Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

Transcrição

1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Produto Vetorial Torque e momento Angular de Uma Partícula (Rotação de uma partícula) Física 1 1/32 1/ 32

2 Outline 1 Produto Vetorial 2 Momento Linear 3 Torque e Momento Angular 4 Torque 5 Momento Angular 2/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 2/32

3 . Produto Vetorial Dados dois vetores A e B, oproduto vetorial entre eles é definido como o vetor C A B seu módulo é C A B sen sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B seu sentido é dado pela regra da mão direita. (Rotação de uma partícula) Física 1 3/32 3/ 32

4 Propriedades do Produto Vetorial seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo definido por A e B A B B A não é comutativo. Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) A B 0 consequentemente A A 0 Obedece a propriedade distributiva: A B C A B A C tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B: d dt A B A db dt da dt B 4/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 4/32

5 - ^. Propriedades do Produto Vetorial k k 0 ^ k k k : ^ k Se temos as componentes dos vetores A A x A y A z k e B B x B y B z k k n ^ ^ A B A y B z A z B y A x B z A z B x A x B y A y B x k (Rotação de uma partícula) Física 1 5/32 5/ 32

6 Exercícios Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde 1 a 3 k e b k; 2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura. A C ath Rika O Bad B (Rotação de uma partícula) Física 1 6/32 6/ 32

7 7/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 7/32

8 Exercícios 1 Mostre que o módulo do produto triplo a b c é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos vetores a, b e c. 2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo. 3 Considere a, b e c 2 k. Calcule a área da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 8/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 8/32

9 Momento Linear O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por: p m v Podemos expressar a Segunda Lei de Newton para uma partícula em termos de p: F m a m dv dt d mv dt dp dt 9/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 9/32

10 Momento Linear Segunda Lei de Newton F dp dt com p m v A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual à taxa de variação do momento linear grandeza cinemática na translação Momento Linear grandeza dinâmica na translação Força E na rotação? 10/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 10 / 32

11 Partindo da Segunda Lei de Newton: notando que: F dp dt r F r dp dt d r dt p r dp dt dr dt p v mv 0 r F d r dt p o dl o dt onde o r F éotorque de uma força e l o r p éomomento angular de uma partícula ambos em relação a o dependem do ponto o 11/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 11 / 32

12 - Torque Torque ou Momento da Força f mi O r F rfsen Direção a r e F Sentido regra da mão direita Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas NÃO é Joule) ovolo - BA Gg * Hagiwara was GABBAR Agastya O é o torque da força em relação ao ponto O. Ele muda se o ponto O mudar. 12/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 12 / 32

13 Torque O Torque pode ser visto de duas formas: Fsen r F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão Fr : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação (maçaneta da porta). 13/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 13 / 32

14 Vetor Torque r F O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra da mão direita. 14/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 14 / 32

15 Torque Resultante Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque resultante será a soma vetorial de cada um deles: O F 1 d 1 F 2 d 2 15/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 15 / 32

16 Exemplo Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo F 1 5 N,R 1 1 m, F 2 15 N, R m. Em que sentido o cilindro gira? 16/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 16 / 32

17 Forças Centrais Um caso particular importante é o de forças centrais. Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O, teremos sempre F r Otorquedeforçascentraisemrelaçãoaocentroénulo 9 Mas relação a O não será. 17/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 17 / 32

18

19

20

21 Ex: Pêndulo Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o fio faz um ângulo de 30 com a vertical. 18/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 18 / 32

22 Momento Angular de uma partícula l o r p m r v l o é um vetor de módulo: rpsen que pode ser visto como: rp ou r p direção: a r e v sentido: regra da mão direita 2 SI: kg m / s Note que não é necessário que haja rotação para definirmos l o 19/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 19 / 32

23 Exemplos Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto O? 22/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 22 / 32

24 23/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 23 / 32

25 Exemplos Uma partícula de massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo 3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O: a) o momento angular da partícula b) o torque exercido sobre ela 24/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 32

26 m = 2kg 15>1 = 3m IT 1=4 wls 1 El = IN ^ I > = m 5 ' T ' = sen 30 = 12 kg nits k E = T E ' = 3 2 sent = 3 Nm 25/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 25 / 32

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 Exercícios O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por r 2 t 2 t t 4 k, onde todas as unidades empregadas estão no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula? (b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso. 26/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 26 / 32

37 Got 8Ej m = 2kg I = 2+2 : +tj+t' ti T ' = 4ti+ij+4t3k Fi = 4i + r2t2 a) F = mop = 8 a +24 ttk b) 8=5 e) I '. ist J Its t t ' F= i ' M, 8 O 24 = a j k, =6t' ts t zt2 8 t 2 8 t ) 2gpa+(ptIYJ - 8th = i d) dµ = 24 Ei - 'j - 8th 27/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 27 / 32

38 Conservação do Momento Angular dl o o dt O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de variação com o tempo do momento angular Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma origem. Consequência: Se o 0 l o se conserva!!!! Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e sentido. 20/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 20 / 32

39 Exemplo: Forças Centrais Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e r F : Consequência: O momento Angular em relação ao centro se conserva Omovimentoéplano. 21/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 32

40 Gravitação A observação do céu e a tentativa de entender o movimento dos corpos celestes é uma das atividades mais antigas da humanidade. Ptolomeu AC - órbitas circulares em torno da Terra Copérnico modelo heliocêntrico Tycho Brahe Tomou dados extremamente precisos Kepler Três Leis de Kepler com base nos dados de Brahe Galileo Usou o telescópio, observou 4 satélites de Júpiter Newton Lei da Gravitação Universal 3/ 33 (Vetores) Física 1 3/33

41 Leis de Kepler Primeira Lei de Kepler As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses, com o Sol em um dos focos. 4/ 33 (Vetores) Física 1 4/33

42 Elipse Uma elipse é o conjunto de pontos cujas somas das distâncias desses pontos aos focos é constante. < > c Sendo a o semieixo maior e c a semidistância focal, definimos a excentricidade c e a Se e 0 círculo. Quanto maior e mais achatada é a elipse. 5/ 33 (Vetores) Física 1 5/33

43 Sistema Solar Planeta Semieixo Período e Inclinação maior (UA) (anos) ( ) Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00 Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39 Terra 1,00 1,00 0,02 0,00 Marte 2,77 1,88 0,09 1,85 Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30 Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49 Urano 19,19 84,07 0,05 0,77 Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77 Plutão 39,60 248,60 0,25 17,15 1UA m km ^ 4000 Distancia Terra Lua Distância Terra-Lua: km 6/ 33 (Vetores) Física 1 6/33

44 Leis de Kepler Segunda Lei de Kepler O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais Isto significa que quando está na posição mais próxima do Sol (periélio) oplanetasedeslocamaisrapidamentedoquequando está na posição mais afastada (afélio) 7/ 33 (Vetores) Física 1 7/33

45 A2 a Lei de Kepler e a Cons. do Momento Angular A Força Gravitacional é uma força central, portanto: l M p r v constante Lembrando que r dr é a área do paralelogramo formado pelos lados r e dr e observando que a área da varrida pelo vetor r é metade da do paralelogramo: da 1 2 r dr 1 2 r vdt L 2M p dt da dt L 2M p constante 15/ 33 (Vetores) Física 1 15 / 33

46

47

48

49

50

51

52

53 Exercícios Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade v i que faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O, calculeo momento angular do projétil em relação a O como função do tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em relação ao mesmo ponto, e verifique se dl 0 dt 0 28/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 32

54 - v. ( a) I '. = m I ii ii = ( v. corot ) i + ( v. snot - I ' = H core ) i + ( t.su - I I = corot - Kimmo ii = -ms g Eu. mix ww Is F b) E ' = I F ' = mg Z = - mg v. corot K 7 e) of = - m dt v. cow k g t ) ztg E) j f who gt ' ) li - I ii sue corot - at g a v. wo ) ti 29/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 29 / 32

55 Desafio Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa à extremidade de um fio de comprimento d, amarradoaum suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a vertical. Qual é o momento angular L 0 da bola em relação ao ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de variação de L 0 em relação ao tempo é medida pelo torque em relação a O das forças que agem sobre a bola. [ = mw Roe cos x I + mw r2 gets ^ z " i 30/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 30 / 32

56 31/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 31 / 32

57 Desafio Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-sedeumaestrela B que permanece fixa. Inicialmente, quando A está muito distante de B (r ), A tem velocidade de módulo v 0 dirigida ao longo da linha mostrada na figura. A distância entre esta linha e B é D. O objeto A desvia-se de sua trajetória inicial devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada na figura. A menor distância entre esta trajetória e B é d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravitação. 32/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 32 / 32