RESSONÂNCIA ORBITAL: A SINCRONIZAÇÃO OU DESTRUIÇÃO DOS CORPOS CELESTES

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1 RESSONÂNCIA ORBITAL: A SINCRONIZAÇÃO OU DESTRUIÇÃO DOS CORPOS CELESTES RESUMO Este artigo visa explicar amplamente a Ressonância orbital que foi primeiramente estudado por Simon Laplace, estudioso que desenvolveu a astronomia e a matemática ampliando os trabalhos de seus predecessores nos cinco volumes de seus livros chamados Mecanique Celeste ( ). Esta obra traduziu o estudo geométrico da Mecânica Clássica usada por Isaac Newton conhecida como Mecânica Celeste, que ajudou na identificação da sincronização do movimento dos planetas entre eles mesmos e entre seus satélites, fazendo com que pudéssemos entender por que os planetas não colidem. Além disso, ajudou na descoberta do por que alguns planetas detêm anéis girando em torno de si, o porquê deles se formarem são as forças de maré, que não acontecem somente nos planetas cujos componentes são elementos fluidos, mas ocorre também nos planetas telúricos causando assim sua ruptura, resultando em anéis, como o mais famoso e visível a olho nu anéis de saturno. Determinação ao Limite de Roche, ou Limite de Ruptura Gravitacional, estudado e discutido pelo astrônomo francês Edouard Roche que também é extremamente importante para o estudo da astronomia e do entendimento da distância dos satélites de seus planetas. Palavras-chave: Astronomia, Ressonância, Limite Gravitacional, Mecânica Celeste

2 1. INTRODUÇÃO O estudo da Ressonância Orbital foi muito importante para a astronomia, a priori ela ajudou a descoberta de outros planetas além do nosso sistema solar, devido à oscilação das órbitas dos planetas conhecidos detectados por astrônomos, um desses corpos celestes teve muita repercussão tanto em sua descoberta quando ao seu destronamento de planeta para planeta-anão, foi Plutão. Com bases nesses estudos desenvolvidos por Simon Laplace, Urbain La Verrier previu a existência de Netuno em 1840, até então Netuno era desconhecido, foi descoberto sem querer devido a perturbações que supostamente causava a órbita de Urano, porém tempos mais tarde foi descoberto que este planeta não era culpado pela perturbação da órbita do Planeta Urano, mas sim um corpo desconhecido denominado de Planeta X, e posteriormente denominado Plutão, cuja orbita demasiadamente excêntrica faz com que ele fique mais próximo do sol do que Netuno em relação a sua translação. Em relação ao planeta Júpiter e seus satélites, a Ressonância Orbital é bastante estudada em decorrência de que a órbita de seus satélites e extremamente coeso, e, além disso, o mais próximo chamado Io está cada vez mais perto de Júpiter, as forças de maré que acontecem em seu material telúrico provocam várias atividades sísmicas resultando em vulcanismo, e provavelmente mais tarde, seja desintegrado devido sua aproximação do limite de ruptura gravitacional do planeta. 2. RESSONÂNCIA ORBITAL: COMO OCORRE Uma Ressonância Orbital pode ser definida em relação de inteiros entre os períodos de n grandezas, foi estudado por Simon Laplace quando este observava Jupiter e suas luas: Io, Ganimedes e Europa. Io da uma volta ao redor do planeta em metade do tempo, que Europa demora a executar esse movimento: ou seja, estão em uma ressonância 2:1. Por sua vez Europa tem também uma ressonância 2:1 em relação ao próximo satélite, ou seja, Ganimedes. Fig.1 Relação de Ressonância entre os satélites de Júpiter Fonte: IMCC PARIS OBSERVATORY CNRS Fig.2 Júpiter e seus Satélites Fonte: IMCC PARIS OBSERVATORY CNRS As Ressonâncias são muito comuns no Sistema Solar e são provocadas na generalidade dos casos pela dissipação associada às forças de maré na interação gravitacional entre os planetas e as suas luas.

3 Fig.3 Ressonância 2:1 entre Júpiter e um Asteroide Fonte: Uma órbita Kepleriana, segundo MOURÃO (2008): É uma órbita descrita por um ponto material ao redor do outro, sob a ação única da gravitação universal (...). As órbitas reais não são em geral keplerianas em virtude das perturbações. (MOURÃO, 2008, pág. 606) Já uma órbita perturbada, é a que se afasta ligeiramente de uma órbita kepleriana sob a ação de forças adicionais. Essas forças podem ser: as forças gravitacionais, decorrente da presença de outro corpo atrativo, ou mesmo da não-esfericidade ou não-homogeneidade do corpo mais massivo do sistema; as forças de colisão com as partículas do ambiente onde se deslocam os corpos, e também as forças de propulsão. Já explicado o que é uma órbita não-perturbada e uma órbita perturbada, vemos que na fig.3 no instante t=o, o asteróide e Júpiter estão em conjunção no periélio de suas respectivas órbitas. Após um quarto do período de Júpiter, o asteróide está no afélio da sua órbita, o ponto em que esta mais se aproxima da órbita de Júpiter, mas Júpiter está longe, ou seja, não há probabilidade da atração de Júpiter puxar o asteróide para seu campo gravitacional. Após metade do período orbital de Júpiter, o asteróide volta ao seu periélio, agora com Júpiter do lado oposto do sol e ao fim de 3/4 desse período o asteróide regressa à posição de máxima proximidade com a órbita de Júpiter, mas mais uma vez também neste caso Júpiter está longe. Esta situação corresponde a uma configuração estável desta ressonância, porque, embora exista a possibilidade de encontros próximos entre júpiter e o asteróide, esses encontros são evitados pelo mecanismo da ressonância e as perturbações dominantes compensam-se ao longo do tempo. Fig.4 Ressonância instável de Jupiter e do Asteróide Fonte:

4 Ao contrario, no segundo caso, a Fig.4 em t=o estão em conjunção no afélio de suas órbitas, nos até que coincidem novamente no afélio, tendo assim uma maior probabilidade de colisão, dessa maneira consideramos que essa seja uma ressonância instável 2:1. As equações usadas para calcular o movimento de um asteróide em ressonância com Júpiter são idênticas à equação de um pêndulo. O caos pode aparecer no pêndulo se fizermos oscilar o seu ponto de suspensão, o que corresponde no sistema Sol-Júpiter-Asteróide a admitirmos a órbita de Júpiter com excentricidade não nula. Fig.5 Pendulo em ressonância Fonte: blogdoprotasio.blog.br 2.1 FORÇAS DE MARÉ Sabemos já um pouco do que é Ressonância orbital, mas temos também algo intrinsecamente ligado a este estudo, como é o caso das forças de maré, normalmente conhecemos esta força pela definição de (MOURÃO, 2008): Maré é o movimento periódico das águas, pelo qual elas se elevam ou se abaixam em relação a uma referência fixa no solo. É produzida pela ação conjunta da Lua e do Sol,e, em muito menor escala pela ação dos planetas. Sua amplitude varia para cada ponto da superfície terrestre, e as horas de máximo (preamar) e mínimo (baixa-mar) dependem fundamentalmente das posições daqueles astros. (MOURÃO, 2008, Pág. 508). Fig. 6 Forças de Maré Fonte: How Stuff Works

5 Mas aqui iremos abordar o significado de maré como a deformação de um astro sob a influência de outro corpo. Sabemos que não é somente o meio líquido, como á água, ou os gases da atmosfera que são deformados pela força gravitacional da Lua, mas também o meio telúrico 1 de ambos os corpos, por isso que a terra e a lua têm bojos uma em direção à outra, devido à força gravitacional que uma exerce sobre a outra. 2.2 LIMITE DE ROCHE Denomina-se limite de Roche, o limite mínimo que mantém a estrutura de um corpo unicamente por causa de sua própria gravidade numa órbita ao redor de um corpo denso sem desintegrar devido as forças de maré exercida pela força gravitacional do corpo mais massivo. Dentro do limite de Roche a força de gravidade que o corpo principal exerce sobre o extremo do satélite mais próximo e mais afastado excede à força de gravidade do satélite. Devido a esse princípio o corpo secundário poderá ser destruído pelas forças de maré. Fig.7 Anéis de Saturno: resultado da ruptura do limite gravitacional Fonte: Google.com Fig.8 Desintegração do cometa Shoemaker-Levy 9 quando este foi capturado pelo campo gravitacional de Júpiter 1 Da terra ou relativo a ela. Que vem do solo (MOURÃO, 2008, pág. 760)

6 2.2.1 DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE ROCHE Para Corpos Rígidos Em corpos rígidos, ou telúricos, não é necessário calcular a deformação elíptica do corpo devido às forças de maré. Nesse caso, onde: (1) d é a distância mínima do corpo secundário rígido antes de desintegrar-se ρ M é a densidade do corpo principal que detém a maior densidade ρ m é a densidade do corpo secundário rígido R é o raio do corpo principal Em 1974, Hans Aggarwald aprimorou cálculos para a ruptura em corpos planetóides telúricos, mantidos coesos por forças de tensão intrínsecas de seu material. Para corpos desse tipo, com diâmetros maiores do que 40 km, a distância mínima que eles podem chegar de seu planeta sem quebrar é: (2) Essa fórmula apresenta uma diferença pequena entre a fórmula inicial e o valor atualizado 1,38, significando que um corpo sólido pode desintegrar-se em distâncias maiores que as previstas inicialmente. Para corpos deformáveis Em corpos fluidos torna-se necessário estimar a deformação elíptica no corpo gerado pelas forças de maré. A formulação teórica, definida pelo astrônomo francês Edouard Roche, considerando um corpo fluido que orbita um astro de maior densidade é Onde d, ρ M, ρ m e R são os mesmos dos corpos rígidos, mas aplicados à corpos fluidos. (3) Desenvolvimento da fórmula: corpos rígidos

7 Fig.9 Derivação da fórmula do limite de Roche a partir de uma partícula teste. Para determinar o limite de Roche se considera uma partícula de massa u sobre a superfície de um corpo pequeno nas imediações de um corpo de maior massa. A partícula u experimentará duas forças, a gravidade proveniente do satélite que lhe cerca, que lhe faça permanecer sobre sua superfície, e a gravidade do corpo mais denso. Sabendo que o satélite está em movimento orbital, a resultante da gravidade exercida pelo planeta é somente a força de maré. O empuxo da gravidade F G sobre a partícula de massa u sobre o satélite de massa m e raio r pode ser demonstrado de acordo à lei da gravitação de Newton: A força de maré F T sobre a massa u exercida pela planeta massivo de raio R e a uma distância d entre os centros de massa dos dois corpos é: (4) (5) O limite de Roche se alcança quando o empuxo gravitacional e a força de maré se igualam uma à outra: F G = F T, (6) ou também, Expressão que nos permite determinar o limite de Roche, d: (7)

8 (8) No mais, seria melhor expressar esta equação numa outra forma que não dependa do raio do satélite, pelo que se reescreve esta expressão em função das densidades do corpo mais massivo e do satélite. A massa M de uma esfera de raio R é: E analogamente para o corpo de menor densidade: (9) Substituindo as duas massas na equação do limite de Roche se obtém:. (10) que pode simplificado na seguinte expressão: (11) (12) Desenvolvimento da Fórmula: Corpos deformáveis não esféricos Para um resultado mais preciso, devem-se considerar as deformações produzidas no satélite pelas forças de Maré, neste caso o satélite seria deformado em um esferóide elíptico, com bojos, como ocorre com a Terra e a Lua. O cálculo exato não pode realizar-se analiticamente, mas historicamente Roche derivou uma aproximação numérica para este problema: Com a ajuda de ordenadores é possível encontrar uma aproximação mais precisa (13) (14) onde c / R é um fator que expressa o grau de deformação do corpo principal.

9 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho vimos que a Ressonância orbital foi algo extremamente importante para o desenvolvimento da astronomia e da astrofísica, porém este assunto não se resume somente a ressonância como a conhecemos, mas desta descoberta derivam se outros assuntos pertinentes que nos explicam certos fenômenos da natureza, como por exemplo, os anéis de saturno. A aproximação demasiada dos corpos pode resultar em bojos de maré, e inclusive em rompimentos gravitacionais, que é a desintegração total do corpo. Um evento recente foi a desintegração do cometa Shoemaker-Levy 9, em 1994, sendo que este cometa foi capturado pelo campo gravitacional de Júpiter 25 antes da colisão acontecer, por causa deste evento Júpiter foi considerado uma espécie de aspirador cósmico, uma vez que este planeta é o que tem um grande histórico de captura de luas e de cometas, sendo até culpado pelo desvio de rota do cometa que provocou o evento K-Pg 2, que deixou a marca na terra em forma de cratera, a cratera de Chicxulub. 2 Evento Cretáceo-Peleogeno que ocorreu devido a diversos impactos de corpos extra-terrestres na terra provocando a extinção em massa dos dinossauros.

10 4. REFERÊNCIAS OLIVEIRA, K.. Astronomia e Astrofísica. [S.l.]: Departamento de Astronomia - Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 8 de dezembro de 2003 ROCHE, E. La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol. 1 ( ) MOURÃO, R. Dicionário Enciclopédico de Astronomia e Astronáutica. Editora Lexicon, Ed. 1, São Paulo, 2008 VALADO, D., MC CLAIN,W. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Spring Editors, U.S., 2001