Aula ONDAS SONORAS. PRÉ-REQUISITO Trigonometria básica; cálculo diferencial básico; mecânica básica; aulas 01-03

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1 ONDAS SONORAS Aula 4 META Apresentar aos alunos as principais características de ondas sonoras que se propagam atraés dos gases, bem como as maneiras de descreê-las matematicamente. Demonstrar a conexão entre elocidade do som e características do gás. Explicar o efeito Doppler acústico. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deerá: Descreer matematicamente uma onda sonora em termos de deslocamento das moléculas do gás ou de flutuação da pressão. Entender a relação entre elocidade do som e a pressão ou temperatura do ar. Entender a escala decibel para medição da intensidade do som. Compreender e utilizar praticamente as fórmulas do efeito Doppler acústico. PRÉ-REQUISITO Trigonometria básica; cálculo diferencial básico; mecânica básica; aulas 1-3

2 Introdução Ondas sonoras são as ondas mecânicas mais conhecidas e mais importantes para a humanidade. São ondas longitudinais e propagam-se atraés de qualquer meio material com elocidade que depende das propriedades físicas deste meio. A descrição matemática das ondas sonoras é muito parecida com descrição das outras ondas mecânicas, discutidas na aula anterior. Ondas sonoras podem ser diididas em três categorias, dependendo da sua frequência. (1) Ondas audíeis compreendem frequências entre 2 e 2 Hz, que é o interalo que a grande maioria dos ouidos humanos percebe e interpreta estas ondas como som. (2) Ondas de infra-som são ondas sonoras com frequências abaixo do limite do interalo audíel (<2 Hz). (3) Ondas de ultra-som são ondas sonoras com frequências acima do limite do interalo audíel (>2 Hz). Para seres humanos as ondas sonoras que se propagam atraés do ar têm maior importância. Portanto, o foco dessa aula será a estudar exatamente este tipo das ondas sonoras. 4.1 Descrição matemática das ondas sonoras harmônicas propagando-se atraés de um gás As ondas sonoras podem ser geradas, no ar, por um diapasão, por uma pessoa falando, ou por um alto-falante que esteja ibrando com moimento harmônico simples. A fonte de ibração prooca a oscilação das moléculas do ar na sua izinhança, em torno de seus pontos de equilíbrio. Os choques entre essas moléculas e as moléculas izinhas criam uma perturbação que se moimenta pelo espaço como uma onda. Para estudar esse tipo de moimento, amos nos concentrar no caso simples de uma onda harmônica que se propaga ao longo de eixo x, no seu sentido positio. Conforme discutido nas aulas anteriores, essa onda é descrita por uma função da onda ξ ( x, t) que fornece o deslocamento ξ de uma molécula do ar em relação ao seu equilíbrio, para uma posição x no instante t : ξ ( x, t) = ξ sen( kx ωt) (4.1) Os deslocamentosξ são orientados na direção de propagação da onda, de modo que as distâncias ξ e x são paralelas e não ortogonais, como no caso de uma onda transersal! A igura 4.1 mostra a ariação do deslocamento das moléculas do ar como função da posição delas. A oscilação das moléculas do ar causa ariação da densidade do ar, e a última prooca ariação da pressão do ar. Como a pressão de um gás é proporcional à sua densidade, a ariação de pressão (pois está superposta a uma pressão de equilíbrio) é máxima quando a ariação de densidade for também máxima. A igura 4.1 mostra que a ariação de densidade (ou pressão) está defasada do deslocamento de 9. 78

3 igura 4.1: Gráfico do deslocamento das moléculas de ar durante passagem de uma onda sonora harmônica, num dado instante t. Quando o deslocamento é zero, a ariação de densidade (ou pressão) é máxima ou mínima. Quando o deslocamento é máximo ou mínimo, a ariação de densidade (ou pressão) é nula. Desta forma podemos representar uma onda sonora como uma onda de pressão, defasada por π 2 em relação à onda do deslocamento (4.1), dada por: p( x, t) = p sen( kx ωt π 2) p cos( kx ωt) (4.2) onde p é ariação de pressão em relação á pressão de equilíbrio, e p é o máximo (quando a função cosseno é igual um) desta ariação de pressão. A função p( xt, ) fornece a diferença entre a pressão da onda e a pressão atmosférica normal p a, de modo que a pressão absoluta do ar é igual a pa + pxt (, ), e depende da posição e tempo. Num dado instante t, por exemplo, as posições x onde p = sofrem pressão atmosférica inalterada, já que as posições onde p = ± p sentem a pressão maximamente alterada pa ± p. Mostra-se que a amplitude da ariação de pressão p está relacionada com a amplitude do deslocamento ξ por: p = ρωξ (4.3) onde é a elocidade de propagação do som e ρ a densidade do gás no equilíbrio. Portanto, podemos concluir que a descrição de propagação das ondas sonoras pode ser feita tanto em termos de deslocamento de moléculas do ar quanto em termos de ariação da pressão do ar. 79

4 4.2 Velocidade das ondas sonoras Já foi dito que a elocidade das ondas mecânicas depende das propriedades do meio, e não depende do moimento inicial da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do moimento ondulatório. Percebe-se que a elocidade de todas as ondas mecânicas obedece a seguinte lei: propriedade elâstica do meio = (4.4) propriedade inercial do meio Lembra-se do caso das ondas transersais que se propagam atraés da corda (aula 3): a elocidade delas obedece fórmula = T μ, onde a tensão é uma propriedade elástica da corda, e a massa linear é, como qualquer massa, uma propriedade inercial da corda. As ondas sonoras propagam-se por todos os meios materiais: sólidos, fluidos e gases. A fórmula para elocidade de propagação do som atraés dos sólidos já foi deduzida na aula 3: ϒ = (elocidade de som atraés de sólidos) (4.5) ρ onde o módulo da elasticidade de Young ( ϒ ) descree a propriedade elástica do material, e a densidade ρ a propriedade inercial. A fórmula para elocidade de propagação do som atraés de um fluido é deduzida de maneira equialente, somente muda a descrição para a propriedade elástica do meio: B = (elocidade de som atraés de fluidos) (4.6) ρ O B é o módulo de compressão olumétrica e quantifica a habilidade de compressão do fluido: ΔP B = ΔVV ariação da pressão fração da ariação do olume causada pela ariação da pressão (4.7) i.e., os fluidos com maior B alteram seu olume mais do que os fluidos com menor B, sob mesma ariação da pressão. A situação de propagação das ondas sonoras atraés dos gases é um pouco diferente, porque os gases são muito compressíeis e uma ariação de pressão causa ariação da densidade do gás (no caso dos sólidos e líquidos consideráamos que suas densidades ficassem constantes e independentes da mudança de pressão). A quantidade física que descree as propriedades elásticas de um gás se chama módulo olumétrico da elasticidade κ (letra grega kappa), e é representada pela fórmula: dp κ = ρ dρ (4.8) 8

5 A elocidade de propagação das ondas sonoras pelos gases é, portanto: κ = (elocidade de som atraés dos gases) (4.9) ρ Essa fórmula, porém, não é muito útil porque usualmente não sabemos alores de κ para gases e, ainda mais, esses alores não são constantes, mas dependem das condições em quais os gases se encontram. É mais antajoso saber como a elocidade do som depende da pressão ou da temperatura do meio gasoso, por exemplo. Portanto, amos tentar transformar a fórmula (4.9) neste sentido, fazendo duas aproximações bem razoáeis: (1) O processo que enole colisões entre as moléculas do gás é tão rápido que não há tempo para transferência do calor entre elas. Em outras palaras, o processo é adiabático. (2) Consideraremos os meios gasosos com baixa densidade (como ar, por exemplo), e neste caso podemos aproximá-los a um gás ideal (gás cujas moléculas não interagem entre si, com exceção das colisões que são elásticas). Com essas duas preposições, a relação entre pressão e olume do gás fica a seguinte: pv γ = const onde γ (letra grega gama): C p γ = (4.1) C V é uma característica da espécie do gás, a razão entre suas capacidades caloríficas sob pressão constante ( C p ) e olume constante ( C V ). É um número sem dimensão que caracteriza as propriedades térmicas do gás. Por exemplo, nos gases que consistem de moléculas diatômicas O2 e N2, γ tem o alor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído por estes gases, este mesmo alor ale para o ar. Então, a pressão do gás é: γ 1 p = const V 1 Como a densidade do gás é inersamente proporcional ao seu olume: ρ, segue a V relação entre a pressão e densidade do gás: p = Cρ γ onde C é uma constante. Essa relação pode ser utilizada para calcular o módulo olumétrico da elasticidade κ do gás, atraés da fórmula (4.8): 81

6 dp κ = ρ = ργ ρ = γ ρ = γ dρ γ 1 γ C C p Colocando esse resultado na fórmula (4.9) podemos interligar a elocidade do som com a pressão do gás: γ p = (4.11) ρ Desta forma chegamos à conclusão de que a elocidade do som depende da pressão do gás: o som se propaga com maior elocidade se a pressão do gás for maior e sua densidade for menor! Nosso próximo objetio é descobrir como a elocidade do som depende da temperatura do gás. Indo nessa direção, utilizaremos primeiro a equação de estado de um gás ideal, que interliga sua pressão ( p ), olume (V ), e temperatura absoluta (T, em kelins): pv = nrt, i.e., 1 p = nrt V Nessa fórmula o n é o número de mols do gás e R é a constante de Rydberg dos gases ideais alendo 8,314 J/mol.K. Diidindo ambos os lados da fórmula pela densidade ρ = mv, onde m é massa do gás, segue: 1 nrt p V nrt RT ρ = m = m = m V n A massa total do gás ( m ) diidida por número de mols ( n ) é a massa molar M do gás. Portanto, p RT ρ = M e substituindo razão p ρ na fórmula (4.11), chegamos ao resultado final: γ RT = (4.12) M ou, = α T γ R onde α = é o alor que caracteriza a espécie do gás. A fórmula (4.12) nos diz M que a elocidade do som aria proporcionalmente com a raiz quadrada da temperatura, e a constante da proporcionalidade α depende das características do gás. Como consequência, em dias quentes o som se propaga atraés do ar com mais elocidade do que nos dias frios. A uma temperatura de 15,9 ºC, essa elocidade é de 34,9 m/s. Esta elocidade aumenta 6 cm/s para cada aumento de um grau na temperatura. A ºC a elocidade do som no ar é de 331,4 m/s. Veja tabela 4.1 e compare as elocidades do som em ários materiais. 82

7 Gases Líquidos Sólidos ( 25 ) H ( ) 1286 Água ( ) 142 Diamante 12 He ( ) 972 Água ( 2 ) 1482 Vidro pyrex 564 Ar ( ) 331 Querosene ( 25 ) 1324 erro 513 Ar ( 2 ) 343 Álcool ( 25 ) 1143 Alumínio 51 Tabela 4.1: Velocidades de propagação do som, em ms, nos diferentes meios. Nos líquidos e nos sólidos, onde as moléculas estão mais próximas umas das outras, a elocidade do som é bem maior do que em um gás. Na água, a elocidade do som é cerca de quatro ezes a sua elocidade no ar; a 25 ºC é de aproximadamente 15 m/s. No aço chega a 5 m/s, ou seja, cerca de quinze ezes maior. Se ocê ficar ao lado de uma estrada de ferro e escutar enquanto um trabalhador bate um espigão com o martelo, ocê ouirá cada golpe duas ezes. O som que se propaga atraés do aço dos trilhos chega antes do som que se transmite atraés do ar. 4.3 Intensidade das ondas sonoras Ondas sonoras, como qualquer tipo de ondas mecânicas, transferem a energia de uma região do espaço para outra. Uma maneira útil de se descreer este transporte é por meio da intensidade da onda, que já foi discutido na aula 2. Nosso objetio nessa aula é expressar a intensidade de uma onda sonora em termos da amplitude do deslocamento ξ, ou da amplitude de pressão p. Vamos primeiro utilizar a definição da intensidade, e tentar expressá-la em termos da pressão e da elocidade de propagação da onda. A intensidade I é igual à taxa temporal média com a qual a energia é transportada atraés de uma área S perpendicular à direção de propagação da onda, por unidade desta área. Então, I = P E S = S t (4.13) onde o P é a potência média carregada pela onda, i.e., a energia média E diidida pelo tempo t. A energia média carregada pela onda pode ser expressa como média do produto da força que está moendo as moléculas do gás, e da distância d percorrida por estas moléculas: d I = (4.14) S t 83

8 Como S = p(pressão do gás), e dt= ξ (elocidade das moléculas do gás), podemos escreer que I = p ξ (4.15) Agora utilizaremos expressões (4.1) e (4.2) para p e ξ : ξ p ξ = p = p kx ωt ωξ kx ωt = p ξ ω kx ωt t 2 cos( ) cos( ) cos ( ) O sinal menos, que surge pela deriação do deslocamento ξ, foi ignorado, pois ele somente indica o sentido da elocidade, e nós estamos interessados apenas em sua magnitude. A intensidade da onda sonora é, portanto: 2 1 I = pξω cos ( kx ωt) = pξω (4.16) porque cos ( kx ωt) (1 + sen( kx ωt)) = + sen( kx ωt) = (a média temporal das funções seno e cosseno é sempre zero, pois metade do tempo as funções são positias e na outra metade negatias). Utilizando a relação (4.3) podemos expressar a intensidade em termos do deslocamento: I = ( ρωξ) ξω = ρωξ (4.17) 2 2 ou da amplitude de pressão: 1 p 1 2 I = p p 2 ω ρω = 2ρ (4.18) A equação (4.17) mostra que a intensidade de uma onda sonora é proporcional ao quadrado da amplitude do deslocamento das moléculas do ar, e ao quadrado da frequência da onda. A equação (4.17) também demonstra que as ondas sonoras harmônicas com mesma intensidade, mas com frequências diferentes, possuem amplitudes de deslocamento diferentes. A equação (4.18) nos diz algo diferente: as ondas com mesma intensidade, mas com frequências diferentes caracterizam-se com a mesma amplitude de pressão p! Como o ouido humano é sensíel a um grande interalo de intensidades, a descrição fornecida pelas equações (4.17) e (4.18) não é muito prática de se usar no nosso cotidiano. Podemos dizer que a sensação psicológica de sonoridade (olume do som) aria aproximadamente com o logaritmo da intensidade e não com a própria intensidade. Pra descreer o níel de intensidade de uma onda sonora, adota-se uma escala logarítmica β (letra grega beta). A unidade de medida é o decibel (db), definido por: 84

9 β = (1 db) log I (4.19) I 12 onde I é intensidade do som e o I é o limiar da audibilidade ( 1 W m 2 ). O símbolo log representa o logaritmo na base 1. Quando a intensidade de uma onda sonora for igual a intensidade sonora é igual a db: I β = = 1 log I db 12 1 W m 2, ou I, seu níel de Por outro lado, a intensidade de 1 2 W m corresponde a 12 db: 1 β = = = = log 1 log log que já é o níel de intensidade que causa a sensação de dor! A Tabela 4.2 mostra alores típicos de níeis de intensidade em db de algumas fontes sonoras. db Tabela 4.2: Algumas fontes sonoras e seus respectios níeis de intensidades. 85

10 A sensação de sonoridade depende da frequência e também da intensidade do som. A figura 4.2 mostra o níel de intensidade do som em função da frequência. igura 4.2: Gráfico mostrando níel da intensidade do som em função da frequência. Note que o ouido humano é mais sensíel, em todos os níeis de intensidade, aos sons com frequências aproximadamente de 4 khz. 4.4 Efeito Doppler acústico O efeito Doppler acústico é um fenômeno de alteração da frequência notada pelo obserador quando existe um moimento relatio entre a fonte das ondas sonoras e o obserador. Esse efeito recebeu o nome do cientista austríaco Christian Doppler ( ), que foi o primeiro a explicá-lo. Quando uma fonte de ondas () e o obserador (O) estão em moimento relatio, a frequência percebida pelo último não coincide com a frequência emitida. Quando a fonte e receptor se aproximam um do outro, a frequência obserada é maior do que a frequência emitida. Quando os dois se afastam um do outro, a frequência obserada é menor do que a emitida. Qualquer um de nós pode obserar esse fenômeno ouindo o apito de uma locomotia (ou carro) em moimento. O apito fica mais grae (frequência menor) quando a locomotia está se afastando, após ter passado por ocê. 86

11 igura 4.3: Manifestação do efeito Doppler. Quando o trem apitando passa ao lado de ocê, o som do apito muda de mais agudo para mais grae. Denominando f a frequência recebida pelo obserador e O f a frequência emitida pela fonte, sabemos da nossa experiência cotidiana que: no caso de aproximação: fo > f, obserador percebe som mais agudo, no caso de afastamento: fo < f, obserador percebe som mais grae. Vamos supor que o obserador e a fonte se moem ao longo da mesma linha. Vamos ainda denotar com O a elocidade do obserador, com a elocidade da fonte sonora, e com a elocidade de propagação do som, todas em relação a algum ponto fixo na superfície da Terra (que será o zero do nosso sistema de coordenadas). inalmente, amos estabelecer qual será o sentido positio para o sinal das elocidades O e : a partir do obserador O para fonte! Nosso objetio será de estabelecer a relação entre as quantidades físicas mencionadas acima (eja figura 4.4), e deduzir uma fórmula que expressará a frequência f O em termos de outras quantidades. igura 4.4: Apresentação gráfica de quantidades físicas enolidas na explicação do efeito Doppler acústico. 87

12 Situação simples: fonte em repouso ( = ), obserador em moimento ( O ). Analisaremos primeiro a seguinte situação: a fonte da onda sonora está em repouso, e o obserador se moe na direção dela (eja figura 4.5). igura 4.5: Um obserador (ciclista) está se moendo em direção à fonte do som (buzina de um carro) estacionária. Ele oue a frequência do som, que é maior do que a emitida. A fonte emite onda sonora com frequência f e comprimento de onda λ = f (lembre-se, produto da frequência e comprimento da onda é igual à elocidade de propagação da onda). Porém, o obserador O mede a elocidade da onda sonora que chega ao seu ouido como + O (pois ele próprio se moe com elocidade O ). Então, a frequência que o obserador percebe é: f O + + f + O = = = => fo = f 1 λ + O O O f (4.2) No caso de aproximação, a elocidade O é positia (sentido de O para ), e a frequência registrada pelo obserador é maior do que frequência emitida, f O > f. No caso de afastamento, a elocidade O é negatia (sentido de para O), e a frequência registrada pelo obserador é menor do que a frequência emitida, f O < f. Então, a equação (4.2) preê corretamente a relação entre f O e f, de acordo com nossa experiência cotidiana! Situação geral: fonte em moimento ( ), obserador em moimento ( O ). Vamos agora analisar a situação geral: ambos, a fonte da onda sonora e o obserador, são permitidos se moer ao longo da mesma direção (eja figura 4.6). 88

13 igura 4.6: onte da onda sonora moendo-se na direção par obserador 2. Deido a esse moimento, na frente da fonte as ondas são mais comprimidas, e atrás mais espaçadas, i.e., λ2 < λ1. O que mudou em relação à situação simples quando a fonte estaa parada? A elocidade de propagação da onda não mudou, pois essa elocidade depende somente das propriedades do meio. Porém, o comprimento da onda emitida não é mais o mesmo em todas as direções, e não é igual a f. Demonstraremos esse fato para o caso do comprimento de onda na frente da fonte em moimento, λ frente. O tempo de emissão de um comprimento de onda completo pela fonte é o período de onda T = 1 f. Vamos imaginar que no instante t = a fonte emitiu uma crista de onda, que seguiu para frente com elocidade. No instante t = T a fonte emite a próxima crista. Porém, durante esse tempo, a fonte se deslocou a distância T = f, enquanto a primeira crista se deslocou a distância T = f. Portanto, a distância entre as duas cristas consecutias, que é, pela definição, um comprimento da onda, é igual à diferença entre essas duas distâncias: λ frente f f f f = = (4.21) Resta somente reconhecemos que o comprimento de onda na frente de uma fonte em moimento é menor do que f, i.e., as ondas são comprimidas. Usando o mesmo raciocínio, é fácil mostrar que o comprimento de onda atrás de uma fonte em moimento é maior do que f, i.e., as ondas são mais espaçadas. Basta somente reerter o sinal da elocidade na equação (4.21): λ atrás + f f f f = + = (4.22) Agora, qual é a frequência que percebe um obserador? A resposta óbia é: 89

14 elocidade da onda que chega ao obserador f O = comprimento da onda que chega ao obserador A elocidade da onda que chega ao ouido do obserador é ± O e depende do fato se ele se aproxima (sinal +) ou se afasta (sinal -) da fonte. O comprimento de onda que chega ao ouido do obserador é m f (de acordo com as equações (4.21) e (4.22)), e depende do fato se a fonte se aproxima (sinal -) ou afasta (sinal +) dele. Portanto, a fórmula geral que determina a frequência recebida pelo obserador é: ± O fo = f f ± com as seguintes regras para sinais das elocidades: (4.23) (4.24) Você, entretanto, não precisa decorar todas essas regras. A equação geral para o efeito Doppler acústico pode ser escrita em forma mais simples: + O fo = f f (4.25) + onde os sinais para O e são determinados de acordo com a regra estabelecida no começo da aula, sinal + se aplica quando as elocidades têm o sentido do obserador para a fonte, e sinal no caso contrário (figura 4.4). É fácil erificar que essa regra está de acordo com as regras (4.24). Cuidado, a equação (4.25) tem alidade limitada: ela se aplica somente no caso quando a elocidade da fonte é menor do que elocidade de propagação da onda! No final, ale a pena ressaltar que o efeito Doppler não é uma exclusiidade das ondas sonoras. Ele é um fenômeno ondulatório geral e acontece com todos os tipos da onda. Nós estudaremos mais tarde o efeito Doppler das ondas eletromagnéticas. 4.5 Ondas de choque Acabamos de aprender que uma fonte sonora em moimento comprime as ondas emitidas pela frente, onde o comprimento da onda diminui de acordo com equação (4.21). 9

15 igura 4.7: A onda emitida pela uma fonte em moimento, quando a elocidade da fonte é menor do que a elocidade de propagação da onda atraés do meio. Vamos nos perguntar o seguinte: o que acontecerá se a elocidade da fonte se igualar a elocidade de propagação da onda? Pela própria equação (4.21), quando, então λfrente. isicamente isso significa que a distância entre as cristas da onda diminui praticamente para zero, i.e., as cristas se agrupam (acumulam) na frente da fonte. Para elear sua elocidade acima da elocidade de propagação da onda, a fonte precisa exercer uma grande força para furar esse acúmulo. No caso do aião supersônico, o acúmulo das ondas na frente do aião se chama barreira de som. Quando o aião perfura essa barreira, eleando sua elocidade acima da elocidade do som, formam-se ondas de choque que proocam grande desconforto nos nossos ouidos e comprometem as estruturas dos prédios e outros objetos (quebrando idros, por exemplo). Vamos agora analisar detalhadamente o que acontece quando a elocidade da fonte ultrapassa a elocidade de propagação da onda. Essa situação é ilustrada na figura 4.8. Os círculos representam fronteiras de ondas esféricas emitidas pela fonte nos ários instantes durante o moimento. 91

16 igura 4.8: Ilustração da formação de uma onda de choque quando a fonte sonora se moimenta de um ponto S até o ponto S n com elocidade maior que a elocidade de propagação da onda pelo meio. O enelope da fronteira de onda forma um cone, cujo ápice é determinado pelo ângulo θ. Vamos supor que no instante t = a fonte estaa no ponto S, e depois do interalo t a fonte se deslocou até o ponto S n. Durante esse tempo, a fronteira da onda centrada em S alcançou o raio igual a t. No instante t (ponto S n ) a onda ainda não é emitida. A tangente da fronteira da onda emitida de S, desenhada a partir do ponto S n, é tangente de todas as fronteiras de onda emitidas nos instantes intermediários entre e t. Em três dimensões, o conjunto dessas tangentes forma um cone. Ao longo das tangentes encontram-se as ondas com mesma fase (cristas anotadas na figura 4.7), e forma-se uma frente de onda com grande amplitude deido à interferência construtia (amos aprender mais sobre interferência na próxima aula). Essa fronteira com forma de cone chama-se onda de choque. No caso das ondas sonoras, quando a onda chega aos ouidos do obserador, prooca um som muito alto (deido a grande amplitude leada pela fronteira da onda). A inclinação do cone é determinada pelo semi-ângulo θ do seu ápice. Utilizando a geometria simples mostrada na figura 4.8, o seno desse ângulo é: t senθ = = t (4.26) 92

17 e depende da razão entre a elocidade de propagação da onda pelo meio e a elocidade do moimento da fonte. O inerso desse número,, chama-se o número de Mach. Uma onda análoga a onda de choque, que todo mundo conhece, é produzida pelo barco que se moe com elocidade superior a elocidade de propagação da onda superficial na água (eja figura 4.9). igura 4.9: A onda da forma V é formada porque a elocidade do barco é maior do que a elocidade das ondas da água. Essa onda é análoga a onda de choque formada pelo aião que se moe com elocidade superior a elocidade do som no ar. Bibliografia consultada Alonso, M. S. e inn, E. J., ísica, Ed. Edgard Blucher Editora, São Paulo, Young, H. D. e reedman, R. A. ísica II - Termodinâmica e Ondas, Pearson Education do Brasil (qualquer edição). Halliday, D., Resnick, R, Walker, J undamentos de ísica 2- Graitação, Ondas e Termodinâmica, Liros Técnicos e Científicos Editora S.A. (qualquer edição). Questões 1. Quando o som sai do ar e penetra na água, sua frequência se altera? E sua elocidade? E seu comprimento de onda? Explique suas respostas. 93

18 Resposta A frequência não muda, pois ela é determinada pela fonte ondulatória. Como a elocidade muda, o comprimento de onda também tem que mudar para que a frequência f = λ permaneça inalterada. 2. O herói de um filme de aenturas escuta a aproximação de um trem colocando seu ouido no trilho. Por que esse método funciona melhor para perceber a aproximação do trem? 3. Quando a amplitude de pressão de uma onda sonora se reduz a metade do seu alor, qual é o fator de diminuição da intensidade sonora? Qual dee ser o fator do aumento da amplitude da pressão de uma onda sonora para que sua intensidade cresça de um fator igual a 16? Explique. 4. Uma fonte sonora e um ouinte estão em repouso sobre a Terra, porém um ento forte sopra no sentido da fonte para o ouinte. Existe efeito Doppler? Justifique sua resposta. Resposta Não há efeito Doppler. O que muda é a elocidade da onda produzida pela fonte: +, onde é elocidade do ento. O comprimento da onda emitida é mais longo: λ =, porém, a frequência percebida pelo obserador: fo = = = f f λ + f é a mesma emitida pela fonte. 5. Um som de 6 db tem o dobro da intensidade de outro de 3 db? Exercícios Ondas sonoras 6. Um morcego pode detectar corpos muito pequenos, tais como um inseto cujo comprimento seja aproximadamente igual ao comprimento de onda do som que o morcego faz. Se os morcegos emitem um chilro a uma frequência de 6, khz e se a elocidade do som no ar é de 34 m/s, qual é o menor inseto que o morcego pode detectar? Resposta O menor inseto que o morcego pode perceber tem tamanho 34m s d λ = = =, 567 m= 5, 67 mm 1 f 6 s 94

19 7. Suponha que ocê ouça um troão 16,2 s após ter isto o relâmpago a ele associado. A elocidade das ondas sonoras no ar é de 343 m/s e a elocidade da luz no ar é de 3, 1 8 m/s. Qual a sua distância do relâmpago? Resposta Vamos supor que a distância entre o relâmpago e ocê é d. O tempo que o som d (troão) precisa para percorrer essa distância é: t S =, e a luz (relâmpago) S d m 8 m tl =, onde S = 343 e L = 31 são elocidades do som e da luz pelo ar, L s s respectiamente. ts tl =Δ t = 16,2 s Δ d d t = S Δt 16, 2 s d = =. O m L S L s segundo número em parênteses é muito, muito menor do que o primeiro, deido ao fato que a elocidade da luz é muito superior a elocidade do som. Podemos desprezá-lo, que lea ao resultado: d = 5557 m. 8. Um aso de flor é derrubado de uma sacada 2, m acima da calçada e cai em direção a um homem desaisado de 1,75 m de altura que está abaixo. A que distância da calçada o aso pode chegar antes que seja tarde demais para se gritar uma adertência da sacada que alcance o homem a tempo? Suponha que o homem necessite de,3 s para responder ao aiso. 9. Uma onda sonora senoidal é descrita pelo deslocamento: s( x, t) = (2,μ m) cos[(15,7 m 1 ) x (858s (a) Encontre a amplitude, o comprimento de onda e a elocidade dessa onda. (b) Determine o deslocamento instantâneo de um elemento do ar na posição x =,5 m em t = 3, ms. (c) Determine a elocidade máxima do moimento oscilatório de um elemento do ar. 1. Uma onda sonora que se propaga no ar tem uma amplitude de pressão de 4, N/m 2 e uma frequência de 5, khz. Tome ΔP = no ponto x = quando t =. (a) Qual é 4 Δ P em x = quando t = 2, 1 s? (b) Qual é Δ P em x =,2 m quando t =? 11. Escrea uma expressão que descrea a ariação de pressão em função da posição e do tempo para uma onda sonora senoidal no ar, se λ =,1 m e Δ P =,2 N/m 2. Resposta 1 ) t] máx 95

20 Δ Pxt (, ) =ΔP cos( kx ωt) ; onde max 343 ω = = m s =,546 rad. 1 k 628m s k 2π 6,28rad λ,1m 1 = = = e 628m O efeito Doppler 12. Um trem passa por uma plataforma de passageiros com elocidade constante de 4, m/s. A buzina do trem é soada em sua frequência característica de 32 Hz. (a) Que mudança total na frequência é detectada por uma pessoa na plataforma enquanto o trem se moe da aproximação para o afastamento? (b) Que comprimento de onda é detectado por uma pessoa na plataforma enquanto o trem se aproxima? Resposta Sempre quando a elocidade de propagação do som não for fornecida, amos supor m que é S = 343 (elocidade na temperatura de 2 ). s (a) Obserador O (passageiro) está em repouso ( O = ), e a fonte (trem) se moe ( ). Quando a se aproxima ao O, é negatio, é a formula (4.25) determina frequência percebida pelo passageiro: ap S 1 343ms 1 fo = f = 32 s = 362, 2 s (343 4) m s S Quando se afasta de O, é positio, e segue: af S 343ms fo = f = 32 s = 286, 6 s + (343+ 4) m s S 1 1 ap af A mudança da frequência obserada é: f f = (362,2 286,6) Hz = 75,6 Hz O O (343 4) ms = = = 7,57 m S f (b) λfrente 1 f 4 s 13. Você está na faixa para pedestres e oue uma frequência de 56 Hz da sirene de uma ambulância se aproximando. Depois que a ambulância passa, a frequência obserada da sirene é 48 Hz. Determine a elocidade da ambulância a partir dessas obserações. Resposta 96

21 ap Obserador está em repouso, O = ; ele oue a frequência fo = 56 Hz quando a af ambulância se aproxima, e frequência fo = 48 Hz quando ambulância se afasta m dele. A elocidade do som no ar é S = 343. Aplicando a fórmula geral do efeito s Doppler, segue: ap S fo = f S af S fo = f + S ap O S = af fo S ap af fo fo = S. ap af fo + fo Diidindo essas equações podemos eliminar f : f +, e resoler por : 14. Um motorista iaja para o norte em uma estrada a uma elocidade de 25, m/s. Um carro de polícia, indo para o sul a uma elocidade de 4, m/s, aproxima-se com sua sirene produzindo um som em uma frequência de 25 Hz. (a) Que frequência o motorista obsera enquanto o carro de polícia se aproxima? (b) Que frequência o motorista detecta depois que o carro de polícia passa por ele? (c) Repita os itens (a) e (b) para o caso em que o carro da polícia estier se dirigindo para o norte. 15. Um diapasão que ibra a 512 Hz cai a partir do repouso e acelera com 9,8 m/s 2. A que distância abaixo do ponto de liberação está o diapasão quando ondas de frequência de 485 Hz alcançam o ponto da liberação? Suponha que a elocidade do som no ar é de 34 m/s. 16. Um bloco com um alto-falante parafusado a ele é conectado com uma mola que tem constante de força k = 2, N/m, como mostrado na igura. A massa total do bloco e do alto-falante é de 5, kg e a amplitude do moimento desta unidade é de,5 m. Se o alto-falante emitir ondas sonoras de frequência de 44 Hz, determine as frequências mais eleadas e as mais baixas ouidas pela pessoa à direita do alto-falante. Resposta As frequências mais baixas e mais altas são percebidas quando o oscilador atinge a maior elocidade no sentido do obserador (aproximação), e no sentido oposto (afastamento). Essas elocidades são: 2, ± ω A=± k A=± N m,5 m=± 1, m m 5, kg s (lembre-se da primeira aula). 97

22 A frequência mais alta é obserada no caso da aproximação do alto falante: m 343 ap S 1 fo = f = 44 s s = 441,3 Hz m S (343 1) s A frequência mais baixa ocorre no caso do afastamento do alto falante: m 343 ap S 1 fo = f = 44 s s = 438, 7 Hz m S + (343+ 1) s Resumo da aula Ondas sonoras se propagam pelos gases e líquidos atraés da perturbação das moléculas ao longo da direção de propagação. São ondas longitudinais que são descritas matematicamente ou como ondas de deslocamento ou como ondas de ariação de pressão, sendo deslocadas em fase por π 4. A elocidade de propagação das ondas sonoras pelos gases é: = κ ρ onde o κ é modulo olumétrico da elasticidade do gás, e ρ a sua densidade. Expressando o κ em termos da pressão ( P ) ou temperatura (T ) do gás, chega-se a conclusão que: γ p =, ou ρ = γ RT M onde γ é razão entre as capacidades caloríficas do gás sob pressão constante e olume constante, R é a constante de Rydberg, e M é a massa molar do gás. A intensidade I da onda sonora é igual à taxa temporal média com qual a energia é transportada atraés de uma área S perpendicular à direção de propagação da onda, por unidade desta área. Ela é proporcional ao quadrado da amplitude do deslocamento das moléculas do ar ( ξ ), e ao quadrado da frequência da onda (ω ): I = ρωξ 2 ou proporcional ao quadrado de amplitude de pressão p : 98

23 I 1 = p 2ρ 2 O níel de intensidade β de uma onda sonora é medida em uma escala logarítmica, com unidade de medida decibel (db), definida por: β = (1 db) log I I onde I é intensidade do som e o I é o limiar da audibilidade humana. O efeito Doppler acústico é um fenômeno de alteração da frequência notada pelo obserador quando existe um moimento relatio entre a fonte das ondas sonoras e o obserador. Se a elocidade da propagação do som pelo ar for, e as elocidades da fonte e obserador e, respectiamente, as frequências obserada f e emitida f O O são interligadas pela equação: f O = f f + + O onde os sinais para O e são positios quando as elocidades têm sentido do obserador para fonte, e negatios no caso contrário. A fórmula ale somente quando a elocidade da fonte está menor do que elocidade do som no ar. No caso > formam-se ondas de choque. Conclusão Nessa aula abordamos o assunto das ondas sonoras que se propagam atraés dos gases. Vimos que a descrição matemática dessas ondas é igual à descrição das outras ondas mecânicas. Concluímos que a intensidade das ondas sonoras depende das amplitudes de deslocamento e da ariação da pressão e estabelecemos a conexão entre essa intensidade e o níel de intensidade que se mede em decibéis. inalmente, discutimos o efeito Doppler acústico, um fenômeno de alteração da frequência percebida pelo ouinte quando existe um moimento relatio entre ele e a fonte sonora. Informações sobre a próxima aula Na próxima aula aprenderemos como se combinam duas ou mais ondas que passam pelo mesmo lugar no espaço. Veremos que essa combinação pode causar diminuição (interferência destrutia) ou aumento (interferência construtia) da amplitude da onda resultante. Estudaremos um caso especial da combinação ondulatória que produz ondas estacionárias, e aprenderemos como elas se formam nos instrumentos musicais de corda e de sopro, produzindo som musical. inalmente, tocaremos no assunto das ondas que 99

24 não são harmônicas, e falaremos sobre o espectro de som e timbre dos instrumentos musicais. 1