CONSTRUÇÃO DO METAMODELO SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO SOLUÇÃO APROXIMADA SOLUÇÃO. (função de aproximação)

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1 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Laboratório de Eletromagnetismo Aplicado LMAG-PEA-EPUSPEPUSP FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO APLICADAS AO PROJETO DE EQUIPAMENTOS ELETROMAGNÉTICOS

2 INTRODUÇÃO: OTIMIZAÇÃO DE UM PROJETO SOLUÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS CONSTRUÇÃO DO METAMODELO (função de aproximação) MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO CUSTO COMPUTACIONAL ALTO SOLUÇÃO SOLUÇÃO APROXIMADA CUSTO COMPUTACIONAL BAIXO

3 MODELOS POR SUBSTITUIÇÃO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MODELO POR APROXIMAÇÃO VARIÁVEIS DE PROJETO METAMODELO FUNÇÃO OBJETIVO 3

4 Funções de Aproximação funções radiais de base funções do tipo multiquadrics splines as superfícies de resposta as redes neurais artificiais Kriging e Cokriging 4

5 Função de Aproximação substituirá tanto a função objetivo e suas restrições no contexto de um processo de otimização; Características fundamentais: baixo custo computacional boa confiabilidade (erro em relação ao modelo de elemento finitos é baixo). 5

6 Algumas características dos dados Dados a serem analisados são oriundos de experimentos por computador. Natureza dos dados é determinística. Não há qualquer erro de medida. Logo o modelo a ser adotado deve ser interpolador. 6

7 FUNÇÕES RADIAIS DE BASE n S yˆ h x x i1 i i n S y( x ) h x x k i k i i1 GAUSSIANA MULTIQUADRICS h( x) x x exp i hx ( ) x 1 1 x i 7

8 Funções Radiais de Base Multiquadrics se x = x j então g(x j ) = f(x j ) N g( x) c x x i1 i i 1 [ c j ] [ Xij ] [ f1] X x x ij j i Com um raciocínio análogo faz a interpolação por Gaussianas As questões: qual o bom? Ou qual o bom? 8

9 KRIGING: VISÃO INTUITIVA 8 6 DADOS 4 MÉDIA

10 KRIGING KRIGING: VIA ESTIMATIVA DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Y( x) f T ( x) Z( x) TENDÊNCIA GLOBAL DESVIOS LOCAIS estimativa da média Z ( x) é a realização de um processo estocástico 10

11 Formalização Matemática do Mecanismo do Kriging Em experimentos por computador é usual adotar f(x) constante f(x) = β (Kriging Comum) Z(x) = N(0,σ ) Como determinar β e σ? Estimativa de Máxima Verossimilhança 11

12 Estimativa de Máxima Verossimilhança A matriz de covariância Cov[Z(x i ), Z(x j )] σ R(R(x i,x j )) Função de Correlação R( xi, x j ) e x i x j Gaussiana Melhor estimador não viesado vale: y E o vetor de correlação rt vale: ( x) ( ) r ( x, ) R( ) T r x R x x 1 R x x n t 1 ( ) [ ( ) ( )] S ( y T f( )) 1

13 Estimativa de Máxima Verossimilhança Se é conhecido, então é possível realizar uma estimativa de β e σ,pois a correlação é Gaussiana. ˆ t 1-1 ( ) ( f R(θ) f) ( f t R(θ) 1 y) ˆ ( ) [( y - f ˆ( )) T R 1 ( )( y - f ˆ( )]/ N 13

14 Estimativa de Máxima Verossimilhança Como determinar o coeficiente de correlação ()? max N ln( ˆ ( )) ln (det ( R )) y ( x) ( ) r t ( x, ) R( ) 1 ( y f( )) 14

15 TEAM 5 MATERIAL FERROMAGNÉTICO PEÇA A SER MAGNETIZADA BOBINAS 15

16 TEAM 5 [4;19](mm) 14mm [5;9.4](mm) [1.6;18](mm) HOMOGENEIDADE NA INDUÇÃO MAGNÉTICA 16

17 TEAM 5: A Função Objetivo n xip xio yip yio i=1 W = B -B + B -B VALOR ESPECIFICADO VALOR CALCULADO 17

18 TEAM 5: A influência das amostras Amostra 1: cada uma das 4 variáveis de otimizaçãodo problema assumiu sete valores distintos e equidistantes, desde seu valor mínimo até o valor máximo, obtendo-se uma amostra com 401 pontos. Amostra : manteve-se a variável L3 constante e igual a 14 mm, porque ela tem baixo impacto no problema analisado. Desta forma, manteve-se o critério anterior, sete valores distintos e equidistantes por variável, o que resulta uma diminuição do tamanho da amostra para 343 pontos. Amostra 3: a partir da amostra com 401 pontos, realiza-se um sorteio dos pontos que participarão da construção da função de aproximação. Amostra 4: a partir da amostra com 401 pontos, fixa-se uma das quatro variáveis que definirá um hiperplano. Neste hiperplano, realiza-se um sorteio dos pontos que participarão da construçao da funçao de aproximação. Esta amostragem é mais guiada do que a anterior. 18

19 TEAM 5 A influência das amostras e dos parâmetros (multiquadrics) 19

20 TEAM 5: A influência das amostras MULTIQUADRICS 0

21 TEAM 5: a influência do parâmetro (Gaussianas) 1

22 TEAM 5: análise comparativa (amostra )

23 TEAM 3

24 TEAM : 3 condições 1) A Energia armazenada no dispositivo deve ser 180MJ. ) A indução magnética nas linhas a e b (a 10 metros do dispositivo) deve ser a menor possível. 3) A condição de supercondutividade do enrolamento deve ser garantida. 4

25 TEAM : 1ª Condição Função que se busca minimizar é F Energia Energia E ref E ref Eref 180MJ 5

26 TEAM : ª Condição F B Stray B B Stray norm 3 Bnorm 3.0x10 T B Bstray i i1 stray 6

27 TEAM : 3ª Condição Acima da linha, o material perde sua característica de supercondutor. Fig. 8 Curva Limite do Supercondutor 7

28 TEAM : 3ª Condição J ( 6.4 B 54.0) A/ mm J.5 A/ mm B 4.9T FB max Max[( B 4.9),0] max 8

29 TEAM : Função Objetivo OF A partir das 3 Condições chegou-se a Função Objetivo que se deseja minimizar Energia Eref Bstray 15* Max[( Bmax 4.9),0] E B ref ª Condição norm PENALIDADE 1ª Condição 3ª Condição 9

30 Análise A análise deve ser sempre feita observando-se quatro aspectos: Função objetivo Energia B stray B max 30

31 Resultados Multiquadrics 31

32 Resultados - Gaussianas 3

33 Resultados 33

34 Resultados 34

35 Conclusão Eficiência das Funções de Aproximação Menor Versatilidade das Splines Amostras menores podem eventualmente ser eficientes Usou-se se análise de sensibilidade nas Funções Radiais de Base. TEAM : d e h são os parâmetros que mais sofrem com o processo de aproximação da função objetivo. 35

36 Para resolução Problema Definição do Problema es/stories/team/problem.pdf 36

37 Hipóteses Problema 8 parâmetros H, D e R valores ótimos H1, R1, D1, J1 e J são as possíveis variáveis. Cada sub-problema terá 3 variáveis 37

38 Os Sub-problemas Sub-problema 1: Variáveis (H1, D1 e R1). J1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema : Variáveis (H1, D1 e J1). R1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 3: Variáveis (H1, J1 e R1). D1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 4: Variáveis (J1, D1 e R1). H1 e J no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Sub-problema 5: Variáveis (J, D1 e R1). H1 e J1 no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina 1 Sub-problema 6: Variáveis (J, D1 e R1). H1 e J1 no valor ótimo e Cálculo de Bmax na Bobina Valores ótimos: 38

39 Procedimento Duas opções: Resolve-se se o problema de otimização diretamente com MEF. Ou Cada variável terá cinco valores distintos. Forma-se uma base com 15 pontos (5x5x5). Faz-se uma interpolação da função objetivo. A escolha é sua. Passa-se se a etapa de Otimização. Qual método? A escolha é novamente sua. 39

40 A função objetivo vale: Energia Eref Bstray OF 15* Max[( Bmax Badm),0] E B ref 1ª Condição norm Logo deve-se calcular Energia, Btray e Bmax nos 15 pontos. B adm ª Condição PENALIDADE 3ª Condição O valor de deve ser calculado para cada sub-problema porque dependerá de J1 ou J. Dicas: 1) criar três funções de aproximação; uma para cada condição. ) o valor da penalidade da restrição pode (deve) ser alterada. 40