GRÁFICOS DE CONTROLE COM AMOSTRAGENS DUPLAS PARA O MONITORAMENTO DE PROCESSOS BIVARIADOS

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1 GRÁFICOS DE CONTROLE COM AMOSTRAGENS DUPLAS PARA O MONITORAMENTO DE PROCESSOS BIVARIADOS Marcela A. G. Machado Departamento de Produção, UNESP Guaratinguetá, 56-40, SP, Brasil marcela@feg.unesp.br Antonio F. B. Costa Departamento de Produção, UNESP Guaratinguetá, 56-40, SP, Brasil fbranco@feg.unesp.br RESUMO Propõe-se, neste artigo, a utilização de um gráfico de controle com amostragem dupla para monitoramento de processos bivariados (gráfico BIDU). No primeiro estágio da amostragem n itens da amostra são inspecionados e duas de suas características de qualidade ( ; são medidas. Se a estatística T de Hotelling para as médias das n observações de (;, isto é ( ; ), for menor do que um valor limitante LA, a amostragem é interrompida. Se T for maior que LC, sendo LC > LA, o gráfico de controle sinaliza um desajuste do processo. Se LA < T < LC, a amostragem vai para o segundo estágio, quando então se inspecionam as n unidades restantes da amostra, e T é calculado com base nas médias de (; dos n itens da amostra, sendo n = n + n. O gráfico sinaliza um desajuste quando T for maior que LC. Um estudo comparativo mostra que o gráfico BIDU é mais ágil, na detecção de perturbações no processo, do que o gráfico bivariado tradicional ou com tamanho de amostra variável. PALAVRAS CHAVE: Estatística T de Hotelling. Processos bivariados. Amostragem dupla. ABSTRACT In this article we consider the bivariate control chart with double sampling (BIDU chart) to control processes. During the first stage of the sampling, n items of the sample are inspected and two qualit characteristics ( ; are measured. If the Hotelling statistic T for the mean of these observations of ( ;, that is ( ; ), is lower than LA the sampling is interrupted. If the Hotelling statistic T is upper than LC, where LC > LA, the control chart signals an outof-control condition. If LA < T < LC, the sampling goes on to the second stage, where the remaining n items are inspected and T for the sample means of ( ; is computed, taking into account the whole sample of size n = n + n. The control chart signals an out-of-control condition when the statistic T is larger than LC. A comparative stud shows that the BIDU chart detects process disturbances faster than the Standard Bivariate chart or Bivariate Chart with Variable Sample Size. KEYWORDS: The Hotelling statistic T. Bivariate processes. Double sampling. [ 048 ]

2 . Introdução Os gráficos de controle têm sido a principal ferramenta estatística utilizada no monitoramento de processos, graças a sua simplicidade operacional. De acordo com os fundamentos de Shewhart, sempre que um ponto é plotado na região de ação do gráfico, o responsável pelo processo deve interrompê-lo imediatamente, visando a encontrar causas especiais que afetam a qualidade dos produtos, eemplo, um desgaste de ferramenta que altera o diâmetro X dos eios que estão sendo manufaturados. Entretanto, essa simplicidade torna o gráfico de controle lento, na detecção de pequenas e moderadas alterações nos parâmetros dos processos que estão sendo monitorados, isto é, na média e/ou na variância da variável aleatória X. Diante disso, não têm sido poucas as propostas de alteração à idéia original de Shewhart, como por eemplo, os gráficos de controle adaptativos, a amostragem em dois estágios e as regras especiais de decisão, citados por Wu e Spedding (000) e Machado e Costa (005, 005a). Quando o gráfico de Shewhart está em uso, amostras de tamanho fio são retiradas do processo em intervalos regulares. A idéia do esquema adaptativo consiste em estabelecer variações nos parâmetros de projeto dos gráficos de Shewhart (como: tamanho da amostra n, intervalo de tempo entre retirada de amostras h e fator de abertura k dos limites de controle), entre um valor mínimo e um máimo, a depender da informação obtida na última amostra retirada do processo. O esquema adaptativo melhora o desempenho dos gráficos de controle, quanto à sinalização de um desajuste no processo (Renolds et al., 988; Prabhu et al., 993; Costa, 994, 997, 998, 998a, 999, 999a; Costa e De Magalhães, 006; De Magalhães et al., 00, 00, 006; De Magalhães e Moura Neto. 005; Epprecht e Costa, 00; Epprecht et al., 003, 005; Michel e Fogliatto, 00). O esquema adaptativo foi também estendido ao monitoramento de processos multivariados (Aparisi, 996); Aparisi e Haro, 00, 003; Chou et al., 006; Yeh e Lin, 00). Neste trabalho, considera-se o gráfico de controle com amostragem dupla para o monitoramento de processos bivariados (gráfico BIDU). Similar ao gráfico de controle de Shewhart, amostras com tamanho fio são retiradas do processo em intervalos regulares, mas o procedimento é realizado em dois estágios: no primeiro, n itens da amostra são inspecionados e duas características de qualidade ( ; são medidas. Se a estatística T de Hotelling para as médias das n observações de ( ;, isto é ( ; ) for menor que LA, a amostragem é interrompida. Se T for maior que LC, sendo LC > LA, o gráfico de controle sinaliza um desajuste no processo. Se LA < T < LC, a amostragem vai para o segundo estágio, quando então se inspecionam as n, unidades restantes da amostra, e calcula-se a estatística T de Hotelling para as médias de ( ; dos n itens da amostra, sendo n = n + n. O gráfico sinaliza desajuste no processo quando T > LC. O gráfico de controle com amostragem dupla foi introduzido por Daudin (99). Do mesmo modo que os esquemas adaptativos, a amostragem dupla melhora o desempenho do gráfico bivariado na detecção de perturbações no processo. De acordo com Costa e Rahim (004, 006), quando se tem um processo bastante estável, o monitoramento se torna monótono, pois raramente um valor amostral fica fora dos limites de controle. A utilização do gráfico de controle, neste conteto, tem como conseqüência natural (e negativa) a possibilidade de o usuário dispensar, cada vez menos, atenção aos procedimentos necessários à obtenção de valores como: média, variância ou amplitude amostrais. Ressalte-se, porém, que tal falta de atenção pode acarretar enganos significativos. Estando a amostragem dupla em uso e sendo n =, a freqüência que pode conduzir ao segundo estágio da amostragem é baia. Dessa forma, em grande parte do tempo, o usuário lida com a informação direta dos parâmetros sob monitoramento, ou seja, com os valores de ( ;. Dispositivos do tipo calibres permitem que, no primeiro estágio da amostragem, a inspeção seja por atributos. [ 049 ]

3 . Propriedades dos gráficos de controle bivariados com amostragem dupla Neste trabalho, propõe-se o uso de um gráfico de controle bivariado com amostragem dupla (gráfico BIDU) no monitoramento simultâneo de duas características de qualidade (;, descritas por uma distribuição normal bivariada com vetor de médias μ = ( μ ; μ ) e uma matriz σ σ de covariâncias conhecida Σ =, em que σ = σ = ρσ σ é a covariância entre σ σ e. Considera-se que, no início do monitoramento, o vetor de médias está centrado no valor-alvo, μ = μ ; μ ) ; mas após um tempo aleatório, uma causa especial altera o vetor de médias de 0 ( 0 0 μ 0 para μ, no qual ( μ μ0 ) = ( δ ; δ ), com δ 0 e/ou δ 0. No período sob controle, μ = μ 0, e no período fora de controle, μ = μ. O objetivo do monitoramento de processos é, então, detectar qualquer causa especial que altere μ do seu valor alvo μ 0. Similar ao gráfico de controle de Shewhart, amostras com tamanho n + n são retiradas do processo em intervalos regulares de tempo. A amostragem é realizada em dois estágios: no primeiro, n unidades são inspecionadas e duas características de qualidade ( ; são medidas; se a distância estatística entre X =, ) e μ = μ ; μ ), dada por ( 0 ( 0 0 T = n ( X μ0 ) Σ ( X μ0 ), sendo e as médias amostrais das duas características de qualidade ( ; levando em consideração a sub-amostra de tamanho n for menor do que um valor especificado LA, a amostragem é interrompida. Se T for maior do que um valor especificado LC, o gráfico de controle sinaliza um desajuste no processo. Se LA < T < LC, a amostragem vai para o segundo estágio, no qual se inspecionam as n unidades restantes, e a distância estatística entre X = (, ) e μ ( ; ) 0 = μ0 μ0, dada por T = n( X μ0) Σ ( X μ0), é calculada, sendo e as médias amostrais das duas características de qualidade correlacionadas ( ;, levando em consideração a amostra de tamanho n, sendo n = n + n. O gráfico sinaliza um desajuste do processo quando T > LC. Para obter as propriedades do gráfico de controle BIDU, fez-se uso do Teorema das Coordenadas Polares (Weler, 96): se um ponto P tem coordenadas retangulares (, então as coordenadas polares de P são (r, θ) em que + = r, () θ = arctan( /, () portanto, para qualquer circunferência D ( 0, a) centrada na origem, (, D(0, a) se e somente se r < a. Visando o uso desse teorema na obtenção das propriedades dos gráficos de controle BIDU, define-se que T = n( X Σ ( X = g ( n, + g ( n, ), em que μ g ( n, = h ( )cosϕ h ( senϕ, (3) g n, = h ( ) sinϕ + h ( ) cosϕ, (4) ( sendo sen ϕ = σ /( σ σ ), h ) = nσ ( μ )/ Σ, h = nσ ( μ ) / Σ, e ( ( Σ = det Σ = σ σ σ >0. De acordo com o Teorema A (ver o Apêndice), [ 050 ]

4 g n, = ( g ( n,, g ( n, )) segue uma distribuição normal, com vetor de médias igual a ( μ zero e matriz de covariância unitária ε = 0 0. Conseqüentemente, a a a Pr[ T < a ] = f N (0, ) (, dd = ε r ep( r ) dr = ep( a / ) (5) a a 0 em que f N(0, ε ) (, = ep[ 0,5( + )]. Quando o processo está sob controle, π p 0 = Pr[ LA < T < LC] é a probabilidade de que a amostragem dupla seja interrompida no primeiro estágio p0 = [ep(- LA / ) ep(- LC / )] (6) No período sob controle, o número médio de itens inspecionado por amostragem, n, é dado por n = n + n( - p0) = n + n[ep(-la / ) ep(-lc / )] (7) Quando a amostra de tamanho n é dividida em duas subamostras de tamanho n e n, sendo n + n = n, tem-se que n g( n, + n g( n, g( n, μ ) =. (8) n + n A probabilidade de se ter um alarme falso no primeiro estágio, ou seja, g( n, μ 0 ) D(0, LC ), é dada por α = f N (0, ε ) (, dd (9) D(0, LC ) E, de acordo com (8), a probabilidade de se ter um alarme falso no segundo estágio é dada por α f f dudv = N (0, ε ) (, ) N dd D LA LC (0, ε ) (, ) D( C, R) (0) n + n em que C( n n ; n n ) e R = LC. n O poder do gráfico de controle BIDU pode ser obtido com auílio do teorema das coordenadas polares e com base nas epressões (3) e (4). Após a ocorrência da causa especial, o vetor de médias se desloca do seu valor alvo μ 0 para μ. Seja então: g g [ σ δ cosϕ + σ δ sen ϕ] n δ n μ μ =, Σ ( n, ) g( n, 0 ) = [ σ δ cosϕ + σ δ sen ϕ] n δ n μ μ = Σ ( n, ) g ( n, 0) = O poder do gráfico de controle no primeiro estágio é dado por p = f ε (, dd. () D( a, LC ) N (0, ) ) [ 05 ]

5 E no segundo estágio, o poder do gráfico é dado por p f f dudv = N (0, ε ) (, ) N dd LA LC (0, ε ) (, ) D( C, R) () em que a ( n δ n δ ) = e C n n + δ n ; n n + δ ). ; ( n Desse modo, α = α + α é a probabilidade de se ter um alarme falso quando a amostragem dupla está em uso, e p = p + p é o poder de detecção do gráfico de controle BIDU. Para obter as propriedades do gráfico de controle bivariado com amostragem dupla, utilizou-se a biblioteca IMSL FORTRAN, na qual a sub-rotina DTODQ está disponível para o cálculo de integrais duplas. 3. Desempenho do gráfico de controle bivariado com amostragem dupla A eficiência de um gráfico de controle na detecção de alterações no processo pode ser medida pelo número médio de amostras até o sinal (NMA) (Costa et al., 005). No período sob controle, o NMA=/α e é denominado NMA 0 ; no período fora de controle, NMA=/p. A Figura mostra um gráfico de controle BIDU com os valores de dá um sinal quando T LC i > e T LC i círculo, veja-se a 3 a amostra. Os pontos amostrais T e i i >. Nesse caso, o ponto T plotados. O gráfico de controle T é envolvido por um i T, ao caírem na região entre o LA e o LC i, disparam a inspeção de toda a amostra e, nesses casos, a estatística T é calculada e comparada i com LC. Para evitar o uso de dois gráficos, um para o primeiro estágio e outro para o segundo estágio, o usuário pode construir o gráfico BIDU com duas escalas, uma do lado esquerdo e uma do lado direito, como ilustrado na Figura. Quando o gráfico com duas escalas é utilizado, os valores T correspondem aos pontos pretos que são plotados conforme a escala da esquerda, e os i valores direita. T correspondem aos pontos brancos que são plotados, de acordo com a escala da i [ 05 ]

6 T i LC T i LC LA Tamanho da amostra (i) Valores de T i Valores de T i Figura - Gráfico de Controle BIDU com os valores de T i e Quando um processo está sob controle, é desejável que o número médio de amostras retiradas do processo, desde o início do monitoramento até o sinal (NMA 0 ), seja grande, de modo a garantir poucos alarmes falsos. Quando um processo está fora de controle, é desejável que o número médio de amostras retiradas, desde a ocorrência de uma causa especial até o sinal (NMA), seja pequeno, de modo a garantir uma rápida detecção de alterações no processo. Os valores de NMA para o gráfico de controle bivariado com amostragem dupla são apresentados na Tabela, considerando-se α =0,00, n=4, n = e n = 6, 9 e. A escolha de n afeta a velocidade com que o gráfico BIDU sinaliza desajustes do processo. Quando n aumenta, o gráfico se torna mais ágil na detecção de pequenas alterações e mais lento, na detecção de grandes alterações. Por eemplo, na Tabela, pode-se observar que para λ=0,50, o NMA diminui de 85,00 para 63,7 quando n aumenta de 6 para. Por outro lado, para λ=3,0, o NMA aumenta de,3 para,45 quando n aumenta de 6 para. A Tabela apresenta também os valores de NMA para o gráfico bivariado tradicional (gráfico de χ ). Observe-se, na Tabela, que o gráfico BIDU tem, para qualquer valor de λ, um desempenho superior ao do gráfico de χ. T i [ 053 ]

7 Tabela - Efeito de n nos valores de NMA para o gráfico BIDU ( n = 4 e α =0,00). λ Gráfico de χ n=4 LC=0,6 n = 6 LA =,9 LC =3,85 LC =0,34 n = 9 LA =3,008 LC =3,85 LC =9,599 n = LA =3,57 LC =3,85 LC =8, ,3 00,00 00,00 00,00 0,5 5,7 85,00 7, 63,7,0 4,97,95 6,56 3,83,5 5,79 7,00 5,36 4,74,0 6,88 3,06,58,53,5 3,55,79,70,79 3,0,6,3,36,45 λ = n( δ + δ ), com δ = δ O efeito da escolha de α na velocidade com que o gráfico BIDU sinaliza o desajuste do processo pode ser observado pela comparação dos valores do NMA da Tabela ( α =0,00) com os da Tabela ( α = 0). Em geral, o gráfico BIDU se mostra mais ágil, na detecção de alterações no processo, nos casos em que α = 0. Por eemplo, pode-se observar, na Tabela, que para α =0,00, λ=0,50 e n = 6, o NMA é igual a 85,00, e o valor correspondente na Tabela, em que α = 0, é igual a 80,08. A Tabela apresenta também os valores de NMA para o gráfico bivariado tradicional (gráfico de χ ). Observe-se, na Tabela, que o gráfico BIDU tem, para qualquer valor de λ, um desempenho superior ao do gráfico de χ. Tabela - Efeito de α nos valores de NMA para o gráfico BIDU ( n =4 e α =0). λ Gráfico de χ n=4 LC=0,6 n = 6 LA =,99 LC =30,0 LC =9,95 n = 9 LA =3,007 LC =30,0 LC =9,40 n = LA =3,584 LC =30,0 LC =8, , ,5 5,7 80,08 67,4 59,3,0 4,97 0,5 5,5,88,5 5,79 6,55 5,05 4,57,0 6,88,9,50,50,5 3,55,75,68,80 3,0,6,3,35,46 λ = n( δ + δ ), com δ = δ O efeito da escolha de n na velocidade com que o gráfico BIDU sinaliza desajustes do processo pode ser observado nas Tabelas 3 e 4. A Tabela 3 contém os valores de NMA, para casos em que α = 0,00; a Tabela 4 contém os valores de NMA, para casos em que α = 0. A medida em que n aumenta, o gráfico se torna mais ágil na detecção de mudanças no processo. Por eemplo, na Tabela 3 pode-se observar que, para λ=0,50, o NMA diminui de 78,70 para 68,55, quando n aumenta de para 3. [ 054 ]

8 Tabela 3 - Efeito de n nos valores de NMA para o gráfico BIDU ( α =0,00; n =4 e n = 9). λ Gráfico de χ n=4 LC=0,6 n = LA =,9 LC =3,85 LC =9,69 n = LA =3,008 LC =3,85 LC =9,599 n =3 LA =4,377 LC =3,85 LC =9, , , ,5 5,7 78,70 7, 68,55,0 4,97 9,5 6,56 5,40,5 5,79 6,34 5,36 5,06,0 6,88 3,03,58,49,5 3,55,98,70,65 3,0,6,58,36,3 λ = n( δ + δ ), com δ = δ Tabela 4 - Efeito de n nos valores de NMA para o gráfico BIDU ( α =0; n =4 e n = 9). λ Gráfico de χ n=4 LC=0,6 n = LA =,9 LC =30,0 LC =9,76 n = LA =3,008 LC =30,0 LC =9,40 n =3 LA =4,377 LC =30,0 LC =8, , ,5 5,7 7,70 67,4 64,83,0 4,97 7,5 5,5 4,57,5 5,79 5,93 5,05 4,89,0 6,88,9,50,46,5 3,55,95,68,65 3,0,6,57,35,3 λ = n( δ + δ ), com δ = δ 4. Comparações dos gráficos Assim como o esquema adaptativo, o gráfico de controle BIDU foi criado para suprir a necessidade de uma ferramenta estatística ágil na detecção de pequenas alterações nos parâmetros do processo. Dessa forma, é interessante comparar o desempenho do gráfico proposto e do gráfico de controle T de Hotelling, com tamanho de amostra variável (gráfico VSS, do inglês Variable Sample Size). O gráfico de Shewhart univariado, com tamanho de amostra variável, foi estudado por Prabhu et al. (993) e Costa (994). Aparisi (996) estendeu esses estudos ao gráfico de controle multivariado, baseado na estatística T de Hotelling, na qual dois tamanhos de amostras são utilizados, n e n, sendo n > n. Define-se um limite de advertência w, no qual 0 < w < LSC, para identificar quando o tamanho da amostra deve ser alterado (Fig. ). O tamanho da amostra do subgrupo i depende do valor de T. Se T < w, o tamanho de amostra do i-ésimo subgrupo é n. Se w < Ti < LSC, o tamanho da amostra do i-ésimo subgrupo é n. Os pontos pretos no gráfico da Figura correspondem às amostras de tamanho n, e os pontos brancos correspondem às amostras de tamanho n. Se T i > LSC, o gráfico de controle sinaliza. i i [ 055 ]

9 T i LSC w Número da amostra (i) Tamanho de amostra n Tamanho de amostra n Figura - Gráfico de controle T de Hotelling com tamanho de amostra variável. A Tabela 5 apresenta os valores de NMA para o gráfico BIDU e para o gráfico de controle T de Hotelling, com tamanho de amostra variável. Aparisi (996), por meio de cadeias de Markov, obteve valores do NMA para o gráfico de controle T de Hotelling, com tamanho de amostra variável, semelhantes aos de Costa (994). Tabela 5 - Valores de NMA para os gráficos de controle VSS e BIDU com n = 4 e α =0,00. n = n = 6 n = 9 n = VSS BIDU LA =,9 VSS BIDU LA =3,008 VSS λ w=,386 LC =3,8 w=,68 LC =3,8 w=3,8 LSC=0,59 5 LSC=0,59 5 LSC=0,59 7 LC =0,34 7 LC =9, ,0 00,0 00,00 00,0 00,00 00,0 00,00 0,5 3,45 85,00 0,83 7, 06,0 63,7,0 34,70,95 8,8 6,56 3,54 3,83,5,85 7,00 7,78 5,36 6, 4,74,0 4,55 3,06 3,44,58 3,4,53,5,55,79,5,70,30,79 3,0,85,3,8,36,96,45 δ λ = n( δ + δ ), com δ = BIDU LA =3,57 LC =3,8 5 LC =8,933 VSS. De acordo com a Tabela 5, o gráfico BIDU tem um desempenho superior ao do gráfico [ 056 ]

10 5. Conclusões Verificou-se, neste trabalho, que um gráfico de controle bivariado com amostragem dupla pode detectar a ocorrência de alterações especiais em processos. Quando o processo é bastante estável, e o gráfico T está em uso, o monitoramento torna-se monótono, pois raramente um valor amostral se apresenta fora dos limites de controle. Pode-se dizer que uma conseqüência natural na utilização desse gráfico, nessas condições, é a possibilidade de o usuário relaar sua atenção, quanto à rotina necessária à obtenção da estatística T. Não obstante, devese destacar que a falta de observação da rotina pode desencadear sérios enganos em alguns casos. Quando o gráfico BIDU está em uso e n =, a freqüência com que se vai para o segundo estágio de amostragem é baia. Conseqüentemente, na maioria das vezes, o usuário estará lidando com a informação direta dos parâmetros que estão sendo monitorados, ou seja, com os valores de ( ;. Nesse caso, a adoção de dispositivos do tipo calibres vão possibilitar uma inspeção por atributos no primeiro estágio da amostragem. Os resultados numéricos obtidos mostram que o gráfico proposto apresenta um melhor desempenho, quando comparado com os gráficos bivariado tradicional e bivariado VSS, em termos da velocidade com que eles detectam alterações nos parâmetros do processo. Um ponto que merece destaque é o fato de que a adoção de um limite de ação para o primeiro estágio da amostragem em geral reduz o desempenho do gráfico de controle, além de aumentar a compleidade do dispositivo de monitoramento. A idéia de se trabalhar com n e LC = tem sido eplorada por Costa e Machado (006). Agradecimentos: À CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro e às sugestões dos revisores deste artigo, que em muito contribuíram para aperfeiçoar o trabalho. = Apêndice: Prova do Teorema A As funções aleatórias g ( n, ) e g ( n, ) são normais, porque elas são combinações lineares das variáveis normais i e i. Sabe-se que μ μ σ σ E( μ ) =, E( μ ) =, n n σ E( μ )( μ = n Após algumas simplificações, obtém-se que σ σ n E[ g( n, ] = σ σ σ senϕ cosϕ. Σ n n Por simetria dos índices e, tem-se que n σ σ E[ g( n, ] = E[ g( n, ] = σ σ σ senϕ Σ n n Como sen ϕ = σ /( σ σ ) e Σ = σ σ σ segue que [ σ σ σ ] E[ g ( n, μ )] = E[ g ( n, ] = = Σ Similarmente [ 057 ]

11 [ σ σ σ sen ] 0 n σ σ σ σ σ E[ g ( n, g( n, ] = σ σ senϕ = ϕ = Σ n n Σ O Teorema A está provado. Referências Aparisi, F. (996), Hotelling s T Control Chart with Adaptive Sample Sizes, International Journal of Production Research, 34, Aparisi, F. e Haro, C. L. (00), Hotelling s T Control Chart with Variable Sampling Intervals, International Journal of Production Research, 39, Aparisi, F. e Haro, C. L. (003), A Comparison of T² Control Charts with Variable Sampling Schemes as Opposed to MEWMA Chart, International Journal of Production Research, 4, Chou, C.Y., Chen, C.H. e Chen, C.H. (006), Economic Design of Variable Sampling Intervals T Control Charts Using Genetic Algorithms, Epert Sstems with Applications, 30, Costa, A. F. B. (994), X charts with Variable Sample Size, Journal of Qualit Technolog, 6, Costa, A. F. B. (997), X charts with Variable Sample Size and Sampling Interval, Journal of Qualit Technolog, 9, Costa, A. F. B. (998), Joint X and R Charts with Variable Parameters, IIE Transactions, 30, Costa, A. F. B. (998a), Gráficos de Controle X para Processos Robustos, Gestão&Produção, 5, Costa, A. F. B. (999), Joint X and R charts with Variable Sample Sizes and Sampling Intervals, Journal of Qualit Technolog, 3, Costa, A. F. B. (999a), X Charts with Variable Parameters, Journal of Qualit Technolog, 3, Costa, A. F. B. e De Magalhães M. S. (006), An Adaptive Chart for Monitoring the Process Mean and Variance, Qualit and Reliabilit Engineering International, (aceito para publicação). Costa, A. F. B. e Machado, M. A. G. (006), Snthetic Control Charts with Two-Stage Sampling for Monitoring Bivariate Processes, Pesquisa Operacional, (submetido). Costa, A. F. B. e Rahim, M. A. (004), Joint X and R Charts with Two Stage Samplings, Qualit and Reliabilit Engineering-International, 0, Costa, A.F.B. e Rahim, M. A. (006), The Non-central Chi-square Chart with Two Stage Samplings, European Journal of Operation Research, 7, Costa, A.F.B., Epprecht E.K. e Carpinetti, L.C.R., Controle Estatístico de Qualidade, Editora Atlas, São Paulo, 005. Daudin, J. J. (99), Double sampling X charts, Journal of Qualit Technolog, 4, De Magalhães, M. S., Epprecht, E. K. e Costa, A. F. B. (00), Economic Design of a VP X Chart, International Journal of Production Economics, 74, De Magalhães, M. S., Costa, A. F. B. e Epprecht, E. K. (00), Constrained Optimization Model for the Design of an Adaptive X Chart, International Journal of Production Research, 40, De Magalhães, M. S. e Moura Neto, F. D. (005), Joint Economic Model for Totall Adaptive X and R Charts, European Journal of Operational Research, 6, De Magalhães, M. S., Costa, A. F. B. e Moura Neto, F. D. (006), Adaptive Control Charts: A Markovian Approach for Processes Subject to Independent Out-of-control Disturbances, International Journal of Production Economics, 99, Epprecht, E. K. e Costa, A. F. B. (00), Adaptive Sample Size Control Charts for Attributes, [ 058 ]

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