PROJETO ESTATÍSTICO DO GRÁFICO DE CONTROLE DE X_BARRA COM TAMANHO DA AMOSTRA E INTERVALO VARIÁVEIS

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1 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. PROJETO ESTATÍSTICO DO GRÁFICO DE CONTROLE DE X_BARRA COM TAMANHO DA AMOSTRA E INTERVALO VARIÁVEIS Roberto Campos Leoni (AEDB ) rcleoni@yahoo.com.br Nilo Antonio de Souza Sampaio (AEDB ) nilo.samp@terra.com.br Rogerio Carvalho Mendes Tavora (AMAN ) rcmqco@ig.com.br Os gráficos de controle com esquemas adaptativos são ferramentas utilizadas para monitorar processos e sinalizar a presença de causas especiais. Porém, o uso de esquemas adaptativos ainda não é comum, pois são temas raramente abordados em llivros didáticos e não estão disponíveis em softwares tradicionais usados para análise estatística. Este trabalho tem por objetivo apresentar como planejar e estimar os parâmetros ótimos de um gráfico adaptativo para monitorar a média de um processo utilizando tamanho da amostra e intervalo variáveis (X_BARRA-VSSI). O gráfico de X_BARRA-VSSI foi escolhido por ser um esquema com grande potencial para aplicação prática, pois o gráfico requer apenas o conhecimento do tamanho da amostra e o tempo entre seleção das amostras depois de estabelecidos os parâmetros ótimos para o gráfico. Cadeias de Markov foram utilizadas para avaliar o desempenho do gráfico com base no tempo médio entre o instante em que o processo se altera e o instante em que o gráfico sinaliza a condição fora de controle. Apresentam-se duas funções escritas em linguagem R para auxiliar o usuário no planejamento de um projeto estatístico baseado no esquema adaptativo X_BARRA- VSSI. Palavras-chaves: Controle Estatístico de Processos (CEP), Gráficos adaptativos, Cadeias de Markov, Linguagem R

2 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3.. INTRODUÇÃO Gráficos de controle são utilizados para monitorar processo de produção com o objetivo de sinalizar desvios em relação ao valor alvo de uma característica de qualidade que se deseja monitorar. A detecção de pequenos ou moderados desvios pelos tradicionais gráficos propostos por Shewhart (93) é demorada e, por isso, diversos gráficos alternativos têm sido propostos. Reynolds et al. (988), Prabhu et al. (994, 997), Costa (994, 997, 999), Park e Reynolds (999) introduziram os gráficos de controle adaptativos que assim são chamados por não apresentarem todos os seus parâmetros fixos. A construção desse tipo de gráfico prevê que pelo menos um de seus parâmetros possam variar, dentre os quais: os limites de controle, o tamanho da amostra e o intervalo de tempo em que uma amostra é coletada. Considere, por exemplo, um gráfico de controle adaptativo em que variam o tamanho da amostra e o intervalo de tempo em que uma amostra é coletada; nesse esquema, de acordo com a informação obtida pela amostra mais recente, pode-se modificar o tamanho e o intervalo de coleta da próxima amostra. Projetar um gráfico de controle para uso na prática envolve a elaboração de um plano de amostragem, através das especificações do tamanho das amostras e do intervalo de tempo entre retirada das amostras, assim como o cálculo dos limites de controle. O mecanismo que envolve a determinação da distância dos limites de controle do gráfico à linha central, está estreitamente relacionado com teste estatístico de hipóteses. Alargar os limites de controle diminui o risco da estatística monitorada permanecer além dos limites de controle, com o processo ajustado (erro tipo I). No entanto, alargar os limites aumenta o risco da estatística monitorada se situar dentro dos limites de controle, quando o processo se desajusta, conhecido como erro tipo II (LEONI e COSTA, ). Em gráficos de controle adaptativos é comum o uso de cadeias de Markov para avaliar o desempenho do gráfico de acordo com o conjunto de parâmetros escolhidos (COSTA, 997; ZIMMER et al., e FARAZ e SANIGA, ). Para aferir as propriedades estatísticas, utiliza-se a ideia subjacente de dividir o intervalo de variação da estatística monitorada em um conjunto finito de estados, onde os estados transientes da cadeia situam-se na região de controle do gráfico e o estado absorvente na região estabelecida como fora de controle. Os gráficos adaptativos não são disponibilizados em softwares estatísticos tradicionais, apesar de apresentarem melhor desempenho que os gráficos com parâmetros fixos. A determinação

3 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. dos parâmetros adaptativos não é uma tarefa trivial; deste modo, este artigo propõe o uso de um software livre para planejar e estimar os parâmetros ótimos de um gráfico adaptativo para X com tamanho da amostra e intervalo variáveis ( X VSSI ). O número médio de amostras até o momento em que o gráfico sinaliza a condição fora de controle (ARL) e o tempo médio entre o instante em que o processo se altera e o instante em que o gráfico sinaliza a condição fora de controle (ATS) são as medidas de desempenho utilizadas como referência para escolha dos parâmetros. O gráfico de X VSSI foi escolhido por ser um esquema com grande potencial para aplicação prática, pois sua utilização requer apenas o conhecimento do tamanho da amostra e o tempo entre seleção das amostras depois de estabelecidos os parâmetros ótimos. As propriedades estatísticas do gráfico de controle são otimizadas considerando a abordagem apresentada em Zimmer et al. (), ou seja, uma cadeia de Markov é utilizada para estabelecer os parâmetros mantendo sob controle os riscos estatísticos tipo I e tipo II. O restante do trabalho está organizado da seguinte forma: a seção apresenta o gráfico de controle de X um gráfico de X VSSI. Na seção 3, descreve-se o procedimento para avaliar o desempenho de VSSI usando cadeias de Markov. Na seção 4, apresenta-se um programa escrito na linguagem R para obter os parâmetros ótimos do gráfico de X conclusões e direções de pesquisas futuras completam o artigo.. GRÁFICO DE CONTROLE DE X VSSI VSSI. Finalmente, Reynolds et al. (988) foram os primeiros a considerar o projeto adaptativo de gráfico de controle variando o intervalo de tempo em que uma amostra é coletada. Mais tarde surgiu um grande número de trabalhos com o propósito de variar os demais parâmetros do gráfico de controle, ficando comprovado que esta técnica, em geral, aumenta o poder do gráfico na detecção de causas especiais que acabam modificando a média da característica de qualidade (variável) que se deseja monitorar (BAI e LEE, 998; PARK e REYNOLDS, 994, 999; MAGALHÃES e EPPRECHT, ). O gráfico de controle de X VSSI é adaptativo no que se refere ao tamanho da amostra e intervalo de tempo em que uma amostra é coletada. Este gráfico foi utilizado por Prabhu et al. (994, 997), Costa (997) e Park e Reynolds (999) para monitorar a estatística X de um processo. 3

4 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Figura - Regiões de controle de um gráfico com tamanho da amostra e intervalo variáveis Em um gráfico de controle com tamanho da amostra e intervalo variáveis (ver Figura ) o tamanho da amostra e o intervalo de tempo em que uma amostra é coletada podem variar de acordo com a informação fornecida pela amostra mais recente coletada. Neste tipo de gráfico, amostras aleatórias de tamanhos diferentes são coletadas em intervalos de comprimento variável de acordo com a função: n, h se w Zi k n( i), h( i) n, h se w Zi w n, h se k Z w i () onde i=,,, é o número da amostra; ni () é o tamanho da i-ésima amostra n( i) n n( i) n ; hi () é o tempo praticado para retirar a i-ésima amostra h( i) h h( i) h ; k e w são limites que definem regiões de controle; i controle calculada por: i. / i Z é a estatística de Z x n i () onde x i é a media amostral do i-ésimo subgrupo; e são a média e o desvio padrão do processo quando em controle. A escolha entre os pares ( i), t( i) gráfico. Para um gráfico de X n depende da posição do último ponto VSSI mutuamente exclusivas e exaustivas, como segue (ver Figura ): Z marcado no, podemos dividir a região de controle em três regiões i 4

5 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Região dentro dos limites de alarme: I w, w. Região entre os limites de alarme e controle: I k, ww, k. Região fora dos limites de controle:, k, Se a estatística i I. 3 k Z se situar dentro da região I w, w, o controle (ou inspeção) é relaxado utilizando o par n, h, caso contrário, se o ponto atual Z se situar dentro da região i k, ww k, o controle será mais rigoroso utilizando o par, I, 3. DESEMPENHO DO GRÁFICO DE X VSSI n h. O desempenho estatístico de um gráfico de controle pode ser avaliado calculando as estatísticas ARL ou ATS. Dependendo da condição de operação do processo, tem-se o ARL quando o processo está em controle (ARL ), ou seja, o número esperado de amostras entre dois sucessivos alarmes falsos e o ARL para processo fora de controle (ARL ), que representa o número esperado de amostras entre a ocorrência da causa especial que altera o parâmetro monitorado e o sinal desencadeado pelo gráfico. De maneira similar, tem-se o ATS quando o processo está em controle (ATS ), representando o tempo médio entre dois sucessivos alarmes falsos e o ATS para processo fora de controle (ATS ), representando o tempo esperado entre a ocorrência da causa especial e o sinal desencadeado pelo gráfico. 3. Cadeias de Markov para o gráfico de X VSSI É possível calcular as estatísticas ARL e ATS utilizando cadeias de Markov. Observa-se o número esperado de transições antes de a estatística monitorada se situar no estado absorvente da cadeia. A cadeia de Markov proposta em Zimmer et al. () foi utilizada neste artigo para avaliar o ARL em controle e fora de controle, ARL e ARL respectivamentecada probabilidade de transição é calculada como a probabilidade de a estatística se situar dentro de uma das regiões do intervalo de controle ( I, I ou I 3 ). Nesta cadeia, existem dois estados transientes e um estado absorvente que corresponde ao processo fora de controle. A matriz de transição de estados da cadeia que representa o funcionamento do processo em controle, P, pode ser dividida em quatro submatrizes: Q R P I (3) 5

6 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Onde Q é a matriz de transição entre estados transientes; R representa a matriz de transição de estados transientes ao estado absorvente; é a matriz que afirma a impossibilidade de ir de um estado absorvente para um estado transiente e I é a matriz identidade. Em uma cadeia de Markov, o elemento (i,j) da matriz I representa o número médio Q de visitas ao estado transiente j antes de chegar ao estado absorvente, dado que o processo começou no estado i. Cada probabilidade de transição em controle é calculada como a probabilidade de um ponto da estatística monitorada se situar dentro de uma das regiões do intervalo de controle. Portanto, o número médio de amostras entre dois alarmes falsos sucessivos é calculado por: T ARL b I Q (4) onde b T é um vetor com probabilidades iniciais; I é a matriz identidade; é um vetor unitário e Q é uma matriz de transição obtida por: onde Q w w k w w w k w. denota a função cumulativa normal padrão; k e w são os limites que definem a (5) região de controle do gráfico. O tempo médio para o gráfico produzir um alarme falso é: T ATS b I Q h (6) onde é um vetor com os intervalos de amostragem. A matriz de transição do processo operando fora de controle é dada por: Q R P I A fim de calcular as medidas de desempenho ARL e ATS, utilizam-se: (7) e sendo a matriz de transição dada por: T ARL b I Q (8) T ATS b I Q h (9) 6

7 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. onde: Q Q Q Q Q ; Q w n w n ; Q w n w n ; Q k n w n k n w n Q k n w n k n w n. O vetor com probabilidades iniciais T b é definido de acordo com as condições iniciais de operação no processo: w w T k w b () k k k k Neste artigo, considera-se a condição conhecida como Steady-State, ou seja, assume-se que o processo inicia em controle e, em algum instante futuro, ocorre uma causa especial que provoca um deslocamento no valor alvo da estatística monitorada. 3. Projeto estatístico ótimo para o gráfico de X VSSI O planejamento de um gráfico de controle pode ser formalizado como um problema de otimização em que as variáveis de decisão são os parâmetros do gráfico. A Figura ilustra a função objetivo e as restrições que definem o melhor conjunto de parâmetros do gráfico de X VSSI. Função Objetivo: Sujeito a: min ATS n, n, h, h, w, k ATS n, n, h, h, w, k ATS ; E( n) n ; E( h) h ; wk; h h h h min max min. insp n n n h r Figura - Função objetivo e restrições para os parâmetros do gráfico de controle de X VSSI ; () 7

8 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Na Figura, n e n são os tamanhos das amostras; h e h são os intervalos de tempos entre coleta das amostras; w e k são limites de controle do gráfico; é o grau de deslocamento ocorrido na média do processo; ATS é o tempo médio entre dois sucessivos alarmes falsos; n é o valor esperado do tamanho da amostra coletada com o processo em controle; h é o tempo esperado para coletar uma amostra com o processo em controle e r insp é a quantidade de partes (uma peça, um componente e etc.) que se pode inspecionar por unidade de tempo considerado em h. Para ilustrar que o problema de otimização se reduz a encontrar o par (n,n ) que minimiza a função objetivo, considere, sem perda de generalidade, que E( h) h unidade de tempo (por exemplo: hora,,5 hora e etc.) e ARL =37,4. Logo, ATS =ARL =37,4 e k=3. O valor esperado do tamanho da amostra com o processo em controle, E( n) n, é dado por: w w k w E( n) n n n k k k k Um par de amostras ( n, n ) é selecionado; uma vez que ( n, n ), n e k são conhecidos, pode-se inferir w diretamente da expressão (). O intervalo de amostragem ideal mais curto ( h ) é dado por: h n () (3) rinsp onde r insp é a quantidade de partes (uma peça, um componente e etc.) que se pode inspecionar por unidade de tempo considerado em E( h) h. Por exemplo, se rinsp 6 dado que h hora, admite-se que seja possível inspecionar 6 partes a cada hora. Para maiores detalhes veja Celano (9, ). Uma vez definidos h, h, w e k, obtêm-se h através do tempo esperado para coletar uma amostra: w w k w E( h) h h h k k k k O problema de otimização se reduz, finalmente, a encontrar o par ( n, n ) que minimiza a função objetivo. A próxima seção apresenta um exemplo de aplicação de como planejar um (4) 8

9 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. projeto estatístico ótimo que revela quais valores para o par ( n, n ) devem ser utilizados. Para isso, utilizou-se o software R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, ) para obter os parâmetros ótimos de um gráfico de X 4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO VSSI. Nesta seção, propõem-se duas funções (ver Apêndice A) desenvolvidas para uso em ambiente R que avaliam o desempenho do gráfico de controle de X otimização apresentado na Figura. VSSI e resolvem o problema de A primeira função, denominada VSSI, avalia o desempenho do gráfico de controle calculando o ATS quando fornecidos pelo usuário: n, n, n, delta ( ), h e r_insp. A segunda função, VSSI.otimo resolve o problema de otimização apresentado na Figura. Aqui é necessário fornecer: n, delta ( ), h, r_insp e um valor para nmax que se refere ao maior tamanho de amostra admissível para coleta. Para ilustrar o uso das funções, considere o exemplo apresentado em Costa et al. (8). Uma linha de empacotamento de leite apresenta valor médio de ml e desvio padrão estimado em 4,3 ml. É realizado o monitormanto da média do processo inpecionando-se amostras de tamanho n = 5 a cada unidade de tempo. Suponha que essa unidade seja igual a h = hora. Nesse exemplo, os parâmetros planejados para o gráfico de controle são fixos, ou seja, o tamanho da amostra, o intervalo de amostragem e os limites não se alteram depois de estimados. Para usar o gráfico de controle de X VSSI no exemplo apresentado é necessário calcular os limites de controle (w e k) e o esquema de amostragem n, h e, Escolhendo n n h. ; n 8, mantendo n 5 ;, ; ARL=37,3983; ho= hora (6 min.) e r_insp=6, a função VSSI nos fornece os parâmetros apresentados na Figura 3. Figura 3 - Parâmetros obtidos com a função VSSI(n=, n=8, n_fsr=5, delta=, ARL= , h=6, r_insp=6). Nota: h deve ser lançado em minutos Nesse exemplo,, significa que a média do processo passou de (em controle) para..4,3 4,3 (fora de controle). 9

10 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Considere o caso em que,. A Figura 4 ilustra os resultados obtidos com a função VSSI. Observa-se que o ATS é inferior (ATS = < ATS = ), pois, quando ocorrem grandes desvios na média do processo, o desempenho do gráfico é melhor. Figura 4 - Parâmetros obtidos com a função VSSI(n=, n=8, n_fsr=5, delta=, ARL= , h=6, r_insp=6) Contudo, um esquema ótimo para monitorar este processo é o que apresenta melhor desempenho, ou seja, o menor ATS. Através da função VSSI.otimo, pode-se obter os parâmetros que minimizam o ATS. A Figura 5 apresenta os melhores esquemas para os casos apresentados nas Figuras 3 e 4. Figura 5 - Parâmetros obtidos com a função VSSI.otimo(n_FSR, delta, ARL, h, r_insp, nmax) Nesse caso, o usuário que deseja controlar o valor médio de um processo considerando a possibilidade de um dos deslocamentos aqui apresentados, basta construir o gráfico de controle de X X VSSI com os parâmetros apresentados na Figura 5. Outros gráficos de VSSI podem ser construídos facilmente, modificando os valores de entrada das funções VSSI e VSSI.otimo. 5. CONCLUSÕES Apresentou-se, neste artigo, como se avalia o desempenho do gráfico de controle de X VSSI através de cadeias de Markov e, principalmente, como obter os parâmetros que minimizam o ATS. Para isso, duas funções escritas na linguagem para ambiente R foram criadas com o propósito de resolver o problema de otimização que envolve a minimização do ATS e a apresentação dos melhores parâmetros a serem usados na criação e uso do gráfico de

11 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. controle de X VSSI. Esquemas adaptativos são reconhecidamente mais eficientes que os esquemas de gráficos de controle com parâmetros fixos. Contudo, o uso de esquemas adaptativos para gráficos de controle não são comuns na prática, pois os softwares estatísticos tradicionais não apresentam rotinas para esses tipos de gráficos. Dessa forma, com os programas aqui apresentados, o usuário dispõe de uma ferramenta em que é possível planejar o uso do gráfico de controle de X de qualidade desejada. VSSI para monitorar o valor médio de uma característica Sugere-se que futuros trabalhos apresentem, com apoio do software R, como planejar projetos estatísticos para gráficos de controle com esquemas adaptativos para outras estatísticas como o desvio padrão e a amplitude amostral. REFERÊNCIAS Bai, D. S. & Lee, K. T. (998). An economic design of variable sampling interval X control chart. International journal of production economics, 54, Celano, G. (9). Robust design of adaptive control charts for manual manufacturing / inspection workstations. Journal of Applied Statistics, 36(), 8-3. Celano, G. (). On the constrained economic design of control charts: a literature review. Produção, (), Costa, A.F.B. (994). X charts with variable sample size, Journal of Quality Technology, 6, Costa, A.F.B. (997). X charts with variable sample size and sampling intervals. Journal of Quality Technology, 9, Costa, A.F.B. (999). X charts with variable parameters, Journal of Quality Technology, 3, Costa, A.F.B.; Epprecht, E.K. & Carpinetti, L.C.R. (8). Controle Estatístico de Qualidade. São Paulo. Atlas. Faraz, A. & Saniga, E. (). A unification and some corrections to Markov chain approaches to develop variable ratio sampling scheme control charts. Statistical Papers, 5(4), Leoni, R.C. & Costa, A.F.B. (). O ambiente R como proposta de apoio ao ensino no monitoramento de processos. Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, 4(), Magalhães, M.S.; Epprecht, E.K. & Costa, A.F.B. (). Economic design of a Vp X chart. International Journal of Production Economics, 74, 9-. Park, C. & Reynolds, M. R. Jr. (994). Economic design of a variable sample size X chart. Communications in statistics simulation and computation, 3, Park, C. & Reynolds, M.R.Jr. (999). Economic design of a variable sampling rate X chart. Journal of Quality Technology, 3,

12 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. Prabhu, S.S., Montgomery, D.C. & Runger G.C. (994). A combined adaptive sample size and sampling interval X control scheme. Journal of Quality Technology, 6, Prabhu, S.S., Montgomery, D.C. & Runger G.C. (997). Economic-statistical design of an adaptive X chart. International Journal of Production Economics, 49, -5. R Development Core Team (). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN , URL Reynolds, M.R.Jr.; Arnold, J.C. & Nachlas, J.A. (988). X charts with variable sampling intervals. Technometrics, 3, 8-9. Shewhart, W. A. Economic control of quality of manufactured product. ª Ed. New York: D. Van Nostrand Company. 93. Zimmer, L.S.; Montgomery, D.C. & Runger, G.C. (). Guidelines for the application of adaptive control charting schemes. International Journal of Production Research, 38(9),

13 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. APÊNDICE A Código fonte para avaliar o desempenho e escolher um projeto estatístico ótimo para o gráfico de controle de X - VSSI no ambiente R. Apresentam-se, a seguir, duas funções denominadas VSSI e VSSI.otimo. Para usá-las, basta copiá-las no ambiente R e seguir o exemplo de aplicação. # Função: VSSI # função que avalia o desempenho do gráfico de X - VSSI através da cadeia de Markov rm(list=ls(all=true)) VSSI <- function(n,n,n_fsr,delta,arl,h,r_insp) { k <- qnorm(-(/(*arl))) tempo <- h h <- b_vector <- matrix(c(,), nrow=, ncol=) #vetor {b} fi_k <- pnorm(k) w<- qnorm((fi_k*(n-n_fsr)/(n-n)+.5*(n_fsr-n)/(n-n))) h <- n/r_insp h <- h*(pnorm(k)-pnorm(-k))/(pnorm(w)-pnorm(-w))-h*(*(pnorm(k)-pnorm(w)))/(pnorm(w)- pnorm(-w)) # Em controle - Probabidades de Transição p_o_o <- pnorm(w)-pnorm(-w) p_o_ab <- *(pnorm(k)-pnorm(w)) p_ab_o <- p_o_o p_ab_ab <- p_o_ab # probabilidades estado estacionário p <- p_ab_o/(p_o_ab+p_ab_o) p <- p_o_ab/(p_o_ab+p_ab_o) # Matriz de transição P <- matrix(c(p_o_o, p_o_ab, -p_o_o-p_o_ab, p_ab_o, p_ab_ab, -p_ab_o-p_ab_ab,,, ), nrow = 3, ncol=3, byrow=true, dimnames = list(c("o", "A or B", "OOC"), c("o", "A or B", "OOC"))) # matriz fundamental de Markov Qo <- matrix(c(p_o_o, p_o_ab, p_ab_o, p_ab_ab), nrow=, ncol=, byrow=true, dimnames = list(c("o", "A or B"), c("o", "A or B"))) Id <- matrix(c(,,,), nrow=, ncol=, byrow=true) # vetor unitário one <- matrix(c(,), nrow=, ncol=) # [(I-Q)^-] Id_Qo <- solve (Id-Qo) # vetor {n} n_vector <- matrix(c(n,n), nrow=, ncol=) #Fora de controle - Probabilidades de Transição pd_o_o <- pnorm(w-delta*sqrt(n))-pnorm(-w-delta*sqrt(n)) pd_o_ab <- pnorm(k-delta*sqrt(n))-pnorm(w-delta*sqrt(n))+pnorm(-w-delta*sqrt(n))-pnorm(-k- delta*sqrt(n)) pd_ab_o <- pnorm(w-delta*sqrt(n))-pnorm(-w-delta*sqrt(n)) pd_ab_ab <- pnorm(k-delta*sqrt(n))-pnorm(w-delta*sqrt(n))+pnorm(-w-delta*sqrt(n))-pnorm(-k- delta*sqrt(n)) #matriz de transição de estados Pd <- matrix(c(pd_o_o, pd_o_ab, -pd_o_o-pd_o_ab, pd_ab_o, pd_ab_ab, -pd_ab_o-pd_ab_ab,,, ), nrow = 3, ncol=3, byrow=true, dimnames = list(c("o", "A or B", "OOC"), c("o", "A or B", "OOC"))) # matriz fundamental de Markov Qd <- matrix(c(pd_o_o, pd_o_ab, pd_ab_o, pd_ab_ab), nrow=, ncol=, byrow=true, 3

14 Salvador, BA, Brasil, 8 a de outubro de 3. APÊNDICE A Código fonte para avaliar o desempenho e escolher um projeto estatístico ótimo para o gráfico de controle de X - VSSI no ambiente R (Continuação). dimnames = list(c("o", "A or B"), c("o", "A or B"))) Id_Qd <- solve(id-qd) # [(I-Qd)^-] h_vector <- matrix(c(h,h), nrow=, ncol=) # vetor {h} p <-(pnorm(w)-pnorm(-w))/(pnorm(k)-pnorm(-k)) p <-(*(pnorm(k)-pnorm(w)))/(pnorm(k)-pnorm(-k)) b_vector <- matrix(c(p,p), nrow=, ncol=) #vetor {b} SS ATS <- b_vector %*% Id_Qd %*% h_vector #b*[(i-q)^-]*h #transformação para a unidade de tempo do usuário em minutos h <- h * tempo; h <- h * tempo; h <- h * tempo; ATS <- ATS * tempo; ATS <- ARL*h parametros <- c(ats,n,n,h,h,delta,ats,arl,k,w,n_fsr,h,r_insp) names(parametros) <- c("atsd","n","n","h","h","delta","ats","arl","k","w","n","h","r_insp") parametros <- round(parametros,4) parametros} # Exemplo de aplicação da função VSSI # n - tamanho da amostra # n - tamanho da amostra # n_fsr - valor esperado (médio) para o tamanho da amostra (processo em controle) # delta - grau de deslocamento na média do processo # ARL o número esperado de amostras entre dois sucessivos alarmes falsos # h valor esperado (médio) para o intervalo de tempo para coletar uma amostra (processo em controle). NOTA: lançar o valor de ho em minutos. # r_insp - quantidade de partes que se pode inspecionar por unidade de tempo considerado em h. VSSI(n=,n=8,n_FSR=5,delta=,ARL= ,h=6,r_insp=6) # Função: VSSI.otimo # função que escolhe os parâmetros ótimos do gráfico de X - VSSI VSSI.otimo <- function(n_fsr,delta,arl,h,r_insp,nmax){ LI=n_FSR- ; LS=n_FSR+ nopt= ; nopt=*n_fsr-nopt ATSopt=VSSI(nopt,nopt,n_FSR,delta,ARL,h,r_insp)[] for (n in :LI) { for (n in LS:nmax) { x <-.5*n+.5*n x <- n_fsr if (identical(all.equal(x, x), TRUE)) { result <- VSSI(n,n,n_FSR,delta,ARL,h,r_insp)[] if (result < ATSopt) { nopt=n ; nopt=n ATSopt=as.numeric(VSSI(n,n,n_FSR,delta,ARL,h,r_insp)[]) }}}} print(vssi(nopt,nopt,n_fsr,delta,arl,h,r_insp)) } # Exemplo de aplicação da função VSSI.otimo # nmax valor máximo admissível para o tamanho da amostra # Nota: Esta função depende da anterior. Para usar a função VSSI.otimo copie também a função VSSI na área de trabalho do software R. VSSI.otimo(n_FSR=5,delta=,ARL= ,h=6,r_insp=6,nmax=4) 4