Gráfico de controle NPEWMA-SR: Uma aplicação no setor industrial

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1 Gráfico de controle NPEWMA-SR: Uma aplicação no setor industrial Elisa Henning 1, Custodio da Cunha Alves 2, Andrea Cristina Konrath 3, Olga Maria Formigoni CarvalhoWalter 4 1 Professora Doutora em Engenharia de Produção, Joinville/SC, UDESC, elisa.henning@gmail.com 2 Professor Doutor em Engenharia de Produção, Joinville/SC, UNIVILLE, custodio.alves@univille.net 3 Professora Doutora em Engenharia Mecânica, Florianópolis/SC, UFSC, andreack@gmail.com 4 Professora Mestre em Engenharia de Produção, Joinville/SC, UDESC, olgaformigoni@gmail.com Resumo Os gráficos de controle são ferramentas estatísticas eficazes desenvolvidas para o monitoramento de características de qualidade de um processo ao longo do tempo, sob o pressuposto de uma forma específica de distribuição paramétrica. No entanto, em muitas situações não há informações suficientes para justificar tal suposição. Os gráficos de controle estatístico de processos não paramétricos ou livres de distribuição podem contemplar esse propósito mais amplo. Na situação apresentada neste trabalho, cuja distribuição subjacente do conjunto de dados é não normal ou desconhecida, o gráfico de controle estatístico não paramétrico EWMA de postos com sinais (NPEWMA-SR) é indicado para detectar pequenas alterações de um processo. Esse gráfico é aplicado a um conjunto de dados reais que atende a esta situação de não normalidade ou livres de distribuição para monitorar pequenas mudanças na média um processo de fabricação de artefatos de borracha. Os resultados obtidos mostram que o gráfico NPEWMA-SR é a melhor alternativa para o controle estatístico desse processo, uma vez que foi capaz de identificar uma mudança de pequena magnitude na média e minimizar a presença de falsos alarmes. Palavras-chave: Controle estatístico de processos; gráficos não paramétricos; NPEWMA-SR. Abstract Control charts are effective statistical tools developed for monitoring quality characteristics of a process over time, under the assumption of a specific form of distribution. However, in many applications there is not sufficient information to support such an assumption. Nonparametric or distribution-free statistical process control charts can be used in these cases. This paper presents an application of one nonparametric control chart (NPEWMA-SR). This chart is recommended for monitoring processes when the underlying distribution is not normal or unknown. In this paper, the NPEWMA-SR control chart was applied to real data for a rubber products manufacturing process. The results show that the NPEWMA-SR control chart is a suitable alternative for monitoring this process, since it was able to identify a small change in the mean and minimize the presence of false alarms. Keywords: Statistical Process Control; Nonparametric charts; NPEWMA-SR. I. INTRODUÇÃO Na Engenharia da Qualidade os gráficos de controle estatístico de processos são amplamente utilizados para monitorar a estabilidade de processos sequenciais, tais como processos de fabricação, sistemas de saúde, fluxo de tráfego de internet, entre outros. Gráficos de controle são ferramentas estatísticas eficazes, desenvolvidas originalmente para o monitoramento de características de qualidade sob o pressuposto de uma forma específica de distribuição paramétrica. Essas ferramentas são definidas por meio de estatísticas e baseiam-se em certas distribuições de probabilidade, especialmente na distribuição normal [1]. Deste modo, gráficos de controle estatístico não paramétricos ou livres de distribuição podem contemplar esse propósito mais amplo [2], [3] e [4]. Um dos principais objetivos dos gráficos de controle estatístico é distinguir a variabilidade entre duas fontes, ou seja, a variabilidade decorrente de causa comum (aleatória) que é intrínseca, natural e está presente em qualquer processo repetitivo e causa especial (atribuível) que é resultado de fatores que não são apenas aleatórios. No Controle Estatístico de Processos (CEP) o padrão pressuposto é o paramétrico, assumindo-se que os dados seguem alguma distribuição, como por exemplo, a normal [4]. A estatística de gráficos e os limites de controle dependem do pressuposto de normalidade e, como tal, as propriedades desses gráficos são exatas somente se esta suposição é satisfeita. No entanto, em muitas aplicações se a distribuição de probabilidade é desconhecida ou não é normal, o desempenho do gráfico de controle padrão para tais situações é afetado podendo causar, por exemplo, alarmes falsos [5]. Isso implica na necessidade de utilizar algum procedimento alternativo, flexível e robusto de gráfico de controle que não assume a normalidade ou qualquer outro pressuposto de modelo não paramétrico específico sobre a distribuição de probabilidade subjacente. Este trabalho apresenta uma aplicação do gráfico de controle não paramétrico média móvel exponencialmente ponderada de postos com sinais Non Parametric Exponentially Weighted Moving Average Signed-Rank (NPEWMA-SR) para o monitoramento de pequenos desvios da média de um processo industrial. O objetivo principal é investigar uma série de dados na qual sua distribuição é desconhecida e, sobretudo aplicar

2 o gráfico de controle estatístico adequado ao processo estudado. II. GRÁFICOS DE CONTROLE Os três principais gráficos de controle paramétricos utilizados no CEP univariado são os gráficos do tipo Shewhart, Soma Acumulada Cumulative Sum (CUSUM) e Média Móvel Exponencialmente Ponderada Exponentially Weighted Moving Average (EWMA). De modo geral, estes três gráficos para serem efetivos exigem que os dados sejam independentes e normalmente distribuídos. O gráfico de controle do tipo Shewhart é amplamente conhecido e frequentemente utilizado em função de sua simplicidade e desempenho global. Por outro lado, os gráficos de controle CUSUM e EWMA são alternativas mais apropriadas para a rápida detecção de pequenas alterações, quando comparados aos gráficos de Shewhart, nos quais apenas a informação do último ponto demarcado é considerada [5]. Os gráficos de controle não paramétricos, ou livres de distribuição, podem fornecer ao analista de qualidade, na prática, uma alternativa robusta, quando há a falta de conhecimento sobre a distribuição de dados subjacente [8]. Existe uma vasta coleção de testes não paramétricos e intervalos de confiança que revelam um bom desempenho em comparação com os seus homólogos, que envolvem a teoria de normalidade. Mesmo quando a distribuição subjacente é normal, a eficiência de alguns métodos não paramétricos relativos aos correspondentes métodos paramétricos pode ser melhor [6]. Os métodos não paramétricos serão menos eficientes quando se tem um conhecimento completo da distribuição do processo no qual o método paramétrico foi especificamente projetado. No entanto, a realidade é que na prática essa informação é raramente disponível. Assim, para desenvolver e utilizar métodos não paramétricos em CEP é aconselhável que analistas de qualidade tenham conhecimentos dessas técnicas. O papel cada vez maior dos métodos não paramétricos em controle estatístico de qualidade ou problemas de CEP são destacados por Woodall e Montgomery [2] e Woodall [3]. É possível notar um crescente interesse por gráficos de controle não paramétricos na literatura. Chakraborti, Van der Laan e Bakir [7] apresentam um relato minucioso da literatura sobre gráficos de controles não paramétricos. Para Chakraborti e Graham [8] os gráficos de controle não paramétricos são mais trabalhosos para a implementação prática. Chakraborti, Human e Graham [9] relatam que gráficos de controle não paramétricos podem fornecer uma alternativa robusta, quando há a falta de conhecimento sobre a distribuição de dados subjacente, e, mais recentemente, Mukherjee, Graham e Chakraborti [10] fornecem visões gerais aprofundadas sobre o tema. Um gráfico de controle não paramétrico é definido em termos da distribuição do número de amostras coletadas até à emissão de um sinal durante o período sob controle. Se esta distribuição for a mesma para cada distribuição contínua, o gráfico de controle é chamado não paramétrico ou livre de distribuição. Chakraborti, Van der Laan e Bakir [7] resumem algumas vantagens dos gráficos de controle não paramétricos: simplicidade, não há necessidade de assumir uma distribuição paramétrica particular para o processo subjacente, mais robusto e resistente a outliers. Além disso, maior eficiência na detecção de alterações quando a verdadeira distribuição é notadamente não normal, particularmente com caudas mais pesadas, não há necessidade de estimar a variação no desenvolvimento de gráficos para o parâmetro de localização. Uma grande vantagem, é que a distribuição do número de amostras coletadas até à emissão de um sinal durante o período sob controle, nesses gráficos, é a mesma para todas as distribuições contínuas. No CEP, os gráficos de controle são desenvolvidos em duas fases. A fase I (fase retrospectiva), tipicamente, a análise preliminar, que inclui planejamento, administração, coleta dos dados, análise exploratória, sendo realizada para garantir que o processo está sob controle. Isto significa que o processo é controlado para operar próximo de algum valor alvo aceitável, juntamente com alguma variação natural e sem a presença de causas específicas de interesse. A maioria dos gráficos não paramétricos, no entanto, têm sido desenvolvidos para aplicações da fase II, que é a fase de monitoramento. Alguns autores têm estudado gráficos de controle não paramétricos que envolvem a fase I tais como, por exemplo, Human, Chakraborti e Eryilmaz [11]. Uma vez que a distribuição não é mais tipicamente conhecida podem assumir uma distribuição subjacente do processo decorrente da fase I, onde os gráficos de controle não paramétricos podem ser de grande utilidade. Há três classes principais de gráficos de controle não paramétricos: os gráficos do tipo Shewhart, Non Parametric Shewhart (NPShewhart); os gráficos de soma acumulada, Non Parametric Cumulative Sum (NPCUSUM) e os de média móvel exponencialmente ponderada, Non-Parametric Exponentially Weighted Moving Average (NPEWMA). Na sequência detalha-se o gráfico NPEWMA-SR, aplicado aos dados deste trabalho. A. Gráfico de controle EWMA não paramétrico de postos com sinais (NPEWMA-SR) Suponha que X i1, X i2,, X in denote a i-ésima (i = 1,2,...) amostra ou subgrupo com observações independentes de tamanho n > 1 a partir do processo com uma função distribuição contínua desconhecida denotada por F. Se θ 0 (valor nominal) denota o parâmetro de localização sob controle conhecido e se R ij + denota o posto dos desvios absolutos, X i1 θ 0 dentro do subgrupo X i1 θ 0, X i2 θ 0,, X in θ 0, para i = 1,2,3,.... Então R ij + é definido como a posição absoluta dos desvios dentro do subgrupo. O teste estatístico de postos com sinais é dado pela Equação 1:

3 n + SR i = j=1 sign(x ij θ 0 ) R i,j (1) para i = 1, 2, 3..., com sign(a) = 1,0,1 se A < 0, A = 0 e A > 0; θ 0 é valor nominal, conhecido ou especificado. Assim, SR i é a diferença entre a soma dos postos das diferenças absolutas correspondentes às diferenças positiva e negativa, respectivamente. O teste estatístico de postos com sinais (SR) de Wilcoxon é uma popular alternativa não paramétrica ao teste t de uma amostra para testar hipóteses (ou formação dos intervalos de confiança) sobre o parâmetro de localização (média/mediana) de uma distribuição simétrica com população contínua. O teste Wilcoxon se configura numa alternativa robusta, de alto poder, em casos de não normalidade [12]. Nesta seção a abordagem adotada por Lucas e Saccucci [13] é estendida para a utilização da estatística de postos com sinais resultando no gráfico de controle NPEWMA-SR que é desenvolvido acumulando as estatísticas SR 1, SR 2, SR 3,... sequencialmente a partir de cada subgrupo. A estatística plotada neste gráfico é obtida pela substituição de X i (média das médias amostrais) no cálculo da estatística de controle do procedimento EWMA por SR, e é dada pela Equação 2 Z i = λsr i + (1 λ)z i 1 i = 1, 2, 3, ; (2) onde o valor de início é tomado como Z 0 = 0 e 0 < λ 1 é a constante de aproximação. Quando λ = 1 tem-se o gráfico NP Shewhart, tipo SR de Bakir [13]. O gráfico de controle NPEWMA-SR é desenvolvido pela plotagem de Z i versus o número da amostra i (ou tempo). Quando a estatística Z i ficar entre os dois limites de controle, o processo é considerado sob controle. No entanto, se ficar fora dos limites de controle, o processo é dito fora de controle estatístico. Os limites de controle exatos: Limite Inferior de Controle (LIC), Limite Superior de Controle (LSC) e da linha central (LM) do gráfico de controle NPEWMA-SR podem ser obtidos pela Equação 3 LIC LSC + 1)(2n + 1) = ± L (n(n ) ( λ 6 2 λ ) (1 (1 λ)2i ) (3) e LM = 0. Os limites de controle no estado estacionário e da linha média são dados pela Equação 4 LIC = ± LSC L (n(n+1)(2n+1) 6 ) ( λ ) (4) 2 λ e LM = 0. Estes limites são tipicamente utilizados quando o gráfico NPEWMA-SR tem sido executado por vários períodos de tempo sabendo que i para que (1 (1 λ) 2i ) 1. O desempenho de um gráfico de controle é estudado por meio de sua distribuição de comprimento de sequências Run Length (RL), que indica o número de amostras coletadas até a emissão de um sinal. A escolha dos parâmetros (λ, L) do projeto do gráfico NPEWMA-SR geralmente envolve duas etapas: incialmente encontrar as combinações (λ, L) que produzem o ARL sob controle (ARL 0) desejado. Em seguida plota-se contra ARL0 para encontrar o L para um dado valor de λ. Em segundo lugar, é preciso escolher, dentre estas combinações (λ, L), aquela que proporcionaria o melhor desempenho, ou seja, o menor ARL fora de controle (ARL δ) para a mudança (δ) que se deseja detectar. É importante salientar que, parâmetro de suavização (ponderação, que depende da magnitude da mudança a ser detectada) é tipicamente selecionado primeiro e, em seguida, a constante L > 0 (que determina a extensão dos limites de controle, ou seja, quanto maior for o valor de L, o mais amplo dos limites de controle e vice-versa) é selecionado. Para implementar o gráfico de controle NPEWMA- SR o analista de controle da qualidade precisa dos valores dos parâmetros do projeto (λ, L). O primeiro passo é escolher o valor de λ. Para pequenas mudanças, cerca de 0,5σ (desvios padrão) ou menos, recomenda-se a escolha de um λ pequeno, como para moderadas mudanças (aproximadamente entre 0,5 e 1,5σ) pode utilizar λ = 0,10. Se esses deslocamentos forem maiores (1,5σdesvio ou mais) pode utilizar a constante λ = 0,20 [5]. O segundo passo é escolher L que conjuntamente com o λ escolhido, de modo a atingir um valor de ARL 0 desejado. A Tabela 1 traz os valores de L para ARL 0 de 370, para os principais valores de λ e tamanho de amostra n = 5. Tabela 1 Valores de L para o NPEWMA-SR com ARL 0 = 370. L Magnitude da λ (NPEWMA-SR) Mudança 0,010 1,82 0,025 2,23 Pequena 0,050 2,48 0,100 2,67 Moderada 0,200 5,76 Grande Fonte: Adaptado de Graham, Chackraborti e Human (2009) Assim, para detecção de uma pequena mudança, com a utilização do gráfico NPEWMA-SR subgrupos de tamanho n = 5 e ARL 0 desejado de 370, pode-se utilizar a combinação (λ, L)= (0,05; 2,481) o que gera um ARL 0 alcançado de 370,29 [15]. III. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A. Caracterização e condução da pesquisa Este trabalho é caracterizado como uma pesquisa aplicada [16], [17], que tem a função de aprimorar conhecimentos por meio da aplicação prática direcionada à resolução de problemas encontrados na realidade. No caso do objeto de estudo deste trabalho, tem-se um conjunto de dados no qual sua distribuição é desconhecida e procura-se aplicar o gráfico de controle

4 estatístico adequado ao processo estudado. A forma de abordagem do problema, é quantitativa, pois para o alcance do objetivo proposto os resultados são avaliados através da aplicação dos gráficos de controle estatístico. Como os dados não foram caracterizados como normais, procurou-se realizar a transformação destes por meio do procedimento de Box e Cox [18]. A transformação foi realizada com a função BoxCox( ) do pacote forecast do R. Entretanto, não foram encontrados valores de λ que tornassem esta transformação possível. Assim, seguindo os procedimentos sugeridos no trabalho de Chakraborti, Human e Graham [9] o gráfico de controle média móvel exponencialmente ponderada não paramétrico, baseado em postos com sinais SR (NPEWMA-SR) foi aplicado para monitorar a mediana. É importante ressaltar que do ponto de vista técnico, a maioria dos procedimentos não paramétricos requer uma população contínua, para ser livre de distribuição e, portanto, em um contexto do CEP são considerados neste trabalho apenas os gráficos de controle para variáveis mensuráveis [9]. Algumas desvantagens dos gráficos de controle nãoparamétricos: apresentam menor eficiência do que gráficos paramétricos quando se tem um conhecimento completo da distribuição do processo no qual o método paramétrico foi especificamente projetado; geralmente requerem tabelas especiais para amostras pequenas e os métodos não paramétricos ainda não estão bem difundidos entre a maioria dos pesquisadores e profissionais da qualidade [9]. B. Caracterização do processo e coleta de dados Os dados utilizados apresentados no Anexo 1, correspondem a um processo industrial que é monitorado com amostras de tamanho n = 5 (cinco) coletadas diariamente a cada hora de produção. A característica de qualidade monitorada neste processo é o diâmetro externo do anel para a vedação, cujo valor nominal é de 202,1 ± 0,8 mm. O monitoramento desta característica se faz necessária para que se possa garantir sua função principal que é vedar. O processo de fabricação em estudo tem origem em uma indústria líder em tecnologia da borracha do norte de Santa Catarina. Este processo envolve a produção de um modelo de anéis de vedação (componentes de borracha) utilizados para juntas elásticas de tubulações da linha de adução e distribuição de rede de água pública; esgoto sanitário e predial, irrigação e indústria petroquímica. A sistemática de desenvolvimento do gráfico NPEWMA-SR para aplicação aos dados reais desse processo é realizada em linguagem R [19], a partir de um algoritmo cujos procedimentos estatísticos incluem as seguintes etapas: escolher o ARL 0; decidir o menor tamanho da mudança aceitável, definindo a constante de ponderação λ, e determinar o limite de controle de modo que o gráfico NPEWMA-SR produza o ARL 0 especificado. IV. RESULTADOS E DISCUSSÕES Para a construção do gráfico foi escolhido ARL 0 = 370 e λ = 0,05, ou seja, uma mudança pequena, e deste modo de acordo com a Tabela 1, definiu-se L = 2,48. Ressalta-se que devido à função do produto no qual a característica da qualidade é investigada, que é a vedação, há necessidade de controlar pequenas alterações, da ordem da magnitude estudada. Caso não sejam controladas, corre-se o risco de comprometer toda a cadeia posterior de aplicação. Quanto às suposições necessárias para aplicação de gráficos de controles (Fase I), os dados não apresentam autocorrelação, de acordo com o Gráfico da Função de Autocorrelação Amostral, que pode ser visualizado na Figura 1. Figura 1 Gráfico da Função de Autocorrelação Amostral ACF. Além disso, os dados não seguem distribuição normal, o que pode ser corroborado com o gráfico de probabilidade normal (Figura 2) e com o teste de normalidade Shapiro-Wilk (valor p = 0,03444) com α = 5%. Figura 2 - Gráfico de Probabilidade Normal Como os dados não seguem a distribuição normal optou-se por fazer transformações para utilizá-los em gráficos de controle de Shewhart e EWMA, atendendo a seus pressupostos. Informações quanto às transformações e o teste de normalidade após a tentativa de transformação estão dispostos na Tabela 2.

5 Tabela 2 Valores de λ da Transformação Box Cox e resultado do valor p do teste de normalidade. λ Valor p λ Valor p λ Valor p -2,0 0, ,4 0, ,5 0, ,75 0, ,3 0, ,6 0, , ,2 0, ,7 0, ,0 0, ,1 0, ,8 0, ,9 0, ,0 0, ,9 0, ,8 0, ,1 0, ,0 0, ,7 0, ,2 0, ,5 0, ,6 0, ,3 0, ,75 0, ,5 0, ,4 0, ,0 0,03459 Fonte: Dados da pesquisa (2015) Por meio da Tabela 2 verifica-se que foram utilizados todos os valores do intervalo do parâmetro de transformação λ do procedimento Box e Cox [18] e não foi possível fazer a transformação no conjunto de dados para que o mesmo fosse admitido como normal, conforme aponta o valor p do teste de normalidade. Uma vez que os dados não seguem a distribuição normal, à aplicação dos gráficos tradicionais pode implicar no aparecimento de alarmes falsos, até mesmo no gráfico de controle EWMA, mais robusto a ausência de normalidade nos dados. Para os dados do presente processo os gráficos paramétricos Shewhart (Figura 3) e EWMA (Figura 4) geram 13 pontos além dos limites de controle, sendo a maioria destes alarmes falsos. Assim, esses gráficos de controle não se mostram adequados para serem aplicados no processo em estudo. Figura 3 Gráfico de Shewhart com os dados originais do processo. Group Summary Statistics Figura 4 Gráfico EWMA com os dados originais do processo. Nesse sentido, o conjunto de dados original foi aplicado ao gráfico de controle NPEWMA-SR, conforme apresentado na Figura 5. Z Figura 5 Gráfico NPEWMA-SR para os dados do processo Number of groups = 25 Center = StdDev = LSC = 2.95 LIC = Group Smoothing parameter = 0.2 Control limits at 3*sigma No. of points beyond limits = 13 UCL LCL Group summary statistics UCL CL LCL Subgrupos Fonte: Dados da pesquisa (2015) Os valores de S ri e Z i, obtidos a partir das Equações 1 e 2 se encontram na Tabela 3. Assumiu-se a mediana igual ao valor nominal (202,1) Number of groups = 25 Center = StdDev = Group LCL = UCL = Number beyond limits = 13 Number violating runs = 1

6 Tabela 3 Valores de S ri e Z i. Amostra S ri Z i Amostra S ri Z i , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7573 O limite inferior de controle (LIC) assintótico e limite superior de controle assintótico (LSC) calculados por meio da Equação (3) são LIC = -2,95 e LSC= 2,95. O gráfico resultante conforme Figura 5. A rotina em linguagem R, para construção do gráfico de controle NPEWMA-SR encontra-se no Anexo 2. O gráfico de controle NPEWMA-SR da Figura 5, mostra que o processo não está sob controle estatístico, ultrapassando o limite superior na 25ª amostra. Pode-se verificar no gráfico, no entanto, uma tendência de crescimento na característica de controle do processo que tem início nas amostras anteriores, mais precisamente na 18ª amostra. Sabe-se que o processo em questão sofre realmente um leve aumento, cerca de 0,5 erros padrão, no nível de seu valor nominal. Ainda, de acordo com Graham, Chakraborti e Human [15] em situações de não normalidade, para mudanças de magnitude inferior a 1,5σ, o gráfico NPEWMA-SR tem melhor desempenho que o gráfico EWMA e alguns outros procedimentos não paramétricos. O gráfico EWMA, embora seja paramétrico apresenta certa robustez a não normalidade, porém para este processo um gráfico NPEWMA-SR se apresenta como uma solução adequada para seu monitoramento. V. CONCLUSÃO O CEP tem sido extensivamente empregado desde sua introdução por Walter Shewhart. Em geral, os gráficos de controle têm procedimentos paramétricos quando se admite que a característica de qualidade de interesse segue uma distribuição de probabilidade específica [5]. Entretanto, existem muitas situações em que a característica da qualidade não atende a estes procedimentos, ou seja, não segue uma distribuição normal, desta forma as técnicas não paramétricas podem ser uma opção [9]. O gráfico de controle não paramétrico EWMA de postos com sinais (NPEWMA-SR), objeto de estudo deste trabalho, é aplicável a qualquer processo que tem distribuição contínua; não é necessária qualquer suposição de simetria ou normalidade. Em contraste, o tradicional gráfico EWMA paramétrico exige que o processo seja distribuído normalmente. No entanto, se o processo não atende a tal exigência, o gráfico EWMA levará a uma especificação errada dos limites de controle, do número médio de amostras coletadas até à missão de um sinal (ARL) e da taxa de falso alarme. É importante salientar ainda que a implementação de qualquer gráfico de controle de que se considere, pressupõe uma escolha adequada entre a utilização de gráficos paramétricos ou não paramétricos, uma vez que a sua eficiência depende em parte desta escolha. Neste trabalho, o gráfico de controle não paramétrico baseado na estatística SR (NPEWMA-SR) é aplicado a um conjunto de dados de uma indústria de tecnologia da borracha. A situação apresentada, havia uma série de dados cuja distribuição subjacente é desconhecida. Conclui-se que o gráfico NPEWMA é uma alternativa viável para o caso específico, pois foi capaz de identificar uma mudança de magnitude pequena. VI. CONSIDERAÇÕES FINAIS No contexto da aplicação realizada um aspecto positivo a ser destacado está na facilidade de construção do gráfico NPEWMA, a partir dos recursos computacionais atuais. O código utilizado para construção do gráfico de controle NPEWMA-SR (Anexo 2) possui uma sintaxe de programação simples e de fácil entendimento. Além de que pode ser facilmente implementada em ferramentas de acesso livre, como o R; em pacotes comerciais que permitem integração com o R, como o Statistica e também a partir da customização de planilhas eletrônicas. Outro ponto a evidenciar é que o presente trabalho pode auxiliar na disseminação da aplicação de gráficos não paramétricos, uma vez que, um número limitado de gráficos de controle não paramétricos tem sido relatado na literatura. Como sugestões para a continuidade desta pesquisa, sugere-se a partir das características do processo efetuar simulações de situações sob controle estatístico e fora de controle estatístico, controlando a magnitude da mudança e o momento de ocorrência, para avaliar a performance do NPEWMA. Do ponto de vista prático, comparar o desempenho do gráfico NPEWMA-SR com outros gráficos existentes, não paramétricos e até mesmo paramétricos, também se constituem sugestões para a continuidade das investigações.

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8 ANEXO 1 CONJUNTO DE DADOS X1 X2 X3 X4 X ,84 202,86 202,85 202,87 201, ,56 202,77 202,09 201,7 202, ,18 202,78 201,94 202,75 202, ,56 202,62 202,37 202,56 202, ,35 201,82 201,47 201,76 201, ,72 202,71 202,35 202,00 201, ,36 201,59 201,43 201,71 202, ,35 202,23 202,87 202,85 202, ,37 201,34 202,17 201,53 201, ,76 201,52 201,96 202,32 202, ,02 202,59 202,76 202,79 202, ,55 201,59 201,41 201,52 201, ,72 202,22 201,61 201,65 201, ,92 202,79 202,75 202,47 202, ,45 201,75 202,09 201,37 201, ,31 202,19 201,82 202,69 202, ,32 201,34 201,41 201,32 202, ,32 201,42 201,87 202,07 201, ,88 202,28 202,86 202,88 202, ,88 202,75 202,88 202,89 202, ,51 202,87 202,88 202,89 202, ,64 202,36 202,27 201,98 202, ,79 202,78 202,86 202,87 202, ,84 202,89 202,76 202,73 202, ,87 202,89 202,88 202,76 202,89

9 ANEXO 2 ROTINA DO R NPEWMA<-function(dados,lambda,L,theta){ rij=0 for (i in 1:nrow(dados)){ rij[i]=sum(sign(dados[i,]-theta)*rank(abs(dados[i,]-theta)))} z<-0 z[1]<-lambda*rij[1]+(1-lambda)*z[1] for (i in 1:(nrow(dados)-1)){ z[i+1]=lambda*rij[i+1]+(1-lambda)*z[i]} n=ncol(dados) cl=l*sqrt(((n*(n+1)*(2*n+1))/6)*(lambda/(2-lambda))) lcl=round(-cl,2) ucl=round(cl,2) plot(z,type="b",bg=ifelse( z >ucl, 2, 1),pch=21,ylim=c(- 7,7),xlab="Subgrupos",ylab="Z") abline(h=ucl,lty=2) abline(h=lcl,lty=2) abline(h=0) text(2.5,ucl*1.2,paste("lsc =", ucl)) text(2.5,lcl*1.2,paste("lic =", lcl)) print(ucl) }