MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO EM PLANILHA EXCEL

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1 Revista de Ciências Gerenciais Vol. 16, Nº. 23, Ano 2012 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO EM PLANILHA EXCEL Desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos Nilton Roberto dos Santos Machado Anhanguera Educacional Alessandre Oliveira Ferreira Faculdade Anhanguera de Valinhos RESUMO Este trabalho tem como objetivo demonstrar o desenvolvimento de uma planilha Excel para simulação de Monte Carlo e comprovar seu funcionamento, comparando o resultado obtido com simulação paralela com o aplicativo Corisco, assim como disponibilizar a planilha como ferramenta de trabalho e aprendizagem. A explicação do desenvolvimento da planilha visa facilitar o entendimento do método de Simulação de Monte Carlo. Encontra-se literatura farta a respeito do tema e também planilhas desenvolvidas para essa finalidade, que são fornecidas em CDs ou mesmo podem ser baixadas da internet, mas há escassez de material que demonstre como desenvolver uma planilha para simulação de Monte Carlo, com explicação detalhada do desenvolvimento, além do fato das planilhas ou ferramentas disponíveis para download gratuito não serem versáteis o suficiente para aplicações genéricas. A versatilidade da planilha proposta nesse trabalho e a facilidade de uso incentivarão os usuários a utilizá-la como ferramenta de aprendizagem, particularmente aqueles envolvidos em análise de riscos em projetos. Palavras-Chave: análise de riscos; Monte Carlo; gestão de projetos. ABSTRACT Anhanguera Educacional Ltda. Correspondência/Contato Alameda Maria Tereza, 4266 Valinhos, São Paulo CEP rc.ipade@anhanguera.com This paper aims to demonstrate the development of an Excel spreadsheet for Monte Carlo simulation and demonstrate its operation by comparing the results obtained with the parallel simulation application Corisco, as well as provide the spreadsheet as a tool for work and learning. The explanation of the development on the worksheet is designed to facilitate the understanding of the method of Monte Carlo simulation. It is literature plentiful on the subject and also spreadsheets development of for this purpose, which are provided on CD or can be downloaded from the internet, but no shortage of material that demonstrates how to develop a spreadsheet to Monte Carlo simulation, with detailed explanation of the development, beyond the fact of the worksheets or tools available for free download are not versatile enough for general purpose applications. The versatility of spreadsheet proposed in this work and ease of use will encourage users to use it as a learning tool. Keywords: Risk analysis; Monte Carlo Simulation; Project Management. Coordenação Instituto de Pesquisas Aplicadas e Desenvolvimento Educacional - IPADE Informe Técnico Recebido em: 27/06/2012 Avaliado em: 11/07/2012 Publicação: 22 de novembro de

2 224 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos 1. INTRODUÇÃO O método de Monte Carlo é uma poderosa ferramenta para solução de problemas não convencionais. Sua utilização, no entanto, requer conhecimento detalhado do método, assim como cuidados especiais na introdução de dados e interpretação dos resultados. O detalhamento do desenvolvimento da planilha facilitará o entendimento do método, enquanto a aplicação e comparação dos resultados com ferramentas já existentes gerarão credibilidade ao leitor. Como pré-requisitos para o desenvolvimento da planilha são abordados tópicos pertinentes ao tema: métodos determinísticos e estocásticos, variáveis aleatórias, geração de cenários, modelagem das variáveis de entrada e função de distribuição de probabilidade, assim como a diferença entre processos e projetos. Atenção especial foi dada à questão da estimativa das variáveis de entrada e o método Delphi é citado como uma alternativa para se minimizar a margem de erros nessa etapa. A base para o desenvolvimento da planilha é a geração da função de distribuição de densidade triangular aleatória, explicada em detalhes. A planilha possui doze variáveis de entrada, quatro variáveis auxiliares e duas variáveis de saída, estas últimas atreladas a histogramas e curvas de densidade probabilidade, que serão analisadas para interpretação dos resultados e tomada de decisão. O uso de duas variáveis de saída permite análise de custos e prazos simultaneamente. 2. O MÉTODO DE MONTE CARLO O método de Monte Carlo, doravante referenciado como MMC e também conhecido como simulação de Monte Carlo consiste basicamente na geração de números aleatórios associados a técnicas probabilísticas e é utilizado para solução de problemas não convencionais, cuja solução por métodos determinísticos seria muito trabalhosa, quando não inviável. Por método determinístico entenda-se aquele baseado em discretizações numéricas das variáveis das funções que descrevem o processo em análise. A simulação estocástica utiliza variáveis aleatórias como entrada e através de algoritmos computacionais baseados nas leis da probabilidade e estatística, geram saídas que devem

3 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 225 ser interpretadas como estimativas estatísticas das características reais do processo em análise. O MMC é, portanto, um método estocástico que utiliza variáveis aleatórias para realizar a simulação, sendo que o resultado não será o mesmo para cada recálculo, embora tenda a convergir para valores aproximados. Outra característica da aplicação do MMC é a geração de cenários e também a modelagem das variáveis de entrada através do uso de funções de distribuição de probabilidade apropriadas ao problema em análise. Uma vez definidas as funções de distribuição de probabilidade, a simulação de Monte Carlo é realizada através da amostragem aleatória dessas funções. Por fim o resultado final obtido traduz-se num histograma associado a uma curva de densidade probabilidade acumulada, esta última em formato típico de um S. Essa curva de densidade probabilidade acumulada será o objeto de estudo para solução do problema em análise e quantificará em percentual a probabilidade de determinado valor encontrar-se acima, abaixo ou entre um intervalo de confiança escolhido. Uma das aplicações do MMC se dá na análise quantitativa de riscos em gestão de projetos. É importante, portanto, diferenciar projeto de processo. Alencar (2005, p. 5) define projeto como sendo todo conjunto de atividades interdependentes que, tendo sido encomendado por um cliente, será executado pela primeira vez, uma única vez, com vistas a propiciar, para este cliente, algum tipo de benefício ou vantagem competitiva. Segundo o PMBOK (2004, p5), um projeto é um esforço temporário empreendido para criar um produto, serviço ou resultado exclusivo. Processos, por sua vez, são contínuos e repetitivos. Eventuais impactos decorrentes de incertezas presentes na fase inicial de um processo são normalmente minimizados e até mesmo eliminados, quando então o processo torna-se estável. Com relação aos riscos envolvidos em um projeto, cabe aqui uma breve explanação: segundo Alencar (2005, p. 17) falar sobre riscos é falar sobre a identificação de fatores que podem afetar o sucesso de um projeto, da probabilidade desses fatores assumirem valores que possam prejudicar o projeto e das conseqüências destes fatores assumirem aqueles valores em particular. Alencar (2005, p. 18) afirma que fator de risco é qualquer evento que possa prejudicar, total ou parcialmente, as chances de sucesso do projeto, isto é, as chances do

4 226 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos projeto realizar o que foi proposto dentro do prazo e fluxo de caixa que foram estabelecidos. Risco por sua vez é a probabilidade de que um fator de risco venha a assumir um valor que possa prejudicar, total ou parcialmente, as chances de sucesso de um projeto. O risco, portanto, possui três componentes (DINIZ, 2004): Um evento. A probabilidade de ocorrência do evento. O impacto decorrente do evento. Segundo o PMBOK (2004, p.240) o risco se origina da incerteza que está presente em todos os projetos. Keeling (2002, p.53) enfatiza que em todo projeto existe um elemento de risco, sendo alguns elementos de risco mínimo e outros de forte propensão a altos riscos. O Autor frisa que o risco é um processo contínuo e que, portanto, deve ser administrado durante todo o ciclo de vida do projeto. Ainda com relação à gestão de riscos em projetos, cabe aqui enfatizar a importância desse quesito, ainda que de forma sucinta: Muitas organizações desenvolvem, ao longo do tempo, uma cultura na qual aqueles que ousam apontar as incertezas a que todo projeto está naturalmente exposto são taxados de pessimistas ou derrotistas. Esse tipo de organização tende a valorizar os esforços dos heróis de última hora, que trabalham ininterruptamente para finalizar aquilo que deveria ter sido feito dentro do calendário de atividades acordado com o cliente. (ALENCAR, 2005, p.48) Alencar (2005, p. 7) sugere que executivos em posição de decisão devem certificar-se de que seus gerentes de projetos estejam qualificados para lidar com as incertezas associadas aos projetos que gerenciam. No modelo de avaliação quantitativa dos riscos de custos e prazos de um projeto, utilizar-se-á do MMC, cuja técnica consiste em gerar uma grande quantidade de cenários dos possíveis custos ou prazos individuais do projeto e cujo resultado final se dará através da análise da curva de distribuição de probabilidade acumulada do custo ou prazo total do projeto. As variáveis de entrada, ou seja, os custos ou prazos individuais ou parciais devem ser estimados por especialistas e também podem ser aplicadas técnicas específicas para minimizar a margem de erro das estimativas, como por exemplo, a técnica Delphi. O método Delphi de pesquisa tem como característica básica a consulta a especialistas, preservando o anonimato dos entrevistados, porém ao mesmo tempo permitindo a interação entre esses especialistas.

5 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 227 A comunicação entre os membros da equipe de especialistas é feita de forma indireta, justamente para evitar a influência de uns sobre os outros. Isso é particularmente interessante quando os membros da equipe consultada têm diferentes níveis hierárquicos: com essa técnica a opinião do almoxarife e a do gerente passam a ter o mesmo peso. A consulta aos especialistas é feita através de formulários, que após serem respondidos pelos especialistas são analisados e em seguida é verificado se o grupo chegou a um consenso; enquanto o grupo não chegar a um consenso, o mediador fornece ao grupo as estatísticas dos resultados obtidos e um novo questionário é elaborado, visando não desviar dos objetivos do projeto. O processo se repete até que o consenso tenha sido atingido, conforme Figura 1. Figura 1 - Fluxograma Método Delphi. O MMC é iterativo e requer um número de cenários elevado para situar-se dentro de uma margem de erro aceitável. O número de cenários gerados deve ser compatível com a margem de erro esperada e a interpretação da curva de densidade probabilidade acumulada gerada em função desses cenários guiará o gestor de projetos a assumir riscos calculados, ao invés de colocar margens de segurança tanto para prazos quanto para custos que poderiam inviabilizar determinado projeto.

6 228 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos As variáveis aleatórias (randômicas) geradas por métodos computacionais são na realidade variáveis pseudo-aleatórias e serão consideradas válidas para o fim a que se aplica esse trabalho. Uma função que se encaixa muito bem ao modelo de prazos e custos em gestão de projetos é a função de distribuição de densidade triangular e será adotada como padrão para a finalidade a que se destina esse trabalho. Nesse caso (distribuição triangular) os especialistas definem três pontos distintos da distribuição para cada variável de entrada, ou seja, para estimativa dos custos ou prazos individuais ou parciais do projeto: a estimativa do valor mínimo possível (min), o valor mais provável (Mp) e o valor máximo possível estimado (máx). Esses três valores representam a opinião dos especialistas e os cenários possíveis serão gerados aleatoriamente baseados nessas estimativas. É possível também contingenciar determinados custos ou prazos individuais. A contingência de determinado item no custo ou prazo total do projeto está vinculada à probabilidade de ocorrência desse item durante o ciclo de vida de um projeto. O modelo de risco de custo de um projeto parte da premissa que o custo total do projeto será o resultado da soma dos custos individuais. Portanto, seja C o custo total de um projeto e C1, C2,... Cn os custos parciais, o custo total será: C = C1 + C Cn. Numa eventual contingencia, o custo parcial contingenciado terá peso diferenciado em função do grau de contingencia (probabilidade de ocorrência) do mesmo. No modelo de risco de prazo, o prazo final de um projeto não será necessariamente a soma dos prazos individuais ou parciais, mas deverá levar em consideração os prazos envolvidos nas atividades pertencentes ao caminho crítico, também conhecido como CPM (Critical Path Method), que corresponde ao percurso com maior duração da rede de atividades do projeto, Figura 2- Modelo de Risco de Prazo Como podem ser observadas na Figura 2, as variáveis A, B, C, D e E são as tarefas envolvidas num projeto, enquanto TA, TB, TC, TD e TE são os prazos estimados de cada tarefa. Nesse caso o prazo total, T, será dato por:

7 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 229 T = TA + MÁXIMO (TD; TB+TC) + TE, onde a fórmula MÁXIMO retornará o maior valor entre TD e TB+TC. Uma vez definidos os critérios para os possíveis caminhos críticos, o próximo passo é atribuir os valores individuais de cada prazo do projeto (TA... TE), através dos valores min, Mp e max estimados pelos especialistas. O MMC gerará uma grande quantidade de cenários aleatórios baseados nessas estimativas e nos critérios adotados para os possíveis caminhos críticos e o resultado final será uma curva da distribuição de probabilidade acumulada da probabilidade de risco do prazo final do projeto, curva essa em formato de S que deverá ser analisada pelo gestor do projeto que decidirá que risco quer assumir. 3. HISTÓRICO O MMC tem suas origens quando o matemático Stanislaw Ulam, em 1946, ao jogar paciência, resolve questionar quais seriam as chances de sucesso em um jogo com 52 cartas. Ao tentar utilizar de análise combinatória percebeu haver uma alternativa mais prática que seria simular o resultado fazendo inúmeras jogadas e contar os resultados obtidos, porém ainda assim envolvia cálculos demorados, por serem iterativos. Coincidentemente nessa época surge o primeiro computador eletrônico, desenvolvido durante a segunda guerra mundial, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator And Computer). Ulam trabalhou no projeto Manhattan junto com John Von Neumann e Nicholas Metropolis no desenvolvimento da bomba atômica durante a II guerra e incentivou Von Neumann a utilizar métodos de amostragem estatística para solucionar o problema da difusão de nêutrons em material sujeito a fissão nuclear, utilizando o computador. A característica aleatória desse método fez com que Nicholas Metropolis sugerisse o nome de Método de Monte Carlo, em analogia ao famoso cassino. 4. SIMULAÇÃO UTILIZANDO DISTRIBUIÇÃO TRIANGULAR ALEATÓRIA Numa distribuição triangular, a probabilidade de determinado valor x ocorrer corresponde à área do triângulo representado na figura 3:

8 230 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos Figura 3 Função Distribuição Triangular min valor mínimo assumido pela função mp valor mais provável da ocorrência max valor máximo assumido pela função Para o lado esquerdo da distribuição, representada na figura 4, tem-se que: Figura 4 Distribuição triangular acumulada, lado esquerdo min 2 ( x min) x mp ( mp min) (max min) Sendo RN uma variável aleatória, no intervalo min x mp, correspondente ao lado esquerdo da distribuição triangular em relação ao pico (mp), tem-se: RN 2 ( x min) ( mp min) (max min) x min 2 RN mp min max min ( x min) ( RN ) ( mp min) (max min) Portanto: x min ( RN ) ( mp min) (max min) Equação 1 - F.D.P. triangular acumulada aleatória: lado esquerdo Para o lado direito da distribuição, representada na figura 4, tem-se que:

9 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 231 mp x max 1 2 (max x) (max mp) (max min) Figura 5 Distribuição triangular acumulada, lado direito. Sendo RN uma variável aleatória, no intervalo mp x max, correspondente ao lado direito da distribuição triangular em relação ao pico (mp), tem-se: RN 2 (max x) 1 (max mp) (max min) Então, 1 RN 2 (max x) (max mp) (max min) (max x) (1 RN ) (max mp) (max min) Portanto, x max (1 RN ) (max mp) (max min) Equação 2 - F.D.P. triangular acumulada aleatória: lado direito As equações 1 e 2 estão traduzidas em fórmulas padrão Excel e alocadas nas células de C10 a C1010 conforme mostrado na Figura 6.

10 232 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos Figura 6- FormulasFigura 6 - Excel para a FDP triangular acumulada aleatória A célula B7 define o ponto de inflexão da curva triangular, dado por: mp min max min Figura 7: A estrutura das fórmulas utilizadas de B10 a B1010 é mostrada em detalhes na Figura 7 - Estrutura da função SE do Excel para a FDP triangular acumulada aleatória A planilha gera então 1000 números aleatórios através da função ALEATORIO ()1 do Excel e uma distribuição triangular aleatória de 1000 pontos será gerada quando a planilha for alimentada com os parâmetros min, mp e max, conforme mostra a Figura 8:

11 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 233 Figura 8 - Geração de FDP triangular aleatória com mil pontos Uma vez obtida a distribuição triangular aleatória de 1000 pontos, para efeito de visualização gráfica agrupa-se as variáveis aleatórias em 40 intervalos distintos, calculando-se a freqüência acumulada dos intervalos e também a relativa, conforme mostrado na Figura 9: Figura 9 - Cálculo da frequência acumulada e relativa Para se obter os 40 intervalos é necessário definir os pontos mínimo e máximo da distribuição, assim como o tamanho do intervalo. As células F2 e F3 calculam os valores máximo e mínimo da distribuição aleatória, enquanto a célula F4 define o tamanho de cada um dos 40 intervalos. De posse dessas informações, na coluna J têm-se os 40 intervalos da distribuição, na coluna K a freqüência acumulada, através da fórmula FREQÜENCIA (matriz_dados; matriz_bin) do Excel e também a freqüência relativa na coluna L. O gráfico da distribuição aleatória é traçado selecionando-se as colunas J e L, ou seja, com os intervalos na abscissa e freqüência relativa no eixo das ordenadas, conforme mostrado na Figura 10:

12 234 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos Figura 10 - Geração do histograma da FDP aleatória A curva da distribuição aleatória é traçado selecionando-se as colunas J e M, ou seja, com os intervalos na abscissa e P(x<X) no eixo das ordenadas, conforme mostrado na Figura 11: Figura 11 geração da curva da FDP aleatória acumulada

13 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 235 Visto que o gráfico da distribuição triangular aleatória assim como a curva de distribuição de probabilidade acumulada tem um número reduzido de pontos e que nesse caso tem função ilustrativa, recorre-se à função ORDEM.PERCENTUAL2 do Excel para determinar com maior exatidão as probabilidades P(x<X) e P(x>X), onde P(x>X) = 1- P(x<X), conforme mostrado nas células H7 e H8 da Figura 12. Na célula H8 P(x<X) é subtraída de 1-(Px<X) e com isso obtém-se a probabilidade da variável x encontrar-se no intervalo especificado em H7 e H8 Figura 12 Função Ordempercentual2 do Excel Como exemplo, calcula-se a probabilidade de ocorrência entre os valores 13 e 19 na distribuição Triang (10, 15, 25), conforme mostrado na Figura 13: Figura 13 Simulação Triang (10,15,25) aleatória acumulada

14 236 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos A probabilidade de ocorrência de valores entre 13 e 19 pode ser expressa por: P( x 19) P( x 13) 0,760 0,120 0,64 64% 5. DESENVOLVIMENTO DA PLANILHA PARA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO A planilha desenvolvida para aplicação do MMC será doravante denominada planilha SMC. Essa planilha foi dimensionada para permitir até doze variáveis de entrada aleatórias independentes, quatro variáveis auxiliares e duas variáveis de saída. A geração de mil cenários para cada variável independente é feita utilizando-se a planilha de geração de distribuição triangular aleatória desenvolvida anteriormente como apoio. Macros desenvolvidas com o recurso gravar macro copiam os parâmetros mínimo, mais provável e máximo de cada variável de entrada, transportam esses parâmetros para a planilha geradora de distribuição triangular aleatória através da função colar e os mil cenários obtidos são por sua vez copiados dessa planilha de apoio e coladas na planilha SMC, na coluna da entrada correspondente. A macro que desempenha essa função repete esse processo doze vezes consecutivamente, uma vez para cada entrada. Quatro variáveis auxiliares são utilizadas como apoio para fórmulas envolvendo as doze variáveis de entrada. A função das variáveis auxiliares é manipular as variáveis de entrada através de fórmulas e agrupar as informações em blocos, organizando dessa forma o equacionamento do problema: isso é particularmente útil quando se utiliza modelo de riscos de prazo. Nesse caso uma área da planilha é reservada para representação do método do caminho crítico, de forma gráfica. Figura 14 Planilha SMC

15 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 237 Duas variáveis de saída estão disponíveis e são atreladas a dois histogramas e curvas de distribuição de probabilidade acumulada distintos, denominados S1 e S2. As variáveis de saída devem estar vinculadas às variáveis auxiliares, através de fórmulas. Observa-se na Figura 14 uma área reservada às doze entradas (E1... E12); cada variável de entrada é parametrizada com os valores mínimo (min), mais provável (Mp) e máximo (max). A linha intermediária entre as variáveis de entrada (E1.. E12) e os parâmetros de cada entrada corresponde à contingenciação de cada entrada. As quatro variáveis auxiliares encontram-se agrupadas em área separada (A1.. A4), com uma área específica para fórmulas vinculadas às variáveis de entrada. As duas variáveis de saída estão agrupadas em área reservada ao lado das auxiliares e também possuem uma linha para o título de cada saída. Uma variável de saída pode agrupar uma ou mais variáveis auxiliares através de fórmulas. Figura 15 Entradas contingenciadas: distribuição de Bernoulli As entradas de dados podem ser contingenciadas e para isso é utilizada a distribuição de Bernoulli, alocada nas células adjacentes à direita das células que compõem os mil cenários gerados, como mostrado na Figura 15. Uma macro copia os valores contingenciados na distribuição de Bernoulli e retroalimenta as células de entrada.

16 238 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos 6. ESTUDO DE CASO Projeto de Construção Alencar (2005, p.161) Baseado nas estimativas parciais de duração de cada etapa de um projeto de construção, o diretor de uma empreiteira deve estimar o prazo total do projeto, assumindo um risco de 15%. A Tabela 1 mostra as durações, em dias, de cada etapa desse projeto: Tabela 1 - Projeto de Construção. Duração (em dias) Tarefa Descrição Predecessora Min MP Max A Obter Materiais B Obter Mão-de-Obra C Escavar D Colocar Fundação C E Construir Estrutura B,D F Instalação Hidráulica E G Instalação Elétrica E H Acabamento Interior F,G I Acabamento Exterior F J Limpeza Local H,I Fonte: Alencar (2005, p.161). Um primeiro estudo será feito utilizando-se as ferramentas de análise PERT (Program Evaluation and Review Technique) do aplicativo MS Project da Microsoft Corporation, vide Figura 16: Figura 16 Ferramentas PERT do MS Project 2007 Os pesos dos cenários otimista, esperado e pessimista são, por default, 1, 4 e 1 respectivamente, conforme mostrado na figura 17:

17 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 239 Figura 17 Níveis de importância para os cálculos PERT do MS Project 2007 Alimentando-se o MS Project com os dados estimados para as durações individuais de cada etapa do projeto e considerando-se os pesos para cada cenário obtémse a duração total do projeto, demonstrada na figura 18: Figura 18 Planilha de entrada PERT do MS Project 2007 O MS Project calcula a duração de cada etapa multiplicando as durações otimista, esperada e pessimista por seus respectivos pesos, somando-as e em seguida dividindo o resultado dessa soma pelo valor da soma dos pesos. Por exemplo, na etapa B Contratar mão-de-obra, a duração é calculada como demonstrado na equação 3: dias Equação 3 cálculo de duração x níveis de importância PERT A duração total do projeto é a soma das durações das etapas. O caminho crítico, ou CPM, é mostrado no Gantt de controle do MS Project, conforme figura 19:

18 240 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos Figura 19 Gantt de controle do MS Project 2007 A ferramenta PERT Chart Expert da Critical Tools Inc. propicia melhor visualização gráfica, conforme mostrado na figura 20: Figura 20 Pert view 1 do PERT Chart Expert 2.5 Nessa etapa tanto o Gantt de controle do MS Project quanto o PERT Chart Expert oferecem ao gestor do projeto não apenas uma estimativa do prazo, mas também uma visão detalhada de cada etapa com o caminho crítico em destaque, de extrema importância para acompanhamento da obra e tomada de decisões. Ocorre que não foi observada a questão do risco a ser assumido, tido como premissa para que diretor da empreiteira corresse um risco calculado. Nesse caso utilizarse-á da planilha SMC, mostrada na figura 21:

19 Nilton Roberto dos Santos Machado, Alessandre Oliveira Ferreira 241 Figura 21 projeto de construção estudo de caso As células de entrada E1.. E10 são alimentadas com as informações das durações de cada etapa, enquanto nas células denominadas Auxiliares são inseridas as fórmulas Excel que irão delinear o caminho crítico através da função MÁXIMO do Excel. Uma das duas saídas da planilha é utilizada, no caso a saída S1. A planilha também comporta uma área logo acima das células auxiliares para que uma figura seja inserida, permitindo verificar quais etapas são precedentes ou sucessoras, facilitando assim a inserção das fórmulas e posterior entendimento das mesmas. A simulação gerará mil cenários, com as dez entradas variando aleatoriamente, gerando dessa forma mil caminhos críticos aleatórios. Essas informações são agrupadas em intervalos e um histograma é gerado, originando uma curva de densidade de probabilidade acumulada, que representa a probabilidade de determinado valor encontrar-se acima ou abaixo de um intervalo de confiança escolhido. No caso do projeto de construção em análise, observa-se que para o risco de 15% a ser assumido pelo diretor da empreiteira, o prazo estimado para o projeto é de 236 dias, divergindo substancialmente dos 186 dias previstos pelo MS Project. De fato, se os 186 dias previstos com o uso do MS Project forem analisados utilizando-se a curva de densidade probabilidade gerada pela planilha, constata-se que

20 242 Método de simulação de Monte Carlo em planilha Excel: desenvolvimento de uma ferramenta versátil para análise quantitativa de riscos em gestão de projetos esses 186 dias representam praticamente 15% de chances de sucesso e 85% de fracasso, ou seja, exatamente o oposto do desejado. Para aproximar as estimativas de ambas as ferramentas, uma alternativa seria alterar os pesos previstos para os níveis de importância otimista, esperado e pessimista do MS Project, de para 1-3-2, tornando o cenário um pouco mais pessimista. Dessa forma o prazo total estimado pelo MS Project será de 217 dias, o que representaria, pela análise da curva gerada pela planilha apenas 61% de probabilidade de ocorrer nesse prazo. A próxima alternativa seria então alterar os níveis de importância para 1-2-3, reforçando ainda mais o cenário pessimista e obtendo-se assim um prazo total estimado de 247 dias, que analisado pela curva gerada pela planilha representaria uma probabilidade de 93% de sucesso, ou seja, 93% de probabilidade de que o projeto seja concluído dentro do prazo estimado. Essa divergência entre ambos os métodos é confirmada a seguir: É muito importante ressaltar que o fato do prazo de conclusão do projeto obtido na simulação ser maior que o previsto pelo método CPM não é uma mera coincidência. Na maioria dos casos, as datas de conclusão geradas por métodos determinísticos como o CPM são otimistas (SCHUYLER, 2001). Mesmo quando as estimativas de durações são elaboradas cuidadosamente (GALVÃO, 2005). Uma vez que o MMC alterna aleatoriamente o caminho crítico centenas de vezes, a análise indutiva da simulação estocástica pelo método probabilístico torna a tomada de decisão mais consciente que a análise dos dados gerados pelo método determinístico do CPM, devido às próprias incertezas inerentes aos projetos. O método nos ajuda a construir um mundo hipotético em cada simulação, que representa um cenário para um mundo possível com determinada probabilidade de ocorrência (GALVÃO, 2005). Finalizando, a divergência de estimativas de término do projeto entre os dois métodos tem origem na variância aleatória : Quando as durações das atividades são substituídas por distribuições de probabilidades, a data esperada para o término da conclusão do projeto tende a ser maior que a data calculada no enfoque determinístico. Em outras palavras, quando o risco do projeto não é considerado, as estimativas de prazo e custo tendem a ser otimistas e isso contribui para o fato de que um grande número de projetos demora mais e custa mais