Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

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1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Torque 22/10/2014 1/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

2 Outline 1 Torque 2 Segunda lei de Newton para a Rotação 2/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

3 Cinemática de Rotação No estudo da rotação em torno de um eixo fixo, já vimos a cinemática: adireçãodomovimentosereduzàdeummovimentocircularde descrição era um ponto P numa seção transversal ao eixo de rotação, bastando descrever um ângulo. Translação Rotação em torno Unidimensional de eixo fixo v a T x dx dt dv dt d dt d dt 3/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

4 Dinâmica de Rotação Dinâmica: o que causa uma aceleração angular, o que faz com que um objeto parado passe a girar buscar o análogo da Força. Podemos definir Força através do Trabalho que ela realiza para deslocar o ponto de aplicação W F x por analogia teríamos W o Trabalho da Força para deslocar o ponto P para P é HAAB * W Fsen r comp F desl deslocamento 4/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

5 Torque W W Fsen r Torque ou Momento da Força O Fsen r Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas NÃO é Joule) O é o torque da força em relação ao ponto O. Ele muda se o ponto O mudar. 5/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

6 Torque O Torque pode ser visto de duas formas: Fsen r F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão Fr : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação (maçaneta da porta). 6/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

7 Vetor Torque O torque foi apresentado como sendo o análogo da força. Sabemos que Força é um vetor. Fsen r r F O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra da mão direita. 7/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

8 Torque Resultante Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque resultante será a soma vetorial de cada um deles: O F 1 d 1 F 2 d 2 8/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

9 Exemplo Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo F 1 5 N,R 1 1 m, F 2 15 N, R m. Em que sentido o cilindro gira? 9/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

10 Fn 8 scolhenoo A Fos Rs - R, N.m

11 Forças Centrais Um caso particular importante é o de forças centrais. Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O, teremos sempre F r Otorquedeforçascentraisemrelaçãoaocentroénulo Mas relação a O não será. 10/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

12 Torque da Força Gravitacional No caso da força Peso próximo à superfície da Terra, a aceleração da gravidade g é constante: m i r i g lembrando que m 1 r 1 m 2 r 2 R CM M. M R g. R M g CM CM OtorquedaforçaPesoemrelaçãoaumpontoO qualquer é o mesmo que se toda a massa do sistema estivesse concentrada no CM. Em particular, o Torque do Peso em relação ao CM é nulo! 11/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

13 Segunda lei de Newton para a Rotação Se aplicarmos uma Força F a um objeto de massa m, gerando uma rotação em torno de um eixo fixo, podemos considerar a sua componente tangencial ao círculo e escrever a relação linear: F T ma T o F T r ma T r o m r r mr 2., is, o I o Note que o torque (capacidade da força produzir rotação) depende do a. o momento de inércia do objeto, o que depende não só da massa, mas de como ela está distribuída em relação ao eixo. 12/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

14 Segunda lei de Newton para a Rotação egg Goffstown 13/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

15 Ex: Barra Girante Uma barra uniforme de comprimento L emassam está presa por um dos lados a um pivot sem atrito, e livre pra girar no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Qual a aceleração angular e linear de um ponto da sua extremidade livre? 14/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

16 Ex: Barra Girante Mg L 2 I I MgL 2 ML 2 3 3g 2L 3g a T L 2 Repare que a aceleração da ponta da barra é maior que g! 15/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

17 Ex: Pêndulo Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o fio faz um ângulo de 30 com a vertical. 17/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

18 - 6 ZT o t Zp mg l the Nn mg

19 Uma polia uniforme de raio R emassam é montade sobre um eixo horizontal sem atrito. Uma corda leve é enrolada em torno da polia e sustenta um bloco de massa m. Suponha M 2,5kg, mg 5N e R 0,2 m a) Obtenha a tensão na corda, a aceleração angular da polia e a aceleração linear do bloco b) Supondo que o disco partiu do repouso, calcule o trabalho do torque aplicado a ele em 2s c) Qual a energia cinética de rotação em t2s? d) Mostre literalmente que a conservação de energia mecânica é válida para o sistema. 18/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

20 - MI - T 27 Li de N - ton robe o blow : p T T pl a mg polio ma : TR I L I MRYZ Jmg TR MI a) mg ma 2 A 2mG/( mtzm ) A 2,85 misz & 14,3 mad/s2 tr L a LR 2 mtde T I 2mg 2 # T J t.tt e N 19/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46, " 2 tr ( Itu )

21 b) W Z Do 6 TR O w.tt } O g- 14, Xt 2 } x mad W 3, J z±w2 t W W + X K 12 ( lz mhdl ). I D / 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

22 ' - d) to U mgy Etz K 'zmv2+ Iw2 names esenewn if em fun gain das when dandies. v2 v? + Lay y I mgy 2 a my as 2 ( Mt 2m ) 4mg (m+2m 2mg - Mt In ) V W R k - it's my RE, mv2+±n ui(zn+d 21/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

23 Máquina de Atwood - Polia com massa Dois blocos de massa m 1 e m 2 são ligadas por uma corda leve que passa por duas polias idênticas de momento de inércia I eraior. Determine a aceleração dos blocos e a tensão em cada corda. 22/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

24 TZR - Th - m Dof - - Tz - Mig M2 Mi a g m< a Is - T, + m, g mz ) a - Ti R It Tz R - T } R I d T T -, R } R 2 It T, - 5 ( m, 2 I ( m - m< ) + mz ) mz ) a - a, (Mm M, + m 2 + 2I% 2 23/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

25 24/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

26 Barra girante Uma barra uniforme de comprimento L emassam está presa por um dos lados a um pivot sem atrito, e livre pra girar no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal. a) Determine sua velocidade angular quando sua posição estiver vertical. w b) Determine ap: velocidade do CM e da extremidade da barra nesta posição an I Tgh, Vat 3mg 25/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

27 26/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

28 Dois cilindros de massas m 1 e m 2 (diferentes) ligadas por uma corda leve que passa por uma polia de raio R emassam é solto do repouso. Determine a velocidade de m 2 após ele ter descido de uma altura h 27/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

29 .... Eats 0 Edupois - magltm.gltzt@ntmdv2t1iwi-rlr2v2.w 2 r2 m,... m ( mi - mz ) gh K o + } ( mit m. ) v2+ 21 MZI, 2 V 2 ( mi - mz. ) gh M, tmz th 28/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

30 Determine o torque resultante sobre a roda, em relação ao seu eixo, supondo a 10cm e b 25cm 29/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

31 30/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

32 (Hal 75) Dois blocos de massa M cada estão ligados por uma corda leve que passa por uma polia de raio R e momento de inércia I. Não se sabe se tem atrito ou não entre o bloco e a mesa. Quando o sistema é liberado a polia gira de um ângulo, num tempo t com aceleração angular constante. a) Qual a aceleração angular da polia? b) Qual a aceleração dos dois blocos? c) Quais as tensões na parte superior e inferior da corda? M tee eef M 31/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

33 - - I - T - I a cte 2 O : Nt Ts g Mg Ton m ( g Ma - M 21 R I R - t2 of R ) T T,. m, R I & Tz /R ( g- of r ) - I off 32/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

34 Uma régua de comprimento L, apoiada no chão verticalmente por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra extremidade quando bate no chão. R:v 3Lg 33/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

35 ' Pm eons. de energia K t I w U mg I 2 +g±j yews } 's is 3 of /q 34/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

36 (Hal 83) Um corpo rígido é composto por três hastes finas, idênticas de igual comprimento l, soldadas em forma de H.O corpo gira livremente em volta de um eixo horizontal que passa ao longo de uma das pernas do H.QuandooplanodeH é horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade angular do corpo quando o plano de H passa pela posição vertical? R: 3 2 g l 35/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

37 - - Ei 0 - Et mg 2 I my 0 It ql mg l + lz ' I w li mi + m + } ne2 w ' w ' of A e 36/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

38 (Hal 86) Uma casca esférica uniforme de massa M eraior, gira sobre um eixo vertical, sem atrito. Uma corda leve passa em volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa m, que pode cair livremente sob a ação da gravidade. A corda prende o corpo através de uma polia de momento de inércia I e raio r. Qual a velocidade do corpo depois de cair de uma altura h partindo do repouso. R: v 2 mgh M 3 I 2Rra. 2 m 2 37/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

39 Imasco mg h m RZ lze Ie w2 + lz Ip w2 + mg h zt MRZ mqh v2 ( re + y + I + Ir Ii. my) we v2 + at we vs 38/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

40 (Hal 95) Um bastão uniforme tem 1,5 kg de massa e 2,0m de comprimento, e I pino 2kg m 2. O bastão pode girar, sem atrito, em torno de um pino horizontal preso em uma de suas extremidades. Ele está em repouso fazendo um ângulo de 40 com a horizontal, quando inicia o movimento. a) Qual a aceleração angular do bastão nesse instante? R: 5 7 rad/s 2 b) Determine sua velocidade angular quando ele passa pela posição horizontal. R: 3 1 rad/s 50 39/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

41 8 Ix If mg I cos 40 I & & I g } cos mad /s2 mg mg h zt I w2 sen 40 at I ws W 3 mad /s / 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

42 (Hal 11-91)Uma polia de raio R 0 2 m está montada sobre um eixo horizontal sem atrito. Uma corda leve está enrolada em volta da polia e presa a um corpo de massa m 2 2 kg, que desliza sem atrito sobre uma superfície inclinada de um ângulo 20. O corpo desce com aceleração a 2 m/s 2.Determineo momento de inércia da polia em torno do eixo de rotação. R: I 0 052kg m 2 togaetas 41/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

43 -. a) 6 mg t - " a no T - m ( gmo T R I d I tai ta± m ( gmo Had 42/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

44 Considere dois discos que giram juntos e possuem momento de inércia total I. Dados m 1 e m 2, determine a aceleração angular do disco composto, supondo-se que ele partiu do repouso. i. 43/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

45 - T mzdriz t, ], m,a mig - Ts.@ a n gm< RzIL TRR - A, XR, As XRZ { T2 A, as RR z Ntn Mz T -, m mig, XR, T, mzgtmzxrzmnm2g@m.gr t.mn,g, Ri - & ( mi R, - m,xr?. It m mig? - mzgr It urgrz Ll Itm,R! tnarz ) - mz R, Ritmiri 44/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

46 44/ 46 (Torque) Física 1 22/10/ / 46

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