Valor Esperado. Situação-problema 24. Variância e Desvio Padrão. Situação-problema 24. Distribuição Normal. Estatística I. Estatística I

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Valor Esperado Estatística I Prof. a Renata Gonçalves Aguiar Consideramos a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente. E( x) np 1 Variância e Desvio Padrão Situação-problema 4 Usamos a variância e o desvio padrão para sintetizar a variabilidade nos valores da variável aleatória. Com base nos dados da atividade 3, faça o que se pede: Var( x) np(1 p) a. Calcule a média, o desvio padrão e comente os resultados. 3 4 Situação-problema 4 b. Agora suponha que sejam realizadas 1000 análises. Encontre novamente a média e o desvio padrão. Distribuição Normal c. Ao comparar os resultados obtidos nas letras a e b, o que podemos concluir? 5 6 Profa. Renata Gonçalves Aguiar 1

2 Distribuição Normal Distribuição Normal É um clássico da Estatística Qual o tipo de distribuição de probabilidade dos dados? Quais os parâmetros? 7 8 Distribuição Normal Distribuição Normal Esta é a mais importante distribuição de probabilidade para descrever uma variável aleatória contínua. A curva normal tem dois parâmetros, e, N (, ). Eles determinam a posição e a forma da distribuição Situação-problema 5 Suponha que sejam realizadas quatro coletas sobre o CO absorvido e liberado por uma área de floresta (t C ha -1 a -1 ) e os resultados se apresentem de acordo com a Figura. Quais conclusões podemos chegar? Figura 1 - Idade de uma populção. Fonte: researchgate.net 11 1 Profa. Renata Gonçalves Aguiar

3 Situação-problema 5 Função de Densidade Normal de Probabilidade f ( x ) 1 ( ) x e Figura - Dióxido de carbono absorvido e liberado em uma floresta. Fonte : leg.ufpr.br 3,14159 e, Características Gerais Características Gerais 1. A variável aleatória pode assumir qualquer valor real.. O gráfico da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média. 3. A área total sob a curva é Como a curva é simétrica em torno da média, os valores maiores e menores que a média ocorrem com igual probabilidade Características Gerais Características Gerais 5. O ponto mais alto na curva está na média, que também é a mediana e a moda da distribuição. 7. As probabilidades para a variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva. 6. O desvio padrão determina a largura da curva Profa. Renata Gonçalves Aguiar 3

4 Curva Normal 95,44% 99,7% Figura 3 -Distribuição normal do quociente de inteligência. Fonte: lookfordiagnosis.com 19 Figura 4 - Altura média dos brasileiros. Fonte: revistaepoca.globo.com Fonte: Costaet al. (005). 0 Curva Normal Situação-problema 6 A concentração de carbono orgânico total (COT) na água apresenta valor alerta de 10% (valor acima do qual representa possibilidade de causar prejuízos ao ambiente na área de disposição), de acordo com a Resolução Conama n. 344, de 5 de março de 004. Figura 5 - Altura média dos brasileiros e de outros países. Fonte: Fonte: Costaet institutoparacleto.org al. (005). 1 Situação-problema 6 Situação-problema 6 Suponha que o rio Madeira tenha distribuição N (8; 1,5). Qual a chance, de que em um dado dia, a concentração de COT exceda o valor de alerta? Aplicando a equação f ( x ) 1 ( x) e 3 4 Profa. Renata Gonçalves Aguiar 4

5 Distribuição Normal-Padrão Distribuição Normal-Padrão de Probabilidade Denomina-se distribuição normal-padrão a distribuição normal de média zero e desvio padrão Distribuição normal-padrão Cálculo das Probabilidades Fórmulas usadas para converter qualquer variável aleatória normal para a distribuição normal: z x z x x s Figura 6 - Curva normal padrão. Fonte : leg.ufpr.br 7 8 Cálculo das Probabilidades Retomando a S-P 6 Converte qualquer variável aleatória normal para a distribuição normal. Suponha que o rio Madeira tenha distribuição N (8; 1,5). Qual a chance, de que em um dado dia, a concentração de COT exceda o valor de alerta? 9 30 Profa. Renata Gonçalves Aguiar 5

6 Situação-Problema 7 Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 e desvio padrão de 15 pontos. a. Se você prestou esse vestibular e obteve 80 pontos, qual é a sua posição relativa, em unidades de desvio padrão, com relação à média de notas? 31 Situação-Problema 7 b. Qual a probabilidade de um candidato ter obtido nota acima de 55 pontos? c. Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a um desvio padrão acima da média, qual é a nota mínima de aprovação na escala original dos dados? 3 Situação-Problema 8 Dado que z é uma variável aleatória normal-padrão, calcule as seguintes probabilidades. a. P(0 z 1). b. P(-1 z 1). c. de ocorrer valor menor do que z 0,50. Despertando a Arte e a Cultura Despertando Convite de Suma Importância Sexto Plantio na UNIR de Ji-Paraná no dia Ji-Paraná - 05 a 10 de novembro 35 Conversem com o Professor Profa. Renata Gonçalves Aguiar 6

7 Lista 4 Disponível para o Aula no Laboratório de Estatística 1 Dias 05 e Trazer notebook deleite de todos. Ativar a Análise Instalar o BioEstat de Dados Trazer os dados do trabalho Fonte: odontoshopbutanta 37 Publicarei o arquivo da aula prática no dia até às 16 h 38 Correlação Linear Correlação e Regressão Para se medir o grau de correlação entre duas variáveis usa-se o coeficiente de correlação (r), que varia de -1 a +1. Importante construir um diagrama de dispersão = (0,778 ± 0,008)x + (5,187 ± 1,965) r = 0,88 Figura 7 - Correlação linear entre as médias em estatura da população da cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (014). 41 Figura 8 Correlação linear entre a mortalidade em menores de cinco anos (MC5) e a cobertura por sistemas de esgotamento sanitário (ICE). Fonte: Teixeira e Pungirum (005). 4 Profa. Renata Gonçalves Aguiar 7

8 Correlação Linear Correlação Linear O coeficiente de correlação é dado por: Coeficiente de correlação de Pearson r xy xy Coeficiente de correlação n x y x y n n 43 n é o números de pares (x, y) 44 r = 0,95 = (0,778 ± 0,008)x + (5,187 ± 1,965) r = 0,88 r = 0,70 Figura 7 - Correlação linear entre as médias em estatura da população da cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (014). 45 Figura 8 Correlação linear entre a mortalidade em menores de cinco anos (MC5) e a cobertura por sistemas de esgotamento sanitário (ICE). Fonte: Teixeira e Pungirum (005). 46 Correlação Linear Correlação Linear Tabela 1 Avaliação qualitativa de r quanto à intensidade Cuidado: causa-e-efeito. r A correlação é dita 0 Nula 0,1 0,3 Fraca 0,3 0,6 Regular 0,6 0,9 Forte 0,9 1,0 Muito forte 1,0 Plena ou perfeita Profa. Renata Gonçalves Aguiar 8

9 Situação-Problema 9 Situação-Problema 9 O departamento de saúde de uma grande cidade do Sudeste desenvolveu um índice de poluição do ar que mede o nível de vários poluentes do ar que causam doenças respiratórias nos seres humanos. A Tabela fornece o índice de poluição (em uma escala de 1 a 10, onde 10 corresponde ao nível mais elevado de poluentes) correspondente a dez dias do mês de agosto, selecionados aleatoriamente, bem como o número de pacientes com problema respiratório agudo que deram entrada na sala de emergência dos hospitais da cidade Situação-Problema 9 Tabela Índice de poluição do ar e o número de pacientes que deram entrada na emergência com problema respiratório agudo Poluição do ar 4,5 6,7 8, 5,0 4,6 6,1 7,7 8,1 5,8 3,0 Atendimentos O estudo da regressão aplica-se àquelas situações em que há razões para supor uma relação de causa-efeito entre duas variáveis quantitativas e se Construa um diagrama de dispersão e encontre o coeficiente de correlação. deseja expressar matematicamente essa relação Causa Expressar por fórmula Geralmente denomina-se a variável dependente (ou variável resposta) de y e a independente (fator) de x. Efeito Profa. Renata Gonçalves Aguiar 9

10 Resposta As expressões a seguir têm todas basicamente o mesmo significado: Fator a) y depende de x (linguagem coloquial); b) y é função de x (linguagem matemática); Figura 8 - Variabilidade da precipitação e da umidade relativa do ar no ano de 004 em uma área de pastagem a 15 km de Ouro Preto. Fonte: Programa LBA c) existe regressão de y sobre x (linguagem estatística). 56 A equação da reta é dada por Y = A + Bx. Equação da reta Equação da reta Assim, a reta estimada de regressão é: yˆ a bx Utilidades da Reta de Regressão xy xy n x x n b a Equação da reta y bx 1. Permite representar a dependência de uma variável quantitativa em relação à outra por meio de uma equação simples. n é o números de pares (x, y) Profa. Renata Gonçalves Aguiar 10

11 Utilidades da Reta de Regressão Coeficiente de Determinação. Permite prever valores para a variável Informa que fração da variabilidade de uma dependente de acordo com valores determinados característica é explicada estatisticamente pela (inclusive não-observados) da variável outra variável. independente. Cuidado com a extrapolação! É expresso pelo quadrado do coeficiente de correlação, r = (0,778 ± 0,008)x + (5,187 ± 1,965) r = 0,88 Figura 9 - Regressão linear simples entre as médias em estatura da população da cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (014). 63 Figura 10 Regressão linear simples entre a mortalidade em menores de cinco anos (MC5) e a cobertura por sistemas de esgotamento sanitário (ICE). Fonte: Teixeira e Pungirum (005). 64 Situação-Problema 30 Situação-Problema 30 Com base nos dados da atividade 9, faça o que se pede. a. Desenvolva uma equação de regressão estimada para esses dados. c. Ache a melhor predição para o número de pacientes a dar entrada no hospital com problema respiratório agudo quando o índice de poluição do ar for 9. b. Encontre o coeficiente de determinação Profa. Renata Gonçalves Aguiar 11

12 Situação-Problema 30 Importantíssimo d. Qual é a vantagem de ser capaz de determinar o número de pacientes a dar entrada no hospital com problema respiratório agudo a partir do índice de poluição do ar? Para realizar uma correlação e/ou uma regressão precisam ser atendidos alguns pressupostos que serão estudados em Estatística II Referências Referências AGUIAR, R. G. Balanço de Energia em Ecossistema Amazônico por Modelo de Regressão Robusta com Bootstrap e Validação Cruzada. 85 f. Tese (Doutorado em Física Ambiental) Instituto de Física, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 013. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à Administração e Economia.. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 003. BARBETTA, P. A. Estatística aplicada às Ciências Sociais. 5. ed. Florianópolis: Ed. da UFSC, BUSSAB, W. O.; MORRETIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 003. COSTA, S. F. Introdução ilustrada à Estatística. 4. ed. São Paulo: Harbra, 005. CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Estatística aplicada: Economia, Administração e Contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, Referências MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 009. Referências SPIEGEL, M. R. Estatística: resumo da teoria, 975 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, PINHEIRO, A. C. C.; J. M. N.; VARGAS, D. M. Tendência secular de crescimento em estatura no município de Florianópolis (SC), Brasil, e sua associação com o índice de desenvolvimento humano (IDH). Ciência & Saúde Coletiva, v. 19, n. 1, p. 7-33, 014. TEIXEIRA, J. C.; PUNGIRUM, M. E. M. C. Análise da associação entre saneamento e saúde nos países da América Latina e do Caribe, empregando dados secundários do banco de dados da Organização Pan-Americana de Saúde OPAS. Revista Brasileira de Epidemiologia, v. 8, n. 4, p , 005. Programa de Grande Escala da Biosfera-Atmosfera na Amazônia LBA. 71 TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, Profa. Renata Gonçalves Aguiar 1