UM MODELO DE REGRESSÃO LINEAR PARA OBTENÇÃO DO LIMITE DE CONTROLE DO GRÁFICO DE Z

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1 UM MODELO DE REGRESSÃO LINEAR PARA OBTENÇÃO DO LIMITE DE CONTROLE DO GRÁFICO DE Z Roberto Campos Leoni (UNESP/AEDB ) rcleoni@yahoo.com.br Marcela Aparecida Guerreiro Machado (UNESP ) marcelagmachado@yahoo.com.br Antonio Fernando Branco Costa (UNESP ) fbranco@feg.unesp.br Para o monitoramento de duas características de qualidade mensuráveis X e Y são necessários dois gráficos de Shewhart ou um gráfico de Z cuja estatística de monitoramento é o módulo do valor padronizado de X ou o módulo do valor padronizadoo de Y, dependendo de qual deles seja o maior. Quando existe correlação entre observações de X e Y e há dependência no tempo entre observações de X e também entre observações de Y e esta estrutura de correlação e autocorrelação é de um modelo VAR(1), é possível, para uma determinada taxa de alarmes falsos, relacionar o limite de controle do gráfico de Z com as variâncias e covariâncias da matriz de covariância cruzada. Este artigo propõe um modelo de regressão linear para determinação do limite de controle do gráfico de Z. O método encontrado na literatura para a obtenção do limite de controle do gráfico de Z é inferior ao modelo de regressão linear proposto neste artigo; ele é mais complicado e não garante a taxa de alarmes falsos desejada. Palavras-chaves: gráfico de controle de Z; regressão linear; modelo VAR(1); autocorrelação

2 1. Introdução O controle estatístico de processos auxilia gestores a compreender, monitorar e melhorar continuamente a qualidade de produtos e serviços. Na década de 30, Shewhart (1931) criou os gráficos de controle para monitorar processos e, ainda naquela época, reconheceu a necessidade de monitorar processos considerando o controle multivariado. Os gráficos de controle tradicionais assumem por hipótese independência entre as observações da variável que se deseja monitorar. Porém, altas velocidades de produção geram correlação entre as características de qualidade e dependência entre as observações de uma mesma característica de qualidade de produtos vizinhos segundo o instante de fabricação (KIM et al., 2010). Alguns trabalhos foram conduzidos no sentido de avaliar o desempenho dos gráficos de controle multivariados na presença de autocorrelação, concluindo-se que há uma queda no desempenho destes gráficos (KALGONDA e KULKARNI, 2004; JARRETT e PAN, 2007; ARKAT et al., 2007; ISSAM e MOHAMAD, 2008). O monitoramento de processos multivariados cujas observações são autocorrelacionadas aparece em publicações recentes. Mastrangelo e Forrest (2002) disponibilizaram um programa para gerar dados autocorrelacionados onde é possível simular deslocamento no valor da média da variável sob monitoramento. Pan e Jarrett (2007) e Jarrett e Pan (2007) propuseram o uso de resíduos do modelo VAR(p) para monitorar processos autocorrelacionados. A técnica requer o ajuste do modelo aos dados do processo para posterior uso dos resíduos no gráfico de T 2. Arkat et al. (2007) fazem uso de redes neurais artificiais para monitorar processos multivariados autocorrelacionados. Issam e Mohamad (2008) propõem o uso do método SVR (support vector regression) para monitorar mudanças no vetor de médias em processos autocorrelacionados através do gráfico de controle MCUSUM. Hwarng e Wang (2010) estabelece o uso de redes neurais que são capazes de identificar deslocamentos no vetor de médias de processos autocorrelacionados. Há vários outros trabalhos sobre monitoramento de processos autocorrelacionados; Apley and Tsung (2002), Jiang (2004), Vargas et al. (2009) e Chen e Nembhard (2011) são alguns deles. 2

3 A autocorrelação compromete o uso do gráfico de controle, pois os alarmes falsos aumentam quando ela é desconsiderada, isto é, quando os limites de controle são estabelecidos sob a hipótese de inexistência da autocorrelação (MONTGOMERY e MASTRANGELO, 1991; HARRIS e ROSS, 1991; WOODALL e FALTIN, 1993, MASON e YOUNG, 2002). Kalgonda e Kulkarni (2004) propuseram o gráfico de Z para monitorar duas ou mais características de qualidade para observações que seguem um modelo VAR(1). A vantagem do gráfico de Z em relação ao gráfico de T 2 é que ele identifica a característica de qualidade que sofre alteração em seu valor médio. Os autores apresentam um procedimento empírico para determinar o limite de controle (LC) do gráfico de Z. Eles assumem que existe correlação entre as observações de X e Y e há dependência no tempo entre as observações de X e também entre as observações de Y e esta estrutura de correlação e autocorrelação é de um modelo VAR(1). Este artigo mostra que para esta estrutura de correlação e autocorrelação existe uma relação linear entre o LC do gráfico de Z e as variâncias e covariância da matriz de covariância cruzada de X e Y. Para uma faixa ampla de valores de correlações cruzadas e autocorrelações obteve-se um coeficiente de determinação do modelo de relação linear superior a 0,95. Este artigo tem por objetivo apresentar um modelo de regressão linear para obtenção do limite de controle do gráfico de Z que assegura a taxa de alarmes falsos desejada para uma faixa ampla de valores de correlações cruzadas e autocorrelações. O único método encontrado na literatura para a obtenção do LC foi o método de Kalgonda e Kulkarni (2004) que, além de complicado, quase sempre fornece limites de controle mais espaçados que o necessário para atender a taxa de alarmes falsos desejada. O artigo está organizado da seguinte forma: apresenta-se, na seção 2, o modelo que descreve as características de qualidade de um processo com correlações cruzadas e autocorrelações; na seção 3 o gráfico de controle de Z; a seção 4 apresenta o modelo de regressão para obtenção do LC do gráfico de Z e compara a taxa de alarmes falsos calculada com o uso dos limites obtidos pela regressão com a taxa de alarmes falsos calculada com o uso dos limites obtidos pelo método de Kalgonda e Kulkarni (2004). 3

4 2. Modelo que descreve as características de qualidade Os procedimentos clássicos de controle em processos multivariados consideram a hipótese básica de que as observações seguem distribuição normal multivariada e sejam independentes, com vetor de médias 0 e matriz de variância-covariância x. Xt 0 et t 1,2,..., T (1) onde X t representa as observações através de um vetor de ordem p x 1 (p é o número de variáveis); e t são vetores aleatórios independentes de ordem p x 1 com distribuição normal multivariada cuja média é zero e matriz de variância-covariância A hipótese de independência é violada em muitos processos de manufatura, o que torna a equação (1) inadequada para representar tais observações. Vetores autoregressivos de primeira ordem, ou VAR(1), equação (2), e. vêm sendo usados para modelar processos multivariados com correlação temporal entre observações de uma mesma variável e correlação entre observações de diferentes características de qualidade (MASTRANGELO e FORREST, 2002; BILLER e NELSON, 2003; KALGONDA e KULKARNI, 2004; ARKAT e NIAKI, 2007; JARRETT e PAN, 2007; ISSAM e MOHAMAD, 2008; PFAFF, 2008; NIAKI e DAVOODI, 2009; HWARNG e WANG, 2010; KIM et al., 2010; KALGONDA, 2012). Em processos multivariados autocorrelacionados, o modelo VAR(1) é assim representado: X ( X ) e (2) t 0 t1 0 t onde X t é o vetor de dados de ordem p x 1; 0 é o vetor de médias de ordem p x 1 e é uma matriz com os parâmetros autoregressivos de ordem p x p e e t são vetores aleatórios independentes de ordem p x 1 com distribuição normal multivariada cuja média é zero e matriz de variância-covariância e. Se é uma matriz nula, a equação (2) se reduz a equação (1), ou seja, tem-se o modelo clássico para dados independentes ao longo do tempo. Caso contrário, os dados serão 4

5 dependentes ao longo do tempo e a estrutura de variação do modelo é representada pela matriz de covariância cruzada dada pela equação (3) (SHUMWAY e STOFFER, 2006). Sob a hipótese de que processo seja estacionário, EX ( t ) 0, para todo t, a matriz de covariância cruzada será: E Xt 0 Xth 0 x( h) h 0,1,2,... (3) Ser estacionário significa que 0 é constante para todo X t e a matriz de covariância cruzada não depende de t, depende apenas de h que representa o intervalo ao longo do tempo entre o vetor X t e X. t h A matriz (h x ) é formada pelos elementos (h) dados por: ij ij ( h) E Xit 0 X jt h 0 i, j 1,2,..., p (4) Como a matriz de covariância cruzada depende originalmente da unidade de medida das variáveis envolvidas, sua interpretação por vezes não é simples. Uma forma mais conveniente de avaliar a relação das variáveis no processo é dada pela utilização da matriz de correlação cruzada: x ( h) D ( h) D (5) x onde D é a matriz diagonal formada pelos elementos (h), para todo i=j, da matriz (h x ). ij A matriz de covariância cruzada para h=0, (0 x ), quando e e são conhecidos, pode ser obtida pela relação de Yule-Walker (LTKEPOHL, 2005): ' ( 0) (0) (6) x x e Supondo que X t seja um vetor de dados com distribuição p-variada e siga o modelo descrito na equação (2), de acordo com Kalgonda e Kulkarni (2004) e Kalgonda (2012), 5

6 t p 0 x X ~ N ; (0) (7) Se o processo está em controle estatístico, com vetor de médias 0 e matriz de covariância cruzada (0). X t segue uma distribuição normal multivariada x 3. Gráfico de controle de Z Com o uso simultâneo dos gráficos de X para controlar duas ou mais características de qualidade é possível identificar qual delas tem sido afetada pela causa especial. Porém, quando as variáveis são dependentes, ou correlacionadas, a obtenção dos limites de controle dos gráficos de X deixa de ser trivial (MONTGOMERY, 2004), pois a probabilidade de que os valores de X 1, X 2,..., X p, estejam dentro dos limites de controle deixa de ser dada por: 1 p (8) onde p é o número de variáveis e é a probabilidade de um alarme falso. Kalgonda e Kulkarni (2004) propuseram um gráfico de controle denominado gráfico de Z para monitoramento do vetor de médias de processos multivariados autocorrelacionados. O gráfico mantém o erro global e permite a identificação das variáveis cujas médias se alteraram com o surgimento de uma causa especial. Os autores adaptaram a técnica de controle estatístico do vetor de médias para observações independentes proposta por Hayter e Tsui (1994) e consideram que a autocorrelação no processo segue o modelo VAR(1). No instante de tempo t, a estatística de monitoramento Z t do gráfico de Z é dada por Zt Max1 i p Z it, onde: X ; 1,2,..., ; 1,2,... (9) it i0 Zit i p t ii,0(0) 6

7 sendo X it o valor da i-ésima variável no instante de tempo t e ii,0(0) o i-ésimo elemento da diagonal da matriz de covariância cruzada para h=0. Para um dado valor de, o LC do gráfico de Z é dado por: Pr ; 1,2,..., 1 Z LC i p it i 0 (10) O processo é considerado em controle estatístico se a média de pelo menos uma das p variáveis se alterou. A distribuição da estatística por simulação seguindo os passos: Z t LC. Caso contrário, há indícios que Z t não é conhecida; Kalgonda e Kulkarni (2004) obtiveram o LC Passo 1. Gerar um grande número (N=10000) de vetores com observações de acordo com o modelo normal p-variado Passo 2. Calcular a estatística X ; 0 t Np 0 X ; Z t para cada um dos N vetores gerados no passo 1; Passo 3. Obter a distribuição empírica da estatística ordem (1 ) e atribuir esse valor ao LC. Z t, encontrar a separatriz de Os passos descritos por Kalgonda e Kulkarni (2004) quase sempre levam a limites de controle mais espaçados que o necessário para atender a taxa de alarmes falsos desejada (NMAF>1/). O NMAF é o número médio de observações entre alarmes falsos. Para variáveis independentes e não correlacionadas o NMAF=1/, (COSTA et al., 2005). Para ilustrar, seja o caso bivariado (p=2): 0 0,0 ; covariância cruzada, 1 0,5 e 0,5 1 e 0,7 0, então de (6) obteve-se a matriz de 0 0,7 (0) 1,9608 (0) 0, x(0) 21(0) 0, (0) 1,9608 (11) 7

8 O método proposto por Kalgonda e Kulkarni (2004) fornece para 0,005 um LC de 3,0191. Para o LC=3,0191, obteve-se por simulação um NMAF=261,78. O apêndice A fornece detalhes da simulação. Devido à autocorrelação, o NMAF não segue uma distribuição geométrica, pois a probabilidade de alarme falso não é constante. Dependendo dos parâmetros do modelo VAR(1) o LC do gráfico de Z fornecido pelo método de Kalgonda e Kulkarni (2004) leva a diferentes NMAFs. Para solucionar este problema, este artigo propõe um modelo de regressão linear que fornece o LC do gráfico de Z correspondente ao NMAF desejado (ver Figura 1 da seção 4). 4. Método proposto A fim de facilitar a utilização do gráfico de Z, os valores do LC foram obtidos por simulação para um leque amplo de valores dos parâmetros da matriz de autocorrelação e da matriz de covariância do erro do modelo bivariado VAR(1). Foram construídos dois modelos de regressão, um para NMAF de 200 e outro para NMAF de 370. Na estimação dos modelos de regressão, os valores do LC foram alocados no vetor da variável dependente e os valores dos elementos da matriz de covariância cruzada foram alocados na matrix de vetores independentes. O modelo se ajustou aos dados fornecendo valores de R 2 muito próximo de 1, vide Tabelas 2 e 4. Os parâmetros do modelo para NMAF de 200 e 370 estão nas Tabelas 1 e 3, respectivamente. Tabela 1 Parâmetros do modelo de regressão- NMAF=200 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor Constante 3, , ,78 <0,00001 (0) 11-0, , ,92 <0,00001 (0) 22-0, , ,38 <0,00001 (0) 12-0, , ,13 <0,00001 Tabela 2 Estatísticas do modelo da Tabela 1 Estatísticas Valor Soma resíduos quadrados 0,001 R-quadrado 0,990 Estatística F(3, 98) 3269,806 Erro padrão da regressão 0,003 R-quadrado ajustado 0,990 P-valor(F) 0,000 8

9 De posse dos valores de (0), (0) e (0) 12 da matriz de covariância cruzada é possível obter os limites de controle do gráfico de Z. Para NMAF=200: LC = 3, , (0) -0, (0) -0, (0) (12) Para NMAF=370: LC= 3, , (0) -0, (0) -0, (0) (13) Considerou-se também o caso em que o NMAF é igual a 370. Os resultados do modelo de regressão estão nas Tabelas 3 e 4. Tabela 3 Parâmetros do modelo de regressão- NMAF=370 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor Constante 3, , ,36 <0,00001 (0) 11-0, , ,99 <0,00001 (0) 22-0, , ,87 <0,00001 (0) 12-0, , ,83 <0,00001 Tabela 4 Estatísticas do modelo da Tabela 3 Estatísticas Valor Soma resíduos quadrados 0,0169 R-quadrado 0,9466 Estatística F(3, 98) 738,1707 Erro padrão da regressão 0,0116 R-quadrado ajustado 0,9453 P-valor(F) 0, Análise de sensibilidade do método proposto Para avaliar a qualidade do LC obtido pela regressão para o caso em que o NMAF desejado a 0 seja igual a 200, adotaram-se valores de a e b da matriz variando de 0,2 a 0,8 e 0 b 1 valores de da matriz e 1 iguais a 0,3; 0,5 e 0,7. Na prática estes valores são desconhecidos; estimam-se os elementos da matriz de covariância cruzada que depende de a, 9

10 b e de acordo com a equação (6). Os valores do NMAF para 48 diferentes cenários estão na Tabela B1 do Apêndice B e foram utilizados na construção da Figura 1. Figura 1 NMAF obtidos pela regressão e pelo método de Kalgonda. Da Tabela B1 e Figura 1, observa-se que o modelo de regressão para a obtenção do LC é melhor que o método de Kalgonda e Kulkarni (2004), pois mantém o NMAF sempre próximo a 200, para todos os cenários. 5. CONCLUSÃO 10

11 Este artigo apresentou um método melhor do que o proposto por Kalgonda e Kulkarni (2004) para obtenção do LC do gráfico de Z. Melhor no sentido de fornecer limites de controle que levam a taxas de alarmes falsos mais próximas das desejadas. O método de Kalgonda e Kulkarni (2004) fornece em geral valores de LC maiores do que o necessário; esta proteção excessiva contra ocorrências de alarmes falsos reduz a capacidade do gráfico de controle de detectar alterações no processo. O método proposto neste artigo requer grande esforço para a construção do modelo de regressão linear, contudo, após sua obtenção, o cálculo do LC do gráfico de Z é imediato. REFERÊNCIAS APLEY D.W.; TSUNG F. The autoregressive T 2 chart for monitoring univariate autocorrelated processes. Journal of Quality Technology.; v. 34. p ARKAT. J.. NIAKI. S. T. A.. ABBASI. B. Artificial neural networks in applying MCUSUM residuals charts for AR(1) processes. Applied Mathematics and Computation. v p BILLER. B.. NELSON. B. Modeling and generating multivariate time-series input processes using a vector autoregressive technique. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. v. 13. n.3. p CHEN, S; NEMBHARD, H. B. Multivariate cuscore control charts for monitoring the mean vector in autocorrelated process. IIE Transactions. v. 43. p COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R. Controle Estatístico de Qualidade. São Paulo: Atlas HARRIS. T. J.; ROSS. W. H. Statistical process control procedures for correlated observations. Canadian Journal of Chemical Engineering. v. 69. p HWARNG. H. B.; WANG. Y. Shift detection an source identification in multivariate autocorrelated process. International Journal of Production Research. v.48. n. 3. p ISSAM. B. K.; MOHAMAD. L. Support vector regression based residual MCUSUM control chart for autocorrelated process. Applied Mathematics and Computation. v p JARRETT. J. E; PAN. X. The quality control chart for monitoring multivariate autocorrelated processes. Computational Statistics & Data Analysis. v.51. p JIANG, W. Multivariate control charts for monitoring autocorrelated processes. Journal of Quality Technology. v. 36. p KALGONDA. A. A. A Note on generalization of Z chart. Journal of Academia and Industrial Research. v.1. n.6. p

12 KALGONDA. A. A.; KULKARNI. S. R. Multivariate quality control chart for autocorrelated processes. Journal of Applied Statistics. v. 31. p KIM. S. B.; JITPITAKLERT. W.; SUKCHOTRAT. T. One-Class Classification-Based Control charts for Monitoring Autocorrelated Multivariate Processes. Communications in Statistics - Simulation and Computation. v.39. n.3. p LTKEPOHL. H. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. New York: Springer MASON. R.; YOUNG. J.C.. Multivariate statistical process control with industrial applications. Alexandria. Society for Industrial and Applied Mathematics MONTGOMERY. D. C. Introduction to statistical quality control. John Wiley & Sons. Inc.. New York. New York MONTGOMERY. D. C.; MASTRANGELO. C. M. Some statistical process control methods for autocorrelated data. Journal of Quality Technology. v. 23. n.3. p NIAKI. S. T. A.; DAVOODI. M. Designing a multivariate-multistage quality control system using artificial neural networks. International Journal of Production Research. v. 47. p PAN. X; JARRETT. J.E. Using vector autoregressive residuals to monitor multivariate processes in the presence of serial correlation. International Journal of Production Economics. v p PFAFF. B. VAR, SVAR and SVEC models: implementation within r package vars. Journal of Statistical Software. v. 27. n. 4. p SHEWHART, W. A. Economic control of quality of manufactured product. 1ª Ed. New York: D. Van Nostrand Company SHUMWAY. R. H.; STOFFER. D. S. Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. 2ª Ed. New York: Springer VARGAS, M; ALFARO, J. L.; MONDÉJAR, J. On the run length of a state-space control chart for multivariate autocorrelated process data. Communications in Statistics - Simulation and Computation. v. 38. p WOODALL. W. H.; FALTIN. F. W. Autocorrelated data and SPC. ASQC Statistics Division Newsletter. v.13. p

13 APÊNDICE A - Método utilizado na simulação de série temporal multivariada com processo de geração VAR(1). Simulação de uma série temporal multivariada com dimensão p e tamanho T: 1) Criam-se erros com distribuição multivariada Gaussiana de ordem p, ~ 0; e N, t p e através da multiplicação da matriz P de ordem (p x p) com o vetor V = (v 1,..., v p ) de ordem (px1), onde t PP e e V ~ N(0,1). e t v 1 P v p (A1) Por exemplo, se p=2: e e p p 1t t 21 p 22 v1 v2 2) O passo 1 é repetido T vezes para a geração de uma série de erros. (A2) 3) Com os valores de e t, obtêm-se X t de forma recursiva através da equação A3 fazendo t=1,2...,t. X ( X ) e (A3) t 0 t1 0 t onde: X t é uma matriz de ordem ( p x 1); x é uma matriz de médias de ordem (p x 1); é a matriz de autocorrelação de ordem (p x p). 4) Com os vetores gerados em 3), obtêm-se as estatísticas Zt Max1 i p Z it. 5) O LC do gráfico de Z é calculado por uma busca binária até que o NMAF seja igual ao valor desejado. APÊNDICE B Valores de NMAF Tabela B1 Comparação dos valores de NMAF com base no modelo de regressão e no método de Kalgonda e Kulkarni (2004). Cenários a b (0) (0) (0) LC Regressão NMAF* LC Kalgonda NMAF** 1 0,2 0,2 0,3 1,0417 1,0417 0,3125 3, ,10 3, ,65 2 0,2 0,2 0,5 1,0417 1,0417 0,5208 3, ,49 3, ,45 3 0,2 0,2 0,7 1,0417 1,0417 0,7292 3, ,25 3, ,88 4 0,2 0,4 0,3 1,0417 1,1905 0,3261 3, ,65 3, ,93 5 0,2 0,4 0,5 1,0417 1,1905 0,5435 3, ,35 3, ,69 6 0,2 0,4 0,7 1,0417 1,1905 0,7609 2, ,43 3, ,29 13

14 7 0,2 0,6 0,3 1,0417 1,5625 0,3409 3, ,18 3, ,36 8 0,2 0,6 0,5 1,0417 1,5625 0,5682 2, ,68 2, ,75 9 0,2 0,6 0,7 1,0417 1,5625 0,7955 2, ,36 3, , ,2 0,8 0,3 1,0417 2,7778 0,3571 2, ,12 3, , ,2 0,8 0,5 1,0417 2,7778 0,5952 2, ,74 2, , ,2 0,8 0,7 1,0417 2,7778 0,8333 2, ,33 3, , ,4 0,2 0,3 1,1905 1,0417 0,3261 3, ,33 3, , ,4 0,2 0,5 1,1905 1,0417 0,5435 3, ,66 3, , ,4 0,2 0,7 1,1905 1,0417 0,7609 2, ,38 2, , ,4 0,4 0,3 1,1905 1,1905 0,3571 3, ,80 3, , ,4 0,4 0,5 1,1905 1,1905 0,5952 2, ,14 2, , ,4 0,4 0,7 1,1905 1,1905 0,8333 2, ,16 2, , ,4 0,6 0,3 1,1905 1,5625 0,3947 2, ,52 3, , ,4 0,6 0,5 1,1905 1,5625 0,6579 2, ,92 3, , ,4 0,6 0,7 1,1905 1,5625 0,9211 2, ,76 2, , ,4 0,8 0,3 1,1905 2,7778 0,4412 2, ,93 3, , ,4 0,8 0,5 1,1905 2,7778 0,7353 2, ,50 2, , ,4 0,8 0,7 1,1905 2,7778 1,0294 2, ,89 3, , ,6 0,2 0,3 1,5625 1,0417 0,3409 3, ,24 3, , ,6 0,2 0,5 1,5625 1,0417 0,5682 2, ,98 3, , ,6 0,2 0,7 1,5625 1,0417 0,7955 2, ,82 3, , ,6 0,4 0,3 1,5625 1,1905 0,3947 2, ,12 3, , ,6 0,4 0,5 1,5625 1,1905 0,6579 2, ,53 2, , ,6 0,4 0,7 1,5625 1,1905 0,9211 2, ,15 2, , ,6 0,6 0,3 1,5625 1,5625 0,4688 2, ,97 2, , ,6 0,6 0,5 1,5625 1,5625 0,7813 2, ,25 3, , ,6 0,6 0,7 1,5625 1,5625 1,0938 2, ,27 2, , ,6 0,8 0,3 1,5625 2,7778 0,5769 2, ,16 3, , ,6 0,8 0,5 1,5625 2,7778 0,9615 2, ,19 2, , ,6 0,8 0,7 1,5625 2,7778 1,3462 2, ,69 2, , ,8 0,2 0,3 2,7778 1,0417 0,3571 2, ,38 3, , ,8 0,2 0,5 2,7778 1,0417 0,5952 2, ,96 3, , ,8 0,2 0,7 2,7778 1,0417 0,8333 2, ,47 3, , ,8 0,4 0,3 2,7778 1,1905 0,4412 2, ,50 3, , ,8 0,4 0,5 2,7778 1,1905 0,7353 2, ,15 3, , ,8 0,4 0,7 2,7778 1,1905 1,0294 2, ,63 3, , ,8 0,6 0,3 2,7778 1,5625 0,5769 2, ,41 3, , ,8 0,6 0,5 2,7778 1,5625 0,9615 2, ,83 3, , ,8 0,6 0,7 2,7778 1,5625 1,3462 2, ,16 2, , ,8 0,8 0,3 2,7778 2,7778 0,8333 2, ,49 2, , ,8 0,8 0,5 2,7778 2,7778 1,3889 2, ,47 2, , ,8 0,8 0,7 2,7778 2,7778 1,9444 2, ,23 2, ,72 * NMAF obtido com o LC do método da regressão (12). ** NMAF obtido com o LC do método proposto por Kalgonda e Kulkarni (2004). 14