Viscosidade do sangue

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1 Viscosidade do sangue PJ Oliveira (UBI, Novembro 29) O sangue é uma suspensão de células (eritrócitos, leucócitos e trombócitos) em plasma As células que existem em maior quantidade são os eritrócitos, ou glóbulos vermelhos, sendo determinantes para definir as propriedades reológicas do sangue A sua concentração volumétrica, o hematócrito H, varia consoante a temperatura e o estado de saúde da pessoa, mas ronda os H = 42 45% em situação normal O sangue comporta-se como um fluido não newtoniano, sobretudo para valores baixos da taxa de deformação ( γ < 1 s -1 ) e quando circula em vasos de pequenas dimensões ( d 1mm) Neste último caso o cariz bifásico da suspensão, plasma com 45% de glóbulos vermelhos, torna-se notório Isto acentua-se ainda mais quando o diâmetro dos vasos é da mesma ordem de grandeza das dimensões dos glóbulos vermelhos ( d = 8µ m) como acontece nos capilares Reofluidificação gv Para se contabilizar o efeito de reofluidificação do sangue, ou seja, a diminuição da viscosidade η com o aumento da taxa de deformação γ, usam-se modelos não newtonianos inelásticos (sem elasticidade), também designados por modelos GNF (Generalized Newtonian Fluid) Existem vários modelos empíricos deste tipo, e um deles é o modelo de arreau-yasuda, definido pela equação: n 1 ( ) a a ( ) η( γ) = η + η η 1+ λγ Esta equação tem 5 parâmetros independentes que, para o caso do sangue, tomam os valores: Viscosidade para taxa de corte nula: η = 56 Pas Viscosidade para taxa de corte infinita: η = 345 Pas Parâmetro Yasuda: a = 2 Tempo característico: λ = 3313 s Expoente: n = η(γ) (Ns/m 2 ) Fig 1 Variação da viscosidade do sangue, modelo arreau-yasuda - 1 -

2 A Figura 1 mostra a variação da viscosidade em função da taxa de deformação de corte prevista pelo modelo de arreau-yasuda Para taxas de deformação baixas a viscosidade é constante e igual ao valor de η A partir de um certo valor de γ, dado aproximadamente pelo inverso do tempo característico 1/ λ (1/ 313 = 31/s), a viscosidade começa a decair segundo uma taxa determinada pelo expoente n Quanto menor for n, maior é a inclinação da variação da viscosidade em função de γ, a qual é dada por (1 n) em representação loglog Da definição do coeficiente de viscosidade de corte, obtém-se a tensão de corte: τ = ηγ A sua variação em escala logarítmíca é mostrada na Figura 2 Observa-se que para valores elevados da taxa de corte a tensão vai aumentando linearmente, o que é característico do comportamento newtoniano (τ µγ =, µ constante) 1 1 τ(γ) (N/m 2 ) Fig 2 Tensão de corte em função da taxa de deformação para modelo arreau-yasuda A reofluidificação é mostrada de forma mais efectiva num gráfico em escala linear, como o da Figura 3, que dá a tensão de corte do modelo arreau-yasuda com os mesmos parâmetros dados acima A diminuição do aumento da tensão de corte à medida que a taxa de deformação aumenta é agora notória, sobretudo para baixos valores de γ Fica também claro que este modelo não tem tensão de cedência, uma vez que a tensão de corte tende para zero quando γ - 2 -

3 1 8 τ(γ) (N/m 2 ) Fig 3 Tensão de corte versus taxa de corte em escala linear: modelo arreau-yasuda Reofluidificação Efeitos de hematócrito e temperatura Quando as taxas de deformação são elevadas, o sangue pode considerar-se como uma suspensão de partículas num fluido newtoniano Einstein deduziu uma equação que dá a viscosidade da suspensão quando as partículas são esféricas e a sua concentração volumétrica φ é pequena ( φ 5) e que, quando aplicada ao sangue, se escreve: 1 η = η P 1 αφ Aqui η é a viscosidade do sangue, η P é a viscosidade do plasma ( ηp (12 18) ηagua; 3 η P Pas a 37º) e α é um parâmetro que depende da forma geométrica das partículas, sendo α = 25 para esferas como na lei de Einstein Para valores mais elevados de concentração φ, ou seja do hematócrito H = 1φ no caso do sangue, este parâmetro varia não só com a própria concentração mas também com a temperatura A seguinte correlação empírica permite obterα numa gama limitada de concentrações: 117 α = 76 exp 249φ + T( K) e 169φ para 5 φ 6 A Figura 4 mostra a variação de viscosidade do sangue prevista com este modelo, onde se usou para viscosidade do plasma o valor acima indicado (124 Pas) e para temperatura o valor normal do corpo humano, 37º, ou seja T = 31 K Verifica-se que a viscosidade aumenta exponencialmente com o aumento do hematócrito, até valores de H = 6% ( φ = 6) que correspondem já a estados patológicos (policitemia) Na gama normal de valores do hematócrito, quando H passa de 4 para 5%, a viscosidade aumenta de 28% Este aumento de viscosidade implica trabalho adicional para bombear o sangue Por outro lado, quando a temperatura sobe de 37º para 4º, com H = 45% constante, a viscosidade decresce de 2% - 3 -

4 5 viscosidade (Ns/m 2 ) Hematócrito (%) Fig 4 Variação da viscosidade do sangue em função do hematócrito (concentração volumétrica dos glóbulos vermelhos), para temperatura de 37º Tensão de edência Quando o sangue está em repouso, existe tendência para os glóbulos vermelhos se aglomerarem formando estruturas Estas estruturas opõem-se ao movimento quando uma tensão relativamente pequena é aplicada Por isso o sangue é um fluido que apresenta tensão de cedência, isto é, uma tensão abaixo da qual o sangue não se deforma Um modelo GNF incorporando tensão de cedência e que tem sido muito utilizado para descrever a viscosidade do sangue é o modelo de asson, definido pelas equações: = + se τ τ τ τ η γ γ = se τ τ A tensão de cedência τ depende do hematócrito, assim como o coeficiente de viscosidade da asson η Usando os valores τ = 18 Pa e η = 276Pas fornecidos na literatura, obtém-se a variação da viscosidade apresentada na Figura 5, comparada com a do modelo arreau-yasuda dado acima Observa-se que para γ 3s -1, quando a reofluificação do sangue começa a ser mais acentuada, os valores de viscosidade dados pelos dois modelos são muito próximos Para valores mais baixos da taxa de corte a viscosidade prevista pelo modelo de asson continua a aumentar enquanto a prevista pelo modelo de arreau tende para um patamar definido pela viscosidade a taxa de deformação nula η - 4 -

5 1 η(γ) (Ns/m 2 ) arreau-yasuda asson Fig 5 Modelo de asson, variação da viscosidade Nessa altura a tensão é próxima da tensão de cedência e o valor da viscosidade deixa de ter relevância uma vez que, para essa gama de deformações, se tem aproximadamente γ = Isto torna-se claro no gráfico da variação da tensão com a taxa de deformação da Figura 6 Para γ 1s -1 tem-se τ 1Pa τ e o modelo de asson implica comportamento de sólido indeformável 1 1 arreau asson τ(γ) (N/m 2 ) Fig 6 Modelo de asson, variação da tensão de corte A variação da tensão de cedência com o hematócrito é correlacionada pela seguinte expressão (Merril et al, Biophysical J, 3 (1963) ; nota: hematócrito em percentagem): 1/3 ( ) A( H H ) τ = (din/cm 2 ), com 5 H = e A = ( 8 ± 2) - 5 -

6 Na verdade o valor do hematócrito H acima do qual começa a haver tensão de cedência pode variar entre H = Nota 1 din/cm 2 = 1Pa (Pa=N/m 2 ) Para H = 45 e H =, esta expressão dá uma tensão de cedência de ( ) 3 5 τ = 8 4 = 33 din/cm 2 = 33 Pa = 33mPa Para um valor normal de hematócrito, H = 45, a gama de variação da constante A da correlação conduz a uma variação da tensão de cedência entre τ = 1 Pa e τ = 64 Pa (1 e 6 mpa) A correlação acima pode escrever-se em MKS: ( ) 3 τ = 512 φ φ mpa com φ = 5 Existem expressões semelhantes a esta na literatura, mas sem utilizar o valor mínimo do hematócrito abaixo do qual não ocorre tensão de cedência Por exemplo (Picart et al, J Rheol 42 (1998) 1-12): τ = 2687( φ ) 3 mpa Para φ = 45 esta expressão dá τ = 24 mpa Outra expressão encontrada na literatura (Das et al, Biorheology 37 (2) ) é: ( τ ) 1/2 α/2 1 = β 1 1 φ din/cm 2 com: α = 2 e β = 3315 para sangue humano; e α = 1621 e β = 627 para sangue de gato No caso de sangue humano, para um hematócrito de H = 45, φ = H/1 = 45, vem τ = 74 N/m 2 = 74mPa - 6 -

7 ANEXOS 1 Programa para calcular a viscosidade de corte dos modelos de arreau-yasuda e asson program GNFVIS PREPARE SHEAR VISOSITY FOR ARREAU AND ASSON MODELS in simple shear OPEN(1,FILE='gnfvisdat') Dados partida para modelo arreau, vis=visinf+(vis-visinf)*(1+(al*gam)**a)**((n-1)/a) AL=3313 VISINF=345 VIS=56 A=2 Dados partida modelo asson tau**1/2=tauy**1/2+(kc*gam)**1/2 TAUY=18 AK=276 print *,' AN?' read(*,*) AN AN1=AN-1 Gama de texas de corte GAM1=1E-2 GAM2=1E4 NGAM=2 gl1=alog1(gam1) gl2=alog1(gam2) DGAM=(gl2-gl1)/float(ngam) GLAM=GL1 DO 1 I=1,NGAM GAM=1**(GLAM) Modelo arreau viscosidade e tensao corte VIS=VISINF+(VIS-VISINF)*(1+(AL*GAM)**A)**(AN1/A) TXY=VIS*GAM Modelo asson: tensao corte e viscosidade TAU=(SQRT(TAUY)+SQRT(AK*GAM))**2 VIS=TAU/GAM Escrever no ficheiro gnfvisdat WRITE(1,1) GAM,VIS,TXY,VIS,TAU GLAM=GLAM+DGAM 1 ONTINUE 1 FORMAT(2(1PE13,3X)) STOP END 2 Programa para calcular a viscosidade em função do hematócrito program GNFVIS2 PREPARE SHEAR VISOSITY FOR BLOOD in simple shear, FUNTION OF HEMATORIT OPEN(1,FILE='gnfvis2dat') T=31 VIS=124E-3 RANGE OF H H1= H2=6 NGAM=2 DH=(H2-H1)/float(ngam) H=H1 DO 1 I=1,NGAM+1 A=76*EXP(249*H+117/T*EXP(-169*H)) VIS=VIS*(1/(1-A*H)) WRITE(1,1) H*1,VIS,A H=H+DH 1 ONTINUE 1 FORMAT(2(1PE13,3X)) STOP END - 7 -