ROBERTO CAMPOS LEONI ESTUDO DO DESEMPENHO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE QUANDO A MÉDIA DO PROCESSO OSCILA DE ACORDO COM O MODELO AR(1)

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1 ROBERTO CAMPOS LEONI ESTUDO DO DESEMPENHO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE QUANDO A MÉDIA DO PROCESSO OSCILA DE ACORDO COM O MODELO AR(1) Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica na área de Transmissão e Conversão de Energia. Orientador: Prof. Dr. Antônio Fernando Branco Costa Co-orientadora: Profª. Drª. Marcela Aparecida Guerreiro Machado Guaratinguetá 2011

2 L585e Leoni, Roberto Campos Estudo do desempenho dos gráficos de controle quando a média do processo oscila de acordo com o modelo AR(1) / Roberto Campos Leoni. Guaratinguetá : [s.n.], f. : il. Bibliografia: f Dissertação (mestrado) Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2011 Orientador: Prof. Dr. Antonio Fernando Branco Costa Co-orientador: Prof. Dr. Marcela Aparecida Guerreiro Machado 1. Controle de processo Métodos estatísticos 2. Controle de qualidade Métodos estatísticos I. Título CDU

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4 DADOS CURRICULARES ROBERTO CAMPOS LEONI NASCIMENTO FILIAÇÃO RIO DE JANEIRO / RJ Roberto Cândido Leoni Wanda Campos Leoni 1995/1999 Curso de Graduação em Estatística IME UERJ RJ Curso de Extensão em Aplicações Complementares às Ciências Militares Escola de Administração do Exército EsAEx BA. 2003/2004 Curso de Pós-Graduação em Matemática e Estatística na Universidade Federal de Lavras UFLA MG Curso de Pós-Graduação em Ciências Militares Escola de Aperfeiçoamento de Oficiais EsAO RJ. 2009/2011 Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, nível de Mestrado, na Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá da UNESP.

5 DEDICATÓRIA À minha mulher e filha. Nem todos os trabalhos, pela sua natureza, são próprios para serem oferecidos. Este é certamente um daqueles que não se oferecem, mas dedicando a vocês só tive em vista compensar um pouco das horas que me afastei do vosso convívio.

6 AGRADECIMENTOS Ao meu orientador, Professor Dr. Antônio Fernando Branco Costa, a quem devoto a mais sincera e efusiva admiração. Sua bondade e forma segura de ensinar contribuíram para que eu me tornasse uma pessoa melhor. Muito obrigado. À co-orientadora, Professora Dr a. Marcela Aparecida Guerreiro Machado, pelo apoio e tranquilidade que sempre passou a cada conversa. Suas orientações simples e precisas ajudaram significativamente para este trabalho. À minha mãe e pai (em lembrança) que com muita luta nunca desistiram de minha educação escolar, sempre me lembrarei da coragem, amor e firmeza. À minha irmã pela pessoa especial que representa e minha amada afilhada Laurinha. Ao meu Deus e a Nossa Senhora Aparecida. Eu vos consagro os meus trabalhos, sofrimentos, alegrias e toda a minha vida. Obrigado pela realização deste sonho. Aos companheiros da AMAN (TC Dutra, Cel Ben Hur, Cap Túlio e Cap Carvalho) que ministraram aulas em meu lugar enquanto me dediquei ao mestrado. Aos professores que participaram da banca examinadora, pelas críticas e sugestões que certamente contribuíram para melhorar o conteúdo deste trabalho. Às senhoras Margô e Cida, funcionárias do Departamento de Produção, que com muita dedicação colaboram com as atividades de apoio ao ensino. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior pelo auxílio financeiro. Em especial à minha esposa e filha pelo apoio incondicional e amor com que sempre recebi em todos os momentos.

7 Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES PE 024 / 2008.

8 LEONI, R. C. Estudo do desempenho dos gráficos de controle quando a média do processo oscila de acordo com o modelo AR(1) f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, RESUMO No planejamento dos gráficos de controle destinados ao monitoramento da média do processo, assume-se que esta permanece fixa em seu valor alvo até a ocorrência de uma causa especial, que a desloca. Em muitos processos, contudo, é mais razoável supor que a média oscila mesmo na ausência de causas especiais. Para descrever este comportamento oscilatório, tem-se utilizado o modelo autoregressivo de 1ª ordem, AR (1). Quando esta oscilação é grande, o melhor desempenho do gráfico de X é obtido com amostras unitárias. O mesmo não se observa com a carta de EWMA (exceto quando o parâmetro de ponderação λ é próximo de um); os melhores desempenhos são obtidos com a adoção de amostras de tamanho n>1 e λ pequeno, mesmo quando o objetivo é a detecção rápida de grandes deslocamentos da média. Neste estudo, utiliza-se como medida de desempenho o TES tempo médio entre a ocorrência de uma mudança na posição em torno da qual a média oscila e sua sinalização pelo gráfico de controle. Quando a média do processo oscila, o TES passa a ser uma função do número esperado de visitas aos estados transientes de uma cadeia de Markov. PALAVRAS-CHAVE: gráfico de X, gráfico de controle de EWMA, autocorrelação, controle estatístico de processos, controle estatístico de qualidade, cadeias de Markov.

9 LEONI, R. C. Study the performance of control charts when the process mean wandering according to the model AR(1) f. Dissertation (Master Degree in Mechanical Engineering) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, ABSTRACT The design of the control charts for the process mean, assumes that this parameter remains fixed on its target value until the occurrence of a special cause that shifts it. In many cases, however, it is more reasonable to assume that the mean wanders even in the absence of special causes. To describe this wandering behavior, has used the AR(1) model. When the wandering behavior is responsible for significant proportion of the data variability, the best performance of the X chart is obtained with samples of size one (n=1). The same is not true with the EWMA control chart (except when the smoothing parameter λ is very close to one), its best performance is achieved with the adoption of n>1 and small λ, even to detect large changes in the process mean position. In this study, the average time between the occurrence of a change in the process mean position and the signal (TES) - is used to assess the chart s performance. With the process mean wandering, this measure of performance becomes function of the expected number of visits to the transient states of a Markov chain. KEY WORDS: X chart, EWMA control chart, autocorrelation, statistical process control, statistical quality control, Markov chains.

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Gráfico de controle para média Figura 2 - Gráfico de X ocorrência de um alarme falso Figura 3 - Gráfico de X ocorrência de um alarme verdadeiro Figura 4 - Curvas de NMA versus δ para diferentes tamanhos de amostra Figura 5 - Expressões do NMA Figura 6 - Tempo esperado até o sinal (TES) Figura 7 - NMA do gráfico de controle de X ; n=4; φ=0,0 e 0,8; ψ=0,1; 0,5 e 0,9; deslocamento (δσe) Figura 8 - NMA do gráfico de controle de X e de EWMA (λ=0,05); n=1; φ=0, Figura 9 - NMA do gráfico de controle de EWMA (λ=0,05); n=1; ψ=0,9; φ=0,0 e φ=0, Figura 10 - NMA dos gráficos de controle de EWMA (λ=0,05) e de X ; n=1; ψ=0,9; φ=0, Figura 11 - NMA dos gráficos de controle de EWMA (λ=0,05) e de X ; n=4; ψ=0,9; φ=0, Figura 12 - TES do gráfico de controle de X (processo independente) Figura 13 - TES do gráfico de controle de EWMA (λ=0,05 processo independente) Figura 14 - TES do gráfico de controle de X ; ψ=0,9; n=1 e 16; φ=0,0 ; 0,4 e 0, Figura 15 - Desempenho do gráfico de controle EWMA; ψ=0,9; φ=0,4; n=1 e 4; λ=0, Figura 16 - Desempenho do gráfico de controle de EWMA; ψ=0,9; φ=0,8; n=1 e 8; λ=0,

11 Figura 17 - Desempenho do gráfico de controle de X ; ψ=0,9; φ=0,4; n=1 e Figura 18 - Desempenho do gráfico de controle de EWMA; ψ=0,9; φ=0,4; n=1 e 8; λ=1, Figura 19 - Desempenho dos gráficos de controle de X e de EWMA; ψ=0,9; φ=0,8; n=1; λ=0, Figura 20 - Desempenho do gráfico de controle de EWMA; ψ=0,9; φ=0,4; n=1; λ=0,05 e λ=0, Figura 21 - Gráfico de controle de X ; n=4; δσ e = 1, 5 ; ψ = 0, Figura 22 - Gráfico de controle de X ; n=4; δσ e = 1, 5 ; ψ = 0, Figura 23 - Representação esquemática do conjunto da carcaça de transmissão Figura 24 - Gráfico das observações das alturas da face de assentamento (mm)

12 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Valores do fator de abertura adicional f ( n, ψ ) Tabela 2 - Valores de h φ e 2 σ α Tabela 3 - Valores do fator de abertura adicional dos limites de controle Tabela B.1 - NMA para o gráfico de X deslocamentos de δσ x Tabela B.2 - NMA para o gráfico de X - deslocamentos de δσ e Tabela B.3 - NMA para o gráfico EWMA ψ = 0; n=1 e Tabela B.4 - NMA para o gráfico EWMA ψ = 0,9; n=1; φ=0, Tabela B.5 - NMA para o gráfico de EWMA ψ = 0,9; n=1; φ=0, Tabela B.6 - NMA para o gráfico de EWMA ψ = 0,9; n=4; φ=0, Tabela B.7 - NMA para o gráfico de EWMA ψ = 0,9; n=4; φ=0, Tabela C.1 - TES do gráfico de X (processo independente) Tabela C.2 - TES do gráfico EWMA (processo independente); ψ= Tabela C.3 - TES do gráfico de X (φ = + 0,4) Tabela C.4 - TES do gráfico de X (φ = + 0,8) Tabela C.5 - TES do gráfico EWMA; λ=0, Tabela C.6 - TES do gráfico EWMA; λ=0, Tabela C.7 - TES do gráfico EWMA; λ=0, Tabela C.8 - TES do gráfico EWMA; λ=0, Tabela C.9 - TES do gráfico EWMA; λ=1,

13 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AR(1) Modelo estocástico autoregressivo de primeira ordem ARMA(1,1) Modelo estocástico autoregressivo e de médias móveis de primeira ordem EWMA Exponentially Weighted Moving Average (Gráfico de controle de médias móveis ponderadas exponencialmente) h Intervalo de tempo entre retirada de amostras L Fator de abertura dos limites de controle LC Limite de controle LM Linha média LIC Limite inferior de controle LSC Limite superior de controle n Tamanho de amostra NAS Número de amostras até o sinal NMA Número médio de amostras até o sinal NMA 0 Número médio de amostras até o sinal durante o período em controle Pd Poder de detecção do gráfico de controle TES Tempo esperado até o sinal TMA Tempo médio até a ocorrência de um alarme falso

14 X Variável aleatória

15 LISTA DE SÍMBOLOS δ Deslocamento da média da variável X em relação ao seu valor alvo α Probabilidade de alarme falso β Probabilidade de não detecção 1- β Poder de detecção do gráfico de controle λ Constante de amortecimento do gráfico EWMA σ X Desvio padrão da variável X σ μ Desvio padrão da média σ 0 Desvio padrão do processo em controle σ α Desvio padrão do erro aleatório adicional σ e Desvio padrão do erro aleatório φ Grau de autocorrelação entre valores individuais na série ψ Proporção da variabilidade de X atribuída a oscilação da média μ k Média do processo no instante em que a k-ésima amostra é formada μ 0 Média do processo em controle e ki Erro aleatório associado ao i-ésimo item da k-ésima amostra X Média amostral

16 h φ Correlação entre μ k e μ k 1 α k Erro aleatório adicional ξ Valor em torno do qual a média do processo oscila f ( n, ψ ) Fator de abertura adicional dos limites de controle resultante do movimento oscilatório da média N(0;1) Distribuição normal com média zero e desvio padrão 1

17 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS LISTA DE SÍMBOLOS 1 INTRODUÇÃO Considerações iniciais Objetivos Verificação dos resultados Justificativa e importância Limitações do trabalho Organização do texto CONTROLE DE QUALIDADE E PRINCÍPIOS BÁSICOS DO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS GRÁFICOS DE CONTROLE Causas especiais e causas aleatórias Subgrupos racionais Medidas de desempenho do gráfico de controle de X em processos independentes Gráficos de controle EWMA PROCESSOS AUTOCORRELACIONADOS Processos com observações da média autocorrelacionadas MODELOS QUE DESCREVEM AS OBSERVAÇÕES DE X Modelo AR(1) com erro aleatório adicional Modelo AR(1) RESULTADOS E DISCUSSÃO Efeito da autocorrelação no desempenho do gráfico de X... 53

18 6.2 Efeito da autocorrelação no desempenho do gráfico EWMA Efeito da autocorrelação no planejamento do gráfico de controle O efeito da autocorrelação no planejamento do gráfico de X O efeito da autocorrelação no planejamento do gráfico de EWMA APLICAÇÃO EM UM PROCESSO AUTOCORRELACIONADO Exemplos simulados Exemplo real: aplicação em um processo industrial CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS Conclusões Sugestões para futuras pesquisas REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A - DETERMINAÇÃO DO NMA COMO FUNÇÃO DO NÚMERO ESPERADO DE VISITAS AOS ESTADOS TRANSIENTES DE UMA CADEIA DE MARKOV APÊNDICE B - DESEMPENHO (NMA) DOS GRÁFICOS DE CONTROLE DE X E EWMA APÊNDICE C - DESEMPENHO (TES) DOS GRÁFICOS DE CONTROLE DE X E EWMA APÊNDICE D CÓDIGOS COMPUTACIONAIS EM FORTRAN... 97

19 18 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações iniciais Produtos de um processo industrial possuem requisitos de qualidade. A qualidade de um produto pode ser definida por meio de variáveis, ou seja, grandezas mensuráveis. Um processo industrial não é perfeito, pois os produtos não são exatamente iguais, graças à existência de um sistema composto de inúmeras causas aleatórias, economicamente inviáveis de serem eliminadas. O controle de um processo é norteado pelas informações extraídas de amostras coletadas durante a fabricação. Com estas informações julga-se o estado do processo, se em controle estatístico, isto é, apenas sob influência de causas aleatórias ou se fora de controle, isto é, sob a influência não só de causas aleatórias, mas também de causas especiais que alteram as características do produto, contudo, possíveis de serem eliminadas. Os gráficos de controle propostos por Shewhart (1931) são ferramentas para o monitoramento de processos. Embora muito conhecido no ambiente fabril, as condições para seu uso são violadas em muitos ambientes modernos de manufatura. Por exemplo, no monitoramento de uma dimensão de peças produzidas em larga escala, peças vizinhas, segundo o instante de produção, diferem pouco em termos de valores da dita dimensão. O mesmo não ocorre entre peças produzidas em tempos distantes; neste caso, costumam diferir bastante. Isto ocorre, pois observações da dimensão de peças vizinhas são autocorrelacionadas. Uma ilustração bastante simples, quando vamos nos pesar, de um dia para o outro há pouca diferença no peso; contudo, de uma semana para outra a diferença pode ser bem maior. Shewhart pressupôs que a média do processo é uma constante e que X k (característica de qualidade mensurável medida no tempo k, por exemplo: diâmetro de um eixo ou a quantidade de refrigerante em uma garrafa) é dado por: Xk = μ + e, k onde e k é um erro aleatório independente com distribuição Normal. O gráfico de controle é uma ferramenta estatística que sinaliza alterações no processo com base no comportamento de uma ou de várias características de qualidade

20 19 do produto. Os gráficos de controle mais comuns são os de Shewhart (por exemplo: gráfico da média - X e gráfico da amplitude R), das somas cumulativas (cumulative sum CUSUM) e das médias móveis exponencialmente ponderadas (exponentially weighted moving average EWMA). Com o gráfico de X, assume-se que as observações da característica de qualidade, colecionadas ao longo do tempo, são independentes e identicamente distribuídas. Em geral, assume-se que, desde o início da produção até o instante da ocorrência de uma causa especial, a média do processo permanece fixa em um valor alvo, a partir de então se desloca. Em certos processos, a média exibe um comportamento oscilatório que pode estar associado a uma causa especial ou ser parte integrante da variabilidade natural do processo. No primeiro caso, basta eliminar a causa especial, já no segundo, não se deve fazer vistas grossas à oscilação, pois, só com um modelo que prevê com precisão o comportamento oscilatório da média é possível estimar a taxa de alarmes falsos e o poder de detecção do gráfico de controle. Reynolds et al. (1996) foram os pioneiros a investigarem o efeito da oscilação da média no desempenho dos gráficos de controle. O movimento oscilatório da média interfere nos limites dos gráficos de controle, tornando-os mais largos, portanto, reduzindo sua capacidade de sinalizar causas especiais que alteram os parâmetros do processo, tais como médias, variâncias ou, no caso do controle de várias características de qualidade, vetores de médias e matrizes de covariâncias. O NMA - número médio de amostras até o sinal (veja Costa et al. (2005) para maiores detalhes) tem sido utilizado como parâmetro de desempenho. Para obter o NMA, Reynolds et al. (1996) e todos os demais pesquisadores que se dedicaram a investigar o efeito oscilatório da média no desempenho do gráfico de controle, isto é, Lu e Reynolds (1999, 1999a, 2001), Lin e Chou (2008), Zou et al. (2008) e Lin (2009), recorreram a um procedimento bastante complexo, envolvendo cadeias de Markov e métodos de equação integral com quadratura. No Apêndice A, descreve-se um procedimento mais simples que permite avaliar a eficiência dos gráficos de Shewhart quando a média do processo oscila. Tal procedimento explora propriedades elementares de cadeias de Markov, isto é, se os estados transientes da cadeia são adequadamente definidos, o NMA é simplesmente

21 20 uma função do número esperado de vezes em que eles são visitados, antes do estado absorvente ser alcançado. Neste estudo, considerou-se o modelo autoregressivo de 1ª ordem, AR(1), para representar o comportamento oscilatório da média. Este modelo tem sido adotado na maioria dos estudos que tratam do monitoramento de médias de processos de manufaturas que oscilam. 1.2 Objetivos O objetivo geral deste trabalho é avaliar a eficiência dos gráficos de Shewhart e de EWMA quando a média do processo oscila de acordo com um modelo AR(1). Para alcançar este objetivo geral, foi necessário estabelecer os seguintes objetivos específicos: Revisar as técnicas estatísticas de monitoramento de médias de processos que oscilam; Definir uma cadeia de Markov apropriada, de tal sorte a ter as medidas de desempenho dos gráficos de Shewhart como função do número esperado de visitas aos estados transientes da cadeia; Analisar o desempenho dos gráficos de EWMA por meio de simulação; Avaliar o efeito do movimento oscilatório da média do processo no desempenho e no planejamento dos gráficos de X e de EWMA e; Comparar de forma justa o desempenho do gráfico de X com o de EWMA. 1.3 Verificação dos resultados Costa et al. (2005, p.19) sugerem que o desempenho de um gráfico de controle seja medido pela rapidez com que esse dispositivo detecta alterações no processo. A análise da relacão entre o custo de operação e o desempenho do gráfico de controle deve nortear a escolha de seus parâmetros de construção: o tamanho das amostras, o intervalo de tempo entre amostragens e o fator de abertura dos limites de controle do gráfico.

22 21 O planejamento de um gráfico de controle de X consiste na determinação de seus parâmetros de construção, n, h e L, respectivamente, o tamanho das amostras, o intervalo entre retirada de amostras e o fator de abertura dos limites de controle. Uma vez definido o mínimo TMAF - tempo médio entre alarmes falsos e a taxa máxima de inspeção TI = n/h, é possível descobrir a combinação (n, h, L) que minimiza o TES - tempo esperado para detecção de uma causa especial que desloca a média do processo de seu valor alvo. Como o NMA é o número médio de amostras que o gráfico requer para sinalizar, segue que multiplicado o NMA pelo h, tem-se o tempo médio entre o instante de retirada da última amostra, que antecede o deslocamento da média, e o instante em que o gráfico de controle sinaliza o desajuste. Por simplicidade e, sem perda de precisão, supõe-se na obtenção do TES que a média do processo deixa seu valor alvo em um ponto médio no tempo entre a retirada de duas amostras consecutivas. Costa et al. (2005) introduziram esta metodologia de obtenção dos valores ótimos de (n, h, L), isto é, aqueles valores que minimizam o TES. Esta metodologia será aplicada para o caso em que a média do processo oscila e, então, investigar o quanto o efeito oscilatório da média afeta os valores ótimos de (n, h, L), bem como o desempenho do gráfico de X. A hipótese sobre o comportamento da média, aqui adotada, é a mesma adotada por Reynolds et al. (1996), Lu e Reynolds (1999a 1999b, 2001), Lin e Chou (2008), Zou et al. (2008) e Lin (2009), isto é, quando em controle, a média do processo oscila em torno de seu valor alvo; já no período fora de controle, ela permanece oscilando, porem não mais em torno de seu valor alvo. Supõe-se neste trabalho que no início do monitoramento o processo está em controle e só sai deste estado, em algum momento futuro, com a ocorrência de alguma causa especial. Supõe-se, também, que a causa especial afeta instantaneamente a característica de qualidade de interesse (variável sob monitoramento), deslocando-a de seu valor alvo e que o processo se mantenha nesse estado, isto é, fora de controle, até que uma ação corretiva seja empreendida.

23 Justificativa e importância A autocorrelação considerada neste estudo é entre valores da média do processo, observada entre os diferentes instantes de tempo em que os subgrupos racionais são formados. Há casos práticos em que as observações da característica de qualidade de itens vizinhos na produção é que se ajustam a um modelo AR(1), e não a média de X (MONTGOMERY; MASTRANGELO, 1991; SUPERVILLE; ADAMS, 1994; RUNGER; WILLEMAIN, 1995/1996; ATIENZA et al., 1998; TESTIK, 2005; TIMMER et al., 2003; De MAGALHÃES et al., 2008; COSTA; CLARO, 2008; CLARO et al., 2009; COSTA; CLARO, 2009; COSTA; CASTAGLIOLA, 2010). Estes casos não serão tratados aqui. A importância da pesquisa se dá pelo fato de que a autocorrelação entre observações da média ocorre em diversos processos, e tem atraído a atenção de muitos pesquisadores: Reynolds Jr., Arnold e Baik (1996); VanBrackle e Reynolds (1997); Lu e Reynolds (1999a); Lu e Reynolds (1999b); Lu e Reynolds (2001); Zou, Wang e Tsung (2008); Sheu e Lu (2008) ; Lin e Chou (2008); Wang (2009); Lin (2009) e Sheu e Lu (2010). Há, assim, uma necessidade de se ampliar o conhecimento acerca dos processos independentes para aqueles cuja média oscila. Profissionais que atuam na área de monitoramento de processos necessitam conhecer os efeitos do movimento oscilatório da média no desempenho dos gráficos de controle. Este movimento oscilatório compromete a credibilidade desta ferramenta estatística de duas formas: (i) quando o processo encontra-se em controle, ocorrem muitos alarmes falsos caso não sejam usados limites de controle que consideram a variabilidade adicional provocada pelo movimento oscilatório da média. A consequência de ordem prática neste caso é intervir no processo desnecessariamente. (ii) quando o processo está sob a influência de causas especiais, utilizando-se limites de controle apropriados, o gráfico de controle possui desempenho muito inferior quando comparado com um processo cuja média não oscila. A consequência de ordem prática é não intervir no processo na hora certa.

24 Limitações do trabalho Nesta dissertação são consideradas as seguintes limitações: Os processos são univariados, ou seja, apenas uma dimensão da qualidade é estudada; O processo é contínuo, o modelo é estacionário e a média oscila de acordo com um modelo AR(1); As variáveis monitoradas (características de qualidade) são normalmente distribuídas; A causa especial altera só a média da distribuição (step mean shift), sem afetar seu comportamento oscilatório; Somente o design estatístico é abordado, ou seja, a otimização é apenas com base em propriedades estatísticas (Erro tipo I e Erro tipo II) e; Somente os gráficos de X e EWMA serão considerados neste estudo. 1.6 Organização do texto A dissertação está estruturada em oito capítulos. Neste primeiro capítulo foi apresentado o problema da autocorrelação associado aos gráficos de controle, as justificativas para a escolha do tema, os objetivos, as verificações dos resultados, as limitações do trabalho e, a seguir, descreve-se a organização do texto. O Capítulo 2 apresenta um breve histórico sobre o controle de qualidade e princípios básicos do controle estatístico de processos, documentados na década de 30 a partir dos trabalhos de Walter Andrew Shewhart. O Capítulo 3 aborda os gráficos de controle, mais especificamente, os conceitos básicos necessários à utilização e entendimento desta ferramenta estatística. O Capítulo 4 apresenta uma revisão da literatura sobre gráficos de controle e processos autocorrelacionados. O Capítulo 5 descreve o modelo que representa a dependência entre observações da média do processo que oscila, correlacionando seus valores de subgrupos racionais vizinhos.

25 24 No Capítulo 6 são apresentados os principais resultados obtidos e há uma discussão sobre estes resultados. O Capítulo 7 apresenta uma aplicação do gráfico de X no monitoramento de um processo industrial autocorrelacionado. As conclusões e sugestões para futuras pesquisas estão no Capítulo 8. No Apêndice A, obtém-se o NMA como uma função do número esperado de visitas aos estados transientes de uma cadeia de Markov. No Apêndice B estão as tabelas com os valores do NMA dos gráficos de controle de X e EWMA. No Apêndice C estão as tabelas com valores do TES dos gráficos de controle de X e EWMA. No Apêndice D estão os códigos computacionais em FORTRAN utilizados para obtenção do NMA e TES do gráfico de Shewhart, como função do número médio de visitas aos estados transientes de uma cadeia de Markov e do gráfico de EWMA, obtido por meio de simulações.

26 25 2 CONTROLE DE QUALIDADE E PRINCÍPIOS BÁSICOS DO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS No inicio da década de 30 o controle de qualidade despontou nos Estados Unidos em uma aplicação industrial do gráfico de controle elaborado por Walter Andrew Shewhart, funcionário da empresa Bell Telephone Laboratories. Shewhart (1925) propôs o uso do gráfico de controle dando ênfase ao estudo e prevenção dos problemas relacionados à qualidade. Em meados da década de 30, o Estatístico Egon Sharpe Pearson, filho de Karl Pearson, através de seus trabalhos sobre controle de qualidade, contribui para elaborar os padrões normativos britânicos British Standard 600: 1935 The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control. Segundo Sanderson (1995) especial atenção deve ser dada a esta norma, pois ela continua relevante depois de muitas décadas de sua publicação. Apesar da publicação do livro Economic Control of Quality of Manufactured Product em 1931 por W. A. Shewhart, as indústrias americanas só adotaram amplamente as técnicas de gráficos de controle após a segunda Guerra Mundial, como narra Mosteller (1945). No período da segunda Guerra Mundial ( ), graças ao controle de qualidade, um grande número de indústrias americanas consegue produzir artigos militares com boa qualidade e com baixos custos. Este sucesso está relacionado com a implantação de técnicas estatísticas associadas ao controle de qualidade. As normas American War Standards Z1.1, Z1.2 e Z1.3 (conhecidas como Z-pamphlets), publicadas em 1941 e 1942, foram escritas sob a coordenação de Harold Dodge que era funcionário da Bell Telephone Laboratories, consultor da Secretary of War e conhecido universalmente por seus trabalhos sobre planos de aceitação por amostragem baseados cientificamente em riscos estatísticos. Estas normas consolidam os procedimentos estatísticos utilizados durante a época da guerra, tendo tanta repercussão a ponto de serem traduzidas e utilizadas por várias indústrias de diversas nações do mundo como expõe Deming (1967). Formam um excelente texto a respeito dos procedimentos desenvolvidos por Shewhart sobre gráficos de controle utilizados na época, sendo publicadas em dois livros: o primeiro contém o guia para controle de

27 26 qualidade (Z1.1) e gráficos de controle para análise de dados (Z1.2) e o segundo livro trata sobre gráfico de controle de qualidade durante a produção (Z1.3). Este segundo livro compõe um texto bem organizado sobre os procedimentos para uso de gráfico de controle, ali são consolidados os tipos de gráficos para o controle de variáveis ( X R e X σ ) e para o controle por atributo (fração de defeituosos p e número de defeituosos - c). Na década de 50 o Japão emprega amplamente o controle de qualidade através da adaptação das atividades baseadas nos sistemas americano e inglês, criando o Controle de Qualidade Total (TQC) no estilo japonês, segundo relata Campos (2004). O TQC é um modelo administrativo criado por um grupo de pesquisadores do controle de qualidade da Union of Japanese Scientists and Engineers (JUSE) e se baseia em muitos elementos, um deles é o controle estatístico de processo cujos fundamentos foram lançados por Shewhart (1931). Controlar processos é a essência do gerenciamento de uma empresa. Campos (2004, p.19) define processo como um conjunto de causas que provocam um ou mais efeitos. Estas causas são denominadas fatores de manufatura ou de serviço que podem ser: matérias-primas, máquinas, medidas, meio ambiente, mão de obra e método. Um processo é controlado através dos seus efeitos e, para isso, é necessário medi-los. Quando monitoramos uma característica de qualidade através de um gráfico de controle estatístico, verificamos um item de controle que mede a qualidade de um produto ou serviço. O objetivo geral ao se controlar um processo é investigar prováveis causas que afetam a característica de qualidade sob monitoramento.

28 27 3 GRÁFICOS DE CONTROLE Existem dois tipos de gráfico de controle: gráfico de controle por atributos e por variáveis. Os mais conhecidos são denominados gráficos de controle de Shewhart que leva o nome de seu criador Walter Andrew Shewhart ( ) e são empregados para monitorar a média de um processo ou a sua variabilidade, ou ainda, a quantidade de itens não conformes ou o número de não conformidades na amostra. 3.1 Causas especiais e causas aleatórias O gráfico de controle é um modo de se exibir dados (ou de uma estatística calculada a partir dos dados) graficamente com a finalidade de distinguir causas comuns das causas especiais de variação. Variabilidade é inevitável, pois quando produzimos diferentes unidades de um determinado produto, por mais bem controlada e projetada a produção, há a presença de um componente impossível de ser extinto que é a variabilidade natural do processo, fruto de causas comuns ou aleatórias que atuam durante o processo de produção. Este tipo de causa não exige nenhuma ação gerencial, pois o processo é dito estar em controle estatístico. Ocasionalmente, podem ocorrer mudanças que afetem a distribuição da variável aleatória monitorada, ou seja, alguma perturbação gerada por causas especiais acaba modificando a média (mudança do valor alvo) e aumentando o grau com que os dados estão dispersos. Causas especiais são problemas que devem ser diagnosticados e eliminados de um processo, pois neste caso há irregularidade. O seu surgimento pode ser provocado por vários fatores: desajuste no equipamento, falta de experiência dos operadores, matéria prima de outro fornecedor e etc. 3.2 Subgrupos racionais O conceito de subgrupo racional indica a retirada de pequenas amostras, constituídas de dados obtidos quase num mesmo instante, a intervalos de tempos regulares. A construção dos subgrupos pode ser afetada por causas especiais e causas

29 28 comuns de variação. O objetivo é que se tenha presente dentro dos subgrupos apenas causas comuns e a ocorrência de causas especiais se dê entre subgrupos, pois ao admitir a formação destes, esperamos que a chance de conter dados de diferentes populações seja mínima, em outras palavras, esperamos que a chance da causa especial ocorrer durante a formação do subgrupo seja mínima. Em processos de produção, a ordem temporal é uma base lógica para a construção dos subgrupos racionais e, dependendo da natureza do processo estudado, podem ser a cada hora, dia, quartos de hora e etc. A formação do subgrupo racional é importante porque ao selecionar de maneira apropriada a amostra, obtemos o máximo de informação útil para controle do processo. Ledolter e Burrill (1999) relatam que esquemas de amostragem que dão informação suficiente para detectar uma causa especial consistem de grandes amostras selecionadas com alta frequência. Porém, por razões que envolvam custos, não é viável este procedimento. Na prática, indústrias acabam selecionando pequenas amostras, quatro ou cinco unidades, com maior frequência. Pequenas amostras funcionam bem se for possível tolerar pequenas mudanças em um parâmetro do processo, caso contrário, grandes amostras são necessárias. Um subgrupo racional consiste em unidades similares e deve incluir unidades produzidas sob condições idênticas de material, equipamento, método de manufatura e outras condições particulares inerentes ao processo. A seleção de um subgrupo deve ser realizada minimizando a chance de que as unidades dentro do subgrupo sejam afetadas por causas especiais e provendo a máxima oportunidade de que diferenças entre subgrupos, provocadas por causas especiais, sejam aparentes no gráfico de controle. Wheeler e Chambers (1992) orientam que a disposição das observações em subgrupos deve considerar: (i) nunca agrupar conscientemente observações originárias de diferentes fluxos do processo, pois isto pode disfarçar a presença de causas especiais; (ii) coletar no menor intervalo possível de tempo os dados com o objetivo de minimizar a variação dentro de cada subgrupo para aumentar a sensibilidade da carta de controle às variações existentes entre os subgrupos; (iii) manter intervalos longos entre as amostras com o objetivo de permitir que fatores de variação existentes no ambiente do processo se manifestem, maximizando a oportunidade para variação entre

30 29 os subgrupos; (iv) adotar subgrupos com tamanho de amostra maior que a unidade, assim, ao monitorar a média das observações, espera-se tornar mais fácil detectar diferenças entre subgrupos; (v) preparar planos de amostragem e procedimentos operacionais e usá-los na rotina de monitoramento. 3.3 Medidas de desempenho do gráfico de controle de X em processos independentes O gráfico de controle de X para dados independentes é comumente usado para monitorar a média ( μ ) de um processo cuja característica de qualidade de interesse X é uma grandeza mensurável representada pelo modelo de Shewhart dado por: X = μ + e, k = 1,2,... (3.1) 2 onde ek ( σ e ) é uma variável aleatória IID ~N 0,. k k A cada intervalo de tempo h, retira-se do processo uma amostra de tamanho n e calcula-se a estatística X. Os valores da estatística calculada são desenhados em um gráfico que possui dois limites: inferior (LIC) e superior (LSC) posicionados a L desvios-padrão da média. Geralmente L assume o valor igual a 3; em uma distribuição normal padrão este valor faz com que, em um processo isento de causas especiais, 99,73% das observações caiam dentro dos limites de controle. Se os pontos da estatística calculada, depois de marcados no gráfico, distribuírem-se de modo aleatório em torno da linha média (LM), estimada a partir da média global de uma quantidade significativa de observações, e dentro dos limites de controle, não há necessidade de se intervir no processo. A linha média e os limites do gráfico são estabelecidos com o processo em controle: σ LSC L n 0 = μ0 + (3.2) LM = μ0 = ξ0 (3.3) σ LIC L n 0 = μ0 (3.4)

31 30 onde μ 0 a média do processo em controle e σ o o desvio padrão do processo em controle, L é o fator de abertura dos limites de controle e n é o tamanho do subgrupo. O gráfico de X é ilustrado na Figura 1 (adaptada de COSTA, EPPRECHT e CARPINETTI, 2005, p.29). Quando surge um ponto na região de ação do gráfico (acima do LSC ou abaixo de LIC), provavelmente há alguma causa especial interferindo na média do processo, devendo ser investigada e corrigida. Na Figura 1, os pontos amostrais se comportam de forma aleatória até a 14ª amostra. Na 15º amostra, têm-se um valor de X na região acima do LSC, região de ação, indicando processo fora de controle estatístico. Figura 1 Gráfico de controle para média. O planejamento de um gráfico de controle de X consiste na determinação dos valores de seus parâmetros de construção, n, h e L, respectivamente, o tamanho das amostras, o intervalo entre retirada de amostras e o fator de abertura dos limites de controle que otimizam o seu desempenho medido pelo NMA ou pelo TES. O gráfico de controle é um teste das seguintes hipóteses: H 0 = processo sob controle, H 1 = processo fora de controle. Se o gráfico é de X, então: H 0 : μ = μ0 e H 1 : μ μ. 0 Os erros estatísticos são: erro tipo I (erro α ) que é a probabilidade de um ponto cair além dos limites de controle, sinalizando uma causa especial inexistente, e o erro tipo II (erro β ) é a probabilidade de um ponto cair dentro dos limites de controle

32 31 não sinalizando uma causa especial. Os erros tipo I e II são representados respectivamente pelas expressões de probabilidade condicional: ( X LSC X LIC X X 0 ) α = Pr > ou < μ = μ (3.5) ( LIC X LSC 0 ) β = Pr μ μ (3.6) X onde o poder do gráfico de controle (Pd) é dado pela probabilidade de detecção: Pd = 1-β (3.7) O estabelecimento dos limites de controle é uma decisão crítica, pois afeta os riscos citados. Alargar os limites diminui o erro tipo I, porém, aumenta o erro tipo II e vice-versa. Com o processo isento de causas especiais, o ideal é que todos os pontos de X se situem dentro dos limites de controle. Entretanto, existe o risco α de surgir um ponto na região de ação do gráfico, gerando um alarme; neste caso, um alarme falso. A ocorrência de um alarme falso é ilustrada na Figura 2. (adaptada de COSTA, EPPRECHT E CARPINETTI, 2005, p.29) X Figura 2 - Gráfico de X ocorrência de um alarme falso O risco α depende da distribuição da variável aleatória X. Se a distribuição da característica de qualidade monitorada X for normalmente distribuída, a distribuição de X também o será. Caso contrário, se a distribuição de X não for normal, pelo

33 32 Teorema Central do Limite, a distribuição de X com boa precisão se aproximará de uma normal, mesmo para subgrupos pequenos. A padronização da variável aleatória X é dada pela expressão: 2 onde Z ( μz σ Z = ) ~N = 0; 1. ( ) Z = X μ σ (3.8) 0 / X A probabilidade de um ponto X cair na região de ação do gráfico é dada por: ( X LSC X) ( X LIC X) α = Pr > + Pr <, ou ainda: LSC μ LIC μ X X X X α = Pr X > + Pr X < σ σ X X (3.9) Para um fator de abertura L, ( Z L) ( Z L) ( Z L) α = Pr > + Pr < = Pr > (3.10) O risco de se assumir que o processo está fora de controle, na ausência de causa especial (alarme falso), não depende do tamanho do subgrupo, n, apenas de L. Quando o processo está fora de controle, a velocidade de detecção é medida pelo número de amostras que o gráfico requer para sinalizar a causa especial (NAS). O valor esperado do NAS, conhecido como NMA, é um índice usado para avaliar o desempenho do gráfico de controle. Com o processo em controle, é desejável que o NMA seja grande o bastante para que alarmes falsos demorem a ocorrer. Considerando-se uma série de tentativas independentes de Bernoulli e a ocorrência de um ponto além dos limites de controle, com probabilidade constante p=1-β, o número de amostras até um sinal (NAS) é dado por: Pr (NAS=d) = p(1-p) d-1, d=1,2,... (3.11) Então, 1 NMA= dpr[ NAS = d] = (3.12) i=1 p Quando uma causa especial desloca a média do processo, ou seja, μ μ 0, o NMA deve ser pequeno de modo que a detecção da causa especial seja rápida.

34 33 O deslocamento da média é expresso em unidades δ do desvio padrão: μ1 = μ0 + δσ0, ou ainda: ( ) δ = μ μ / σ (3.13) A Figura 3 (adaptada de COSTA, EPPRECHT E CARPINETTI, 2005, p.70), ilustra a inércia do gráfico em sinalizar um deslocamento da média. O sinal só ocorre quando o 5º ponto, correspondente a média X da 5ª amostra, cai na região de ação do gráfico. Figura 3 - Gráfico de X ocorrência de um alarme verdadeiro A probabilidade do surgimento de um ponto X acima ou abaixo dos limites de controle é: ( X X 1) ( ) ( ) P = 1 β = 1 Pr LSC X LSC μ = μ = Pr Z L + δ n + Pr Z L δ n (3.14) Em um gráfico de controle de X com limites de 3-sigmas, se a média aumenta de um desvio padrão (δ=1) o poder de detecção é de 0,0228 e o NMA=43,9, isto é, são

35 34 necessárias, em média, aproximadamente 44 amostras de tamanho n=1 para sinalizar tal desajuste. O poder de detecção aumenta com o aumento de δ e/ou com o aumento da amostra, consequentemente, o NMA se reduz (Figura 4, adaptada de COSTA, EPPRECHT E CARPINETTI, 2005, p.72). Figura 4 - Curvas de NMA versus δ para diferentes tamanhos de amostra. Considerando-se o tempo entre a retirada das amostras constante, o tempo esperado até a detecção também se reduz. O investimento em inspeção pelo aumento da amostra é compensado pela redução do tempo que o gráfico requer para sinalizar a causa especial, isto é, o processo permanece menos tempo fora de controle, diminuindo assim o prejuízo advindo de operar o processo em tal condição. Com o processo em controle, o NMA é chamado de NMA 0 (ver Figura 5).

36 35 Determinação do NMA Processo em controle? Sim 1 1 NMA 0= α = Pr Z > ( L) Não 1 1 NMA= = Pd Pr Z L n Pr Z L n ( + δ ) + ( δ ) Figura 5 Expressões do NMA. O TES é uma medida de desempenho do gráfico. Ele é o tempo médio entre o instante em que o processo se altera e o instante do alarme. Se h é o intervalo de tempo entre amostras (subgrupos) e Q o intervalo de tempo entre o momento da retirada da última amostra antes da mudança na média do processo e o instante da mudança, então: TES = E(h.NAS Q) = h. NMA E(Q) (3.15) Supondo que Q tem distribuição uniforme [0,h], então E(Q) = h/2 e TES = h.nma - h/2 (3.16) A Figura 6, adaptada de Costa et al. (2005), ilustra o tempo até o sinal quando a média de um processo se altera.

37 36 Figura 6 Tempo esperado até o sinal (TES) O TES depende da magnitude do deslocamento da média (δ), do tamanho da amostra (n), do intervalo de tempo (h) entre retirada de amostras e do fator de abertura dos limites do gráfico (L). É utilizado como medida de rapidez de detecção; sendo sempre determinado levando em conta as restrições quanto ao menor TES 0 permitido, isto é, menor tempo médio entre ocorrências de alarmes falsos; se NMA 0 representa o número médio de amostras entre alarmes falsos, então TES 0 =h*nma 0. Por exemplo: para os parâmetros n=2; h=0,5 (30 minutos); L=3; δ=1,5, o NMA=5,27. Como o intervalo entre retirada das amostras é de 30 minutos (h=0,5) o TES=2,38 horas. Para n=4, o NMA é de 2 e o TES=0,75 horas. No primeiro caso a taxa de amostragem (n/h) é igual a 4 itens por hora e no segundo caso, 8 itens por hora. Em ambos os casos, temse, em média, um alarme falso a cada 185,2 horas (adotando-se um NMA 0 =370,4). Aqui se reduz o TES aumentando o tamanho da amostra. Outra forma de fazê-lo é retirando amostras com maior frequência. A melhor combinação do par (n;h) é aquela que minimiza o TES. Para uma comparação justa com o processo em controle (δ=0), os limites do gráfico devem ser calibrados para que com diferentes combinações do par (n,h) se tenha sempre um mesmo TES. Para δ=0, o TES= TES 0, representando o tempo esperado entre ocorrências de alarmes falsos.

38 Gráficos de controle EWMA Quando o objetivo é detectar pequenos deslocamentos da média, o gráfico de Shewhart demanda amostras muito grandes que encarecem os custos com amostragens; nestas situações o gráfico de Shewhart tem sido substituído pelo gráfico de EWMA. O esquema EWMA para observações originais baseia-se na estatística definida por: onde ( 1 ) 1 Yi = λxi + λ Yi (3.17) X i é a medida no instante i (médias amostrais ou valores individuais) de um processo e λ (0 < λ < 1) é uma constante. O valor Y 0 = μ 0 representa o valor alvo ou valor médio em controle de X. A estatística EWMA ( Y i ) é uma média ponderada de dados passados. Valores grandes para λ fazem com que as observações recentes possuam maiores pesos no cálculo de Y i. Nos valores pequenos paraλ, os dados históricos, ou seja, anteriores a última observação, têm peso grande no cálculo dey i. Quando λ =1, tem-se o gráfico de Shewhart. 2 Se as observações X i são variáveis aleatórias independentes com variância σ, a 2 2 λ variância da estatística Y i é dada por: 1 ( 1 ) 2 i σy = σ i X λ. Desse modo, os 2 λ limites de controle para o gráfico EWMA são assim determinados: λ ( ) 2 i μ0 ± Lσ X 1 1 λ (3.18) 2 λ Lucas e Saccucci (1990) apresentam um guia para escolha dos valores de λ e L para esquemas independentes. Em geral, L=3 e 0,05 λ 0, 25 funcionam bem quando o objetivo é detectar pequenas mudanças no processo. Como trabalhos anteriores evidenciaram que as cartas de controle de EWMA e CUSUM têm desempenho similar (veja, por exemplo, VANBRACKLE e REYNOLDS, 1997), não serão abordados os esquemas de controle do tipo CUSUM. Para uma discussão sobre o esquema CUSUM,

39 38 veja, por exemplo, Atienza et al. (2002), Lu e Reynolds (2001), Luceno e Box (2000), Schmid (1997), Sparks (2000), Timmer et al. (2000), VanBrackle e Reynolds (1997).

40 39 4 PROCESSOS AUTOCORRELACIONADOS Os gráficos de controle são utilizados assumindo-se observações independentemente e normalmente distribuídas. Entretanto, a suposição de independência é frequentemente violada na pratica. A dependência entre observações da característica de qualidade se dá de diferentes formas. A rapidez com que os itens são produzidos faz com que a diferença entre itens vizinhos na escala do tempo de produção seja muito menor que entre itens produzidos em instantes de tempo distantes. Esta falta de independência entre observações da variável de monitoramento de itens vizinhos é diferente do caso tratado nesta dissertação. Aqui assumimos que a média do processo oscila e, por conseguinte, valores da média de subgrupos racionais é que são correlacionados. Para efeito de distinção denominamos o primeiro caso como dados ou observações autocorrelacionadas e no segundo, como observações das médias autocorrelacionadas. Os resultados apresentados no capítulo 6 consideram este segundo caso. Nos últimos anos, tem surgido um número crescente de propostas de como monitorar processos autocorrelacionados. Segundo Stoumbos, Reynolds Jr, Ryan e Woodall (2000), há duas maneiras de se lidar com a autocorrelação: a primeira é ajustar os limites de controle de modo a controlar a taxa de alarmes falsos e trabalhar com os dados originais. Esta abordagem tem sido explorada, por exemplo, em Claro (2008), Vassilopoulos e Stamboulis (1978), Vanbrackle e Reynolds (1997) e Schmid (1995). Para o caso em que os dados do processo se ajustam a um modelo AR(1), Schmid (1995) apresenta tabelas com os valores do fator de abertura considerando-se o NMA em controle de 500. Kramer e Schmid (1997) sugerem o uso destas tabelas quando o nível de autocorrelação é alto, porém, recomenda a escolha do valor do fator de abertura L de um processo independente, se o nível de correlação for moderado ou baixo. Já na segunda abordagem, os valores da variável de monitoramento são os resíduos de um modelo de série temporal que descreve o comportamento autorregressivo dos dados. Há muitos modelos e adaptações dessa segunda abordagem, alguns exemplos podem ser vistos em Alwan e Roberts (1998), Harris e Ross (1991),

41 40 Montgomery e Mastrangelo (1991), Mastrangelo e Montgomery (1995) e Lu e Reynolds (1999a). A propriedade de independência dos resíduos permite o uso de gráficos tradicionais. Quando ocorre uma perturbação no processo, a chance dela ser detectada na amostra subsequente a sua ocorrência é razoável, mas a partir desta, as chances de detecção diminuem substancialmente, pois o modelo tende a absorver o efeito da perturbação. No caso do gráfico de X, a partir da segunda amostra após a mudança da média do processo, a sua capacidade de sinalização fica comprometida. Portanto, os gráficos de resíduos não têm as mesmas propriedades dos gráficos cujas variáveis de monitoramento são funções diretas das observações originais. Isto foi demonstrado pela primeira vez por Ryan (1991), para o modelo AR(1). A mesma conclusão chegaram Wardel et al. (1994) após estudar a distribuição do número de amostras dos resíduos até o sinal e, mais recentemente, Zhang (1997) e Lu e Reynolds (1999a). 4.1 Processos com observações da média autocorrelacionadas O trabalho de Reynolds Jr. et al. (1996) que utiliza o modelo ARMA(1,1) se tornou referência para muitas pesquisas. Neste modelo, a média do processo oscila de acordo com um modelo AR(1); além disso, as observações da característica de qualidade entre itens dos mesmos subgrupos racionais são consideradas independentes e normalmente distribuídas em torno do valor da média do processo no instante em que o subgrupo é formado. Reynolds Jr. et al. (1996) estudaram as propriedades do gráfico de controle da média utilizando intervalos variáveis entre amostragens (AIV) e fixos (AIF). Concentraram-se na detecção de causas especiais em processos cuja média oscila ao redor de um valor alvo, quando as causas especiais não estão presentes, ou em torno de um valor distante do valor alvo, na presença das mesmas. Neste caso, o modelo é dado por: Xk = μk + ek. A média, μ k, no período t k se comporta de acordo com um modelo estocástico, série temporal. A variância de 2 tem duas componentes, a primeira é variância de longo prazo de μk dada por σ μ. A segunda é a variância do erro aleatório e k de curto prazo, atribuída muitas vezes ao X k,