COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE OS GRÁFICOS DE CONTROLE X-BARRA E T - STUDENT VARIANDO- SE O NÚMERO E O TAMANHO DAS AMOSTRAS

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1 COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE OS GRÁFICOS DE CONTROLE X-BARRA E T - STUDENT VARIANDO- SE O NÚMERO E O TAMANHO DAS AMOSTRAS Flavio Luiz Mazocco (UFSCar ) mazocco@hotmail.com Germano Mendes Rosa (IFMG ) germano.rosa@ifmg.edu.br Guilherme Dandrade Lourenco (UFSCar ) rugby05@gmail.com Lucas Augusto Radicchi (UFSCar ) luradicchi@gmail.com Pedro Carlos Oprime (UFSCar ) pedro@dep.ufscar.br Os gráficos de controle são ferramentas estatísticas poderosas para alertar ocorrências de anormalidades durante um processo produtivo, além de proporcionar às organizações uma linguagem comum para discutir o desempenho do processo. O monitoramento das características críticas para qualidade do produto por meio dos gráficos de controle torna vital a fase de dimensionamento destes gráficos, pois um mau desempenho levará a tomadas de decisões equivocadas. Dada à importância, este artigo aborda a comparação das propriedades estatísticas entre a carta X-barra e a carta t-student

2 ao variar o número (m), o tamanho (n) e o delta (δ) das amostras, dispostos em tabelas. A performance dos dois gráficos de controle será avaliada por meio do cálculo da medida de desempenho ARL (average run lenght), evidenciada graficamente. Ao final será realizado um paralelo em relação ao estudo apresentado no artigo de Castagliola; Celano; Fichera, 2013, a fim de verificar as possíveis diferenças entre os resultados obtidos. Palavras-chaves: CEP, desempenho dos gráficos de controle, ARL, variação dos parâmetros 2

3 1. Introdução Dentre todas as ferramentas do controle estatístico de processo (CEP), o gráfico de controle ocupa um papel de destaque na engenharia da qualidade, pois ele possibilita estatisticamente controlar os processos. Essa poderosa técnica possibilita aos gerentes e operadores a (MONTGOMERY, 2004): a) Separar as variações dos processos entre causas comuns e causas especiais; b) Coletar dados ao longo do tempo e compará-los para identificar problemas; c) Utilizar de uma linguagem comum para discutir o desempenho do processo; d) Verificar se alterações intencionais em um processo alcançaram o resultado esperado; e) Monitorar processos e identificar rapidamente mudanças ou alterações para ajudar a conservar os ganhos gerados por um projeto de melhoria. No caso em que as características da qualidade em estudo referem-se a um tipo de dado contínuo (com variação ao longo do tempo) coletado em subgrupos (amostra do processo para gerar um ponto no gráfico), tradicionalmente, o gráfico é escolhido (MONTGOMERY, 1992; MONTGOMERY, 2004). Um dos motivos pela escolha desse tipo de gráfico é o fato de que os subgrupos permitem uma estimativa precisa de variabilidade local de modo a captar somente os efeitos decorrentes de causas aleatórias dentro de cada subgrupo, e detectar diferenças entre subgrupos. A eficácia do CEP é afetada por julgamentos errôneos sobre o real estado do processo, e cabe aos instrumentos estatísticos mitigar esses erros. A implantação dos gráficos de controle estatístico do processo passa por duas fases, conforme indica Montgomery (1992). É na chamada fase I que são estabelecidos os limites de controle, no caso da carta clássica de Shewhart /s e /R, por meio da estimativa dos parâmetros estatísticos da média (µ) e desvio padrão (σ). O problema desses gráficos de controle é supor que os parâmetros estatísticos sejam conhecidos, o que na prática não é verdade. Isso afeta substancialmente a eficiência desses 3

4 gráficos. Esse problema foi estudado pelos principais autores da área (JENSEN et al., 2006; CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN, 2009; CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA; CELANO; FICHERA, 2013). Em todos esses estudos o objetivo foi melhorar o desempenho dos gráficos de controle, redimensionando os procedimentos de cálculo dos limites de controle utilizados correntemente. Castagliola, Celano e Fichera (2013) fizeram um interessante estudo sobre o desempenho dos gráficos de controle e. Os autores estudaram as cartas e onde propuseram novas constantes e para os cálculos dos limites de controle para o erro e consequente número médio de amostras até a detecção de um ponto fora de controle (Average Run Lenght), quando o processo está sob controle. Nesse trabalho são estabelecidas e para diferentes números e tamanhos de amostras. Este artigo procura avaliar o que ocorre com o desempenho do gráfico de controle, por meio da medida de desempenho ARL, quando se varia o número (m) e o tamanho (n) de amostras para uma determinada faixa de variação na média com base no número de desvio padrão ( ). Na sequência, foi comparado com o desempenho do gráfico de controle t- student para o mesmo plano amostral descrito anteriormente. Foram utilizados métodos de simulação desenvolvidos no software Maple 13 para a análise do desempenho dos gráficos e t-student. Em geral, o método de simulação é mais simples que os métodos numéricos o que facilita seu uso em problemas de engenharia. O artigo foi estruturado da seguinte maneira: na próxima seção será realizada uma revisão teórica, onde serão expostos os principais autores e seus respectivos estudos relacionados ao tema do trabalho. Posteriormente, será apresentado o método de trabalho realizado, com as tabelas contendo os parâmetros selecionados para os diferentes planos amostrais e as curvas da medida de desempenho ARL obtidas para ambos os gráficos de controle, completando assim a análise numérica. Na seção 4, finalmente será realizada a conclusão sobre o 4

5 desempenho estatístico dos gráficos e t-student, discutindo os resultados obtidos, além de compará-los com o estudo realizado no artigo de Castagliola, Celano e Fichera (2013). 2. Revisão da literatura 2.1. Fundamentos teóricos do controle estatístico do processo O controle estatístico do processo (CEP) compreende um conjunto de técnicas estatísticas utilizadas no monitoramento sistemático dos processos produtivos, a fim de contribuir para a fabricação de produtos ou serviços que atendam aos requisitos dos clientes (CASTAGLIOLA et al., 2008). A essência do CEP é monitorar a variação inerente aos processos, denominada de variação natural do processo, e distingui-las das causas especiais, que em geral são identificáveis (JURAN, 1982). A fundamentação teórica do CEP centra-se na distinção entre causas comuns e causas especiais. As causas comuns produzem individualmente pequenos efeitos e são difíceis de serem detectas e eliminadas. Por outro lado, as causas especiais produzem grandes efeitos, sua ocorrência é menos frequente e são mais fáceis de serem detectadas (MICHEL; FOGLIATTO, 2002; MONTGOMERY; RUNGER, 2003). O procedimento estatístico proposto por Shewhart define limites estatísticos de controle que contenha somente a variabilidade aleatória, natural do processo. Isso é feito extraindo-se amostras pequenas (n<9), denominado de subgrupos racionais, ao longo do tempo de modo a determinar um padrão de variabilidade. Segundo Jensen et al. (2006), a estimação de parâmetros nos gráficos de controle tem gerado diversas questões de pesquisa. Uma delas se preocupa com a determinação da eficiência dos gráficos de controle. A outra busca determinar o número e o tamanho das amostras que devem ser considerados na fase I para se garantir o correto desempenho do gráfico na fase II. Por fim, são estudadas formas de se ajustar os limites do gráfico na fase II com o objetivo principal de minimizar os efeitos da estimação. 5

6 Em geral, os valores dos parâmetros do processo não são conhecidos e precisam ser estimados. As incertezas associadas a essas estimativas podem causar diferenças de desempenho dos gráficos de controle em relação ao uso dos mesmos com parâmetros conhecidos (JENSEN et al., 2006). Quando os parâmetros de uma determinada característica da qualidade são desconhecidos, os gráficos de controle são normalmente construídos em duas fases. Na fase I (fase préprospectiva) são estimados os limites de controle estatístico. Na carta tradicional de Shewhart, em geral, são extraídas 25 amostras com de tamanho cinco (5) para estimativa dos parâmetros do processo e dos limites de controle estatístico. Na fase II, com o gráfico já definido, novas amostras são retiradas e diz-se que o processo está estável quando o resultado da característica observada é plotada entre os limites de controle, ou quando não é observada tendências dentro dos limites estatísticos. Caso contrário, diz-se que o mesmo está fora de controle devido à presença de causas especiais (JENSEN et al., 2006). Uma das questões de pesquisas atuais é estudar o desempenho dos gráficos de controle (por meio do ARL) sabendo-se que os parâmetros estatísticos dos processos são estimados na fase I. Apesar de artigos que tratam do problema terem sido publicados na segunda metade da década de noventa, é a partir de 2006 que um significativo número de artigos surgiu tratando dos efeitos da estimativa de parâmetros estatístico no desempenho do CEP (CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA; WU, 2012; CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN 2009; MARAVELAKIS; CASTAGLIOLA, 2009; ZHANG; CASTAGLIOLA, 2010). 2.2 Medidas do desempenho de gráficos de controle O uso de estimativas dos parâmetros pode ocasionar piora no desempenho dos gráficos de controle, quando comparados com o desempenho de gráficos construídos com parâmetros realmente conhecidos. Jensen et al. (2006) apresenta o problema de modo prático. Para os autores, o desempenho de gráficos de controle é extremamente afetado pela estimativa dos 6

7 parâmetros estatísticos feitos na fase I. É importante salientar que essa questão já tinha sido estudada anteriormente (CHEN, 1997), mas o trabalho de Jensen et al. (2006) é significativo para o desenvolvimento de pesquisas na área, pois nesse artigo são detalhadas as pesquisas já realizadas sobre o assunto com indicações de futuras pesquisas. O uso do gráfico de controle deve permitir a correta separação das causas naturais das causas especiais, detectando com um determinado erro α, a presença de causas especiais atuando no processo. Outra questão importante no uso do gráfico de controle é sua capacidade de predição de perda de estabilidade. Neste caso, existem medidas de eficiência associadas aos gráficos de controle, as quais são: o falso alarme e o falso negativo (β) (MONTGOMERY, 1992). Para avaliar os efeitos das estimativas dos parâmetros no desempenho dos gráficos de controle, algumas medidas comparativas são necessárias. Dentre elas, o comprimento médio da sequência ou ARL, é a medida de desempenho de gráficos de controle mais comum e é definido como o número esperado de dados plotados (ou coletados) antes que um sinal ocorra. O ARL em controle é o valor de dados esperados, na média, até um sinal ocorrer. ARL fora de controle é uma medida de quão rápido uma situação fora de controle será detectada (JENSEN et al., 2006). Tanto o erro como o erro são probabilidades de decisões erradas sobre o processo, sendo o primeiro a falsa detecção de um problema (detectar que o processo está fora de controle, quando não está), e o segundo é o erro da não detecção do estado fora de controle do processo. Do ponto de vista teórico, o erro tipo I é fixado ( e o erro tipo II é avaliado pelo poder do teste estatístico, dado por 1-β. O desempenho de um gráfico de controle é avaliado pela sua capacidade de detectar causas especiais e com o menor erro tipo I. Para um processo estável, o ARL é dado por, e para um processo instável, o (MONTGOMERY, 1992; 7

8 MONTGOMERY, 2004). Zhang et al. (2011) analisaram comparativamente os comportamentos dos gráficos e t- student (e dos respectivos gráficos de média móvel exponencialmente ponderada) através dos cálculos de ARL, assumindo que os parâmetros da fase de referência eram perfeitamente conhecidos, para sequência longa de produção. Celano et al. (2011) e Celano, Castagliola e Trovato (2012) também analisaram a implementação dos gráficos t e t de média móvel exponencialmente ponderada para sequência curta de produção e assumindo parâmetros conhecidos na fase I. O comprimento médio da sequência, ARL, é calculado diferentemente para cada tipo de gráfico ( e t) e para cada situação (parâmetros conhecidos ou estimados). As expressões considerando a estimativa dos parâmetros, conforme Castagliola, Celano e Fichera (2013), são: a) Gráfico : b) Gráfico t-student: em que é a probabilidade de uma amostra da fase II, onde i é um subgrupo e encontra-se sob controle, ou seja, encontra-se entre os limites inferior e superior de controle; f U e f V são densidades de probabilidade de variáveis aleatórias U e V (CASTAGLIOLA; CELANO; FICHERA, 2013). 8

9 Castagliola, Celano e Fichera (2013) realizaram uma análise numérica e determinaram as constantes quando os parâmetros são desconhecidos, que são diferentes das constantes quando os parâmetros estatísticos são conhecidos, isso para, o que equivale a. Por exemplo, para e, =1,329 e e quando,. Esse resultado permite utilizar valores exatos de para combinações de e. Métodos numéricos são extensivos às aplicações em problemas de engenharia, como as utilizadas correntemente nos estudos de desempenho de gráficos de controle estatístico de processo. Métodos de simulação podem ser adequados quando se deseja avaliar alternativas delineadas para solucionar determinados problemas. A utilização de gráficos de controle do tipo Shewhart é baseada em três suposições: independência (medidas são coletadas consecutivamente dentro e entre os subgrupos e são independentes), normalidade (características de qualidade monitoradas seguem distribuição normal) e setup inicial perfeito (média e desvio padrão da característica da qualidade do processo são perfeitamente estimados através da fase I em controle). Muitos trabalhos foram publicados analisando a violação das duas primeiras suposições, mas poucos estudos analisaram a violação da terceira suposição, entre eles, Castagliola, Celano e Fichera (2013). 3. Resultados e análises Neste artigo, a avaliação numérica é realizada por meio da medida de desempenho ARL, com o intuito de analisar a propriedade estatística dos gráficos de controle (baseado na distribuição Normal) e t (baseado na distribuição t-student). Para a construção das tabelas foi utilizado o software Maple 13, configurado conforme as fórmulas apresentadas para obtenção dos valores do ARL. No software foram feitos dois programas para obtenção do ARL e construção das tabelas para e t-student. 9

10 Para a obtenção do ARL no programa específico para t-student, manipularam-se os parâmetros m, n e. Nesse caso, o programa retornou valores teóricos do ARL, e por isso pode-se verificar que os dados apresentados na Tabela 3 são iguais aos descritos no artigo do Castagliola, Celano e Fichera 2013 (Tabela 1). Enquanto Castagliola, Celano e Fichera (2013) apresentam valores do ARL e SDRL (Standard Deviation Run Leght) para um processo sob controle (Tabela 1), a Tabela 3 apresenta apenas valores do ARL com variando de 0 a 2. Nota-se que ao variar, diminui-se o número e/ou tamanho de amostras necessárias para detectar qualquer variação no processo. A variação do não é desejada, mas é imprescindível conhecê-la para identificação prematura da variação no processo. Para a obtenção do ARL no programa foi considerado um processo real no qual são conhecidas as variáveis α=0,0027, μ=1,26±0,10 mm, Cpk=1,0. Conhecendo-se as variáveis do processo foi possível simular os valores de ARL variando-se m, n e δ nas fases I (µ 0= 1,26) e II (μ calculado). Como se trata de uma simulação, pode-se verificar que os valores de ARL na Tabela 2 (Maple 13, ) e na Tabela 1 são muito diferentes. O mesmo comentário feito no parágrafo anterior sobre a variação do, também se aplica à Tabela 2. 10

11 Tabela 1 Valores de ARL e DSRL para n={3,5,7,9} e δ=0, correspondente aos gráficos de controle e t-student sob controle estatístico Fonte: Castagliola, Celano e Fichera (2013, p. 10) Tabela 2 Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao gráfico de controle. 11

12 Fonte: Elaboração própria Tabela 3- Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao gráfico de controle t-student Fonte: Elaboração própria 12

13 Analisando a Figura 1, é visível a diferença no comportamento da curva ARL entre e t- student. Tanto para os gráficos de quanto para os gráficos t, verifica-se que quanto maior o tamanho da amostra n, menor o ARL e consequentemente maior a possibilidade de identificação de variação no processo. Para δ=0, obtém-se menores valores de ARL nos gráficos de t, porém, a partir de δ=0,2 fica evidente que os gráficos são muito mais robustos. Ou seja, verifica-se uma curva muito mais acentuada o que facilita a identificação da variação no processo. Para processos fora do controle estatístico, quanto menor o valor do ARL melhor é o desempenho do gráfico, já que neste caso o ARL é uma medida do quão rápido se detecta uma situação fora de controle do processo. Comparando as tabelas fornecidas anteriormente observa-se que os valores do ARL dos gráficos de controle são consideravelmente menores do que o de t-student, indicando que é mais robusto que t, ou seja, seu desempenho estatístico é melhor para situação fora de controle. As simulações realizadas mostram um resultado contrário ao estudo realizado por Castagliola, Celano e Fichera (2013), onde ficou constatado que para situações fora de controle o gráfico t se apresentou como o mais robusto. Essa diferença entre o presente artigo e o do Castagliola, Celano e Fichera (2013) deve ser estudada com mais ênfase. Enquanto aqui foram apresentados valores do ARL variando m, n e δ, por meio do artigo Castagliola, Celano e Fichera (2013), os autores chegaram à diferente conclusão construindo gráficos onde foram considerados valores fixos para o número de amostras m=10 e tamanho da amostra n=5 (variando-se δ e τ). Apesar de Castagliola, Celano e Fichera (2013) afirmarem que os gráficos t são mais robustos, verifica-se que os gráficos t são mais eficientes para valores de δ<0,80. Ou seja, de certa maneira pode-se interpretar que para valores de δ>0,80, Castagliola, Celano e Fichera (2013) concordam que os valores do ARL decrescem acentuadamente nos gráficos. Analisando detalhadamente os gráficos de Castagliola, Celano e Fichera (2013) em contraste com o resultado das simulações, podem ser 13

14 notados comportamentos semelhantes, apesar das diferentes conclusões, o que sugere a necessidade de estudos mais detalhados. Figura 1 Gráficos com os valores da medida de desempenho ARL para um mesmo m, variando n = {3, 5, 7, 9} e = {0; 0,2; 0,4;...; 2} 14

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16 Fonte: Elaboração própria 4. Conclusão As Tabelas 2 e 3 mostram que correções para os limites de controle devem ser aplicadas corretamente, em função de m e n, tanto para o gráfico quanto para o gráfico t. Verifica-se também que os valores do ARL utilizando número de amostras m=25 e tamanho da amostra n=5, usualmente sugeridos na literatura e utilizados na prática, diferem dos valores para parâmetros conhecidos (m ), podendo levar a erros na avaliação dos parâmetros. Os valores de ARL foram coletados utilizando o software Maple 13 para montagem das tabelas e gráficos. Os gráficos da Figura 1 simplificaram a análise, mostrando que: apesar dos gráficos t apresentarem valores de ARL menores para δ=0, ao se variar o δ, o gráfico apresentou maior robustez para 0<δ 2, uma vez que este apresentou menores valores de ARL, significando maior rapidez na identificação de uma variação no processo fora de controle. Apesar de Castagliola, Celano e Fichera (2013) afirmarem e mostrarem em seu artigo que os gráficos t são mais robustos, é importante salientar que os valores de ARL foram obtidos considerando fixos os valores de m=10 e n=5 (variando-se δ e τ). Além disso, foi possível identificar em seu artigo que os gráficos t são mais eficientes para valores de δ<0,80 (ou seja, para δ>0,80 os valores de ARL decrescem acentuadamente nos gráficos ), o que comprova parte do trabalho apresentado. Pensando em trabalhos futuros, sugere-se um estudo mais aprofundado para explicar essa aparente divergência nas conclusões, ampliando-se os intervalos estudados e comparando os métodos de análise numérica e por simulação. Referências CASTAGLIOLA, P., Celan, G.; FISCHERA, S. Comparison of the chart and the t chart when the parameters are estimated. Quality Technolgy of Quantitative Management, v.10, n. 1, p. 1-16,

17 CASTAGLIOLA, P.; MARAVELAKIS, A. CUSUM control chart for monitoring the variance when Parameters are Estimated. Journal of Statistical Planning and Inference, v. 141, n. 4, pp , CASTAGLIOLA, P.; CELANO, G.; CHEN, G. The exact run length distribution and design of the S2 chart when the in-control variance is estimated. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, v. 16, n.1, pp , CASTAGLIOLA, P.; WU, S. Design of the c and np charts when the parameters are estimated. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, v. 19, n. 2, pp , CELANO, G. et al. Shewhart and EWMA t control charts for short production runs. Quality and Reliability Engineering International, v. 27, n. 1, p , CELANO, G., Castagliola, G., Trovato, E. The economic performance of the Shewhart t chart. Quality Technology & Quantitative Management, v. 9, n. 4, p , CHAKRABORTI, S. Parameter estimation and design considerations in prospective applications of the chart. Journal of Applied Statistics, v. 33, n. 4, pp , CHEN, G. The mean and standard deviation of the run length distribution of estimated. Statistica Sinica, v. 7, pp , charts when control limits are JENSEN, W.A. et al. Effects of parameter estimation on control chart properties: a literature review. Journal of Quality Technology, v. 38, n. 4, p , 2006 JURAN, J.M.; GRYNA, F.M. Controle da Qualidade: Handbook. São Paulo: McGraw-Hill, MICHEL, R.; FOGLIATTO, F.S. Projeto econômico de cartas adaptativas para monitoramento de processos. Gestão & Produção, v. 9, n. 1, pp.17-31, MONTGOMERY, D. C. Introduction to statistical quality control. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, p. MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. 513 p. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2.ed, Rio de Janeiro, LTC, ZHANG, Y., CASTAGLIOLA, P. Run rules charts when process parameters are unknown. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, v. 17, n. 4, pp , ZHANG, Y., CASTAGLIOLA, P.; WU, M.B.; KHOO, C. The synthetic Transactions, v. 43, n. 9, pp , chart with estimated parameters. IIE ZHAN, L.; CHEN, G.; CASTAGLIOLA, P. On t and EWMA t charts for monitoring changes in the process mean. Quality and Reliability Engineering International, v. 25, n. 8, p ,

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