CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES

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1 1 1. CONJUNTOS Introdução Formas de representação de conjuntos Conjunto universo Subconjuntos Conjuntos em que os elementos também são conjuntos Operações com conjuntos Diagramas e número de elementos do conjunto CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Propriedade comutativa Propriedade associativa Existência do elemento neutro da adição Propriedade do fechamento Propriedade comutativa Propriedade associativa Existência do elemento neutro da multiplicação Propriedade do fechamento Propriedade Distributiva CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Subconjuntos Notáveis dos Racionais CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS NÚMEROS REAIS RETA REAL RAZÃO E PROPORÇÃO GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS REGRA DE TRÊS PROBLEMAS ENVOLVENDO VELOCIDADE, ESPAÇO E TEMPO... 97

2 CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS PORCENTAGEM Percentual de um valor Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual Variação Percentual Variações percentuais sucessivas

3 CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS 3 Olá pessoal! Nesta aula começaremos o estudo da matemática básica. Denominamos matemática básica a matemática estudada no ensino fundamental e no ensino médio. Neste curso, estudaremos grande parte do conteúdo da matemática básica. Deixaremos de lado apenas assuntos que não são cobrados (ou quase nunca são cobrados) como Binômio de Newton, Geometria Analítica... De acordo com a nossa programação: Raciocínio matemático (conjuntos numéricos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. Para sedimentar bem o conteúdo, resolveremos questões das mais diversas bancas. Apesar de cada banca apresentar um estilo peculiar, achamos que um aluno com boa base matemática tem condições de enfrentar qualquer prova. E este é o nosso intuito: queremos que você se sinta confiante para enfrentar qualquer prova de Raciocínio Lógico. Para isso, vamos começar nosso curso lá no iniciozinho da Matemática... Apresentando os números, os conjuntos numéricos e suas propriedades básicas. 1. CONJUNTOS Antes de entrarmos nos conjuntos numéricos, que são bastante cobrados em provas, é bom darmos uma rápida passada por alguns símbolos e relembrarmos as operações envolvendo conjuntos (união, intersecção, subtração, complementar). 1 Introdução Podemos dizer que um conjunto é qualquer coleção de objetos. Assim, poderíamos dizer que, abaixo, temos o conjunto dos estados do Norte: {Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} Podemos também formar o conjunto dos jogadores brasileiros que já ganharam o prêmio de melhor jogador pela Fifa: {Ronaldo; Ronaldinho Gaúcho; Rivaldo; Romário; Kaká; Marta} E poderíamos formar inúmeros outros conjuntos. Então é isso. Conjunto é um grupo de objetos.

4 4 Para representar um conjunto, nós geralmente utilizamos uma letra maiúscula do alfabeto. Voltando ao primeiro conjunto apresentado, podemos dizer que se trata do conjunto A: A ={Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} Cada um dos estados acima é um elemento do conjunto A. Para indicar que um elemento faz parte do conjunto, nós dizemos que ele pertence ao conjunto. Deste modo, o estado do Pará pertence ao conjunto dos estados do Norte. Ou seja, o estado do Pará pertence ao conjunto A. Usando símbolos, esta frase fica assim: Pará A O símbolo representa a palavra pertence. Ele indica que o elemento em análise (o estado do Pará) faz parte do conjunto A. Podemos usar a mesma representação para qualquer outro estado: E assim por diante. Amazonas A ; Rondônia A, Roraima A Vamos pensar agora num elemento que não faz parte do conjunto. O estado de Goiás não pertence à região norte. Ou seja, Goiás não pertence ao conjunto A. Para representar isso em forma de símbolo, nós fazemos assim: Goias A O símbolo representa a expressão não pertence. Ele indica que o elemento em análise não faz parte do conjunto A. De modo análogo, o estado da Bahia também não pertence ao conjunto A. Bahia A 2 Formas de representação de conjuntos Considere o conjunto abaixo: B = {3, 4, 5, 6} Como fizemos para representar este conjunto? Simplesmente colocamos, entre chaves, todos os elementos do conjunto. Ou seja, listamos todos os elementos. Pois bem, há uma outra forma de representação de conjuntos que é muito útil. Muitas vezes, os conjuntos abrigam elementos que possuem uma dada característica em comum. Nestes casos, podemos representar o conjunto

5 5 apenas indicando que característica é essa. Com este pensamento, o conjunto B pode ser reescrito assim: B = {x x N; 2 < x < 7} O que significam estes símbolos? Significa o seguinte. B é formado por vários elementos, a que estamos chamando de x. Isto corresponde à parte sublinhada: B = {x x N; 2 < x < 7} Na sequência, temos uma barra vertical. Ela simboliza a expressão tal que. Depois, indicamos que esses elementos x têm uma característica especial: eles pertencem ao conjunto dos números naturais (mais adiante falaremos com mais calma sobre os números natruais; por hora, fiquem com a informação de que os números naturais são aqueles que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, etc). B = {x x N ; 2 < x < 7} Então temos que B é formado por todos os elementos x que são números naturais. Esta é a característica em comum dos elementos do conjunto B. Todos eles são números naturais. Ok, só que os elementos x ainda têm outra característica em comum. Além de serem números naturais, eles também são maiores que 2 e menores que 7. B = {x x N; 2 < x < 7} Reescrevendo tudo: o conjunto B é formado por todos os elementos x que têm algumas características em comum: são números naturais, maiores que 2 e menores que 7. Quais números são naturais, maiores que 2 e menores que 7? Ora, são os números 3, 4, 5, 6. Assim, escrever: É o mesmo que escrever: B = {x x N; 2 < x < 7} B = {3, 4, 5, 6} Qual a grande vantagem desta representação que indica a característica dos elementos do conjunto? É que, se o conjunto for muito grande, talvez fique mais fácil apenas indicar a característica em comum de seus elementos. Imagine que quiséssemos indicar o conjunto de todos os números pares maiores que 1 e menores que Seria um baita de um conjunto enorme. É bem mais fácil escrever:

6 6 A = {x x é par; 1 < x < } Em alguns casos, nem é possível listar todos os elementos do conjunto. Isso acontece, por exemplo, quando temos valores num dado intervalo real (mais adiante falaremos mais sobre os números reais; por hora, fiquem com a informação de que os números reais incluem os números com casas após a vírgula). Considere que o conjunto C é o conjunto formado por todos os números reais maiores que 1 e menores que 4. Dá para listar todos eles? Não dá. Isso não é possível. Existem infinitos números reais entre 1 e 4. Qual é o primeiro número real maior que 1? Nem dá para escrever. Alguém diria: é o 1,1. Será mesmo? Oura pessoa diria: não, na verdade o primeiro número real depois do 1 é o 1,01. Uma terceira pessoa afirmaria que é o 1, E assim por diante. Para qualquer número k que você pense, sempre dá para pensar em outro número real que seja maior que 1 e menor k. Com isso, nunca conseguiremos sequer iniciar a nossa listagem. Num caso destes, só nos resta representar o conjunto indicando a característica de seus elementos: C = {x x R; 1 < x < 4} EP 1. Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo. a) A = {x x é par; 17 < x < 26 } b) B = {x x é primo; 10 < x < 30} Resolução: a) A é o conjunto formado por todos os números pares maiores que 17 e menores que 26. A = {18, 20, 22, 24} b) B é o conjunto formado por todos os números primos maiores que 10 e menores que 30. B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

7 7 EP 2. Reescreva os conjuntos a seguir, indicando a característica que eles têm em comum. a) A = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30} b) B = {0, 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81} Resolução a) O conjunto A é formado por todos os múltiplos de 5 entre zero e 30. A = {x 0 x 30; x é múltiplo de 5} b) O conjunto B é formado por todos os quadrados perfeitos menores ou iguais a 81. Outra forma de representação seria: B = {x x é quadrado perfeito; x 81}. B = {x 2 x N; 0 x 9}. 3 Conjunto universo É muito comum a expressão conjunto universo. Geralmente a utilizamos para indicar todos os elementos com os quais se pretende trabalhar. A título de exemplo, considere que, em uma empresa, deseja-se determinar um valor x que atenda a uma necessidade da firma. A partir de várias considerações, conclui-se que x deve ser menor que 10. Seja A o conjunto formado por todos os valores de x que atendem a esta especificação. Pergunta: qual é o conjunto A? A resposta vai depender do conjunto universo com o qual se está trabalhando. Por exemplo, se x for o número de máquinas que podem estar operando simultaneamente, sem comprometer o gerador próprio da empresa, então x só pode assumir valores naturais. Nosso conjunto universo seria o conjunto dos números naturais. Neste caso, a resposta seria: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Outro exemplo. Se x for o número de luvas de segurança que a empresa vai distribuir para cada funcionário, sem extrapolar o orçamento com itens de segurança, então x só pode assumir valores naturais e pares (pois as luvas

8 8 sempre são usadas aos pares). Este é nosso conjunto universo. Neste segundo caso, a resposta seria: A = {0, 2, 4, 6, 8} EP 3. Seja A o conjunto dos números maiores que 9 e menores que 20. Represente o conjunto A nas seguintes situações: a) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais. b) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números primos. c) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números pares. Resolução. a) A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} b) A = {11, 13, 17, 19} c) A = {10, 12, 14, 16, 18} 4 Subconjuntos. Considere uma sala de aula com oito crianças: João, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo e Luíza. Seja A o conjunto formado por todas as crianças da sala de aula. Ele é dado por: A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} Pois bem. A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos, menores. Podemos formar, por exemplo, o conjunto dos meninos desta sala de aula: B = {José, Pedro, Augusto, Leonardo} O conjunto B é formado apenas pelos meninos. Dizemos que o conjunto B é um subconjunto de A. Isto ocorre porque todo elemento que pertence a B também pertence ao conjunto A. Outra forma de indicarmos isso é: B está contido em A. Assim, dizer que um conjunto está contido em outro significa que o primeiro é um subconjunto do segundo. Podemos representar isso por meio de símbolos:

9 9 B A (B está contido em A; significa que B é um subconjunto de A) O símbolo representa a expressão está contido. Se invertemos este símbolo, aí caímos em outra expressão: contém. Ficaria assim: A B (A contém B; também significa que B é um subconjunto de A) LEMBRETE: Símbolos e : expressam relações entre conjunto e elementos - indicam se um elemento pertence ou não a um conjunto. Símbolos e : expressam relações entre conjuntos Se B é um subconjunto de A, então podemos dizer que: B A (B está contido em A) A B (A contém B) EP 4. Seja A o seguinte conjunto: A = {1, 5, 7, 8} Encontre todos os subconjuntos de A que têm 3 elementos. Resolução: Subconjuntos de A são conjuntos formados por elementos que pertencem a A. Assim, a título de exemplo, o conjunto {1, 5} é um subconjunto de A. Por quê? Porque todos os seus elementos pertencem a A. O número 1 pertence ao conjunto {1,5}. E também pertence a A. O mesmo vale para o número 5. O detalhe é que o conjunto {1, 5} possui dois elementos. Embora ele realmente seja um subconjunto de A, ele não atende ao solicitado na questão, em que se pedem os conjuntos com três elementos. Muito bem, então vamos responder à pergunta. Queremos encontrar todos os subonjuntos de A que possuam 3 elementos. Para montar tais subconjuntos, basta nos dirigirmos a A e escolhermos três de seus elementos.

10 10 {1, 5, 7} {1, 7, 8} {5, 7, 8} {1, 5, 8} Pronto. Acima temos todos os subconjuntos de A que possuem 3 elementos. 5 Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. Um conjunto pode ser formado por elementos isolados. É o caso do conjunto de todos os alunos da sala: A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} Contudo, um conjunto também pode ser formado por elementos que, na verdade, são outros conjuntos. Seja C o conjunto formado pelas frutas que Maria usa para fazer salada de frutas. C = {banana, maçã, mamão} Seja D o conjunto formado pelas frutas que Alberto usa para fazer salada de frutas. D = {pêra, melão, abacaxi} Seja E o conjunto formado pelas duas saladas de frutas: E = {C, D} O conjunto E é formado por elementos que, na verdade, são conjuntos. Poderíamos reescrever E da seguinte forma: E = {{banana, maçã, mamã}, {pêra, melão, abacaxi}} Podemos dizer que C está contido em E? Não, não podemos. É errado dizer isso. Dentro do conjunto E, C é visto como um elemento. Quando queremos expressar relação entre um conjunto e seus elementos, a expressão correta é: pertence. Dizemos que C pertence a E. Do mesmo modo, não podemos dizer que C é um subconjunto de E.

11 11 Se isso fosse verdade, ou seja, se C fosse um subconjunto de E, deveríamos ter o seguinte. Todo elemento de C também deveria ser um elemento de E. Vamos pegar a maçã. A maçã é um elemento de C. Sabemos que o conjunto C é formado pelas frutas que Maria usa na sua salada de frutas. Como Maria usa a maçã, então a maçã pertence ao conjunto C. Pois bem. Vamos ao conjunto E. A maçã pertence ao conjunto E? Não! O conjunto E não tem nenhum elemento que seja a maçã. Os elementos do conjunto E são: C e D. Estes são os únicos dois elementos de E. Nenhum deles é a maçã. Só relembrando. O conjunto E é formado pelas saladas de frutas prontas, acabadas, já preparadas. O conjunto E é formado pela salada de frutas da Maria e pela salada de frutas do Alberto. Estas duas saladas de frutas é que formam o conjunto E. Ora, nas saladas de frutas, já prontas e acabadas, não distinguimos mais a maçã. Não temos mais maçã, banana, mamão, etc. O que temos agora é apenas isso: duas saladas de frutas. EP 5. Considere os conjuntos abaixo. A = {1, 3} B = {2, 4} C = {1} D = {A, B} = {{1, 3}, {2, 4}} Indique a relação entre: a) 1 e A b) 1 e B c) 1 e C d) 1 e D e) A e C f) A e D Resolução. a) O número 1 é um elemento do conjunto A. Dizemos que 1 pertence a A.

12 12 1 A b) O número 1 não é um elemento do conjunto B. Dizemos que 1 não pertence a B. 1 B c) O número1 é um elemento do conjunto C. Dizemos que 1 pertence a C. 1 C d) O número 1 não é um elemento do conjunto D. Os elementos de D são outros conjuntos. Os elementos de D são A e B. 1 D e) O único elemento de C é 1. Este elemento também pertence a A. Portanto, todos os elementos de C também são elementos de A. Conclusão: C é um subconjunto de A. Logo: C A (C está contido em A) A C (A contém C) f) A é um elemento de D. Portanto, A pertence a D. A D 6 Operações com conjuntos Considere os conjuntos A e B dados por: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} Podemos representar estes dois conjuntos por meio do seguinte diagrama:

13 13 Os números que estão dentro do círculo da esquerda pertencem ao conjunto A. Os números que estão dentro do círculo da direita pertencem ao conjunto B. Observem que há quatro números que pertencem, simultaneamente, aos dois conjuntos. Eles estão dentro dos dois círculos ao mesmo tempo. São eles: 6, 7, 8, 9. Chamamos de intersecção entre A e B ao conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. Abaixo destacamos, em amarelo, a intersecção de A e B. A intersecção é representada pelo símbolo. Deste modo, temos: A B = {6, 7, 8, 9} Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em amarelo, destacamos a união de A e B. A união é representada pelo símbolo. Deste modo, temos: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

14 14 A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A figura abaixo representa a diferença entre os dois conjuntos (destaque em amarelo): Deste modo, podemos dizer que: A B = {1, 2, 3, 4, 5} Também podemos fazer a diferença entre B e A, representada abaixo: B A = {10, 11, 12, 13, 14} EP 6. Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {2, 3, 4, 5, 6,} Calcule: a) ( C B) A b) A B

15 15 c) ( A B) C Resolução: a) Primeiro fazemos a diferença entre C e B: C B = {2, 6} Depois fazemos a união do conjunto acima com o conjunto A: {2, 6} {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 6} b) A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B. A B= {3} c) Primeiro fazemos a diferença entre A e B: A B = {1, 2} Depois fazemos a intersecção do conjunto acima com o conjunto C. {1, 2} {2, 3, 4, 5, 6} = {2} EC 1. STN 2005 [ESAF] Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operação é definida por A B = (A B) (B A), então a expressão (A B) B é dada por: a) { X1, X5, X4} b) { X1, X2} c) { X1, X2, X3, X4} d) {X4, X6, X5} e) { X1, X6} Resolução: Precisamos calcular: (A B) B.

16 16 Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis. Comecemos com: A B =? A B = ( A B) ( B A) A B = {X2, X3} {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6} Vamos chamar este conjunto acima de C. C = {X2, X3, X5, X6} Pronto. Calculamos o que estava dentro do parêntesis. Agora podemos continuar com a expressão original: Gabarito: C (A B) B = C B (A B) B = ( C B) ( B C) (A B) B = {X2, X3} {X1, X4} (A B) B = {X1, X2, X3, X4} 7 Diagramas e número de elementos do conjunto. Em alguns tipos de problemas, em vez de representar os conjuntos propriamente ditos, pode ser útil indicar, apenas, quantos elementos possui o conjunto. Para ilustrar a aplicação deste tipo de diagrama, considere o seguinte exemplo. Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. Atualmente temos a seguinte situação: 30 alunos fazem inglês. 20 alunos fazem inglês e espanhol. 35 alunos fazem espanhol. 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.

17 17 alunos que fazem ingles alunos que fazem espanhol Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol. E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. Simples não? Pois é, este tipo de diagrama é o que é mais cobrado em concursos. Vamos aproveitar este exemplo para estudarmos a fórmula que nos fornece o número de elementos da união entre dois conjuntos. EP 7. Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. Atualmente temos a seguinte situação: 30 alunos fazem inglês. 20 alunos fazem inglês e espanhol. 35 alunos fazem espanhol. 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. Qual o número de alunos que fazem inglês ou espanhol?

18 CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS 18 Na hora de contar quantos alunos fazem inglês ou espanhol, estamos interessados naqueles que fazem só inglês, que fazem só espanhol, ou que fazem ambos, inglês e espanhol. Seja I o conjunto dos alunos que fazem inglês. Seja E o conjunto dos alunos que fazem espanhol. No fundo, o que o exercício está perguntando é o número de alunos da união dos conjuntos E e I. Com base no diagrama acima, podemos afirmar que são 45 os alunos que fazem inglês ou espanhol. Vamos tentar chegar nesse valor sem usar o tal diagrama. Sabemos que 30 alunos fazem inglês e 35 fazem espanhol. Somando, temos: Não deu 45. Por quê? = Acontece que, no valor acima, estamos contando alguns alunos em duplicidade. Os alunos que fazem inglês e espanhol estão sendo contados duas vezes. Tratam-se dos alunos pertencentes à intersecção. São os alunos que estão, ao mesmo tempo, dentro do círculo do inglês e do círculo do espanhol. Sei que a idéia da resolução era não usarmos o diagrama, mas só para deixar claro, vamos a ele. Vejam como os 20 alunos da região amarela estão, ao mesmo tempo, dentro dos dois círculos. 65 Devemos subtrair 20 do número que obtivemos. Com isso, excluímos as contagens indevidas = Agora sim, chegamos aos 45 elementos da união de I e E. São 45 alunos que fazem inglês ou espanhol. No valor acima não temos nenhum aluno sendo contado em duplicidade. Vamos resumir tudo o que fizemos? Para chegar ao número de elementos da união, fizemos a seguinte conta: 45

19 19 45 = Dando nomes a cada uma das parcelas: Onde: n( E I) = n( E) + n( I) n( E I) n( E I) é o número de elementos da união n (E) é o número de elementos do conjunto E n (I) é o número de elementos do conjunto I n( E I) é o número de elementos da intersecção Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado por: n( A B) = n( A) + n( B) n( A B) NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado por: n( A B) = n( A) + n( B) n( A B). A subtração por ( A B) n serve para retirarmos os elementos contados em duplicidade. EC 2. MPU 2004 [ESAF] Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, - 20 alunos praticam vôlei e basquete; - 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; - 17 alunos praticam futebol e vôlei; - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a

20 20 a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114. Resolução: Vamos enumerar as informações: 1) 20 alunos praticam vôlei e basquete; 2) 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 3) 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 4) o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 5) 17 alunos praticam futebol e vôlei; 6) 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. Vamos desenhar o diagrama correspondente: No começo, nosso diagrama está vazio. Ainda não sabemos quantos alunos praticam cada uma das modalidades esportivas. Neste tipo de problema, o ideal é sempre começarmos pelas intersecções. Qual frase fala alguma coisa sobre a intersecção vôlei, futebol e basquete? É justamente a informação 6. Vejamos:

21 21 6) 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O que isto quer dizer? Quer dizer que 15 alunos praticam as três modalidades. 15 alunos estão dentro dos três círculos ao mesmo tempo. Ainda da sexta informação, extraímos que 45 pessoas praticam futebol e basquete. Ou seja, 45 elementos estão, simultaneamente, dentro dos círculos do futebol e do basquete. 45 elementos estão na área amarela da figura abaixo: Observem que, na área amarela, já alocamos 15 alunos. Para completar os 45, faltam 30:

22 22 Pronto. Conseguimos indicar que 45 pessoas praticam futebol e basquete. E mais: 30, destas 45, não praticam vôlei. É exatamente o que a sexta informação nos disse. Vamos agora procurar por outra informação sobre alguma intersecção. A informação 1 traz: 1) 20 alunos praticam vôlei e basquete; Isto quer dizer que há 20 alunos na região amarela da figura abaixo. Ou seja, há 20 alunos na intersecção entre os conjuntos do vôlei e do basquete. Na região amarela há 20 alunos. Já alocamos 15. Para completar 20, faltam 5:

23 23 Há 20 alunos que praticam basquete e vôlei. Sabemos que, destes, 15 também praticam futebol. Mudemos de informação. A quinta informação também é sobre intersecção. Ela trata da intersecção entre futebol e vôlei. 5) 17 alunos praticam futebol e vôlei; Assim, na região amarela da figura abaixo devemos ter 17 alunos. Já foram alocados 15 alunos na intersecção entre vôlei e futebol. Portanto, faltam 2.

24 24 Pronto. Preenchemos todas as intersecções. Vamos agora para as demais informações. 2) 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; Dentro do círculo do futebol devemos ter 60 alunos (área amarela acima). Já alocamos 47 alunos (= ). Para completar 60, faltam 13.

25 25 Agora vamos ao basquete. 65 alunos praticam basquete. Assim, na região amarela da figura abaixo devemos alocar 65 elementos. Já temos 50 alunos dentro do círculo do basquete. Faltam 15 para completar 65.

26 26 4) o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; Sabemos que 13 alunos praticam apenas futebol. O exercício está nos dizendo, por meio da informação 4, que o número de alunos que praticam só vôlei também é igual a 13. Pronto. Preenchemos o diagrama inteiro. Certo??? Errado! Muito cuidado. A questão ainda não acabou. Já conseguimos preencher todas as regiões que correspondem a cada um dos três esportes (incluindo as intersecções). Mas é perfeitamente possível que existam alunos que não pratiquem esporte algum. Ou seja, é possível termos elementos que não estão dentro de nenhum círculo. E é justamente pra isso que serve a informação que ainda não analisamos.

27 27 3) 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; Se 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei, então, fora dos círculos do futebol e do vôlei devemos ter 21 elementos. Quem são os alunos que praticam futebol ou vôlei? São os alunos da área amarela abaixo: Assim, na área amarela temos os alunos que praticam futebol ou vôlei. E fora da área amarela? O que temos? Temos os alunos que não praticam nem futebol nem vôlei. O exercício disse que são 21 elementos nesta condição. 15 já estão alocados. Faltam 6. Onde colocamos estes 6? Ora, só nos resta colocá-los fora de todos os círculos. São alunos que não fazem esporte nenhum. Pronto. Agora sim terminamos o diagrama.

28 28 Para deixar mais claro, poderíamos até criar o conjunto dos alunos que não praticam nenhum esporte. Agora, com o diagrama concluído, podemos calcular o total de alunos. Somando tudo, temos 99 alunos. Gabarito: D. EC 3. CGU 2004 [ESAF] Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como A, B e C ) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17% b) 5% c) 10% d) 12% e) 22%

29 29 Resolução: Outro exercício em que é bem útil fazermos um diagrama indicando o número de elementos de cada conjunto. No início, nosso diagrama está vazio. Dentro do círculo A vamos indicar o percentual de pessoas favorável à política governamental A. Dentro dos círculos B e C, de forma análoga, vamos indicar os favoráveis às políticas B e C. Vamos começar pelas intersecções. Sabemos que 5% das pessoas são favoráveis às três políticas. Logo, 5% dos entrevistados estão, ao mesmo tempo, dentro dos três círculos.

30 30 Agora, deveríamos tentar completar as outras intersecções. Acontece que o exercício não deu mais nenhuma informação que nos ajude nesta tarefa. Por exemplo, vamos nos deter à informação de que 50% dos entrevistados são favoráveis à proposta A. Assim, sabemos que, dentro do círculo A, devemos ter 50% dos entrevistados. Já alocamos 5% dentro do círculo A. Faltam 45%. Onde colocar estes 45%? Temos três áreas para alocar os 45% restantes. Onde colocá-los? Na região vermelha? Na amarela? Na verde? Um pouco em cada uma? Quanto em cada uma delas? Não dá para saber. De forma análoga, não temos condições de saber onde alocar os 30% favoráveis à política B. Idem para os 20% favoráveis à política C. Entretanto, a primeira informação do enunciado, esta nós temos condições de usar. Ela nos diz que 78% dos entrevistados é favorável a pelo menos uma das propostas. Portanto, 22% não é favorável a nenhuma das três propostas. 22% dos entrevistados não está dentro de nenhum dos três círculos.

31 31 E as demais regiões? Bom, as demais regiões nós não temos como preencher. Vejamos agora o que foi que o exercício perguntou. Ele perguntou o percentual de entrevistados que foi favorável a mais de uma proposta. Ou seja, a pergunta é justamente sobre as pessoas que estão nas intersecções. A pergunta é: x + y + z + 5 =? Já vimos que não temos como encontrar quantas pessoas estão em cada uma das áreas do nosso diagrama. Não temos como encontrar os valores de x, y e z. Mas a soma destes três valores nós temos como encontrar. Vejamos novamente as informações: 50% são favoráveis a A ; 30% são favoráveis a B ;

32 32 20% são favoráveis a C ; 22% não são favoráveis a nada. Somando tudo, temos: = 122 Agora vamos pensar com calma. Se somarmos todos os entrevistados, devemos ter justamente 100%. E porque é que, na soma acima, o resultado não está dando 100? Porque há pessoas que estão sendo contadas mais de uma vez. E quem são as pessoas que estão sendo contadas mais de uma vez? São as pessoas da intersecção. Os x%, que são favoráveis a A e C, estão sendo contados em duplicidade. Eles estão sendo contados como integrantes do círculo A e como integrantes do círculo C. Do mesmo modo, os y% pertencentes aos círculos A e B estão sendo contados em duplicidade. Analogamente, os z% pertencentes aos círculos B e C estão sendo contados em duplicidade. Precisamos retirar os elementos contados em duplicidade. Além disso, os 5% favoráveis às três propostas estão sendo contados mais de uma vez. Eles estão sendo contados três vezes. Uma vez como integrantes do círculo A, outra como integrantes do círculo B, e outra como integrantes do círculo C. Precisamos excluir as contagens repetidas. Como 5% está repetido três vezes, precisamos excluir duas vezes 5%. Excluindo todos os elementos repetidos ficamos com: x y z 5 5 Agora sim, depois que excluímos os elementos repetidos, obtemos 100% x y z 5 5 = ( x + y + z) = 100 ( x + y + z) = 12 Não conseguimos achar os valores de x, y e z. Mas conseguimos achar a soma destes valores. Portanto, o percentual de entrevistados favorável a mais de uma proposta é: x + y + z + 5 = 17 17% dos entrevistados fomos favoráveis a mais de uma proposta. Gabarito: A

33 33 EC 4. CGU 2006 [ESAF] Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a: a) 30 b) 10 c) 15 d) 5 e) 20 Resolução: Exercício bem semelhante ao anterior. Vamos montar um diagrama. Agora vem um detalhe. A escola é de idiomas. Ou seja, todo aluno que ali se matricula, com certeza vai cursar um idioma. Deste modo, não faz sentido termos alunos que não façam nenhum dos três cursos. Nenhum dos 200 alunos está fora dos três círculos.

34 34 Informações do enunciado: 100 alunos cursam alemão 60 alunos cursam francês 80 alunos fazem inglês 10 alunos fazem os três cursos Preenchendo a intersecção: Só conseguimos preencher uma intersecção. As demais, estas nós não temos condições de preencher. Vejamos as demais informações: 100 alunos cursam alemão 60 alunos cursam francês 80 alunos fazem inglês Somando todos os alunos, temos: = 240 Acontece que, na escola, são apenas 200 alunos. Por que a soma acima não foi igual a 200? Porque temos alunos sendo contados mais de uma vez. As quantidades x, y e z estão sendo contadas em duplicidade. Além disso, os 10 alunos que fazem os três cursos estão sendo contados três vezes. Vamos excluir as contagens repetidas: x y z 10 10

35 35 Agora sim, excluindo as contagens repetidas, devemos obter o total de alunos da escola (=200) x y z = ( x + y + z) = 200 ( x + y + z) = 20 Logo, o número de alunos matriculados em mais de um curso fica: Gabarito: A x + y + z +10 = 30 EC 5. SRF 2009 [ESAF] Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola? a) 96. b) 100. c) 125. d) 115. e) 106. Resolução. Vamos organizar as informações: 1) 30 alunos estudam francês 2) 45 estudam inglês 3) 40 estudam espanhol 4) 12 estudam francês e inglês 5) 3 estudam francês e espanhol

36 36 6) 7 estudam inglês e espanhol 7) 3 estudam inglês, francês e espanhol 8) 10 alunos estudam apenas alemão Vamos começar pelas intersecções. Da sétima informação, temos que 3 alunos fazem inglês, francês e espanhol. Da sexta informação, temos que 7 alunos estudam inglês e espanhol. Destes 7, 3 já foram alocados na região amarela acima. Logo, faltam 4 alunos para serem alocados na intersecção entre inglês e espanhol.

37 37 Agora vamos preencher a intersecção entre francês e espanhol. Da informação 5, temos que há 3 pessoas nesta intersecção. Todas estas 3 pessoas já estão alocadas, pois são as mesmas que fazem as três línguas. Por fim, vamos à intersecção entre inglês e francês. Da informação 4, temos que são 12 pessoas nesta região. Três delas já foram alocadas. Faltam 9. Terminadas as intersecções, vamos aos alunos que fazem apenas 1 língua. Sabemos que 30 alunos estudam francês. 12 deles já foram alocados. Faltam 18.

38 38 45 estudam inglês. 16 deles já foram alocados. Faltam estudam espanhol. 7 deles já foram alocados. Faltam 33.

39 39 Além dos alunos acima, temos os 10 que estudam apenas alemão. Somando todos eles, temos: Outra forma de resolução seria assim São 45 alunos que estudam inglês, 40 espanhol e 30 francês = 115 As intersecções foram contadas em duplicidade. Portanto, precisamos excluir os alunos das intersecções, pois eles foram contados duas vezes. As intersecções são: - 12 que fazem francês e inglês - 7 fazem inglês e espanhol - 3 fazem francês e espanhol = 22 Excluindo os alunos contados em duplicidade: = Ainda temos um problema. Os 3 alunos que fazem as três línguas foram, inicialmente, contados três vezes (como integrantes das turmas de inglês, de francês e de espanhol). 93

40 40 Posteriormente, quando da exclusão dos alunos contados em duplicidade, eles foram excluídos três vezes (pois pertencem a todas as intesecções). Assim, no final de tudo, estes 3 alunos ficaram de foram da contagem. Precisamos acrescentá-los = Por fim, falta somar os 10 alunos que fazem alemão. Gabarito: E = CONJUNTOS NUMÉRICOS Não podemos começar um curso de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... O professor Giuseppe Peano ( ) era um matemático notável. Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indoeuropéias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los. Por outro lado, mesmo sem definir os números, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: Os números governam o mundo. Nesta primeira parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades. 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

41 41 Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: Tenho 3,4231 livros na minha estante. A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais. Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N. Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação. Você deve estar se perguntando: E por que não subtração e divisão? A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição. Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação. Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! Podemos efetuar 5 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração. Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural). Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc. Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

42 42 4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação. Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. Considere o seguinte cálculo: = 8. O símbolo + representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. Portanto adição e soma não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição. Definimos então a operação de adição: a,b parcelas a+ b= c c soma No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 1 Propriedade comutativa Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos: a+ b= b+ a para todos a,b N Obviamente sabemos que = 8 e 5 +3 = 8, portanto = = 9 Ex.: = = 9 2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis. (2 + 3) + 5 = = 10 (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 2 + (3 + 5) = = 10

43 43 3 Existência do elemento neutro da adição Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. Desta forma, = = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição. 4 Propriedade do fechamento A soma de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc. Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo: Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o. Assim, Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim, Ou seja,. Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis. Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você

44 44 pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok? Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas. a,b fatores a b= c c produto Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre multiplicação e produto. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação. 5 Propriedade comutativa A ordem dos fatores não altera o produto. É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12. Desta forma, podemos afirmar que ab = ba para todos a,b N. Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja, 2 7 = = = 14 6 Propriedade associativa A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores. (3 4) 5 = 12 5 = 60 (3 4) 5 = 3 (4 5) 3 (4 5) = 3 20 = 60 7 Existência do elemento neutro da multiplicação Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

45 45 Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 8 Propriedade do fechamento O produto de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc. Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva. 9 Propriedade Distributiva Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso,, deveríamos efetuar primeiramente e em seguida adicionar o 5. No caso, Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis. A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com letras... Por exemplo, a expressão pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

46 CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS 46 Ou simplesmente: EC 6. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras. M A R R A + M A R R A T O R T A Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número a) menor que b) compreendido entre e c) compreendido entre e d) compreendido entre e e) maior que Resolução Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos. Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A + A= A. Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que A = 0. Observe que = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. M 0 R R 0 M 0 R R 0 T O R T 0 Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R + R e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a

47 47 acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10). Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5. Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que =12. M 0 R=6 R=6 0 M 0 R=6 R=6 0 T O=1 R=3 T=2 0 Observe o absurdo. Ao efetuarmos obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e subimos 1. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que subiu ). Temos que = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6. Chega-se a conclusão de que R= Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: Logo, MARRA= Letra D EC 7. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

48 CURSO ON LINE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS 48 O valor de A+B+C é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Resolução 3 1= 3, 3 2= 6, 3 3= = 12, 3 5 = 15, 3 6 = = 21, 3 8 = 24, 3 9 = 27 Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, C = 8. Como 3 8= 24, ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado. 1 A B 8 x 3 A B 8 4 O produto 3 B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2= 6. 1 A 2 8 X 3 A Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A termine em 2. Portanto, A =

49 49 X Como A = 4, B = 2 e C = 8, temos que A+ B+ C = 14. Letra E 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação subtração ampliaremos o conjunto dos números naturais. Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão). Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Dizemos que o número é o simétrico ou oposto do número. Por exemplo, o número de. é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos: (1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero): (2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): (3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): (4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero): (5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero):

50 50 Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro. Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: Podemos então definir a operação subtração da seguinte maneira: a a b= c b c minuendo subtraendo diferença Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 3 = 2 e 3 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros. 6. REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS ( a) = a a ( b) = ( a) b= ( a b) = ab ( a) ( b) = ab As observações acima são conhecidas como Regra dos sinais para a multiplicação (e divisão) de inteiros.