Estudo Comparativo do Desempenho de Gráficos X -R, X -S e T 2 Economicamente Planejados para Processos Não Regenerativos

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1 Estudo Comparativo do Desempenho de Gráficos, S e T Economicamente Planejados para Processos Não egenerativos Linda Lee Ho (USP) lindalee@usp.br Osiris Turnes (UnB) osiris@unb.br esumo Para um controle simultâneo da média e da variabilidade do processo podem ser utilizados os gráficos de controle, S ou T. Neste trabalho, um estudo comparando o desempenho destes gráficos economicamente planejados foi efetuado utilizando como medida de desempenho os ALs. Os resultados apontam que os gráficos de controle T apresentam o melhor desempenho quando ocorrem desvios nos dois parâmetros simultaneamente. Palavras chave: Planejamento Econômico de Gráficos de Controle, Gráficos, Gráficos S, Gráficos T.. Introdução De um modo geral, nos processos produtivos em que a característica de interesse é uma variável contínua, tanto a média do processo como o desvio padrão são monitorados a partir de gráficos de controle. Para isto, utilizam, geralmente, gráficos de controle simultaneamente com os gráficos de controle ou S. Muitos autores têm se ocupado de diversos tipos de planejamento de gráficos de controle e suas aplicações, como é o caso de Baker () que aborda exclusivamente o planejamento econômico de gráficos de controle. Baker desenvolveu dois modelos semieconômicos para o planejamento desse tipo de gráficos de controle. Em seu artigo considera o tempo em que o processo se mantém sob controle como uma variável aleatória discreta com distribuição Geométrica. Duncan () e Knappenberger & Grandage () determinaram planejamentos ótimos para gráficos, quando o processo está sujeito a algumas causas específicas de variação. Ladani e seus colaboradores (, 5 e ) desenvolveram modelos econômicos para gráficosp com o objetivo de controlar processos de produção de curta duração. Del Castillo e Montgomery () estenderam os resultados de Ladany et al. () para gráficos. A maior parte dos modelos citados se ocupam do planejamento econômico para gráficos. Entre os modelos que tratam do controle simultâneo da média e da variabilidade do processo podese citar o trabalho de Saniga () que desenvolveu um modelo de custo esperado em que a média do processo é controlada por um gráfico e a variabilidade do processo por um gráfico. Uma extensão dos modelos de Baker () para o planejamento econômico de gráficos de controle simultâneo foi feita por Turnes, Ho e Imaña (). Collani () apresentou um gráfico de controle padrão, utilizando a estatística T para controlar dois parâmetros: a média e a variabilidade do processo. Segundo Collani, tal gráfico univariado teve como orientação os gráficos de controle de Shewhart, conforme sugere o Padrão ISO 5. O desenvolvimento desse modelo de planejamento econômico para gráficos de controle tem como base o trabalho do próprio Collani (), leva em conta os parâmetros econômicos relevantes e reduz o número de parâmetros de entrada na composição da função custo esperado. ENEGEP ABEPO

2 O presente artigo compara o desempenho dos seguintes gráficos de controle planejados economicamente:, S e T, usados para controlar simultaneamente a média e a variabilidade do processo. Os parâmetros de tais planos ótimos são calculados empregando a função objetivo desenvolvida por Baker () para processo nãoregenerativos. Na seção os gráficos de controle univariados e bivariados são descritos. A função objetivo proposta por Baker () é revista na seção. Exemplos numéricos são apresentados na seção. Conclusões e sugestões para pesquisas futuras estão na seção 5.. Gráficos de Controle para o Controle Simultâneo da Média e da Variabilidade do Processo Quando se realiza o controle simultâneo da média e do desvio padrão de um processo, a primeira idéia que ocorre é a de usar dois gráficos de controle: um para controlar a média e outro para controlar a variabilidade do processo. O par de gráficos mais comumente utilizado com esse propósito é o chamado gráfico (Saniga, ). Além do gráfico de controle, podese utilizar o gráfico S para monitorar a variabilidade do processo. Para esse propósito, a procura por uma causa especial será deflagrada quando um ponto for registrado fora dos limites do gráfico e/ou dos limites do gráfico ou gráfico S. O planejamento econômico ótimo para esses gráficos seleciona o tamanho da amostra (n), o intervalo interamostral (h) e dois coeficientes dos limites de controle k (para o gráfico ) e * k ou k (para os gráficos e S, respectivamente). Os limites para o gráfico são os seguintes: UCL LCL σ = µ + k σ = µ k onde µ e σ representam, respectivamente, a média e o desvio padrão quando o processo está sob controle. O limite superior de controle para o gráfico é UCL = k σ. O limite inferior desse gráfico é fixado em (zero), uma vez que somente valores positivos são considerados na variabilidade do processo. De maneira análoga o limite superior do gráfico S * é ULC S = kσ e o limite inferior também é fixado em (zero). Além disso, e ( ou S ) são estatisticamente independentes, uma vez que a suposição de que a característica de qualidade segue uma distribuição normal é verdadeira. Assim, as probabilidades de ocorrer um alarme falso nos gráficos e S são respectivamente dadas por: () e () α α ( ) = α + α α α ( S ) S S = α + α * com α = [ Φ( k)] ; α ( k ) = F W ; α = G[( n ) * k, n ], Φ( ) é a função S F representa a função distribuição de W = σ que foi distribuição normal padronizada; ( ) W α α n n ENEGEP ABEPO

3 tabelada por Pearson () e Hartley () para n e G(y,c) é a distribuição χ centralizada, com c graus de liberdade. As probabilidades de um sinal de alarme são: () e β = ( β ) + ( β ) ( β ) ( β ) = β β = ( β ) + ( β ) ( β ) ( β ) = β β S S S S () respectivamente para os gráficos e S, com * n k Φ n k k = Φ β + ; β = F W ; β ( n ) k = G,( n ) S. Uma outra abordagem foi apresentada por Collani () fazendo uso de um gráfico que se baseia em uma estatística única T (,..., ) n = n n i = β para n =, i µ. para n σ A procura de uma causa especial será deflagrada quando T k, k é o limite de controle. Quando o processo está sob controle, isto é, N (µ,σ ), sabese que nt segue uma distribuição χ centrada com n graus de liberdade. Quando o processo está fora de controle, [isto é N (µ σ, σ ) ou N (µ + σ, σ ) ; ; e (, ) (,)], nt é uma distribuição χ nãocentrada com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade n. Sob essas condições a probabilidade de ocorrer um alarme falso é α = P( T > k µ = µ, σ = σ ) = G( nk, n) T (5) onde G(y,n) representa a distribuição χ centrada com n graus de liberdade. A probabilidade de um sinal de alarme é dada por nk n β = G, n, () T onde G(y,n,υ) é a função distribuição de uma χ nãocentrada, com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade υ. Aqui, β = β + β e β = β, com + + e ( n,k) = P( T k µ = µ + σ σ ) β = + ; σ (,k) = P( T k µ = µ σ σ ) β n =. ; σ ENEGEP ABEPO

4 . Modelo de Baker e a Função Custo Esperado Esse modelo supõe um processo produtivo em tempo discreto, com uma única característica de qualidade normalmente distribuída. A duração discreta do tempo em que o processo se mantém sob controle é representada por T. O processo se inicia no estado sob controle com a média a um nível esperado µ e com a variabilidade dada pelo desvio padrão de, σ. A ocorrência de uma causa especial desvia a média do processo para µ = µ + σ. O procedimento de controle detecta esse desvio algum tempo depois, e uma ação corretiva é então implementada, sendo o processo restaurado. O ciclo, então, se repete. Para processos não regenerativos, no modelo de Baker, supõese que a duração de tempo T em que o processo se mantém sob controle segue uma distribuição geométrica, ou seja, p t =π(π) t, t=,,., onde π é a probabilidade de ocorrência de um desvio. Esta probabilidade não muda no tempo. A duração esperada do tempo que o processo se mantém sob controle é, portanto, dada por E(T)=θ = (π)/π. Sob essas condições, o custo médio por unidade de tempo de operação, proposto por Baker () é dado por a β π + β α π + π = + [( ) ( ) ( )] a an () ( β )( π ) + π onde a é o custo de amostragem de um item; a é o custo de interromper o processo e procurar por uma causa especial e a é o custo de operar fora de controle por uma unidade de tempo.. Exemplos Numéricos Com propósitos ilustrativos, foram calculados planos ótimos para o modelo selecionado com respeito aos gráficos ( ); ( S ) e T. Para tanto foi usado o seguinte conjunto restrito de parâmetros de entrada: Duração esperada do tempo em que o processo opera sob controle: θ = e 5; Vetores de valores dos desvios da média e do desvio padrão do processo: = ; onde é o desvio na média do processo e é o desvio na variância do processo; Custo por unidade amostrada: a =.,.5 e.; C =(a /a ) =.;.5 e.; C =(a /a ) = e ; Custo de interrupção do processo e procura por uma causa especial: a =. As determinações do tamanho da amostra e dos coeficientes dos limites de controle foram obtidas por busca direta. Também foram calculados os valores AL =/α, AL =/(β) e do custo esperado mínimo. Para valores altos de θ, naturalmente π θ. A procura do tamanho ótimo da amostra nos gráficos teve uma restrição visto que as tabelas de Pearson e Hartley foram obtidas apenas tamanhos de amostras no intervalo n. Assim sendo, os planos para os gráficos não foram calculados para tamanhos de amostra superiores a. Para tornar comparáveis os diferentes gráficos de controle, a procura do tamanho ótima de amostra teve início a partir de tamanho de amostra dois nos outros gráficos de controle. As Tabelas a mostram os resultados obtidos quando θ =; =, e = ENEGEP ABEPO

5 ,;, e θ =5; =, e,5; =,;, e,. A análise dessas tabelas permite fazer algumas observações: Quando ambos os parâmetros dos desvios mudam de valor (ou seja, > e >) ou quando apenas a variabilidade do processo se desvia (isto é, = e > ), os tamanhos de amostras exigidos para os diferentes tipos de gráficos são semelhantes. O gráfico univariado T apresenta os menores valores médios de custo total, bem como, valores mais altos de AL para θ =. Já para θ =5, o gráfico apresenta os menores valores médios do custo ótimo, e o gráfico T valores mais altos de AL. Além disso, quando somente a média do processo se desvia (ou seja, > e = ), o tamanho da amostra depende do valor de : para pequenos desvios o gráfico univariado T exige tamanhos de amostras menores do que os outros dois tipos de gráficos, mas para desvios grandes exige amostras maiores. Observase que o gráfico T apresenta maiores custos médios totais e menores valores de AL do que nos outros dois tipos de gráficos em ambos os casos. Em qualquer caso, o desempenho dos gráficos e S é bastante semelhante (tamanhos de amostra, custos médios e AL s). 5.Conclusões e Discussão O presente estudo, embora restrito a poucos valores do tempo em que o processo se mantém sob controle permite concluir que a utilização gráfico univariado T deve ser considerada, como uma alternativa, quando o objetivo for controlar simultaneamente a média e o desvio padrão de um processo, uma vez que esse gráfico geralmente apresenta planos com melhor desempenho do que os encontrados para e S. Para valores maiores de θ, o desempenho do gráfico T mantémse melhor, em detrimento do custo. Em vista disso, sugerese um estudo detalhado da relação custo/benefício entre os planos obtidos com os três tipos de gráficos considerados no presente trabalho, bem como estender a pesquisa para diferentes valores de θ. eferências BAKE, K.. () Two process models in the economic design of an chart. AIIE Transactions, Vol., n., p.5. v. COLLANI E. () Control of production processes subject to random shocks. Annals of Operations esearch. Vol., p.. v. COLLANI E. () Determination of the economic design of control charts in: Optimization in Quality Control, eds. K.S. AlSultan and M. A. ahim, Kluver Academic, Boston. DEL CASTILLO, E.; MONTGOMEY, D.C. () Optimal design of control charts for monitoring short production runs. Economic Quality Control. Vol., p. 5. DUNCAN, A.J. (5) The economic design of charts used to maintain current control of a process. J. Am. Stat. Assoc., Vol.5, p.. HATLEY, H.O. () The Probability Integral of the ange in Samples of N Observations from a Normal Population: Numerical Evaluation of the Probability Integral, Biometrika, Vol., p.. KNAPPENBEGE, H. A.; GANDAGE, A. H. E. () Minimum cost quality control tests. AIIE Transactions, Vol., n., p.. LADANY, S.P. () Optimal use of control charts for controlling current production. Management Science, Vol., n., p.. ENEGEP ABEPO

6 LADANY, S.P.; ALPEOVITCH, Y. (5) An optimal setup policy for control charts. Omega, Vol., p.. LADANY, S.P.; BEDI, D.N. () Selection of the optimal setup policy. Naval esearch Logistics Quarterly, Vol., p.. PEASON, E.S. () The Probability Integral of the ange in Samples of N Observations from a Normal Population: Foreword and Tables, Biometrika, Vol., p.. SANIGA, E. M. () Economic Statistical Control Chart Designs with an Application to and Charts. Technometrics, Vol., n., p.. TUNES, O.; HO, L.L. E IMANA, C. () Comparison of Semi Economic and control charts for non ageing and ageing process. Economic Quality Control, Vol., n., p.. TABELAS θ=; =. C =. C =.5 C =. S T S T S T C =. n 5 k k Arl Arl n k k Arl Arl C =. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl * * Tabelas Planos ótimos para os três tipos de gráficos, sem mudança na média do processo...5. ENEGEP ABEPO

7 θ=5; =, C =. C =.5 C =. S T S T S T C = C =. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl ,.., 5.5,5.., 5,5,5.., 5,5, ,.5,..,,5,.., 5,5 5,.., 5, 5, ,5...,,55,..,,5,.5.,,5, Tabela Planos ótimos para os três tipos de gráficos, sem mudança na média do processo. ENEGEP ABEPO

8 θ = 5; =,5 C =. C =.5 C =. S T S T S T C = C =. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl. n k k Arl Arl *,,5,..5, 5,5,.5.,5 5,5, 5.. *,5,5 5,5..5 *, 5,5, 5..5,5 5,5, ,5,5,..,,5,.., 5,,.. *,5,5,5..5 5, 5,5,.., 5, 5, ,,5,.5.,,5,..,,55,.. *,5,5,5..5,,5, 5.5.,,5, Tabela Planos ótimos para os três tipos de gráficos, com mudança na média do processo. ENEGEP ABEPO