ESTUDO COMPARATIVO DO DESEMPENHO DAS CARTAS DE CONTROLE CUSUM E EWMA

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1 ESTUDO COMPARATIVO DO DESEMPENHO DAS CARTAS DE CONTROLE CUSUM E EWMA VERA DO CARMO COMPARSI DE VARGAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA LUIS FELIPE DIAS LOPES DEPARTAMENTO DE ESTATÍSCA CCNE - UFSM PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CT - UFSM This work presents a comparative study of the performance of the cumulative sum (CUSUM), as well as and exponentially weighted moving average (EWMA) control charts. The objective of this study is to verify if there is any difference among these charts in order to detect small changes in the average of the process. Starting from the data of a productive process, several series are simulated. These series are adjusted to be under the Shewhart control charts. Calculated in magnitudes of standard deviations, the changes are introduced in strategic points. The CUSUM and EWMA control charts are used to the altered series to determine the average number of samples until the first point to signals to a condition out of control, denominated ARL. The ARL found by each chart is then compared. The conclusion reached, point out that the CUSUM chart control is more efficient to detect changes above 1 standard deviation, whereas the EWMA chart control, detects smaller changes than 1 standard deviation better. Key-words: ARL, CUSUM, EWMA. 1. INTRODUÇÃO Qualidade tem tomado parte em todos os produtos e serviços. A consciência de sua importância e a introdução de métodos formais para o controle e a melhoria de qualidade passou por um processo de desenvolvimento evolutivo. Na época de , a qualidade era determinada pelo esforço individual do profissional. Somente mais tarde aparece a introdução de novos conceitos como o da metodologia estatística para a melhoria da qualidade. Os métodos estatísticos e suas aplicações em melhoria de qualidade tiveram uma longa história. Por volta de 1920, Harold F. Dodge e Harry G. Romig desenvolveram estatisticamente uma alternativa para inspeção de 100%, baseados na aprovação da amostragem. Em 1924 Walter A. Shewhart desenvolveu o conceito estatístico de carta de controle, isto foi considerado como o começo formal do controle estatístico de qualidade. A carta de controle é um esquema estatístico usado principalmente para o estudo e controle de processos repetitivos. Dr. Walter A. Shewhart sugeriu que a carta de controle serviria, primeiro, para definir os limites ou o protótipo de um processo que o administrador se empenha para alcançar; segundo, seria usada como um instrumento para chegar a meta; e terceiro, serviria como um meio de avaliar quando o fim que se tem em vista tenha sido atingido. Portanto é um instrumento para ser usado na especificação,

2 produção e inspeção e, quando usado, trás estas três fases da indústria dentro de uma interdependência completa. A desvantagem das cartas de controle de Shewhart é que elas usam somente a informação contida sobre o processo no último ponto demarcado e ignoram a informação dada pela seqüência de todos os pontos. Esta característica faz as cartas de controle de Shewhart relativamente insensíveis a pequenas mudanças no processo, na ordem de 1,5 desvio padrão ou menos. Naturalmente, outros critérios podem ser aplicados às cartas de Shewhart, tais como, testes de seqüências e uso de limites de advertência que tentam incorporar a informação de todo conjunto de pontos dentro do procedimento para decisão. Contudo, o uso de regras de sensibilidade suplementar reduz a simplicidade e a facilidade de interpretação da carta de controle de Shewhart. Além disso, o uso destas regras pode reduzir o número esperado de amostras dentro do controle antes de um falso sinal de alarme, o que seria indesejável. Como proposição às cartas de Shewhart surgem as cartas de soma acumulada e média móvel exponencialmente ponderada. Alguns autores, tais como DUNCAN (1974), LUCAS (1976), HAWKINS (1992), disseram que a carta de controle de soma acumulada (CUSUM) é muito mais eficiente que a carta de Shewhart usual no tocante a pequenas variações na média. Outros autores como CROWDER (1987) LUCAS & SACCUCCI (1990) apresentaram a carta de controle de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA), como uma boa escolha para detectar mudanças de pouca extensão na média do processo. Entretanto não há uma definição para uma questão prática, que é, qual das duas cartas é preferível? Ou seja, alternativamente as cartas de controle de Shewhart, que servem para detectar pequenas mudanças na média do processo, haveria algum critério para optar por uma ou outra das duas cartas apresentadas? Qual delas executa melhor a tarefa de sinalizar uma situação fora de controle, a carta CUSUM ou a carta EWMA? Neste trabalho compara-se o desempenho de cada uma das cartas para verificar se há diferenças entre elas em detectar as mudanças ocorridas no processo. Os procedimentos adotados iniciam com a simulação de várias séries normais geradas aleatoriamente, a partir da média e o desvio padrão de um processo produtivo. As séries, depois de ajustadas para uma situação sob controle pela carta de Shewhart, sofrem alterações em diferentes posições estrategicamente estabelecidas. As amostras utilizadas para causar as mudanças na média são determinadas em magnitudes de desvio padrão sobre a média global, com variações positivas e negativas na ordem de 0,5 até 1,5 desvio padrão. Aplicam-se as cartas de controle de soma acumulada e média móvel exponencialmente ponderada, às séries alteradas. Os resultados obtidos de cada uma das cartas de controle constituem objeto de análise para fazer as comparações entre as duas técnicas estatísticas de cartas de controle, CUSUM e EWMA. Com estes resultados pode-se verificar o desempenho de cada carta, investigar se existem diferenças entre os dois procedimentos em detectar pontos fora de controle e averiguar se uma técnica é mais eficiente que a outra para o exercício de controle de qualidade.

3 2. CARTA DE CONTROLE DE SOMA ACUMULADA (CUSUM) As cartas de controle de soma acumulada foram inicialmente propostas na Inglaterra por PAGE (1954) e foram estudadas por diversos autores. EWAN (1963), fez o esboço para vários esquemas de controle gráfico e o tipo de processo para os quais as cartas CUSUM são mais apropriadas. BISSEL (1969), considerou o método CUSUM e sua relevância para o controle de qualidade. Propôs extensões da técnica para facilitar sua aplicação a situações práticas. GOEL & WU (1973), apresentaram um procedimento para o projeto econômico da carta CUSUM para controlar a média de um processo com as características de qualidade normalmente distribuídas. A técnica é empregada para determinar os valores ótimos do tamanho da amostra, o intervalo de amostragem e o limite de decisão. LUCAS (1973, 1976), propôs um esquema de controle modificado para a máscara V da carta CUSUM. REYNOLDS (1975), apresentou uma aproximação do número de amostras necessário para a carta CUSUM sinalizar. Usando uma analogia entre o procedimento da carta de controle de soma acumulada, usualmente com variáveis aleatórias normais, idêntica e independentemente distribuídas (i.i.d.) comparou com um procedimento de carta de controle CUSUM que não requer a suposição de normalidade. JOHNSON & BAGSHAW (1974, 1975), concluíram que o teste CUSUM não é poderoso quando as observações são não independentes. A maior ênfase foi dada para os efeitos obtidos na distribuição do número de amostras necessário para a sinalização, quando determinado sob presença de correlação. HAWKINS (1981), apresentou uma técnica para empregar o mesmo procedimento de CUSUM usado para a média, para controlar a variabilidade. LUCAS & CROSIER (1982), apresentaram o número de amostras necessário para a carta CUSUM sinalizar e como esse número de amostras se distribui comparando os esquemas com e sem a característica de resposta inicial rápida. WOODALL (1985) apresentou um método para projetar cartas de controle de qualidade, com base no desempenho estatístico a partir de especificadas regiões dentro e fora de controle dos valores de parâmetro. Este trabalho baseia-se na apresentação dada por MONTGOMERY (1996). Ele apresentou as cartas de controle de soma acumulada, aplicadas à média e à variabilidade do processo, e mencionou que é possível projetar procedimentos de CUSUM para outras variáveis estatísticas, tais como amplitude e desvio padrão de subgrupos, variáveis binomial e de Poisson em modelos de não-conformes e processos contínuos. A carta CUSUM incorpora diretamente toda seqüência de informações demarcando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra de um valor objetivo. Supondo que amostras de tamanho n 1 são coletadas, x é a média da j-ésima amostra e é o valor j desejado para a média do processo, a carta de controle de soma acumulada é formada demarcando a quantidade resultante da fórmula (2.1) junto a amostra i. i C = ( i x j µ ) 0 (2.1) onde j= 1 C i é chamada soma acumulada incluindo a i-ésima amostra, pois combinam as informações de diversas amostras. As cartas de Somas Acumuladas (CUSUM) são mais eficientes que as cartas de Shewhart para detectar pequenas mudanças do processo. Além disso, particularmente, são mais eficazes com amostras de tamanho n=1. Se o processo permanece sob controle para o valor desejado µ 0, as somas acumuladas definida em (2.1) é um percurso aleatório com média zero. Porém, se a média muda para algum valor acima µ >, então uma tendência ascendente se desenvolverá na soma 1 µ 0 Ci 1 µ 0 acumulada. Reciprocamente, se a média muda para algum valor abaixo µ <, a µ 0

4 soma acumulada C i, terá uma direção negativa. Por esta razão, se nos pontos demarcados aparecer uma tendência para cima ou para baixo, deve-se considerar isto como uma evidência de que a média do processo mudou e uma busca das causas assinaláveis deve ser realizada. Há duas maneiras de representar as cartas de somas acumuladas, a carta CUSUM algorítmica e a forma de máscara V. LUCAS (1976), comparou o esquema de controle de máscara V com as cartas de controle de Shewhart. O desempenho da máscara V, designada para detectar uma mudança de um desvio padrão no valor objetivo, foi comparado com uma carta de Shewhart de 3 σ. Ambos esquemas com ARL de aproximadamente 400 para o processo sob controle. O Comprimento Médio de Seqüências - Average Run Length - ARL pode ser entendido como o número esperado de amostras até o primeiro ponto sinalizar uma condição fora de controle. Um ARL de 400 significa que existiriam em média cerca de 400 amostras tomadas antes de ser dado um sinal fora de controle. O ARL de uma carta de Shewhart, quando uma mudança das condições objetivo de 1σ na média, é cerca de 44, enquanto que na máscara V, o ARL é de aproximadamente 10. Isto é, uma máscara V designada a detectar uma mudança de 1 σ detectará quase quatro vezes mais rápido quando competir com uma carta de Shewhart. Segundo HAWKINS (1992), o desempenho de uma carta CUSUM é comumente medido pelo ARL. O ARL depende dos parâmetros h (intervalo de decisão) e k (valor de compensação ou valor de folga) quanto maior o valor para estes parâmetros maior será o ARL. Diversas técnicas podem ser usadas para calcular o ARL de uma carta CUSUM. 3. CARTA DE CONTROLE DE MÉDIA MÓVEL EXPONENCIALMENTE PONDERADA - EWMA MONTGOMERY (1996), apresentou a carta de controle exponencialmente ponderada ou EWMA como uma boa alternativa para as cartas de controle de Shewhart, quando há interesse em detectar pequenas mudanças. O desempenho de uma carta de controle EWMA é aproximadamente equivalente ao da carta de controle de soma acumulada. Como a carta CUSUM, a carta EWMA é tipicamente usada com observações individuais. A carta de controle EWMA foi introduzida por ROBERTS (1959), mas foi discutida por muitos outros autores que tem apresentado boas contribuições para esta modalidade de carta de controle. HUNTER (1986), colocou que as diferenças entre as cartas de controle de Shewhart, CUSUM e EWMA dizem respeito ao conhecimento de como cada técnica usa os dados gerados pelo processo de produção. A carta de Shewhart depende inteiramente do último ponto demarcado. A carta CUSUM atribui peso igual para a seqüência inteira de dados, desde o mais antigo até o mais recente. A carta EWMA concede peso maior para as informações mais atuais e peso menor para as mais remotas. WOODALL & MARAGAH (1990) esclareceram que a carta CUSUM, na forma de máscara V, ignora algumas observações do passado histórico do processo, portanto o peso uniforme é dado somente a um número aleatório de observações mais recentes. NG & CASE (1989), apresentaram metodologias para construção das cartas de controle usando a EWMA para amostras estatísticas com subgrupos de tamanho n e com dados individuais. Uma aproximação sistemática e consistente para derivar cartas de controle EWMA para monitorar a média e a dispersão do processo também foi apresentada. LUCAS & SACCUCCI (1990), nas suas comparações de esquemas de controle CUSUM e EWMA, concluíram que ambos esquemas apresentam resultados muito

5 próximos e mostraram tabela apresentando a carta EWMA com ARL levemente menor que a carta CUSUM algorítmica. Porém, nas discussões complementares WOODALL & MARAGAH (1990) expuseram que carta EWMA pode ser mais lenta para reagir que a carta CUSUM para algumas mudanças no processo. MONTGOMERY (1996) também foi um dos estudiosos nesse assunto e definiu a média móvel exponencialmente ponderada como: Z i = λ xi + ( 1 λ) Z (3.1) i 1 onde 0 < λ 1 é uma constante e o valor inicial (requerido com a primeira amostra i=1) é o pretendido para o processo, tal que Z 0 = µ 0. Algumas vezes a média de dados preliminares é usada como o valor inicial da EWMA, tal que Z 0 = x. A carta de controle EWMA é muito eficaz nas situações onde ocorrem pequenas mudanças no processo. Os parâmetros da carta são múltiplos de sigma usados nos limites de controle (L) e o valor de λ. É possível escolher estes parâmetros para dado desempenho de ARL da carta de controle EWMA que aproximam o desempenho de ARL de CUSUM para detectar pequenas mudanças. Diversos estudos foram feitos para as propriedades de ARL da carta de controle EWMA. ROBINSON & HO (1978), usaram um procedimento numérico para determinação do ARL apresentando diversas tabelas para o ARL. CROWDER (1987), apresentou tabelas para o ARL das cartas EWMA de monitoramento da média e do desvio padrão, por procedimento numérico, usando equações integrais. LUCAS & SACCUCCI (1990), produziram tabelas e gráficos para uma série de valores de λ e L. 4. METODOLOGIA Os procedimentos adotados para a geração e ajuste das séries aleatórias e suas alterações seguiram os seguintes passos: - Geraram-se séries aleatórias de cem amostras com média 908,1598 e desvio padrão 22,9212 pelo programa computacional Statgraphics; - Ajustou-se a série de cem amostras, no programa Statistica, usando a carta de controle para observações individuais com a média 908,1598 e o desvio padrão 22,9212 com os limites de controle de 1,5 sigma e as zonas A=0,5; B=1,0 e C=2,0 desvios padrões respectivamente; - Utilizaram-se as médias da Tabela 1 e do desvio padrão para gerar novas amostras aleatórias no Statgraphics. Selecionou-se, entre estas, vinte que apresentassem a oscilação máxima pretendida, conforme as magnitudes das mudanças propostas, cuidando para que a primeira amostra contivesse a variação desejada; - Pelo programa Excel, introduziram-se as vinte amostras aleatórias com as mudanças desejadas nas séries de cem amostras em dez posições seqüenciais diferentes; - Voltando ao programa Statistica obteve-se os gráficos para as referidas cartas de controle CUSUM e EWMA da série alterada.

6 Magnitudes das Média alterada Magnitudes das Média alterada mudanças mudanças -1,5 873,778 1,5 942,542-1, ,643 1, ,676-1,25 879,508 1,25 936,811-1, ,373 1, ,946-1,0 885,239 1,0 931,081-0, ,104 0, ,216-0,75 890,969 0,75 925,351-0, ,834 0, ,486-0,5 896,699 0,5 919,620 TABELA 1 Frações de desvios padrões para determinar as mudanças na média global do processo e as respectivas médias alteradas Utilizando-se dos procedimentos acima foram realizadas algumas análises onde se detectaram pontos fora de controle. Comparando as posições para a exibição do primeiro sinal, por qualquer uma das técnicas, determinou-se o número necessário de amostras para cada carta informar a situação desajustada, o ARL. Usando os valores encontrados para o ARL de cada modelo, calcularam-se as médias que serviram para a determinação na escolha da melhor carta de controle para cada situação. 5. RESULTADOS E CONCLUSÃO Fazendo uso das cartas de controle CUSUM e EWMA foram analisados diversos conjuntos de dados. Com base nos resultados encontrados, se fez uma análise organizada e resumida na Tabela 2. A primeira coluna desta tabela está constituída das variações na média, em frações de desvio padrão. As demais colunas são formadas com os valores da média resultante para o número necessário de amostras da posição alterada até a posição do primeiro sinal, o ARL, fornecido pelas respectivas cartas de controle CUSUM e EWMA. Os valores em negrito correspondem ao ARL da carta de controle que fez o melhor desempenho. Os algarismos entre parênteses informam o número de posições fora de controle que a carta detectou. Magnitude da Mudança CUSUM 0,40 0,25 EWMA λ 0,20 0,10 0,05-1,0-2,5(2) Não 6,1 5,8 (10) 5,8 (10) 6,0 1,0-2,0 (10) 4,0 3,5 4,56 5,1 4,6 (10) -0,875 Não Não Não Não Não Não 0, Não 4 3,33 4,75 6,57 (7) -0,75 Não Não Não Não Não Não 0,75-3,22 (9) Não 13,0 11,78 8,33 (9) 8,89-0,625 Não Não Não Não Não Não 0,625-6 Não Não Não 19,6 16,3 (10) -0,5 Não Não Não Não Não 3,0 (1) 0,5 Não Não Não Não 10,5 10,67 (3)

7 continuação... -1,125-2,3 (10) 7,0 4,5 4,3 (10) 4,6 5,5 1,125 1,89 (9) Não 12,78 10,89 (9) 11,11 12,0 1,25-2,3 (10) 3,8 3,2 (10) 3,2 (10) 3,8 4,6-1,25-2,0 (10) 12,1 5,6 5,3 (10) 5,3 (10) 5,9-1,375-1,7 (10) 5,5 3,6 (10) 4,1 4,8 5,1 1,375-1,5 (10) 3,8 3,7 (10) 3,9 6,4 7,11-1,5-2,7 (10) 4,9 3,4 3,2 (10) 3,5 4,0 1,5-1,0 (10) 6,3 3,9 3,8 (10) 4,4 5,2 TABELA 2 Resumo dos resultados Para as pequenas mudanças na média no sentido negativo, isto é, uma mudança para baixo, na ordem de 1 desvio padrão ou menos, os resultados obtidos pela carta de controle CUSUM se mostraram levemente diferentes quando comparados às pequenas mudanças no sentido positivo, nos mesmos níveis de afastamento da média. Para estes níveis a carta de controle CUSUM praticamente não sinalizou, mostrando-se menos eficiente que a carta de controle EWMA exceto para dois itens cujas variações positivas foram detectadas com maior eficácia pela carta CUSUM estas variações foram de mais 1 e mais 0,75 desvios padrões. Na carta de controle EWMA, para pequenas variações, entre os modelos estudados, observou-se que os de constantes λ=0,10 e λ=0,05 foram os que detectaram maior número de posições alteradas, razão pela qual deduziu-se que são os mais indicados para estas situações. Embora para algumas análises nestes níveis de variação as cartas EWMA também não detectaram as mudanças, com as variações na ordem de menos 0,875; menos 0,75 e menos 0,625. A carta de controle CUSUM mostrou-se mais eficiente em todas as análises realizadas com as mudanças maiores, na ordem de mais 1 desvio padrão e acima e para todas as alterações na ordem de menos 1,125 desvio padrão para baixo. Após a realização destas análises, chega-se a uma resposta generalizada paro o problema proposto. Para detectar as mudanças na média na ordem de 1 desvio padrão ou com magnitudes menores que esta, a carta de controle que desempenha melhor é a carta EWMA de constante λ=0,10 e λ=0,05. Já para mudanças maiores que 1 desvio padrão e menores que 1,5 é aconselhável o emprego da carta CUSUM. 6. BIBLIOGRAFIA BISSEL, A.F. (1969) Cusum Techniques for Quality Control. Applied Statistics, v.18. CROWDER, S.V. (1987) A Simple Method for Studying Run-Length Distributions of Exponentially Weighted Moving Average Charts. Technometrics, v. 29, n.4. DUNCAN, A.J. (1974) Quality Control and Industrial Statistics. 4 th. ed. Homewood: Irwin EWAN, W.D. (1963) When & How to Use Cu-Sum Charts. Technometrics, v. 5, n. 1. GOEL, A.L. & WU, S.M. (1973) Economically optimum design of cusum charts, Management Science, v. 19. n. 11.

8 HAWKINS, D.M. (1981) A Cusum for a Scale Parameter. Journal of Quality Technology, v. 13, n. 4.. (1992) A Fast Accurate Approximation for Average Run Lengths of CUSUM control Charts. Journal of Quality Technology, v. 24, n. 1. HUNTER, J.S. (1986) The Exponentially Weighted Moving Average. Journal of Quality Technology, v. 18, n. 4. JOHNSON, R.A. & BAGSHAW M. (1974) The Effect of Serial Correlation on the Performance of CUSUM Tests. Technometrics, v.16, n. 1.. (1975) The Effect of Serial Correlation on the Performance of CUSUM Tests II. Technometrics, v.17, n. 1. LUCAS, J.M. (1973) A Modified V Mask Control Scheme. Technometrics, v. 15, n.4.. (1976) The Design and Use of V-Mask Control Schemes. Journal of Quality Technology, v. 8, n. 1. LUCAS, J.M. & CROSIER, R.B. (1982) Fast Initial Response for CUSUM Quality- Control Schemes: Give Your CUSUM A Head Start. Technometrics, v. 24, n. 3. LUCAS J.M. & SACCUCCI, M.S. (1990) Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes: Properties and Enhancements. Technometrics, v. 32, n. 1. MONTGOMERY, D.C. (1996) Introduction to Statistical Quality Control. 3th. ed. New York: John Wiley. NG, C.H. & CASE, K.E. (1989) Development and Evaluation of Control Charts Using Exponentially Weighted Moving Averages. Journal of Quality Technology, v. 21, n. 4. PAGE, E.S. (1954) Continous Inspection Schemes, Biometrika, v. 41. REYNOLDS, M.R.J. (1975) Approximations to the Average Run Length in Cumulative Sum Control Charts. Technometrics, v. 17, n.1. ROBERTS, S.W. (1959) Control Chart Tests Based on Geometric Moving Averages, Technometrics, v. 1. ROBINSON P.B. & HO, T.Y. (1978) Average Run Lengths of Geometric Moving Average Charts by Numerical Methods, Technometrics, v. 20. n. 1. WOODALL, W.H. (1985) The statistical design of quality control charts, The Statistician, v. 34, n. 2. WOODALL, W.H. & MARAGAH, H.D. (1990) Discussion. In: Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes: Properties and Enhancements, Technometrics, v. 32, n. 1.