Introdução ao Cálculo de probabilidades

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1 Introdução ao Cálculo de probabilidades Ref.: DEVORE,J.L. BERK,K.N. - Modern Mathematical Statistics with Applications. 2ed. Springer, ROSS, S. A. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações. 8ª Ed.. Porto Alegre: Bookman, 2010

2 Probabilidade: Axiomas, Definições e Teoremas

3 Axiomas de probabilidade Dada um experimento aleatório e o espaço amostral desse experimento, o objetivo da probabilidade é atribuir a cada evento A um número P A, chamado a probabilidade do evento A, que dará uma medida precisa da chance de A ocorrer.

4 Axiomas de probabilidade Espaço de Probabilidade: S, A, P S = conjunto não vazio A = conjunto de eventos. Todos os subconjuntos de S: σ S P = probabilidade definida em A

5 Axiomas de probabilidade

6 Axiomas de probabilidade Para garantir que as atribuições de probabilidade sejam coerentes com as nossas noções intuitivas de probabilidade, todos as atribuições devem atender a alguns axiomas (propriedades básicas) de probabilidade.

7 Noções intuitivas de probabilidade Experimentos de Daniel Kahneman e Amos Tversky: Imagine uma mulher chamada Linda, de 31 anos de idade, solteira, sincera e muito inteligente. Cursou filosofia na universidade. Quando estudante, preocupava-se profundamente com discriminação e justiça social e participou de protestos contra armas nucleares.

8 Noções intuitivas de probabilidade Experimentos de Daniel Kahneman e Amos Tversky: Classifique as seguintes afirmações numa escala de 1 a 8 de acordo a sua probabilidade, sendo 1 mais provável e 8 menos provável.

9 Noções intuitivas de probabilidade Experimentos de Daniel Kahneman e Amos Tversky: Classifique as seguintes afirmações numa escala de 1 a 8 de acordo a sua probabilidade, sendo 1 mais provável e 8 menos provável. Linda participa do movimento feminista. (2,1) Linda é bancária e participa do movimento feminista. (4,1) Linda é bancária. (6,2)

10 Noções intuitivas de probabilidade Primeira lei da probabilidade a probabilidade de que dois eventos ocorram nunca pode ser maior que a probabilidade de que cada evento ocorra individualmente Chance de que o evento A ocorra Chance de que os eventos A e B ocorram = + Chance de que o evento A ocorra e o evento B não ocorra

11 Axiomas de probabilidade Axioma 1: Para qualquer evento A, P A 0 A probabilidade de que um resultado do experimento seja um resultado pertencente ao evento E é algum número não negativo.

12 Axiomas de probabilidade Axioma 2 :P S = 1. Onde S é o espação amostral. Com probabilidade 1, o resultado será um ponto contido no espaço amostral! ou A probabilidade máxima possível (1) é atribuída a S.

13 Axiomas de probabilidade Axioma 3 : Se A 1, A 2, A 3, é uma coleção infinita de eventos disjuntos, então P A 1 A 2 A 3 = i=1 P A i Para uma sequência de eventos disjuntos, a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer é justamente a soma de suas respectivas probabilidades.

14 Axiomas de probabilidade Axioma 1: Para qualquer evento A, P A 0 Axioma 2 :P S = 1. Onde S é o espação amostral. Axioma 3 : Se A 1, A 2, A 3, é uma coleção infinita de eventos disjuntos, então P A 1 A 2 A 3 = P A i i=1

15 Proposição 1 P = 0, onde é o evento vazio. Proposição 2 Da proposição 1, temos que a propriedade contida no Axioma 3 é válido também para uma coleção finita de eventos. k P A i = P A i k i=1 i=1

16 Exemplo: lançamento de tachinha Considere jogar uma tachinha no ar. Quando ela repousar sobre o solo, a sua cabeça estará para cima (o resultado U) ou para baixo (o resultado D). O espaço amostral para este evento é, portanto, S = U, D ; Os axiomas especificam que P S = 1, portanto, a atribuição de probabilidades será concluído determinando-se P U e P D. Uma vez que U e D são disjuntos e sua união é S, a proposição anterior implica que 1 = P S = P U + P D Daí temos que P D = 1 P U. Ou seja, P U = p e P D = 1 p

17 Exemplo: lançamento de tachinha Atribuição de probabilidades possíveis: P U = p e P D = 1 p P U = 0,5 e P D = 0,5 P U = 0,25 e P D = 0,75 Permitindo que p assuma qualquer valor fixo entre 0 e 1, P U = p e P D = 1 p é uma atribuição consistente com os axiomas.

18 Interpretando Probabilidades Os axiomas não determinam completamente uma atribuição de probabilidades a eventos. Eles servem apenas para excluir atribuições inconsistentes com as nossas noções intuitivas de probabilidade. A interpretação que é mais utilizada e mais fácil de entender é baseada na noção de frequências relativas.

19 Interpretando Probabilidades : Frequências relativas Considere um experimento que pode ser repetidamente realizado de um modo idêntico e independente. Seja A o evento formado por um conjunto fixo de resultados do experimento. O experimento é executado n vezes. Seja n A o número de repetições em que A ocorre. n A A razão é chamada de frequência relativa da ocorrência do n evento A na sequência de n repetições do experimento.

20 Interpretando Probabilidades : Frequências relativas À medida que n se torna arbitrariamente grande, a frequência relativa se aproxima de um valor limite que podemos chamar de frequência relativa limite do evento A. A interpretação objetiva de probabilidade identifica essa frequência relativa limite com P A.

21 Proposição 3 Para qualquer evento A, P A = 1 P A c.

22 Exemplo componentes em série Considere um sistema de cinco componentes idênticos ligados em série, como ilustrado na figura abaixo Denote um componente que falha por F e o que não falha por S (de sucesso). Seja A o evento o sistema falha. Para A ocorrer, pelo menos um dos componentes individuais deve falhar. Resultados em A incluem SSFSS, FFSSS e assim por diante. Existem, de fato, 31 resultados diferentes em A. No entanto, A c, o evento em que o sistema funciona, consiste de um único resultado SSSSS. (continua)

23 Exemplo componentes em série (continuação) Veremos no curso que se 90% de todos estes componentes não falham e diferentes componentes falham independentemente um do outro, então P A c = P SSSSS = 0,9 5 = 0,59 Assim P A = 1 0,59 = 0,41 Ou seja, entre um grande número de tais sistemas, cerca de 41% irá falhar.

24 Proposição 4 A, B A, P A B C = P A P A B Proposição 5 Para qualquer evento A, P A 1. Proposição 6 Para quaisquer eventos A e B, P A B = P A + P B P A B

25 Exemplo serviços residenciais Em um determinado condomínio residencial, 60% de todas as casas obtém serviço de internet via cabo de um empresa local, 80% compram o serviço de televisão dessa mesma empresa e 50% obtém ambos os serviços da empresa, internet e televisão. Se uma casa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela tenha pelo menos um desses dois serviços da empresa e qual é a probabilidade de que ela utilize exatamente apenas um dos serviços? Considere A = serviço de internet via à cabo B = serviço de televisão à cabo

26 Exemplo serviços residenciais Solução P A = 0,6 P B = 0,8 P A B = 0,5 P A B = P A + P B P A B = 0,6 + 0,8 0,5 = 0,9 O evento possui somente TV à cabo pode ser escrito como: A c B. Logo, 0,9 = P A B = P A + P A c B = 0,6 + P A c B P A c B = 0,3

27 Exemplo serviços residenciais Solução De forma similar, o evento possui somente internet à cabo pode ser escrito como: A B c. Logo, P A B c = P A B P B = 0,1 Portanto, P exatamente um = P A B c + P A c B = 0,1 + 0,3 = 0,4

28 Determinando probabilidades sistematicamente Grande quantidade de possíveis resultados muitos eventos compostos Forma simples de determinar probabilidades (sem violar os axiomas): determinar P E i para todos eventos simples deve satisfazer: P E i 0 i P E i = 1

29 Determinando probabilidades sistematicamente Probabilidade de qualquer evento composto A: P A = P E i todo E i em A

30 Determinando probabilidades sistematicamente Exemplo: Durante o horário de pico um trem de passageiros tem cinco vagões. Suponha que um usuário seja duas vezes mais propensos a escolher o vagão do meio (#3) do que selecionar um dos vagões adjacentes (#2 e #4) e seja duas vezes mais propensos a escolher qualquer vagão adjacente do que o vagão final (#1 ou #5). Seja p i = P vagão i é selecionado = P E i.

31 Determinando probabilidades sistematicamente Exemplo: Assim, temos que p 3 = 2p 2 = 2p 4 p 2 = 2p 1 = 2p 5 = p 4 P E i = 1 = p 1 + 2p 1 + 4p 1 + 2p 1 + p 1 = 10p 1 Assim, p 1 = p 5 = 0,1 p 2 = p 4 = 0,2 p 3 = 0,4 A probabilidade de que um dos vagões do meio seja escolhido: p 2 + p 3 + p 4 = 0,8

32 Espaços Amostrais Igualmente Prováveis Em muitos experimentos com N resultados possíveis, é comum e razoável supor que todos os resultados sejam igualmente prováveis, e com isso atribuir probabilidades iguais a todos os resultados. Neste caso, dos Axiomas 2 e 3 temos que P i = 1 N i = 1,2,, N Demonstração N N N 1 = P S = P E i = P E i = p = p N p = 1 N i=1 i=1 i=1

33 Espaços Amostrais Igualmente Prováveis Agora, considere um evento A, com N A denotando o número de resultados contidos em A. Então, P A = E i A P E i = E i A 1 N = N A N número de resulatos em A = número de resultados em S Uma vez que tenha contado o número N de resultados no espaço amostral, para calcular a probabilidade de qualquer evento, devemos contar o número de resultados contidos nesse evento e calcular a razão entre os dois números. Assim, quando os resultados são igualmente possíveis, calcular probabilidades reduz-se a contar.

34 Espaços Amostrais Igualmente Prováveis Exemplo Quando dois dados são lançados separadamente, há N = 36 resultados possíveis. Se ambos os dados são honestos, todos os 36 resultados são igualmente prováveis! Então P E i = 1 36 Seja, A = soma do dois números = 7 A = 1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1 N A P A = N = 6 36 = 1 6

35 Exercício Uma fábrica opera em três turnos diferentes. Ao longo do último ano, ocorreram 200 acidentes na fábrica. Alguns destes podem ser atribuídos, pelo menos em parte, às condições de trabalho inseguras, enquanto os outros não estão relacionados com as condições de trabalho. A tabela abaixo indica a porcentagem de acidentes de acordo com cada categoria de acidente por turno. Turno Condições de trabalho inseguras Não relacionados às condições de trabalho Manhã 10% 35% Tarde 8% 20% Noite 5% 22%

36 Exercícios Suponha que um dos relatórios dos 200 acidentes é selecionado aleatoriamente a partir de um arquivo de relatórios e o turno e o tipo de acidente são determinados. a) Quais são os eventos simples? b) Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado esteja relacionado com as condições de trabalho? c) Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado não tenha ocorrido no turno da manhã?

37 Probabilidade Condicional, Regra da multiplicação e Independência de eventos

38 Exemplo Componentes complexos são montados em uma planta que utiliza duas linhas de montagem diferentes, A e A. A linha A utiliza equipamentos mais velhos do que A, por isso é um pouco mais lenta e menos confiável. Suponhamos que em um determinado dia na linha A tenham sido montados 8 componentes, dos quais 2 foram classificados como defeituosos (B) e 6 como não defeituosos (B ), enquanto que A produziu 1 defeituoso e 9 componentes sem defeito. Esta informação encontra-se resumida na tabela abaixo. Linha de montagem Condição B B A 2 6 A 1 9

39 Exemplo Sem saber desta informação, o gerente de vendas seleciona aleatoriamente um desses 18 componentes para uma demonstração. Antes da demonstração... P componente da linha A selecionado = P A = N A N = 8 18 = 0,444

40 Exemplo No entanto, se o componente escolhido for defeituoso, então o evento B ocorreu, de modo que o componente deve ter sido um dos 3 na coluna B da tabela. Uma vez que estes três componentes são igualmente prováveis entre si após B ter ocorrido, P A B = 2 3 = 2/18 3/18 = P A B P B

41 Probabilidade Condicional Definição Para dois eventos quaisquer A e B com P B > 0, a probabilidade condicional de A dado de B ocorreu é definida como P A B = P A B P B

42 Exemplo Suponha que de todas as pessoas que compram uma determinada câmera digital, 60% adicionam um cartão de memória opcional em sua compra, 40% adicionam uma bateria extra e 30% de adicionam cartão de memória e bateria. Considere o sorteio de um comprador e que A = comprou cartão de memória e B = {comprou bateria}.

43 Exemplo Assim P A = 0,60, P B = 0,40 e P ambos adquiridos = P A B = 0,30. Tendo em conta que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra, qual é a probabilidade de que um cartão opcional também tenha sido comprado? P A B = P A B P B = 0,30 0,40 = 0,75

44 Exemplo De forma similar P bateria cartão de memoria = P B A = P A B P A = 0,30 0,60 = 0,50 Note que P A B P A e P B A P B.

45 Exemplo Uma revista de notícias possui três colunas intituladas "Arte" (A), "Livros" (B), e "Cinema" (C). Hábitos de leitura destas colunas de um leitor selecionado aleatoriamente são descritos a seguir: Lê regularmente A B C A B A C B C A B C Probabilidade 0,14 0,23 0,37 0,08 0,09 0,13 0,05

46 Exemplo Assim temos que P A B = P A B P B = 0,08 0,23 = 0,348 P A B C = P A B C P B C = 0,04 + 0,05 + 0,03 0,47 = 0,12 0,47 = 0,255

47 Exemplo Assim temos que P A A B C P A lê pelo menos um = P A A B C = P A B C P A = P A B C = 0,14 0,49 = 0,286 P A B C = P A B C P(C) = 0,04 + 0,05 + 0,08 0,37 = 0,459

48 Regra da Multiplicação Definição P A B = P B P A B = P A P B A Esta regra é importante porque muitas vezes deseja-se saber P(A B), mas P B e P(A B) pode ser determinado a partir da descrição do problema (P(A) e P B A ).

49 Exemplo Quatro indivíduos responderam a um pedido de um banco de sangue para doação de sangue. Nenhum deles havia doado antes, portanto, os seus tipos sanguíneos são desconhecidos. Suponha que somente o tipo O+ seja desejado e que apenas um dos quatro doadores realmente possui este tipo de sangue. Se os potenciais doadores são selecionados de forma aleatória para a triagem, qual é a probabilidade de que pelo menos três indivíduos sejam selecionados até que se obtenha o tipo desejado?

50 Exemplo Fazendo B = primeiro tipo não é O + e A = {o segundo tipo não é O+}, P B = 3/4. Dado que o primeiro tipo não é O+, dois dos três indivíduos restantes não são O+, de modo P A B = 2/3. Assim, a regra de multiplicação nos dá que

51 Exemplo P pelo menos dois indivíduos são classificados = P A B = P A B = = 0,5 A regra de multiplicação é mais útil quando o experimento consiste em várias etapas sucessivas. A regra é facilmente estendida para experimentos envolvendo mais de duas fases. Por exemplo, P A 1 A 2 A 3 = P A 3 A 1 A 2 P A 1 A 2 = P A 3 A 1 A 2 P A 2 A 1 P A 1

52 Exemplo Considerando o experimento de classificação do tipo sanguíneo anterior P o terceiro tipo é O + = P terceiro é primeiro não é segundo não é P segundo não é primeiro não é P primeiro não é = = 1 4 = 0,25

53 Exemplo Uma cadeia de lojas vende três marcas diferentes de leitores de DVD. Das vendas de DVD, 50% são da marca 1 (o mais barato), 30% são da marca 2 e 20% são da marca 3. Cada fabricante oferece uma garantia de 1 ano para peças e mão de obra. Sabe-se que para 25% dos DVDs da marca 1 a garantia é requerida, enquanto as percentagens correspondentes para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%, respectivamente.

54 Exemplo 1. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente tenha comprado um DVD da marca 1 que precisará de reparo durante a garantia? 2. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente tenha comparado um DVD que precisará de reparo durante a garantia? 3. Se um cliente retorna à loja com um DVD que precisa de conserto durante a garantia, qual é a probabilidade de que o DVD seja da marca 1? Da marca 2? Da marca 3?

55 Exemplo Estágio 1: consumidor selecionando uma marca de DVD A i = marca i é comprada, para i = 1,2,3 P A 1 = 0,50 P A 2 = 0,30 P A 3 = 0,20 Estágio 2: observar se o DVD necessita de reparo durante a garantia B = necessita reparo B = não necessit reparo P B A 1 = 0,25 P B A 2 = 0,20 P B A 3 = 0,10

56 Regra das Probabilidade Totais Definição de partição: os eventos A 1,, A k são mutuamente exclusivos se eles não possuírem resultados comum. São exaustivos se A 1 A k = espaço amostral Probabilidades Totais Sejam A 1,, A k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. Então, para qualquer outro evento B, P B = P A 1 P B A P A k P B A k k = P A i P B A i i=1

57 Exemplo letra b P Marca 1 e nec. reparo = P A 1 B = P A 1 P B A 1 0,25 = 0,125, = 0,50 P A 2 B = P A 2 P B A 2 = 0,060 P A 3 B = 0,020 P B = P A 1 B + P A 2 B + P A 3 B P B = P A 1 P B A 1 + P A 2 P B A 2 + P A 3 P B A 3 P B = 0, , ,020 P B = 0,205

58 Regra das Probabilidades Totais Prova Porque os eventos A i s são mutuamente exclusivos e exaustivos, se B ocorre, isto deve acontecer em conjunção com exatamente um dos A i s. Isto é, B = A 1 e B ou ou A k e B = A 1 B A k B onde os eventos A i B são mutuamente exclusivos. Assim, como desejado. P B = k i=1 P A i B = k i=1 P A i P B A i

59 Teorema de Bayes Seja A 1,, A k um coleção de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos com P A j > 0 para i = 1,, k. Então, para qualquer outro evento B, para o qual P B > 0, P A j B = P A j B P B = P A j P B A j k j = 1,, k P A i P B A i i=1

60 Exemplo letra c P A 1 B = P A 1 B P B P A 2 B = P A 2 B P B = 0,125 0,205 = 0,61 = 0,060 0,205 = 0,29 P A 3 B = P A 3 B P B = 1 P A 1 B P A 2 B = 0,10

61 Exemplo Incidência de um doença rara Apenas 1 em cada adultos sofre de uma doença rara, para a qual foi desenvolvido um teste de diagnóstico. O teste é tal que, quando um indivíduo tem realmente a doença, um resultado positivo irá ocorrer 99% do tempo, enquanto que um indivíduo sem a doença irá mostrar um resultado positivo no teste apenas 2% do tempo. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente é testado e o resultado for positivo, qual é a probabilidade de que o indivíduo tenha a doença?

62 Nota Sensibilidade: é a probabilidade de um exame acusar a doença dado que o indivíduo possui a doença, ou seja, P T + D + Especiade: é a probabilidade do teste não acusar a doença dado que o indivíduo não tem a doença, ou seja, P T D No exemplo 3.9, a sensibilidade do teste é de 99%, enquanto que a especificidade é de 98%.

63 Exemplo Seja A 1 = indivíduo tem a doença A 2 = indivíduo não tem a doença B = resultado do teste positivo Assim, P A 1 = 0,001 P A 2 = 0,999 P B A 1 = 0,99 P B A 2 = 0,02

64 Exemplo Usando a regra das probabilidades totais P B = P A 1 B P A 2 B = P A 1 P B A 1 + P A 2 P B A 2 = 0, ,999 0,02 = 0, ,01998 Assim, temos que P A 1 B = P A 1 B P B = 0, ,02097 = 0,047

65 Independência de Eventos Definição Dois eventos A e B são independentes se P A B = P A e são dependentes caso contrário. Portanto, dizer que A e B são eventos independentes, significa dizer que a ocorrência ou não de um dos eventos não tem qualquer influência sobre a possibilidade de ocorrência do outro.

66 Exemplo Considere um baralho comum de 52 cartas. Suponha que alguém seleciona aleatoriamente uma carta do baralho e revela que é uma carta com uma face (ou seja, um rei, uma rainha ou uma valete). Qual é agora a probabilidade de que a carta seja uma espada? Seja A = espada e B = carta com face, então P A = 13/52, P B = 12/52 e P A B = P espadas e uma carta com face = 3/52. Assim, P A B P A B = = 3/52 P B 12/52 = 3 12 = 1 4 = 13 = P A 52

67 Exemplo Sejam A e B dois eventos quaisquer mutuamente exclusivos com P A > 0. Por exemplo, para um automóvel escolhido aleatoriamente, seja A = carro é azul e B = carro é vermelho. Uma vez que os eventos são mutuamente exclusivos, se ocorrer B, então A não pode ter ocorrido, então P A B = 0 P A.

68 Exemplo A mensagem aqui é que, se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles não podem ser independentes. Quando A e B são mutuamente exclusivos, a informação de que A ocorreu diz algo sobre B (que não pode ter ocorrido), então a independência está excluída.

69 P A B quando os eventos são independentes Proposição : A e B são independentes se e somente se P A B = P A P B

70 Exemplo Sabe-se que 30% das máquinas de lavar roupa produzidas por uma determinada empresa precisam de reparo enquanto estão na garantia, enquanto que apenas 10% das suas secadoras de roupas precisam desse serviço. Se alguém compra tanto uma lavadora e uma secadora fabricadas por esta empresa, qual é a probabilidade de que ambas as máquinas precisam de serviço de garantia?

71 Exemplo Seja A o evento que a lavadora precisa de serviço enquanto está garantia e seja B o evento análoga para a secadora. Então, P A = 0,30 e P B = 0,10. Assumindo que as duas máquinas funcionam independentemente uma da outra, a probabilidade desejada é P A B = P A P B = 0,30 0,10 = 0,03