12/06/2018. Laplace ( ) O demônio de Laplace. Trabalho e Energia Cinética. Conservação de Energia. Conservação de Energia.

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1 MPA5004 Conceitos Fundamentais da Física do Sistema Solar Trabalho e Energia Cinética 3. Energia Cinética Suponha que uma partícula de massa constante que nos instantes t 1 e t 2 estejam localizados em P 1 e P 2 e se movam com velocidades v 1 = dr 1 /dt e v 2 = dr 2 /dt, respectivamente. Então nós temos: Sendo Ec = 1/2mv 2 então: W = Ec = E 2 E 1 4. Campo de força conservativo Suponha que exista uma função escalar V tal que F =- V, onde: O trabalho total realizado para mover a partícula ao longo de C de P 1 para P 2 é : Nelson Vani Leister IAG- Dep.Astronomia Aula 03 Nesse caso, o trabalho realizado é independente do caminho C que une os pontos P 1 e P 2. Se o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula de um ponto para outro é independente do caminho que une os pontos, então o campo de força é considerado conservativo. O trabalho total realizado ao mover uma partícula em torno de qualquer trajeto fechado é zero. Conservação de Energia Conservação de Energia O escalar V tal que F = - V é chamado de energia potencial ou potencial escalar ou ainda simplesmente de potencial da partícula em um campo de forças conservativa F. Nesse caso, podemos escrever: Ep = Ep 1 - Ep 2 ou Ep = V (P 1 ) - V (P 2 ). O potencial é definido a partir de uma valor constante arbitrário. Podemos expressar o potencial como: 7. Impulso 8. Momento Angular onde supomos que V = 0 quando r = r Conservação de Energia Para um campo de força conservativo, temos 9. Conservação do Momento Angular que também pode ser escrito O demônio de Laplace Bastaria conhecer com exatidão a situação presente para determinar sua evolução futura. Mecânica Celeste Laplace ( ) Substituição do estudo geométrico pelo cálculo A matemática da obra de Newton assustava os mais imediatistas, que acabou ficando longe das considerações dos astrônomos, ainda assim a gravitação foi usada com sucesso na construção dos movimentos planetários, cometas e satélite, nas teorias para explicar: A forma achatada da Terra As variações da aceleração da gravidade Teorias das marés... O determinismo (demônio de Laplace) 1

2 O Grande sucesso! da mecânica Newtoniana (se deu em 1846) 1. A descoberta de Urano (1º observado com telescópio) Herschell (13/03/1781) Seu movimento não podia ser explicado pelas equações de Newton. Tentativas de solução foram feitas: a) Bessel - observações cobriam um arco pequeno de sua trajetória. b) Adams e Leverrier concluiram que as variações de posição eram causadas pela presença de um planeta desconhecido. A descoberta de Netuno (Galle ) Desafiando a gravitação Newtoniana O Avanço do periélio de Mercúrio Mercúrio, e sua órbita perturbada A perturbação planetária faz girar a elipse de modo que seu periélio avance (Leverrier mostrou que a influência dos demais planetas causava em Mercúrio o avanço de seu periélio de 530 /sec.): Para Mercúrio os efeitos são causados por: Vênus = 277 /sec Terra = 90 /sec Marte = 10 /sec Júpiter = 153 /sec Valor observado 573 /sec Ainda assim o periélio de Mercúrio deslocava-se mais rápido (43 /sec) 1. A existência de um planeta dentro da órbita de Mercúrio A descoberta de Vulcano! (nunca confirmada) 2. A existência de uma satélite de Mercúrio 3. Masssa maior (10%) para Vênus 4. Achatamento do Sol! Dicke 1967 Efeito = 0,0254 /sec. O periélio de Mercúrio desloca-se ainda mais rápido (43 /s) Na teoria newtoniana: a lei que exprime a força de atração é independente das equações do movimento. Na teoria da Relatividade (Einstein 1905 & 1916) a) Restrita: nenhuma informação pode se propagar mais rápido que a luz. b) Geral: o campo e o movimento se fundem em uma única lei (equações de campo). a. Referencial inercial b. Referencial genérico Os primeiros resultados: o avanço dos periélios dos planetas Mercúrio 42,98 /sec Vênus 8,62 /sec Terra 3,84 /sec Marte 1,35 /sec O movimento da partícula sujeito a um campo gravitacional se dá ao longo das geodésicas do espaço-tempo. Equação da relatividade geral Einstein (1915) Primeiro resultado mostrava que a correção na teoria de Newton, o avanço do periélio das órbitas. Além desse resultado a teoria dizia apenas que o movimento de uma partícula em um campo de gravidade se dá ao longo das geodésicas do espaço-tempo. (Até agora nem mesmo o simples movimento de dois corpos isolados tenha sido resolvido. As equações de Einstein só foram possíveis de resolver em alguns casos particulares pelo campo (*) criado por um: corpo esférico fixo (Schwarzschild, 1916) um esferoide fixo (Weyl & Levi-Civita, 1917) Corpo esférico em rotação (Kerr, 1943) (*) Campo com simetria esférica A precessão do periélio de Mercúrio Fontes da precessão do periélio de Mercúrio 5025,6 Quantidade (arcsec/século) Causa Coordenadas (devido a precessão dos equinócios) 531,4 Gravidade de outros planetas 0,0254 Oblitude do Sol (momento quadrupolo) 42,98±0,04 Relatividade geral 5600,0 Total 5599,7 Observada 2

3 Os planetas Ao contrário do que imaginava Kepler as elipses não são fixas no espaço A mecânica no Sistema Solar Tudo varia! A Terra (planetas) O semi-eixo maior (a) E T = - GMm = Const 2a Alguns problemas não previstos poderão ocorrer. O caso de Netuno e Plutão Semi-eixo maior a: Plutão= 5,9x10 3 km e = 0,25 d = a(1 e) = 4,4x10 3 km Netuno (165,1anos) Plutão (247,5anos) x 3 = x 2 (ressonância orbital) Netuno = 4,5x10 3 km 2xP pl 3x P net = variável oscila com período de anos Caso mais espetacular: Io(42,5 d ), Europa(85,3 d ) e Ganimedes(171,7 d ) df/dr = -2GM/R 3 -> df = -(2GM/R 3 )dr para a Lua para o Sol 3

4 Dados Importantes df/dr = -2GM/R 3 -> df = -(2GM/R 3 )dr D sol = 150x10 6 km D lua = 380x10 3 km G = 6,67x10-11 N.m 2 /kg 2 R = 6400 km R lua = 1730 km M = 5,98x10 24 kg M sol = 2x10 30 kg M lua = 7.3x10 22 kg Solar Contribuição da maré solar e da maré lunar Evolução das Marés Lunar 1 2,2 O efeito sobre a Lua como F MR, a Terra provoca um efeito sobre a Lua de cerca de M R lua /M lua R 20 energia potencial=m g h Altura do bojo de maré trabalho realizado pela força de maré devido à Lua = m a L R T h = 2 (M M T )( R T4 d 3 ) Os satélites Segue as leis de Kepler. Como no caso dos planetas, as elipses não são fixas diferente dos planetas as elipses se movem devido ao fato dos satélites orbitarem ao redor de corpos ACHATADOS. Outro ponto importante é a ação das forças dissipativas devido as marés que o satélite provoca no planeta e vice-versa. O planeta se ovala na direção do satélite. O planeta não sendo imóvel, ele tender a arrastar, na rotação, as deformações devido a maré. Como resultado a assimetria gera um novo desvio na direção da força com que o planeta atrai o satélite, desviando-se para o ponto mais alto da maré no planeta. 4

5 A Energia orbital Lembrar que: E M = - GMm 2a Os satélites Na figura ao lado a força tem o mesmo sentido do movimento do satélite, ACELERANDO-O. Logo a E M (energia mecânica) do satélite aumenta. A energia mecânica aumenta, logo o valor absoluto de E M diminui, e a aumenta: o satélite afastando-se do planeta, sua velocidade diminui. (Paradoxo) O satélite acelerado passa a mover-se mais lentamente. Conclusões: Há dois bilhões de anos a lua estaria a km da Terra ( km hoje). Daria uma volta ao redor da Terra em 6,5 horas. A Terra estaria girando mais rápido, o dia teria 5 horas. O caso da Lua Embora pequena a deformação é suficiente para provocar um atraso no movimento da lua, cujo período de translação ao redor da Terra esta aumentando. Conhecemos 2 tipos de marés: As marés oceânicas (ação nas águas) As marés na terra. A lua causa uma deformação de cerca de 50cm. Olhando a figura e a Terra, vê-se que o momento das forças que atuam sobre o planeta não é nulo atua no sentido de frear a rotação do planeta. O resultado é que a duração do dia aumenta de 0,002s/sec. Este fato levará a Terra a ter seu período de rotação aumentando até 35 dias. 5