Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas submetidas a compressão

Transcrição

1 Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas submetidas a compressão Gonçalo Rebelo da Silva Andrade e Sousa Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Orientadores Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Júri Presidente: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro Vogais: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Professor Doutor Luís Manuel Calado de Oliveira Martins Novembro de 215

2 ii

3 Agradecimentos Gostava de agradecer, em primeiro lugar, aos professores doutores Dinar Camotim e Pedro Borges Dinis por toda a ajuda, pela paciência e disponibilidade demostrada e por toda o conhecimento que partilharam comigo. Agradeço também aos meus pais, por toda a paciência e encorajamento dado ao longo dos anos. E, por fim, agradeço a todos os colegas e amigos com quem tive o prazer de partilhar estes anos no Instituto Superior Técnico. iii

4 Resumo A presente dissertação apresenta um estudo sobre o comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas de abas iguais submetidas a compressão concêntrica. Começam-se por rever alguns conceitos de estabilidade, fundamentais para a compreensão do comportamento destes elementos, e o trabalho realizado por alguns investigadores no domínio da estabilidade, pós-encurvadura e resistência última de cantoneiras e cantoneiras reforçadas. Faz-se ainda referência ao dimensionamento de colunas pelo Método da Resistência Directa (MRD) e a curvas alternativas propostas por outros autores. Apresenta-se uma análise linear de estabilidade, para colunas com diversas condições de apoio e para diferentes características geométricas da secção transversal, com o objectivo de recuperar os resultados obtidos por outros autores em estudos semelhantes e estudar os modos e tensões críticas associadas à instabilidade das colunas estudadas. Avalia-se também, através de trajectórias de equilíbrio, deslocamentos, distribuições de tensões e deformações plásticas e deformadas da secção, o comportamento física e geometricamente não-linear de colunas biencastradas com imperfeições geométricas iniciais correspondentes à configuração deformada do modo crítico. Ao longo das análises, é discutida a influência do reforço no comportamento e resistência das cantoneiras. Finalmente, comparam-se valores obtidos para a resistência última (através do programa ABAQUS) de colunas biencastradas com as resistências estimadas através do Método da Resistência Directa. Palavras-chave: Cantoneiras reforçadas com abas iguais, Análise de Estabilidade, Colunas Encastradas, Resistência última e dimensionamento, Método da Resistência Directa. iv

5 Abstract This master s thesis presents a study on the behaviour and design of concentrically compressed equal leg lipped angles. This work starts off with the revision of some important concepts related to structural stability and of the research work of several authors on the stability, post-buckling and resisting capacity of plain and lipped steel angles. References are made to the design of columns by the Direct Strength Method (DSM) and alternative expressions proposed by other authors. A linear stability analysis on columns with different boundary conditions and cross-section properties are presented with the goal of observing some already known results and assessing critical modes and stresses associated with the buckling of those members. Equilibrium paths, displacements, stress and plastic strain distributions are also used to evaluate the physical and geometrically non-linear behaviour of fixed-ended columns with critical mode based imperfections. Throughout the mentioned analysis, the influence of the lip on the behaviour and resistance of angles is discussed. Finally, ultimate stresses (obtained through ABAQUS) of fixed-ended columns are compared to the estimates provided by the Direct Strength Method. Keywords: Equal leg lipped angles, Buckling analysis, Fixed-ended columns, Ultimate behaviour and design, Direct Strength Method. v

6 Índice 1. Introdução Enquadramento geral Motivação e objectivos Organização da dissertação Estado da Arte Introdução Fenómenos de estabilidade Estabilidade de estruturas laminares Carga crítica de placas longas Pós-encurvadura de placas perfeitas Dimensionamento de elementos localmente esbeltos largura efectiva Instabilidade flexo-torsional Torção uniforme e não-uniforme Carga crítica de flexão-torção Comportamento e dimensionamento de cantoneiras Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio Comportamento de pós-encurvadura de colunas Importância dos deslocamentos no canto da secção Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura Dimensionamento através do Método da Resistência Directa Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas Estudos numéricos Estudos experimentais Influência das condições de apoio Dimensionamento pelo Método da Resistência Directa Conclusões Comportamento de estabilidade Introdução Análise com base na teoria generalizada de vigas Teoria generalizada das vigas Secção analisada e notação Modos e cargas críticas Estudo paramétrico vi

7 Modo distorcional Tensão crítica Análise linear de estabilidade de colunas biencastradas Análise linear de estabilidade de colunas encastradas-apoiadas Influência da espessura na estabilidade de cantoneiras reforçadas Comportamento de pós-encurvadura Introdução Análise por elementos finitos Escolha dos perfis a analisar Modelação por elementos finitos Análises efectuadas e notação Análise de pós-encurvadura elástica Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo de flexão-torção Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo local Deslocamentos no canto da secção Distribuição de tensões na secção Análise de pós-encurvadura elasto-plástica Análise de colunas l2l6 e l2l Análise das colunas l22l6 e l22l Resistência última e dimensionamento Introdução Resistência última de cantoneiras reforçadas Elementos estudados Variação f u /f y vs λ Dimensionamento de cantoneiras reforçadas Conclusões Introdução Comportamento de estabilidade Comportamento de pós-encurvadura Dimensionamento de cantoneiras reforçadas Desenvolvimentos futuros Referências bibliográficas Anexos ANEXO A ANEXO B ANEXO C vii

8 1. Efeito do aumento do comprimento Efeito do aumento do lip ANEXO D ANEXO E ANEXO F viii

9 ÍNDICE DE FIGURAS Figura Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a quente)... 1 Figura Geometria de cantoneiras reforçadas... 2 Figura Modo de instabilidade de uma placa longa ([15])... 6 Figura Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15]) 7 Figura Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11])... 7 Figura Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e reserva elasto-plástica ([11])... 8 Figura Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas ([11])... 9 Figura Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular "fina" ([14])... 1 Figura Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (21) Figura TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das colunas F 3 e F 9 ([5]) Figura TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e F9 ([5]) Figura Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de colunas FR e FP ([5]) Figura Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5]) Figura Trajectória de equilíbrio P/P cr vs d M /t e P/P cr vs d m /t de F 3, F 6 e F 9 ([5]) Figura Perfil longitudinal de d M /t e d m /t para diferentes níveis de carga de F 3, F 6 e F 9 ([5]) Figura TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e mecanismos de colapso A e B ([6])... 2 Figura Cargas de colapso para diferentes secções com deslocamentos dm continuamente impedidos ([6]) Figura Estudo paramétrico de uma cantoneira, para uma única semionda e valores do reforço de a 5% da aba ([7]) Figura Resultados das cargas de colapso e críticas fazendo variar as condições de apoio de cantoneiras reforçadas ([7])... 3 Figura Modos de deformação do GBTUL para uma cantoneira reforçada Figura Curva de estabilidade para uma coluna simplesmente apoiada comprimida e para uma única semionda na função de aproximação da deformada Figura Participação dos modos de deformação na encurvadura de cantoneiras para relações reforço/aba de 2% e 4% Figura Curvas P cr (L) para dois modos de encurvadura e diferentes valores da relação reforço/aba Figura Modos de deformação do 2º modo de encurvadura, para valores da relação reforço/aba iguais a 2% e 4% Figura Diferença de configurações deformadas da secção entre o modo crítico (esquerda) e modo distorcional não-crítico (direita) ix

10 Figura Curva de estabilidade para uma secção com reforço de 14 mm Figura Curvas de estabilidade de colunas biencastradas para diferentes valores do reforço... 4 Figura Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros Figura Participação de modos em coluna biencastrada para uma cantoneira "simples" e uma cantoneira com um reforço de 1 mm Figura Curva de estabilidade para colunas encastradas-apoiadas com diferentes secções Figura Participação de modos de colunas encastradas-apoiadas para reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros Figura Impacto do aumento de t na curva de estabilidade de uma cantoneira com 12 milímetros de reforço Figura Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas. 48 Figura Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF discretizada Figura Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS Figura Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado Figura TPE de uma cantoneira com reforço de 2 milímetros para L variável Figura TPE de coluna com 25 milímetros de comprimento, para l variável Figura TPE de várias cantoneiras reforçadas com modo crítico de flexão-torção Figura TPE de cantoneiras "simples" e reforçadas para várias colunas, com modo crítico de flexão-torção Figura 4.9- TPE de colunas com modo crítico local Figura Perfil longitudinal de deslocamentos do nó central da aba, para diferentes níveis de carregamento, da coluna l22l Figura Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na maior inércia de coluna l6l Figura Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na menor inércia de coluna l6l Figura Distribuição de tensões na secção de colunas l12l35 e 18L94 para diferentes níveis de carregamento Figura Trajectória de equilíbrio geometrica e fisicamente não-linear da coluna l2l6. 63 Figura Trajectória de equilíbrio geométrica e fisicamente não-linear da coluna l2l Figura TPE elasto-plástica de coluna l2l6, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos Figura TPE elasto-plástica de coluna l2l25, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos Figura TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22l6 para diferentes níveis de plasticidade Figura TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22l1 para diferentes níveis de plasticidade Figura TPE elasto-plástica de coluna l22l6, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos x

11 Figura TPE elasto-plástica de coluna l22l1, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos Figura Relação entre tensão última e tensão de cedência dos perfis ensaiados... 7 Figura 5. 2 Resistência f u /f nle para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção e em modos locais Figura Resistência f u /f nfte para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção (proposta de Dinis e Camotim 214) xi

12 ÍNDICE DE TABELAS Tabela Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11]) 6 Tabela Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga crítica das colunas F 3, F 6 e F 9 ([5])... 2 Tabela Características geométricas e mecâncias dos perfis ensaiados por Young ([8],[9]) 26 Tabela Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras reforçadas ([9]) Tabela Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras simples ([8]) Tabela Valor de P cr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas simplesmente apoiadas ([7]) Tabela Valor de P cr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas biencastradas ([7]) Tabela Relação entre cargas de encurvadura do dois primeiros modos de encurvadura da solução analítica Tabela Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas Tabela Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas Tabela Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com modo crítico local Tabela Factor de redução e comprimento efectivo de várias secções Tabela Relação entre a constante de empenamento primário e secundário de várias secções Tabela Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l2l6 e l2l Tabela Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l22l6 e l2l xii

13 h, b - Comprimento da aba da cantoneira l Comprimento do reforço da cantoneira t - Espessura da cantoneira σbt, fbt - Tensão crítica torsional f cre - Tensão crítica de Euler σcr,l, f crl Tensão crítica local σcr,ft, f crft - Tensão crítica flexo - torsional ÍNDICE DE SÍMBOLOS f u Tensão última obtida através de análises numéricas f nl Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso local f ne Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso global f nle - Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso com interacção local-global f nfte - Tensão de dimensionamento de cantoneiras com modo de instabilidade flexo torsional x cc - Distância do centróide ao centro de corte K - Coeficiente de instabilidade φ Ângulo de torção d M - Deslocamentos no eixo da maior inércia d m Deslocamentos no eixo da menor inércia P x Carga crítica de flexão na maior inércia P φ Carga crítica de torção P cr,ft Carga crítica de flexão-torção Δ - Variável adimensional que traduz a % de participação do modo de deformação de flexão em torno da maior inércia no modo de deformação flexo - torsional ρ Factor de redução da área efectiva β - Variável adimensional que traduz o efeito do centróide efectivo no carregamento último de cantoneiras concentricamente carregadas; rotação de torção δ Deslocamentos no centro da aba λl Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade locais xiii

14 λft Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade flexo-torsionais λc Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade globais L Comprimento da coluna Γ Constante de empenamento I Inércia polar da secção J Constante de torção de Saint Venant A Área da secção xiv

15 ÍNDICE DE ABREVIATURAS F- Colunas encastradas PC - Colunas de apoio cilíndrico com a flexão em torno da menor inércia libertado PS - Colunas de apoio esférico MRD Método da Resistência Directa TPE Trajectórias de Pós-encurvadura FT - Flexo - torsional f 2 Flexão na maior inércia f 3 Flexão na menor inércia xv

16 xvi

17 1. Introdução 1.1. Enquadramento geral A presente dissertação, realizada no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil, pretende, por um lado, rever e aplicar ideias desenvolvidas por diversos autores no domínio da estabilidade de cantoneiras e, por outro lado, fornecer novos resultados e contribuir para o conhecimento nessa mesma área de estudo. As cantoneiras são elementos estruturais, usualmente de aço, cuja secção transversal é constituída por duas paredes confluentes num ponto, sendo por esse motivo designadas de secções L. Os possíveis processos de fabrico deste tipo de secções dividem-se entre a laminação a quente e enformação a frio. Relativamente ao segundo processo, este é usualmente conseguido através de tratamentos mecânicos que envolvem a aplicação de forças elevadas a chapas de aço galvanizado, tais como prensagem, quinagem ou perfilagem. O resultado são secções, geralmente de parede fina aberta, constituídas por chapas com espessuras que podem variar entre,3 e 6 milímetros. A maior aplicação de cantoneira dá-se na execução de estruturas de torres de distribuição (ver Figura 1. 1) e em obras de reabilitação. Os perfis enformados a frio, devido ao seu baixo peso próprio associado às reduzidas espessuras da secção e à rapidez de execução que possibilita, estão associados à construção designada Light-steel framing tratam-se de estruturas de peso reduzido, constituídas por um esqueleto estrutural metálico, vocacionadas principalmente para edifícios de pequeno porte. Alguns investigadores ([1]) apontam àqueles perfis algumas vantagens relativamente a elementos laminados a quente, como economia de aço (correspondente a uma redução entre 1% a 18%) e redução do peso da estrutura. Figura Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a quente) 1

18 Devido à configuração da sua secção, as cantoneiras não possuem rigidez de torção associada ao empenamento primário e são, por isso, susceptíveis a fenómenos de encurvadura que envolvem deformação por torção ([2]). Por outro lado, o facto de estas secções (i) possuírem geralmente reduzidas espessuras, (ii) por estas serem constituídas por duas placas em consola e (iii) pela confusão que muitas vezes se gera na distinção entre modos de deformação locais e de torção da secção conduz a que se confunda a instabilidade de cantoneiras com problemas de estabilidade de placas. A distinção entre esses fenómenos de instabilidade é fundamental, uma vez que a um e outro estão associadas resistências muito distintas de pós-encurvadura. O recurso a um reforço em cantoneiras (ver Figura 1. 2) surge naturalmente como uma solução para aumentar a capacidade de carga destes elementos estruturais. O uso de reforços em construção metálica tem como objectivo aumentar a rigidez transversal de placas e limitar a esbelteza nesses elementos. No caso das cantoneiras a encurvadura dá-se, de uma forma geral, por flexão-torção e, nesse caso, a aplicação de um reforço contribui simultaneamente para estabilidade local das placas que constituem a secção e para o aumento rigidez de torção da secção, ao introduzir resistência ao empenamento primário da mesma por este motivo, a sua aplicação na extremidade das abas é o mais eficiente, por se tratarem dos pontos mais distantes do centro de corte da secção. Figura Geometria de cantoneiras reforçadas O estudo dos comportamentos de estabilidade, pós-encurvadura, de resistência última e o dimensionamento de cantoneiras de abas iguais submetidas à compressão tem sido levado a cabo por diversos autores. Salientam-se os trabalhos de Rasmunssen ([3],[4]), Dinis et al. ([2],[5]) e Dinis e Camotim ([6]) no estudo de cantoneiras, de Shifferaw e Schafer ([7]) no estudo de cantoneiras reforçadas, assim como vários ensaios experimentais levados a cabo por Young ([8],[[9])[2]. Contudo, importa referir que a compressão centrada não corresponde à maioria das situações práticas, uma vez que a ligação (soldada ou aparafusada) a outros elementos estruturais resulta, geralmente, numa excentricidade da carga transmitida às cantoneiras. Todavia, a presente dissertação apenas analisa o caso de cantoneiras de abas iguais reforçadas (simétricas em relação ao eixo de maior inércia), concentricamente comprimidas. 2

19 1.2. Motivação e objectivos O comportamento de pós-encurvadura peculiar de cantoneiras comprimidas (elemento estrutural de geometria simples com comportamento complexo) levou a que este elemento estrutural fosse objecto de vários estudos recentes ([2]-[7]), sendo o seu dimensionamento um assunto ainda em aberto, nomeadamente no que se refere a elementos de aço enformados a frio. Efectivamente, este tipo de elementos ainda não se encontra pré-qualificado para dimensionamento através do recente Método da Resistência Directa (MRD Direct Strength Method, na designação anglo-saxónica [1]), o qual está desde 24 incluída na regulamentação Norte Americana de Estruturas de Aço Enformadas a Frio. Por outro lado, as cantoneiras reforçadas carecem ainda de estudos exaustivos sobre o seu comportamento e dimensionamento. De facto, existem poucos trabalhos de investigação sobre o seu comportamento e dimensionamento ([7]), havendo contudo alguns estudos experimentais ([8],[9]). De entre os vários trabalhos deve salientar-se o estudo efectuado por Shifferaw e Schafer [7], o qual concluiu que as resistências estimadas pelas disposições normativas americana, nomeadamente o MRD, apresentam diferenças significativas em relação aos valores verificados experimentalmente. Deste modo, a existência da lacuna mencionada no parágrafo anterior constitui a principal motivação desta dissertação. Assim, pretende-se (i) contribuir para a compreensão do comportamento de cantoneiras de aço enformadas a frio, de abas iguais reforçadas, sujeitas a compressão e (ii) avaliar da adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do Método da Resistência Directa para prever a resistência última destes elementos estruturais. Para esse efeito, define-se o seguinte conjunto de objectivos para a presente dissertação: Estudar a estabilidade deste tipo de elementos estruturais, avaliando nomeadamente a influência das condições de apoio e da espessura da secção. Realizar análises geométrica e fisicamente não-lineares que permitam caracterizar o comportamento e resistência pós-crítica de colunas imperfeitas, identificando designadamente o impacto do reforço, de uma forma geral, no comportamento deste tipo de cantoneiras. Determinar um conjunto significativo de cargas de colapso que permitam aferir a adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do MRD para estimar a capacidade resistente destes elementos estruturais Organização da dissertação A presente dissertação encontra-se organizada em seis capítulos. Neste primeiro, faz-se a introdução das cantoneiras reforçadas enquanto elementos estruturais enformados a frio e procura-se explicar a motivação e definir objectivos para a dissertação. 3

20 No segundo capítulo apresenta-se uma revisão de conceitos fundamentais de estabilidade, assim como da literatura disponível sobre cantoneiras de abas iguais, sem ou com reforços, que se julga pertinente. Trata-se de um capítulo fundamental para compreender, por um lado, os fenómenos ligados à instabilidade de cantoneiras e, por outro lado, o tipo de análises que se efectuou nos subsequentes capítulos. No terceiro capítulo aborda-se o problema da instabilidade de cantoneiras de abas iguais reforçadas recorrendo a análises lineares de estabilidade efectuadas através do programa GBTUL, o qual é baseado na Teoria Generalizada de Vigas (GBT). Analisam-se diferentes secções e condições de fronteira, identificam-se curvas de estabilidade e identificam-se os modos de deformação envolvidos na instabilidade de cantoneiras comprimidas concentricamente. O quarto capítulo foca-se nas análises geométrica e fisicamente não-lineares de cantoneiras reforçadas com extremidades encastradas, submetidas à compressão. Para o efeito, efectuamse análises por elementos finitos de casca realizadas com o programa ABAQUS, caracterizando-se desse modo o comportamento elástico e elasto-plástico dessas colunas. No quinto capítulo apresenta-se um estudo paramétrico efectuado com o objectivo de identificar a resistência última de colunas encastradas. Nesse estudo, adoptou-se o modelo de elementos finitos de casca considerado no capítulo anterior, sendo os valores obtidos comparados com as estimativas fornecidas pelas actuais curvas de dimensionamento do Método da Resistência Directa, permitindo assim retirar algumas conclusões preliminares sobre esta importante questão. O sexto e último capítulo expõe as conclusões retiradas das análises efectuadas e apresenta as possibilidades de desenvolvimentos futuros no estudo de cantoneiras reforçadas. 4

21 2. Estado da Arte 2.1. Introdução As cantoneiras são secções constituídas por duas paredes finas, que fazem entre si um ângulo de 45º e são confluentes num único ponto, o que confere a esses elementos uma reduzida rigidez de torção e uma maior susceptibilidade a fenómenos de instabilidade flexo-torsionais. As cantoneiras reforçadas, devido à presença do reforço na extremidade das abas, ao instabilizarem combinam modos de deformação local com modos globais de flexão-torção, sendo o efeito da variação da dimensão do reforço no comportamento e resistência dos perfis um dos principais focos da presente dissertação e da investigação realizada por alguns autores ([7]). Uma vez que o comportamento mecânico destes elementos envolve diferentes fenómenos, a compreensão dos mesmos torna-se crucial no seu estudo. Por este motivo, este capítulo divide-se entre a revisão (i) de alguns conceitos de estabilidade essenciais para a compreensão do comportamento e dimensionamento de colunas local e globalmente esbeltas e (ii) o trabalho realizado por diversos investigadores ([2]-[7]) sobre cantoneiras e cantoneiras reforçadas. Uma vez que o âmbito da presente dissertação é o comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas, de secção simétrica em relação a um eixo, submetidas a compressão (uniforme na secção), a revisão da literatura foca-se exclusivamente em colunas concentricamente carregadas, para secções monossimétricas Fenómenos de estabilidade Estabilidade de estruturas laminares A estabilidade de estruturas laminares, nomeadamente de placas, assume uma grande importância no projecto de estruturas metálicas, sobretudo em perfis enformados a frio, onde as reduzidas espessuras conduzem a elevadas esbeltezas locais que condicionam o seu dimensionamento. Por este motivo abordam-se os conceitos fundamentais do comportamento e dimensionamento deste tipo de elementos Carga crítica de placas longas Considere-se a placa simplesmente apoiada, de espessura t, submetida a compressão uniforme da Figura 2.1. A placa é designada de alongada por possuir uma relação entre o comprimento, a, e bordo solicitado (largura),b, tal que: a>>b. Ao atingir-se um determinado valor de compressão, esse elemento irá instabilizar com deslocamentos de flexão e a configuração será a apresentada na Figura

22 Figura Modo de instabilidade de uma placa longa ([15]) Quando a placa é longa (a>>b), como indica a Figura 2.1, verifica-se que a sua configuração deformada apresenta uma única semionda transversal e várias semiondas longitudinais, de tal forma que a placa se comporta como uma sucessão de várias placas quadradas. A tensão aplicada, σ, a partir da qual aquele elemento instabiliza é designada de tensão crítica (σcr) e toma a forma apresentada da equação 2.1. ([11]): π 2 E σ cr = K 12(1 ν 2 ) (t b )2 (2.1) Na equação 2.1, t corresponde à espessura da placa e b à sua largura, enquanto que E e ν são o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do material, respectivamente. K é designado de coeficiente de encurvadura e depende das condições de apoio dos bordos longitudinais e da distribuição de tensões aplicada a Tabela 2.1 apresenta valores desse coeficiente para diferentes situações: Tabela Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11]) Pós-encurvadura de placas perfeitas A obtenção da trajectória de pós-encurvadura de uma placa perfeita, definida como a relação entre a carga (que na forma adimensional é expressa através de σ/σcr) e o deslocamento sofrido pela estrutura (q) após a carga crítica ser atingida, é feita determinando a trajectória de equilíbrio adjacente ([11]) à fundamental no ponto onde é estacionária a energia potencial da placa comprimida e conduz a: 6

23 σ σ cr = (1 ν2 ) ( q t ) 2 (2.2) Esta trajectória é claramente estável (ver Figura 2.2) e, ao comparar com a correspondente curva para colunas, é de salientar a notável resistência de pós-encurvadura das placas ([15]). Verifica-se assim que admitir que σcr é a tensão máxima admissível nestes elementos é excessivamente conservativo, pelo que o seu dimensionamento deve contemplar tensões superiores à crítica. Figura Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15]) Relativamente à distribuição de tensões normais no elemento, na fase pós-crítica, esta assume a configuração apresentada na Figura 2.3. Pela observação dessa figura é possível comentar: i. Existe uma transferência de tensões longitudinais (σ xx ) da região mais flexível da placa para a zona dos apoios. ii. Associada à redistribuição de tensões longitudinais surgem tensões transversais (σ yy ) de tracção, as quais causam um aumento de rigidez da zonal central da placa. Figura Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11]) 7

24 Dimensionamento de elementos localmente esbeltos largura efectiva Nas condições expostas anteriormente, o dimensionamento de placas deve ser feito em regime pós-crítico, o que envolve um problema geometricamente não-linear com trajectórias (fundamentais e de pós-encurvadura) e tensões mais ou menos próximas das que se apresentaram a diferença reside, para situações correntes, na presença de imperfeições iniciais (ver Figura 2.4). Figura Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e reserva elastoplástica ([11]) Uma vez que a determinação da reserva de resistência do elemento associado ao espalhamento da plasticidade não é directa e envolve algum esforço de cálculo (análise física e geometricamente nãolinear), admite-se que a resistência do elemento é atingido quando ocorrer a cedência da primeira fibra (σ max =fy). Para efeitos de dimensionamento, Von Karman (citado por Reis e Camotim, 212) propôs uma metodologia aproximada para placas perfeitas, baseada nas seguintes hipóteses ([15]): 1. Substituir a secção real por uma secção efectiva onde se tem uma distribuição de tensões uniforme. 2. Admitir que a encurvadura na secção efectiva a encurvadura ocorre ao mesmo tempo que se atinge a plastificação da secção. O dimensionamento da placa passa, assim, pela determinação de uma secção efectiva (beff), baseada na relação entre a esbelteza normalizada do elemento (λp ) e o factor de redução (ρ=beff/b) da largura da secção (b). Importa referir que Winter propôs uma expressão alternativa ([11]), baseada num elevado número de resultados experimentais em placas com imperfeições iniciais e tensões residuais, 8

25 que serve de base às expressões propostas pelo Eurocódigo 3. Na Figura 2.5 comparam-se as expressões de Von Karman, de Winter e a curva de dimensionamento de colunas perfeitas, sendo que nesta última se despreza a resistência pós-crítica. Figura Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas ([11]) Instabilidade flexo-torsional Torção uniforme e não-uniforme Todas as secções de parede fina aberta, quando submetidas a um momento torsor (T), rodam em torno do eixo colinear com o seu centro de corte (sc) e empenam, i.e., sofrem deslocamento longitudinais variáveis e deixam de estar contidas num plano ([11]). Podem-se definir dois tipos de torção: i. Torção uniforme (ou de Saint-Venant) situação em que T é constante ao longo da ii. barra e os deslocamentos de empenamento não são impedidos. Torção não uniforme Caso mais geral, onde o momento torsor é variável e/ou o empenamento é impedido nalguma secção. No primeiro caso, os elementos estão sujeitos apenas a deformações distorcionais, sendo nulas quaisquer extensões ou tensões longitudinais. Associadas as essas deformações estão tensões de corte, cuja resultante é um momento torsor uniforme, Tt. De uma forma genérica, e à semelhança do que sucede na flexão de peças lineares, é possível estabelecer uma relação constitutiva entre o momento torsor aplicado numa barra, T, e uma medida de deformação traduzida pelo ângulo de torção por unidade de comprimento, α ([13]): α = φ(x) x = Tt φ(x) <=> Tt = GJ x GJ (2.3) Em secções de parede fina aberta, verifica-se que as tensões tangenciais se distribuem de forma aproximadamente linear na espessura da secção (Figura 2.6). As equações (2.4) e (2.5) 9

26 são expressões de cálculo para a constante de torção de Saint Venant, J, e para a tensão tangencial máxima instalada na secção, τ max, respectivamente: n J = 1 3 b it i 3 i=1 τ max = t max T t J (2.4) (2.5) Figura Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular "fina" ([14]) No caso da torção não-uniforme, por existir impedimento ao livre deslocamento longitudinal da parede fina ou por esse deslocamento ser variável, passam a existir tensões normais não-nulas na secção. Estas são, forçosamente, equilibradas por tensões tangenciais que dão origem a um momento torsor resistente, Te. No Anexo A apresenta-se em maior detalhe essa teoria, incluindo a determinação das expressões genéricas dos campos de deslocamentos axiais devido ao empenamento, (u e (s)), função de empenamento (W(s)), deformações e tensões axiais (ε x e σ x, respectivamente), tensões tangenciais (τ e ) e expressão do momento torsor resistente devido ao impedimento dos deslocamentos de empenamento (Te), o qual se apresenta na seguinte equação: Te(x) = EΓ 3 φ x 3 (2.6) onde Γ é a constante de empenamento da secção e ϕ é o ângulo de torção, que é função da posição no eixo da peça (x). A rigidez de empenamento (EΓ), em secções onde o centro de corte está desviado em relação à linha média das suas paredes, é igual ao integral do quadrado de uma função (W(s)) que depende da distância (r(s)) entre a linha média de cada parede e o centro de corte da secção, C designa-se rigidez de empenamento primário. O momento torsor total, T, resistido simultaneamente por conta de torção uniforme (eq. (2.3)) e não-uniforme (eq. (2.6)) é igual a: 1

27 T = GJ φ x EΓ 3 φ x 3 (2.7) Em secções de parede fina aberta onde todas as paredes se intersecta num único ponto, sabese que é nula a rigidez de empenamento primária. Todavia, verifica-se para esse tipo de secções que se desenvolve uma distribuição de tensões normais não lineares na espessura e de tensões tangenciais responsáveis por gerar um momento torsor resistente secundário, T s e, e uma constante de empenamento secundário, Γ s, ([11]) tais que se mantém válida a relação: T e s = EΓ s 3 φ x 3 (2.8) Importa referir que a constante de empenamento secundário toma valores bastante reduzidos face aos de Γ, pelo que, no caso geral de se ter Γ, se despreza Γ s. Para finalizar o presente subcapítulo, apresenta-se a expressão para a constante de empenamento secundário de uma cantoneira com abas de iguais dimensões ([2]): Γ s = 1 36 (2t3 b 3 ) (2.9) onde t é a espessura e b o comprimento das abas Carga crítica de flexão-torção Em virtude de possuírem uma rigidez de torção muito baixa, as secções de parede fina aberta são particularmente susceptíveis a fenómenos de instabilidade que envolvem deformações por por torção ([11]). No caso dessas secções que apresentem um único eixo de simetria, a encurvadura dá-se com modos de deformação acoplados: flexão em torno do eixo de simetria e torção, designando-se a este tipo de instabilidade de encurvadura por flexão-torção. A carga crítica para uma coluna nessa situação é dada pela seguinte expressão ([11], [12]): P cr,ft = ( I A )(P x + P φ ) ( I A ) 2 (P x + P φ ) 2 4( I A x 2 cc )P x P φ ( I A ) 2( I A x 2 cc ) (2.1) em que: P x = π2 EI x Le 2 ; P φ = A I (GJ + EΓ π2 Le 2) (2.11;2.12) e P x e P φ correspondem, respectivamente às cargas de encurvadura na maior inércia e de torção, I é a inércia polar da secção, enquanto que x cc é a distância entre o centro de corte e de gravidade da secção e A é sua área. Le representa o comprimento de encurvadura da coluna para cada modo de encurvadura. 11

28 2.3. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais A expressão da carga de encurvadura por torção de coluna (equação (2.12)), quando existe apenas constante de empenamento secundário, toma a forma: Pcrt = A EI 2 ω [ I 12(1 ν 2 ) (π L ) + GJ] (2.13) = A ( 1 3 t ib i 3 ) Parede i [ E Parede i (1 3 t ib 3 i ) 12(1 ν 2 ) ( π L )2 + G 1 3 t i 3 b i ] parede i Para secções com as mesmas dimensões de abas e espessura (ti=t e bi=b), se se expressar a tensão crítica torsional (σ crt ) chega-se a [2]: σ crt = [( b 6(1 ν) Eπ 2 L )2 + π 2 ] 12(1 ν 2 ) (t b )2 (2.14) Para colunas curtas, a parcela relativa ao comprimento da coluna é relevante e deve ser retida na expressão; no entanto, para os casos em que L>>b correspondentes a colunas mais correntes na construção metálica, pode-se admitir que a tensão crítica de torção se torna independente de L e tem-se: Eπ 2 σ crt =,425 12(1 ν 2 ) (t b )2 (2.15) Esta tensão é igual à tensão crítica local de uma placa em consola (ver capítulo 2.2.). Este facto aliado ao já referido de se ter uma expressão independente do comprimento (para L>>b) leva a expressão da tensão crítica de torção a tender para a emblemática curva σ cr,l (L) para elementos em consola, o que geralmente causa confusão relativamente ao tipo de encurvadura que realmente ocorre nestes elementos. Está-se perante um caso excepcional onde divergem as definições de encurvadura local clássica e da Teoria Generalizada de Vigas ([2]). De acordo com essa teoria a encurvadura local ocorre se: i. A curva característica σ cr (L) apresentar mínimos ou máximos locais, para um determinado número de semiondas na solução de aproximação. ii. O modo de encurvadura apresentar várias semiondas na deformada. 12

29 Este segundo ponto implica flexão transversal das paredes, com curvatura não nulas, facto esse que não ocorre neste tipo de placa, uma vez que a encurvadura ocorre numa única semionda, independentemente do comprimento da placa. «Mecanicamente falando, este modo de encurvadura envolve torção pura em torno do bordo simplesmente apoiado e não apresenta flexão transversal das paredes, característica essa com profundas implicações no comportamento de pós-encurvadura da placa e no conceito de largura efectiva» (Dinis PB et al. 21). Concluem os autores que o problema de encurvadura numa cantoneira não pode ser reduzido ao de uma placa com três bordos apoiados e um livre, uma vez que este elemento apresenta um modo de encurvadura global com diferenças significativas do de uma placa Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio Dinis PB et al. [5] aprofundaram a análise do comportamento na encurvadura de cantoneiras, para colunas com diferentes condições de apoio. Essa análise foi conseguida recorrendo ao programa GBTUL. Os elementos estudados pelos autores apresentam uma secção transversal com dimensões 7x7x1,2 milímetros e possuem comprimentos baixos-a-intermédios, contidos no plateau horizontal de tensão crítica: L 1 = 53 cm L 2 = 98 cm L 3 = 133 cm L 4 = 182 cm L 5 = 252 cm L 6 = 364 cm L 7 = 42 cm L 8 = 532 cm L 9 = 7 cm L 1 = 89 cm Quanto às condições de apoio, foram analisados 3 casos: i. F Coluna biencastrada nas duas direcções. ii. PC Rótulas cilíndricas que impedem a flexão segundo o eixo de maior inércia, mas permitem a rotação segundo a menor inércia. iii. PS Rótulas esféricas (permitem a rotação nas duas direcções). Na Figura 2.7 encontram-se os resultados obtidos na análise linear de estabilidade: a) Curva P cr (L) para as três condições de apoio estudadas (F, PC e PS) obtidas através do ABAQUS, incluindo alguns pontos obtidos pelo GBTUL, e fazendo referência aos comprimentos mencionados (L 1 L 1 ). b) Diagramas representativos das participações dos modos de deformação no modo crítico de instabilidade das colunas, a variar com o comprimento e para cada condição de apoio. c) Representação esquemática da deformada de meio-vão para uma coluna PC para dois comprimentos distintos: 1 e 364 centímetros. d) Representação dos 6 primeiros modos de deformação, à excepção do modo 1 (extensão axial). 13

30 Figura Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (21) Verifica-se que, à semelhança do que sucedia na solução analítica obtida pelo GBTUL com apenas uma semionda na função de aproximação, os quatros modos de deformação responsáveis pela configuração da coluna na encurvadura são: Para além deste facto, os autores observam que: Para os comprimentos escolhidos para a análise, os modos relevantes envolvem flexão-torção (2+4) e flexão segundo o eixo de menor inércia (3). Ao primeiro modo corresponde o patamar horizontal na curva P cr (L) e a participação da flexão segundo a maior inércia (2), que ocorre por haver simetria nesse plano, aumenta gradualmente com L. No caso das condições apoio PC e PS, a curva da carga crítica decresce de forma monótona e corresponde a uma função de aproximação dos modos de deformação (φ) de uma única semionda, sendo que os resultados obtidos pelos programas ABAQUS e GBTUL são praticamente coincidentes. O modo 4 está presente na encurvadura de todas as colunas à excepção das mais compridas, as quais instabilizam segundo o modo 3. Os comportamentos das colunas rotuladas (PS + PC) apenas se distanciam das biencastradas (F) para comprimentos superiores a 42 centímetros, sendo praticamente idênticos para comprimentos inferiores. No entanto, essas colunas diferem das F no que toca ao leque de comprimentos pertencentes ao plateau de facto, regista-se uma queda de cerca de 25% da carga crítica de flexão segundo a menor inércia, donde resulta que o comprimento de transição do modo 4 para o modo 3 passe de L=42 cm (colunas PC) para L=89 cm (colunas F). Comparativamente com as colunas PC, as colunas PS apenas diferem na fase final do patamar de flexão-torção devido a uma maior participação da flexão na maior inércia Comportamento de pós-encurvadura de colunas Na sequência da análise linear de estabilidade, Dinis et al. ([5]) efectuaram uma estudo do comportamento de pós-encurvadura dos mesmos perfis, através da análise geometricamente 14

31 não-linear de colunas exibindo imperfeições com a configuração do modo crítico e com amplitude igual a 1% da espessura (t). No caso dos elementos com modo crítico flexotorsional, tal corresponde a ter uma rotação de torção inicial igual a,98 radianos. Apesar de os autores terem analisado o comportamento de colunas F, PC e PS, apenas se indicam as conclusões mais relevantes referentes a colunas encastradas. Foram determinados os seguintes gráficos: 1. Trajectória de pós-encurvadura, P/P cr vs β, para todas as colunas seleccionadas com condições de apoio F, onde β é a rotação de corpo rígido da secção a meio-vão da coluna. Estas incluem representações da deformada a meio-vão dos elementos F 3 e F 9, em diferentes pontos da trajectória (Figura 2.8). 2. Configuração deformada (Figura 2.9), em três pontos assinalados na trajectória de pósencurvadura, de a. Meio-vão da coluna F 3. b. Meio-vão e um quarto de vão da coluna F Distribuição de tensões longitudinais nas extremidades (A e C) e no canto (B) da secção de meio-vão das colunas F 3 e F 9, para três valores diferentes de P/P cr representados na respectiva trajectória de pós-encurvadura (Figura 2.9). Figura TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das colunas F 3 e F 9 ([5]) Perante os resultados apresentados, os autores retiraram as seguintes conclusões: A trajectória de equilíbrio P/P cr (β) é progressivamente mais flexível à medida que L aumenta; enquanto que as colunas mais curtas (F 1 F 7 ) apresentam uma trajectória estável, as mais alongadas (F 8 F 1 ) apresentam pontos limite bem definidos: o Ou abruptos e com inversão da rotação de torção ( F 8 F 9 ). o Ou suaves e sem inversão da rotação de torção (F 1 ). 15

32 A coluna F 1 corresponde à transição entre os modos críticos de encurvadura de flexão-torção e de flexão na menor inércia, apresentando uma curva P/P cr (β) suave e um ponto limite bem definido relativamente prematuro. Nas colunas F 8 e F 9, as configurações deformadas passam abruptamente de uma única semionda para três semiondas pouco após ser atingida a carga crítica facto esse que se verifica pela observação da trajectória de equilíbrio (Figura 2.8) e pela configuração da deformada a meio-vão e um quarto de vão da coluna F 9 (Figura 2.9), notando que no ponto 3 as rotações, para uma e outra secção, se dão em sentidos diferentes. Os deslocamentos de flexão, seja na maior inércia (d M ) e/ou na menor inércia (d m ), são praticamente imperceptíveis (mas não inexistentes) na coluna F 3 e na fase ascendente (pontos 1 e 2 da Figura 2.9) da trajectória de pós-encurvadura da coluna F 9. No entanto, esses deslocamentos, em particular d m, tornam-se da ordem de β na fase descendente da curva de F 9, após a transição na configuração deformada e estão associados a tensões de tracção nas regiões do canto da secção transversal. Á medida que a carga aumenta (P/P cr >,8) a distribuição de tensões passa a uma variação linear com transferência de compressões da extremidade para o canto da secção, com as seguintes diferenças: o Os elementos mais curtos (F3) apresentam uma distribuição de tensões simétrica associado a um estado de flexão composta com flexão na menor inércia. o As colunas mais longas (F9) apresentam uma distribuição de tensões assimétricas associada a flexão desviada. Figura TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e F9 ([5]) 16

33 Importância dos deslocamentos no canto da secção As diferenças significativas de comportamento observadas são devidas à ocorrência de flexão em torno dos eixos de maior e menor inércia nas cantoneiras, em particular nas mais longas. Este efeito traduz-se na existência de deslocamentos no canto da secção e, simultaneamente, na distribuição linear das tensões na secção refira-se que até então a opinião geralmente aceite (Rasmussen KJR, 25 citado por Dinis PB et al, [3]) era a de que essas tensões teriam uma distribuição parabólica com valor máximo no canto da secção (equivalente a admitir que cada aba da cantoneira se comporta como uma placa longa com três bordos apoiados e um livre). Para confirmar o referido efeito, os autores efectuaram a análise de colunas iguais com as seguintes condições de apoio (ver esquema da Figura 2.1): (i) coluna FR ( fully restrained cantoneira biencastrada com o canto continuamente apoiado e impedido de sofrer translações no plano e) e (ii) placa longa (L>>b) (FP) com os bordos mais distantes encastrados, um bordo longitudinal livre e outro apoiado. Além disso, os autores obtiveram as trajectórias de equilíbrio P/P cr relativas aos deslocamentos d M e d m, normalizados em relação à espessura (t) da secção, das colunas F 3, F 6 e F 9, quer em termos da secção de meio vão (ver Figura 2.12) quer o perfil longitudinal desses deslocamentos para as três colunas em análise e para quatro níveis diferentes de carga (P/P cr ) (ver Figura 2.13). A observação desses resultados permitiu retirar as seguintes conclusões: Os resultados obtidos para as condições de FR e FP são coincidentes, tanto em termos de trajectória de pós-encurvadura, como em distribuição de tensões na secção. Para além disso, as tensões apresentam agora a distribuição parabólica admitida por Rasmussen [3], afastando-se mais da distribuição uniforme à medida que se aproxima do meio-vão e que aumenta o rácio P/P cr. Restringir os deslocamentos do canto, que se demonstrou terem uma participação significativa na pós-encurvadura das colunas F mais compridas, afecta significativamente o comportamento de pós-encurvadura das colunas, em particular, das mais compridas todas as trajectórias se apresentam agora como estáveis e não apresentam pontos limite ou inversões de β. O deslocamento d M cresce gradualmente com a carga aplicada, uma vez que a flexão segundo o eixo de maior inércia pertence ao modo crítico de instabilidade e, assim, integra a imperfeição geométrica inicial e consequentemente a trajectória fundamental destas colunas. Enquanto que d M /t cresce monotonamente com P/P cr no caso das colunas F 3 e F 6, F 9 cresce até aproximadamente P/P cr =1,5 e depois experiencia uma reversão de d M, que coincide com o crescimento abrupto dos deslocamentos de flexão na menor inércia (d m ). É possível explicar a disparidade da ordem de grandeza dos deslocamentos d m nas três colunas ao observar-se com o rácio entre a carga de instabilidade (não-crítica) do modo de encurvadura de flexão na menor inércia (P b,y ) e a carga crítica (P cr ) de flexãotorção para cada caso (ver Tabela 2.2). 17

34 Ambas as curvas apresentam quartos de onda exteriores (i.e. nas extremidades) responsáveis pelo declive nulo do perfil de deslocamentos consequência das condições de apoio (coluna biencastrada) que impõem que as rotações seja nulas nas extremidades. O aparecimento e a configuração do perfil (três semiondas interiores) de deslocamentos d m encontra explicação no fenómeno já explicado anteriormente e devido a Stowell (Stowell EZ, 1951 citado por Dinis PB et alumni, [18]) a variação da rotação de torção na secção faz surgir uma distribuição não-linear de tensões normais longitudinais, com concentração destas no canto da secção, que por sua vez introduzem flexão na menor inércia. Enquanto este comportamento é notável nas colunas de menor comprimento (F 3 e F 6 ), nas colunas mais longas (F 9 ) é menos perceptível, uma vez que a carga de encurvadura do modo 3 e a carga crítica da coluna se encontram bastante próximas, estando este caso próximo do de transição entre modos críticos. Figura Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de colunas FR e FP ([5]) 18

35 Figura Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5]) Figura Trajectória de equilíbrio P/P cr vs d M /t e P/P cr vs d m /t de F 3, F 6 e F 9 ([5]) Figura Perfil longitudinal de d M /t e d m /t para diferentes níveis de carga de F 3, F 6 e F 9 ([5]) 19

36 Tabela Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga crítica das colunas F 3, F 6 e F 9 ([5]) Coluna P b,y /P cr F F6 5.5 F Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura Dinis e Camotim [6] realizaram, para os comprimentos L 1 = 53 cm, L 2 = 133 cm, L 3 = 364 cm e L 4 = 7 cm, análises elasto-plásticas de pós-encurvadura em colunas encastradas com imperfeições iniciais dos modos críticos de amplitude igual a,1t e quatro rácios entre a tensão de cedência e a tensão crítica: fy/fcr 1,3; 2,5; 5, e (elástico sem cedência). Os autores obtiveram as trajectórias P/P cr (β) para os rácios fy/fcr já referidos das colunas F 3 e F 4 (Figura 2.14) e os mecanismos de colapso, A e B, assinalados nas trajectórias para fy/fcr=2,5 na mecanismo A as zonas sombreadas representam as deformações plásticas: Figura TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e mecanismos de colapso A e B ([6]) Da observação desta figura os autores concluíram que a coluna F 3, para fy/fcr 1,3 e 2,5, o colapso dá-se imediatamente após o início da cedência, enquanto para fy/fcr 5 apresenta uma ligeira resistência elasto-plástica. A carga de colapso nesta coluna cresce visivelmente com fy. O diagrama de deformações revela que a cedência ocorre em torno das secções de ¼ e ¾ de vão secções onde as tensões longitudinais normais e transversais são mais elevadas. A resistência limite da coluna F 4 é praticamente insensível a fy, uma vez que o colapso é principalmente devido a efeitos geometricamente não-lineares. De facto, para fy/fcr 2,5 e 5,, a coluna mantém um comportamento elástico até ao colapso, uma vez que a ocorrência da cedência apenas se dá no troço descendente da trajectória de equilíbrio. 2

37 Dimensionamento através do Método da Resistência Directa O Método da Resistência Directa (DSM Direct Strength Method na designação anglo-saxónica) consiste num conjunto de expressões tipo-winter calibradas através de um número substancial de resultados experimentais ou numéricos, que providenciam estimativas para a tensão última seguras e precisas, associadas a modos colapsos local (f nl ), distorcional, global (f ne ) e local-global (f nle ). Estas são baseados nas tensões críticas de encurvadura local (f crl ), distorcional (f crd ) e global (f cre ) e na tensão de cedência (fy). Para cantoneiras enformadas a frio, as expressões são: fy se λl.776 fnl = { fy( fcrl.4 fcrl fy ) [1.15( fy ).4 ] se λl >.776 fy com λl = fcrl (2.16) fy(.658 λc2 ) se λc 1.5 fne = { fy (.877 fy com λc = ) se λc > 1.5 fcre λc2 (2.17) fne se λle.776 fnle = { fne( fcrl.4 fcrl fne ) [1.15( fne ).4 ] se λle >.776 fne com λl = fcrl (2.18) Como foi referido, estas expressões ignoram o facto das cantoneiras instabilizarem, de facto, em modos flexo-torsionais e que as características destes modos varia significativamente ao longo do patamar horizontal P cr (L) o que se traduz na necessidade de definir um novo conjunto de curvas que considerem esse facto Rasmussen (26) Rasmussen (Rasmussen KJR, 26 citado por Dinis PB e Camotim D, [4]) chegou às seguintes expressões para o dimensionamento de colunas P: fnl = ρ β fy (2.19) ρ = A 1 se λl.673 e A = { λl.22 λl 2 se λl > se λl 1.22 β = {.68 (λl 1) 2 se λl > 1.22 (2.2) (2.21) Este autor considerou o efeito da alteração da posição do centróide efectivo ( effective centroid shift ) através do parâmetro β e os efeitos da encurvadura local através dos factor de redução da área efectiva, ρ. Assim, Rasmussen [4] assume que flexão-torção está incluída no modo local (torsional) de placa e, portanto, também no conceito de largura efectiva (ver capítulo ) e inclui apenas a encurvadura por flexão no modo global (f ne ). Como consequência destas considerações, ignora-se o facto de que estes elementos «instabilizam num modo global de flexão-torção e que as características mecânicas deste 21

38 modo variam significativamente no plateau horizontal de P cr (L)» com L (Dinis e Camotim, 214). Isto conduz a que se ignore a dependência das imperfeições geométricas no modo de flexão na menor inércia do comprimento da coluna e a elevada sensibilidade das colunas P a este tipo de imperfeições, o que resulta numa elevada dispersão vertical do valores experimentais de fu/fy, como se verá Dinis e Camotim (214) Colunas F Como já foi referido, a nova proposta consiste em substituir a tensão crítica local por um conjunto de curvas genuínas de flexão-torção, independentes de outros modos de rotura, que são conseguidas através das cargas de colapso obtidas para 17 colunas F e 3 secções transversais (7 x 1,2 mm, 5 x 1,2 mm e 5 x 2,6 mm) e continuamente impedidas de flectir no plano de menor inércia o que assegura que o colapso se dá no modo pretendido (ver Figura 2.15 a cheio apresenta-se a curva MRD local). Figura Cargas de colapso para diferentes secções com deslocamentos dm continuamente impedidos ([6]) Da observação do gráfico apresentado, verifica-se que não há diferença entre os valores obtidos para cada secção transversal para cada valor da esbelteza, λ ft, (i.e. os pontos encontram-se próximos uns dos outros) e que há uma grande dispersão vertical de valores fu/fy correspondentes a colunas de diferentes comprimentos, mas de esbelteza semelhante (ou seja, pertencentes ao plateau horizontal). Constata-se ainda que há uma elevada quantidade de pontos abaixo da curva de MRD local, para os quais a estimativa desta curva sobrestima a resistência real da coluna, pelo que se conclui que não é possível estimar a resistência destes elementos através de uma única curva tipo Winter. Estes resultados apontam para a necessidade de agrupar as colunas de acordo com participação da flexão na maior inércia no modo crítico, o que é conseguido recorrendo ao rácio: = fbt fcr, ft 1 fcr, ft (2.22) 22

39 onde fbt é a tensão de encurvadura por torção pura, fcr,ft é a tensão crítica de encurvadura por flexão-torção e fbf é tensão de encurvadura de flexão na maior inércia. Para uma cantoneira monossimétrica, com as extremidades encastradas e impedidas de empenar, as expressões das referidas tensões tomam a forma (ver equações (2.94), (2.96), (2.13) e (2.14)): fbt = G t2 b 2 + Et 2 (2.23) π2 12( L 2 )2 fcr, ft = 4 5 (fbt + fbf (fbt + fbf)2 2.5 fbt fbf) (2.24) fbf = π 2 E b 2 (2.25) 6 ( L 2 )2 As expressões consideradas para a resistência nominal de flexão-torção (f nft ) da coluna são: fy fnft = { fy( fcr,ft fy a fcr, ft ) [1 b ( fy ) a se λft ( b) 1 2a ] se λft > ( b) 1 2a (2.26) sendo os parâmetros a e b calibrados através de um processo de tentativa e erro de ajuste da curva, recorrendo aos referidos 17 ensaios realizados, tendo-se obtido as seguintes expressões : a = { se se > se 7. b = {.248 se > 7. (2.27) (2.28) As estimativas conferidas por estas expressões são precisas na maioria dos comprimentos, sendo ligeiramente conservativas para esbeltezas (λ ft ) elevadas em colunas curtas e esbeltezas médias em colunas intermédias. Finalmente, a tensão última de colunas F (fn F,fte) pode ser obtida com base nas expressões seguintes: fne fn F, fte = { a fcr, ft fne [1 b ( fne ) 1 2a se λfte ( b) ] se λfte > ( b) 1 2a (2.29) com λfte = fne fcr, ft (2.3) 23

40 Dinis e Camotim (214) Colunas P A proposta da resistência para as colunas P ([6]) consiste em aplicar a ideia proposta por Rasmussen (26): incorporar a alteração de posição do centróide efectivo ao multiplicar a resistência por um parâmetro β, que depende também da esbelteza da coluna: fn P, fte = β fu F, fte (2.31) Os autores admitem que a diferença de resistência entre uma coluna F e uma coluna P vem da alteração da posição do centróide efectivo, traduzido por β, e que este parâmetro corresponde aproximadamente ao rácio entre as cargas que deverão ser aplicadas numa coluna com apoio cilíndrico (P) e numa coluna biencastrada (F)de forma a atingir uma determinada tensão máxima, f max : β P P P F (2.32) Importa ainda referir que, ao contrário de Rasmussen, Dinis e Camotim (214) fazem β depender da esbelteza de flexão-torção da coluna (λft). Este foi calibrado através de uma expressão tipo Winter e recorre aos parâmetros c e d, que foram obtidos através de um segundo processo de tentativa-e-erro de ajuste de curvas: β =.68 (λft c) d 1 (2.33) se 2. c = {.2 f 2.2 f +.48 se.2 < < 5..1 f.565 se se 2. d = { se.2 < < se 5. (2.34) (2.35) Dinis e Camotim (214) Proposta unificada Finalmente, a proposta unificada, válida tanto para condições de apoio F como P, toma a forma geral: β fne fn F, fte = { 1 2a se λfte ( b) a fcr, ft β fne [1 b ( fne ) 1 2a ] se λfte > ( b) (2.36) com β: 1 para colunas F β = {.68 (λft c) d 1 para colunas P (2.37) tomando os parâmetros a,b,c e d valores de acordo com as expressões (2.27), (2.28), (2.34) e (2.35). 24

41 2.4. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas Estudos numéricos Shifferaw e Schafer (214) efectuaram um pequeno estudo paramétrico de uma cantoneira, através de uma solução analítica (condições de fronteira simplesmente apoiadas) e para uma solução com apenas umas semionda, na função de aproximação do campo dos deslocamentos, obtida pelo programa CUFSM, fazendo variar a dimensão dos reforços ( lips na designação anglo-saxónica) como uma percentagem das abas. As propriedades escolhidas foram: Aba = 73,5 mm Espessura = 1,498 mm fy = 58 MPa Lips = %/1%/2%/3%/4%/5% da dimensão da aba Apresenta-se as curvas P cr (L) para as diferentes percentagens do reforço (Figura 2.16): Figura Estudo paramétrico de uma cantoneira, para uma única semionda e valores do reforço de a 5% da aba ([7]) Partindo dos resultados desta análise, os autores concluem: Para percentagens de reforços superiores a 2% são observados modos locais com vários mínimos locais ( ou pontos de estacionaridade). Também é observado o modo distorcional, num curto intervalo de comprimentos depois da meia-onda onde o modo local domina, mas não há nenhum mínimo distorcional. Para comprimentos intermédios, o modo de flexão-torção domina, enquanto que para os maiores comprimentos o modo de flexão controla. 25

42 Para reforços pequenos, a fronteira local e distorcional desaparece. Para grandes reforços (4% e 5%) os modos locais e distorcionais estão separados, mas o aumento do comprimento do reforços não trás nenhum benefício para a encurvadura local uma característica das cantoneiras reforçadas é o potencial para distintos mínimos locais, mas apenas a partir de determinados comprimentos dos reforços Estudos experimentais A comparação das resistências obtidas numa investigação experimental com colunas biencastradas efectuado por Young (25) e citado por Shifferaw e Schafer (214) ([8],[9]), com as cargas críticas revela um facto surpreendente: a capacidade de pós-encurvadura global destas colunas, traduzida pelo rácio entre a carga última da coluna e a carga crítica, P test /P cr (ver Tabela 2. 4 e Tabela 2. 5). Os autores ainda fazem notar que a estimativa fornecida pela norma Americana (P AISI-S1-1 ) é em vários casos exageradamente conservativa, chegando se a ter, em casos extremos, um valor do rácio P test /P AISI-S1-1 de 8,96 para cantoneiras simples e de 3,76 para cantoneiras reforçadas (ver Tabela 2. 4). As tabelas seguintes foram obtidas por Young ([8] e [9]) e representam, respectivamente: i. As dimensões e características mecânicas das colunas ensaiadas, onde ri é o raio da concordância do canto da secção e f u e ε u são, respectivamente, a tensão e extensão última do material. A notação utilizada é LxLy, para uma cantoneira reforçada (L- lipped ) com x milímetros de espessura e y milímetros de comprimento, e PxLy, para uma cantoneira simples (P- plain ) com x milímetros de espessura e y milímetros de comprimento - Tabela 2.3. ii. Valores obtidos em ensaios com cantoneiras reforçadas, incluindo informação sobre o modo de deformação observado no estado de encurvadura e colapso da coluna indicado entre parêntesis (L modo local; FT modo de flexão-torção; F modo de flexão na menor inércia). iii. Valores obtidos em ensaios com cantoneiras simples. Tabela Características geométricas e mecâncias dos perfis ensaiados por Young ([8],[9]) 26

43 Tabela Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras reforçadas ([9]) Tabela Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras simples ([8]) 27

44 Influência das condições de apoio Os ensaios de Young (25) demonstram que ao fixar tanto a flexão como a torção na extremidades, o modo global dominante de encurvadura passa de flexão segundo a menor inércia, no caso simplesmente apoiado, para encurvadura de flexão-torção (com pequenos deslocamento d M ), no caso biencastrado. Por outro lado, sabe-se que as condições de apoio de empenamento nas extremidades aumentam significativamente a rigidez de torção, pelo que essas restrições, aliadas à prevalência da torção na resposta das colunas F, poderão ser uma importante fonte de resistência elástica de pós-encurvadura ([7]). Shifferaw e Schaffer (214) investigaram o impacto da restrição do empenamento estabilidade. Para tal, obtiveram o valor da carga crítica de uma coluna L1.5L25 comprimida através de ensaios em modelos de elementos finitos (softwares ABAQUS, CUFSM e CUTWP), fazendo variar as condições de apoio e comparando ainda os resultados com os valores que se obtém pela teoria clássica (ver capítulo 2.4.). A Tabela 2.6 e a Tabela 2.7 apresentam os valores de P cr (P cre, na notação daqueles autores) para as condições de apoio simplesmente apoiado e biencastrado, respectivamente, e para as situações de deslocamentos de empenamento livres ( warping free ) e restringidos ( warping fixed ). Tabela Valor de P cr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas simplesmente apoiadas ([7]) 28

45 Tabela Valor de P cr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas biencastradas ([7]) Relativamente ao primeiro conjunto de resultados apresentados, é possível observar que ([7]): Mesmo no caso simplesmente apoiado as condições de fronteira de empenamento têm uma influência significativa na carga crítica elástica, traduzida pelo rácio: P cre (empenamento restringido) P cre (empenamento livre) = 1,624 (2.38) Para a coluna simplesmente apoiada sem restrição de deslocamentos de empenamento o resultado obtido pelos programas coincide com o calculado pela teoria clássica. Com empenamento impedido, a solução exacta é mais complicada de obter, devido à interacção entre flexão e torção e, para esta última, à diferença entre a torção uniforme e não uniforme. Para efeitos de dimensionamento, os autores aconselham a tomar um comprimento de encurvadura (Lcr) por torção igual a 5% do comprimento (L) da coluna- trata-se de um valor não conservativo, mas muito próximo da realidade. No que toca à coluna biencastrada, os autores verificam que: Com o empenamento impedido todos os resultados concordam e a adopção de um comprimento de encurvadura para todos os modos (flexão nas duas direcções e torção) igual a,5l é suficientemente preciso. Quando se libertam os deslocamentos de empenamento o uso de Lcr (flexão)=,5l e Lcr (torção) = L fornece valores significativamente conservativos, mas reflecte a prática corrente e, portanto, é o valor recomendado. A restrição do empenamento volta a ter um impacto notável na carga crítica da coluna: P cre (empenamento restringido) P cre (empenamento livre) = 1,462 (2.39) Para averiguar o impacto da restrição do empenamento no regime pós-crítico de uma cantoneira L1.5 comprimida, Shifferaw e Schafer (214) recorreram um modelo não-linear de elementos finitos com imperfeições geométricas com probabilidade de excedência de 5% e 29

46 amplitudes,34t e,94t [7]. Nessa análise as condições de fronteira nas extremidades do modelo foram variadas sistematicamente por forma a determinar a fonte da resistência de pósencurvadura desse elemento. Na Figura 2.17 apresenta-se: i. Os valores dos ensaios de Young ([8],[9]), em comparação com cargas de colapso para a coluna biencastrada e simplesmente apoiada e carga crítica para a coluna biencastrada e simplesmente apoiada, obtida pelo modelo, para a situação de empenamento livre. ii. Os valores dos ensaios de Young ([8],[9]), em comparação com cargas de colapso para a coluna biencastrada e simplesmente apoiada e carga crítica para a coluna biencastrada e simplesmente apoiada, obtida pelo modelo, para a situação de empenamento restringido. Figura Resultados das cargas de colapso e críticas fazendo variar as condições de apoio de cantoneiras reforçadas ([7]) Estes resultados permitem retirar as seguintes conclusões [7]: Apenas o modelo biencastrado com restrição dos deslocamentos de empenamento concorda com os valores obtidos nos testes. Quando se liberta o empenamento ou se tem condições de apoio simplesmente apoiadas a resistência é bastante inferior à dos testes. Os resultados mostram uma impressionante capacidade de pós-encurvadura nos testes de Young ([8],[9]) e a importância das condições de fronteira sobretudo para os elementos mais compridos. Nesses testes a resistência é bastante superior ao valor da carga crítica para flexão-torção, quando L>1 mm. Este, no entanto, não é um comportamento tipo, uma vez que em colunas simplesmente apoiadas não é observada nenhuma capacidade pós-crítica e o modelo de elementos finitos a solução de encurvadura elástica fornecem exactamente a mesma capacidade. Modelos de elementos finitos onde há libertação do empenamento, independentemente das condições de fronteira, não apresentam capacidade resistente de pós-encurvadura tal reforça a importância que a restrição de deslocamentos de empenamento tem na capacidade pós-crítica de cantoneiras reforçadas. 3

47 Dimensionamento pelo Método da Resistência Directa O MRD dá indicação de capacidades de resistência pós-crítica nula, moderada e significativa para modos de encurvadura global (Pne,g ), distorcional (Pne,d) e local (Pne,l), respectivamente. Shifferaw e Schafer (214) propõem três possíveis abordagens de dimensionamento Opção 1 (Shifferaw e Schafer, 214) Nesta proposta ignora-se a resistência pós-crítica e mantém-se inalterada a curva Pne: Py(.658 λc2 ) se λc 1.5 Pne = { Py (.877 λc 2 ) se λc > 1.5 com λc = Py Pcre (2.4) onde: Pcre = min (Pcre, x; Pcre, ft) (2.41) Opção 2 (Shifferaw e Schafer,214) A segunda hipótese baseia-se no uso das curvas locais de resistência pós-crítica do MRD, com transição de Pne e admitindo a flexão-torção como modo global: Pne, l = {,82 λ c 2 Py se λc 1, Pcre, ft ) [1.15 ( ) ] se λc > 1,446 Py Py( Pcre,ft Py com λc = Py Pcre, ft (2.42) Opção 3 (Shifferaw e Schafer,214) A última alternativa consiste em usar as curvas distorcionais de resistência pós-crítica do MRD, com transição de Pne e admitindo a flexão-torção como modo global: Pne, d = {,735 λ c 2 Py se λc 1, Pcre, ft ) [1.25 ( ) ] Py se λc > 1,264 Py( Pcre,ft Py com λc = Py Pcre, ft (2.43) 31

48 Finaliza-se com a referência de que aqueles autores sugerem a terceira opção de dimensionamento para situações em que o empenamento é restringido, pois é a abordagem de cálculo que mais concorda com os resultados dos ensaios [7] Conclusões As principais noções a reter do trabalho de investigação realizado por Shifferaw e Schafer (214) são: Segundo o autor, a encurvadura em cantoneiras reforçadas envolve modos distorcionais, locais e globais de flexão-torção e de flexão na menor inércia. A gama de valores do comprimento pertencentes ao modo crítico local depende da dimensão do reforço. Existe um valor limite do reforço a partir do qual o aumento da sua dimensão não traz nenhum benefício para a resistência aos fenómenos de encurvadura local. As cantoneiras reforçadas apresentam uma significativa capacidade resistente póscrítica que está intimamente ligada às condições de apoio da coluna. A restrição dos deslocamentos de empenamento tem um profundo impacto na resistência tanto à encurvadura, como à pós-encurvadura destes elementos. A libertação desses deslocamentos torna nula a sua capacidade pós-crítica e as cargas de colapso destas colunas redundam na carga crítica das mesmas. Colunas simplesmente apoiadas não apresentam comportamento de pós-encurvadura. 32

49 3. Comportamento de estabilidade 3.1. Introdução Todas as colunas comprimidas, com configuração inicial perfeitamente rectilínea e colinear com a carga aplicada, apresentam determinados níveis de carregamento, designados de cargas de encurvadura, a partir do qual a estrutura abandona a sua configuração inicial indeformada e passa a apresentar deslocamentos para fora do seu eixo e/ou rotações. Á carga de encurvadura mais baixa dá-se o nome de carga crítica e a correspondente configuração deformada é designada de modo de encurvadura. O processo de determinação das cargas e modos de encurvadura de uma estrutura consiste numa análise linear de estabilidade. O Método da Resistência Directa, assim como as disposições do Eurocódigo 3 e de outras normas, baseia as suas expressões de dimensionamento no valor das cargas críticas das colunas analisadas, uma vez que essas cargas têm impacto directo na resistência desses elementos. Tal realça a importância da caracterização correcta dos modos de deformação envolvidos na encurvadura de colunas, para diferentes secções e condições de apoio, e do conhecimento das correspondentes cargas críticas. Por esse motivo, aprofunda-se no presente capítulo o estudo da encurvadura de cantoneiras reforçadas Análise com base na teoria generalizada de vigas Teoria generalizada das vigas A teoria generalizada das vigas (GBT Generalized Beam Theory na designação anglosaxónica) é uma formulação da teoria elástica de peça lineares que tem a particularidade de incluir modos de deformação da secção e permite resolver problemas de estabilidade elástica e de vibração de barras sujeitas a uma variedade de possíveis carregamentos[19]). Esta teoria decompõe o formato do modo de encurvadura do elemento na combinação linear de modos de deformação, variáveis ao longo da barra, da secção transversal associados a diferentes tipos de comportamento da secção extensão axial, flexão, torção, deformação da parede da secção, deformação distorcional e deformação por corte (excluído dos modos chamados convencionais). O programa GBTUL foi desenvolvido docentes e investigadores do instituto superior técnico com base na Teoria Generalizada das Vigas e revela-se uma poderosa ferramenta na determinação de cargas e modos críticos de secções de parede fina aberta. Esse programa recorre a deslocamentos nodais de determinados pontos da secção para definir os respectivos modos de deformação, às quais recorre para resolver um sistema de equações diferenciais de equilíbrio de onde são determinados os deslocamentos envolvidos na encurvadura (ou vibração) do elemento. Para determinar configurações deformadas longitudinais numa análise de encurvadura do GBT, recorrem-se a funções de aproximação modais, j, que descrevem a variação longitudinal da amplitude do modo de deformação j: 33

50 j = d j sen(n w π L x) (3.1) onde d j é o deslocamento nodal a considerar, n w é o número de semiondas da função de aproximação, x é a coordenada do eixo da peça e L é o comprimento entre apoios. Importa referir que numa análise linear de estabilidade de uma coluna concentricamente comprimida, esta aproximação é exacta para elementos simplesmente apoiados esta constitui a chamada solução analítica do código GBTUL. Na análise de cantoneiras reforçadas, com dois nós intermédios nas abas, três nós nos cantos e dois nas extremidades dos reforços, existem 9 modos de deformação cuja configuração se apresenta na Figura Figura Modos de deformação do GBTUL para uma cantoneira reforçada O modo 2 e 3 representam os modos de flexão na maior e menor inércia, respectivamente, o modo 4 é de torção, o modo 5 é o único modo distorcional da secção e os modos 6,7,8 e 9 correspondem à deformação local das paredes das secção. A grande diferença entre o modo torsional e o local é que ao primeiro estão associados movimentos de corpo rígido da secção (paredes permanecem rectas), enquanto que o segundo apresenta flexão transversal das paredes. É importante salientar que, de acordo com as definições do GBT, o modo torsional (4) é considerado global Secção analisada e notação A secção base da cantoneira analisada no presente capítulo (e ao longo da dissertação) é a mesma que foi estudada por Dinis et al. (212) e corresponde a uma secção monossimétrica com uma dimensão das abas (h) igual a 7 milímetros e espessura (t) igual a 1,2 milímetros. A escolha dessa secção possibilitou a comparação de vários dos resultados com os obtidos por aqueles autores. Cada secção estudada foi então obtida através da secção base e de uma determinada dimensão de reforço (l), a qual se fez variar. 34

51 Sem abuso de linguagem, refere-se ao longo das várias análise ao reforço como lip, designação anglo-saxónica para o mesmo, à cantoneira sem reforços como cantoneira simples e ao patamar, da curva de estabilidade, correspondente à encurvadura por flexãotorção como plateau ([2]). A designação atribuída a cada coluna toma a forma lxly fornece informação em relação ao seu comprimento e às características da secção: x representa a dimensão do reforço e y o comprimento da coluna, ambos expressos em milímetros Modos e cargas críticas Para compreender o comportamento de cantoneiras reforçadas torna-se necessário conhecer os modos de instabilidade e as correspondentes cargas críticas das colunas a estudar. Por esse motivo, começa-se por analisar a (i) evolução da carga crítica nas colunas com o seu comprimento, com uma avaliação dos modos de deformação detectados, seguida de uma (ii) discussão da interacção desses modos e a (iii) comparação da tensão crítica entre colunas Estudo paramétrico Para dar início à análise linear de estabilidade de cantoneiras comprimidas, e com o objectivo de compreender as principais consequências que o reforço tem na estabilidade daqueles elementos, efectuou-se um estudo paramétrico de colunas comprimidas onde se fez variar a dimensão do lip. Esse estudo consiste no cálculo analítico, através do GBTUL, das curvas P cr (L) para colunas simplesmente apoiadas e com recurso a uma única semionda na função de aproximação e tem um carácter essencialmente qualitativo, i.e., permite comparar curvas e identificar tipos de comportamento. Na Figura 3.2 encontra-se a referida curva para o valor do lip a variar como uma percentagem da dimensão da aba (de % a 6%), enquanto que na Figura 3.3 estão representadas as participações dos diferentes modos de deformação (com a notação do GBTUL) envolvidos na encurvadura das colunas correspondentes às relações reforço/aba de 2 e 4 %. Os resultados apresentados revelam alguns aspectos comportamentais já conhecidos das cantoneiras reforçadas ([6]): A partir de dimensões do lip de 2% da aba, as curvas passam a apresentar um máximo local, que corresponde à transição de encurvadura local (6+8) para flexãotorção (4+2). O modo local domina a encurvadura para os comprimentos menores e a transição para os modos globais dá-se para comprimentos maiores, à medida que o lip aumenta. O aumento da participação do modo 2 com o aumento da semionda é progressivamente maior e mais brusco. A região onde a flexão na menor inércia (3) domina decresce com o aumento do reforço. 35

52 Pcr [kn] Pcr(L) - Reforço variável Comprimento da semionda [cm] Lip Lip1 Lip2 Lip3 Lip4 Lip5 Lip6 Figura Curva de estabilidade para uma coluna simplesmente apoiada comprimida e para uma única semionda na função de aproximação da deformada Participação de modos - Lip2% [mm] Participação de modos - Lip4% [mm] Figura Participação dos modos de deformação na encurvadura de cantoneiras para relações reforço/aba de 2% e 4% Estas análises, apesar de serem em tudo iguais às realizadas por Shifferaw e Schafer (214), apresentam importantes diferenças de resultados em relação às obtidas por aqueles autores, nomeadamente o facto de (i) não ter sido detectado o modo distorcional na encurvadura de cantoneiras reforçada e (ii) a discrepância de valores da carga crítica obtidos. Em relação ao segundo ponto, o erro poderá estar na conversão dos valores, realizada pelos autores, de Kip para kn, uma vez que o artigo de Shifferaw e Schafer (214) é de origem Norte-Americana. Relativamente à ausência do modo distorcional, procedeu-se a uma investigação mais aprofundada da sua presença nos diferentes modos de encurvadura de diferentes secções Modo distorcional Obtiveram-se as curvas P cr (L) para os dois primeiros modos de instabilidade, para uma única semionda na deformada de uma coluna simplesmente apoiada comprimida, para os casos correspondentes a Lip1%, Lip2%, Lip3% e Lip4%, que se apresenta nas Figura

53 Pcr(L) - Lip1% Modo 1 Modo Pcr(L) - Lip2% Modo 1 Modo Pcr(L) - Lip3% 3 Pcr(L) - Lip4% Modo 1 Modo Modo 1 Modo Figura Curvas P cr (L) para dois modos de encurvadura e diferentes valores da relação reforço/aba. Apresentam-se ainda, na Figura 3.5, os diagramas de participação dos modos de deformação associados ao segundo modo de instabilidade, ao longo de L, para Lip2% e Lip4% - importa distinguir entre modo de deformação (conjunto de possíveis configurações da secção transversal para o número de nós definidos na análise pelo GBTUL) e modo de encurvadura (possíveis formas de instabilidade da coluna, associadas a uma determinada combinação de modos de deformação e uma carga de encurvadura) Lip2% Lip4% Figura Modos de deformação do 2º modo de encurvadura, para valores da relação reforço/aba iguais a 2% e 4%. Ao contrário do indicado por Shifferaw e Schafer (214), o modo distorcional (5) nunca surge como crítico. No entanto, é observável no 2º modo de instabilidade e tem uma participação significativa, nesse modo, no intervalo de comprimentos de [1; 18] centímetros, chegando a 37

54 valores de 95% para um lip com dimensões iguais a 4% da aba. Constata-se ainda que, apesar de se tratarem também de modos de deformação local, os menores comprimentos são dominados pelo modo 7 e 9, em vez de 6 e 8. Conclui-se, por observação da Figura 3.5, que o modo distorcional é particularmente relevante no 2º modo de instabilidade da coluna e, através da Figura 3.4, que as curvas de estabilidade do 1º e 2º modos se aproximam com o aumento do lip. Na Tabela 3.1 apresenta-se os pontos onde estas duas curvas mais se aproximam (correspondentes aos pontos pretos nafigura 3.4), para cada valor de rácio lip/aba, fazendo-se referência ao rácio entre cargas de instabilidade do 2º e 1º modos (P b (2ºmodo)/P cr ). Lip [% aba] L [cm] P b (2º modo)/p cr [%] p 5 (2º modo) [%] Tabela Relação entre cargas de encurvadura do dois primeiros modos de encurvadura da solução analítica. Por fim, apresentam-se as configurações deformadas da secção de meio-vão, para um modo de encurvadura crítico, correspondente a deformações locais e de flexão-torção (Figura 3.6 à esquerda), e um segundo modo de encurvadura distorcional (Figura 3.6 à direita). Por observação das imagens das deformadas dos dois modos compreende-se que erro de Shifferaw e Shcafer (214) se deve a uma interpretação da deformada. De facto, a primeira imagem corresponde à combinação de movimentos de rotação de corpo rígido da secção (torção), com flexão (no sentido oposto) da parede da secção correspondente ao modo local de encurvadura e ainda flexão na maior inércia. Figura Diferença de configurações deformadas da secção entre o modo crítico (esquerda) e modo distorcional não-crítico (direita). 38

55 Tensão crítica Conhecidos os modos que intervêm na instabilidade de cantoneiras reforçadas, interessa recuperar as expressões das tensões críticas local, de flexão-torção e de flexão na maior inércia, as quais se apresentam nas equações x, y e z, respectivamente: σ cr,ft = π 2 E σ cr,l = K 12(1 ν 2 ) (t h )2 ( I A ) (σ b,f2 + σ b,t ) ( I A ) 2 ((σ b,f2 + σ b,t ) 2 4(( I A ) x 2 cc )σ b,f2 σ b,t 2(( I A ) x 2 cc ) (3.2) (3.3) com: σ b,t = 1 EΓ [ I 12(1 ν 2 ) ( π ) 2 + GJ] σ L b,f2 = π 2 Ei 2 2 (3.4);(3.5) 2 e,t L e,f2 σ b,f3 = π 2 Ei 3 2 L e,f3 2 (3.6) onde i 2 e i 3 são, respectivamente, os raios de giração na maior e menor inércia, x cc é a distância entre o centro de corte e o centro de gravidade da secção, Γ é a constante de empenamento da secção, I é a inércia polar da secção e K é o coeficiente de encurvadura de placas que é tomado como 4 ou,425, consoante se trate de um elemento interno comprimido (distribuição uniforme de tensões) ou em consola. L e,t, L e,f2 e L e,f3 são os comprimentos de encurvadura, respectivamente, de torção, flexão na maior inércia e flexão na menor inércia. Apresenta-se, como exemplo de aplicação das expressões anteriores, a curva de estabilidade de uma coluna comprimida simplesmente apoiada l14, com secções extremas impedidas de rodar por torção e de empenar (Figura 3.7). Deve-se notar que a existência do reforço deve melhorar o comportamento da secção, aumentando a carga crítica local das abas e rigidez de torção e flexão da secção, e nunca tornar-se, ele próprio, no elemento que precipita a instabilidade da secção. Como tal, é possível definir um limite aproximado da dimensão do lip (l), a partir da qual aquele se torna no elemento crítico da instabilidade (admitindo que a encurvadura se dá como elemento em consola): σ cr,l (elemento interno, abas) > σ cr,l (elemento consola, lip) = l h <,326 (3.7) No caso presente, para uma secção com 7 milímetros de dimensão de aba, esse limite de dimensão para o reforço é de 22,82 milímetros, razão pela qual se limita a dimensão dos reforços estudados a 22 milímetros (31,4 % da aba). 39

56 σcr [MPa] 3 Curva de estabilidade l σ b 15 1 σb,f3 σb,ft σb,l L [mm] 1 Figura Curva de estabilidade para uma secção com reforço de 14 mm Análise linear de estabilidade de colunas biencastradas Apresenta-se na Figura 3.8 a curva de estabilidade de cantoneiras simples (l) e reforçadas, com lips a variar de 2 a 22 milímetros (2,9% a 31,4% da dimensão da aba), para uma coluna biencastrada com extremidades impedidas de rodar por torção e empenar. Apresentam-se também as os diagramas correspondentes às participações modais, ao longo do comprimento, da secções l2, l6, l12 e l16 (Figura 3.9) σcr(l) F-F l l1 l2 l3 l4 l6 l8 l12 l16 l18 l2 l L [cm] 1 Figura Curvas de estabilidade de colunas biencastradas para diferentes valores do reforço 4

57 Participação de modos - l2 4 Participação de modos - l Participação de modos - l Participação de modos - l Figura Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros. É notável, em primeiro lugar, que as curvas apresentam o mesmo tipo de configuração das referidas anteriormente, sendo visíveis pontos de transição entre os três modos de deformação que dominam a encurvadura das colunas biencastradas: local, flexão-torção e flexão na menor inércia. Podem-se também fazer as seguintes observações: 1. É perceptível que as curvas de estabilidade convergem, com o aumento da dimensão do reforço e para valores do comprimento entre pequenos a moderados (Lє[2;14] cm), para um patamar horizontal igual com um valor de aproximadamente 235 MPa. A tensão crítica inicial é superior à desse patamar. 2. Todas as curvas aparentam tender para o plateau horizontal de flexão-torção; no entanto, (i) tal sucede em comprimentos diferentes para as diferentes secções, (ii) em vários casos praticamente não existe patamar, i.e., a transição para o modo crítico de flexão na menor inércia dá-se antes de existir patamar (L є [85;1] cm) e (iii) para valores de tensão crítica menores, à medida que aumenta o reforço. 3. A única diferença relevante no comportamento local entre as secções com maiores reforços é ponto para o qual passa de comportamento local para global (flexão-torção). 4. Mesmo dominadas pelo o modo local, para comprimentos reduzidos, as cantoneiras de L2 até L6 apresentam tensões locais bastante diferentes. 5. O ganho de resistência de L1, face a L, é muito reduzido. 6. O valor para o qual se dá a transição do modo de flexão-torção para o de flexão na menor inércia dá-se para valores muito elevados do comprimento). 41

58 Relativamente ao valor inicial das curvas de estabilidade verifica-se que para comprimentos muito reduzidos, a elevada rigidez do lip praticamente encastra a aba; assim, a situação nesses casos aproxima-se da de uma placa apoiada-encastrada, verificando-se um aumento da tensão crítica da ordem de k (enc-ap)/ k (ap-ap)=5,41/4=1,3525. Por outro lado, as diferenças significativas de carga críticas locais nos L2, L3, L4 e L6 devem-se à transição progressiva do modo de encurvadura local, das abas, de uma consola ( lips inferiores) para um elementos internos (para lips superiores). Para esses valores, o aumento do reforço confere estabilidade às abas, como já fora mencionado. O aumento dos lips causa ainda um aumento do empenamento primário, aumentando a rigidez de torção e mantendo a tensão crítica local constante, o que atrasa a entrada no modo crítico de flexão-torção. A justificação para o facto de se terem plateaus gradualmente menores (ou, em alternativa, a transição entre os modos globais se dar para valores gradualmente menores da tensão crítica) é dada pelo valor limite da tensão crítica de flexão-torção quando o comprimento da coluna comprimida é muito elevado: lim σ b,f2 = (3.8) L lim σ cr,ft = lim σ b,t = 1 [GJ] L L I (3.9) Como se pode observar nas equações (3.8) e (3.9), a tensão crítica nessas condições depende, essencialmente, da relação entre J e I ; uma vez que I cresce mais depressa com o aumento das dimensões do reforço do que J, esse valor é mais reduzido para secções com maiores lips. Para compreender a transição de cantoneiras simples para reforçadas, apresentam-se na Figura 3.1 os diagramas com as participações dos modos para as secções l e l Participação de modos - l Participação de modos - l Figura Participação de modos em coluna biencastrada para uma cantoneira "simples" e uma cantoneira com um reforço de 1 mm. Tanto L como L1 são dominados logo no início pelo modo de encurvadura de flexão-torção, no entanto L1 já apresenta uma quantidade apreciável (2%) de participação do modo local. Assim, apesar da presença do lip que, não só aumenta a constante de torção de St. Venant e 42

59 σcr do empenamento secundário como também leva ao desvio da posição do centro de corte que resulta na presença de rigidez de empenamento primário, a presença da participação do modo 6 faz intervir a carga crítica local (elemento em consola), mais reduzida, que baixa a carga crítica da coluna. No caso do L2, o modo dominante já é local. Trata-se de uma transição dos modos de encurvadura Análise linear de estabilidade de colunas encastradas-apoiadas Para avaliar a importância das condições de apoio na estabilidade de cantoneiras reforçadas comprimidas, obtiveram-se as curvas de estabilidade para as colunas estudadas anteriormente e para condições de apoio encastradas na maior inércia e simplesmente apoiadas no plano de menor inércia, correspondentes a uma rótula cilíndrica (denomina-se condições de apoio F-P). Essas curvas encontram-se na Figura σcr(l) F-P l l2 l4 l8 l16 l2 l1 l3 l6 l12 l18 l L [cm] Figura Curva de estabilidade para colunas encastradas-apoiadas com diferentes secções Participação de modos - l Participação de modos - l

60 Participação de modos - l Participação de modos - l Figura Participação de modos de colunas encastradas-apoiadas para reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros. Com base na Figura 3.11 e na Figura 3.12 é possível afirmar que os resultados são em tudo semelhantes aos obtidos anteriormente, com uma única diferença: a passagem do modo de flexão-torção para o modo de flexão na menor inércia (3) dá-se para valores de comprimentos consideravelmente inferiores dos da coluna biencastrada nas duas direcções (F-F) e, como consequência, os lips de maiores dimensões não chegam a ter plateau, passando de uma curva côncava para outra. Por outro lado, todas as secções apresentam transição para o modo 3 dentro dos limites de comprimento definidos ([1;1] cm) e associada a essa transição estão valores de participação do modo 2 mais reduzidos do que no caso da coluna biencastrada. O facto dos valores da carga crítica, tanto na fase local como global por flexão-torção, não variarem de F-F para F-P demonstra que as condições de apoio (encastramento vs apoio cilíndrico) praticamente não têm impacto nesses modos de instabilidade local da cantoneira. No que toca à flexão-torção esse facto é facilmente perceptível, uma vez que apenas tem em conta as condições de fronteira de torção e flexão na maior inércia da coluna. Relativamente à encurvadura local, para as placas formadas pelas abas, as condições de fronteira nas extremidades da coluna pouco ou nenhum impacto têm na sua carga crítica. Deve-se notar que as conclusões apresentadas sobre o impacto das condições de fronteira apresentadas dizem apenas respeito às cargas críticas das colunas e nada esclarecem sobre o comportamento de pós-encurvadura, pois, como foi referido por alguns autores ([5]), a libertação da rotação no plano de menor inércia nas extremidades tem um impacto importante no comportamento de pós-encurvadura de cantoneiras comprimidas Influência da espessura na estabilidade de cantoneiras reforçadas Para completar a análise de estabilidade de cantoneiras reforçadas, analisa-se o efeito que a variação da espessura (t) tem na carga crítica de uma coluna com secção l12, que se assume representativa do conjunto analisado. Para esse efeito, apresenta-se a curva de estabilidade 44

61 σcr [kn] desse elemento, para condições de apoio correspondentes a biencastrada, para valores de t de 1,2, 1,5 e 2 milímetros na Figura Curva de estabilidade para l12 com t variável 8 l12;t=1.2mm 7 6 l12; t=1.5mm 5 l12; t=2mm L [cm] 1 Figura Impacto do aumento de t na curva de estabilidade de uma cantoneira com 12 milímetros de reforço. Da observação da Figura 3.13 verifica-se, por um lado, que o (i) impacto da variação da espessura é elevado na carga crítica local das cantoneiras reforçadas e praticamente desprezável na carga crítica de flexão-torção e que (ii) o comprimento da coluna para a qual se dá a transição entre o modo local e o global reduz-se com o aumento da espessura. Relativamente à primeira observação, verifica-se por aplicação da expressão da tensão crítica local que a relação entre essa tensão para duas secções iguais com diferentes espessuras, t 1 e t 2, é dada simplesmente pelo quadrado da relação t 2 /t 1 essa relação encontra-se ilustrada na equação (3.1). σ cr,l (t 2 ) σ cr,l (t 1 ) = (t 2 t 1 ) 2 (3.1) Importa referir que no caso da flexão-torção, esse tipo de relações não é tão fácil de obter. Quanto ao comprimento de transição entre modos, este reduz-se por se verificar o referido aumento da carga crítica local, o que leva a que as curvas dos modos 6 e 2+4 se intersectem para comprimentos menores. 45

62 46

63 4. Comportamento de pós-encurvadura 4.1. Introdução No capítulo anterior discutiram-se cargas e modos de encurvadura, os quais dizem respeito ao problema bifurcacional numa coluna perfeita, i.e., a uma situação em que se passa de uma configuração sem deslocamentos iniciais para fora do eixo da peça linear para outra com os referidos deslocamentos. No entanto, as estruturas reais apresentam de uma forma geral imperfeições que, quando o equilíbrio na estrutura é considerado na sua posição deformada, potenciam o desenvolvimento de deslocamentos antes de se atingir a carga crítica a isto corresponde a designação de análise geometricamente não-linear. Por outro lado, o facto do próprio material apresentar um ponto limite, a partir do qual deixa de ser válida a relação elástica linear entre tensões e deformações (cedência), contribui para a não-linearidade, neste caso física, do problema. No presente capítulo, procura conhecer-se a resposta geométrica e fisicamente não-linear de colunas biencastradas concentricamente comprimidas, as quais se separam de acordo com o modo crítico que apresentam: local ou flexo-torsional Análise por elementos finitos Escolha dos perfis a analisar A escolha dos perfis baseia-se em três objectivos: 1. Estudar o comportamento de pós-encurvadura para diferentes tipos de encurvadura no modo crítico (local e flexão-torção, este último para diferentes participações da flexão na maior inércia). 2. Compreender a importância da interacção de modos de encurvadura não-críticos (como o modo distorcional e a flexão na menor inércia) no colapso da coluna e do comportamento em pontos de transição entre modos (ex: passagem do modo local para o de flexão-torção). 3. Obter uma boa distribuição de valores de cargas últimas, bem distribuídas em relação à esbelteza; tal implica a escolha de valores de esbelteza normalizada que cubram o range obtido na análise linear de encurvadura. Para tal adopta-se a cantoneira com abas de dimensões de 7 mm e 1,2mm de espessura, que se mantém constante ao longo de toda a análise e faz-se variar as dimensões dos reforços e comprimentos das colunas por forma a fazer variar a esbelteza. O objectivo do recurso à esbelteza normalizada está ligado ao facto de se pretender obter resultados passíveis de serem transpostos para colunas com outras dimensões, o que implica uma relação entre a resistência dos perfis e a sua esbelteza (esta condição será objecto de estudo mais adiante). 47

64 σcr [MPa] Á luz da análise de estabilidade realizada anteriormente, a escolha da dimensão dos lips conduz a que se adoptem valores: i. Reduzidos, de forma a estudar a passagem de cantoneira simples para a reforçada. ii. iii. Intermédios, onde se pretende captar os diferentes tipos de comportamento ( carga crítica local ou de flexão-torção) Moderadamente elevados, com um valor máximo de 22mm, a partir do qual passa a ser o reforço passa a ser o elemento condicionante na instabilidade da cantoneira. Os valores escolhidos foram: l= 2, 6, 12, 18 e 22 mm e correspondem a reforços correspondentes a 2,86%, 8,57%, 17,14%, 25,71% e 31,43% da dimensão das abas. Os valores dos comprimentos foram escolhidos de forma a ser representativos de situações correntes e realísticas e ainda de forma a obter diferentes valores de esbelteza normalizada e comportamentos diferentes no modo crítico. Os valores escolhidos foram: L = 6, 8, 94, 1, 13, 15, 25 e 35 mm. Toda a informação relevante dos perfis analisados encontra-se resumida na tabela do Anexo B. Dos resultados aí apresentados, realça-se o valor da esbelteza normalizada base, que foi calculada para um aço S235 (fy=235 MPa) de acordo com: λ = fy σ cr (4.1) 35 3 Perfis escolhidos - curva de estabilidade F-F L [cm] L L2 L6 L12 L18 L22 Figura Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas. 48

65 Modelação por elementos finitos O programa ABAQUS permite analisar, com relativa facilidade, problemas mecânicos (e não só) extremamente complexos. Para o efeito, o programa recorre ao método dos elementos finitos para resolver sistemas numéricos com um elevado número de variáveis, correspondentes aos graus de liberdade associados à malha e ao carregamento definidos pelo utilizador. Uma vez que no caso presente se pretende estudar a estabilidade e comportamento geométrica e fisicamente não-linear de elementos susceptíveis a deformação local das paredes, consequência da sua elevada esbelteza, a modelação foi realizada com recurso a elementos de casca de quatro nós, designados elementos S4. Relativamente às condições de apoio de duplo encastramento, estas foram conseguidas unindo os nós dos elementos que constituem as secções de extremidade a um nó auxiliar, por meio de elementos rígidos de três nós (designação: R3D3), que foi posteriormente impedido de rodar nas três direcções e de se deslocar em todas as direcções excepto o eixo da cantoneira. A coluna foi então impedida de se deslocar no seu eixo, bloqueando esses deslocamentos num nó da secção de meio-vão. As condições de apoio foram assim definidas de forma a (i) garantir a simetria da deformada e (ii) permitir a aplicação do carregamento nas extremidades da coluna. A aplicação do carregamento de compressão foi feita através de uma carga de faca (FL -1 ) aplicada nos elementos de extremidade e com valor igual à espessura da secção, o que equivale a uma tensão unitária. Figura Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF discretizada. Importa referir que a modelação da coluna foi realizada, não recorrendo ao interface gráfico do programa, mas antes através de ficheiros de texto que serviram como input (ficheiros INP) dos dados do problema. Assim, a implementação da geometria correspondeu à definição das coordenadas de determinados nós e elementos finitos das secções extremas e geração automática dos restantes. Quanto ao número de elementos finitos usados, todas as secções foram modeladas com 18 elementos, o que corresponde a 19 nós por secção, e procurou terse elementos finitos com iguais dimensões nas duas direcções (apenas nas abas), o que conduziu a um total de 18, 144, 1692, 18, 27, 45 e 63 elementos S4 para colunas com 6, 8, 94, 1, 15, 25 e 35 milímetros de comprimento, respectivamente. 49

66 Figura Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS. No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares do presente capítulo, estas foram geradas a partir da configuração deformada dos modos críticos detectados numa análise linear de estabilidade inicial, a qual gerou um ficheiro (ficheiros FIL) com essa informação para utilização posterior em análises de pós-encurvadura. As configurações das imperfeições vêm normalizadas, i.e., têm valor máximo de deslocamentos igual a 1 e são posteriormente ajustadas à amplitude requisitada pelo utilizador Análises efectuadas e notação Como já foi referido, o programa ABAQUS revela-se uma ferramenta poderosa para a resolução de vários problemas mecânicos, entre os quais análises lineares e não-lineares de estabilidade. No contexto do comportamento de cantoneiras reforçadas, as análises realizadas dividiram-se entre: (i) Análises lineares de estabilidade, necessárias para a determinação das imperfeições geométricas do modo crítico das colunas já referidas e para validação do modelo (comparando as cargas críticas com as obtidas pelo programa GBTUL). (ii) Análises geométrica e fisicamente não-lineares, através do método de Riks ([16]), que são o foco do presente capítulo. Através destas últimas obtiveram-se trajectórias de pós-encurvadura, elásticas e elastoplásticas, perfis longitudinais de deslocamentos, distribuições de tensões na secção, configurações deformadas (2D e 3D) e distribuições de deformações plásticas na secção que servem de base para o estudo e compreensão do comportamento em regime não-linear de cantoneiras reforçadas. 5

67 Para que estes resultados fossem possíveis, foi necessário definir os deslocamentos envolvidos na deformação das colunas, assim como estabelecer relações com o sistema de eixos utilizados na análise. Na Figura 4.4 encontra-se representado, à esquerda e à direita, respectivamente: Configuração da cantoneira e do sistema de eixos originais do programa (x,z) e rodados (com as direcções principais de inércia e a passar no canto da secção x,z ); deslocamentos no canto da secção nas direcções de maior e menor inércia (d M e d m, respectivamente) e no centro da aba (correspondentes à flexão local das paredes δ). Efeito de uma translação (u z ) na maior inércia e rotação de torção (β) na secção, assim como a posição inicial e final do centro de corte (x cc e x cc, respectivamente) e da cantoneira reforçada, onde A, B e C assinalam os cantos da secção. Figura Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado. A notação dos eixos e deslocamentos apresentada será a utilizada ao longo da dissertação, enquanto que a referência a perfis e modos de encurvadura será feita através da notação definida no capítulo anterior. A observação da Figura 4.4 permite concluir que a rotação, β, e o deslocamento do canto segundo a maior inércia, d M, não são independentes, o que é uma consequência do facto de se ter simetria apenas segundo um eixo. Tal obrigou a que se calculassem as rotações, β, através de dois pontos da secção (admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos): β = u z B u z A x B x A (4.2) No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares, estas foram tomadas com amplitude igual a 1% da espessura. A escolha desta imperfeição vem do facto de esta ter sido usada em estudos sobre cantoneiras (ver capítulo Estado da Arte ), pelo que se seguiu a mesma metodologia. 51