: Ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com certo total de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por exemplo: 12 lápis serão separados em subconjuntos de 3 lápis cada um. Quantos conjuntos serão feitos?

9 Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis em 4 caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isto permite a aplicação de uma estratégia simples: ela pode distribuir 1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após esta ação ela verifica, então, quantos lápis ficaram em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança tem os mesmos 12 lápis sobre a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela deverá aplicar outra estratégia: separar seu material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade, quantos cabem, ou seja, qual a quantidade de grupos formados. Durante um bom tempo, problemas matemáticos foram utilizados na sala de aula como uma forma de treinar o uso de algoritmos. Entendemos que a resolução de problemas deve desencadear a atividade matemática. Uma proposta pedagógica pautada na Resolução de Problemas possibilita que as crianças estabeleçam diferentes tipos de relações entre objetos, ações e eventos a partir do modo de pensar de cada uma, momento em que estabelecem lógicas próprias que devem ser valorizadas pelos professores. A partir delas, os alunos podem significar os procedimentos da resolução e construir ou consolidar conceitos matemáticos pertinentes às soluções. Um problema não é um exercício ao qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há um problema quando o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão proposta e estruturar a situação que lhe foi apresentada. O processo de construção de solução pelo aluno é fundamental para a aprendizagem e dará sentido matemático para os cálculos e operações que efetuará. É portanto, no interior da atividade de resolução de problemas, que o trabalho com os cálculos dever ser efetivado na sala de aula. É importante que as estratégias individuais sejam estimuladas. São elas que possibilitam aos alunos vivenciarem as situações matemáticas articulando conteúdos, estabelecendo relações de naturezas diferentes e decidindo sobre a estratégia que desenvolverão. A socialização dessas estratégias com toda a turma amplia o repertório dos alunos e auxilia no desenvolvimento de uma atitude mais flexível frente à resolução de problemas. Você já ouviu questionamentos como: Professor, que conta tem que fazer? É de mais ou de menos? É de vezes ou de dividir? Perguntas como essas são bastante comuns na prática cotidiana de muitos professores. Se os alunos perguntam recorrentemente que contas devem fazer diante de problemas matemáticos, possivelmente não estão compreendendo as ideias envolvidas no problema e/ou não atribuem significado aos algoritmos que sabem usar.

10 Vergnaud (2009) afirma que conceitos não podem ser compreendidos de modo isolado, mas sim a partir de campos conceituais. Isto implica em considerar que conceitos, como por exemplo, de adição e subtração, envolvem e são envolvidos por situações, estruturas, operações de pensamento e representação que se relacionam entre si. Assim, adição e subtração fazem parte de um mesmo campo conceitual denominado aditivo. Do mesmo modo, multiplicação e divisão fazem parte do campo conceitual denominado multiplicativo. SITUAÇÕES ADITIVAS Situações de composição simples Relacionam as partes que compõem um todo por ações de juntar ou separar as partes para obter o todo sem promover transformação em nenhuma das partes. Exemplo: Em um vaso há 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas rosas há ao todo no vaso? Situações de transformação simples Envolvem um estado inicial, uma transformação por ganho ou perda, acréscimo ou decréscimo e um estado final.

11 Situações de composição com uma das partes desconhecida Situações em que o todo e uma das partes são conhecidos, sendo necessário determinar a outra parte. Situações de transformação com transformação desconhecida Trata-se de problemas aditivos de transformação desconhecida, uma vez que são conhecidos os estados iniciais e o estado final da situação.

12 Situações de transformação com estado inicial desconhecido O estado inicial também pode ser desconhecido nas situações de transformação. Esses problemas costumam ser mais difíceis, pois envolvem operações de pensamento mais complexas. Situações de comparação Não há transformação, uma vez que nada é tirado ou acrescentado ao todo ou às partes, mas uma relação de comparação entre as quantidades envolvidas.

13 SITUAÇÕES MULTIPLICATIVAS O raciocínio multiplicativo é diferente do raciocínio aditivo, e é importante conhecermos e diferenciarmos as características de cada um. Raciocínio aditivo: envolve relações entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve ações de juntar, separar e corresponder um a um. Raciocínio multiplicativo: envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa variável que corresponda a um valor em outra variável. Envolve ações de correspondência um para muitos, distribuição e divisão. Situações de comparação entre razões A proporção é a expressão da relação existente entre coleções. Veja:

14 Raciocínio aditivo: Raciocínio multiplicativo: Situações de configuração retangular Exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa.

15 Situações envolvendo raciocínio combinatório Situações envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de combinar elementos de diferentes conjuntos. Situações de divisão por distribuição São situações nas quais o todo deve ser dividido em determinada quantidade de grupos.

16 Situações de divisão envolvendo formação de grupos Problemas de divisão podem envolver a formação de grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido e o número de grupos possíveis deve ser determinado.

17 É comum as crianças tentarem resolver problemas como esse distribuindo as caixas em 4 sacolas e obter o resultado 5. No entanto, nesse caso, o resultado corresponderia a 5 caixas de sapato em cada sacola. Embora o resultado numérico seja o mesmo, foi obtido por um erro de interpretação da situação envolvida no problema. (Caderno 4 Operações na Resolução de Problemas do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa - PNAIC) SABERES DO EIXO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA - QSN Construir conceitos de adição, subtração, multiplicação e divisão a partir da manipulação de materiais concretos em situações contextualizadas. Resolver situações-problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição (juntar e acrescentar). Resolver situações-problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da subtração (tirar, comparar, completar). Resolver situações-problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da multiplicação (adição de parcelas iguais e raciocínio combinatório). Resolver situações-problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da divisão (repartir e medir). Utilizar a estimativa, arredondamento e o cálculo mental, envolvendo as operações fundamentais na resolução de problemas. Analisar, resolver e interpretar situações-problema, compreendendo os significados da adição, subtração, multiplicação e divisão, ou utilizando estratégias pessoais. Resolver situações-problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. Construir fatos básicos da adição, subtração, multiplicação e divisão a partir de situações lúdicas e/ou situações-problema, para a construção de um repertório a ser utilizado no cálculo. Utilizar a decomposição das escritas numéricas para a realização de cálculos, que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão. Utilizar a decomposição das escritas numéricas para a realização de cálculo mental, exato ou aproximado. Explorar diferentes significados das frações em situações-problema: parte, todo, quociente, razão e medida. Resolver situações-problema envolvendo porcentagem. DESCRITORES DA PROVA BRASIL Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa). Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade, configuração retangular e combinatória. Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal envolvendo diferentes significados da adição ou subtração. Resolver problema envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%).

18 DIREITOS DE APRENDIZAGEM Elaborar, interpretar e resolver situações-problema do campo aditivo (adição e subtração), utilizando e comunicando suas estratégias pessoais, envolvendo diferentes significados. Calcular adição sem agrupamento e subtração sem desagrupamento (sem reserva ou sem troca). Calcular adição com agrupamento e subtração com desagrupamento (com reserva ou com troca). Elaborar, interpretar e resolver situações-problema do campo multiplicativo (multiplicação e divisão), utilizando e comunicando suas estratégias pessoais por meio de diferentes linguagens e explorando os diferentes significados. Construir, progressivamente, um repertório de estratégia de cálculo mental e estimativo, envolvendo dois ou mais termos. Elaborar, interpretar e resolver situações-problema convencionais e não convencionais, utilizando e comunicando suas estratégias pessoais. Compreender padrões e relações, a partir de diferentes contextos. BIBLIOGRAFIA Guarulhos, Quadro de Saberes Necessários QSN. Secretaria de Educação de Guarulhos, BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Pnaic Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa. Programa de Educação Continuada de professores do ciclo de alfabetização. Brasília; MEC/SEB/ BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Pró-Letramento de Matemática: programa de formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEB, Fascículos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. SMOLE, K. C. S. & DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed. ZUNINO, D. L. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artmed. PARRA, Cecilia. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre, Ed. Artmed. D AMBRÓSIO, Ubiratan Ed. Matemática - Da Teoria à Prática. Editora Papirus. Secretaria Municipal de Educação Departamento de Orientações Educacionais e Pedagógicas Comissão: Aparecida Fátima Arantes de Oliveira, Cristiane Aparecida Marcondes, João Robertto de Lima Santos, Katia Cristina Barbatano dos Santos, Kleber William Alves da Silva, Marlene Rosa de Oliveira, Renata Dallmann Bauléo, Roseli Ferreira de Sousa Araujo.