NOAA/Corbis/Latinstock. Terra vista do espaço, observando-se a formação de nuvens e também as regiões sem nuvens.

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1 NOAA/Corbis/Latinstock Terra vista do espaço, observando-se a formação de nuvens e também as regiões sem nuvens. 3P_VJ_M9_LA_C07_168A185.indd 168 6/28/11 4:44:38 PM

2 Noções de probabilidade O que você vai aprender ##Princípio fundamental da contagem ##Probabilidade 7 Pense nisto A meteorologia é o estudo científico dos fenômenos atmosféricos atuais, para antecipar as condições atmosféricas com alguma probabilidade. Ela se baseia na coleta de informações processadas em computadores cada vez mais avançados, que analisam várias possibilidades da evolução do tempo, gerando previsões fundamentadas em cálculos de probabilidades. 3P_VJ_M9_LA_C07_168A185.indd 169 6/28/11 4:44:42 PM

3 1 Princípio fundamental da contagem Contagem no dia a dia O ato de contar é comum no cotidiano. Contam-se, por exemplo, a quantidade de páginas lidas de um livro e a de dias que faltam para as férias. Nos dois casos citados, não é preciso nenhuma técnica especial para contar, basta ir enumerando todos os elementos a serem contados. Exemplo 1 AMj Studio/ID/BR Uma indústria de bebidas fabrica sucos de três sabores (guaraná, limão e laranja), em embalagens de dois tipos (lata e garrafa). Para determinar o total de tipos de produtos diferentes fabricados, pode-se contá-los de um em um. 1. lata sabor guaraná 4. garrafa sabor guaraná 2. lata sabor limão 5. garrafa sabor limão 3. lata sabor laranja 6. garrafa sabor laranja Podemos também representar essa situação em um diagrama de árvore ou árvore de possibilidades. Veja a ilustração ao lado. Observe que estão representados os 6 tipos de produtos fabricados. Porém, há situações, em que é inviável contar todos os elementos de um conjunto de um em um, requerendo um método de contagem. Exemplo 2 Jacek/kino.com.br Fridmar Damm/Corbis/Latinstock Até o ano de 1991, as placas dos carros no Brasil exibiam duas letras e quatro algarismos. Placa anterior a 1991: com duas letras e quatro algarismos. Placa posterior a 1991: com três letras e quatro algarismos. Com o aumento da quantidade de carros, começaram a faltar placas disponíveis para os veículos novos, e foi necessário mudar o sistema considerando o ritmo de crescimento da quantidade de veículos no país. Desejava-se que essa mudança fosse suficiente para emplacar os veículos por muitos anos e, para garantir que isso ocorreria, a medida tomada foi acrescentar uma letra às placas, que passaram a ter três letras e quatro algarismos. Perceba que, nos dois sistemas, a quantidade de placas a ser contada é muito grande. Seria tão demorado tentar contá-las de uma em uma ou representá-las em um diagrama que tornaria a tarefa quase impossível. No entanto, usando algumas técnicas, é possível chegar a esses números de maneira bem mais rápida. Assim como com o aumento da quantidade de carros, o aumento da quantidade de linhas telefônicas faz com que suas numerações sejam constantemente alteradas. Pesquise informações sobre a última alteração ocorrida. Ela se refere a linhas fixas ou móveis? 170 3P_VJ_M9_LA_C07_168A185.indd 170 6/28/11 4:44:44 PM

4 Princípio fundamental da contagem como método de contagem Para fazer a contagem da quantidade de possibilidades, podemos utilizar o princípio fundamental da contagem. Se existem m modos de acontecer a ocorrência x e n modos de acontecer a ocorrência y, a quantidade de maneiras que podem acontecer as ocorrências x e y simultaneamente é m? n. Vamos rever os exemplos. Exemplo 1 Na fábrica de sucos em que temos 2 tipos de embalagens e 3 sabores diferentes, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem para calcular a quantidade total de produtos produzidos. Multiplica-se a quantidade de tipos de embalagens pela quantidade de sabores para obter o total de tipos de produtos fabricados: 2? Portanto, 6 tipos de produtos. Exemplo 2 As antigas placas dos automóveis eram formadas por duas letras e quatro algarismos. Latas, garrafas & cia. As embalagens acomodam produtos que consumimos, possibilitando seu transporte e até sua conservação. Mas você sabe para onde vão essas embalagens após o uso? Quais atitudes você considera importantes para a prática de um consumo consciente? A sua família leva sacola não descartável para ir ao mercado e à feira? Você leva em consideração a quantidade de papel, vidro ou plástico usado para embalar os produtos que escolhe? Para determinar o número de sequências de letras que podiam ser formadas, vamos representar um quadrado para cada letra. Cada par de letras é associado a uma sequência de algarismos. Para calcular a quantidade de sequências de algarismos, faz-se um quadrado para cada algarismo a ser escolhido e indica-se o número de opções para cada escolha. 1 a letra 2 a letra 1 algarismo 2 algarismo 3 algarismo 4 algarismo número de opções número de opções O total de sequências de letras é 26? 26. O total de sequências de algarismos é 10? 10? 10? 10. Assim, a quantidade de placas que podiam ser formadas no sistema antigo pode ser calculada multiplicando-se as possibilidades de sequências de letras e algarismos. letras algarismos e O total de placas antigas é Visto que essa quantidade de placas não era suficiente para emplacar os veículos existentes no Brasil, foi acrescentada mais uma letra à placa. O cálculo da quantidade de placas, realizado de maneira semelhante, apenas considera que a terceira letra é mais uma escolha e para essa escolha há outras 26 opções. letras algarismos e Assim, calcula-se a quantidade de placas atuais: 26? 26? 26? 10? 10? 10?

5 Atividades 1. Três amigos vão se hospedar em um hotel que está com 6 quartos disponíveis, e cada um vai ocupar um quarto diferente. Calcule de quantas maneiras distintas eles poderão escolher os quartos. Resolução O primeiro hóspede pode escolher qualquer um dos 6 quartos; para o segundo hóspede restam 5 escolhas; e para o terceiro, apenas 4 escolhas. Veja a representação abaixo. AMj Studio/ID/BR 1 6? 2 5? Multiplicando as possibilidades de escolha de cada um, obtemos 120 maneiras distintas de os hóspedes escolherem os quartos. 2. Certo modelo de carro é fabricado em 7 diferentes cores, apresentando ainda 2 tipos de motores e 3 opções de estofamento. Considerando essas três características, calcule a quantidade de carros diferentes desse modelo que podem ser fabricados. 3. Uma sala tem 5 lâmpadas, cada uma com um interruptor independente. b) Calcule de quantas maneiras diferentes eles podem se sentar de modo que André, um dos amigos, ocupe a cadeira do meio. 5. Uma lanchonete oferece a seus clientes sucos de 15 diferentes frutas, podendo ser escolhidos 3 tamanhos: pequeno (300 ml), médio (500 ml) ou grande (1 L). Quantos pedidos de sucos diferentes com uma fruta podem ser feitos nessa lanchonete? 6. Considere que, para formar a placa de um carro, existem 26 opções de letras (de A a Z) e 10 opções de algarismos (de 0 a 9). a) Calcule quantas placas do atual sistema brasileiro (3 letras e 4 dígitos) são formadas somente por vogais e dígitos ímpares. b) Calcule quantas placas do atual sistema brasileiro podem ser formadas por 3 letras iguais e 4 dígitos iguais. 7. Considere um jogo no qual você escolhe 6 números entre 60 números possíveis. Aleatoriamente, são sorteados 6 números desses 60. Qual é a probabilidade desses 6 números serem os números que você escolheu inicialmente? 8. Considere um jogo no qual você escolhe 10 números entre 60 números possíveis. Aleatoriamente, são sorteados 6 números desses 60. Qual é a probabilidade desses 6 números serem 10 dos números que você escolheu inicialmente? 9. Observe na figura a disposição das carteiras em uma sala da escola de inglês de Rita e Júlia. Calcule de quantos modos distintos os interruptores podem ser acionados acendendo- -se pelo menos uma das lâmpadas. 4. Cinco amigos vão se sentar em 5 cadeiras consecutivas de um cinema. AMj Studio/ID/BR AMj Studio/ID/BR a) Calcule de quantas maneiras diferentes eles podem se sentar nessas cadeiras. Ao entrar na sala, inicialmente vazia, cada uma escolhe um lugar para se sentar. a) Calcule de quantas maneiras distintas elas podem escolher se sentar. b) Calcule de quantas maneiras distintas elas podem escolher se sentar, de modo que Rita fique em uma das 4 carteiras próximas à lousa, já que ela esqueceu seus óculos. 172

6 Mostras e concursos de danças são comuns em todo o Brasil. Ao lado, concurso de dança de salão. 15. Marcela tem em seu guarda-roupa 3 calças, 2 saias e 4 blusas que ela gosta de usar para ir a festas. a) Calcule quantas combinações de uma saia e uma blusa Marcela pode fazer. Resolução Como Marcela tem 2 saias e 4 blusas, temos: Saias 2 Um componente de cada casal será escolhido para dar uma entrevista sobre o concurso. Calcule de quantos modos diferentes podem-se escolher os entrevistados. 11. A comissão de formatura do 9o ano de uma escola deverá escolher, entre 3 restaurantes, aquele que organizará o jantar, e, entre 4 clubes, aquele onde será realizado o baile. Calcule de quantos modos a comissão poderá fazer essa escolha. 12. O site de uma fábrica de produtos esportivos permite que os clientes montem as cores de seus próprios tênis, que são produzidos sob encomenda. O cliente pode fazer as escolhas a seguir. Cor de fundo Branco, cinza, preto ou bege. Cor secundária Branco, cinza, preto, vermelho, azul ou verde. Cor dos detalhes Branco, cinza, preto, amarelo ou laranja. Calcule quantos modelos de tênis diferentes podem ser montados com essas opções. 13. Calcule quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos do nosso sistema de numeração, de modo que o último algarismo seja zero. 14. Os clientes de um banco devem escolher uma sequência de 3 letras diferentes entre as letras A, B, C, D, E, F, G, H para formar a senha de atendimento eletrônico. a) Calcule quantas senhas desse tipo podem ser formadas. b) Calcule quantas dessas senhas começam com a letra C. c) Calcule quantas delas começam com uma vogal e terminam com uma consoante. d) Calcule quantas dessas senhas são formadas somente por consoantes. Blusas? Ela pode fazer 8 combinações distintas diferentes de uma saia e uma blusa. b) Calcule de quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir se ela resolver ir com determinada blusa. Resolução Ela pode combinar a blusa com uma saia ou com uma calça. Blusa 1 Blusa Saias? Saias 1 2?5 2 Blusa Calças Calças Blusa 5 2 1? 1 3? Considerando as duas contagens, ela pode se vestir de 5 maneiras distintas para ir à festa ( ). 16. O campeonato brasileiro de futebol conta com 20 participantes que se enfrentam em turno e returno para definir o campeão. Isso significa que cada equipe enfrenta todas as outras por 2 vezes, uma em seu estádio e outra no estádio do adversário. a) Determine o total de jogos realizados no campeonato brasileiro de futebol. b) Determine o total de jogos que seriam realizados se a quantidade de equipes participantes fosse Sidney tem 12 camisas e 5 gravatas. Ele acha que a gravata azul não combina com a camisa listrada, por isso nunca usa essas duas peças juntas. AMj Studio/ID/BR Juan Mabromata/AFP/Getty Images 10. Seis casais chegaram às finais de um concurso de dança. Calcule de quantas maneiras diferentes ele pode combinar as camisas e as gravatas, considerando a condição citada P_VJ_M9_LA_C07_168A185.indd 173 6/29/11 11:26:26 AM

7 2 Probabilidade Probabilidade (do latim probare; em português provar ou testar ) significa a possibilidade de que algo venha ou não a ocorrer, determinada pela frequência dos eventos do mesmo tipo. Experimentos aleatórios Considere os dois experimentos descritos a seguir. Experimento A Uma pessoa se dirige a determinado ponto de uma estrada, em certa hora, em cinco dias diferentes, e anota a cor dos três primeiros carros que passam por aquele local. Experimento B Uma pessoa se desloca de carro cinco vezes entre dois pontos determinados de uma estrada e anota a distância percorrida, registrada no painel do veículo. Cada experimento foi realizado sempre nas mesmas condições. Veja os resultados registrados na tabela a seguir. Experimento A Experimento B 1 prata, prata, branca 6,2 km 2 vermelha, azul, preta 6,2 km 3 branca, verde, prata 6,2 km 4 preta, vermelha, preta 6,2 km 5 azul, prata, prata 6,2 km Os resultados do experimento A foram diferentes nas cinco repetições, ainda que todas as condições tenham sido mantidas (foi tomado sempre o mesmo ponto da estrada, na mesma hora do dia). Isso ocorre porque quem faz o experimento não tem controle sobre todos os fatores que influenciam no resultado. Trata-se de um experimento aleatório. Já os resultados do experimento B foram todos iguais. Isso porque era possível controlar os fatores que influenciavam no resultado (pontos de partida e chegada, carro utilizado e motorista). Logo, não se trata de um experimento aleatório. Veja outros exemplos de experimentos aleatórios. Lançamento de uma moeda: não é possível prever o resultado. Sabemos apenas que podemos obter cara ou coroa. Lançamento de um dado: podemos obter qualquer número de 1 a 6. Jogos da loteria: escolhemos, entre os números disponíveis, aqueles que queremos jogar. Entretanto, não é possível prever os números que serão sorteados. Sorteio de um cupom numerado: muitas lojas, no intuito de atrair clientes, distribuem cupons numerados e promovem sorteios de mercadorias; não é possível prever qual será o número sorteado. Experimento aleatório é todo experimento que, repetido em condições idênticas, apresenta resultados imprevisíveis, entre os possíveis resultados. A área da Matemática que estuda os experimentos aleatórios é denominada teoria das probabilidades. 174

8 Espaço amostral Embora não seja possível prever o resultado de um experimento aleatório, normalmente todos os resultados que podem ocorrer são conhecidos. Por exemplo, no lançamento de um dado comum, não é possível prever qual face estará voltada para cima. Porém, na face estará um dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esse conjunto é denominado espaço amostral do experimento aleatório. Espaços amostrais equiprováveis Considere os experimentos a seguir. Experimento C Pâmela colocou, em uma caixa, cinco bolas de mesmo tamanho, numeradas de 1 a 5, e pediu a Marcos para retirar, de olhos fechados, uma das bolas. Em seguida, anotou em um papel o número marcado na bola. Nesse caso, representando por E 1 o espaço amostral, tem-se E 1 5 {1, 2, 3, 4, 5}. Experimento D Lígia colocou, em uma caixa, duas bolas azuis e oito bolas brancas, todas de mesmo tamanho, e pediu a Bárbara para retirar, de olhos fechados, uma das bolas. Em seguida, anotou em um papel a cor da bola retirada. Sendo E 2 o espaço amostral, tem-se E 2 5 {azul, branca}. No experimento C, existe na caixa uma única bola com cada um dos números de 1 a 5. Assim, é natural admitir que todos os números têm chances iguais de serem sorteados, ou seja, os cinco elementos do espaço amostral E 1 são igualmente prováveis de ocorrer. Espaço amostral equiprovável de um experimento aleatório é um espaço amostral em que todos os elementos têm chances iguais de ocorrer. Por esse motivo, E 1 é considerado um espaço amostral equiprovável. Já no experimento D, há mais bolas brancas do que azuis na caixa. Assim, ainda que não se possa dizer com certeza qual será a cor da bola sorteada, é natural admitir que é mais provável que seja retirada uma bola branca do que uma azul. Por esse motivo, E 2 não é um espaço amostral equiprovável. SAIBA MAIS NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL Existem experimentos aleatórios cujos espaços amostrais têm infinitos elementos. Por exemplo, uma pessoa vai lançando um dado comum até que obtenha pela primeira vez o número 6 na face para cima. Em seguida, anota o número de lançamentos realizados. Nesse caso, o espaço amostral é o conjunto de todos os números inteiros positivos: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. Note que é pouco provável que uma pessoa faça, por exemplo, 50 lançamentos até obter o primeiro número 6, mas não é impossível. 175

9 Eventos No lançamento de um dado, por exemplo, cada um dos resultados obtidos é um evento. Evento é todo subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Exemplo Considere um jogador interessado em saber quais são as chances de se obter um número maior do que 4 ao lançar um dado comum. Nesse caso, o espaço amostral é E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Denominando A o evento "obter número maior do que 4", tem-se A 5 {5, 6}, que é um subconjunto de E. Outro exemplo de evento desse experimento aleatório é "obter um número par". Denominando-o B, tem-se B 5 {2, 4, 6}. Atividades 18. Identifique no caderno quais experimentos descritos a seguir são aleatórios. a) Registro do número de pessoas que usam o metrô de São Paulo em um dia. b) Medição da altura de determinada pessoa. c) Contagem da atual quantidade de senadores do Brasil. d) Contagem da quantidade de vezes que o telefone de uma loja toca em um dia. e) Contagem da quantidade de pessoas que aprovam a administração do prefeito de uma cidade, em um grupo de 10 moradores escolhidos ao acaso. f) Cálculo da área de determinado triângulo. 19. Os nomes de César, Priscila e Alice são escritos em pedaços de papel, dobrados e colocados em um saco. Em seguida, 2 papéis são retirados ao acaso, e os sorteados ganham um ingresso cada um para ir ao cinema. a) Descreva o espaço amostral desse experimento. Resolução Como serão sorteados dois papéis, cada elemento do espaço amostral tem dois nomes; assim E 5 {(César; Priscila), (César; Alice), (Priscila; Alice)}. b) Esse espaço amostral é equiprovável? Resolução Sim, o espaço amostral é equiprovável, pois cada nome tem a mesma chance de ser sorteado. 20. Para cada experimento descrito, determine o espaço amostral correspondente, indicando se ele é equiprovável ou não. a) Lançar uma moeda comum e anotar qual é a face obtida. b) Na disputa de 4 partidas de futebol entre Brasil e Argentina, registrar o número de vitórias obtidas pelo Brasil. c) Sortear um número inteiro de 1 a 30 e verificar se ele é ou não múltiplo de 5. d) Verificar se uma letra do alfabeto brasileiro, escolhida ao acaso, é vogal ou consoante. e) Verificar a região a que pertence um estado brasileiro escolhido ao acaso. 21. Escreva no caderno os elementos do espaço amostral correspondentes a cada experimento aleatório descrito a seguir. a) O vencedor da disputa de uma partida de voleibol entre as seleções do Brasil e de Cuba na cidade de Cuiabá. b) Retirada ao acaso de uma bola de uma urna que contém oito bolas de mesmo tamanho e massa, numeradas de 1 a 8. c) Lançar um dado três vezes seguidas e verificar a quantidade de vezes que se obtém o número 6. d) O lançamento simultâneo de duas moedas de mesmo valor e o registro da face obtida em cada uma. 22. Um cozinheiro dispõe de 6 tipos de frutas para preparar sobremesas. Cada sobremesa é preparada com duas frutas diferentes. Determine a quantidade de elementos do espaço amostral que representa as sobremesas que ele pode preparar. 176

10 Cálculo de probabilidades Considere uma caixa com cinco bolas, todas do mesmo tamanho, sendo uma preta e quatro verdes. Se uma pessoa retirar ao acaso uma bola dessa caixa, é natural supor que a chance de ser retirada uma bola verde seja maior do que a de uma bola preta, pois o número de bolas verdes na caixa é maior. Supondo agora que essa caixa tenha uma bola preta e nove bolas verdes, retirando-se ao acaso uma dessas bolas, novamente a chance de pegar uma bola verde será maior. Trata-se, porém, de uma situação diferente da anterior. Para compará-las, é necessário quantificar a chance de se retirar uma bola verde em cada caso. A chance de ocorrência de determinado evento de um espaço amostral é denominada probabilidade. A probabilidade de ocorrência de um evento de espaço amostral equiprovável é a razão entre a quantidade de eventos favoráveis (os eventos que você quer que ocorram) e a quantidade de eventos possíveis. Sendo P(A) a probabilidade de ocorrência do evento A em um espaço amostral equiprovável E, tem-se a razão entre a quantidade n(a) de eventos favoráveis e a quantidade n(e) de eventos possíveis no espaço de E: P(A) 5 n(a) n(e) Exemplo 1 Qual é a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado comum? Como E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos n(e) 5 6. Denominando A o evento "obter número par", temos A 5 {2, 4, 6} e n(a) 5 3. Logo, P(A) 5 n(a) n(e) ,5 5 50%. 2 Portanto, a probabilidade de obter um número par em um lançamento de dado é 0,5 ou 50%. Exemplo 2 Qual é a probabilidade de se escolher ao acaso uma pessoa entre um grupo de 30 pessoas, 12 homens e 18 mulheres, e ela ser homem? E de ela ser mulher? No espaço amostral E, temos n(e) Considerando H o evento "a pessoa escolhida ser homem", temos n(h) Assim: P(H) 5 n(h) n(e) ,4 5 40%. 5 Considerando M o evento "a pessoa escolhida ser mulher", temos n(m) Assim: P(M) 5 n(m) 5 18 n(e) ,6 5 60%. 5 Portanto, a probabilidade de a pessoa escolhida ser homem é 40% e de ser mulher, 60%. Observe que n(a) representa o número de elementos do evento A e n(e) o número de elementos do espaço amostral E. SAIBA MAIS SEGURO DE AUTOMÓVEIS E PROBABILIDADE Quando uma companhia aceita fazer o seguro de um automóvel, ela se dispõe, mediante o pagamento que o segurado faz, a pagar os prejuízos caso aquele veículo seja roubado ou sofra um acidente. No entanto, a companhia não tem como saber se o carro se envolverá em um acidente ou se será roubado. Logo, esse negócio envolve risco. Para lidar com esse risco, as companhias de seguros fazem cálculos de probabilidades, levando em conta alguns fatores como o modelo do carro, a região em que ele é usado, o sexo e a idade do motorista. Quanto maior for a probabilidade de um carro ser roubado na região frequentada pelo segurado ou a probabilidade de motoristas com o perfil do segurado sofrerem um acidente, mais caro será o seguro. 177

11 Observação A probabilidade é um número que quantifica a chance de ocorrência de determinado evento. Porém, como se trata de um experimento aleatório, não se pode prever ao certo com que frequência esse evento vai ocorrer. Quando determinamos a probabilidade de um evento ocorrer, estamos dizendo que, se esse experimento for realizado muitas vezes, a quantidade de ocorrências do evento se aproxima da probabilidade de ele ocorrer. No exemplo 2, a probabilidade de a pessoa escolhida, entre as pessoas do grupo, ser um homem é menor do que a probabilidade de ser uma mulher. No entanto, repetindo o experimento três vezes, por exemplo, pode ocorrer de a pessoa escolhida ser homem nos três eventos. Já repetindo esse evento mais vezes, por exemplo, 100 vezes, a quantidade de vezes que se escolheu um homem deve ser próxima de 40 vezes. Evento impossível e evento certo Existem apenas dois casos em que é possível prever a ocorrência de um evento. Esses casos são denominados evento impossível e evento certo. No lançamento de um dado comum, a probabilidade de obter-se o número 10 é 0 5 0, pois nenhum dos seis valores 6 possíveis de serem obtidos é igual a 10. Esse é um exemplo de evento impossível. Já a probabilidade de obter-se um número positivo no lançamento do mesmo dado é 6 5 1, pois os seis valores que 6 podem ser obtidos são positivos. Diz-se que esse é um evento certo. Como um evento impossível tem probabilidade 0 e um evento certo tem probabilidade 1, a probabilidade de um evento A é tal que 0, P(A), 1, para qualquer evento. Observações A probabilidade de um evento A é sempre um número que varia de 0 a 1 (ou de 0% a 100%). Se a probabilidade de um evento é 0, esse é um evento impossível. Se a probabilidade de um evento é 1, esse é um evento certo. Atividades 23. Uma moeda é lançada 2 vezes, sendo registrado o número de vezes em que foi obtida a face cara. a) Escreva o espaço amostral desse evento. b) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja impossível. c) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja certo. 24. Considere que a probabilidade de que um tenista A vença uma partida contra um tenista B é 1. Com base nessa informação, classifique no caderno cada afirmação em verda- 3 deira ou falsa e justifique as falsas. a) Se os tenistas A e B disputarem 6 partidas, então o tenista A vencerá exatamente duas. b) Se o tenista A vencer uma partida contra o tenista B, então ele certamente perderá as próximas 2 partidas. c) É possível que o tenista A vença 2 partidas seguidas contra o tenista B. d) A probabilidade de o tenista B vencer uma partida contra o tenista A é maior do que 60%. 25. Uma caixa contém 10 fichas, sendo 1 ficha azul, 3 amarelas e 6 vermelhas, todas com a mesma forma, tamanho e massa. Pede- -se a uma pessoa que retire ao acaso uma ficha da caixa. Calcule a probabilidade de essa pessoa retirar uma ficha amarela. 178

12 Atividades 26. Sabe-se que a probabilidade de certa peça produzida em uma indústria ser defeituosa é 3%. Determine qual é a probabilidade de que essa peça não tenha defeito. 27. Escolhe-se ao acaso um dos polígonos representados a seguir. 30. A figura mostra a janela lateral de cada um dos 12 apartamentos de um edifício recém- -construído. Os apartamentos cujas janelas estão destacadas em amarelo já estão ocupados. AMj Studio/ID/BR Qual é a probabilidade de que a soma da medida dos ângulos internos do polígono escolhido seja 360? 28. Dentre os eventos descritos a seguir, identifique um evento impossível e um evento certo. a) Obtenção de um número divisível por 10 no lançamento de um dado comum. b) Conseguir pelo menos uma face cara no lançamento de 20 moedas comuns. c) Lançando-se 3 dados comuns, obter a soma dos pontos maior do que ou igual a Considere que a seleção brasileira feminina de basquetebol em cadeira de rodas deverá enfrentar, nos próximos jogos paraolímpicos, uma seleção europeia, uma asiática e outra africana, definidas por sorteio. Considere que as equipes que participam do torneio sejam as dos países listados a seguir. Itália Japão Camarões Brasil Alemanha China Nigéria Argentina França Coreia Senegal Holanda Irã Marrocos Portugal Síria Calcule a probabilidade de que o Brasil enfrente na primeira fase do torneio cada seleção abaixo. a) França. b) Nigéria. c) Japão. d) Argentina. O que você acha da iniciativa de se criar um campeonato de basquetebol em cadeira de rodas? E de outros esportes? Comente com um colega. Considere que cada apartamento vago tenha a mesma probabilidade de ser o próximo a ser ocupado. a) Calcule a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja o do primeiro andar. b) Calcule a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja o do segundo andar. c) Calcule a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja o de um andar com nenhum apartamento ocupado. 31. Considere uma moeda lançada ao acaso 3 vezes seguidas. Sobre o lançamento e a possível face que cai virada para cima, faça o que se pede em cada item. a) Escreva todos os resultados possíveis. b) Calcule a probabilidade de o resultado ser 3 caras. c) Calcule a probabilidade de o resultado ser 2 caras e 1 coroa. 32. Um lote com 25 peças apresentou 2 peças defeituosas. Calcule a probabilidade solicitada em cada item, considerando a escolha ao acaso de 2 peças desse lote. a) As duas serem defeituosas. b) Nenhuma delas apresentar defeito. 179

13 Mais atividades 33. Foi feita uma pesquisa com os alunos das turmas A e B de uma escola em que se perguntou qual é o esporte favorito de cada um entre as quatro opções dadas. Os resultados estão no quadro abaixo. Futebol Natação Judô Vôlei Turma A Turma B a) Quantos alunos há em cada uma dessas turmas? b) Escolhendo ao acaso um aluno das turmas A ou B, qual é a probabilidade de que o seu esporte favorito seja futebol? E vôlei? c) Escolhendo ao acaso um aluno da turma B, qual é a probabilidade de que o seu esporte favorito seja futebol? E vôlei? 34. Considere um evento certo A de um espaço amostral tal que P(A) 5 2p 1 p Qual é 9 o valor de p. 35. O mosaico da figura a seguir é composto de 42 pequenos triângulos coloridos em seu interior, todos de mesmo tamanho. a) Segundo a resposta dada pela vendedora, a probabilidade de o cliente ganhar na loteria é um número mais próximo de 0 ou de 1? b) Por que se diz que a loteria é um imposto cobrado das pessoas que não sabem Matemática? 37. Foi feita uma pesquisa sobre o estado onde nasceu cada professor de uma escola. Os resultados estão representados no gráfico. Quantidade de professores Estado natal dos professores Paraná Rio Grande do Sul São Paulo Bahia Minas Gerais Ceará Goiás CO MAIOR UE A DE VER NA LUA IGÊNIO... Escolhendo ao acaso um desses triângulos, qual é a probabilidade de que ele seja verde? 36. Leia a tira e responda. QUAL É A MINHA CHANCE DE GANHAR NA LOTERIA? AMj Studio/ID/BR HUMM... ENTÃO VOU QUERER 10 BILHETES. UM POUCO MAIOR DO QUE A DE SOBREVIVER NA LUA SEM OXIGÊNIO... É... LOTERIA É MESMO O IMPOSTO QUE SE COBRA DAS PESSOAS QUE NÃO SABEM MATEMÁTICA. HUMM... ENTÃO VOU QUERER 10 BILHETES. a) Calcule a quantidade de professores. b) Escolhendo ao acaso um desses professores, calcule a probabilidade de que ele tenha nascido no Paraná. c) Escolhendo ao acaso um desses professores, calcule a probabilidade de ele não ter nascido na Bahia. d) Escolhendo ao acaso um desses professores, calcule a probabilidade de ele ter nascido na Região Sul do Brasil. É... LOTERIA É MESMO O IMPOSTO QUE SE COBRA DAS PESSOAS QUE NÃO SABEM MATEMÁTICA. 38. Calcule o valor de y, sabendo que a probabilidade de um evento certo é y Uma equipe de futebol é composta de 6 jogadores italianos, 3 brasileiros, 1 francês e 1 polonês. Um desses jogadores é sorteado para realizar um exame antidoping. Calcule a probabilidade de que o jogador sorteado tenha a nacionalidade expressa em cada item. a) Italiana. d) Alemã. b) Polonesa. e) Francesa. c) Brasileira. 180

14 Você sabe o que é um exame antidoping. Pesquise informações sobre esse exame e dê sua opinião sobre o uso dele em campeonatos esportivos. 40. O cubo representado abaixo, formado por 27 cubinhos idênticos de madeira, teve todas as suas faces pintadas de roxo. 43. Na figura abaixo, quantas maneiras existem para ir de A até B, pelas linhas em azul, sem passar duas vezes pelo mesmo ponto? A B 44. Cinco fichas foram colocadas sobre uma mesa, com as letras viradas para baixo. A I O R L Em seguida, o cubo foi desmanchado, e os 27 cubinhos foram colocados em uma caixa. Retirando-se ao acaso um cubinho da caixa, calcule a probabilidade em cada situação a seguir. a) O cubinho não ter nenhuma face pintada de roxo. b) Ter uma única face pintada de roxo. c) Ter exatamente 2 faces pintadas de roxo. d) Ter 3 faces pintadas de roxo. 41. Em uma prova de desenho geométrico, os alunos deverão construir, com régua e compasso, um triângulo retângulo ABC como o da figura. C Uma pessoa escolheu 3 dessas fichas e colocou-as em determinada sequência, formando uma palavra. Calcule a probabilidade do evento enunciado em cada item. a) A palavra formada ser RIO. b) A palavra começar pela letra A. c) A palavra começar com uma vogal. 45. Uma prova é composta de 10 afirmações, que o aluno deve classificar como verdadeiras ou falsas. Veja uma resposta possível para essa prova. AMj Studio/ID/BR A A medida de AB deverá ser 12 cm, e a medida de AC, em cm, deverá ser um número inteiro positivo menor do que 10, escolhido em um sorteio feito pelo professor para cada aluno. a) Calcule a probabilidade de a área do triângulo ABC ser maior do que 50 cm 2. b) Calcule a probabilidade de a medida de BC, em cm, ser um número irracional. 42. O ponto A é um dos vértices de um heptágono regular. Escolhendo ao acaso outro vértice do polígono, calcule a probabilidade de que o segmento que une esse vértice ao ponto A seja uma diagonal do heptágono. B De quantas maneiras distintas pode-se responder a uma prova como essa? 46. Escolhendo ao acaso um elemento do conjunto {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, qual é a probabilidade de que seja um número primo? 181

15 Matemática e medicina Vale a pena guardar células-tronco? Daniel Schneider Só se você for uma pessoa muito prudente. Ao longo da vida, a chance de você precisar de suas células-tronco, do jeito que elas são guardadas hoje, é de apenas 0,6% [veja no quadro abaixo]. Mas o assunto é complexo e não custa esclarecer umas coisinhas. Primeiro: atualmente, o único tipo armazenável de células-tronco (células versáteis capazes de se transformar em vários tipos de tecidos do corpo) são as do cordão umbilical de recém-nascidos. Segundo: por enquanto, com o sangue do cordão só é possível tratar cerca de 80 doenças, todas ligadas ao sangue. Terceiro: existem dois tipos de células-tronco que você pode usar as suas e as de outras pessoas. Quarto (ufa!): existem duas formas de armazenamento possíveis. A primeira é o banco público brasileiro, que recebe doações voluntárias de sangue do cordão umbilical de bebês. O bom é que o armazenamento é gratuito. O ruim é que as células do bebê não ficam reservadas para ele elas estão disponíveis para qualquer receptor compatível. Na segunda forma de armazenamento, os bancos privados, as células ficam guardadas para o doador, o que torna possível o chamado autotransplante realizado com as células do próprio paciente, o que aumenta as chances de recuperação para certas doenças. Mas... esse armazenamento é pago. Custa em média R$ 600 por ano, fora uma taxa de coleta de até R$ 5 mil. [...] Daniel Schneider. Superinteressante, São Paulo, Abril, fev. 2008, p. 40. De olho no texto I. De acordo com o texto, o que é uma célula-tronco? II. Segundo os dados do texto, qual é a probabilidade de uma pessoa não sofrer de uma doença com a indicação de autotransplante? III. Como você acha que as probabilidades apresentadas no texto são determinadas? IV. Com o aumento das pesquisas nessa área, você acha que a probabilidade, indicada no texto, de uma pessoa precisar das próprias células-tronco deve aumentar ou diminuir? Justifique P_VJ_M9_LA_C07_168A185.indd 182 6/29/11 11:27:06 AM

16 Compreender e resolver Tabuleiro colorido Queremos pintar os quadrados do tabuleiro abaixo usando as cores indicadas por P, Q, R e S, de modo que quadrados vizinhos não tenham a mesma cor (dois quadrados são considerados vizinhos se têm um lado ou um vértice comum). Alguns dos quadrados já foram pintados, conforme o desenho. P R Q Quais são as possibilidades para o quadrado assinalado em cinza? Fonte: Prova Canguru Matemático sem Fronteiras 2009, nível C 8 o e 9 o anos. Compreensão do problema Q S Q I. Segundo o problema, o que é preciso para que dois quadrados sejam considerados vizinhos? II. Quantas são as cores disponíveis? III. Em princípio, você pensa que há várias possibilidades, apenas uma ou nenhuma opção para a cor do quadrado cinza? Por quê? IV. Será que é preciso completar todo o tabuleiro para descobrir o que o problema pede? Qual é a sua opinião? Resolução do problema I. Na figura ao lado, é mais fácil analisar a situação do quadrado 1, do 2 ou do 3? Justifique. II. Como você vai resolver esse problema? Descreva a estratégia que lhe parece mais adequada. III. Analise as possibilidades de cores dos quadrados do tabuleiro e responda ao que o problema pede. Para refletir P R Q Q 1 S 2 Q 3 I. Você completou o tabuleiro para resolver o problema? Seus colegas resolveram da mesma maneira? Comente. II. Quantas são as soluções do problema? III. Faça alguma modificação nos dados iniciais do problema, resolva-o e, depois, proponha-o a um colega. IV. O problema que você criou é mais fácil ou mais difícil do que o problema inicial? Justifique. Mais problemas: Resolva os problemas 7 e 9 das páginas 234 e

17 ROTEIRO DE ESTUDOS Autoavaliação 47. Ao abrir uma conta no Banco X o cliente recebe um cartão que possui uma senha numérica com 6 dígitos e outra senha alfabética com 4 letras. É possível usar os algarismos de 0 a 9 e as 26 letras do alfabeto para formar a senha. a) Quantas possibilidades de senha podem ser formadas? b) Quantas possibilidades de senha podem ser formadas com letras sem repetições e números que não começam com o zero? 48. Em um campeonato cada equipe jogou uma vez contra cada uma das outras equipes, totalizando 66 jogos. Quantas eram as equipes? 49. Considere o espaço amostral correspondente ao lançamento simultâneo de dois dados e o registro da face voltada para cima obtida em cada dado. a) Quantos e quais são os elementos desse espaço amostral? b) Calcule a probabilidade de saírem dois números 1 na face voltada para cima de cada dado. c) Calcule a probabilidade de a soma dos números ser 8. d) Qual é a probabilidade de a soma dos números ser maior do que 15? 50. Um jogador recebeu uma cartela com 15 números distintos entre os números 1 e 90. De uma urna com 90 bolas numeradas de 1 a 90, é sorteada uma bola. Qual é a probabilidade de o número dessa bola estar na cartela do jogador? 51. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar aleatoriamente uma bola de cada urna, a probabilidade de a soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 2 5 b) 3 c) d) 1 e) Nota: Confira se você acertou todas as questões dessa Autoavaliação. Se não acertou, faça as atividades de Reforço e de Revisão antes do Aprofundamento. Reforço 52. Complete as sentenças tornando-as verdadeiras. a) O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado. b) No experimento aleatório com n resultados possíveis, com chances iguais de ocorrência, a probabilidade de ocorrer d resultados é. c) A quantidade de números ímpares com dois algarismos distintos é. d) Um evento é denominado impossível se a probabilidade de ele ocorrer for. e) Um evento é denominado certo se a probabilidade de ele ocorrer for. 53. Uma prova tem 10 testes, cada um com cinco alternativas das quais apenas uma é correta. De quantos modos pode ser montado o gabarito da prova? 54. Cinco alunos realizaram um trabalho em grupo e dois deles farão a apresentação. De quantos modos podem ser escolhidos os dois que farão a apresentação? 55. Um experimento consiste em escolher duas pessoas, ao acaso, de uma sala com dez pessoas. Assim, o número de elementos do espaço amostral é: a) 20 b) 19 c) 90 d) 45 e) Uma rifa foi organizada entre os 30 alunos da turma de Pedro. Para tal, 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 foram colocadas em uma urna. Uma delas foi, então, retirada da urna. No entanto, a bola caiu no chão e se perdeu, e uma segunda bola teve de ser sorteada entre as 29 restantes. Qual é a probabilidade de que o número de Pedro tenha sido o sorteado no segundo sorteio? 57. Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colômbia. No primeiro tempo, a seleção brasileira cometeu 10 faltas, das quais 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram reprisados, entre os quais uma falta cometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que a falta escolhida seja de Leonardo ou de André Cruz? Revisão: refaça as atividades 13, 14, 16, 22, 27, 30, 31 e

18 Aprofundamento 58. (OBM) De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila, se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? a) 2 d) 12 b) 4 e) 24 c) (PUC 2007) A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4,, 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao mesmo tempo é: a) 3%. b) 6%. c) 2%. d) 10%. e) 60%. 60. (Fuvest 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: a) 2 9. d) 5 9. b) 1. e) c) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que tenham dois filhos de cada sexo? 62. (PUC 2010) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda? a) 1 d) b) 2 e) c) 1 4 Estratégias de aprendizagem Autojulgamento e atribuições pessoais Você vai fazer julgamentos sobre sua própria aprendizagem. 1. Leia o diálogo abaixo. Tadeu: Eu tive dificuldades para entender algumas noções de espaços amostrais e de probabilidade. Juliana: Já minha maior dificuldade foi compreender os enunciados dos problemas. Tadeu: Por isso pedi ajuda ao professor. Ele mostrou os significados desses termos em diversos problemas. Depois disso, resolvi vários problemas com um colega e, pouco a pouco, fui compreendendo. Juliana: O professor me ajudou a identificar e separar, em uma lista, dados do problema e o que o problema pedia. Eu usei essa estratégia várias vezes. Até que me senti confiante para resolver outros sem essa estratégia. Comente com um colega esse diálogo. Você já vivenciou situação semelhante? 2. Com base no diálogo acima, aponte possíveis causas para a dificuldade da menina e as possíveis causas para a dificuldade do menino. 3. Agora, busque em sua memória as experiências vividas nos estudos deste capítulo. Considerando essas experiências lembradas, faça um julgamento de si próprio, apontando suas dificuldades e seus avanços. Apresente as possíveis causas das suas dificuldades e como você fez para superá-las. Destaque também os avanços conquistados. Você sabe o que é feedback? É a informação que você obtém diante da reação da pessoa que recebeu uma mensagem sua. O feedback serve para avaliar os resultados da transmissão de mensagens. Nesse processo de aprendizagem, você deve estar atento aos feedbacks que vêm do professor, dos colegas e, principalmente, de si mesmo! Os ajustes no processo de aprendizagem devem ser feitos em função desses feedbacks e na observação constante do progresso de sua aprendizagem. 185