Qualidade na empresa. Fundamentos de CEP. Gráfico por variáveis. Capacidade do processo. Gráficos por atributos. Inspeção de qualidade

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1 Roteiro da apresentação Controle de Qualidade 2 3 Lupércio França Bessegato UFMG Especialização em Estatística 4 5 Abril/

2 Exemplo: Sacos de Leite : Volume de cada saco (ml) do Controle Estatístico do Processo Valor-alvo: 00ml Resultados de Amostra com 00 sacos x = 999, 8 ml s = 00 i= (x i x) 2 99

3 Capítulo 2: do Controle Estatístico de Processos Tabela 2.: Valores da Variável 998,8 994,9 00,0 005, 004,8 006,9 99,3 999, 004,4 995,7 997,2 993,2 992,6 996, 996,9 99,5 997,7 998,4 000,5 998,5 998,7 998,5 005,4 999,7 999,3 997,9 007,9 003,5 009,5 997,4 006,6 993,6 002,2 003,6 007,7 999,7 997,9 002,7 998,5 003,0 994,2 996,6 993,9 998,5 999,9 000, 998,7 008,8 993,0 997, 989,7 005,8 994,9 997,4 003,0 00,9 003,5 002,4 994,5 995,5 002,8 00,3 996,2 999,0 000,5 002,2 000,6 996,4 007,5 00,9 000,3 003,3 003,4 997,5 996,3 004,4 995,2 993,8 002,8 002,6 008,8 005,8 005,2 000,5 000,0 00,8 999,9 995,8 992,9 003,3 00,8 002,5 000,9 995,9 005,0 998,8 996,6 996,7 998,3 998,2 Histograma dos valores de aparenta ser normal.

4 Freqüência Figura 2.: Histograma dos Valores de da Tabela 2. Variabilidade do Processo Relaciona-se com as diferenças entre as unidades produzidas. Variabilidade grande Fácil observar as diferenças Variabilidade pequena Difícil observar as diferenças

5 Variabilidade Natural Resultados de pequenas perturbações (ou causas aleatórias) Processo em Controle É inevitável, impossível de ser evitada Se o processo apresenta apenas variabilidade natural diz-se que está no estado de controle estatístico, ou em controle. Figura: Processo isento de causas especiais

6 f() Tempo f() f() T f() T 2 T 3 T 4 Causa Especial Problema ou modo anormal de operação. Desloca a distribuição da variável aleatória de interesse tira a média do valor-alvo e/ou aumenta sua dispersão; Pode ser corrigida ou eliminada Em presença de causas especiais, diz-se que o processo está fora de controle. Figura 2.2: Processo Isento de Causas Especiais

7 f() Tempo f() Causa Especial () Figura: Causa especial altera a média. f() T f() T 2 T 3 T 4 Figura 2.3: Causa Especial Altera a Média do Processo

8 f() Tempo f() T 4 Causa Especial (2) f() f() T2 T 3 Figura: Causa especial altera a média e variabilidade. T Figura 2.4: Causa Especial Altera a Média e Aumenta a Variabilidade do Processo

9 Tabela 2.2: Valores da Variável - processo sob a influência de causas especiais Exemplo: Sacos de Leite após alteração de pressão de operação x = 004, 9 ml s =8, 55 Figura: Histograma dos valores de. 00,2 002,3 003,8 000,2 008,8 992, 008,9 999,4 0,3 04,0 00,5 995,0 994,0 0,2 008, 008,3 07,6 005,3 003,8 09,6 995,0 00,2 999,9 009,5 07,9 02,9 008,5 003, 00,5 009,5 994, 99,2 00,6 002, 00,5 009,0 992,3 002,3 02,7 006,9 994,8 989, 002,5 008,7 04,6 004,9 002,2 007,3 002,4 0,7 980,2 999,4 002,0 0,9 997,8 997,5 986,6 04,4 024,0 006,9 992,0 004,4 005,3 003,2 06,5 05,3 003,3 992,6 03, 06, 997,2 994,5 006,9 02,8 04,5 02,7 007,2 996, 008,8 000,2 004,5 998,7 002,4 02,9 0, 007,8 994,2 02,0 07,8 08,4 988,2 99, 004,3 00,6 009,9 0,3 989,9 002,9 997,5 002,0

10 25 20 Freqüência Monitoramento de Processos Os processos devem ser monitorados para detectar a presença de causas especiais; Detectada sua presença, deve-se investigar a causa especial; Deve-se intervir para eliminá-la. Figura 2.5: Histograma dos Valores de da Tabela 2.2

11 Gráficos de Controle Principal ferramenta para monitorar processos. Gráficos de e R Monitoram processos cuja característica de de interesse é uma grandeza contínua (mensurável) Efetua-se análise periódica de amostra Amostra de n itens retirados a cada intervalo de tempo h; Os gráficos possuem Limite Superior de Controle (LSC) e Limite Inferior de Controle (LIC); Regra de Decisão do Gráfico Principal ferramenta para monitorar processos. Enquanto os pontos distribuírem-se aleatoriamente em torno da Linha Média (LM) não se deve intervir no processo (processo em controle); leave the process alone Se um dos pontos cair na região de ação do gráfico, deve-se intervir no processo (ação corretiva) Afastamento excessivo em relação à LM deve-se provavelmente a alguma causa especial, ou seja, é improvável se o processo estiver sujeito apenas às causas aleatórias;

12 Gráfico de Controle - Leite h =30e n =5 ij : j-ésimo elemento da i-ésima amostra i : média da i-ésima amostra R i : amplitude da i-ésima amostra Tabela 2.3 Amostra (i) Tabela 2.3: Valores de Elemento (j) da amostra (i) ij, i i2 i3 i4 i5 i e 00,7 004,0 004,8 996,3 004,3 002,2 8, ,7 000,3 003,2 993,9 998,9 999,2 9, ,9 004,0 003,0 004,0 002,0 000,8 3, 4 000,7 007,3 998, 995,5 994,9 999,3 2, ,7 998,3 998,9 997,8 00,9 999,5 4, 6 998,6 993,7 002,8 995,5 994, 997,0 9, 7 002,7 00,5 990,5 992,5 003,0 999,8 9,9 Ri i Ri

13 LSC LM Gráficos de Controle - Leite LIC Número da amostra Figura: Gráficos de controle de e R. O afastamento do 5 o valor de deve-se provavelmente a uma causa especial. R LSC LM LIC= Número da amostra Figura 2.6: Gráficos de Controle e R

14 Gráficos de Controle - Construção Parâmetros de com o processo em controle µ 0 : média da distribuição de σ 0 : desvio-padrão da distribuição de. Os limites do gráfico de controle são determinados com base nestes parâmetros; A média deve coincidir com o valor-alvo especificado. Se este valor não estiver definido, ele deve ser estimado; O desvio-padrão é estimado; Uso dos Gráficos de Controle Os valores observados da variável de interesse devem ser independentes; Em alguns processos, os valores da variável são correlacionados entre si; É possível usar os Gráficos de Shewhrt mesmo quando a distribuição não for normal.; As estimativas devem ocorrer em período em que o processo permanecer isento de causas especiais.

15 Ajuste do Processo Para monitorar o processo, é necessário conhecê-lo bem; Deve-se estudar os fatores que afetam a característica de ; Processo Instável É uma etapa em que se promovem grandes melhorias de. Figura: Distribuição do volume de leite (processo instável).

16 Tempo f() T 2 T 3 T 4 T 3 Gráfico de Controle - Processo Instável T Figura: Volume de leite (processo instável). medido a cada 5 minutos. A característica de não é estável; Figura 2.8: Distribuição do Volume dos Saquinhos de Leite ao Longo do Tempo (processo instável)

17 (ml) Limites de especificação Número das observações Figura 2.7: Volume dos Saquinhos de Leite (processo instável) Ajuste do Processo - Diagnóstico Figura: Diagrama de cause e efeito de algumas causas especiais).

18 LÍQUIDO IMPUREZAS ACÚMULO DE GORDURA TUBULAÇÃO VOLUME DE LEITE ENTUPIMENTO DO BOCAL Figura 2.9: Diagrama de Causa e Efeito (causas especiais que afetam o volume de leite) Ajuste do Processo - Correção/Prevenção Causa Especial Medida Corretiva/Preventiva Gordura na tubulação Limpeza mensal da tubulação Entupimento do bocal Troca semanal do bocal Impurezas no leite Utilização de filtros Após o diagnóstico, eliminam-se as causas especiais

19 Processo Estável e Ajustado Os valores de devem vir de uma distribuição com média constante (coincidindo com o valor-alvo); Os valores variam em torno da média, com maior incidência de pontos mais próximos ao valor médio. Os pontos afastados são menos freqüentes; Gráfico de Processo Estável e Ajustado - Leite Figura: Volume dos sacos de leite (processo estável e ajustado). A dispersão é limitada e segue um padrão aleatório;. Não deve haver relação de dependência entre valores consecutivos de.

20 025 (ml) especificações Número das observações Figura 2.0: Volume dos Saquinhos de Leite ( processo estável e ajustado) Construção do Gráfico de Controle µ e σ são desconhecidos e devem ser estimados; Certeza de processo em controle durante amostragem estima µ S 2 estima σ 2 ; Na prática, nunca se sabe se o processo permaneceu isento de causas especiais durante o período de coleta das amostras.

21 Sub-grupos Racionais Retiram-se pequenas amostras a intervalos de tempo regulares; Cada amostra (ou sub-grupo racional) constitue-se de unidades produzidas quase no mesmo instante; Dificilmente ocorrerá uma causa especial durante a formação do sub-grupo; O procedimento minimiza a probabilidade de amostra com elementos de populações diferentes; Sub-grupos Racionais Perturbação entre a retirada de amostras não aumentará a variabilidade em cada amostra, mas entre amostras (os valores de terão sua variabilidade aumentada). Estima-se a variância com base na dispersão dos valores dentro da amostra;

22 Estimação de σ - S Dada uma amostra aleatória {x, 2,, n } com E( )=σ 2, tem-se que o estimador S, dado por: S = n i= (x i x) 2. n Estimação de σ - R A amplitude amostral R é a diferença entre o maior e o menor dos valores amostrais. Ela é viciada para estimar σ, ou seja E(R) σ é viciado para estimar σ, ou seja E(S) σ Pode-se provar que E(R) =d 2 σ; Pode-se provar que E(S) =c 4 σ, com: c 4 = 2 n Γ( n 2 ) Γ( n 2 ) R é estimador não viesado de E(R), logo R d 2 viesado para estimar σ. énão c 4 <, n e c 4, quando n cresce.

23 Estimador S A Valores de c 4 e d 2 Considera uma única amostra de mn elementos. n c 4 0,798 0,886 0,92 0,940 0,952 0,959 0,965 d 2,28,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 S A = c 4 m n i= j= ( ij ). mn n c 4 0,969 0,973 0,975 0,978 0,979 0,98 0,982 d 2 2,970 3,078 3,73 3,258 3,336 3,407 3,472 x ij : j-ésimo elemento do i-ésimo sub-grupo n: tamanho do sub-grupo; m: número de sub-grupos; x = P m i= x i m : média global (média das médias) c 4 : correção de viés (depende de mn)

24 Tabela 2.5: Valores de Subgrupo (i) Elemento (j) do subgrupo (i) i i2 i3 i4 i5 ij ~N(000,4), i, R i e Si i 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5,6 2 00,3 995,3 999,0 999, 996,5 998,2 6,0 2,4 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 SA = c4 m i= n 2 ( ij ) j= mn Ri Si Estimador S B Considera o desvio-padrão das médias dos subgrupos. σ = σ n [ ]: estimador de σ ; S B = m i= ( i ) n. c 4 m c 4 : correção de viés (depende de m)

25 Tabela 2.5: Valores de Subgrupo (i) ij ~N(000,4), Elemento (j) do subgrupo (i) i i2 i3 i4 i5 i, i R i e Si 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5,6 2 00,3 995,3 999,0 999, 996,5 998,2 6,0 2,4 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 SB = c4 m 2 ( i ) i= m n Ri Si Estimador S C Considera os desvios-padrão dos subgrupos. S C = S c 4. S = n i =m S i, i =, 2, S i = Pn i= ij i n ; c 4 : correção de viés (depende de n) S é mais preciso que Si para estimar c 4 σ variância m vezes menor.

26 Tabela 2.5: Valores de ij ~N(000,4), i, R i e Si Subgrupo (i) Elemento (j) do subgrupo (i) Si = i i2 i3 i4 i5 i 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5,6 2 00,3 995,3 999,0 999, 996,5 998,2 6,0 2,4 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 n ( ij i j= n 2 ) S = m i= Si / m Ri Si S S C = c 4 Estimador S D Considera a amplitude amostral R. S D = R d 2. R = m i =m R i, i =, 2, R i : amplitude do i-ésimo subgrupo; d 2 : correção de viés (depende de n)

27 Tabela 2.5: Valores de Subgrupo (i) Elemento (j) do subgrupo (i) i i2 i3 i4 i5 ij ~N(000,4), i, R i e Si i 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5,6 2 00,3 995,3 999,0 999, 996,5 998,2 6,0 2,4 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 R = m i= Ri / m S D = R / d2 Ri Si Exemplo - Estimação Variabilidade (Tab. 2.6) Simulação: ij N(000, 4) com 8 subgrupos (m =8), e 5 elementos por amostra (n =5) Figura: Valores de ij N(000, 4). Valores obtidos para estimação de σ S A S B S C S D 4, 4, 2 4, 3, 9

28 Tabela 2.5: Valores de ubgrupo (i) ij ~N(000,4), Elemento (j) do subgrupo (i) i i2 i3 i4 i5 i, i R i e Si 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5,6 2 00,3 995,3 999,0 999, 996,5 998,2 6,0 2,4 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 S A=4, S =4, C S B=4,2 S =3,9 D Ri Si S A = c 4 SB = c4 m n i= j= ( ij mn ) 2 m 2 ( i ) i= m S = C S c 4 S D = R / d 2 Exemplo - Estimação Variabilidade (Tab. 2.8) Simulação: ij N(000, 4), para i 2 e ij N(00, 4), para i =2(causa especial) com 8 subgrupos (m =8) e 5 elementos por amostra (n =5) Figura: Valores de ij N(000, 4)(exceto i =2). Valores obtidos para estimação de σ S A S B S C S D 5, 8, 7 4, 0 3, 8

29 Tabela 2.5: Valores de bgrupo (i) Elemento (j) do subgrupo (i) i i2 i3 i4 i5 ij ~N(000,4), i, R i e Si i 992,9 006,7 002,7 005,4 998,3 00,2 3,8 5, ,2 009,3 00,8 008,4 00,8 009,5 2,6,3 3 00,2 00,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2, ,3 002, 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3, ,8 006,4 006,9 994,5 998,4 000,6 2,4 5, ,9 004,2 999,2 997,8 997,9 000,0 6,4 2, ,2 002,6 998,3 006,4 005,8 002,7 8, 3, ,3 996, 000,5 995,2 005,8 000,2 0,6 4,6 S A=5, S =4,0 C S B=8,7 S =3,8 D Ri Si S A = c 4 SB = c4 m n i= j= ( ij mn ) 2 m 2 ( i ) i= m S = C S c 4 S D = R / d 2 Exemplo - Comparação entre as Simulações S A 4, 5, Afetados pela causa especial S B 4, 2 8, 7 (superestimam σ) S C 4, 4, 0 Mais robustos aos efeitos S D 3, 9 3, 8 da causa especial S D tem menor variância (será o mais eficiente?)

30 Comentários () S A e S B são muito afetados por deslocamentos da média; S A : baseado na dispersão de todos os pontos; S B : baseado nas diferenças entre médias amostrais S C e S D são insensíveis a causas especiais que alteram a média, pois, baseiam-se apenas na dispersão dos valores dentro das amostras; Comentários (2) Para subgrupos grandes (n 0) S C usa mais informação que S D (apenas 2); S C é mais eficiente que S D. Para subgrupos pequenos (n <0), S D é praticamente tão preciso quanto S C S D será dotado como estimador do desvio-padrão σ por ser robusto a alterações da média e por simplicidade de cálculo. É o estimador mais usado em CEP.

31 bibliográficas 2.2: Sejam os dados da Tabela 2.9. Obter e interpretar os valores de SA, SB, SC, e SD. Subgrupo (i) Tabela 2.9: Valores de ij, Elemento (j) do subgrupo (i) i, i i2 i3 i4 i5 439,5 453,3 449, , ,9 44,9 445,6 445,7 443, 3 447, ,6 444,4 440, ,9 448,7 445,3 440,2 443, , ,5 44, ,5 450,8 445,8 444,4 444, ,8 449,2 444,9 453,0 452, ,9 442,7 447, 44,8 452,4 R i e Si i Ri Si COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K. e CARPINETTI, L. C. R. Controle estatístico de. Atlas, MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico de. 4a. Edição LTC, WERKEMA, M. C. C. Ferramentas estatísticas básicas. Fundação Cristiano Ottoni, 995. WERKEMA, M. C. C. Avaliação da de medidas. Fundação Cristiano Ottoni, 996.

32 Controle de Qualidade Lupércio França Bessegato UFMG Especialização em Estatística Abril/2007