Interacção entre instabilidade local-de-placa e distorcional em colunas de aço enformadas a frio de secção em Z

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1 Interacção entre instabilidade local-de-placa e distorcional em colunas de aço enformadas a frio de secção em Z Carlos Eduardo Aniceto de Serra Barreta Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões Orientadores: Prof. Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Prof. Dinar Reis Zamith Camotim Vogal: Prof. João Carlos Gomes Rocha de Almeida Junho de 2011

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3 Resumo Apresentam-se e discutem-se os resultados de um estudo sobre o comportamento de pósencurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, de perfis de aço enformados a frio com secção em Z, quando afectados por fenómenos de interacção entre modos de instabilidade local-de-placa e distorcional. As análises geometrica e fisicamente não lineares são efectuadas através do método dos elementos finitos, utilizando o programa ABAQUS e adoptando elementos de casca para discretizar os perfis. As colunas analisadas (i) exibem secções extremas articuladas (local e globalmente) e com empenamento livre, (ii) têm secções transversais com dimensões que asseguram tensões críticas local-de-placa e distorcional com o mesmo valor, e (iii) contém imperfeições geométricas com várias configurações (combinações lineares dos modos local-de-placa e distorcional) e uma amplitude comum. Os resultados numéricos apresentados consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura elásticas e elastoplásticas, (ii) curvas que descrevem o modo como a configuração deformada da coluna evolui ao longo das trajectórias elásticas e (iii) figuras que mostram a evolução da deformação plástica e as características do modo de colapso das colunas elasto-plásticas. Palavras-chave Colunas de aço enformadas a frio de secção em Z Instabilidade local-de-placa e distorcional Interacção modal Pós-encurvadura elástica e elasto-plástica Método dos elementos finitos

4 Abstract One presents and discuss the results of a study on the behavior of post-buckling in elastic and elastic-plastic, steel cold formed Z-section affected by phenomena of interaction between local-plate/distortional buckling modes. All geometric and physically nonlinear analysis are carried out by finite element method using the program ABAQUS and adopting shell elements to discretize the columns. The analyzed columns (i) exhibit extreme articulated sections (locally and globally) and are warp free, (ii) have cross sections with dimensions that provide similar local-plate/distortional stress values (iii) contains geometric imperfections with various configurations (linear combinations of local-plate/distortional modes) and a common amplitude. The numerical results consist of (i) elastic and elastic-plastic post-buckling trajectories, (ii) curves that describe how the deformed configuration of the column evolves along the elastic trajectories and (iii) figures showing the plastic deformation evolution and the elastic-plastic columns collapse mode characteristics. Keywords Cold formed steel Z-section columns Local-plate and distortional buckling Mode interaction Elastic and elastic-plastic post-buckling Finite element method

5 ÍNDICE Índice de Figuras...III Índice de Tabelas... VII CAPÍTULO INTRODUÇÃO 1.1. Considerações gerais Motivação e âmbito do trabalho Organização do trabalho...6 CAPÍTULO CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2.1. Introdução Conceitos básicos Análises de estabilidade Estabilidade de perfis metálicos de parede fina Instabilidade global e local Interacção entre modos de instabilidade Métodos de análise...22 CAPÍTULO MODELAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS 3.1. Introdução Discretização do perfil Escolha do elemento finito Definição da malha Condições de apoio Carregamento Imperfeições iniciais Modelação do material Técnicas de resolução numérica Exemplos de validação Análise linear de estabilidade Análise de pós-encurvadura...40 CAPÍTULO ANÁLISE DE PÓS-ENCURVADURA COM INTERACÇÃO MODAL 4.1. Introdução Selecção da geometria dos perfis...44 I

6 4.2.1 Estudos paramétricos Escolha do perfil em interacção modal Análise por elementos finitos do perfil seleccionado Imperfeições geométricas iniciais Simetria Análise de pós-encurvadura Pós-encurvadura em regime elástico Pós-encurvadura em regime elasto-plástico CAPÍTULO CONSIDERAÇÕES FINAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Referências II

7 Índice de Figuras Figura 1.1 (a) Perfis de secção aberta e fechada, (b) painéis e (c) laminagem a frio de elementos estruturais de aço enformados a frio. 2 Figura 1.2 Configurações dos modos de instabilidade de uma coluna simplesmente apoiada com secção em C: (a) local de placa, (b) distorcional, (c) flexão-torção e (d) flexão. 3 Figura 1.3 Figura 2.1 Configurações dos modos de instabilidade (a) local, (b) distorcional e (c) combinado (com interacção entre os modos local e distorcional) de uma coluna simplesmente apoiada com secção em Z. Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo [29] Figura 2.2 Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [29]. 12 Figura 2.3 Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada [29]. 12 Figura 2.4 Trajectórias de pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétricos estável e instável [29]. 13 Figura 2.5 Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [25]. 18 Figura 2.6 Exemplos de configurações deformadas de uma viga com secção em Z: (a) modo local (b) modo distorcional e (c) modo combinado local/distorcional. 18 Figura 2.7 Curvas λ b vs. L ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global, (b) interacção distorcional/global e (c) interacção local/distorcional/global [25]. 21 III

8 Figura 2.8 Discretização de uma barra de secção em C (a) em elementos finitos de casca, (b) em faixas finitas [1]. 24 Figura 3.1 (a) Elemento com quatro nós. Localização dos pontos de integração da parcela de corte dos elementos (b) S4 (integração completa), e (c) S4R, S4R5 (integração reduzida). 26 Figura 3.2 Influência do elemento finito no valor da tensão crítica em colunas de secção (a) em C e Z e (b) em Rack [35]. 28 Figura 3.3 Influência do elemento finito nas trajectórias de pós-encurvadura distorcional de coluna de secção em C [36]. 28 Figura 3.4 Ilustração da diferença entre as rotações de flexão globais e locais [35]. 30 Figura 3.5 Influência da concentração de tensões no valor da tensão crítica em colunas de secção em (a) C, (b) Z e (c) Rack [35]. 32 Figura 3.6 Perfil em Z submetido à compressão uniforme. 33 Figura 3.7 Perfil em Z submetido à flexão uniforme. Modo de instabilidade e momento crítico associado a dois carregamentos estaticamente equivalentes [25]. 34 Figura 3.8 Curvas tensão-deformação para dois tipos de aço [42]. 36 Figura 3.9 Alguns modelos de comportamento mecânico adoptados para o aço: modelo (a) elástico linear, (b) elasto-plástico perfeito e (c) elastoplástico com endurecimento. 36 Figura 3.10 Trajectória de equilíbrio não linear genérica. 37 Figura 3.11 Modo de instabilidade dos perfis: (a) C e (b) Z [25]. 40 Figura 3.12 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da coluna C. 41 Figura 3.13 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da viga Z. 41 IV

9 Figura 4.1 Variação da carga P b de bifurcação com o comprimento L de colunas de secção em Z. Perfil com valores mínimos P L e P D (a) diferentes ou (b) semelhantes. 46 Figura 4.2 (a) Dimensões da secção transversal com variação da alma e (b) curvas σ b vs L. 47 Figura 4.3 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos banzos e (b) curvas σ b vs L. 47 Figura 4.4 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos reforços e (b) curvas σ b vs L. 48 Figura 4.5 (a) Dimensões da secção transversal com variação da espessura e (b) curvas σ b vs L. 48 Figura 4.6 (a) Geometria da secção transversal do perfil seleccionado, (b) curva σ b vs. L e (c) configuração deformada da secção transversal referente a três modos de instabilidade das colunas: I-Modo local; II- Modo distorcional; III-Modo global (flexão). 50 Figura 4.7 Análise de estabilidade do perfil seleccionado. (a) Curva σ b vs. L e (b) configuração do modo de instabilidade acoplado local/distorcional. 52 Figura 4.8 Imperfeição geométrica inicial dos perfis. Factores de participação dos modos L e D. 54 Figura 4.9 Figura 4.10 Figura 4.11 Configuração das imperfeições geométricas iniciais puras da coluna Z: locais (θ= 90º e 270º) e distorcionais (θ=0º e 180º). Trajectórias de equilíbrio (a) P/P cr vs. v/t e (b) P/P cr vs. w/t das colunas com imperfeições distorcionais puras (θ=0º) e locais puras (θ=90º). Configuração deformada da coluna com imperfeições iniciais definidas por (a) θ=0º e (b) θ=90º Figura 4.12 Pós-encurvadura de colunas de secção em C com imperfeições iniciais θ=0º, 90º, 180º e 270º. Trajectórias de equilíbrio (a) P/P cr vs. v/t e (b) P/P cr vs. w/t [45]. 59 Figura 4.13a Trajectórias de equilíbrio P/P cr vs. v/t das colunas Z com imperfeições caracterizadas por 0º θ 90º. 60 V

10 Figura 4.13b Trajectórias de equilíbrio P/P cr vs. w/t das colunas Z com imperfeições caracterizadas por 0º θ 90º. 60 Figura 4.14 Identificação das componentes distorcional (C D ) e local (C L ) de uma configuração deformada genérica da coluna. 61 Figura 4.15 Evolução do quociente de interacção modal C L /C D ao longo das trajectórias de equilíbrio. 62 Figura 4.16 Evolução do quociente de interacção modal CL /CD ao longo das trajectórias de equilíbrio para colunas de secção em C. 63 Figura 4.17 Trajectórias de pós-encurvadura elasto-plásticas P/P cr vs. v/t das colunas com imperfeições 0º 90º para (a) f y =355 MPa, (b) f y =460 MPa e (c) f y =550 MPa. 65 Figura 4.18 Diagramas de deformação plástica e configuração deformada no colapso de colunas com imperfeições geométricas iniciais (a) θ=0º e (b) θ=90º (f y /σ cr 2,08 f y =460 MPa). 66 VI

11 Índice de Tabelas Tabela 3.1 Geometria e características elásticas dos perfis analisados. 39 Tabela 3.2 Carga/momentos críticos e modos de instabilidade dos perfis. 40 Tabela 4.1 Dimensão do perfil, carga crítica e natureza do modo de instabilidade do perfil seleccionado. 52 Tabela 4.2 Resistência última (P u /P cr ) das colunas Z para diferentes valores de θ e f y. 67 VII

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13 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1. Considerações gerais Por razões de ordem económica e/ou estética, os engenheiros têm sido desafiados ao longo dos tempos a conceber e dimensionar estruturas cada vez mais leves e resistentes. Esta constante procura de uma maior eficiência deu origem a soluções estruturais muito variadas, com a solução metálica a ser uma das mais vantajosas. De facto, a elevada resistência e a considerável ductilidade dos metais, designadamente do aço, aliada à pré-fabricação e ao transporte fácil dos elementos estruturais, à rapidez de montagem e desmontagem das estruturas, e à possível reutilização dos materiais, tornam esta solução cada vez mais competitiva em termos estruturais, originando elementos estruturais muito esbeltos. Contudo, a elevada esbelteza destes elementos acaba por os tornar bastante susceptíveis a fenómenos de instabilidade, o que explica a importância que a estabilidade tem no estudo do comportamento de estruturas de secção de parede fina, em particular, quando constituídas por perfis de aço enformados a frio. Os primeiros elementos estruturais de aço enformados a frio surgiram no início do século XX, no âmbito da indústria automóvel, com o seu uso a ser rapidamente estendido a outras indústrias, como a aeronáutica e a naval. A excelente resistência exibida por estes elementos, aliada à reduzida quantidade de material utilizado (aspecto de particular importância devido à diminuição da quantidade de aço disponível), esteve na origem do sucesso desta solução estrutural, a qual foi inicialmente adoptada na indústria da construção civil em termos de edifícios industriais [1]. Os elementos estruturais enformados a frio são obtidos tirando partido da grande ductilidade que caracteriza determinados tipos de aços. De facto, esta característica material 1

14 permite obter a partir de chapas de reduzida espessura (entre 0,4 e 6 mm), e sem custos significativos, perfis e painéis de elevada resistência e com secção transversal de geometria muito variada (função das necessidades de aplicação) nas Figuras 1.1(a)-(b) apresenta-se um conjunto de secções transversais de perfis e painéis utilizados no âmbito da engenharia civil, e na Figura 1.1(c) ilustra-se um dos processos mais utilizados para dar forma aos perfis (laminagem a frio ou cold rolling, na designação anglo-saxónica) [2]. (a) (b) Figura 1.1 (a) Perfis de secção aberta e fechada, (b) painéis e (c) laminagem a frio de elementos estruturais de aço enformados a frio. (c) Contudo, os perfis enformados a frio exibem (i) uma reduzida rigidez de torção, em particular, os de secção aberta, e (ii) uma grande deformabilidade, com o empenamento das secções a poder ser muito significativo. Por outro lado, a grande esbelteza dos perfis, aliada à sua elevada resistência, torna-os bastante susceptíveis a fenómenos de instabilidade, os quais podem ter natureza local ou global [1]. Os modos de instabilidade locais são caracterizados pelo facto de o eixo da barra permanecer indeformado e de as secções transversais se deformarem no seu próprio plano, com a instabilidade a poder ocorrer tanto em modos locais de placa (apenas ocorrem deslocamentos de flexão das paredes do perfil), como (ii) distorcionais (a deformação da secção ocorre, fundamentalmente, por distorção, com determinadas paredes a exibirem deslocamentos quase de corpo rígido, flectindo as restantes por compatibilidade). Por sua vez, os modos de instabilidade globais são caracterizados pelo facto de o eixo da barra se deformar e de as secções transversais sofrerem apenas deslocamentos de corpo rígido no seu plano, podendo a instabilidade ocorrer tanto por (i) flexão (as secções transversais sofrem translação), como por (ii) flexão-torção (as secções sofrem simultaneamente translação e rotação) a título ilustrativo, na Figura 1.2 representa-se a configuração deformada dos referidos modos para uma coluna de secção em C. Dependendo (i) da geometria do elemento estrutural (e.g., configuração e dimensões da secção transversal, 2

15 comprimento), (ii) das suas condições de apoio (e.g., secções extremas apoiadas, encastradas), e (iii) do carregamento a que está submetido (e.g., compressão, flexão, flexo-compressão), qualquer um destes modos de instabilidade pode ser crítico. Além disso, chama-se a atenção para o facto de que, para determinadas dimensões dos perfis, poder ocorrer uma bifurcação simultânea (ou quase) em mais do que um modo de instabilidade de natureza distinta (i.e., envolvendo dois ou mais dos mencionados anteriormente), facto que está na origem dos chamados fenómenos de interacção Beams entre modos de instabilidade (interacção modal), âmbito no qual este estudo se insere. Columns (a) (b) (c) (d) Figura 1.2 Configurações dos modos de instabilidade de uma coluna simplesmente apoiada com secção em C: (a) local de placa, (b) distorcional, (c) flexão-torção e (d) flexão. A determinação rigorosa do comportamento estrutural de perfis com secção de parede fina, em particular na presença de fenómenos de instabilidade local, tem sido efectuada recorrendo a métodos numéricos sofisticados (método dos elementos finitos, das faixas finitas, etc.) e também a ensaios experimentais. Deste modo, tem sido possível obter um conhecimento suficientemente sólido sobre o comportamento de pós-encurvadura de perfis de parede fina, o qual permitiu desenvolver modelos com um adequado suporte físico para serem utilizados no dimensionamento dos mesmos. Os estudos efectuados sobre perfis de parede fina permitiram concluir que estes exibem comportamentos de pós-encurvadura local de placa e global estáveis, com diferentes resistências pós-críticas: elevada no primeiro caso e diminuta no segundo. Por outro lado, estudos recentes mostraram também que o comportamento de pós-encurvadura distorcional se situa entre os dois anteriores (em termos cinemáticos e de resistência), exibindo em alguns casos uma clara assimetria em relação ao sentido do movimento dos banzos e.g., [1, 3]. Quanto aos fenómenos de interacção que podem afectar a pós-encurvadura e a resistência última dos perfis, os devidos à quase coincidência entre as tensões críticas local de placa e global são bem conhecidos os seus efeitos são contabilizados nos regulamentos de estruturas metálicas, através da largura efectiva ou do recente Método da Resistência Directa ( Direct Strength Method, em língua inglesa), o qual foi proposto por Schafer e recentemente incorporado na regulamentação australiana e norte americana [4, 5]. Quanto aos fenómenos que resultam da interacção do modo distorcional com os restantes dois, i.e., a interacção local de placa/distorcional, distorcional/global e local de placa/distorcional/global, só mais 3

16 recentemente têm sido objecto de análise. Note-se que, o conhecimento sobre o efeito das referidas interacções no desempenho dos elementos estruturais, designadamente em termos da sua resistência última, é importante pois sem esse conhecimento não é possível garantir que as fórmulas e/ou procedimentos incluídos nos códigos de dimensionamento (por norma, estabelecidas na ausência de interacção) continuam a ser racionais, eficientes e seguros. Das três interacções atrás mencionadas, sem dúvida que a primeira é a mais estudada, como demonstram os trabalhos sobre colunas com secção em C e interacção local de placa/distorcional realizados por Hancock et al. [6], Schafer e Peköz [7], Ungureanu e Dubina [8], Yang e Hancock [9, 10], Dinis et al. [11, 12] e Silvestre et al. [13-15]. Chama-se também a atenção para o facto de que alguns dos estudos mencionados terem permitido desenvolver e calibrar novas aplicações do Método da Resistência Directa para ter em conta o efeito da referida interacção no dimensionamento de perfis de aço enformados a frio (e.g., [10, 15]). Os estudos sobre o efeito da interacção distorcional/global e local de placa/distorcional/global na pós-encurvadura e resistência última de perfis são ainda mais recentes e em número mais reduzido, sendo de destacar os elaborados por Dinis e Camotim [16-18] e por Rossi et al. [19], os quais analisaram o efeito dessa interacção em colunas com secção em C, de aço carbono e de aço inoxidável, com os primeiros estudos a identificarem as imperfeições iniciais mais desfavoráveis em termos de resistência última destes perfis no entanto, ainda está por verificar se as expressões actuais do Método da Resistência Directa podem ser utilizadas no dimensionamento desses perfis quando estes são afectados por tais interacções Motivação e âmbito do trabalho Em face do exposto anteriormente, pode concluir-se que o estudo do comportamento de perfis de parede fina, quando afectados por interacções envolvendo o modo distorcional, constitui um tema bastante actual no âmbito dos perfis enformados a frio, sendo de destacar a actividade de investigação que nos últimos anos tem vindo a ser desenvolvida no Instituto Superior Técnico neste âmbito em particular, refiram-se os estudos efectuados sobre a interacção local de placa/distorcional [11, 12, 20, 21], distorcional/global [16, 17, 22] e local de placa/distorcional/global [18, 22, 23]. Contudo, esta investigação tem-se centrado sobretudo em perfis de secção em C (secções extremas apoiadas ou encastradas), quando submetidos a compressão uniforme (colunas) efectivamente, fora deste contexto, apenas foram estudadas (i) colunas de 4

17 secção em rack 1 [24] e (ii) vigas de secção em C, i.e., perfis submetidos a flexão recta (uniforme) em torno do eixo de maior inércia [25, 26]. O objectivo deste trabalho consiste em estudar o comportamento de pós encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, de barras simplesmente apoiadas com secção em Z, quando submetidas a compressão uniforme nomeadamente, pretende-se verificar quais as semelhanças e diferenças de comportamento em relação ao observado em colunas de secção em C [12, 13]. Os perfis seleccionados apresentam dimensões tais que originam a bifurcação nos modos local de placa (por simplicidade, este modo passará a ser designado daqui para a frente apenas por local L) e distorcional (D) para valores de carga/tensão semelhantes a título de exemplo, representa-se nas Figuras 1.3(a)-(b) a configuração desses modos, com a Figura 1.3(c) a ilustrar um caso de interacção entre os referidos modos de instabilidade. A selecção dos perfis, i.e., a identificação de uma geometria que conduzisse a valores semelhantes de carga/tensão de bifurcação nos modos L e D, fez-se recorrendo a análises de estabilidade efectuadas por faixas finitas no programa comercial CUFSM [27]. Por sua vez, estudou-se o comportamento de pós-encurvadura dos perfis seleccionados por elementos finitos, recorrendo ao programa comercial ABAQUS [28] e discretizando as colunas por elementos de casca de 4 nós. Analisou-se um grande número de colunas que apenas diferem na forma da imperfeição inicial (as configurações consideradas são obtidas por combinação linear das formas dos modos de instabilidade L e D, todas com uma amplitude igual a 10% da espessura da parede t) com o objectivo de identificar, nomeadamente, (i) as características mais importantes do fenómeno, (ii) os modos de colapso mais comuns e (iii) as imperfeições iniciais críticas, i.e., as que conduzem a uma maior redução da resistência última dessas colunas, as quais desempenham um papel importante no dimensionamento dos perfis afectadas por interacção L/D. Efectivamente, o conhecimento dessas imperfeições é essencial para se poderem efectuar estudos numéricos exaustivos envolvendo perfis com diferentes geometrias, condições de apoio e tensões de cedência do material esses estudos visam obter uma base de dados suficientemente vasta sobre a resistência última de perfis afectados por interacção L/D que possibilite avaliar se as expressões actuais do já referido Método da Resistência Directa permanecem eficientes e seguras quando as colunas são afectadas pela referida interacção. 1 Esta designação deve-se ao facto de este tipo de perfis ser utilizado em estruturas de armazenamento ( storage rack, na língua inglesa). 5

18 (a) (b) (c) Figura 1.3 Configurações dos modos de instabilidade (a) local, (b) distorcional e (c) combinado (com integração entre os modos local e distorcional) de uma coluna simplesmente apoiada com secção em Z Organização do trabalho O presente trabalho tem por base dois estudos anteriores de âmbito semelhante [20, 25], dos quais se retém muito dos conteúdos relativos a conceitos básicos, caracterização dos métodos numéricos de análise e organização do trabalho. Assim, no presente capítulo faz-se uma apresentação de carácter introdutório ao tema da dissertação, indicam-se as motivações que estiveram na origem do trabalho realizado e descreve-se o conteúdo dos restantes quatro capítulos da dissertação. No Capítulo 2 apresentam-se os principais conceitos subjacentes ao trabalho. De facto, neste capítulo ilustram-se alguns conceitos básicos de estabilidade e caracterizam-se os fenómenos de instabilidade que podem ocorrer em perfis metálicos de secção de parede fina. O capítulo termina com a apresentação dos tipos de análises de estabilidade e com uma breve caracterização dos métodos numéricos utilizados neste trabalho para efectuar as referidas análises. No Capítulo 3 apresentam-se vários aspectos relativos à utilização e implementação computacional do método dos elementos finitos, com vista a efectuar a análise linear de estabilidade e a análise de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio. Abordam-se os aspectos relacionados com (i) a discretização dos perfis, (ii) a modelação das condições de apoio e do carregamento, (iii) as imperfeições iniciais a considerar nas análises de pós-encurvadura, (iv) os modelos constitutivos adoptados para o aço e, finalmente, (v) as técnicas de resolução de problemas de valores próprios (análise linear de estabilidade) e de sistemas de equações de equilíbrio não lineares (análises de pós-encurvadura). O capítulo termina com alguns exemplos de validação dos procedimentos adoptados. No início do Capítulo 4 faz-se a selecção dos perfis de aço enformados a frio, simplesmente apoiados e com secção em Z, submetidos a compressão pura, afectados por interacção L/D, i.e., colunas que apresentam instabilidade num modo acoplado com interacção entre o modo local e o modo distorcional. A identificação das dimensões dos perfis é efectuada 6

19 a partir da análise linear de estabilidade, recorrendo ao método das faixas finitas, sendo escolhidas dimensões que conduzem a valores semelhantes das cargas de bifurcação nos dois modos referidos. Seleccionados os perfis, o capítulo apresenta o conjunto de imperfeições iniciais considerado na análise de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, das colunas simplesmente apoiadas de secção em Z, afectadas por interacção L/D. Os resultados que se apresentam e comentam, consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura relativas a pontos significativos dos perfis, (ii) configurações de pós-encurvadura, (iii) gráficos que ilustram a evolução da contribuição das componentes modais para a configuração deformada dos perfis ao longo das trajectórias de equilíbrio, (iv) diagramas que ilustram a evolução das deformações plásticas, e por fim, (v) as configurações deformadas dos perfis no colapso. Finalmente, o Capítulo 5 inclui uma síntese dos principais resultados obtidos e as conclusões mais importantes a que se chegou com este trabalho. Faz-se ainda alusão a alguns tópicos que se julga de interesse a desenvolver em trabalhos futuros. 7

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21 CAPÍTULO 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2.1. Introdução Este capítulo tem como finalidade apresentar os principais conceitos teóricos necessários à elaboração da dissertação. De modo a fundamentar todas as considerações tomadas, ilustram-se alguns conceitos de estabilidade, caracterizam-se os tipos de instabilidade que podem ocorrer em perfis metálicos de secção de parede fina e, finalmente, mostram-se os tipos de análises de estabilidade e caracterizam-se alguns métodos numéricos disponíveis para efectuar as referidas análises Conceitos básicos De acordo com Reis e Camotim [29], considere-se o modelo ideal 2, representado na Figura 2.1, com apenas 1 grau de liberdade, constituído por duas barras rígidas e articuladas, em que o nó articulado está impedido de se deslocar lateralmente por uma mola elástica de rigidez não linear k(u)=c 1 u+c 2 u 2 +c 3 u 3, (2.1) o qual está submetido à acção de duas forças horizontais de valor P. 2 Sem imperfeições iniciais. 9

22 P L L P P L L P u (a) Figura 2.1 Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo [29]. (b) Na configuração indeformada (Figura 2.1(a)), não existe qualquer deslocamento do nó central tendo-se, por isso, u=0. Nestas condições, o sistema está naturalmente em equilíbrio sem qualquer reacção vertical nos apoios. Na configuração deformada (Figura 2.1(b)), o deslocamento do nó é não nulo (u 0), originando uma reacção vertical na mola de R( u) u Adoptando para grau de liberdade o parâmetro adimensional 2 3 c1 u c2 u c3, (2.2) u q, (2.3) L é possível estabelecer as equações de equilíbrio do modelo na configuração deformada e obtém-se a equação F 0 ; M 0, (2.4) que tem por solução P q c1 ql c2 ( ql) c3 ( ql) 1 q, (2.5) q 0 ou P c 1 L c2 L q c3 L q 1 q. (2.6) 2 Estas soluções definem as trajectórias de equilíbrio 3 do sistema, que são respectivamente, a trajectória fundamental e a trajectória de pós-encurvadura. As trajectórias intersectam-se num ponto de bifurcação de coordenadas q 0 e P=c 1 L/2, que identifica a designada carga crítica do modelo. Esta carga corresponde ao menor valor de P para o qual ocorre um ponto de bifurcação do equilíbrio. Para o sistema supra, a carga crítica, corresponde ao valor c 1 P L cr. (2.7) 2 Observe-se que este valor também podia ser obtido desprezando na equação 2.5 os termos superiores aos lineares, procedimento que corresponde a efectuar o que se designa por análise 3 Por definição, uma trajectória de equilíbrio consiste num conjunto de pontos que relacionam a carga aplicada com deslocamentos evidenciados pelo sistema em cada configuração de equilíbrio. 10

23 linear de estabilidade do sistema num caso geral, esta análise aplica-se apenas a problemas de instabilidade bifurcacional, permitindo identificar as cargas de bifurcação, assim como a configuração dos modos de instabilidade das estruturas/elementos estruturais que lhes estão associadas. As configurações de equilíbrio traduzidas pela equação 2.6 podem corresponder a configurações de equilíbrio estável ou instável do sistema. Diz-se que uma estrutura apresenta uma configuração de equilíbrio estável se, depois de sofrer uma pequena perturbação, ela volta à configuração de equilíbrio inicial. Caso a estrutura não regresse à referida configuração inicial, então diz-se que a configuração de equilíbrio é instável. Nos anos quarenta, Koiter provou que as características fundamentais do comportamento de pós-encurvadura de uma estrutura são determinadas na sua fase inicial, i.e., na vizinhança do ponto de bifurcação. Sendo assim, supondo q<<1 e desprezando os termos de ordem superior ou igual a três, obtém-se a partir da equação 2.6, c L c L q c L q 1 q c L c L q ( c L c L q 1 P ). (2.8) 2 2 Substituindo nesta equação o valor de P cr e simplificando, chega-se à seguinte expressão onde P cr 2 P 1 C2 q C3 q, (2.9) c L C2 3 1 c1 1 c L C. (2.10) c Na Figura 2.2 representam-se três trajectórias de equilíbrio do modelo determinadas considerando diferentes valores para os coeficientes C 2 e C 3. A observação desta figura permite detectar diferentes características para as trajectórias de equilíbrio, podendo concluir-se o seguinte: (i) As trajectórias representadas nas Figuras 2.2(a) e 2.2(b), obtidas com C 2 =0 e C 3 0, apresentam um comportamento simétrico, i.e., exibem uma evolução semelhante independentemente do deslocamento ser positivo ou negativo. Contudo, dois casos são possíveis: (i 1 ) quando C 3 >0, o modelo apresenta bifurcação de equilíbrio simétrica e estável (ver Figura 2.2(a)); (i 2 ) quando C 3 <0, o modelo apresenta bifurcação de equilíbrio simétrica, mas instável (ver Figura 2.2(b)). (ii) As trajectórias representadas na Figura 2.2(c), obtidas com C 2 0 e C 3 =0, exibem um andamento diferente consoante o sentido do deslocamento, estando, por isso, associadas a comportamentos de pós-encurvadura assimétricos. 11

24 P Pcr P Pcr P P cr q q q (a) (b) (c) Figura 2.2 Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [29]. Na análise anterior considerou-se o modelo como perfeito, i.e., sem qualquer imperfeição. Contudo, na realidade não existem sistemas ideais, exibindo estes imperfeições de natureza geométrica (e.g., em termos da configuração inicial, eventuais excentricidades na aplicação da carga) que vão alterar significativamente o comportamento dos sistemas. Para ilustrar o que se acaba de dizer, considere-se de novo o modelo de um grau de liberdade, mas admitindo agora uma imperfeição geométrica inicial dada por (ver Figura 2.3) u 0. (2.11) L u0 P L L P P L L P u (a) (b) Figura 2.3 Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada [29]. Nestas condições, o equilíbrio na configuração deformada conduz à seguinte equação P q c 1 q L c2 ( q L) c3 ( q L) 1 ( q ), (2.12) 2 pelo que, substituindo P cr, C 2 e C 3 definidos nas equações 2.7 e 2.10, se obtém P P cr 2 q C2 q ( C3 3 2) q q 3. (2.13) 12

25 Na Figura 2.4, representam-se as trajectórias de equilíbrio que se obtêm admitindo valores de C 2 e C 3 semelhantes aos considerados para as trajectórias da Figura 2.2 as linhas a cheio indicadas na Figura 2.4 são relativas ao modelo perfeito e as a tracejado ao modelo imperfeito. A observação destas trajectórias permite retirar algumas conclusões amplamente conhecidas sobre o comportamento de pós-encurvadura de sistemas imperfeitos, designadamente que: (i) A trajectória fundamental ( q 0 ) deixa de ser solução do problema, quando o modelo (ii) (iii) exibe imperfeições geométricas iniciais. As imperfeições iniciais não têm uma influência significativa na resistência de pósencurvadura 4 de sistemas reais estáveis (ver Figura 2.4(a)), com estes a resistirem a cargas superiores à carga crítica. Em sistemas com um comportamento de pós-encurvadura instável ou assimétrico, as imperfeições podem dar origem a um ponto limite nas trajectórias de equilíbrio, ponto esse associado a um valor da carga (P max ) inferior à carga crítica (P cr ) ver Figuras 2.4(b) e 2.4(c). Refira-se que estruturas que exibem este tipo de fenómeno são habitualmente designadas por estruturas sensíveis às imperfeições. P Pcr P Pcr P P cr P max P max q q q (a) (b) (c) Figura 2.4 Trajectórias de pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétricos estável e instável [29]. Apesar de o comportamento de sistemas elásticos imperfeitos (i.e., reais) poder ser previsto tendo por base as trajectórias de pós-encurvadura dos sistemas perfeitos 5, a determinação destas trajectórias para sistemas de complexidade superior à deste problema modelo envolve o recurso a técnicas numéricas muito sofisticadas (e.g., análise de perturbação), nem sempre disponíveis. Por isso, é prática corrente proceder apenas à determinação das trajectórias de pós-encurvadura de estruturas reais, de forma a determinar a possibilidade destas 4 Quando os sistemas podem suportar cargas superiores à sua carga crítica (e.g., é o caso do sistema da Figura 2.4(a)), diz-se que estes exibem resistência de pós-encurvadura. 5 O conhecimento destas trajectórias permite antever a possibilidade dos sistemas reais exibirem (i) pontos limites iniciais nas trajectórias de pós-encurvadura (só sistemas com trajectórias instáveis podem apresentar tais pontos), (ii) alguma resistência de pós-encurvadura (só sistemas com trajectórias estáveis exibem tais resistências). 13

26 exibirem (i) alguma resistência de pós-encurvadura e (ii) eventuais pontos limites iniciais nas trajectórias de equilíbrio. As cargas máximas elásticas (P max ) associadas a pontos limites de trajectórias de pósencurvadura semelhantes às da Figura 2.4 não correspondem, de um modo geral, às cargas últimas ou de colapso das estruturas (ou elementos estruturais) reais. De facto, estas cargas são também condicionadas por um segundo aspecto ainda não mencionado: a resistência dos materiais (e.g., a plasticidade é muitas vezes determinante no colapso de estruturas ou elementos estruturais metálicos). Assim sendo, compreende-se que a resistência de pósencurvadura de uma estrutura metálica real possa depender de dois factores: (i) do declive da trajectória de pós-encurvadura e (ii) do valor da carga crítica face ao valor da carga correspondente ao início da cedência. Por exemplo, placas comprimidas axialmente apresentam trajectórias de pós-encurvadura em que o declive da curva é acentuado, pelo que, se a plasticidade se manifestar apenas em estádios avançados de pós-encurvadura, exibem uma resistência de pós-encurvadura significativa. Contudo, as trajectórias de pós-encurvadura de colunas axialmente comprimidas que instabilizam por flexão (instabilidade de Euler) apresentam declives suaves (muito menos pronunciadas que no caso das placas) naturalmente, a carga de colapso destes elementos estruturais não será muito diferente do seu valor crítico, para valores da relação tensão cedência/tensão crítica superiores à unidade Análises de estabilidade O estudo do comportamento geometricamente linear de uma estrutura (ou elemento estrutural) envolve a determinação dos esforços, tensões e deslocamentos provocados pelo conjunto de acções a que a estrutura está submetida análise linear ou de 1ª ordem. Por sua vez, o estudo do comportamento geometricamente não linear dessa estrutura faz-se (i) identificando o valor do parâmetro de carga crítico e a forma do respectivo modo de instabilidade análise linear de estabilidade, e (ii) determinando o comportamento de pós-encurvadura da referida estrutura análise não linear de estabilidade ou de 2ª ordem [1,30]. Logicamente, o presente estudo sobre colunas de secção em Z deverá envolver a execução de ambas as análises de estabilidade, i.e., a análise linear e a análise de pós-encurvadura dos elementos estruturais que são objecto do estudo. A análise linear de estabilidade corresponde à mais simples das análises geometricamente não lineares. Aplica-se unicamente a problemas de instabilidade bifurcacional e pressupõe um 14

27 comportamento elástico linear para o material. Em termos matemáticos, corresponde a um problema de valores e funções próprios (vectores próprios, no caso de estruturas/barras discretizadas que resultam da aplicação dos métodos numéricos), no qual (i) os parâmetros de carga (no caso de elementos estruturais, tensões/esforços) de bifurcação são os valores próprios e (ii) os correspondentes modos de instabilidade são as funções (sistemas contínuos) ou os vectores (sistemas discretos) próprios recorde-se que o parâmetro de carga é um factor multiplicativo aplicado a um determinado carregamento de referência. O menor dos parâmetros de carga de bifurcação e o correspondente modo de instabilidade são habitualmente designados por parâmetro de carga crítico e por modo de instabilidade crítico. No caso de perfis de aço, o valor da tensão/esforço crítico de bifurcação e a natureza do correspondente modo de instabilidade dependem (i) da geometria do perfil (i.e., do seu comprimento, forma e dimensão da secção transversal), (ii) das suas condições de apoio (i.e., das restrições aos deslocamentos existentes em secções interiores ou de extremidade), (iii) do carregamento a que está submetido e (iv) das constantes elásticas adoptadas para o aço. A análise não linear de estabilidade ou de pós-encurvadura de uma estrutura (ou elemento estrutural), submetida a um determinado carregamento, corresponde a uma análise muito mais complexa. O comportamento material do aço pode ser modelado através de leis constitutivas elásticas ou elasto-plásticas e este tipo de análises (i) aplica-se a barras reais (i.e., com imperfeições iniciais e/ou tensões residuais) e (ii) envolve a determinação de (ii 1 ) trajectórias de equilíbrio não lineares, também designadas por trajectórias de pós-encurvadura (curvas que relacionam o carregamento aplicado, habitualmente dependente de um único parâmetro de carga, com componentes de deslocamentos criteriosamente escolhidas), assim como (ii 2 ) a evolução das tensões e/ou deformações na estrutura (ou elemento estrutural) ao longo da análise. Em termos matemáticos, é necessário resolver o sistema de equações de equilíbrio não lineares que rege o comportamento do elemento estrutural (discretizado), o que obriga à utilização de procedimentos incrementais-iterativos adoptam-se frequentemente o método de Newton-Raphson e a técnica do controle do comprimento de arco. O colapso da estrutura/elemento estrutural (i.e., a sua perda de estabilidade) ocorre num ponto limite situado sobre a sua trajectória de equilíbrio os correspondentes valores do parâmetro de carga e configuração deformada fornecem a resistência última e o modo de colapso da estrutura/barra. 15

28 2.4. Estabilidade de perfis metálicos de parede fina Embora, de um modo geral, o colapso de estruturas metálicas seja provocado por uma combinação de fenómenos (e.g., plasticidade), a reduzida espessura das chapas de aço utilizadas origina frequentemente perfis com secções de parede muito esbelta, o que os torna muito susceptíveis em relação ao colapso por instabilidade. A determinação precisa do comportamento de estabilidade desses perfis envolve a possibilidade destes exibirem deformabilidades tanto de natureza local como global. Seguidamente, caracterizam-se os fenómenos de deformabilidade global e local e indicam-se os correspondentes modos de instabilidade que surgem associados ao comportamento de estabilidade de perfis metálicos de secção de parede fina aberta [28, 1, 30] Instabilidade global e local Os fenómenos de deformabilidade global que podem afectar os perfis metálicos são caracterizados pela ocorrência de deformação do eixo da barra, sofrendo as suas secções transversais unicamente deslocamentos de corpo rígido no seu próprio plano (no caso geral, duas translações e uma rotação). São exemplos deste tipo de fenómenos, (i) a instabilidade de colunas (barras comprimidas) por flexão ou (ii) a instabilidade lateral de vigas (barras flectidas) por flexão-torção ver Figura 1.2(c). Normalmente, estes modos de instabilidade global (MG) são críticos sempre que as barras sejam suficientemente longas e não estejam adequadamente contraventadas, com a sua configuração longitudinal do modo a depender das condições de apoio das barras, mas exibindo sempre um número muito pequeno de semi-comprimentos de onda (apenas um). Por sua vez, os fenómenos de deformabilidade local envolvem, essencialmente, deformações das paredes da barra, permanecendo o seu eixo indeformado. Tal como já referenciado no Capítulo 1, os fenómenos de instabilidade local que podem afectar os perfis metálicos de parede fina são de dois tipos: (i) os modos locais (ML) e (ii) os modos distorcionais (MD) ver Figuras 1.2(a) e 1.2(b). De um modo geral, as barras curtas são particularmente sensíveis a fenómenos de instabilidade local, enquanto que, as barras intermédias, são mais susceptíveis a fenómenos de instabilidade distorcional. Seguidamente, descrevem-se detalhadamente as características destes dois modos locais, que são de grande 16

29 importância no presente estudo recorde-se que se pretende analisar o efeito da interacção entre estes modos no comportamento de pós-encurvadura de colunas de aço enformadas a frio. Modo local Estes modos são caracterizados por os bordos longitudinais internos da barra (i.e., os bordos que unem duas paredes adjacentes) permanecerem indeformados, com a deformação das secções a dever-se, exclusivamente, à flexão das paredes interiores. Os elementos estruturais de aço enformados a frio podem ser encarados como um conjunto de placas longas, ligadas entre si ao longo dos respectivos bordos longitudinais. Do ponto de vista estrutural, a estabilidade destas secções em relação ao ML e a estabilidade de placas isoladas são fenómenos análogos, facto que explica que a instabilidade de uma secção deste tipo seja, precisamente, condicionada e precipitada por a instabilidade da parede (placa) mais esbelta que a constitui (as restantes deformam-se apenas por compatibilidade). Os trabalhos iniciais sobre estabilidade de placas datam do século XIX, princípio do século XX, devendo-se (i) a Saint-Venant, a determinação da equação diferencial de equilíbrio de uma placa submetida à compressão uniforme, (ii) a Bryan, a determinação da solução dessa equação para placas simplesmente apoiadas, e (iii) a Reissener e a Timoshenko, a solução para placas com outras condições de apoio. Na equação (2.14) apresenta-se a expressão da tensão de bifurcação para uma placa simplesmente apoiada nos quatro bordos, comprimida segundo a sua maior dimensão (ver Figura 2.5) 2 2 D 1 a b m 2 2, (2.14) a m b onde D=Et 3 /12(1-2 ), E é o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material da placa, t a sua espessura, m o número de semi-ondas do modo segundo a direcção x, e a e b as dimensões da placa a expressão está particularizada para modos com uma semi-onda segundo y, i.e., para placas em que a>b. 17

30 z b a y x t Figura 2.5 Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [25]. Naturalmente, o estudo rigoroso do comportamento de estabilidade de secções de parede fina no ML tem por base os trabalhos referidos sobre placas isoladas, requerendo, contudo, a consideração de outros aspectos resultantes da presença de várias placas, designadamente quanto (i) à compatibilidade de deslocamentos e rotações entre placas e (ii) ao equilíbrio de forças e momentos ao longo dos bordos longitudinais internos. A necessidade de satisfazer estas condições adicionais, combinada com a não linearidade das equações de equilíbrio que governam o comportamento de cada placa, dificulta a obtenção de soluções analíticas gerais (apenas existem soluções analíticas para problemas simples em termos de condições de apoio e/ou carregamento). Nestas condições, o estudo do comportamento de estabilidade de secções de parede fina no ML faz-se, na prática, recorrendo a métodos (aproximados) numéricos. Na Figura 2.6(a) ilustra-se a configuração de um ML (cinco semiondas) obtido por elementos finitos para uma coluna de secção em Z, onde se observam precisamente as características atrás indicadas para este modo local: os bordos longitudinais internos da barra permanecem indeformados, com a deformação das secções a dever-se à flexão das paredes, nomeadamente da alma. (a) (b) (c) Figura 2.6 Exemplos de configurações deformadas de uma coluna com secção em Z: (a) modo local (b) modo distorcional e (c) modo combinado local/distorcional. Modo distorcional Estes modos são caracterizados por a deformação da secção ocorrer fundamentalmente por distorção, com determinadas paredes a exibirem deslocamentos quase de corpo rígido. A 18

31 deformação da secção tem origem na torção de um conjunto de paredes em torno de um bordo interno, flectindo as restantes paredes de forma a garantir a necessária compatibilidade entre placas. Os trabalhos iniciais sobre instabilidade distorcional são relativamente recentes (meados do século XX) e devem-se a Lundquist e Stowell. Os estudos mais importantes neste domínio foram efectuados nos finais dos anos setenta, princípios de oitenta, por dois grupos de investigadores das Universidades de Cornell e de Sydney, os quais (i) detectaram a presença de um segundo mínimo local nas curvas que fornecem a variação da carga crítica de certas colunas com o seu comprimento e (ii) propuserem as primeiras expressões analíticas para estimar a carga crítica distorcional de colunas com secção em C. Neste ponto em particular (i.e., expressões analíticas para a determinação da carga crítica) devem salientar-se as fórmulas propostas por Silvestre [1] para perfis de aço enformados a frio, obtidas tirando partido das propriedades modais que caracterizam a Teoria Generalizada de Vigas (Generalised Beam Theory, GBT). Essas fórmulas foram estabelecidas para barras (i) submetidas à compressão uniforme (colunas), flexão pura (vigas) ou a uma combinação arbitrária de compressão e flexão (colunas-viga), (ii) exibindo várias condições de apoio, e (iii) com secções em C, em Z e em hat 6. Na equação 2.15 indica-se, a título ilustrativo, a expressão proposta para o esforço axial crítico distorcional (P b.min ) para uma coluna de secção em C. P 2 EC B GD S S C B S b. min, (2.15) X S onde E e G são os módulos de elasticidade e distorção do aço, C S, B S, D S e X S, são um conjunto de coeficientes para os quais os autores forneceram expressões analíticas (função das dimensões da secção transversal), dependendo os coeficientes C e B das condições de apoio da coluna. Contudo, habitualmente, o estudo do comportamento de estabilidade no MD em perfis de parede fina, faz-se recorrendo a métodos numéricos (e.g., métodos da faixas finitas ou elementos finitos), ilustrando-se na Figura 2.6(b) a configuração de um modo distorcional (uma semi-onda) obtida por elementos finitos para uma viga de secção em Z nesta figura podem observar-se as características atrás mencionadas sobre este modo de instabilidade, designadamente, o facto dos bordos longitudinais internos da barra permanecerem indeformados, com os banzos do perfil a exibirem deslocamentos quase de corpo rígido. 6 Designação anglo-saxónica para secções transversais que se assemelham a um chapéu secção semelhante à em C, mas com os reforços para o exterior. 19

32 Interacção entre modos de instabilidade No presente contexto, a designação interacção entre modos de instabilidade aplica-se a um conjunto de fenómenos que condicionam o comportamento de pós-encurvadura de estruturas (ou elementos estruturais) e que têm como principal característica o facto de a instabilidade estar associada à ocorrência simultânea (ou quase) de mais do que um modo de natureza distinta certamente esta ocorrência traduz-se em valores quase idênticos para o parâmetro de carga de bifurcação associado aos modos em questão [1]. Os elementos estruturais com secção de parede fina aberta, nomeadamente, os perfis de aço enformados a frio, têm uma maior susceptibilidade para exibirem fenómenos de interacção modal devido ao facto de utilizarem chapas de reduzida espessura para os perfis. De facto, é frequente encontrar, para um dado carregamento e determinadas características dos perfis (e.g., geometria e dimensões da secção transversal, comprimento, condições de apoio), valores próximos para os esforços de bifurcação em vários modos de instabilidade de natureza diferente. Na Figura 2.6(c) ilustra-se precisamente uma situação onde ocorre um fenómeno de interacção deste tipo, envolvendo a estabilidade de uma coluna simplesmente apoiada de secção em Z observe-se que a coluna instabiliza num modo combinado distorcional (uma semi-onda) e local (cinco semiondas). A identificação de potenciais situações de interacção modal para um perfil com uma determinada secção de parede fina faz-se a partir da análise linear de estabilidade (i) determinando curvas que ilustram a variação do esforço crítico de bifurcação com o comprimento L do perfil, e (ii) identificando os valores de L para os quais se observa a coincidência entre os esforços de bifurcação para dois ou mais modos de instabilidade de natureza diferente. Na Figura 2.7 apresentam-se, esquematicamente, três curvas b vs. L (onde b é o parâmetro de carga de bifurcação) para um perfil simplesmente apoiado (de secção arbitrária, mas exibindo instabilidade distorcional), quando se admite apenas um semi-comprimento de onda para os vários modos de instabilidade. A observação desta figura permite identificar os seguintes fenómenos de interacção modal: (i) Interacção entre os modos locais e globais 7 (L/G). Esta interacção está associada ao comprimento L L/G (ver Figura 2.7(a)), ao qual corresponde, normalmente, uma configuração deformada do perfil com (i 1 ) um semi-comprimento de onda global e (i 2 ) muitos 7 Recorde-se que estes podem ser por flexão ou flexão-torção. 20

33 semi-comprimentos de onda locais recorde-se que na figura apenas se representam as curvas associadas à instabilidade com uma única semi-onda. (ii) Interacção entre modos distorcionais e globais (D/G). Esta interacção apenas ocorre quando o mínimo distorcional é inferior ao local e está associada ao comprimento L D/G representado na Figura 2.7(b), para o qual corresponde, em geral, uma configuração deformada do perfil com (ii 1 ) um único semi-comprimento de onda global e (ii 1 ) poucos semi-comprimentos de onda distorcionais. (iii) Interacção entre modos locais e distorcionais (L/D). Esta interacção está associada aos comprimentos L L/D da Figura 2.7(c), para o qual corresponde, normalmente, uma configuração deformada do perfil com (iii 1 ) um único semi-comprimento de onda distorcional e (iii 1 ) alguns semi-comprimentos de onda locais. (iv) Finalmente, interacção entre modos locais, distorcionais e globais (L/D/G). Esta interacção está associada ao comprimento L L/D/G da Figura 2.7(c) e envolve uma configuração deformada com (iv 1 ) um semi-comprimento de onda global, (iv 2 ) poucos semicomprimentos de onda distorcionais e (iv 3 ) muitos semi-comprimentos de onda locais. b b b cr cr cr L LP L LP-G L D L D-G L LP L L LP-D LP/D-G (a) (b) (c) Figura 2.7 Curvas b vs. L ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global, (b) interacção distorcional/global e (c) interacção local/distorcional/global [25]. No presente trabalho, estuda-se um problema de interacção envolvendo os modos locais L e D, i.e., um problema com características semelhantes às do item (iii). Em particular, procura analisar-se o comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, (i) simplesmente apoiados e com secção em Z, (ii) submetidos a compressão pura, e (iii) exibindo valores semelhantes da carga de bifurcação nos modos L e D. O estudo a efectuar procura determinar o efeito da interacção na resistência de pós-encurvadura e identificar o modo de colapso das colunas. Refira-se, por curiosidade, que durante algum tempo se julgou que o dimensionamento óptimo de um sistema estrutural consistia em conseguir que a instabilidade ocorresse, em simultâneo, nos vários modos de instabilidade relevantes segundo esta filosofia 21

34 de dimensionamento, perfis como os considerados no presente estudo seriam considerados os ideais. Contudo os estudos entretanto efectuados mostraram que a interacção tem um efeito adverso na resistência dos elementos estruturais [e.g. 12, 25] Métodos de análise Os enormes progressos que ocorreram nas últimas décadas na área da mecânica computacional e da análise numérica de estruturas, em conjunto com a disseminação de computadores cada vez mais rápidos e com maiores capacidades, e de sofisticadas ferramentas de cálculo, conduziram à utilização generalizada de vários métodos numéricos de análise em engenharia de estruturas, os quais envolvem a discretização da estrutura, i.e., a sua transformação num sistema (discreto) com um número finito de graus de liberdade. Dos diversos métodos existentes para efectuar a análise de estabilidade de perfis de secção de parede fina destacam-se, (i) o Método dos Elementos Finitos, sem dúvida o mais popular, [e.g., 31], (ii) o Método das Faixas Finitas [e.g., 32] e (iii) as implementações numéricas de formulações da Teoria Generalizada de Vigas [e.g.,33]. Em seguida apresentam-se, muito sumariamente, as principais características dos dois primeiros, os quais foram utilizados nas análises de estabilidade efectuadas no decurso desta dissertação [30]. Método dos Elementos Finitos (MEF) Devido à necessidade de considerar na análise de elementos estruturais de secção de parede fina, simultaneamente, modos de deformação/instabilidade locais e globais, torna-se indispensável adoptar nessas análises uma modelação bidimensional para as barras, i.e., proceder à discretização da sua superfície média através de elementos finitos de casca (ver Figura 2.8(a)). Em cada elemento finito, geralmente de forma triangular ou quadrangular, o campo de deslocamentos é aproximado por meio de uma combinação linear de funções de forma (em geral polinómios), cujos coeficientes são os deslocamentos nodais generalizados (e.g., deslocamentos propriamente ditos ou rotações). Somando de forma conveniente a rigidez dos vários elementos finitos (operação conhecida por assemblagem da matriz de rigidez global) e impondo as apropriadas condições de apoio, é possível obter a rigidez discretizada do elemento estrutural, a qual é necessária para efectuar as análises atrás referidas. Refira-se que a larga maioria das análises actualmente efectuadas pela comunidade técnico-científica ligada às estruturas metálicas são executadas, recorrendo a um dos vários programas comerciais existentes no mercado (e.g., ABAQUS, ADINA ou ANSYS). De facto, dada a sua sólida 22

35 fundamentação matemática, versatilidade, eficácia e sofisticação, estes programas tornaram-se num instrumento precioso para a realização de qualquer tipo de análise, designadamente, quando se consideram comportamentos geométrica e fisicamente não lineares. Método dos Faixas Finitas (MFF) Este método pode ser encarado como uma variante do MEF (elementos de casca), tendo sido desenvolvido de modo a superar os problemas relacionados com o elevado esforço computacional necessário para efectuar as análises por elementos finitos de perfis de secção de parede fina. O método (i) tira partido da natureza prismática dos referidos elementos estruturais e (ii) discretiza a linha média da secção transversal num número finito de segmentos, (iii) com cada segmento a corresponder a uma faixa com uma dimensão longitudinal igual à do comprimento total da barra ver Figura 2.8(b). No interior de cada faixa o campo dos deslocamentos é aproximado (i) na direcção transversal, por funções de forma polinomiais que asseguram a compatibilidade entre faixas adjacentes, e (ii) na direcção longitudinal, por funções que, simultaneamente, devem ser capazes de descrever a variação longitudinal do campo de deslocamentos e de satisfazer as condições de apoio da barra. A precisão dos resultados obtidos por este método depende do nível de discretização da secção transversal, i.e., do número de faixas, e da qualidade destas funções longitudinais (em geral, sinusoidais) só será exacta quando os elementos estruturais são simplesmente apoiados e estão sujeitos a esforço constante. Neste contexto, é importante referir o desenvolvimento do Método das Faixas Finitas com Funções Spline [e.g., 34], o qual permite alargar o domínio de aplicação do MFF a elementos estruturais com outras condições de apoio e, de algum modo, o combina com o MEF (a variação longitudinal das componentes dos deslocamentos é aproximada por meio de funções B 3 -Spline, as quais substituem as funções analíticas adoptadas pelo MFF). Apesar do enorme desenvolvimento que ocorreu na última década em termos de computadores (particularmente em termos de computadores pessoais), o MFF ainda hoje constitui uma alternativa bastante vantajosa ao MEF, nomeadamente, no âmbito da análise de estabilidade de barras (prismáticas) simplesmente apoiadas, submetidas a carregamentos simples (e.g., compressão, flexão uniformes) não pode deixar de referir-se que estão actualmente disponíveis dois programas de cálculo de muito fácil utilização para efectuar esse tipo de análises: (i) THIN-WALL, desenvolvido na Universidade de Sydney, e (ii) CUFSM [27], elaborado por Schafer da Universidade Johns Hopkins de Baltimore e que foi utilizado no decurso da presente dissertação. 23

36 (a) Figura 2.8 Discretização de uma barra de secção em C (a) em elementos finitos de casca, (b) em faixas finitas [1]. (b) Por fim, refira-se que, a maioria das análises lineares de estabilidade realizadas no decurso deste trabalho foram efectuadas por faixas finitas, recorrendo ao programa CUFSM [27], e tiveram por objectivo seleccionar as dimensões dos perfis de secção em Z afectadas por interacção modal L/D. As respectivas análises por elementos finitos foram em menor número e tiveram por objectivo (i) confirmar e validar o modelo de elementos finitos adoptado, assim como (ii) obter a configuração dos modos de instabilidade L e D, cuja combinação define a imperfeição geométrica inicial a considerar nas análises não lineares de estabilidade com interacção modal. Naturalmente, todas as análises de pós-encurvadura dos perfis foram efectuadas por elementos finitos, recorrendo ao programa comercial ABAQUS [28], descrevendo-se no capítulo seguinte as características do modelo adoptado. 24

37 CAPÍTULO 3 MODELAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS 3.1. Introdução Neste capítulo apresentam-se e discutem-se os vários aspectos relativos à utilização e implementação computacional do método dos elementos finitos (MEF) para efectuar a análise linear de estabilidade e de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio. Todas as análises são efectuadas utilizando o programa ABAQUS [28], referindo-se, em seguida, os aspectos mais importantes relativos (i) à discretização dos perfis, (ii) à modelação das condições de apoio e do carregamento, (iii) às imperfeições iniciais a considerar nas análises de pós-encurvadura, (iv) aos modelos constitutivos adoptados para o aço e (v) às técnicas de resolução de problemas de valores próprios (análise linear de estabilidade) e de sistemas de equações de equilíbrio não lineares (análises de pós-encurvadura). Finalmente, apresentam-se alguns exemplos de validação dos procedimentos adoptados Discretização do perfil A discretização de um problema por elementos finitos envolve dois aspectos fundamentais: (i) a escolha do elemento finito, e (ii) a definição do número de elementos (i.e., dos graus de liberdade) do problema. Seguidamente, descrevem-se os motivos que estiveram na origem da escolha do elemento finito e das discretizações adoptadas para os vários perfis analisados neste trabalho. 25

38 Escolha do elemento finito Para analisar a instabilidade local e global de perfis de secção de parede fina é necessário discretizar a superfície média das paredes, utilizando elementos finitos de casca. De entre os vários elementos disponíveis na biblioteca de elementos do ABAQUS, os elementos isoparamétricos com quatro nós (ver Figura 3.1) permitem uma adequada discretização das placas rectangulares que constituem os perfis de aço enformados a frio, tendo a vantagem adicional de simplificar bastante a geração automática das malhas. Foram, por isso, os escolhidos para a realização deste trabalho Elemento (a) com 4 nós (b) (c) Figura 3.1 (a) Elemento com quatro nós. Localização dos pontos de integração da parcela de corte dos elementos (b) S4 (integração completa) e (c) S4R, S4R5 (integração reduzida). A biblioteca do ABAQUS dispõe de três elementos finitos de casca com quatro nós designados, respectivamente, por S4, S4R e S4R5 (a letra S corresponde à inicial de shell). Relativamente às características e ao domínio de aplicação destes elementos, o manual do ABAQUS refere o seguinte: (i) (ii) Os três elementos tomam em consideração a deformação por corte. Os elementos S4 e S4R são elementos de casca, eventualmente espessa, cuja formulação é válida para grandes deformações de membrana. (iii) O elemento S4R5 deve ser preferencialmente utilizado na resolução de problemas que envolvam cascas finas 8 e pequenas deformações, i.e., deve evitar-se a sua utilização quando as deformações são finitas. Note-se que o elemento permite, no entanto, modelar comportamentos estruturais com grandes rotações, desde que estas estejam naturalmente associadas a pequenas deformações. 8 De acordo com o manual do ABAQUS, uma casca diz-se fina se a sua espessura for inferior a cerca de 1/15 do comprimento característico da respectiva superfície média, cuja natureza depende do tipo de problema em análise (e.g., o comprimento de onda do modo de instabilidade, a distância entre apoios). 26

39 Para além destas diferenças na formulação, os elementos S4, S4R e S4R5 diferem entre si também no número de graus de liberdade por nó e no número de pontos considerados na integração da parcela devida ao corte da matriz de rigidez do elemento 9. Os elementos S4 e S4R consideram seis graus de liberdade por nó (três deslocamentos e três rotações), enquanto que os elementos S4R5 consideram apenas cinco a rotação de eixo perpendicular à superfície média do elemento é condensada. Quanto ao número de pontos envolvidos na integração numérica da parcela da matriz de rigidez devida ao corte, cuja localização se apresenta na Figura 3.1(b) e 3.1(c), o elemento S4 considera quatro pontos (integração completa), enquanto que os elementos S4R e S4R5 consideram apenas um ponto (integração reduzida) 10. A integração reduzida diminui consideravelmente o tempo de execução, sobretudo em problemas tridimensionais, e evita o designado problema do locking da solução 11. Por estas razões, os elementos S4R e S4R5 (ou de tipo semelhante) são frequentemente adoptados na análise de perfis de aço enformados a frio. Contudo, estudos recentes chamaram a atenção para a necessidade de ter de haver algum cuidado na utilização deste tipo de elementos, designadamente na análise linear de estabilidade e de pós-encurvadura distorcional de colunas. No primeiro dos estudos [35], determinaram-se curvas que traduzem a variação da tensão crítica e da correspondente natureza do modo de instabilidade em função do comprimento L do perfil de colunas simplesmente apoiadas de secção em C, em Z e em Rack 12 (ver Figura 3.2). A observação dessas curvas mostrou que (i) o valor da carga crítica obtido quando as colunas são discretizadas por elementos S4R e S4R5 é praticamente coincidente, (ii) os valores obtidos utilizando elementos S4 e S4R são muito semelhantes nas colunas curtas (instabilidade num modo local), e um pouco diferentes (ii 1 ) nas colunas intermédias (instabilidade num modo distorcional), e (ii 2 ) nas colunas longas (instabilidade num modo global por flexão ou flexão-torção), (iii) no caso das colunas intermédias e nas colunas longas, os valores obtidos com elementos S4R são sempre inferiores aos obtidos com elementos S4, e finalmente, (iv) os elementos S4 apresentam um melhor desempenho quando comparados com os resultados de referência (obtidos com base na Teoria Generalizada de Vigas GBT). 9 A determinação dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares faz-se, de um modo geral, por integração numérica, N N N recorrendo a fórmulas do tipo f (x, y,z)dxdydz f (x i,y i,z i )u i v i w i 1 i 1 i 1 i, onde x i, y i e z i são as coordenadas dos pontos de integração, u i, v i e w i os denominados pesos e N é o número de pontos (ou ordem) da integração. 10 A integração numérica designa-se por completa quando o número de pontos considerado é suficiente para garantir a exacta integração dos coeficientes e por reduzida quando esse número é inferior à da ordem de integração exacta. 11 Problema da excessiva rigidez da solução quando se considera a formulação de cascas espessas e se faz tender para zero a espessura da casca. 12 Esta designação, de difícil tradução, deve-se ao facto de este tipo de perfis ser utilizado com frequência em estruturas de armazenamento ( storage rack, na língua inglesa). 27

40 (a) (b) Figura 3.2 Influência do elemento finito no valor da tensão crítica em colunas de secção (a) em C e Z e (b) em Rack [35]. O segundo estudo [36], respeitante ao comportamento de pós-encurvadura distorcional de colunas simplesmente apoiadas de secção em C (ver Figura 3.3), mostrou que as trajectórias de equilíbrio vs. v/t (onde é a tensão normal média, v o deslocamento vertical na ligação banzo-reforço da secção de meio vão e t a espessura da chapa) que se obtêm quando se discretiza o perfil (i) por elementos S4R e S4R5, também não se distinguem; (ii) com elementos S4 são mais rígidas do que as determinadas com elementos S4R; e, finalmente, (iii) com elementos S4 são praticamente coincidentes com as determinadas com base no MFF com funções Spline (considerada como referência e indicada na figura como SFSM). (MPa ) Figura 3.3 Influência do elemento finito nas trajectórias de pós-encurvadura distorcional de coluna de secção em C [36]. S4 S4R SFSM A menor rigidez dos resultados obtidos com os elementos de casca S4R e S4R5, tanto na análise linear de estabilidade como na de pós-encurvadura, deve-se (i) à importância que o corte tem no comportamento distorcional dos perfis (a distorção e o empenamento desempenham um papel essencial nesse comportamento) e (ii) à sub-avaliação que estes v / t 28

41 elementos fazem da rigidez de corte ao sub-integrarem a respectiva parcela da matriz de rigidez elementar. Estudos posteriores dos mesmos autores mostraram que os resultados obtidos com os referidos elementos S4R e S4R5 melhoram com uma maior discretização dos reforços dos perfis (zona onde a distorção é mais acentuada no modo MD), continuando, contudo, a ser mais vantajosa a utilização dos elementos S4 [36]. Em face deste comportamento, de entre os vários elementos finitos de casca de quatro nós disponíveis no ABAQUS, escolheram-se os elementos S4 para analisar o comportamento de estabilidade e de pós-encurvadura de todos os perfis de aço enformados a frio considerados no decurso deste trabalho Definição da malha O número de graus de liberdade e pontos de integração considerados numa análise por elementos finitos influenciam bastante o esforço computacional e a precisão dos resultados obtidos. Sendo estes efeitos antagónicos, é necessário identificar o número óptimo de elementos para discretizar um determinado perfil. Com isto, assume-se o facto de nem sempre uma grande quantidade de elementos conduzir a resultados precisos ou a uma boa discretização i.e., a que consegue equilibrar o esforço computacional com a precisão dos resultados obtidos. Neste trabalho, seguiu-se um conjunto de regras estabelecidas quanto à discretização transversal e longitudinal a utilizar na análise linear de estabilidade e de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio [35,37]. Assim, para cada malha, consideram-se discretizações em que (i) a dimensão dos elementos é mantida constate ao longo da direcção longitudinal do perfil (i.e., não há um aumento do número de elementos junto aos apoios), (ii) o nível de discretização é estabelecido mediante uma análise linear de estabilidade preliminar que conduzisse a resultados próximos dos obtidos através do MFF e (iii) a dimensão dos elementos quadrados é de aproximadamente 10mm de lado Condições de apoio As condições de apoio têm uma grande importância no comportamento dos perfis de aço enformados a frio, podendo a sua inadequada modelação influenciar significativamente os resultados obtidos na análise linear de estabilidade ou de pós-encurvadura de perfis. Este facto 29

42 assume particular importância quando se pretende comparar resultados numéricos com os obtidos em ensaios experimentais, sendo frequente encontrar na literatura referência a várias situações em que essas diferenças são atribuídas (i) à inadequada modelação das condições de apoio por elementos finitos ou (ii) à dificuldade em materializar, em termos experimentais, condições de apoio ideais [37, 38]. Antes de proceder à modelação das condições de apoio dos perfis, é conveniente clarificar alguns aspectos importantes, designadamente a distinção que é necessário fazer entre condições de apoio globais e locais [35]: (i) As condições de apoio globais dizem respeito aos deslocamentos de corpo rígido das secções extremas das barras, i.e., deslocamentos e rotações do eixo da barra, existindo 6 condições de apoio deste tipo em cada extremidade do perfil. (ii) As condições de apoio locais dizem respeito aos deslocamentos e rotações dos bordos transversais das paredes que formam a barra, os quais têm que ser compatíveis (ii 1 ) com as condições globais e (ii 2 ) entre si, ao longo da linha média de cada secção extrema o empenamento consiste num exemplo de um deslocamento associado a uma condição de apoio local. Para ilustrar a diferença entre as rotações de flexão globais e locais, a Figura 3.4 mostra três situações distintas e fisicamente possíveis, envolvendo a ligação entre o bordo transversal da parede de um perfil e uma chapa de extremidade rígida (i.e., o empenamento está impedido na secção extrema): (i) rotação global impedida e rotação local livre (Figura 3.5(a)), (ii) rotação global livre e rotação local impedida (Figura 3.4(b)) e (iii) as duas rotações livres (Figura 3.4(c)). L chapa rígida fixa parede fina G G L (a) (b) (c) Figura 3.4 Ilustração da diferença entre as rotações de flexão globais e locais [35]. Seguidamente, apresenta-se e descreve-se um conjunto de condições de apoio frequentemente modeladas nas análises numéricas e/ou consideradas em ensaios experimentais: (i) Secção livre. Todos os deslocamentos/rotações locais e globais livres. (ii) Secção fixa. Todos os deslocamentos/rotações locais e globais impedidos. Esta é a condição de apoio implementada na maioria dos ensaios experimentais com colunas 30

43 realizados, por exemplo, na Universidade de Sydney [38] obviamente, o deslocamento axial da extremidade onde a carga é aplicada deverá ser considerado livre. (iii) Secção simplesmente apoiada. Os deslocamentos transversais e as rotações de torção globais da secção (i.e., do seu centro de gravidade) estão impedidos, havendo várias possibilidades quanto aos deslocamentos locais de flexão e membrana: (iii 1 ) podem estar todos impedidos (condição semelhante à considerada no MFF), (iii 2 ) só alguns impedidos ou (iii 3 ) só um impedido apoio do tipo forquilha. (iv) Secção localmente fixa e globalmente simplesmente apoiada. Os deslocamentos transversais e as rotações de torção globais da secção estão impedidos, assim como os deslocamentos de flexão e membrana e as rotações locais. Esta condição de apoio foi, por exemplo, admitida num conjunto de ensaios experimentais efectuados na Universidade Federal do Rio de Janeiro [39]. (v) Secção localmente rotulada e globalmente fixa. Os deslocamentos transversais e as rotações de torção globais da secção estão impedidos, enquanto que os deslocamentos de flexão e membrana e as rotações locais encontram-se livres. Nas análises efectuadas, consideraram-se as secções extremas dos perfis como simplesmente apoiadas, o que significa que estas secções estão articuladas e podem empenar livremente. No que diz respeito ao modelo de cálculo, esta condição de apoio foi simulada (i) impedindo os deslocamentos transversais e (ii) permitindo o deslocamento axial e as rotações de flexão de todos os nós das extremidades da barra. De modo a evitar problemas numéricos relacionados com movimentos de corpo rígido do perfil, impediram-se também (i) as rotações de torção nas secções extremas e (ii) o deslocamento axial do nó situado a meia altura da alma da secção de meio vão do perfil. Importa referir que a modelação da condição de secção simplesmente apoiada, através da imposição de deslocamentos transversais nulos em todos os nós da secção, provoca um fenómeno de concentração de tensões nas extremidades que pode ter consequências na análise de estabilidade dos perfis pelo MEF [35, 37] 13. As Figuras 3.5(a) (c) ilustram essa influência para colunas de secção C, Z e Rack. Nesta figura apresentam-se pares de curvas cr vs. L/b 1 (sendo cr a tensão crítica, b 1 a altura da alma e L o comprimento do perfil) quando a referida condição de apoio é modelada de duas formas: (i) impedindo todos os deslocamentos 13 Este fenómeno não surge nas análises através do MFF ou da GBT. 31

44 transversais ao longo dos bordos do perfil (procedimento adoptado neste trabalho e que gera o referido estado não uniforme de tensão no perfil curva nun ) ou (ii) libertando alguns deles, de forma selectiva (procedimento que conduz a estados uniformes de tensão curva un ). O estudo permitiu concluir que (i) a concentração de tensões reduz o valor de cr apenas nas colunas curtas, i.e., naquelas que instabilizam em modos locais, (ii) o efeito da concentração de tensões diminui com o comprimento da coluna, mas só desaparece totalmente quando o modo crítico passa a ser distorcional (isto se os valores mínimos dos dois modos forem razoavelmente diferentes caso da Figura 3.5(a)), (iii) os valores mínimos, relativos à instabilidade em modos locais com um número crescente de semi-comprimentos de onda, vai aumentando e tendendo para o valor ideal, i.e., o valor obtido com um estado de tensão uniforme caso das Figuras 3.5(b) e 3.5(c). (a) (b) (c) Figura 3.5 Influência da concentração de tensões no valor da tensão crítica em colunas de secção em (a) C, (b) Z e (c) Rack [35] Carregamento Neste trabalho são analisados perfis submetidos à compressão simples, sendo os estados de tensão obtidos por aplicação, nas secções extremas dos perfis, de um conjunto de forças nodais segundo a direcção longitudinal e estaticamente equivalentes aos referidos estados de tensão (ver Figura 3.6). O carregamento consiste numa carga distribuída, de valor uniforme na secção, que gera um estado de tensão de compressão de 1 MPa nos perfis. Deste modo, o valor do parâmetro de carga fornecido pelo ABAQUS consiste na tensão média de compressão na coluna (em MPa), sendo o valor da carga determinado multiplicando o parâmetro de carga pela área da secção transversal do perfil. 32

45 Figura 3.6 Perfil em Z submetido à compressão uniforme. O ABAQUS não permite a introdução de cargas distribuídas actuando segundo a superfície média do elemento finito de casca. Por isso, todos os carregamentos distribuídos aplicados nesta direcção têm de ser transformados em forças nodais equivalentes, com estas forças a serem (i) estaticamente equivalentes às tensões aplicadas. Convém referir que não é conveniente a consideração de forças ou momentos concentrados (e.g., aplicados no centro de gravidade de secções extremas) em perfis simplesmente apoiados e com empenamento livre 14. De facto, nestes casos, a consideração de uma única força ou momento aplicado num nó origina concentração de tensões/deformações na vizinhança do ponto de aplicação da carga que naturalmente altera o comportamento de estabilidade do perfil, designadamente o modo de instabilidade e o valor da carga/momento crítico 15 [25]. Na Figura 3.7, ilustra-se este aspecto da modelação para o perfil de secção transversal em Z, submetido a flexão uniforme (desviada) a ser aplicada por meio de forças distribuídas e momentos concentrados, sendo possível concluir que (i) os dois tipos de carregamento conduzem a diferentes configurações dos modos críticos de instabilidade (a aplicação de um momento flector concentrado conduz a uma instabilidade local do perfil) e (ii) a concentração de tensões que resulta da aplicação de um momento flector no centro de gravidade da secção reduz significativamente o valor de M cr (neste caso, para menos de 45%). 14 Este fenómeno não surge nas análises através do MFF ou da GBT (a introdução das forças aplicadas é distinta). 15 Este efeito não ocorre se a secção extrema estiver ligada a uma placa rígida, uma vez que esta acaba por redistribuir a carga por os restantes nós da secção. 33

46 M cr = 851 Nm (a) M cr = 372 Nm (b) Figura 3.7 Perfil em Z submetido à flexão uniforme. Modo de instabilidade e momento crítico associado a dois carregamentos estaticamente equivalentes. [25] 3.5. Imperfeições iniciais (i) (ii) É habitual classificar as imperfeições dos perfis metálicos em: Imperfeições materiais, de que são exemplo (i 1 ) as tensões residuais e (i 2 ) a variabilidade das propriedades mecânicas do material (tensão de cedência, módulo de elasticidade, etc.). Imperfeições geométricas, de que são exemplo (ii 1 ) a curvatura inicial do eixo da barra (flecha inicial), (ii 2 ) a variabilidade das dimensões (incluindo a espessura da chapa), (ii 3 ) a existência de distorção e/ou (ii 4 ) de empenamento da secção transversal do perfil. Vários estudos mostram que a importância das tensões residuais (imperfeições materiais mais significativas) depende do tipo de perfil metálico (e.g. [40]). Nos perfis com secções laminadas a quente, os valores das tensões residuais desenvolvidas no processo de arrefecimento são muito significativas, podendo ser superiores a 1/3 da tensão de cedência do material. Essas tensões (de componentes longitudinal e transversal) ocorrem em zonas importantes da secção transversal, como as extremidades dos banzos de secções em I ou C, devendo ser tidas em conta na previsão da resistência última dos elementos de aço laminados a quente. Nos perfis de aço enformados a frio, desenvolvem-se também tensões residuais durante o processo de fabrico dos perfis, designadamente durante a dobragem. Contudo, as 34

47 componentes mais significativas destas tensões ocorrem segundo a direcção transversal do perfil e não segundo a direcção longitudinal (direcção segundo a qual o carregamento gera as tensões mais elevadas). Estudos efectuados por vários autores, (e.g. [40]), mostraram que as tensões residuais não afectam de forma significativa a resistência dos perfis de aço enformados a frio, razão pela qual não se considera a sua presença nos perfis analisados no decurso deste trabalho. As imperfeições geométricas, sempre presentes em qualquer elemento estrutural, podem afectar significativamente a resistência de perfis metálicos. Torna-se, por isso, indispensável contabilizar este tipo de imperfeições ao efectuar o estudo do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio. Sarawit et al. [41] propõem três possíveis abordagens para incluir as imperfeições geométricas nas análises numéricas, designadamente (i) utilizar uma imperfeição que consista na sobreposição dos vários modos de instabilidade, com uma amplitude a definir, (ii) utilizar o espectro dos valores das imperfeições gerado a partir de medições (só viável se for possível efectuar medições rigorosas), (iii) recorrer a técnicas estocásticas e gerar aleatoriamente a forma da imperfeição geométrica. No presente trabalho seguiu-se a primeira abordagem, i.e., as imperfeições geométricas são consideradas como combinações lineares das configurações dos modos de instabilidade, tendo o programa ABAQUS a possibilidade de incorporar tais imperfeições nas análises de pósencurvadura, bastando para tal (i) efectuar a análise de estabilidade dos perfis, (ii) seleccionar os modos de instabilidade a combinar e (iii) definir o coeficiente de participação do modo na configuração pretendida Modelação do material Na Figura 3.8 apresentam-se dois diagramas tensão-deformação obtidos em ensaios de tracção uniaxial para dois tipos de aço (carbono) [42]. De um modo geral, pode afirmar-se que os diagramas apresentam (i) um troço inicial linear (até à tensão limite de elasticidade), troço esse caracterizado pelas constantes elásticas E e, respectivamente, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson, e (ii) um segundo troço não linear, onde ocorrem grandes deformações plásticas e algum endurecimento, mais ou menos significativo, em função do tipo de aço ensaiado. Este segundo troço, de difícil caracterização, envolve o conhecimento dos valores da tensão de cedência (f y ) e da tensão última (f u ) do material. 35

48 Figura 3.8 Curvas tensão-deformação para dois tipos de aço [42]. Têm sido considerados vários modelos constitutivos para descrever o comportamento mecânico de um material com as características do aço. Na Figura 3.9 apresentam-se alguns desses modelos, designadamente os modelos (i) elástico linear, (ii) elasto-plástico perfeito e (iii) elasto-plástico com endurecimento. E 1 1 E 1 E (a) (b) (c) Figura 3.9 Alguns modelos de comportamento mecânico adoptados para o aço: modelo (a) elástico linear, (b) elasto-plástico perfeito e (c) elasto-plástico com endurecimento. Neste trabalho, considerou-se o aço como um material homogéneo e isotrópico, com um comportamento (i) elástico-linear ou (ii) elástico/perfeitamente plástico. No último caso, utilizou-se o modelo Prandtl-Reuss, que considera o critério de cedência de von Mises e a correspondente regra de escoamento plástico associada. Os dois modelos referidos estão disponíveis na biblioteca dos materiais do programa ABAQUS e a sua utilização implica apenas a definição dos valores de E, e f y. 36

49 3.7. Técnicas de resolução numérica Seguidamente, referem-se algumas técnicas numéricas adoptadas neste trabalho para (i) resolver os problemas de valores e vectores próprios (análise linear de estabilidade) e (ii) determinar e caracterizar as trajectórias de equilíbrio não lineares (análise de pós-encurvadura). As análises lineares de estabilidade envolvem a resolução de um problema de valores e vectores próprios, o qual é definido pelas matrizes de rigidez elástica e geométrica do perfil (discretizado). Os métodos de resolução deste tipo de problema disponíveis no ABAQUS são (i) o método Lanczos, baseado no algoritmo com o mesmo nome, e (ii) o método de iteração em sub-espaços. O primeiro é, em geral, mais eficiente quando se pretende determinar um número elevado de modos e tem a vantagem adicional de permitir definir o intervalo de valores no qual se pretende identificar as cargas/momentos. O método de iteração em sub-espaços é apropriado quando se pretende determinar um número reduzido de modos (geralmente inferior a 20) sendo, por isso, o utilizado no presente trabalho. Independentemente do método escolhido, o programa identifica as configurações dos n modos de instabilidade e respectivos valores de bifurcação (tensões/cargas), com o valor n a ser definido pelo utilizador. A determinação da resistência última de elementos de aço enformados a frio implica obter trajectórias de equilíbrio não lineares, que relacionam as forças/momentos aplicados com um determinado deslocamento do perfil. Genericamente, estas trajectórias podem apresentar um comportamento como o ilustrado na Figura 3.10, onde se mostra que, à medida que a solução evolui, o incremento da carga e/ou deslocamento pode não ser monotónico. Carga P Deslocamento Figura 3.10 Trajectória de equilíbrio não linear genérica. Quando as trajectórias de equilíbrio exibem pontos limite (ponto P da Figura 3.10, associados, por exemplo, à resistência última do perfil), a determinação do ramo descendente obriga ao uso de estratégias específicas de resolução do sistema de equações não lineares (e.g., 37

50 controle de deslocamento ou controle de comprimento de arco). Para analisar problemas estruturais com estas características, o programa ABAQUS utiliza o método de Riks [43]. Este método (i) utiliza uma estratégia de comprimento de arco, (ii) admite a amplitude da carga como uma variável adicional e (iii) resolve o sistema de equações não lineares, considerando o carregamento como proporcional (i.e., a magnitude das cargas varia com um parâmetro escalar ). Deve ainda referir-se que os parâmetros de controlo do método (i.e., o comprimento inicial de arco e os seus valores mínimo e máximo) podem ter um papel importante na qualidade da trajectória de pós-encurvadura determinada para os perfis. O programa ABAQUS admite, automaticamente, determinados valores para estes parâmetros que, de um modo geral, são adequados a muitas das situações analisadas. Contudo, quando o comportamento estrutural é irregular (e.g., quando ocorrem fenómenos com snap back ) ou se pretende identificar o início da plasticidade, pode ser necessário alterar (diminuir) o valor desses parâmetros de forma a poder acompanhar adequadamente a trajectória de pós-encurvadura dos perfis. Naturalmente, esta diminuição faz aumentar o número de incrementos dessas análises que, no presente caso do estudo do comportamento de pós-encurvadura em perfis com interacção modal, atingiu as várias centenas de incrementos Exemplos de validação Com o intuito de validar as opções e os procedimentos indicados nos parágrafos anteriores, consideraram-se alguns exemplos de validação relativos (i) à análise linear de estabilidade e (ii) à análise de pós-encurvadura elástica de perfis de aço enformados a frio. Apresentam-se os resultados obtidos com o modelo de elementos finitos atrás descrito e comparam-se esses resultados com os determinados por outros autores, os quais analisaram os perfis recorrendo, designadamente, (i) ao MEF [12] e (ii) à GBT [44]. Na Tabela 3.1 apresentam-se a geometria e as características elásticas do aço dos perfis analisados. Consideraram-se perfis submetidos (i) a compressão uniforme (i.e., colunas), de secção em C [12], e (ii) a flexão uniforme (i.e., vigas compressão nas fibras superiores), de secção em Z [44]. As dimensões dos perfis foram escolhidas por forma a estes instabilizarem (na maioria dos casos) no modo distorcional, porque este desempenha um papel fundamental nos estudos a efectuar no próximo capítulo, i.e., no estudo da pós-encurvadura de perfis com interacção L/D. Nestas condições, é conveniente avaliar se o modelo de elementos finitos 38

51 permite reproduzir, de forma adequada, o comportamento distorcional de perfis de aço enformados a frio, pois só assim poderá ser utilizado, com confiança, nos estudos de interacção modal. Tabela 3.1 Geometria e características elásticas dos perfis analisados. b 1 b 2 b 3 t L Secção [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] b 2 b 3 b 2 b 3 b 2 b 3 b 2 b 3 b 2 b 3 b 2 b 3 C ,0 270 b 1 t b 1 t b 1 t b 4 b 1 b 1 t t b 4 b 1 E=210GPa t Z , Análise linear de estabilidade Apresentam-se agora os resultados relativos ao comportamento de estabilidade (bifurcação), em regime elástico, da coluna de secção em C e da viga, de secção em Z. Analisam-se perfis com secções extremas apoiadas e que podem empenar livremente, e determina-se (i) o valor da carga/momento crítico, e (ii) a configuração do correspondente modo de instabilidade. Na Tabela 3.2 indicam-se os valores da carga/momento crítico determinados com este modelo e faz-se a sua comparação com os valores de referência, enquanto que na Figura 3.11 se apresenta a discretização e a configuração dos modos críticos de instabilidade obtidas com o modelo de elementos finitos descrito anteriormente. A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (i) Nos dois casos, os perfis instabilizam em MD (ver Figura 3.11), com os modos a exibirem apenas um semi-comprimento de onda e no caso da viga em Z a envolverem apenas o banzo comprimido. (ii) Independentemente do carregamento, verifica-se uma excelente concordância entre os valores determinados com o presente modelo e os valores de referência pequenas diferenças (máximo de 0,5%) resultam das naturais diferenças entre os modelos e/ou métodos de análise (MEF e GBT). (iii) Nestas condições, considera-se validado o modelo de elementos finitos adoptado neste trabalho, no que se refere à sua utilização no estudo do comportamento de estabilidade de perfis de aço enformados a frio afectados por instabilidades distorcionais. 39

52 Tabela 3.2 Carga/momentos críticos e modos de instabilidade dos perfis. MEF Valores de Perfil referência Valor Crítico Modo Crítico Modo C P cr [kn] 715,5 MD 715 MD Z M cr [Nm] 785,9 MD 785 MD (a) Figura 3.11 Modo de instabilidade dos perfis: (a) C e (b) Z [25]. (b) Análise de pós-encurvadura Nesta secção apresentam-se os resultados das análises de pós-encurvadura, em regime elástico, de colunas e vigas bi-apoiadas, cuja estabilidade (elástica) se analisou na sub-secção anterior. Apresentam-se trajectórias de pós-encurvadura de perfis com imperfeições geométricas iniciais que exibem a forma do modo crítico de instabilidade (MD), com amplitudes de pequena dimensão, nomeadamente, (i) para a coluna C, com amplitude de ±10% da espessura da parede do perfil (v 0 = 0,1 t), e (ii) para a viga Z, v 0 = 0,15 t. Note-se que (i) v consiste no deslocamento vertical (máximo) do nó de ligação banzo-reforço da secção central do modo MD, e (ii) v > 0 está associado à abertura das secções e v < 0 ao seu fecho. Na Figura 3.12 apresentam-se as trajectórias de equilíbrio P/P cr vs. v/t para a coluna C, enquanto que, na Figura 3.13, se apresentam as trajectórias M/M cr vs. v/t para a viga Z. As trajectórias de pós-encurvadura determinadas com o presente modelo de elementos finitos e a sua comparação com as curvas de referência (nas figuras representadas por círculos) permite retirar as seguintes conclusões: (i) A observação das trajectórias P/P cr vs. v/t da Figura 3.12 permite confirmar a existência de uma clara assimetria de pós-encurvadura distorcional, associadas a valores de v 0 positivos e negativos correspondendo a maior resistência pós-crítica a v 0 <0 (fecho do perfil). Esta assimetria, é bastante mais acentuada para a viga Z, como se pode ver na Figura A título de exemplo, observe-se que, para v /t=10, o valor do momento é cerca de 18% superior para v 0 < 0 ( fecho das secções). 40

53 (ii) Há uma concordância quase absoluta entre os resultados das análises baseadas no presente modelo de elementos finitos e os de referência as diferenças não excedem 1%. (iii) Assim sendo, considera-se validado o modelo de elementos finitos adoptado neste trabalho também em termos do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio afectados por fenómenos de instabilidade distorcional. 1,4 P/P cr 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Dinis & Camotim 2005 ABAQUS v/t Figura 3.12 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da coluna C. 1,4 M/M cr v<0 fecha 1,2 1 v>0 abre 0,8 0,6 0,4 Silvestre 2005 ABAQUS 0, v / t Figura 3.13 Trajectórias elásticas de pós-encurvadura da viga Z 41

54 42

55 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE PÓS-ENCURVADURA COM INTERACÇÃO MODAL 4.1. Introdução Como já se mencionou, a maioria dos perfis de aço enformados a frio apresenta secção de parede fina aberta, muito esbelta, o que os torna bastante susceptíveis à ocorrência de fenómenos de instabilidade. O objectivo do presente trabalho consiste em estudar o comportamento de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, de perfis afectados por fenómenos de interacção entre os dois modos locais, i.e., o ML e o MD. Para estudar o referido comportamento é fundamental identificar perfis cujas dimensões conduzam a valores semelhantes para as tensões/esforços de bifurcação nos dois modos, valores esses a determinar (assim como as respectivas configurações dos modos de instabilidade) a partir da análise linear de estabilidade dos perfis. Como já foi referenciado, o valor do esforço crítico de um perfil e a natureza do correspondente modo de instabilidade dependem (i) da geometria do perfil, (ii) das condições de apoio, (iii) do carregamento e (iv) das constantes elásticas adoptadas para o aço. No presente estudo, consideram-se perfis (i) de secção transversal em Z, (ii) com secções extremas apoiadas e que podem empenar livremente, (iii) submetidos a compressão uniforme, (iv) constituídos por aço com E=210 GPa e =0,3. Nestas condições, o valor do esforço e a natureza do modo crítico de bifurcação só dependem das dimensões do perfil, i.e., das dimensões da secção transversal e do comprimento. A identificação das dimensões dos perfis é efectuada recorrendo ao método das faixas finitas semi-analítico e, em particular, ao programa CUFSM [27]. Foram seleccionadas dimensões 43

56 que conduzem a valores semelhantes das cargas de bifurcação nos dois modos referidos, posteriormente confirmados mediante a análise de estabilidade por elementos finitos dos perfis, efectuada recorrendo ao programa ABAQUS [28]. Estas análises permitiram também determinar a configuração dos modos de instabilidade, cuja combinação define o conjunto de imperfeições geométricas iniciais dos perfis analisados. Por sua vez, a análise de pós-encurvadura de um perfil real de aço (i.e., com imperfeições geométricas e tensões iniciais) submetido a um determinado carregamento, envolve a determinação de trajectórias de equilíbrio não lineares, também designadas por trajectórias de pós-encurvadura, as quais consistem em curvas que relacionam o carregamento aplicado (habitualmente dependente de um único parâmetro de carga) com determinados componentes de deslocamentos escolhidos de modo a ilustrar convenientemente o comportamento dos perfis. Estas análises são complexas, envolvendo a resolução do sistema de equações de equilíbrio não lineares que rege o comportamento do elemento estrutural, com o comportamento material do aço a ser modelado através de leis constitutivas elásticas ou elastoplásticas. Contudo, quando os elementos estruturais são afectados por fenómenos de interacção modal, a realização dessas análises apresenta dificuldades específicas, desde logo quanto às imperfeições a considerar nas análises numéricas. De facto, os procedimentos correntes de incluir imperfeições com a configuração do modo crítico de instabilidade, deixam de estar bem definidos quando o valor do esforço de bifurcação associado a dois ou mais modos de instabilidade é idêntico. Além disso, a determinação numérica das várias soluções de equilíbrio torna-se mais difícil, podendo as trajectórias exibir pontos limites elásticos logo no início das análises. Seguidamente, faz-se a selecção dos perfis afectados por interacção local e explica-se o procedimento para a inclusão das imperfeições geométricas iniciais, terminando o capítulo com a análise de pós-encurvadura elástica e elasto-plástica dos perfis seleccionados Selecção da geometria dos perfis A identificação da geometria da coluna que conduz a valores semelhantes das cargas de bifurcação nos modos local e distorcional envolveu a análise linear de estabilidade dos perfis, efectuada com o recurso ao programa CUFSM. Neste caso, a análise requer a discretização do perfil ao longo da linha média da secção transversal, tendo sido efectuado um estudo prévio 44

57 para determinar o nível adequado os perfis encontram-se simplesmente apoiados e, portanto, as funções sinusoidais descrevem exactamente a variação longitudinal do campo de deslocamentos e satisfazem as condições de apoio correspondentes. Seguidamente, descreve-se a forma como foi seleccionada a geometria da coluna de secção em Z considerada nas análises de pósencurvadura. (i) Determinaram-se várias curvas que traduzem a variação dos valores das cargas de bifurcação e da natureza dos modos de instabilidade com o comprimento L das colunas, as quais permitem detectar os valores mínimos dos esforços de bifurcação no ML e MD (P L, P D ) e os respectivos valores de L (L L, L D ). Na Figura 4.1(a), apresentase (i 1 ) uma curva típica 16 determinada pelo programa CUFSM (função sinusoidal com um único semi-comprimento de onda) e (i 2 ) a configuração da secção transversal de uma coluna de secção em Z associada a bifurcação em ML, MD e MG. (ii) Realizaram-se estudos paramétricos a partir dos quais se investigou a influência das dimensões da secção transversal dos perfis na estabilidade local das colunas, i.e., no valor da carga crítica e na natureza do modo de instabilidade local. Estes estudos paramétricos procuraram identificar geometrias para as quais o valor dos esforços de bifurcação em ML e MD é semelhante a igualdade dos valores mínimos (P L, P D ) potencia a ocorrência de fenómenos de interacção modal no comportamento de pósencurvadura dos perfis. Na Figura 4.1(b) apresenta-se uma curva típica P vs. L, determinada pelo programa CUFSM quando esse objectivo é atingido, estando identificado por L L/D o menor valor de L para o qual o valor mínimo do esforço de bifurcação distorcional é semelhante ao local. (iii) A selecção da geometria dos perfis foi também condicionada por outro aspecto: (iii 1 ) a conveniência do ML apresentar um número ímpar de semi-comprimentos de onda esta imposição visou apenas simplificar a identificação das participações dos dois modos na configuração de pós-encurvadura elástica, uma vez que ambos apresentam amplitudes máximas na mesma secção (a secção de meio vão). 16 Escala horizontal logarítmica. 45

58 ML MD MG (a) (b) Figura 4.1 Variação da carga P b de bifurcação com o comprimento L de colunas de secção em Z. Perfil com valores mínimos P L e P D (a) diferentes ou (b) semelhantes. De seguida ilustram-se alguns estudos paramétricos efectuados para atingir o objectivo referido anteriormente, i.e., para identificar geometrias com valores mínimos semelhantes dos esforços de bifurcação em ML e MD Estudos paramétricos Nos estudos paramétricos realizados, isolam-se as principais características geométricas do perfil (alma, banzos, reforços e espessura), e analisa-se o efeito que a variação dessas características tem na tensão e na natureza do modo crítico das colunas de secção em Z. De seguida, apresentam-se os resultado de alguns desses estudos. Os resultados são obtidos de forma iterativa, numa base de tentativa/erro, em que as características já mencionadas sofrem alterações positivas ou negativas e o resultados dessas alterações é registado. Os dados são manipulados de forma gráfica por forma a facilitar a análise e a conclusão a retirar sobre quais as dimensões necessárias para que a interacção modal seja maximizada (mínimos L e D muito próximos). 46

59 b 1 t b 2 b 3 b 1 t b 2 b 3 b 4 b 1 t b 2 b 3 b 1 = variável b 2 = 50mm b 3 = 10mm t = 0,4mm E = 210GPa (a) b 1 [mm] Za1 80 Za2 100 Za3 120 (b) Figura 4.2 (a) Dimensões da secção transversal com variação da alma e (b) curvas σ b vs L b 1 t b 2 b 3 b 1 t b 2 b 3 b 4 b 1 t b 2 b 3 b 1 = 100mm b 2 = variável b 3 =10mm t = 0,4mm E = 210GPa (a) b 2 [mm] Zb1 40 Zb2 50 Zb3 60 (b) Figura 4.3 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos banzos e (b) curvas σ b vs L 47

60 b 1 t b 2 b 3 b 1 t b 2 b 3 b 4 b 1 t b 2 b 3 b 1 = 100mm b 2 = 50mm b 3 = variável t = 0,4mm E = 210GPa (a) b 3 [mm] Zr1 10 Zr2 12,5 Zr3 15 (b) Figura 4.4 (a) Dimensões da secção transversal com variação dos reforços e (b) curvas σ b vs L b 1 t b 2 b 3 b 1 t b 2 b 3 b 4 b 1 t b 2 b 3 b 1 = 100mm b 2 = 50mm b 3 = 10mm t = variável E = 210GPa (a) t [mm] Ze1 0,4 Ze2 0,5 Ze3 0,6 (b) Figura 4.5 (a) Dimensões da secção transversal com variação da espessura e (b) curvas σ b vs L 48

61 Nos gráficos das Figuras 4.2(b) a 4.5(b), observe-se que cada uma das curvas σ b vs. L apresenta dois mínimos locais, correspondendo o primeiro a um ML e o segundo a um MD. Alem disto, é possível concluir que: (i) O aumento da dimensão da alma conduz a uma descida da tensão de bifurcação para os modos ML e MD, sendo ainda assim esse decremento maior para o ML. (ii) A carga de bifurcação no modo ML é praticamente insensível à variação das dimensões do banzo, o mesmo não acontecendo para o MD. Neste caso, reage de forma antagónica ao aumento do banzo. (iii)aparentemente as dimensões dos reforços não influenciam em nada o ML, mas a sua variação positiva faz variar o MD positivamente e vice-versa. (iv) A espessura faz ambos os modos variarem, com os gráficos a sofrerem translações no eixo das ordenadas e o MD a ter translações no eixo das abcissas, estando o aumento da espessura relacionado com translações positivas em yy e negativas em xx Escolha do perfil em interacção modal Efectuaram-se estudos paramétricos semelhantes aos anteriores para encontrar um conjunto de perfis cujas geometrias permitam obter resultados elucidativos acerca do fenómeno de interacção L/D, com a instabilidade local precipitada pela alma da coluna. A secção seleccionada encontra-se indicada na tabela da Figura 4.6(a), apresentando-se na Figura 4.6(b) os resultados relativos ao comportamento de estabilidade que estiveram na origem da selecção do comprimento do perfil. Na Figura 4.6(c) apresenta-se, de forma esquemática, a configuração deformada da secção transversal da coluna referente a alguns modos de instabilidade a sua natureza depende do comprimento das barras. 49

62 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 b 4 b 1 b 2 b 3 b 1 [mm] b 2 [mm] b 3 [mm] t [mm] t t t E=210 GPa = ,5 (a) 1000 σ b (MPa ) I 500 II σ b L/D I II 0 III L (cm) 1 10 L L/D III (b) Figura 4.6 (a) Geometria da secção transversal do perfil seleccionado, (b) curva σ b vs. L e (c) configuração deformada da secção transversal referente a três modos de instabilidade das colunas: I-Modo local; II- Modo distorcional; III-Modo global (flexão). (c) Da observação da Figura 4.6(b), é possível retirar as seguintes conclusões: (i) Para valores de L < 8,2 cm (L L ), a coluna instabiliza num modo local, com a instabilidade a ser precipitada pela alma (ver modo I da figura). (ii) A curva apresenta um segundo mínimo para L 40,3 cm (L L/D ), o qual está associado à instabilidade distorcional ver modo II. Observe-se a semelhança de valor das duas tensões mínimas (σ b L / σ b D =0,98). (iii) Para L > 120 cm (valor associado a L L/D/G ), a coluna instabiliza num modo global por flexão ver modo III. (iv) Para valores de L compreendidos entre 8,2 < L < 120 cm, as curvas obtidas com o programa CUFSM não descrevem totalmente o comportamento das colunas, pelos seguintes motivos: (iv 1 ) o número de semi-comprimentos de onda poderá ser superior à unidade e (iv 2 ) o valor semelhante dos mínimos σ bl e σ bd faz com que, para determinados valores de L, o modo de instabilidade corresponda a uma combinação linear dos modos ML e MD (modos I e II representados na figura). De facto, para 8,2 < L < 40,3 cm, a instabilidade pode ocorrer num modo local com um número de semi-ondas 50

63 maior ou igual à unidade, enquanto que, para 40,3 < L < 120 cm, a instabilidade pode ocorrer num modo acoplado L/D. (v) Concretamente para L 40,3 cm, a coluna instabiliza para σ b =221 MPa (P b =79,56 kn), combinando um modo local com cinco semi-comprimentos de onda ( n 40,3 8,2 5) e um modo distorcional com apenas um Análise por elementos finitos do perfil seleccionado A análise linear de estabilidade por elementos finitos do perfil, com as dimensões seleccionadas no parágrafo anterior teve vários objectivos, designadamente, (i) confirmar a susceptibilidade desse perfil em relação a fenómenos de interacção ML/MD, (ii) determinar o valor da carga crítica por elementos finitos, e (iii) obter a configuração dos dois modos locais (ML e MD), cuja combinação define o conjunto de imperfeições geométricas iniciais admitidas no estudo do comportamento de pós-encurvadura com interacção modal, a realizar na subsecção seguinte. Na modelação por elementos finitos, considerou-se o modelo descrito no capítulo anterior, o que significa que (i) se discretizaram os perfis com elementos S4, (ii) se adoptou uma relação comprimento/largura próxima da unidade para os elementos finitos, (iii) se consideraram impedidos todos os deslocamentos transversais nas secções extremas dos perfis e (iv) se aplicou nos nós de extremidade dos perfis um conjunto de forças longitudinais estaticamente equivalentes a um estado uniforme de compressão. A curva representada na Figura 4.7(a) mostra, novamente, a variação da tensão de bifurcação σ b com o comprimento L para a coluna, curva essa obtida através de uma análise linear de estabilidade baseada no MEF e no MFF a curva MFF é a da Figura 4.6(a), sendo incluída para efeito de comparação com a solução por elementos finitos. Por outro lado, na Tabela 4.1 indicam-se os valores das cargas críticas obtidas em cada uma das referidas análises para a coluna, cuja configuração dos modos críticos de instabilidade se indica na Figura 4.7(b). A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (i) De novo, existe uma excelente concordância entre os resultados determinados com o presente modelo de elementos finitos e os obtidos através do método das faixas finitas com o programa CUFSM. Observe-se que, no caso onde aparentemente as diferenças são mais acentuadas (mínimo local e mínimo distorcional), estas resultam, em grande parte, das concentrações de tensões introduzidas pela restrição dos deslocamentos transversais nas secções extremas do perfil (ver secção 3.3). 51

64 (ii) Apesar da dimensão superior das discretizações por elementos finitos, as análises realizadas com o programa ABAQUS permitem a imediata caracterização do comportamento de estabilidade da coluna: basta reter o valor do parâmetro de carga e observar a respectiva configuração dos modos de bifurcação para identificar de forma clara o número de semi-comprimentos de onda associado a cada modo crítico. (iii) Finalmente, confirma-se a natureza e o número de semi-comprimentos de onda do modo de instabilidade acoplado da coluna com L=40,3cm: este modo combina o modo distorcional, com um semi-comprimento de onda, com modos locais com cinco semi-comprimentos de onda (ver figura 4.7(b)) observe-se que os dois modos apresentam um número ímpar de semi-comprimentos de onda σ b (MPa ) 500 MFF MEF σ b L/D 0 L (cm ) 1 10 L L/D (a) (b) Figura 4.7 Análise de estabilidade do perfil seleccionado. (a) Curva σ b vs. L e (b) configuração do modo de instabilidade acoplado local/distorcional. Tabela 4.1 Dimensão do perfil, carga crítica e natureza do modo de instabilidade do perfil seleccionado. MFF MEF b 1 [mm] b 2 [mm] b 3 [mm] t [mm] L [mm] P cr [N] P cr [N] Modo , ML(5)+ MD(1) 52

65 4.3. Imperfeições geométricas iniciais As imperfeições de natureza geométrica desempenham um papel importante no comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, visto alterarem o comportamento e a resistência última dos elementos estruturais. Para analisar o efeito da interacção modal no comportamento de pós-encurvadura de perfis é necessário determinar trajectórias de equilíbrio de barras com imperfeições iniciais que (i) cubram toda a gama de possibilidades (i.e., combinem de forma variada os diferentes modos) e, simultaneamente, (ii) tenham amplitudes comparáveis. Nesse sentido, considerou-se a seguinte metodologia na definição das imperfeições iniciais das barras, a qual tem em conta o facto dos modos de instabilidade terem um número ímpar de semi-comprimentos de onda: (i) Determinar as configurações dos modos de instabilidade puros 17 que exibem valores unitários dos deslocamentos máximos na secção média dos perfis: (i 1 ) no ML, o deslocamento máximo de flexão (w) a ocorrer na alma do perfil 18 ; (i 2 ) no MD, o deslocamento vertical do nó de ligação banzo-reforço (v). (ii) Considerar imperfeições geométricas iniciais obtidas por combinação dos modos puros multiplicados por certos factores, designados por factores de participação modal (neste caso, C L0 e C D0 ), os quais indicam a contribuição de cada modo para a configuração inicial do perfil. (iii) Impor imperfeições iniciais da mesma dimensão a todos os perfis, sendo considerado, neste caso, uma amplitude igual a 10% da espessura da parede t do perfil. Para conseguir este objectivo, começa-se por normalizar os modos puros de forma a obter w 0 =0,1t e v 0 =0,1t, respectivamente, para o modo ML e MD o índice zero significa valor inicial. Em seguida, impõe-se a seguinte condição 2 2 ( C ) ( C ) 1. (4.1) D0 L0 Para melhor visualizar esta condição, considere-se a circunferência de raio unitário representada na Figura 4.8. As várias imperfeições geométricas iniciais consideradas 17 Nos casos em que o modo crítico fornecido pelo ABAQUS corresponde a um modo combinado, os modos puros foram obtidos a partir da análise linear de estabilidade de um perfil com igual geometria, mas com uma espessura ligeiramente alterada em relação à espessura do perfil com interacção modal. 18 Devido ao fenómeno de concentração de tensões resultante da modelação por elementos finitos da condição simplesmente apoiada, a coluna considerada neste trabalho não apresenta modos locais com semi-ondas de igual amplitude e.g., a semi-onda central do perfil tem um deslocamento máximo de flexão inferior ao valor das semi-ondas de extremidade. Naturalmente, a referida normalização deste modo faz com que estas semiondas (as de extremidade) apresentem deslocamentos de flexão superiores à unidade. 53

66 neste estudo encontram-se sobre esta circunferência, podendo ser identificadas através do valor de um ângulo, medido a partir do eixo horizontal e no sentido directo. Observe-se que, as configurações relativas a imperfeições puras, i.e., com (iii 1 ) C D0 = 1 e C L0 =0 (imperfeições distorcionais puras), e (iii 2 ) C D0 =0 e C L0 = 1, (imperfeições locais puras), correspondem, nesta representação, a =0º, 180º e a =90º, 270º, respectivamente ver figura 4.9. (iv) Considerar imperfeições de natureza geométrica com configurações a que correspondem ângulos compreendidos entre 0º e 360º, com intervalos de 15º. Na verdade consideraram-se apenas os ângulos referentes ao primeiro quadrante, tal como se explica na subsecção referente à simetria. Isto significa que, neste estudo, se analisaram perfis com sete imperfeições geométricas iniciais diferentes. C L0 = 90 = 180 r=1 = 0 C D0 270 Figura 4.8 Imperfeição geométrica inicial dos perfis. Factores de participação dos modos L e D. 54

67 =90º =270º =0º =180º Figura 4.9 Configuração das imperfeições geométricas iniciais puras da coluna Z: locais ( = 90º e 270º) e distorcionais ( =0º e 180º) Simetria De modo a simplificar a elaboração do documento e aligeirar o número de análises, observa-se a Figura 4.9, onde é possível concluir que as deformadas dos modos puros são idênticas. De facto, tomando como exemplo a deformada do modo = 0º, observe-se que quando invertemos a mesma, esta torna-se idêntica à deformada do modo = 180º - no caso do modo ML essa simetria é ainda mais evidente. Nestas condições, uma coluna com uma imperfeição inicial definida por C D.0 = cos15º e C L.0 = sen15º apresenta uma imperfeição idêntica à da coluna com =165º e =345º. Assim sendo, basta analisar colunas com imperfeições associadas ao primeiro quadrante da circunferência dos factores de participação modal (0º º) para obter todo o espectro de resultados. 55

68 4.4. Análise de pós-encurvadura Nesta secção analisa-se o comportamento de pós-encurvadura da coluna Z, simplesmente apoiada, cujas dimensões (e propriedades elásticas do aço) se indicam na Tabela 4.1. A coluna instabiliza em regime elástico para uma carga de P cr =79,56 kn ( cr =221 MPa), associado a um modo de instabilidade combinado (ver Figura 4.7) com interacção entre o MD (uma semionda) e o ML (cinco semi-ondas). Analisa-se o comportamento de pós-encurvadura, de sete perfis exibindo diferentes imperfeições geométricas iniciais de pequena dimensão (amplitude igual a 10% do valor da espessura da chapa), cuja configuração resulta da combinação dos modos de instabilidade mencionados recorde-se que, conforme o estabelecido na secção anterior, a configuração inicial das colunas será identificada por um ângulo compreendido entre 0º e 90º. O estudo do comportamento de pós-encurvadura das colunas com interacção modal L/D será efectuado em duas fases. Em primeiro lugar, procede-se à análise do comportamento de pós-encurvadura dos perfis em regime elástico linear e, posteriormente, à sua análise em regime elasto-plástico, considerando diferentes valores para a tensão de cedência do aço. Recorrentemente, estes estudos são efectuados mediante o traçado de trajectórias de equilíbrio, P/P cr vs. v/t e P/P cr vs. w/t, onde, P cr é a carga crítica da coluna, t a espessura das paredes do perfil e v e w os deslocamentos da ligação banzo-reforço e o meio da alma na secção média da coluna Pós-encurvadura em regime elástico Nesta sub-secção investiga-se o comportamento de pós-encurvadura, em regime elástico, de sete colunas, as quais diferem entre si quanto à configuração das imperfeições iniciais. O estudo será apresentado do modo seguinte. Inicia-se com a análise do comportamento de colunas que exibem imperfeições geométricas puras, i.e., com a forma do modo distorcional e do modo local. Posteriormente, analisa-se o comportamento das colunas com imperfeições geométricas iniciais que combinam essas duas configurações puras. Finalmente, estima-se a contribuição das componentes distorcional e local na configuração deformada das colunas, a qual será obtida a partir dos deslocamentos v e w referentes à secção de meio vão. 56

69 Trajectórias de equilíbrio A Figura 4.10(a)-(b) apresenta a evolução das trajectórias de pós-encurvadura P/P cr vs. v/t e P/P cr vs. w/t, para colunas com imperfeições iniciais puramente distorcionais ( =0º) e locais ( =90º) notar que as escalas horizontais das duas figuras não são iguais. Por sua vez, a Figura 4.11 apresenta a configuração deformada dessas colunas num estádio avançado de pósencurvadura elástica. A observação destas figuras permite concluir o seguinte: (i) As colunas apresentam alguma resistência de pós-encurvadura, com as trajectórias de equilíbrio a evoluírem no mesmo sentido. (ii) Inicialmente, as quatro colunas exibem apenas componentes distorcionais ou locais com a forma e dimensão da imperfeição inicial. A dimensão destas componentes mantém-se praticamente invariável até valores próximos de P/P cr 0,4, começando posteriormente a aumentar. (iii) As colunas (i 1 ) apresentam uma resistência de pós-encurvadura mais significativa e (i 2 ) exibem um comportamento distinto do evidenciado por colunas em C, no estudo com interacção L/D: para imperfeições puramente locais ( =90º) as colunas em C tendem sempre a abrir para o interior do perfil, ocorrendo o fenómeno de snap back. (iv) Para valores superiores da carga, a componente local aumenta de forma progressiva, com a configuração da imperfeição inicial a determinar o sentido da flexão da alma, observe-se que, para valores de P/P cr >1,20, ocorre o fenómeno de snap trough. (v) A componente distorcional aumenta essencialmente para valores de P/P cr >1,0. 57

70 P/P cr P/P cr =90º =0º =90º =0º v>0 w< v / t 10-5 w / t 0 (a) (b) Figura 4.10 Trajectórias de equilíbrio (a) P/P cr vs. v/t e (b) P/P cr vs. w/t das colunas com imperfeições distorcionais puras ( =0º) e locais puras ( =90º). 1.4 P/P cr A B A B 0 5 v / t 10 B =0º (a) =90º (b) Figura 4.11 Configuração deformada da coluna com imperfeições iniciais definidas por (a) =0º e (b) =90º. Estes resultados são de alguma forma esperados quando comparados com os obtidos em estudos anteriores também relativos ao comportamento de pós-encurvadura distorcional (elástico) de perfis simplesmente apoiados, de aço enformados a frio e com secção em C, também afectados por interação L/D [45]. De facto, a observação da Figura.4.12 retirada do referido estudo mostra que nas colunas de secção em C (i) o sentido da imperfeição distorcional determina a evolução da configuração deformada de pós-encurvadura, (ii) esta evolui 58