Funções materiais. 8 de Março de Funções materiais

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1 8 de Março de 27

2 Sumário

3 Introdução Fluido newtoniano (τ = µ γ) do ponto de vista reológico, a viscosidade µ é a única propriedade do material de interesse, qualquer que seja a cinemática Fluidos não newtonianos cada cinemática fornece informações diferentes sobre o comportamento mecânico do material Estas informações são apresentadas na forma de funções materiais cada cinemática define um conjunto diferente de funções materiais Os argumentos destas funções são grandezas físicas inerentes à cinemática correspondente (ex: taxa de cisalhamento, freqüência, tempo de cisalhamento, etc)

4 Definições x 2 h A U(t) F(t) γ(t)=u(t)/h campo de velocidade v = γ(t)x 2 ê 1 x 1 campo de tensão [T ] = grandezas mensuráveis p + τ 11 τ 21 τ 21 p + τ 22 p + τ 33 τ(t) τ 21 N 1 (t) τ 11 τ 22 N 2 (t) τ 22 τ 33 tensão cisalhante 1 a diferença de tensões normais 2 a diferença de tensões normais

5 Principais tipos de esc simples de cisalhamento x 2 x 1 U(t) F(t) γ(t)=u(t)/h A h Cada função γ(t) ou τ(t) define um escoamento diferente escoamento impõe-se medem-se permanente γ(t) = γ o τ( ), N 1 ( ), N 2 ( ) oscilatório γ(t) = γ o cos(ωt) τ(t), N 1 (t), N 2 (t) transiente inicial γ(t) = γ o H(t) τ(t), N 1 (t), N 2 (t) transiente após parar γ(t) = γ o (1 H(t)) τ(t), N 1 (t), N 2 (t) fluência (creep) τ(t) = τ o H(t) γ(t) e γ(t) H(t) é a função degrau de Heaviside

6 Escoamento permanente γ(s -1 ) impõe-se γ o τ(pa) resposta Gγ o t hookeano μγ o newtoniano e viscoelástico funções materiais viscosidade η( γ o ) τ( γ o, )/ γ o 1 o coeficiente de tensões normais Ψ 1 ( γ o ) N 1 ( γ o, )/ γ 2 o 2 o coeficiente de tensões normais Ψ 2 ( γ o ) N 2 ( γ o, )/ γ 2 o

7 Comportamento típico de η( γ) 1 6 η(pas) newtonianos poliméricos pastas n - 1 n γ(s -1 )

8 Comportamento típico de Ψ 1 ( γ) e Ψ 2 ( γ) ψ 1 ou -ψ 2 (Pas 2 ) 1 Para fluidos poliméricos ψ 1 1 -ψ γ(s -1 ) Para fluidos newtonianos e puramente viscosos, Ψ 1 = Ψ 2 = Para fluidos poliméricos, Ψ 2 = cψ 1, onde 1 < c < 25

9 Escoamento oscilatório de baixa amplitude γ(s -1 ) impõe-se γ(t) = γ o cosωt γ o newtoniano hookeano resposta τ(pa) viscoelástico: τ(t) = G'(ω)γ o sinωt + G"(ω)γ o cosωt funções materiais módulo de armazenamento módulo de dissipação G (ω) G (ω)

10 Comportamento típico de G (ω) e G (ω) G', G" (Pa) ω (s -1 ) log x log Para fluidos newtonianos e puramente viscosos, G =

11 Escoamento transiente inicial impõe-se γ(s -1 ) γ(t) = γ o H(t) γ o τ(pa) resposta hookeano newtoniano viscoelástico Gγ o t μγ o funções materiais viscosidade transiente η + ( γ o, t) τ( γ o, t)/ γ o 1 o coef tensões normais transiente Ψ + 1 ( γ o, t) N 1 ( γ o, t)/ γ 2 o 2 o coef tensões normais transiente Ψ + 2 ( γ o, t) N 2 ( γ o, t)/ γ 2 o

12 Comportamento típico de η + ( γ o, t) η + (γ o,t)/η(γ o ) 1 γ o crescente newtoniano viscoelástico Para fluidos newtonianos e puramente viscosos, η + ( γ o, t) = η( γ o )

13 Escoamento transiente após parar γ o impõe-se γ(s -1 ) γ(t) = γ o (1-H(t)) τ(pa) resposta viscoelástico newtoniano hookeano funções materiais viscosidade transiente η ( γ o, t) τ( γ o, t)/ γ o 1 o coef tensões normais transiente Ψ 1 ( γ o, t) N 1 ( γ o, t)/ γ 2 o 2 o coef tensões normais transiente Ψ 2 ( γ o, t) N 2 ( γ o, t)/ γ 2 o

14 Comportamento típico de η ( γ o, t) η - (γ o,t)/η(γ o ) 1 γ o crescente viscoelástico newtoniano Para fluidos newtonianos e puramente viscosos, η ( γ o, t) =

15 Escoamento de fluência impõe-se τ(pa) τ(t) = τ o H(t) τ o γ() resposta viscoelástico (τ o /μ)t newtoniano γ o hookeano τ o /G funções materiais creep compliance J(τ o, t) γ(τ o, t)/τ o 1 o coef tensões normais de creep Ψ c 1 (τ o, t) N 1 (τ o, t)/ γ(τ o, t) 2 2 o coef tensões normais de creep Ψ c 2 (τ o, t) N 2 (τ o, t)/ γ(τ o, t) 2

16 Comportamento típico de J(τ o, t) J(Pa -1 ) log x log incl = 1 J e =γ o /τ o incl = resposta elástica resposta viscosa γ o é a deformação recuperável, e J e é a compliance de equilíbrio

17 Definições campo de velocidade { v = ε(t) x 3 ê 3 1 } 2 [(1 + b)x 1ê1 + (1 b)x 2 ê 2 ] x 1 x 3 campo de tensão [T ] = p + τ 11 p + τ 22 p + τ 33 grandezas mensuráveis τ 33 τ 11 1 a diferença de tensões normais τ 22 τ 11 2 a diferença de tensões normais

18 Principais tipos de escoamento elongacional x 1 { v = ε(t) x 3 ê 3 1 } 2 [(1 + b)x 1ê1 + (1 b)x 2 ê 2 ] x 3 Cada escolha de (b, ε(t)) define um tipo diferente de escoamento elongacional escoamento valor de b sinal de ε(t) elongacional uniaxial b = ε(t) > elongacional biaxial b = ε(t) < elongacional planar b = 1 ε(t) qualquer

19 Escoamento permanente impõe-se ε(t) = ε o por muito tempo, até o regime permanente (a tensão torna-se independente do tempo) η(ε o )/η(γ o ) 3 resposta log x log newtoniano ε o (s -1 ) funções materiais 1 a viscosidade elongacional η 1 ( ε o, b) (τ 33 τ 11 )/ ε o 2 a viscosidade elongacional η 2 ( ε o, b) (τ 22 τ 11 )/ ε o quando b =, η 1 ( ε o, ) η( ε o ) é a viscosidade elongacional uniaxial

20 Escoamento transiente inicial impõe-se ε(t) = ε o H(t) η(ε o,t)/η(γ o ) ε o crescente resposta 3 log x log ε o t constante funções materiais 1 a viscosidade elongacional transiente η 1 ( ε o, b, t) (τ 33 τ 11 )/ ε o 2 a viscosidade elongacional transiente η 2 ( ε o, b, t) (τ 22 τ 11 )/ ε o quando b =, η 1 ( ε o,, t) η( ε o, t) é a viscosidade elongacional uniaxial transiente