CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO: ABORDAGEM MULTIVARIADA PARA MEDIDAS INDIVIDUAIS

Transcrição

1 CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO: ABORDAGEM MULTIVARIADA PARA MEDIDAS INDIVIDUAIS Liane Werner Departamento de Estatística / UFRGS Av. Bento Gonçalves, Porto Alegre -RS WERNER@MAT.UFRGS.BR Abstract The Statistical Process Control has been based on univariate analysis, however this aprroach creates the necessity of simultaneously handling many variables. The multivariate approach will be applied to monitore the process with less time and human resources. This article focuses on the most know multivariate control chart: the one that uses the Hotteling T statistic. The chart s individual measures and their utilization will be shown. After that, the decomposition of the T statistic will be presented to show the variable responsible in case the process is out of statistical control. To help its comprehension this procedure will be detailed through another example. Key Words: Statistical Process Control, Multivariate Control charts, Hotelling s T. 1. Introdução Neste tempo de globalização, o Controle Estatístico do Processo faz uso de técnicas para alcançar a melhoria contínua da qualidade, bem como aumentar a produtividade. Para atingir essas metas, o desempenho do processo é monitorado ao longo do tempo detectando eventuais ocorrências não corriqueiras no processo. Comumente nas indústrias, o Controle Estatístico do Processo é utilizado tanto para monitorar as muitas variáveis que controlam o desempenho do processo, como para verificar as múltiplas características de qualidade do produto. Esse monitoramento é realizado usando gráficos de controle univariados. Sendo assim, a quantidade de informação gerada é grande e de difícil administração. Visando atenuar a situação onde é necessário controlar vários fatores do processo e várias características do produto, uma maior atenção voltou-se para o desenvolvimento de um gráfico que combina-se todas essas características em um único gráfico, o gráfico multivariado.. O Gráfico de Controle Multivariado T Segundo Montgomery (1995, em muitas situações é preciso controlar mais que uma característica de qualidade. Em uma peça manufatura temos que controlar, por exemplo, o diâmetro interno e o diâmetro externo. Para solucionar este problema podemos utilizar dois gráficos de controle independentes para monitorar cada uma das

2 características, isto é, monitorar X 1 (diâmetro interno e X (diâmetro externo. Isso eqüivale a definir uma região retangular de controle conforme a figura 1. LSC x 1 Região de Controle LIC LIC x Figura 1 - Região de Controle usando limites de independentes para as médias das variáveis X 1 e X. Contudo, isso pode levar a conclusões erradas do tipo: a probabilidade que ambas as variáveis excedam simultaneamente seus limites de controle quando o processo está sob controle é (0,007(0,007 0, que é muito menor que 0,007 ou ainda que a probabilidade de que ambas apareçam sob controle simultaneamente quando os processos estão sob controle é (0,9973(0,9973 0,9946 que é diferente de 0,9973. Essas distorções aumentam na medida que cresce o número de variáveis a serem controladas. Para superar esses problemas podemos usar a estatística T proposta por Hotelling (1947 que aplicou sua técnica de controle multivariado pela primeira em dados de bombas na segunda grande guerra. LSC. O Gráfico de Controle Multivariado T utilizando Medidas Individuais Em muitas situações, não é possível obter amostras de tamanho maior que um. Isto pode ocorrer em laboratórios químicos ou então quando a taxa de produção é muito baixa. Considerando o caso onde p características são medidas simultaneamente e existe a necessidade de controle. Assume-se que essas p características seguem uma distribuição normal multivariada com vetor de médias µ (µ 1, µ,..., µ p e matriz de covariância Σ, onde µ i é a média da i-ésima característica e Σ é uma matriz p x p que contém as variâncias e as covariâncias das p características. Podemos estimar com m observações a média µ por X e Σ por S, onde X é o vetor que contém as médias amostrais das p características e S é a matriz de covariâncias amostrais para as p características. Ao construir o gráfico multivariado usando a estatística T para as observações X i, plota-se a estatística:

3 , 1 ( ( Qi Xi X S Xi X (1 A distribuição da equação dada em (1 não é amplamente conhecida, mas algumas aproximações já foram propostas. Segundo Tracy, Young & Mason (199 temos como limites de controle para as m observações e as p características: ( / ( 1 m 1 LIC m 1 ( p m p F ( α ; p; m 1+ 1 ( / ( 1 m 1 LSC m ( p / ( m p F ( 1 α ; p; m ( p m p F ( α ; p; m 1+ 1 ( p / ( m p F ( α ; p; m ( (3 O exemplo que segue foi apresentado por Tracy, Young & Mason (199. Em um processo químico tem-se três variáveis: X 1 : a porcentagem de impurezas, X : a temperatura e X 3 : a concentração de uma certa substância. A amostra com 14 observações (medidas individuais para as três variáveis e o resultado da estatística Q i seguem na tabela 1. Dos dados da tabela 1 obteve-se as estatísticas para estimar o vetor µ e a matriz Σ: 16, 83 X 85, 19 43, 1 0, 365 0, 0 0, 100 e S 0, 0 1, 036 0, 45 0, 100 0, 45 0, 4 Observação % impurezas temperatura concentração Qi 1 14,9 85,77 4,6 10,93 16,90 83,77 43,44, ,38 84,46 4,74 5, ,90 86,7 43,60 3, ,9 85,3 43,18, ,71 83,81 43,7,5 7 17,07 86, , ,93 85,85 43,41 1,1 9 16,71 85,73 43,8 0, ,88 86,7 4,59, ,73 83,46 44,00 4, ,07 85,81 4,78 1, ,60 85,9 43,11, ,90 84,3 43,48 0,90

4 Tabela 1 - Dados químicos e a estatística Q i Utilizando as equações ( e (3 com α 0,01, obteve-se os limites de controle: (( 3 / , 09 ( /, ( 14 1 ( LIC 14 + ( ( (( 3 / , 081 ( /, ( 14 1 ( LSC 14 + ( ( ,08 8,55 A figura mostra o gráfico de controle multivariado para o exemplo químico. As observações 1 e 5 estão fora de controle e foram examinadas individualmente para se determinar a possível causa especial. Como na observação 1 encontrou-se um nível muito baixo de impurezas essa observação foi retirada. Nada encontrou-se para justificar a retirada da observação 5 e ela foi mantida. Após o recalculo dos limites o processo foi monitorado LSC8,55 Qi 6 4 LIC0, número da observação Figura - Gráfico de controle multivariado para medidas individuais 3.Decomposição da Estatística T Seja X i (X i1, X i,..., X ip o vetor p-dimensional da medidas individuais processadas no período i. O valor X ij representa uma observação da j-ésima característica. A decomposição da estatística T para p variáveis proposta por Mason, Tracy & Young (1995 é dada pela seguinte expressão: T T1 + T.1 + T., + T,, T p.,..., p (4

5 sendo que: T 1 é a estatística T da primeira variável, que é o quadrado da variável reduzida para a estatística t univariada da variável inicial, ou seja: ( X i X T1 1 1 (5 si e as demais componentes da decomposição são dadas por: T p. 1,..., X X ip p. 1,..., s p. 1,..., (6 onde: ( ( X p. 1,..., X p + b p X i X, X p é a média amostral das m observações das p variáveis, bp S 1 S XX s XX sxx xx para S, sxx s x ( X i é o vetor das medidas individuais no período i, excluindo a variável p. ( X é o vetor das médias amostrais das m observações para as primeiras (p-1 variáveis., 1 S p. 1,..., sx sxx S XX sxx. (7 O exemplo que segue foi apresentado por Mason, Tracy & Young (1995. Em um processo químico que converte um composto químico em soda caustica e gás de cloro. Três variáveis comumente monitoram o desempenho do eletroliser que faz a conversão, são elas: X 1 : a porcentagem de impurezas, X : a taxa de soda caustica e X 3 : a medida de eficiência da conversão. Dados históricos desse processo com amostras de tamanho 16 de onde obtemos o vetor de médias amostrais e a matriz de covariâncias: 5, 700 X 17, , 660 0, 070 0, 086 0, 35 e S 0, ,, 600 0, 35, , 115 Uma nova observação é tomada do processo e dada por:x ( 5,687; 18,508; 17,410. Usando a equação (1, o valor da estatística T associada a nova observação é de 1,595. Através da equação (4 decompomos a estatística em três componentes: T T1 + T.1 + T31., Aplicando a equação (5 obtemos a primeira componente, T 1 :

6 T 1 ( 5, 687 5, 7 0, 070 0,00 Aplicando a equação (6 obtemos as componentes T.1,T31.,. Para obter T.1 precisar encontrar valores para ( 1 respectivamente. X p. 1 e S. 1, conforme as equações (6 e (7, ( 1 X p. 1 17,889-1,4(5,687-5,700 17,905 e S. 1 1,108-(-0,086(0,070-1 (-0,086 1,00 Assim, T.1 ( 15, , 905 1, 00 0,363 Para obter T 31., precisar encontrar valores para ( X p 1 31., e S 31.,. ( 1 X p 31., 16,66 +,, 369 5, 687 5, 700, , , ,90 e S 31., 10,115 -, 1 0, 35 0, 070 0, 086 0, 35, 600 0, ,, 600 3,658 assim, T 31 ( 17, , 90., 3, 658 1,30 Somando as três componentes, confirmamos a decomposição dada na equação (4: Interpretação: T 0,00+0,363+1,30 1,595 A razão pela qual decompõem-se a estatística T é para detectar qual a variável responsável pelo descontrole estatístico do processo. Segundo Tracy, Young & Mason (199 a distribuição exata da estatística particionada é a seguinte: n + 1 Tj + 11.,..., j n F ( 1, n 1 (8 Então, através da comparação de cada termo da equação (4 com o valor tabelado da distribuição F com 1 e (n-1 graus de liberdade verificamos quais os termos que são

7 significativos. As diferenças significativas informam qual é a variável responsável pelo descontrole. 4. Conclusões Ao utilizar um gráfico de controle multivariado em detrimento de vários gráficos de controle univariados, já temos ganhos tanto no tempo de monitoramento quanto nos recursos humanos para gerir esse monitoramento. Em adição a isso, existem situações onde o processo tem restrições ao tamanho de amostra, o gráfico de controle multivariado T para medidas individuais mostra-se uma alternativa para monitorar várias variáveis simultaneamente. Complementarmente, para descobrir qual a variável que está causando o descontrole do processo podemos gerar um algoritmo que realiza o procedimento de decomposição da estatística T. Assim, rapidamente podemos conhecer a variável responsável pelo descontrole sem que custos adicionais em controle sejam necessários. 5. Referências Bibliográficas 1. FUCHS, C. & BENJAMINI, Y. Multivariate Profile Charts for Statistical Process Control. Technometrics, vol.36, n., May, 1994, p KOURTI T.& MacGREGOR, J. Multivariate SPC Methods for Process and Product Monitoring. Journal of Quality Technology, vol. 8, n.4, October, 1996 p MASON, R., TRACY, N. & YOUNG, J. Decomposition of T for Multivariate Control Chart Interpretation. Journal of Quality Technology, vol.7, n., April, 1995, p MONTGOMERY, D. Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, New York, TRACY, N., YOUNG, J. & MASON, R. Multivariate Control Charts for Individual Observations. Journal of Quality Technology, vol. 4, n., April, 199, p