Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para alguns Sistemas Dinâmicos. Luciano Nunes Prudente

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1 Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para alguns Sistemas Dinâmicos Luciano Nunes Prudente 26 de junho de 2012

2 Sumário 1 Introdução 3 2 Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para Aplicações com Pontos Singulares com Respeito a uma Família de Potenciais não Hölder Introdução Esquema de Indução A Torre de Hofbauer-Keller Levantamento de Medidas para a Torre de Hofbauer-Keller Construção de Esquema de Indução via Torre de Hofbauer- Keller Shift Enumerável, Medidas de Gibbs, Medida de Equilíbrio e Princípio Variacional Esquemas de Indução e a Dinâmica Simbólica Enumerável As Famílias de Potenciais A Pressão Topológica Principais Teoremas Existência de Medidas de Gibbs para o Mapa Induzido Tempo de indução integrável com respeito a medida de Gibbs, Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para o Mapa Induzido Pressão de Gurevich nula para o Mapa Induzido Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para a Aplicação de Cúspide Existência de Medidas de Equilíbrio para a Aplicação de Cúspide Unicidade de Medida de Equilíbrio para a Aplicação de Cúspide Exemplos de Potenciais Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para o Fluxo de Suspensão do Atrator de Lorenz e Rovella Introdução Fluxo e Atratores

3 3.3 O Atrator e o Modelo Geométrico de Lorenz O Atrator e o Modelo Geométrico de Rovella Fluxo de Suspensão Definição Geral Formalismo Termodinâmico para Fluxos de Suspensão Fluxo de Suspensão do Atrator de Lorenz e Rovella para a Aplicação de Primeiro Retorno Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para a Aplicação Bidimensional e o Fluxo de Suspensão do Atrator de Lorenz e Rovella Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para a Aplicação Bidimensional do Atrator de Lorenz e Rovella Estudo da Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para o Fluxo de Suspensão do Atrator de Lorenz Estudo da Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para o Fluxo de Suspensão do Atrator de Rovella Unicidade de Medida de Equilíbrio para uma Ferradura Parcialmente Hiperbólica Introdução A Família de Ferraduras Shift Fnito, Medidas de Gibbs, Medida de Equilíbrio e Princípio Variacional Medida de Equilíbrio para Automorfismos em Espaços Compactos A Família de Potenciais Unicidade de Medida de Equilíbrio para o shift Principal Teorema Demonstração do Principal Teorema Um Princípio Variacional Entropia Topológica da Fibra Existência de Medida de Equilíbrio Unicidade da medida de equilíbrio

4 Capítulo 1 Introdução Recentemente o formalismo termodinâmico conquistou muitos avanços e tem chamado a atenção devido a sua relação com a mecânica estatística e suas aplicações aos reticulados gasosos e à cristalografia, [42]. Na verdade, devido ao trabalho de Ruelle, Sinai e Bowen, esta teoria se encaixa muito bem com a teoria de sistemas dinâmicos hiperbólicos, tanto no caso inversível quanto no não-inversível, por exemplo, veja Bowen e Ruelle [17], [?] e [10]. Em particular, a existência e unicidade de medidas de equilíbrio para sistemas Axioma A, bem como para endomorfismos expansivos, de variedades compactas foram obtidas e amplamente estudadas. Na verdade, Ruelle e Haydn [37], bem como Bowen [11], desenvolveram hipóteses para trabalhar em ambos os cenários, utilizando os conceitos de expansão e especificação. Por outro lado, essa teoria se desenvolveu rápida e intensamente em sistemas unidimensionais, indo além da hiperbolicidade, nos trabalhos de Keller [45], Hofbauer [40], Buzzi [23], Buzzi e Sarig [25], Pesin e Senti [57], Bruin [19], Bruin e Keller [21], Bruin e Todd [19], [20], Iommi e Todd [41] entre outros. Além disso, no caso não-inversível, muitas pesquisas foram feitas para endomorfismos não-uniformemente expansivos, como nas obras de Alves e Araújo [3], Oliveira [54], Arbieto, Matheus e Oliveira[5], P. VarandaseM. Viana [68], entreoutros. No caso inversível, pouco foi feito para medidas de equilíbrio no contexto não-uniformemente hiperbólico, com exceção de alguns trabalhos sobre a existência de medidas SRB ou medidas físicas, como nas obras de Bonatti e Viana [9] e Alves, Bonatti e Viana [4], por exemplo. Recentemente, Buzzi, Fisher, Sambarino e V asquez [52], desenvolveram um método para provar a unicidade de medidas de máxima entropia para alguns sistemas inversíveis relacionados aos hiperbólicos, mas não hiperbólicos. Na verdade, eles mostraram a unicidadee par o sistema de DA. O principal objetivo deste trabalho é provar a existência e a unicidade de medidas e equilíbrio, nossos alvos de pesquisa serão três sistemas dinâmicos diferentes. O primeiro sistema, abordado no segundo capítulo, é uma aplicação unidimensional que possui um número finito de pontos críticos ou singulares, ou 3

5 seja, pontos cuja derivada é zero ou infinita respectivamente, como principal resultado deste capítulo provaremos a existência e a unicidade da medida de equilíbrio para uma família de potenciais que possui variação finita. Nesta direção existem alguns trabalhos, por exemplo, o caso S-unimodal foi tratado por Bruin e Todd em [19], [20] sendo que no primeiro trabalho a família de potenciais utilizada foi ϕ := logdf e no segundo a família de potencias utilizada possuía variação finita, já o caso S-multimodal foi tratado por Iommi e Todd em [41] com respeito a família de potenciais ϕ := logdf, a principal ferramenta nestes trabalhos foi a utlização de esquemas de indução para se obter medidas de equilíbrio, técnica que foi introduzida por Pesin e Senti em[57]. Uma outra característicaem comum aos trabalhos de Bruin e Todd [19], [20] e Iommi e Todd [41], além da técnica, é o fato das aplicações por hipótese possuírem derivada Schwarziana negativa, que dá um carácter expansor à aplicação, se não no primeiro iterado, a partir de um determinado iterado da aplicação a despeito da ou das singularidades. Já para aplicações com singularidades existem os trabalhos de G. Keller [43] e G. Keller e F. Hofbauer [44] que provam a existência e a unicidade de medidas de equilíbrio para estas aplicações com respeito a famílias de potenciais de variação limitada e p-variação limitada respectivamente, nestes trabalhos a principal ferramenta utilizada foi o Operador de Perron-Frobenius. O principal resultado deste capítulo será provado utilizando a técnica introduzida por Pesin e Senti em [57], construiremos um esquema de indução sobre o sistema e utilizando o fato de que este, a menos de um conjunto enumerável de pontos, é conjugado ao full-shift enumerável prova-se que existe e é única a medida de equilíbrio com respeito a uma família de potenciais que possui variação finita. No terceiro capítulo, trabalharemos com o fluxo de suspensão dos atratores de Lorenz e Rovella, veja V. Araújo, M.J. Pacífico, E.R.Pujals, M. Viana [58], neste trabalho provam-se as principais propriedades geométricas dos atratores singulares hiperbólicos, já em [8], L. Barrerira e G. Iommi obtiveram algumas propriedades ergódicas bem como estabeleceram o formalismo termodinâmico destes sistemas. A partir destes trabalhos e especialmente de M.J.Pacífico e M. Todd [55], onde prova-se a existência de medida de equilíbrio para o fluxo Rovella, provamos paraofluxo de suspensãodos atratoresde LorenzeRovellaque a existência e a unicidade da medida de equilíbrio com respeito a um potencial que depende só da coordenada instável é equivalente a existência e unicidade da medida de equilíbrio nos respectivos sistemas unidimensionais com respeito a um potencial obtido via o potencial do fluxo de suspensão. No quarto capítulo o sistema é uma ferradura parcialmente hiperbólica introduzida e estudada por Díaz, Horita, Rios e Sambarino [29], provamos a existência e a unicidade da medida de equílibrio com respeito a uma família de potenciais que dependem somente da coordenada instável. Para isto usamos que a ferradura é semi-conjugada a um shift finito e a partir de algumas melhorias obtidas nos resultados de Ledrappier e Walters[47] e Buzzi, Fisher, Sambarino e Vásquez [24], sobre a pressão e a entropia relativa de 4

6 dois sistemas semi-conjugados, provamos que a contribuição das fibras, obtidas pela semi conjugação, na pressão é zero. Uma consequência deste fato é que os dois sistemas mesmo que semi-conjugados possuem a mesma pressão topólógica, em particular prova-se que a única medida de equilíbrio do shift para o potencial induzido pela semi-conjugação nos define na ferradura uma medida de equilíbrio com respeito a família inicial de potenciais. 5

7 Capítulo 2 Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para Aplicações com Pontos Singulares com Respeito a uma Família de Potenciais não Hölder 2.1 Introdução Neste capítulo provaremos a existência e a unicidade da medida de equilíbrio para aplicações com pontos singulares ou críticos com respeito a uma família de potenciais não Hölder. A principal ferramenta utilizada será a construção de esquemas de indução sobre nosso sistema dinâmico, construiremos sobre a aplicação de cúspide esquemas de indução, cujos domínios possuem enumeráveis elementos e provaremos que estes sistemas possuem uma única medida de equilíbrio com respeito ao levantamento de uma translação do potencial original. Por fim mostraremos que a medida de equilíbrio obtida no esquema de indução pode ser projetada no sistema original e que a sua projeção é uma medida de equilíbrio da aplicação de cúspide, em particular a única com respeito à família de potenciais definida. 6

8 2.2 Esquema de Indução Por simplicidade representaremos a aplicação f : I I pelo par ordenado (I,f), por M(f) o conjunto das medidas de probabilidades, borelianas e f-invariante definidas em I e por M erg (f) as medidas de M(f) que são ergódicas. Definição Um esquema de indução construído sobre o sistema (I, f) é uma tripla (X, F, τ), cujos elementos são chamados respectivamente de domínio de indução, aplicação induzida e tempo de indução e sastifazem as seguintes propriedades: 1. O domínio de indução onde X := i=1 X i S := { X i : i N } é uma família disjunta e enumerável de intervalos não necessariamente abertos. 2. O tempo de indução é tal que para todo i N é uma aplicação constante. τ : X N τ : X i N τ (x) := τ i, 3. A aplicação induzida F : X X é tal que a sua restrição ao elemento X i da partição, i N, ou seja F Xi : X i X é um difeomorfismo sobrejetivo, definido por F Xi := f τi, onde f τi := f f... f. }{{} τ i vezes 7

9 Observação A aplicação F : X X pode estar bem definida e seus iterados podem não estar, para isto definimos o conjunto X := n ZF n (X) dos pontos tais que todos os iterados de F estão definidos. Dado um esquema de indução, (X,F,τ), construído sobre o sistema (I,f), representaremos por M(F) o conjunto das medidas de probabilidades, borelianas e F-invariante definidas em X e por M erg (F) as medidas de M(F) que são ergódicas. Definição Sejam (I,f) e µ M(f). Diremos que µ é compatível com um esquema de indução (X,F,τ) construído sobre (I,f) se 1. µ(x) > 0, 2. µ(x \X ) = 0, 3. Existe µ F M(F) em relação a qual o tempo de indução é integrável, ou seja, τdµ F < + e tal que para todo conjunto A I, µ- measurável, temos X µ(a) = 1 X τdµ F τ i 1 i N k=0 µ F ( f k (A) X i ), neste caso dizemos que µ F M(F) projeta-se em em µ M(f) ou que a primeira é um levantamento da segunda. Observação A compatibilidade da medida µ M(f) depende do Esquema de Indução, ou seja, construídos dois esquemas de indução sobre a mesma aplicação (I,f), uma medida pode ser levantável em relação a um e não ser levantável em relação ao outro, mais adiante na Proposição trataremos deste problema. Em seguida definiremos a Torre de Hofbauer-Keller e provaremos alguns resultados que nos serão úteis na construção de um Esquema de Indução A Torre de Hofbauer-Keller ATorredeHofbauer-Kellerdosistema(I,f)ousuaextensãodeMarkovcanônica ) nada mais é do que uma aplicação de Markov (Î, ˆf construída a partir do sistema original. 8

10 Em particular vamos descrever a construção para um sistema unimodal e em seguida para qualquer aplicação monótona por partes. Sejam (I, f) uma aplicação unimodal, define-se Î := n N ˆD n onde ˆD n := (D n,n) e D n é um intervalo em que um dos extremos é o n-ésimo iterado do ponto crítico, mais precisamente, D 1 := [c,c 1 ] e indutivamente se c / D n temos D n+1 := f(d n ) se c D n então D n+1 := [c 1,c n+1 ]. Quando o segundo caso occorrer n é chamado de tempo de corte e faremos n := S k no caso de ser o k-ésimo tempo de corte. Assim, se S k 1 < n S k então D n := [c n,c n Sk 1 ] e D n = D Sk D n Sk 1 = D Sk para akgum tempo de corte S k < S k. Assim podemos definir a aplicação Q : N N tal que Assim a aplicação é tal que S Q(k) := S k S k 1. ˆf : Î Î ˆf(x,n) = (f(x),n+1), caso c / (x,c n ) e igual a ˆf(x,n) = (f(x),s Q(k)+1 ) caso c (x,c n ). Assim a propriedade de Markov segue da definição. Define-se a projeção natural π : Î I (x,n) π((x,n)) := x. Agora faremos o mesmo para uma aplicação monótona por partes. Sejam (I,f) uma aplicação monótona por partes e P f 0 := {I j : j = 1,2,...,n} 9

11 a coleção finita de subintervalos abertos e disjuntos de I tal que a restrição de f a cada um destes intervalos seja monótona e contínua. Representaremos por Pn f o refinamento de Pf 0, ou seja, Definindo D n := C n P f n e n 1 Pn f := k=0 f k( P f 0 ˆf : Î Î conforme acima obtemos a propriedade de Markov. Em seguida construímos a Torre de Hofbauer-Keller para uma aplicação em que Q : N N assim k k 2 S k = S k 1 +S k 2. ). Figura 2.1: Torre de Hofbauer-Keller associada a aplicação de Fibonacci 10

12 2.2.2 Levantamento de Medidas para a Torre de Hofbauer- Keller Seja i : I D 0 tal que i 1 = π : D 0 I. Então dada µ M(f) define-se onde ˆµ 0 := µ i 1. ˆµ n := 1 n n 1 k=0 ˆf k ˆµ 0 Definição Dado (I,f) diremos que µ M(f) é levantável com respeito ao sistema (Î, ˆf) se existir um ponto de acumulação ˆµ da sequência (ˆµ n ) n N tal que ˆµ 0. G. Keller [45] e Hofbauer [39] tratam da levantabilidade de medidas em relação à Torre de Hofbauer-Keller, veja Teorema para mais detalhes. A seguir definimos a família de aplicações de cúspide. Definição Seja P 0 := {I j : j = 1,2,...,n} uma coleção finita de intervalos abertos e disjuntos do intervalo I, ou seja, n I j I, j=1 onde cada elemento desta família será representado por I j = (p j,p j+1 ) e I\ n I j = {p j : j = 1,2,...,n}. j=1 Uma aplicação n f : I j I j=1 é chamada de aplicação de cúspide se a restrição da aplicação ao intervalo I j é tal que f j := f Ij C 1+α, para todo j = 1,2,...,n. Além disso, devemos ter 0 < Df(x) < + 11

13 para todo x I j e onde e 0 Df(p ± j ) +, Df(p + j Df(p j ) := lim Df(x) x p + j ) := lim x p j Df(x). Caso Df(p ± j ) = 0oponto p ± j seráchamado pontocrítico e quando Df(p ± j ) = + o ponto p ± j é chamado de ponto singular. De uma maneira geral chamaremos um ponto crítico ou singular de ponto de cúspide e representaremos o conjunto de todos os pontos de cúspide por CPD. Observação Por simplicidade representaremos por p j a ambos os pontos de cúspides p ± j e havendo necessidade explicitaremos a qual nos referimos. Em seguida o gráfico de uma aplicação monótona por partes com pontos de cúspide. Figura 2.2: Aplicação Monótona por partes com pontos de cúspide Além disso, consideraremos as seguintes condições sobre nossa aplicação: 1. A aplicação f : I I é topologicamente transitiva e não possui ciclos neutros. 12

14 2. Para todo j = 1,2,...,n existe uma vizinhança unilateral V j de p j e um difeomosfismo C 2 g j : V j g j (V j ) tal que (a) g j (p j ) = 0 (b) Para todo x V j temos f (x) = f (p j )± g j (x) lj sendo l j > 1 para pontos críticos e 0 < l j < 1 no caso de pontos singulares. Em particular se g j : V j g j (V j ) x x p j então para todo j = 1,2,...,n e todo x V j 3. Para i j e i,j {1,2,...,n} temos f (x) = f (p j )± x p j lj. Orb 1 (p i ) Orb 1 (p j ) = onde Orb 1 (p i ) := { f k (p i ),k N } é a pré-órbita do ponto p i. Observação A família P 0 := {I j : j = 1,2,...,n} é a partição de I em intervalos máximos nos quais a restrição de f a estes elementos seja monótona. Observação O fato da aplicação ser topologicamente transitiva exclui ciclos atratores. Observação Item 3 evita que um ponto de cúspide seja pré-imagem de um outro ponto de cúspide. Definição Seja (I, f), chamamos de aplicações de Lorenz unidimensional às aplicações de cúspide, tais que para todo x I j e 1 < λ Df(x) < + 1 < λ Df(p ± j ) +. Em particular representaremos esta família de aplicações por L. Em seguida o gráfico de um Lorenz unidimensional. 13

15 Figura 2.3: Lorenz Unidimensional Definição Seja (I, f), chamamos de aplicações de Rovela unidimensional às aplicações de cúspide, tais que para todo x I j, 0 < Df(x) < + 0 Df(p ± j ) < + e que possuem derivada Schwarziana negativa. Em particular representaremos esta família de aplicações por R. Figura 2.4: Rovella Unidimensional Descontínuo 14

16 Figura 2.5: Rovella Unidimensional Contínuo Abaixo segue uma compilação do Teorema 3 de G. Keller [45] e de Hofbauer [39]: Teorema (G.KellereF.Hofbauer). Sejam (I,f), contínua e monótona por partes, µ M erg (f) e h µ (f) > 0. Então µ é compatível com a Torre de Hofbauer-Keller e o seu levantamento ˆµ M erg (ˆf) é tal que µ = ˆµ π 1. O Lema 4 de Bruin e Todd [19] nos dá mais informações sobre esta medida, emparticularqueeladápeso positivoeuniformeauma partecompactadatorre de Hofbauer-Keller. Mais tarde Iommi e Todd [41] generalizaram este resultado para aplicações de cúspide. A seguir tratamos da levantabilidade de medidas em relação a Torre de Hofbauer-Keller, para isto enunciamos o seguinte teorema: Teorema Sejam (I,f) uma aplicação de cúspide e µ M erg (f) tal que h µ (f) > 0. Então: 1. Existe ) um subconjunto transitivo ˆT da Torre de Hofbauer-Keller tal que π(ˆt = I, 2. µ é compatível com a Torre de Hofbauer-Keller e o seu levantamento é tal que µ = ˆµ π 1 e ˆµ M erg (ˆf), 3. Para todo ǫ > 0 existe η > 0 e um subconjunto compacto ) ˆK ˆT Î tal que se µ M erg (f) e satisfaz h(µ) > ǫ então ˆµ( ˆK > η. Demonstração. O resultado segue do Teorema A.1 de Iommi e Todd [41] e do Teorema G. Keller [45] e F.Hofbauer [39]. 1. O item 1 segue de maneira idêntica ao item 1 do Teorema A.1, ou seja, como foi feito no Lema 2 de Bruin e Todd [19], 2. O item 2 segue do Teorema de G. Keller [45] e F.Hofbauer [39], 15

17 3. O item 3 segue do Teorema A.1, ou seja, como foi feito no Lema 4 de Bruin e Todd [19]. Analisando, o que fizemos foi trocar a condição 0 < λ(µ) < de Iommi e Todd [41] pela condição h µ (f) > Construção de Esquema de Indução via Torre de Hofbauer-Keller Em seguida construiremos um esquema de indução sobre uma aplicação de cúspide, (I,f), via a aplicação de primeiro retorno de um domínio da Torre de Hofbauer-Keller. Teorema Dada uma aplicação de cúspide, (I, f), então é sempre possível construir um Esquema de Indução (X,F,τ) sobre este sistema. Demonstração. Sejam n, m N, X := C n P f n um cilindro e D m um domínio pertencente a parte transitiva ˆT da Torre de Hofbauer, tais que X π(d m ) e ˆX := π 1 (X) D m. Define-se ˆF : ˆX ˆX e ˆτ : ˆX N como a aplicação e o tempo de primeiro retorno à ˆX respectivamente. Em particular temos ˆF(ˆx) := ˆfˆτ(ˆx) (ˆx), para todo ˆx ˆX. Definida a tripla ( ˆX, ˆF,ˆτ), para todo i N, define-se ˆX i := {ˆx ˆX : ˆτ(ˆx) = i}, note que ˆX = i N ˆX i. Define-se a aplicação e o tempo induzido a partir da aplicação e do tempo de primeiro retorno. Sejam τ : X N onde X := C n P f n e x τ(x) := ˆτ π 1 ˆX (x), π 1 ˆX : X ˆX 16

18 e x π 1 ˆX (x) := ˆX π 1 (x), F : X X x F(x) := π ˆF π 1 ˆX (x) em particular temos X i = Π( ˆX i ), para todo i N, X = i NX i e F(X i ) = X para todo i N, uma vez que ˆf é uma aplicação de Markov. Definido assim a tripla (X,F,τ) é um Esquema de Indução. Observação Vale a pena resssaltar que a restrição do tempo de indução τ : X i N é constante, ou seja, τ(x) = τ i para todo x X i, uma vez que a restrição de ˆτ : ˆXi N éconstante,jáqueotempodeprimeiroretornonãodependede ˆX, emparticular do domínio D m. É natural procurar por uma família de medidas compatíveis com a Torre de Hofbauer-Keller, o critério então utilizado será o dado pelo Teorema , além disso também desejamos uma família de medidas compatíveis com o Esquema de Indução que construímos acima, neste sentido definimos a seguinte família de medidas M := {µ M erg (f) : h µ (f) > 0} que chamaremos de medidas de entropia positiva. Mostraremos em seguida que esta família de medidas é compatível com esquemas de indução contruídos via a aplicação de primeiro retorno a um domínio da Torre de Hofbauer-Keller. Teorema Sejam (I,f) uma aplicação de cúspide, µ M, X I e m N tais que 1. ˆX Dm ˆT Î, ) 2. ˆµ( ˆX > 0. Então a medida µ M é compatível com o Esquema de Indução (X,F,τ) construído sobre (I,f), f C. Demonstração. Devemos demonstrar que: 1. µ(x) > 0, 17

19 2. µ(x \X ) = 0, 3. Existe µ F M(F) que se projeta em µ com tempo de indução integrável com respeito a esta medida, ou seja, τdµ F < +. X Teorema implica que toda medida µ M é compatível com a Torre de Hofbauer-Keller e o seu levantamento é tal que µ = ˆµ π 1. Existe ˆX ˆT ) tal que ˆµ( ˆX > 0 e como µ = π ˆµ temos µ(x) > 0. Define-se µ F (B) := π ˆµ ˆX (B X) onde ) ˆµ ˆX (ˆB := 1 ˆµ( ˆX para todo ˆB ˆµ-mensurável. Além disso a medida µ F é F-invariante. De fato, seja A X então ) ) ˆµ(ˆB ˆX µ F (F 1 ( (A)) = π ˆµ ˆX F 1 (A) X ) ( = ˆµ ˆX π 1 ( F 1 (A) X )) ( = ˆµ ˆX π 1 F 1 (A) ˆX ) ) 1 ) = ˆµ ˆX (ˆF 1 (Â) ˆX = ) ˆµ(ˆF 1 (Â) ˆX ˆµ( ˆX 1 ) 1 ) = ) ˆµ(ˆF 1 ( ˆX) = ) ˆµ( ˆX ˆµ( ˆX ˆµ( ˆX ) = ˆµ ˆX ( = π ˆµ ˆX (A X) = µ F (A). ( Uma vez que ˆX, ˆF) é uma aplicação de primeiro retorno o Lema de Kac implica 1 τ dµ F = ˆτdˆµ ˆX = ) < +. X ˆX ˆµ( ˆX Logo a medida µ M é compatível com (X,F,τ), conforme desejávamos. Uma vez que o Esquema de Indução (X,F,τ) construído sobre a aplicação de cúspide (I,f) possui um número enumerável de elementos na partição do seu domínio e a aplicação induzida quando restrita a cada elemento desta partição é uma sobrejeção, podemos codificar a sua dinâmica via o shift total enumerável. Usaremos o fato de que estes sistemas são topologicamente semi-conjugados para obter nosso principal resultado. Na próxima seção apresentaremos a dinâmica simbólica enumerável e seguindo a Teoria de Sarig definiremos medidas de Gibbs, medidas de equilíbrio e enunciaremos o Princípio Variacional. 18

20 2.3 Shift Enumerável, Medidas de Gibbs, Medida de Equilíbrio e Princípio Variacional Dada uma matriz de transição A = (a ij ) Z Z definimos o espaço de todas sequência admissíveis, Σ := { x := (x i ) i Z Z Z : a xi,x i+1 = 1 } e a partir deste definimos os conjuntos C i0,i 1,...,i n 1 := {x Σ : x j = i j,j = 0,1,...,n 1} que são chamados de cilindros de ordem n. Tais conjuntos quando definidos como abertos geram a topologia do espaço Σ. Definimos também a aplicação shift, σ : Σ Σ onde para todo i Z temos σ ( (x i ) i Z ) = (yi ) i Z y i = x i+1, caso toda sequência seja admissível a aplicação shift é chamada de shift total. Chamaremos de potencial a uma aplicação do tipo Φ : Σ R. Dado n N, define-se a n-variação do potencial Φ por V n (Φ) := sup sup Φ(x) Φ(y). C i0,i 1,...,i n 1 x,y C i0,i 1,...,i n 1 Dizemos que o potencial Φ possui variação somável se e somente se + n=2 V n (Φ) < +. O potencial Φ é localmente Hölder contínuo se e somente se existirem C > 0 e r (0,1) tais que para todo n N,n 1 tivermos V n (Φ) C r n. Observação Se o potencial Φ é localmente Hölder contínuo então possui variação somável. De fato + + V n (Φ) < C r n r 2 = C 1 r < +. n=2 n=2 19

21 Seja C i0 um cilindro de ordem 1, define-se ( ) Z n (Φ,C i0 ) := (xi ) i N σ n ((x i) i N )=(x i) i N e Φn((xi)i N) 1Ci0 onde n 1 ( ) Φ n (xi ) i N := Φ σ j ( ) (x i ) i N. Seja C 0 (Σ,R) o espaço das aplicações contínuas de Σ em R. Definição O Operador de Ruelle em relação a Φ : Σ R. j=0 é definido por tal que L Φ : C 0 (Σ,R) C 0 (Σ,R) Ψ L Φ (Ψ) L Φ (Ψ)(x) := e Φ(y) Ψ(y). y σ 1 (x) Em seguida apresentaremos os resultados clássicos desta teoria. Começamos com o Teorema 1 de Sarig [64]: Teorema (Sarig). Sejam (Σ, σ) topologicamente mixing e Φ : Σ R um potencial localmente Hölder contínuo. Então o limite lim sup n + 1 n logz n(φ,c i0 ), existe, é independente de i 0 e é sempre maior que. Além disso, se L Φ 1 < então o limite é sempre menor que +. Definição Sejam (Σ, σ) topologicamente mixing e Φ : Σ R um potencial localmente Hölder contínuo. A Pressão de Gurevic é definida por P G (Φ) := limsup n + Em seguida o Teorema 2 de Sarig [64]: 1 n logz n(φ,c i0 ). 20

22 Teorema (Sarig). Sejam (Σ, σ) topologicamente mixing e Φ : Σ R um potencial com variação somável. Então { P G (Φ) = sup PtopK (Φ) : K Σ,σ 1 (K) = K } K Σ onde P topk (Φ) é a Pressão topológica de Φ restrita ao compacto K Σ. Observação Na formulação original do Teorema 2 de Sarig[64], o potencial Φ é localmente Hölder contínuo, porém na demonstração usa-se apenas que o mesmo possui variação somável. Definição Dado o sistema (Σ, σ), representaremos por M(σ) o espaço de medidas de probabilidades σ-invariantes. Definição Diremos que a e b são comparáveis, ou seja, a b, se e somente, se existir C > 1 tal que 1/C a/b C Definição Seja (Σ, σ) mixing topológico, uma medida µ M(σ) é chamada medida de Gibbs para o potencial Φ : Σ R se existirem constantes C > 0 e P R tais que para todo n N e x C i0,i 1,...,i n 1 tivermos Definição Sejam (Σ, σ) e Define-se µ ( C i0,i 1,...,i n 1 ) exp( np +Φn ((x))). M σ (Φ) := Agora o Teorema 3 de Sarig [64]: Φ : Σ R. { } µ M σ : Φdµ < +. Σ Teorema (Sarig). Sejam (Σ, σ) topologicamente mixing e Φ : Σ R um potencial localmente Hölder contínuo e L Φ 1 < então { } P G (Φ) = sup h µ (σ)+ Φdµ : µ M σ (Φ) <. Σ 21

23 Definição Sejam (Σ, σ) mixing topológico e um potencial Φ : Σ R. Uma medida µ M σ tal que P G (Φ) = h µ (σ)+ Σ Φdµ é chamada medida de equilíbrio com respeito ao potencial Φ. Definição Seja A = (a ij ) Z Z a matriz de transição do sistema (Σ,σ). Dizemos que o sistema é BIP se e somente se existirem b 1,b 2,...,b n Z tais que para todo k Z existem i,j Z tais que a bi,ka k,bj = 1. A seguir enunciamos o Teorema 1 de Sarig [62]: Teorema (Sarig). Sejam (Σ, σ) mixing topológico e um potencial tal que + n=1 Φ : Σ R V n (Φ) < +. Então existe uma medida de Gibbs σ-invariante com respeito ao potencial Φ, se e somente se o sistema (Σ,σ) é BIP e P G (Φ) < +. Observação Note que no Teorema pede-se mais que variação somável, pois é fundamental que V 1 (Φ) < +. E finalmente o Teorema 1.1 de Buzzi e Sarig [25]: Teorema (Buzzi-Sarig). Sejam (Σ, σ) mixing topológico, Φ : Σ R um potencial tal que supφ < +, P G (Φ) < + e + n=2 V n (Φ) < +. Se µ Φ é a medida de Gibbs com respeito ao potencial Φ e h µφ (σ) < + ou Φdµ Φ < + Σ então µ Φ é a única medida de equilíbrio para o sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ. 22

24 2.4 Esquemas de Indução e a Dinâmica Simbólica Enumerável Agora provaremos que a dinâmica de um Esquema de Indução (X,F,τ) construído sobre um sistema (I, f) pode ser codificada pelo shift total enumerável. Provaremos ainda que estes sistemas são topologicamente semiconjugados e que sob certas restrições são topologicamente conjugados, assim a unicidade da medida de equilíbrio do sistema (Σ,σ) com respeito a um potencial dado equivale a unicidade da medida de equilíbrio do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial obtido do primeiro via a semiconjugação. Primeiramente vamos relacionar as dinâmicas. Seja (X,F,τ) o Esquemade Induçãoconstruídosobreaaplicação(I,f) onde X := X i. i=1 Uma vez que para todo i N, a restrição F Xi := f τi X i : X i X é sobrejetiva então para todo k N e α 0,α 1,...,α k N X α0 f τ α0 X α0 ( Xα1 )... f τ α0 X α0 em particular temos que ( τ Xα0 f α0 ( ) τ X Xα1 α0... f α0 X α0 é uma família de compactos encaixados, logo, é não vazio. X α0 k=1 f τα 0 X α0... f τα k 1 X αk 1 ( Xαk ),... f τα k 1 X αk 1... f τα k 1 X αk 1 ( Xαk ), ( Xαk ) ) k N Definição Seja (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre a aplicação (I,f) onde X := X i. Dizemos que a partição de X é geradora se é um único ponto. X α0 k=1 i=1 S = {X i : i N} f τα 0 X α0... f τα k 1 X αk 1 ( Xαk ) 23

25 Definição Sejam (I,f) uma aplicação de cúspide e (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre esta aplicação. Representaremos às aplicações de cúspide tais que a partição de X é geradora por C. S = {X i : i N} Teorema Sejam L e R as famílias das aplicações tipo Lorenz e Rovella unidimensional respectivamente. Então L R C. Demonstração. Vamos separar em dois casos: 1. Seja (I,f),f L, uma vez que a aplicação é uniformemente expansora então a partição é geradora, ou seja, f C. 2. Sejam (I,f),f R e (X,F,τ) o esquema de indução construídosobreeste sistema. Esta famíla de aplicações é a mesma que Bruin e Todd utilizaram em [19], assim, seguindo a nomenclatura de Bruin e Todd, o esquema de indução obtido é do tipo A ou tipo B, o que de qualquer forma implica que o sistema possua uma δ-extensão, δ > 0. Logo, o Lema de Koebe implica que: df(x) df(y) < 1+2δ δ Emparticular,paratodoγ > 1existeN = N(γ) Ntalqueinf x X df N (x) > γ, ou seja, se necessário, basta trocar o sistema (X,F) pelo sistema ( X,F N ) que a partição é geradora, ou seja, f C. Representaremos os pontos de X cujas órbitas de comprimento k pertencem aos mesmos elementos da partição S por X α0,α 1,...,α k := X α0 f τ α0 X α0 ( Xα1 )... f τ α0 X α0... f τα k 1 X αk 1 ( Xαk ). Estamos prontos para definir a conjungação entre o Esquema de Indução e o shift total enumerável. Sejam (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre a aplicação (I,f) tal que a partição S = {X i : i N} de X é geradora, A = (a ij ) N N a matriz de transição desta aplicação e o espaço de todas as sequências. Σ := { α := (α i ) i N N N} 24

26 No nosso caso por se tratar de um Esquema de Indução todos os elementos da matriz de transição são iguais a 1. De fato, uma vez que e Finalmente, seja tal que a ij = 1 X i F 1 (X j ) a ij = 0 X i F 1 (X j ) =. Π : Σ X := Π ( ) τ (α i ) i N = x Xα0 f α0 Teorema A aplicação k=1 X α0 Π : Σ X i=1 está bem definida e é contínua. Além disso, se e então X i X = X \ i Z X i Σ := Π 1 (X ) Π : Σ X... f τα k 1 X αk 1 ( Xαk ) = {x}. é umaaplicação bijetiva, em particular é umaconjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ). Demonstração. A aplicação Π : Σ X está bem definida uma vez que a partição é geradora, o que implica que toda sequência de índices é realizada, assim dado α := (α i ) i N Σ existe um único x X tal que Π(α) = x. A continuidade da aplicação Π : Σ X é uma consequência do fato de que as pré-imagens dos abertos de X i serem abertos de Σ, ou seja, cilindros, já no bordo decorre por definição, podemos defini-la de forma que as pré-imagens de um ponto do bordo de um elemento de X i tornem esta aplicação comtínua lateralmente. A bijetividade de Π : Σ X é consequência da definição do conjunto X e do fato da partição ser geradora. 25

27 Definição Sejam (X,F,τ) um Esquema de Indução e Ψ : X R, um potencial. Dado n N define-se a n-variação de Ψ por V n (Ψ) := sup sup Ψ(x) Ψ(y). X α0,α 1,...,α k x,y X α0,α 1,...,α k Definição Sejam (X,F,τ) um Esquema de Indução e Ψ : X R um potencial. Dizemos que Ψ possui variação somável, Ψ SV (X,R), se é tal que Da mesma forma define-se + n=2 Definição Sejam (Σ, σ) e Ψ : X R V n (Ψ) < +. Φ : Σ R um potencial. Dizemos que Φ possui variação somável, Φ SV (Σ,R), se Φ : Σ R é tal que onde V n (Φ) := + n=2 V n (Φ) < + sup sup Ψ(α) Ψ(β). C α0,α 1,...,α k α,β X α0,α 1,...,α k Teorema Sejam (X,F,τ) o Esquema de Indução construído sobre o sistema (I,f), (Σ,σ) a sua codificação, Π : Σ X a conjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ) e os potenciais e Φ : Σ R Ψ : X R tais que Ψ := Π Φ. Então Ψ SV (X,R) se e somente se Φ SV (Σ,R). 26

28 Demonstração. Se x,y X então V n (Ψ) = sup sup Ψ(x) Ψ(y) X α0,α 1,...,α k x,y X α0,α 1,...,α k = sup sup Π Φ(x) Π Φ(y) X α0,α 1,...,α k x,y X α0,α 1,...,α k = sup sup Φ Π 1 (x) Φ Π 1 (y) X α0,α 1,...,α k x,y X α0,α 1,...,α k = sup sup Φ(α) Φ(β) = V n (Φ). C α0,α 1,...,α k α,β C α0,α 1,...,α k Teorema Sejam (X,F,τ) o Esquema de Indução construído sobre o sistema (I,f), (Σ,σ) a sua codificação e Π : Σ X a conjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ). Se µ Φ M(σ) é uma medida de Gibbs do sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ : Σ R, tal que Φ SV (Σ,R) então a medida ν Ψ := Π µ Φ está bem definida em X e é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R tal que Ψ := Π Φ em X. Além disso, se toda medida µ M(σ) que dá peso positivo a abertos é tal que supp(µ) Σ então ν Ψ := Π µ Φ está bem definida em X e é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial tal que Ψ := Π Φ em X. Ψ : X R Demonstração. Sendo µ Φ M(σ) uma medida de Gibbs do sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ : Σ R, considere um aberto C α0,α 1,...,α k 1 Σ, então como Π : Σ X é uma conjugação topológica, X α0,α 1,...,α k 1 X tal que Π(C α0,α 1,...,α k 1 ) = X α0,α 1,...,α k 1 é um aberto. 27

29 Logo µ Φ (C α0,α 1,...,α k 1 ) = µ Φ (Π 1 (X α0,α 1,...,α k 1 )) = Π µ Φ ((X α0,α 1,...,α k 1 )) e Π µ Φ está bem definida em X. Uma vez que µ Φ é uma medida de Gibbs do sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ : Σ R, temos para todo α C α0,α 1,...,α k 1 então µ Φ (C α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Φ n ((α))) Π µ Φ (X α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Φ n ((α))). Assim, como α C α0,α 1,...,α k 1 Σ e Π : Σ X é uma conjugação topológica, seja x X α0,α 1,...,α k 1 X tal que Π(α) = x, então Φ n (α) = Φ n ( Π 1 (x) ) = Π Φ n ((x)) = Ψ n (x) uma vez que Π Φ = Ψ em X. Assim Π µ Φ (X α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Ψ n ((x))). Concluindo: Para todo aberto C α0,α 1,...,α k 1 Σ se para todo α C α0,α 1,...,α k 1 então µ Φ (C α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Φ n (α)) Π µ Φ (X α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Ψ n ((x))). para x = Π(α) X α0,α 1,...,α k 1 X. A arbitrariedade de x X α0,α 1,...,α k 1 decorre de que Ψ SV (X,R), uma vez que Φ SV (Σ,R). Assim Π µ Φ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R. então Em particular representaremos esta medida por ν Ψ. Se µ Φ (Σ\Σ ) = 0 ν Ψ (X \X ) = 0 28

30 o que implica que a medida ν Ψ pode ser extendida ao sistema (X,F,τ), em particular ν Ψ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R tal que Ψ = Π Φ em X. Observação Uma vez que ν Ψ é tal que ν Ψ (X \ X ) = 0, esta medida pode ser extendida ao sistema (X,F,τ). Em particular ν Ψ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R. De fato, seja X α0,α 1,...,α k 1 X um aberto, suponha que X α0,α 1,...,α k 1 X \X então Π 1 (X α0,α 1,...,α k 1 ) Σ\Σ, uma vez que Π : Σ X é uma conjugação, em particular Σ\Σ possuiria abertos, uma vez que Π : Σ X é uma semi-conjugação, o que é um absurdo, logo X α0,α 1,...,α k 1 X. Uma vez que ν Ψ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R, temos da definição de medida de Gibbs que µ Φ (X α0,α 1,...,α k 1 ) exp( kp +Ψ n ((x))) para todo x X α0,α 1,...,α k 1, em particular ν Ψ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R, uma vez que os abertos de X e X são os mesmos, onde Ψ : X R é uma extensão qualquer de Observação A hipótese Ψ : X R. µ(σ\σ ) = 0 para toda µ M(σ) que dá peso positivo a abertos implica que a codificação é eficiente, uma consequência desta hipótese é que medidas de Gibbs do sistema (Σ,σ) podem ser transferidas para o sistema (X,F,τ) sem a perda de suas propriedades ergódicas. 29

31 Definição Sejam (X,F,τ) o Esquema de Indução construído sobre o sistema (I,f), (Σ,σ) a sua codificação, Π : Σ X a conjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ) e os potenciais e Φ : Σ R, Ψ : X R tais que Ψ := Π Φ em X. Define-se a Pressão do sistema (X,F,τ) em relação a restrição de Ψ, ou seja, Ψ : X R por { } P G (F,Ψ ) = sup h ν (F)+ Ψ dν : ν := Π µ,µ M σ (Φ). ν M F X Da mesma forma define-se a Pressão do sistema (X,F,τ) em relação Ψ : R por { } P G (F,Ψ) = sup h ν (F)+ Ψ dν : ν := Π µ,µ M σ (Φ). ν M F X Teorema Sejam (X,F,τ) o Esquema de Indução construído sobre o sistema (I,f), (Σ,σ) a sua codificação, Π : Σ X a conjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ) e os potenciais e Φ : Σ R Ψ : X R tais que Ψ := Π Φ em X. Então h ν (F)+ Ψdν = h µ (σ)+ Φdµ X Σ onde ν := Π µ M F. Em particular P G (F,Ψ ) = P G (σ,φ ). 30

32 Além disso, se µ Φ M σ é uma medida de equilíbrio do sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ : Σ R então ν Ψ := Π µ Φ M F é uma medida de equilíbrio do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R. Demonstração. Uma vez que Π : Σ X é uma conjugação topológica e ν := Π µ temos e logo onde ν := Π µ. Logo se h µ (σ) = h ν (F) Φdµ = Ψdν Σ X h ν (F)+ Ψdν = h µ (σ)+ Φdµ X Σ < Φdµ Σ as pressões estão bem definidas e P G (F,Ψ ) = P G (σ,φ ). Alémdissoseµ Φ M σ éumamedidadeequilíbriocomrespeitoaopotencial ou seja, se uma vez que para ν := Π µ e Φ : Σ R, P G (F,Φ ) = h µφ (σ)+ Φdµ Φ Σ h ν (F)+ Ψdν = h µ (σ)+ Φdµ X Σ P G (σ,ψ ) = P G (F,Φ ) temos P G (F,Ψ ) = h νψ (F)+ Ψdν Ψ X ouseja, ν Ψ = Π µ Φ M F éumamedida de equilíbriocom respeitoaopotencial Ψ : X R. 31

33 2.4.1 As Famílias de Potenciais Definição Seja (I, f). Define-se por potencial de imagem limitada, F (I,R), a família dos potenciais ψ : I R que satisfazem supψ infψ < h top (f). Definição Sejam (I, f), ψ : I R um potencial e (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre (I,f). O levantamento do potencial ψ em relação ao Esquema de Indução (X,F,τ) é definido por Ψ : X R para x X i,x i S. x Ψ(x) := τ i 1 k=0 Definição Sejam (I, f), o potencial ψ : I R, ψ f k (x) (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre (I,f) e Ψ : X R, o levantamento do potencial ψ em relação ao Esquema de Indução (X,F,τ). Dado n N define-se a n-variação de Ψ por V n (Ψ) := sup sup Ψ(x) Ψ(y). X α0,α 1,...,α k x,y X α0,α 1,...,α k Definição Sejam (I,f), (X,F,τ) um Esquema de Indução construído sobre (I,f). Define-se por potencial de variação somável, SV (I,R), em relação a um esquema de indução (X,F,τ) a família dos potenciais ψ : I R, tais que seus levantamentos satisfazem Ψ SV (X,R). Ψ : X R, 32

34 2.4.2 A Pressão Topológica Definição A Pressão topológica do sistema (I, f), com respeito a um potencial ϕ : I R, é definida por { } P top (f,ϕ) = sup h µ (f)+ ϕdµ. µ M(f) I Uma medida µ M(f) é chamada medida de equilíbrio do sistema (I,f) com respeito a um potencial ϕ : I R, se e somente se, P top (f,ϕ) = h µ (f)+ ϕdµ. I Observação Uma consequência da escolha da família de potenciais ϕ F (I,R) é que toda medida de equilíbrio ergódica do sistema (I,f) com respeito a um potencial ϕ : I R, caso exista, será uma medida de entropia positiva, ou seja, um elemento de M. De fato, se µ M erg (f) é uma medida de equilíbrio do sistema (I,f) com respeito a um potencial ϕ : I R, temos h µ (f) = P top (f,ϕ) ϕdµ. I Uma vez que nosso sistema (I,f),f C é topologicamente transitivo o Teorema 4 de F. Hofbauer [39] implica a existência e unicidade da medida de entropia maximal. Seja µ top M(f) esta medida, então h µ (f) = P top (f,ϕ) ϕdµ h µtop (f)+ ϕdµ top ϕdµ I I I h µtop (f)+infϕ supϕ > 0 logo h µ (f) > 0. Em particular como µ M erg (f) temos µ M. Então não há restrição alguma em trabalhar com o conjunto M quando procuramos medidas de equilíbrio ergódicas. 33

35 2.5 Principais Teoremas A seguir enunciamos os principais resultados deste capítulo, em particular provamos a existência e unicidade de medida de equilíbrio para o Lorenz unidimensional em relação a uma família de potenciais não Hölder. Teorema A. Sejam (I,f), f C, (X,F,τ) um esquema de indução construído sobre (I,f) e o potencial ϕ : I R, tal que ϕ SV (I,R) F (I,R). Então existe uma única medida de equilíbrio para o sistema (I,f) em relação ao potencial ϕ SV (I,R) F (I,R). Em seguida sua consequência: Teorema B. Sejam I = [ 1,0) (0,1], f : I I o Lorenz unidimensional obtido pela identificação nas fibras estáveis do Lorenz geométrico, (X,F,τ) um esquema de indução construído sobre (I,f) e o potencial ϕ : I R tal que ϕ SV (I,R) F (I,R). Então existe uma única medida de equilíbrio para o sistema (I,f) em relação ao potencial ϕ SV (I,R) F (I,R). No que segue começamos a demonstrar o resultado acima. 2.6 Existência de Medidas de Gibbs para o Mapa Induzido Nesta seção provaremos que para um esquema de indução (X,F,τ) construído sobre (I,f), f C existe uma medida de Gibbs com respeito ao levantamento de uma translação de um potencial ϕ : I R. Em particular transladaremos o potencial da pressão topológica do sistema para obter uma pressão de Gurevich nula com respeito ao levantamento deste potencial. Proposição Sejam (I,f), f C e ϕ : I R 34

36 tal que ϕ F (I,R). Então < P top (f,ϕ) < +. Demonstração. Seja µ M f então M.Misiurewicz e W. Szlenk [51] implica h µ (f) log(n+1) < onde n é número de pontos de cúspide. Já que ϕ F (I,R) então ϕdµ < (infϕ+h top (f))dµ = infϕ+h top (f) < +, I uma vez que e I h top (f) log(n+1) < infϕ<. Então P top (f,ϕ) < +. Para a outra desigualdade, o Teorema implica que existem órbitas periódicas, de fato, já que podemos construir um Esquema de Indução sobre (I,f) via uma aplicação de primeiro retorno na Torre de Hofbauer (Î, ˆf), e este é conjugado ao shift que possui infinitos pontos periódicos. Então dado um ponto periódico p X de comprimento de órbita n,n N, representaremos por µ p a medida suportada na sua órbita, ou seja, µ p = 1 n em relação a esta medida temos que consequentemente n 1 δ f j (p), j=0 h µp (f)+ ϕ dµ p = 1 n 1 ϕ f j (p) > I n j=0 < h µp (f)+ ϕ dµ p P top (f,ϕ). I Juntando as duas desigualdades obtemos < P top (f,ϕ) < +. 35

37 Definição Sejam (I,f) e o potencial ϕ : I R. Define-se a translação do potencial ϕ pela pressão topológica por ψ : I R ψ := ϕ P top (f,ϕ). Proposição Sejam (I,f), f C, a translação do potencial ψ : I R ϕ : I R, (X,F,τ) um esquema de indução construído sobre (I,f) tal que ϕ SV (I,R) F (I,R) e Ψ : X R o levantamento da translação do potencial ϕ. Então em relação ao sistema (X,F,τ) temos P G (F,Ψ ) 0. Demonstração. Uma vez que f C, a partição S = {X i : i N} é geradora e Π : Σ X é uma conjugação topológica entre (X,F,τ) e (Σ,σ). Vamos supor que P G (F,Ψ ) > 0 para um esquema de indução (X,F,τ) construído sobre (I,f) em relação a temos Uma vez que Ψ : X R. P G (F,Ψ ) = P G (σ,φ ), P G (σ,φ ) > 0. O Teorema de Sarig nos diz que P G (σ,φ ) = sup { P topk (Φ K ) : K Σ, σ 1 (K) = K } onde P topk (Φ K ) é a Pressãotopológica do sistema (K,σ) em relação a restrição de Φ ao compacto invariante K Σ. LogoseP G (σ,φ ) > 0,existeumsubconjuntocompactoinvarianteK Σ tal que P topk (Φ K ) > 0. 36

38 Em particular existe N N tal que Π(K) X(N) := N Xi. Além disso Π(K) é compacto, pois K é compacto e Π é contínua e Π(K) é F-invariante. Define-se o sistema (Π(K),F) por i=1 F : Π(K) Π(K) x F(x) = f τi (x), x X i Π(K) e o levantamento do potencial ϕ SV (I,R) F (I,R) por Ψ K : Π(K) R para x X i x Ψ K (x) := Π(K) e da conjugação τ i 1 k=0 ψ f k (x) define-se Π : K Π(K) Φ K : K R onde Ψ := Π Φ é tal que possui variação somável, já que Ψ K possui, pois, ϕ SV (I,R). Resumindo as informações temos dois sistemas (Π(K), F) e (K, σ) topologicamente conjugados. Uma vez que K é um compacto tal que P topk (Φ K ) > 0 então existe uma medida ν σ,k M σ (Φ ) tal que h νσ,k (σ)+ Φ K dν σ,k > 0. K Pela conjugação define-se a medida µ F,Π(K) := Π ν σ,k e consequentemente h νσ,k (σ) = h µf,π(k) (F) e logo K Φ K dν σ,k = Π(K) Ψ K dµ F,Π(K) h µf,π(k) (F)+ Ψ K dµ F,Π(K) > 0. Π(K) 37

39 Uma vez que Π(K) τdµ F,Π(K) < +, já que τ é finito, pois Π(K) é compacto, podemos projetar a medida µ F,Π(K) no sistema (I,f),f C, seja µ f,π(k) M f a projeção da medida µ F,Π(K) no sistema original (I,f),f C. Da fórmula de Abramov e do Teorema de Kac e lembrando que é a translação do potencial ψ : I R ϕ : I R, obtemos h µf,π(k) (f)+ ϕdµ f,π(k) > P top (f,ϕ) I que contradiz a definição de P top (f,ϕ), então P G (F,Ψ ) 0. Agora provaremosa existênciada medida de Gibbs para o sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R. Proposição Sejam (I,f), f C, a translação do potencial ψ : I R ϕ : I R e (X,F,τ) umesquema de indução construído sobre (I,f) tal que ϕ SV (I,R) F (I,R). Então o sistema (X,F,τ) possui uma F-invariante medida de Gibbs µ Ψ com respeito ao potencial Ψ : X R tal que Ψ = Π Φ em X. Demonstração. Teorema implica a existência medida de Gibbs µ Ψ com respeito ao potencial Ψ. De fato: 1. Oshift (Σ,σ) possuiapropriedadebip,uma vezqueeste sistemacodifica um esquema de indução. 2. Como ϕ SV (I,R), o levantamento da sua translação, ou seja, possui variação somável,logo Ψ : X R Ψ : X R 38

40 possui variação somável, então Teorema implica que Φ : Σ R também possui variação somável. 3. Por último a Proposição implica que P G (F,Ψ ) 0 e como Teorema implica P G (F,Ψ ) = P G (σ,φ ) temos P G (σ,φ ) 0. Então Teorema implica que existe uma medida de Gibbs ν Φ M σ do sistema (Σ,σ) com respeito ao potencial Φ : Σ R. Em particular Teorema implica que a medida µ Ψ é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R tal que Ψ := Π Φ em X, ainda do Teorema temos que a medida µ Ψ pode ser extendida a X é que esta é uma medida de Gibbs do sistema (X,F,τ) com respeito ao potencial Ψ : X R tal que Ψ = Π Φ em X. 2.7 Tempo de indução integrável com respeito a medida de Gibbs, Existência e Unicidade de Medida de Equilíbrio para o Mapa Induzido Provaremos que com respeito a um Esquema de Indução (X,F,τ) construído sobre (I,f) o tempo de indução é integrável em relação a medida de Gibbs µ Ψ, obtida para o levantamento da translação da família de potenciais ϕ SV (I,R) F (I,R). Emparticularobteremosqueamedida degibbs µ Ψ, obtida para o levantamento da translação da família de potenciais ϕ SV (I,R) F (I,R) é a única medida de equilíbrio com relação a esta família de potenciais. 39

41 Proposição Sejam (I,f), f C e o potencial ϕ : I R tal que ϕ F (I,R). Então existe η > 0 e duas sequências, uma de números reais, (ǫ n ) n N R + tal que ǫ n 0, e outra de medidas, (µ n ) n N M erg (f) tais que h µn (f)+ ϕdµ n P top (f,ϕ) > ǫ n I e h µn (f) > η. Em particular (µ n ) n N M. Demonstração. Sejam (ǫ n ) n N R +, pequenos o suficiente, tais que para todo n N temos η > ǫ n, onde Uma vez que h top (f) supϕ+infϕ:= 2 η > 0. P top (f,ϕ) := { } sup h µ (f)+ ϕ dµ µ M erg (f) I então para cada n N existe ǫ n > 0 e µ n M erg (f) tais que h µn (f) > P top (f,ϕ) ϕ dµ n ǫ n. Teorema 4 de F. Hofbauer [39] implica a existência e unicidade da medida de entropia maximal, seja µ top M(f) esta medida, logo, para todo n N temos h µn (f) > h µtop (f)+ ϕ dµ top ϕ dµ n ǫ n I h µtop (f)+infϕ supϕ ǫ n > η > 0. I I Proposição Sejam (I,f), f C, a translação do potencial ψ : I R ϕ : I R tal que ϕ F (I,R). Então existe η > 0 e duas sequências, uma de números reais, (ǫ n ) n N R + tal que ǫ n 0, e outra de medidas, (µ n ) n N M erg (f) tais que h µn (f)+ ϕdµ n P top (f,ϕ) > ǫ n, I 40

42 e h µn (f) > η, todas compatíveis com um mesmo esquema de indução, (X,F,τ), construído sobre (I,f). Além disso, existe θ > 0 tal que se {µ F,n } n N M(F) é a sequência dos levantamentos das medidas {µ n } n N M erg (f) em relação ao esquema de indução (X,F,τ) então τdµ F,n < θ 1. X Demonstração. Proposição implica que existem (µ n ) n N M erg (f) e η > 0 tal que para todo n N h µn (f) > η. Então Teorema implica que dado η > 0, como acima, existe um subconjunto compacto ˆK ÎT Î da parte transitiva da Torrede Hofbauer-Keller e θ > 0 tais que ( ) ˆµ n ˆK > θ, onde{ˆµ n } n N M erg (ˆf)éasequênciadoslevantamentosdasmedidas{µ n } n N M erg (f) à Torre de Hofbauer-Keller. Umavezque ˆK écompacto,existeumacoleçãofinitadecilindros{x 1,...,X j } tais que se ˆX i := π 1 (X i ) para i = 1,2,...,n então ˆK j i=1. LogoexistepelomenosumX {X 1,...,X j }eumasubsequência{µ nk } k N {µ n } n N M erg (f) tais que ( ) ˆµ nk ˆX > θ = θ /j > 0. EntãoTeorema2.2.17implicaque,existemumesquemadeindução(X,F,τ), construído a partir do domínio X e sobre (I,f), e uma sequência de medidas {µ nk } k N M erg (f) todas compatíveis com (X,F,τ). Sejam {µ F,nk } k N M(F) a sequência dos levantamentos das medidas {µ nk } k N M erg (f) ao esquema de indução (X,F,τ) e {ˆµ nk } k N M erg (ˆf) a sequência dos levantamentos das medidas {µ f,nk } k N M erg (f) à Torre de de Hofbauer-Keller. ( Assim como a medida µ F,nk é F-invariante e ˆX, ˆF) é uma aplicação de primeiro retorno o Lema de Kac implica 1 τdµ F,nk = ˆτdˆµ ˆX,nk = ( ) < +. X ˆX ˆµ nk ˆX ˆX i. 41

43 Observação De agora em diante todos os Esquemas de Indução a que nos referirmos serão obtidos como na Proposição acima. Antes de enunciarmos o próximo resultado introduziremos os conceitos de sequência de medidas fracamente compacta e rígida e por fim um resultado sobre a convergência de tais sequências de medidas. Definição Diremos que uma sequência de medidas de probabilidades (µ n ) n N, definidas em (X,B), é fracamente convregente se existe uma medida de probabilidade µ tal que lim k µ n k = µ. Definição Diremos que umafamília de medidas de probabilidades (µ α ) α A, definidas em (X,B), é fracamente compacta se para toda sequência (µ n ) n N existe uma subsequência (µ nk ) k N fracamente convergente. Definição Diremos que umafamília de medidas de probabilidades (µ α ) α A, definidas em (X,B), é rígida se para todo ǫ > 0 existe um compacto K ǫ X tal que µ(k ǫ ) > 1 ǫ para toda medida µ da família. Teorema (Prokhorov). Seja (X, d) um espaço métrico. Se uma família de medidas de probabilidades (µ α ) α A é rígida então esta sequência é fracamente compacta. Proposição Sejam (I,f), f C, ψ : I R a translação do potencial ϕ : I R, (X,F,τ) um esquema de indução construído sobre (I,f) tal que ϕ SV (I,R) F (I,R) e Ψ : X R olevantamento da translação do potencial ϕ. Se existem η > 0 e duas sequências, uma de números reais, (ǫ n ) n N R + tal que ǫ n 0, e outra de medidas {µ nk } k N M erg (f) tais que h µn (f)+ ϕdµ n P top (f,ϕ) > ǫ n, I h µn (f) > η e todas as medidas de {µ nk } k N M erg (f) são compatíveis com um mesmo esquemade indução, (X,F,τ), construído sobre (I,f) então asequência {µ F,nk } k N M(F) dos levantamentos destas medidas em relação ao esquema de indução (X,F,τ) é rígida e tal que lim k + µ F,n k = µ Ψ 42