SELEÇÃO DE MODELOS DE PLANEJAMENTO ECONÔMICO DE GRÁFICOS DE CONTROLE POR VARIÁVEIS COM RESTRIÇÕES ESTATÍSTICAS

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1 SELEÇÃO DE MODELOS DE PLANEJAMENTO ECONÔMICO DE GRÁFICOS DE CONTROLE POR VARIÁVEIS COM RESTRIÇÕES ESTATÍSTICAS Osiris Turnes Christian Rainier Imaña Universidade de Brasília ( UnB) osiris@unb.br, christian.rainier@tco.net.br ABSTRACT: Control charts may be designed by using the heuristic rule suggested by Shewhart, by a pure statistical criterion, by an economic criterion or by an economic statistical criterion. In this article, a strictly economic x control chart design models selection system is developed, to which some statistical restrictions are imposed. When a model is chosen, the respective loss/cost function to be minimised is identified. Restrictions considered indispensable are then introduced: producer s and consumer s risks limits. The optimal design is determined by direct search for the values of: sample size, sampling frequency and number of standard deviations from control limits to central line, that minimise the corresponding loss/cost function. The system s final report also presents the value of producer s and consumer s risks and the mean time of false alarms when the process is under control and true alarms when the process is out of control. The method also allows to recalculate the decision variables, from new data, as well as to choose another model. The system performs this way until the optimal design is reached. All the results and intermediate information are stored during the proceeding and are available for future consultation. KEYWORDS: Control Charts for Variables, Economic Design of Control Charts, Economic- Statistical Design of Control Charts.

2 RESUMO: O planejamento dos gráficos de controle pode ser feito usando quatro critérios diferentes: o heurístico de Shewhart, o puramente estatístico, o econômico e o econômico estatístico. Neste trabalho desenvolve-se um sistema de seleção de modelos de planejamento de gráficos de controle por variáveis estritamente econômicos, a partir de informações sobre as características do processo produtivo, aos quais foram impostas algumas condições de caráter estatístico. Selecionado o modelo adequado a um determinado perfil de processo de produção, identifica-se a respectiva função custo/perda a ser minimizada. As restrições introduzidas e consideradas relevantes foram os limites para o erro do consumidor e do produtor. O sistema processa os cálculos necessários para alcançar o mínimo da função custo/perda correspondente e apresenta um relatório de saída do qual constam: o número de elementos da amostra, o intervalo interamostral e o número de desvios padrões que separam os limites de controle da linha central do gráfico, para o procedimento de controle, bem como o valor do erro do produtor, do erro do consumidor e dos tempos de ocorrência de falsos alarmes e de alarmes verdadeiros quando o processo está fora de controle. O sistema admite refazer cálculos, a partir de novos dados de entrada, assim como também, a opção por um novo modelo. O sistema opera desta forma até que, finalmente, o planejamento obtido seja o que melhor se adapta às condições e características do processo em questão. Todos os resultados e informações intermediárias durante o processamento são armazenados possibilitando consultas futuras. 1. Introdução No mundo moderno o crescimento industrial e tecnológico é cada vez mais notável. A expansão dos mercados consumidores exigiu um aumento na oferta de produtos e serviços, tornando o mercado competitivo. Esse fator exigiu uma busca contínua da qualidade, a fim de aperfeiçoar os recursos para conseguir suprir as necessidades e expectativas do consumidor. Esse ambiente despertou em vários pesquisadores o interesse no estudo de técnicas de monitoramento e aperfeiçoamento da qualidade. Os gráficos de controle, vem sendo amplamente utilizados, desde que surgiram como uma concepção de SHEWHART (1931). O planejamento dos gráficos de controle consiste na seleção das variáveis de decisão: número de elementos da amostra (n), freqüência amostral ou intervalos interamostral (h) e número de desvios padrões (k) que separam os limites de controle da linha central do gráfico ou número de aceitação (c) da amostra, que devem ser implementados no processo de controle, em sua grande maioria, com base em critérios estatísticos ou empíricos. Mais recentemente, tem sido dada atenção ao aspecto econômico no planejamento de procedimentos de monitoramento e controle de processos cuja característica de qualidade não pode ser expressada adequadamente por uma medida e cujo processo de produção é afetado por uma causa especial única (ou seja, uma causa especial única é eliminada por vez). Vários pesquisadores tem estudado tais modelos econômicos. Uma revisão bibliográfica feita na literatura existente revelou os seguintes trabalhos relacionados com gráficos de controle por variáveis: DUNCAN (1956), LADANY e BEDI (1969), KNAPPENBERGER e GRANDAGE (1969), GIBRA (1971), BAKER (1971), TAGUCHI (1981), LORENZEN e VANCE(1986), COLLANI(1987), CASTILLO e MONTGOMERY(1993), TAGUCHI, ELSAYED e HSIANG(1990) e outros. Os modelos encontrados apresentam maneiras diferentes de estabelecer suas funções de custo/perda, especialmente devido a pressupostos por eles mesmos estabelecidos. O agrupamento dos modelos foi delineado por SOUZA (1999), a partir de critérios (TURNES,1997) aplicados sobre o conjunto dos modelos encontrados, o que permitiu estabelecer uma relação de equivalência entre processos de produção e o planejamento econômico para gráficos de controle por variáveis e modelos correlatos, adequados a seus perfis. Além disso, foi desenvolvido um fluxograma de apresentação dos modelos, bem como os Diagramas de Fluxo de Dados para o desenvolvimento de um programa computacional que, depois da escolha do modelo adequado, apresenta o planejamento ótimo para o procedimento de controle.

3 O objetivo deste trabalho é, pois, apresentar um sistema computacional desenvolvido para servir de instrumento auxiliar na tomada de decisão por um modelo de planejamento econômico de controle da qualidade por variáveis. Este programa faz parte de um sistema geral, em que são apresentados os modelos para gráficos de controle por atributos e por variáveis. Este sistema pode ser acoplado tanto a softwares de Controle Estatístico de Processos, como a Sistemas Automatizados de Registros de Custos ou de Custos da Qualidade, enriquecendo-os sobremaneira. Além disso, constitui-se em um recurso moderno, flexível, pioneiro, pelo menos no Brasil, e de grande interesse por sua marcante aplicabilidade e indiscutível apoio à área de custos de uma empresa. 2. O modelo estritamente econômico O modelo econômico de planejamento de gráficos de controle por atributos consiste em selecionar o número de elementos da amostra (n), o intervalo interamostral (h) e o número de desvios padrões que separam os limites de controle do gráfico de sua linha central (k), com a preocupação única de obter um planejamento amostral cujo custo associado ao procedimento de controle seja mínimo. Trata-se, pois, de minimizar uma função objetivo F (n,h,k), sem restrições. A função F (n,h,k) considera em seu bojo, os quatro custos da qualidade : custo de amostragem e teste (custo de avaliação); custo de investigação e possível correção após os sinais de alarme ( custo de prevenção); e custo associado à produção de itens defeituosos (custo de falhas internas e externas). Cabe ressaltar que as estimativas de tais parâmetros nem sempre são de fácil obtenção. Os modelos assim desenvolvidos apresentam algumas fragilidades (Woodall,1986) e entre elas são consideradas relevantes: 1. O planejamento econômico de gráficos de controle pode levar a um número excessivo de falsos alarmes; Esta primeira fragilidade decorre, geralmente, de valores muito altos do risco do produtor (α) gerados pelos modelos econômicos ou, de situações em que o custo do alarme falso é muito baixo em relação ao custo associado ao tempo em que o processo está fora de controle. 2. O planejamento econômico de gráficos de controle não detecta rapidamente os desvios esperados do processo. Isto ocorre porque, em grande parte das vezes, o valor do risco do produtor (β) gerado também excede β 0 ; 0, 10 os valores aceitos na prática. Geralmente aceita-se ( ) 3. O planejamento econômico de gráficos de controle não é eficaz na detecção de pequenos desvios não esperados do valor alvo da característica de qualidade; Esta característica não é exclusiva dos modelos econômicos o modelo empírico de Shewhart também tem esta limitação. Para contornar este problema, em geral, utiliza-se como recurso a adoção simultânea de gráficos CUSUM durante o procedimento usual de controle. 3. O modelo econômico com restrições O sistema, objeto do presente trabalho, pretende inicialmente contornar as duas primeiras fragilidades acima citadas. Para isso, em lugar de minimizar a F(n.h,k), sem restrições, passa a utilizar um procedimento alternativo semelhante ao de SANIGA, (1989). Introduz-se, neste caso, ao problema de otimização, duas restrições de caráter estatístico e o novo problema a ser resolvido passa a ser: MinF( n, h, k) s. a. α α u p p onde α u e p l são os limites desejáveis para o erro do Tipo I e o poder do plano amostral. l

4 O modelo acima apresentado permite o acréscimo de tantas restrições quantas forem necessárias, de acordo com o rigor estatístico que se pretenda dar ao procedimento de controle. O número de restrições também pode ser aumentado com vistas a reduzir a superfície a ser examinada na procura pelo valor ótimo. Por exemplo: 1) uma formulação alternativa poderia ser aquela em que todas as restrições são escritas em função dos ARL (número médio de amostras retiradas até a ocorrência de um falso alarme, quando o processo está sob controle ou número médio de amostras retiradas até que o desvio seja detectado, quando o processo está fora de controle); 2) outra, seria formulada adicionando valores limites aos ARLs. Futuramente, pretende-se acrescentar mais uma restrição para que o sistema ora em desenvolvimento apresente modelos que também sejam capazes de detectar pequenos desvios não esperados do processo. 4. Análise do sistema teórico existente (TURNES, 1997; SOUZA, 1999) 4.1 Caracterização das diferentes abordagens De acordo com a literatura estudada foram encontradas quatro linhas de enfoques diferentes que descrevem os modelos estudados (SOUZA, 1997), denominadas de grupo 1, grupo 2, grupo 3 e grupo 4. Essa classificação foi feita de acordo com a semelhança entre as características do processo de produção, o tipo de distribuição de probabilidade que modela o tempo de ocorrência de uma causa especial no processo e o número, tipo e combinação de variáveis de decisão considerados. Esses grupos são caracterizados segundo a tabela a seguir apresentada. Tabela 1: Especificação das características para modelagem do processo de produção GRUPO MODELOS CARACTERÍSTICAS DO PROCESSO GRUPO 1 Knappenberger e Grandage (1969) Gibra (1971) Duncan (1956) Lorenzen e Vance (1986) Collani (1987) - Setup não planejado - Processo não regenerativo - Amostragem convencional GRUPO 2 GRUPO 3 Ladany (1976) - dois modelos Baker (1971) dois modelos Castilho e Montgomery (1993) - Setup não planejado e combinação de setup planejado com não planejado - Processo não regenerativo - Amostragem convencional - Setup não planejado - Processo não regenerativo e regenerativo - Amostragem convencional GRUPO 4 Taguchi (1981, 1990) - Setup não planejado - Processo não regenerativo - Amostragem não convencional As seguintes considerações devem ser feitas: - Considera-se setup todas as interrupções do processo que se reiniciam no estado sobcontrole. Um setup é dito não planejado quando a interrupção decorre de um sinal de que o processo está fora-de-controle (alarme falso ou alarme verdadeiro). - O processo é dito não regenerativo quando a ocorrência de uma causa especial independe dos falsos alarmes, ou seja, a ocorrência de um falso alarme não retarda nem acelera a de uma causa especial. - A amostra é considerada convencional quando o número de itens inspecionados é maior do que um. Caso contrário, a amostragem é dita não convencional

5 4.2 Notação das características consideradas nos modelos de monitoramento da qualidade por variáveis De acordo com o estudo realizado por TURNES (1997), e complementado por SOUZA (1999) o conjunto final das características consideradas decisórias no processo podem ser as representadas na tabela abaixo. Tabela 2: Resumo das características de contorno do processo de produção consideradas na elaboração do fluxograma decisório Resposta Característica Notação Pergunta Sim Não 1. Tipo de setup S planejado? S=1 S=2 2. Tipo de amostragem C convencional? C=1 C=2 3. Tempo de amostragem TA considerado? TA=1 TA=2 4. Tipo de processo R regenerativo? R=1 R=2 5. Processo durante a procura PIP interrompido? PIP=1 PIP=2 6. Reparo ou reajuste RC considerado? RC=1 RC=2 7. Processo durante o reparo PIR interrompido? PIR=1 PIR=2 8. Parâmetros de custo PARC número PARC {2, 3, 4 } 9. Parâmetros do processo PARP número PARP { 3, 4,5, 6, } Usando as informações das Tabelas 1, 2 e as notações utilizadas nas funções custo/perda dos modelos existentes, foram desenvolvidas regras auxiliares que identificam as características de cada modelo com os respectivos parâmetros exigidos. 5.Descrição do sistema Após a análise do sistema teórico existente foi elaborado um projeto lógico, em que foram definidas: as tabelas que formam o banco de dados, a movimentação dos dados e os processos que os modificam. Para a modelagem de dados e de processos foi utilizada a ferramenta case S-Designor 5.1 e a metodologia utilizada foi a de engenharia estruturada de sistemas de Chris Gane & Sarson. A implementação foi feita com técnicas de programação orientada a objetos, utilizando-se Delphi 3.0 e banco de dados no Paradox, por ser o banco de dados nativo do Delphi. O sistema inicia com uma tela de opções que o usuário escolhe entre cadastrar cliente, cadastrar funcionário, escolher modelo, resultado final ou sair. Se for acionada a opção de escolher modelo, abrir-se-á uma tela em que o usuário deverá selecionar o cliente, entre os cadastrados, para a escolha do modelo. Então serão questionadas algumas características de contorno do processo de produção: tipo de setup, tipo de amostragem, tempo de amostragem, características do processo durante a procura e reparo, tipo do processo e características do reparo. Procurou-se reduzir a complexidade da entrada de dados, utilizando perguntas simples a respeito do processo, de tal forma que as respostas se limitam às palavras: sim, não. De acordo com esses valores serão expostos os modelos que atendem a essas características para que o usuário escolha entre os modelos possíveis. Cada modelo requer uma entrada específica de parâmetros de custo e de processo. Assim, de acordo com o modelo escolhido o sistema habilitará somente a entrada dos parâmetros exigidos por esse modelo. Ao ser acionado o botão "calcular" o sistema processará os cálculos necessários para alcançar o valor mínimo da função de custo/perda do modelo correspondente e apresenta um relatório de saída do qual constam: o número de elementos da amostra, o intervalo interamostral, o número de aceitação, o erro do produtor (α), o erro do consumidor (β ) e o custo mínimo do planejamento ótimo delineado, sem restrições. Caso os valores de α e/ou β não estejam compatíveis, o operador poderá acionar as restrições limitantes para ambos os riscos. Caso o usuário deseje optar por um dos outros modelos disponíveis, o sistema operará como anteriormente. O sistema coloca sempre a disposição, uma análise de sensibilidade, após os resultados obtidos a partir do delineamento feito na caixa de entrada de

6 dados. Estes resultados são armazenados em um arquivo texto que poderá ser importado por outros softwares de análise de dados. O sistema oferece mais de uma vez a opção por outro modelo, para o caso em que o usuário deseje conhecer ou tentar outras alternativas. Quando, finalmente, o usuário tiver decidido pelo modelo que, em sua opinião, melhor se adapta as condições e características do processo em questão, o sistema passará a executar uma análise de sensibilidade em torno do valor ótimo encontrado, segundo as redefinições dos valores de entrada que por ele forem julgadas necessárias. O programa computacional desenvolvido para a tomada de decisão por um modelo de planejamento de gráfico de controle por variáveis ou modelos correlatos, toma como base os dados das Tabelas 1, 2 e segue o raciocínio do fluxograma apresentado abaixo. IN ÍC IO Solicita: -características do processo -tipo de am ostragem -parâmetros de custo/processo IN TE R FA C E Após o processam ento dos dados de entrada, o sistem a apresenta o modelo recomendado, de acordo com as respostas dadas na caixa de diálogo APRESENTACÃO DOS MODELOS Resultados obtidos a partir do m odelo. Saídas: n, h, c, alfa, beta e o custo mínimo PLANEJAMENTO Ó TIM O Redefinir valores dos parâmetros SIM Deseja refazer os cálculos a partir de outros valores? NÃO Deseja optar por outro m odelo? SIM NÃO Im prim e: -nom e do últim o m odelo -n, h, c, alfa e beta -custo mínimo- Figura 1: Macro fluxograma do Sistema desenvolvido

7 6. Conclusão Embora os modelos econômicos para planejamento de gráficos de controle e seus procedimentos de otimização estejam disponíveis há muitos anos, poucas empresas têm implementado estas técnicas, na prática. De alguma forma isto é surpreendente, porque a maioria dos administradores anseia por redução de custos, aumento da produtividade e aperfeiçoamento da qualidade, como principais objetivos empresariais. A relutância ao uso destas técnicas se deve, principalmente, a dificuldade em estimar os parâmetros de entrada, as distribuições a priori de probabilidade que regem a ocorrência das causas especiais e outros parâmetros dos modelos. Felizmente, tanto os custos como as distribuições a priori, não precisam ser estimados com alta precisão, pois, os modelos são relativamente robustos em relação a erros de estimativa. No entanto, existem alguns parâmetros críticos, tal como o desvio do processo. O sistema ora desenvolvido vem suprir uma lacuna existente na utilização do planejamento econômico dos gráficos de controle por atributos adequados a determinados perfis de processos produtivos, já que, a falta de um programa computacional flexível dificulta a implementação deste instrumento de apoio a decisão. Por outro lado, o sistema tem funcionado a contento com dados de parâmetros encontrados na literatura. De acordo com o esperado, os resultados têm sido mais precisos dos que aqueles apresentados nas décadas de 70 e 80. Presume-se que esta performance seja resultado da diferença sensível entre os recursos computacionais existentes naquela época comparativamente aos da atualidade. Finalmente, programa é eficaz, pois apresenta resultados exatos, mas ainda lhe falta eficiência ( a técnica grid search é um pouco lenta). Pode-se, no entanto reduzir o tempo de computação, restringindo mais a superfície a ser varrida pelo grid. Isto pode ser feito de duas maneiras: 1) encontrando primeiramente o mínimo para o par (n,c) e, a seguir calculando um valor aproximado para h (preferencialmente múltiplos de hora, meia hora, ou quinze minutos) ou 2) impor novas restrições estatísticas, para evitar valores extraordinários da superfície que está sendo examinada. 7 Referências Bibliográficas BAKER, K.R. Two process models in the economic design of an X chart. AIIE Transactions. v.3, 1971, p CASTILLO, E. del; MONTGOMERY, D.C. Optimal Design of Control Charts for Monitoring Short Production Runs. Journal and Newsletter for Quality and Reliability. v. 8, 1993, p COLLANI, E. von. The Economic Design of X Control Charts. Proceedings of IASTED International Conference on Reliability and Quality Control. 1987, p DUNCAN, A.J. The Economic Design of X Charts Used to Maintain Current Control of a Process. Journal of American Statistical Association. 1956, p GIBRA, I.N. Economically Optimal Determination of the Parameters of X Control Chart. Management Science. v. 17, 1971, p LADANY, S.P.; BEDI, D.N. Selection of the Optimal Setup Policy. Naval Research Logistics Quarterly. v. 23, 1969, p LORENZEN, T.J.; VANCE, L.C. The Economic Design of Control Charts: a Unified Approach. Technometrics. v.28, 1986, p KNAPPENBERGER, H.A.; GRANDAGE, A.H. Minimum Cost Quality Control Tests. AIIE Transactions. v.1, 1969, p SLEEGERS, L.C. Sistema de Seleção e Adequabilidade dos Modelos de Monitoramento da Qualidade por Atributo. Anais do 5 o Congresso de Iniciação Científica da Universidade de Brasília. 1999, p SOUZA, N.R. Agrupamento dos Modelos de Planejamento Econômico para Gráficos de Controle. Anais do 5 o Congresso de Iniciação Científica da Universidade de Brasília. 1999, p SANIGA, E.M. Joint Economically Optimal Design of X and R Control Charts. Management Science. v. 24, 1977, p SANIGA, E.M. Economic Statistical Control-Chart Designs with an Application to X and R Charts. Technometrics. v.31, 1989, p

8 TAGUCHI, G. On-line Quality Control During Production. Tokyo, Japanese Standards Association, TURNES, O. Custos da Qualidade: Planejamento Econômico dos Gráficos de Controle por Atributos e Modelos Correlatos. Tese de Doutorado. Florianópolis, Brasil, 1997.