Hipersuperfícies Compactas: O Teorema de Alexandrov para Curvatura Média de Ordem Superior

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1 Universidade Federal do Piauí Centro de Ciências da Natureza Pós-Graduação em atemática estrado em atemática Hipersuperfícies Compactas: O Teorema de Alexandrov para Curvatura édia de Ordem Superior Pedro Jorge Sousa dos Santos Teresina

2 Pedro Jorge Sousa dos Santos Dissertação de estrado: Hipersuperfícies Compactas: O Teorema de Alexandrov para Curvatura édia de Ordem Superior Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em atemática, da Universidade Federal do Piauí, como requisito parcial para obtenção do grau de estre em atemática. Orientador: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa Teresina

3 FICHA CATALOGRÁFICA Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco S237h Santos, Pedro Jorge Sousa dos. Hipersuperfícies Compactas [manuscrito]: O Teorema de Alexandrov para Curvatura édia de Ordem Superior/Pedro Jorge Sousa dos Santos f. Impresso por computador (printout). Dissertação (mestrado) Universidade Federal do Piauí, Programa de Pós-Graduação em atemática, Orientador: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa. 1. Geometria. 2. Geometria Diferencial. CDD 516

4 i Aos meus amados pais, Paulo Jorge e Eunice; Aos meus queridos irmãos, Paulo Jorge e Pauline; À Pollyana, meu amor; Aos casais considerados grandiosos.

5 Agradecimentos Agradeço a Deus por me ter concedido a realização de mais um sonho. Por ter me permitido nascer de bons pais, ter me presenteado com irmãos maravilhosos e ter posto em meu caminho pessoas de moral elevada que me servem de exemplo. Aos meus pais, Paulo Jorge e Eunice, por me darem amor incondicional e suporte na busca desse sonho, pela confiança que depositaram em mim durante essa jornada. (amo vocês!). Aos meus irmãos, Paulo Jorge e Pauline, por me proporcionarem boa parte dos melhores momentos de minha vida. Por sempre acreditarem em mim, mais que eu mesmo. (sentirei saudades). À Pollyana por estar sempre ao meu lado, me confortando nos momentos difíceis e, sorrindo comigo nos momentos felizes! Por ter tido força (e coragem) de me esperar por todo esse tempo. Por se empenhar em me fazer uma pessoa melhor. Por me ensinar tantas coisas... Aos professores do Departamento de atemática da Universidade Federal do Piauí pela matemática que aqui aprendi, tanto na graduação quanto no mestrado. Aos professores Gilvan Lima e Paulo Sérgio pelas ótimas conversas que tínhamos nas manhãs de sábado, pela matemática agradável que aprendi com eles e por muitos outros ensinamentos. Agradeço ao professor João Benício por ter dado força para terminar a graduação. Ao professor João Xavier pelo trabalho incansável e incentivo ao meu crescimento. Aos professores Juscelino Silva, arcondes Clark e Alexandro arinho pela ajuda fundamental nestes últimos tempos. Dedico meus sinceros agradecimentos ao professor Paulo Alexandre pela sua exemplar orientação, pela tão boa escolha do tema a ser trabalhado e por me ter feito decidir, ii

6 iii através de seu exemplo, prosseguir meus estudos em geometria. Aos professores Barnabé Lima e Abdênago Barros por terem aceitado o convite de participar da minha banca de defesa. Aos meus amigos, de estudo e lazer, José Arimatéa e João Carlos. Aos meus colegas da matemática: Cleyton Natanael, Daniel, Domingos Ponciano, Gilberto, Ítalo Dowell, João Santos, José Venâncio e Renan. Aos grandes amigos, de longa data, Lucas Lopes e arco Aurélio. Aos amigos da Paulicéia pela maneira simples e verdadeira que sempre demonstraram consideração por mim. Pelas noites de paz e conversa agradável, sobre a luz do luar, que tanta saudade deixou. Gostaria de agradecer a tantas pessoas que cruzaram o meu caminho, me dando força, coragem para seguir em frente, me proporcionando momentos inesquecíveis, mas, diante da impossibilidade de fazê-lo, peço desculpas àqueles cujos nomes não aparecem nesta pequena página de agradecimentos... Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro. ais uma vez agradeço à minha família pelo incentivo e apoio em todos os momentos de minha vida. Pedro Jorge.

7 iv...tudo o que é verdadeiro, tudo o que é respeitável, tudo o que é justo, tudo o que é puro, tudo o que é amável, tudo o que é de boa fama, se alguma virtude há e se algum louvor existe, seja isso o que ocupe o vosso pensamento. Filipenses 4:8.

8 Resumo Nesse trabalho iremos provar uma generalização do Teorema de Alexandrov, obtido por Antonio Ros e Sebastián ontiel [14], para curvatura de ordem superior. ais precisamente, provaremos o seguinte resultado: Uma hipersuperfície compacta n-dimensional mergulhada ou no espaço Euclidiano ou no espaço hiperbólico ou num hemisfério aberto da esfera unitária com r-ésima curvatura média constante, para algum r = 1,..., n, deve ser uma hiperesfera geodésica. v

9 Abstract In this work we prove a generalization of Alexandrov s theorem, obtained by Sebastián ontiel and Antonio Ros, for higher-order curvature. ore precisely, we prove the following result: A compact n-dimensional hypersurface embedded into the Euclidean space or into the hyperbolic space or onto the open half-sphere with constant r-th mean curvature, for some r = 1,..., n, must be a geodesic hypersphere. vi

10 Sumário Resumo Abstract v vi 1 Noções Preliminares Gradiente, Divergente e Laplaciano Imersões Isométricas A segunda forma fundamental O r-ésimo Tensor de Newton Curvaturas médias de ordem superior O Teorema de Alexandrov em R n O Teorema de Alexandrov em H n O Teorema de Alexandrov em S n Toro de Clifford Apêndice 40 Referências Bibliográficas 42 vii

11 Introdução O estudo das superfícies no espaço Euclidiano R 3 com curvatura Gaussiana (ou média) constante é um tema clássico da Geometria Diferencial. Em meados do século XVIII Jellett [10] mostrou que uma superfície estrelada S R 3 com curvatura média constante é uma esfera. ais tarde, Hopf [7] provou uma generalização desse teorema mostrando que uma superfície S imersa no espaço euclidiano R 3 com curvatura média constante homeomorfa a uma esfera deve ser uma esfera. Em 1899, Liebmann [12] mostrou que as esferas são as únicas superfícies compactas em R 3 com curvatura Gaussiana constante. Ele também mostrou que as esferas são as únicas superfícies ovais (i.e., superfícies compactas em R 3 com curvatura estritamente positiva) com curvatura média H constante. Por outro lado, para hipersuperfícies podemos considerar a r-ésima função simétrica das curvaturas principais, como segue abaixo. Considere n uma variedade Riemanniana de dimensão n, compacta, orientável e seja ψ : n n+1 uma imersão isométrica sobre a variedade Riemanniana (n + 1)- dimensional n+1. Sendo orientável, podemos escolher um campo normal unitário global N. Denotaremos por e as conexões Riemannianas de n e n+1, respectivamente. Associado à segunda forma fundamental da imersão temos o operador autoadjunto A, definido por X N = A(X). Sejam λ 1,..., λ n os autovalores de A num ponto p. Definimos a r-ésima curvatura média H r da imersão ψ no ponto p da seguinte maneira: H r = 1 ( n r) 1 i 1 <...<i r n λ i1 λ ir. No sentido de unificar a notação definimos H 0 = 1 e H r = 0 para todo r > n. Note que para r = 1, H 1 = H é a curvatura média da imersão e no caso r = n, H n é a curvatura de Gauss-Kronecker. 1

12 Sumário 2 Em 1952, Süss [17] provou que uma hipersuperfície compacta e convexa no espaço Euclidiano R n+1 com algum H r constante deve ser uma esfera. A condição de convexidade foi melhorada por Hsiung [9], que mostrou que uma hipersuperfície n R n+1, cuja função suporte clássica tem um sinal bem definido, possuindo algum H r constante deve ser uma esfera. Uma descoberta fundamental no sentido de estender os resultados de Liebmann foi feita em 1956 por Alexandrov [1]. Ele foi capaz de provar que a esfera é a única hipersuperfície compacta mergulhada no espaço Euclidiano R n+1 com curvatura média constante. Recentemente, Ros [15] estendeu este resultado para qualquer r-ésima curvatura média. ais precisamente, ele provou que Uma hipersuperfície compacta mergulhada no espaço Euclidiano R n+1 com H r constante para algum r = 1,..., n deve ser uma esfera. Vale observar que na década de oitenta do século passado Hsiang, Teng e Yu [8] construíram exemplos de hipersuperfícies compactas imersas em R 2n com curvatura média constante que não são esferas. Feitas essas considerações iniciais podemos enunciar o objetivo principal dessa dissertação, que é provar o resultado acima e estendê-lo para hipersuperfícies mergulhadas no espaço hiperbólico ou num hemisfério aberto da esfera. Assim, provaremos o seguinte teorema obtido por A. Ros e S. ontiel [14] Teorema 0.1. Considere n uma hipersuperfície compacta mergulhada ou no espaço Euclidiano R n+1, ou no espaço hiperbólico H n+1, ou num hemisfério aberto da esfera S n+1. Se H r é constante para algum r = 1,..., n, então n é uma hiperesfera geodésica. É importante salientar que os produtos de esferas produzem hipersuperfícies na esfera S n+1 com H r constante para qualquer r = 1,..., n. Portanto, para hipersuperfícies contidas na esfera S n+1, temos uma série de exemplos com H r constante, que não são esferas (veja Seção 4.1). No entanto, recuando até às idéias de Jellett, A. Barros e P. Sousa [3] provaram um resultado semelhante ao de Jellett [10] para hipersuperfícies estreladas na esfera S n+1 com curvatura média constante, sem assumir que estejam contidas em um hemisfério aberto. ais precisamente, eles provaram que Uma hipersuperfície estrelada n contida na esfera unitária S n+1 com curvatura média constante deve ser uma hiperesfera geodésica.

13 Sumário 3 A presente dissertação se inicia estabelecendo no Capítulo 1 pré-requisitos básicos acerca de uma variedade Riemanniana n. Faremos uma breve exposição sobre funções simétricas e definiremos o r-ésimo tensor de Newton associado à segunda forma fundamental de uma imersão ψ : n n+1. Provaremos ainda alguns resultados fundamentais para os capítulos subsequentes. No Capítulo 2 provaremos o caso Euclidiano do Teorema 0.1. Os Capítulos 3 e 4 destinam-se a provar o Teorema 0.1 no espaço hiperbólico e na esfera, respectivamente. Na tentativa de deixar o texto um pouco menos dependente incluimos um apêndice.

14 Capítulo 1 Noções Preliminares Neste capítulo iremos estabelecer a notação a ser usada e lembrar de alguns conceitos e fatos básicos, necessários ao desenvolvimento dos capítulos seguintes. Sendo assim a prova de alguns resultados não será feita, mas em todo o texto ficará clara a referência para obter tais justificativas. Para este trabalho iremos considerar n uma variedade Riemanniana de dimensão n e classe C, D() o anel das funções reais de classe C definidas em, X() o conjunto dos campos de vetores de classe C em, e, representará sua conexão e métrica Riemanniana, respectivamente. Se p, então T p denotará o espaço tangente a em p e T o fibrado tangente a. 1.1 Gradiente, Divergente e Laplaciano Definição 1.1. Seja f D(). O gradiente de f é o campo de vetores em, definido pela seguinte condição: grad f, X = X(f), X X(). Decorre da definição que se f, g D() então: 1. grad (f + g) = grad f + grad g; 2. grad (f g) = f grad g + g grad f. Definição 1.2. Seja X X(). A divergência de X é a função div X : R, definida por div X(p) = tr[y(p) ( Y X)(p)], onde tr significa o traço da aplicação X : T p T p. 4

15 Capítulo 1. Noções Preliminares 5 As propriedades abaixo decorrem diretamente da definição. 1. div (X + Y) = div X + div Y; 2. div (f X) = f div X + grad f, X, para quaisquer X, Y X() e qualquer f D(). Definição 1.3. Seja f D(). O Laplaciano de f é o operador : D() D() definido por f = div (grad f). Usando as propriedades do gradiente e divergente, prova-se facilmente que: 1. (f + g) = f + g; 2. (f g) = f g + g f + 2 grad f, grad g, para quaisquer f, g D(). Observação 1.1 (Referencial geodésico). Seja n uma variedade Riemanniana de dimensão n e p. Então existe uma vizinhança U de p e n campos de vetores e 1,..., e n X(U), ortonormais em cada ponto de U, tais que ei e j (p) = 0. Uma tal família e i, i = 1,..., n, de campos de vetores é chamada um referencial (local) geodésico em p. Proposição 1.1. Se {e 1,..., e n } é um referencial geodésico local em, então grad f = e i (f)e i. Demonstração. Escrevendo grad f = temos que a i e i, e j (f) = grad f, e j = a i e i, e j = a j. Logo, grad f = e i (f)e i.

16 Capítulo 1. Noções Preliminares 6 De fato, na proposição acima, é suficiente que o referencial seja ortonormal. Proposição 1.2. Se X = n x ie i, onde {e 1,..., e n } é um referencial geodésico local em p, então div X(p) = Demonstração. Inicialmente temos que e i (x i )(p). div X = = ei X, e i = ei ( x j e j ), e i j=1 ( e i (x j )e j, e i + x j ei e j, e i ). i,j=1 Como 0 = e i e i, e j = ei e i, e j + e i, ei e j temos ei e j, e i = ei e i, e j. Portanto, div X = = e i (x i ) x j ei e i, e j = i,j=1 (e i (x i ) ei e i, X ). e i (x i ) ei e i, X Em particular, como e1 e i (p) = 0 temos div X(p) = n e i(x i )(p). Definição 1.4. Seja f D(). Definimos o Hessiano de f em p como o operador linear Hess f : T p T p, dado por Hess f(y) = Y grad f, Y T p. Podemos considerar Hess f como um tensor tal que para cada par de campos X, Y X(), temos Hess f(x, Y) = Hess f(x), Y. 1.2 Imersões Isométricas A segunda forma fundamental Seja ( n+m=k,,, ) uma variedade Riemanniana com métrica, e conexão Riemanniana. Seja n uma variedade diferenciável n-dimensional e ψ : uma imersão, isto é, a derivada dψ p : T p T p é injetiva para todo p. Nestas

17 Capítulo 1. Noções Preliminares 7 condições, a métrica Riemanniana de induz de maneira natural uma métrica Riemanniana em através da definição u, v p = dψ p (u), dψ p (v) ψ(p), p, u, v T p. Dizemos então que a aplicação ψ é uma imersão isométrica. Dado p, existe uma vizinhança U de p tal que ψ(u) é uma subvariedade de. Portanto existem uma vizinhança U de ψ(p) e um difeomorfismo Λ : U V R k em um aberto V do R k, tais que Λ aplica difeomorficamente ψ(u) U em um aberto do subespaço R n R k. Identificaremos então U com ψ(u) e cada vetor v T q, q U, com o vetor dψ q (v) T ψ(q). Além disso, usando o difeomorfismo Λ podemos estender localmente campos de vetores X, Y de definidos em ψ(u) U, a campos de vetores X, Y definidos em U. Para cada p, o produto interno em T p decompõe T p na soma direta T p = T p (T p ), onde (T p ) é o complemento ortogonal de T p em T p. Se v T p, p, podemos escrever v = v + v, v T p, v (T p ). Se X e Y são campos locais de vetores em e X, Y são extensões locais a, definimos X Y = ( X Y). Verifica-se que é a conexão Riemanniana relativa à métrica induzida de por ψ. Dessa forma, se X e Y são campos locais em, σ(x, Y) = X Y X Y é um campo local em normal a. Observação 1.2. Não é difícil verificar que σ(x, Y) não depende das extensões X, Y. Indicaremos por X(U) os campos diferenciáveis em U de vetores normais a U. Pelas propriedades das conexões Riemannianas e obtemos a seguinte

18 Capítulo 1. Noções Preliminares 8 Proposição 1.3. Se X, Y X(U), a aplicação σ : X(U) X(U) X(U) dada por σ(x, Y) = X Y X Y é bilinear e simétrica. Definição 1.5. Seja p e η (T p ). A forma quadrática II η definida em T p por II η (X) = σ(x, X), η é chamada a segunda forma fundamental da imersão ψ em p segundo o vetor normal η. Associada à aplicação σ temos a aplicação linear auto-adjunta A η tal que A η (X), Y = σ(x, Y), η, : T p T p onde X, Y T p. Proposição 1.4. Seja p, X T p e η (T p ). Seja N uma extensão local de η normal a. Então A η (X) = ( X N). Demonstração. Seja Y T p e X, Y extensões locais de X, Y, respectivamente, e tangentes a. Então N, Y = 0, e, portanto A η (X), Y = σ(x, Y)(p), N = X Y X Y, N (p) = X Y, N (p) = Y, X N (p) = X N, Y, para todo Y T p. No caso particular em que a codimensão da imersão é 1, ou seja, ψ : n n+1 ; ψ() é então denominada uma hipersuperfície. Seja p e η (T p ), η 2 = 1. Como A η : T p T p é auto-adjunta, existe uma base ortonormal {e 1,..., e n } de T p formada por autovetores com autovalores associados λ 1,..., λ n, isto é, A η (e i ) = λ i e i, 1 i n. Supondo que e são orientáveis e estão orientadas então o vetor η fica completamente determinado se exigirmos que sendo {e 1,..., e n } uma base na orientação de, {e 1,..., e n, η} seja uma base na orientação de. Nesse caso, denominamos os e i direções principais e os λ i curvaturas principais da imersão ψ. A aplicação A = A η é chamada o operador de Weingarten associado à segunda forma fundamental. Nesse caso, vale a igualdade A(X) = ( X N) = X N.

19 Capítulo 1. Noções Preliminares O r-ésimo Tensor de Newton Definição 1.6. Uma função f : R n R é simétrica, se f é invariante por permutação de suas variáveis independentes, isto é, f(x 1,..., x n ) = f(ρ(x 1,..., x n )), onde ρ é uma permutação qualquer de (x 1,..., x n ). Exemplo 1.1. As funções f, g : R n R, dadas por f(x 1,..., x n ) = n x i, g(x 1,..., x n ) = x i x j x k 1 i<j<k n são exemplos de funções simétricas. Definição 1.7. Um polinômio s, com coeficientes em um corpo ou em um anel associativo e comutativo K com unidade, é simétrico, se s for uma função simétrica. Definição 1.8. O k-ésimo polinômio simétrico elementar s k : R n R é definido como 1, se k = 0 s k (x 1,..., x n ) = x i1... x ik, se k {1,..., n} 1 i 1 <...<i k n 0, se k > n. Proposição 1.5. Seja s k : R n R o k-ésimo polinômio simétrico elementar, então 1. x j s k (x 1,..., x n ) = s k 1 (x 1,..., x j,..., x n ); 2. s k (x 1,..., x i,..., x n ) s k (x 1,..., x j,..., x n ) = (x j x i )s k 1 (x 1,..., x i,..., x i,..., x n ); 3. j=1 x j s k (x 1,..., x n ) = k s k (x 1,..., x n ), x j onde x j indica que o elemento x j foi omitido. Demonstração. Os itens (1.) e (2.) decorrem diretamente da definição. A demonstração do item (3.) pode ser encontrada em [2]. Definição 1.9. Seja ψ : n n+1 uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas e seja A : T p T p o operador linear autoadjunto associado à segunda

20 Capítulo 1. Noções Preliminares 10 forma fundamental da imersão ψ em cada ponto p. Associado a A, tem-se os n invariantes S r (A), 1 r n, dados pela igualdade det(ti A) = ( 1) k S k (A)t n k, k=0 onde S 0 (A) = 1 por definição. Quando {e 1,..., e n } é uma base de T p formada por autovetores de A p, com autovalores respectivamente {λ 1,..., λ n }, vê-se que S r (A) = s r (λ 1,..., λ n ), onde s r é o r-ésimo polinômio simétrico elementar. Agora introduziremos o r-ésimo Tensor de Newton P r (A) : T p T p, para cada r {0,..., n 1}, como sendo P 0 (A) = I P 1 (A) = S 1 (A)I A. P r (A) = S r (A)I AP r 1 (A), onde I é a identidade. ais geralmente, I, se r = 0 P r (A) =. r ( 1) j S r j (A)A j, se r {1,..., n 1} j=0 0, se r n, onde 0 denota a transformação linear identicamente nula. Observação 1.3. Por simplicidade, de agora em diante, escreveremos apenas P r e S r ao invés de P r (A) e S r (A), respectivamente. Note que sendo P r um polinômio em A para todo r, ele é também auto-adjunto e comuta com A. Então toda base que diagonaliza A em p também diagonaliza todos os P r em p. Sendo {e 1,..., e n } uma tal base, com A(e i ) = λ i e i, e denotando por A i a restrição de A a e i T p, definimos S r (A i ) = λ j1... λ jr = s r (λ 1,..., λ i,..., λ n ) 1 j 1 <... < j r n j 1,..., j r i

21 Capítulo 1. Noções Preliminares 11 Proposição 1.6. Seja ψ : n n+1 uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas e seja A o operador linear associado à sua segunda forma fundamental. O r-ésimo Tensor de Newton associado a A satisfaz: 1. tr[p r ] = (n r)s r ; 2. tr[ap r ] = (r + 1)S r+1. Demonstração. ostraremos inicialmente que P r (e i ) = S r (A i )e i, (1.1) onde {e 1,..., e n } é uma base que diagonaliza A. A prova é feita por indução sobre r. Para r = 1, temos: P 1 = S 1 I A. Portanto, P 1 (e i ) = S 1 e i A(e i ) = (S 1 λ i )e i = S 1 (A i )e i. Suponhamos verdadeiro para r 1. Então P r (e i ) = S r e i AP r 1 (e i ) = S r e i A(S r 1 (A i )e i ) = (S r S r 1 (A i )λ i )e i = S r (A i )e i. Assim pela Proposição 1.5 e pelo que vimos acima, segue que tr[p r ] = = P r (e i ), e i = S r (A i )e i, e i S r (A i ) = = ns r o que prova o item (1.). (S r λ i S r 1 (A i )) λ i S r 1 (A i ) = (n r)s r, Para o item (2.), devemos observar que a seguinte igualdade P r+1 = S r+1 I AP r implica AP r = S r+1 I P r+1. Daí, tr[ap r ] = tr[s r+1 I] tr[p r+1 ] = ns r+1 (n r 1)S r+1 = (r + 1)S r+1.

22 Capítulo 1. Noções Preliminares 12 Associado a cada P r temos o operador diferencial linear de segunda ordem L r : D() D() que aparece naturalmente no estudo da estabilidade de hipersuperfícies com S r+1 constante. Tal operador é elíptico, se P r for positivo definido. Passemos então ao conceito de L r. Definição Dada uma função diferenciável f : n R e r N, com 0 r n 1, definimos o operador diferencial de segunda ordem L r em n por: L r (f)(p) = tr[(p r Hess f)(p)]. Observe que para r = 0, L 0 (f) = tr[hess f] = f é o Laplaciano, o qual é sempre um operador elíptico. Quando n+1 é uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante, foi provado por H. Rosenberg em [16] que L r pode ser escrito na forma divergente, mais precisamente L r (f) = div (P r grad (f)), onde div denota o divergente de um campo vetorial sobre n. Segue do teorema abaixo que, se é compacta então L r(f)d = 0. Teorema 1.1 (Teorema da Divergência). Seja uma variedade Riemanniana compacta com bordo e X X(). Então div X d = X, ν ds, onde ν é o campo unitário normal a apontando para fora de. Observação 1.4. No caso em que é uma variedade Riemanniana compacta (sem bordo) segue que div X d = Curvaturas médias de ordem superior Seja ψ : n n+1 uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas. Ao invés de trabalhar com os invariantes S r é por vezes mais conveniente trabalhar com as curvaturas médias de ordem superior H r de ψ, definidas para 0 r n por H r = S r ( n ) = s r(λ 1,..., λ n ) ( n. r r)

23 Capítulo 1. Noções Preliminares 13 Provaremos agora uma proposição que se encontra na tese de A. Caminha [4], onde estaremos estabelecendo algumas desigualdades algébricas sobre as curvaturas médias de ordem superior H r, que são denominadas Desigualdades de Newton. Lema 1.1. Se um polinômio f R[X] possui k 1 raízes reais, então sua derivada f possui ao menos k 1 raízes reais. Em particular, se todas as raízes de f forem reais então todas as raízes de f também serão reais. Demonstração. Podemos supor k > 1. Sejam x 1 < < x l raízes reais de f, com multiplicidades respectivamente m 1,..., m l tais que m m l = k. Então cada x i é raiz de f com multiplicidade m i 1, se m i 2. Por outro lado, entre x i e x i+1 há, pelo teorema de Rôlle, ao menos uma outra raiz de f, de modo que contabilizamos ao menos (m 1 1) + + (m l 1) + (l 1) = k 1 raízes reais para f. O resto é imediato. Proposição 1.7. Sejam n > 1 inteiro, e λ 1,..., λ n números reais. Defina, para 0 r n, S r = s r (λ i ) e H r = H r (λ i ) = ( n r) 1sr (λ i ). 1. Para 1 r < n, tem-se H 2 r H r 1 H r+1. Além disso, se a igualdade ocorrer para r = 1 ou para algum 1 < r < n, com H r+1 λ 1 = = λ n. 0 neste último caso, então 2. Se H 1, H 2,..., H r 1 são não negativas e H r é positivo para algum 1 < r n, então H 1 H H H 1 r r. Além disso, se a igualdade ocorrer para algum 1 j < r, então λ 1 = = λ n. Demonstração. Para provarmos o item (1) usaremos indução sobre a quantidade de números reais. Para n = 2, H 2 1 H 2 é equivalente a (λ 1 λ 2 ) 2 0, com a igualdade se e só se λ 1 = λ 2. Suponha as desigualdades válidas para quaisquer n 1 números reais, com a igualdade ocorrendo para H r+1 0 se e só se os n 1 números forem todos iguais. Dados n 3 números reais λ 1,..., λ n, seja f(x) = (x + λ 1 )... (x + λ n ) = r=0 ( ) n H r (λ i )x n r. r

24 Capítulo 1. Noções Preliminares 14 Então n 1 ( ) n f (x) = (n r) H r (λ i )x n r 1. r r=0 Por outro lado, pelo lema anterior, existem reais γ 1,..., γ n 1 tais que n 1 f (x) = n(x + γ 1 )... (x + γ n 1 ) = n S r (γ i )x n 1 r = n 1 ( ) n 1 n H r (γ i )x n 1 r. r r=0 Desde que (n r) ( ) ( n r = n n 1 ) r, comparando coeficientes obtemos Hr (λ i ) = H r (γ i ) para 0 r n 1. Portanto, segue da hipótese de indução que, para 1 r n 2, H 2 r(λ i ) = H 2 r(γ i ) H r 1 (γ i ) H r+1 (γ i ) = H r 1 (λ i ) H r+1 (λ i ). r=0 Além disso, se tivermos igualdade para os λ i, com H r+1 (λ i ) 0, então também teremos igualdade para os γ i, com H r+1 (γ i ) 0. Novamente pela hipótese de indução, segue que γ 1 = = γ n 1, e daí λ 1 = = λ n. Para terminar, é suficiente provarmos que H 2 n 1(λ i ) H n 2 (λ i ) H n (λ i ), com igualdade para H n 0 se e só se todos os λ i forem iguais. Se algum λ i = 0 a igualdade é óbvia. Senão, H n 0 e H 2 n 1 H n 2 H n [ ( ) ] 1 2 n H n n 1 λ i i ( ) 2 1 (n 1) 2n i λ i [ ( ) 1 n n 2 i<j i<j 1 λ i λ j. Denotando α i = 1 λ i, temos a última desigualdade acima equivalente a ( ) 2 (n 1) α i 2n α i α j. i<j Fazendo T(α i ) = (n 1) ( n α i) 2 2n i<j α iα j, obtemos ( n ) 2 ( n T(α i ) = n α i ( n = n = n i α i)2 2 i<j ( n ) 2 α 2 i α i 0, α i α j α i)2 2n i<j ( n ) 2 α i α j α i H n λ i λ j ] H n.

25 Capítulo 1. Noções Preliminares 15 pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. Vê-se ainda que, nesse caso, a igualdade ocorre se e só se todos os α i (e portanto os λ i ) forem iguais. Note que o argumento acima também prova que H 2 1 = H 2 se e só se todos os λ i forem iguais, posto que T(λ i ) = n 2 (n 1)[H 2 1(λ i ) H 2 (λ i )]. Para o item (2), observe que H 1 H segue do item (1). Suponha então válida para algum 2 k < r. Então assumindo que H 1, H 2,..., H k 0 e H k+1 > 0 segue, pelo item (1.), que H k > 0. De fato, H k = 0 0 H k 1 H k+1 H k 1 = 0 H 2 k = 0 = 0 H k+1 = H k 1 H k+1, isto é, H 2 k = H k 1 H k+1 com H k+1 0 logo, pelo item (1.), λ = λ 1 = = λ n daí λ k = H k = 0 donde λ = 0 e, portanto, H k+1 = 0 o que é uma contradição. Assim H 1 H H 1 k k, e então H 2 k H k 1 H k+1 H k 1 k k H k+1, k ou ainda H 1 k+1 k H 1 k+1. Segue agora imediatamente das desigualdades acima que, caso k H 1 k+1 k = H 1 k+1 para algum 1 k < n, então H2 k = H k 1 H k+1. Logo, o item (1) garante que λ 1 = = λ n. Teorema 1.2. Seja ψ : n n+1 uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas ( n conexa). Suponha que exista um ponto de n onde todas as curvaturas principais λ 1,..., λ n são positivas. Então, se H r é sempre maior que zero em n, temos que o mesmo vale para H k, k = 1,..., r 1. Além disso, H k 1 k k k H k 1 e H 1 k H, k = 1,..., r. Se k 2, a igualdade nas desigualdades acima ocorre somente nos pontos umbílicos. Demonstração. Devemos mostrar que H k é sempre positivo em qualquer que seja k = 1,..., r 1. O resto é consequência direta da Proposição 1.7. Seja p o ponto onde as curvaturas principais são todas positivas. Então, por verificação direta, em p, H k > 0. Por continuidade existe uma bola aberta B(p) com centro em p tal que as funções H k são positivas em B(p). Para qualquer q, sendo conexo, existe um caminho γ : [0, 1] ligando p e q com γ(0) = p e γ(1) = q. Defina J = {t [0, 1] \ H k > 0 em γ [0,t], k = 1,..., r 1}. Seja t 0 = Sup J. Note que H k > 0 em B(p) implica t 0 > 0. Por continuidade, em t 0, H k 0 assim, pela Proposição 1.7 H 1 H H 1 r 1 r 1 H 1 r r > 0 em t 0 e, portanto, t 0 J. Agora se fosse t 0 < 1, por continuidade, existiria uma bola B(γ(t 0 )) com

26 Capítulo 1. Noções Preliminares 16 centro em γ(t 0 ) tal que H k > 0 em B(γ(t 0 )), o que contradiz a nossa escolha de t 0 = Sup J. Daí, t 0 = 1. Assim, obtemos que H k > 0 em q para todo k = 1,..., r 1 e, como q é arbitrário, o resultado está demonstrado. ostraremos a seguir que toda imersão isométrica ψ : n n+1 c de uma hipersuperfície compacta possui um ponto onde todas as curvaturas principais são positivas, onde n+1 c representa R n+1, H n+1 ou um hemisfério aberto de S n+1. Para isto, introduziremos algumas notações e relembraremos alguns fatos. Seja S c : R R definida por sinh(t), se c = 1; S c (t) = t, se c = 0; sin(t), se c = 1. e d : n+1 c R a função distância para um ponto fixo p 0 n+1 c, isto é, d(p) = d(p, p 0 ). É sabido que d é suave em n+1 c \ {p 0 } e grad d = 1. Agora considere uma hiperesfera de centro p 0 e raio r, de n+1 c, a saber: S n (r) = {p n+1 c : d(p) = r}. Então o campo unitário normal (interior) a S n (r) é N = grad d. Por Jorge-Koutroufiotis [11], temos que v grad d, w = S c(d) ( v, w grad d, v grad d, w ) v, w Tn+1 c. S c (d) Tomando v, w TS n (r) obtemos A(v), w = v N, w = v grad d, w = S c(d) v, w. S c (d) Isto diz que todas as curvaturas principais de S n (r) são constantes iguais a S c(r) S c (r). Proposição 1.8. Seja ψ : n n+1 c, onde n+1 c = R n+1, S n+1 0 (hemisfério aberto de S n+1 ), imersão isométrica de uma hipersuperfície compacta, então n possui um ponto onde todas as curvaturas principais são positivas. Se n+1 c ponto onde as curvaturas principais são maiores que 1. = H n+1, então existe um

27 Capítulo 1. Noções Preliminares 17 Figura 1.1: Demonstração. Representaremos por p 0 a origem de R n+1 ou o centro do hemisfério aberto S n+1 0. Seja q n o ponto onde a função d(p) = d(p, p 0 ) atinge o máximo. No ponto q, a hipersuperfície n é mais curvada que a esfera S n (r), então λ i S c(r) S c (r) > 0. Para o caso hiperbólico basta observar que S 1 (r) S 1 (r) > 1. (Veja Figura 1.1) Finalizaremos esta subseção apresentando mais alguns resultados envolvendo a função ( ) S c(t). Um cálculo simples nos mostra que d S c (t) S c (t) dt S c < 0, então S c(t) (t) S c é decrescente. Usare- (t) mos esta informação para obtermos uma desigualdade que será utilizada posteriormente na prova de alguns fatos. Seja ψ : n n+1 c um domínio compacto Ω n+1 c um mergulho de uma hipersuperfície compacta, então existe tal que Ω =. Seja c : n R definida por c(p) = max{t 0 : d(, exp p (tn(p))) = t}, onde N(p) é o normal a T p interior a Ω e exp p (tn(p)) = S c(t) p + S c (t) N(p) é a aplicação exponencial de n+1 c no ponto p aplicada em tn(p) T p n+1 c. Como d(, exp p (c(p)n(p))) = c(p) temos que d(x, exp p (c(p)n(p))) c(p), x. Portanto, S n (exp p (c(p)n(p)), c(p)) Ω. Como p S n (exp p (c(p)n(p)), c(p)), segue que as curvaturas principais de (no ponto p) são menores ou iguais a S c(c(p)) S c (c(p)) (Veja Figura 1.2). Denotando por H(p) a curvatura média de no ponto p, temos H(p) λ max S c(c(p)) S c (c(p)) S c(t), t [0, c(p)), S c (t)

28 Capítulo 1. Noções Preliminares 18 Figura 1.2: onde λ max é a maior curvatura principal positiva de no ponto p. Provamos o seguinte lema Lema 1.2. Seja ψ : n n+1 c, onde n+1 c = R n+1, S n+1 0 ou H n+1, mergulho de uma hipersuperfície compacta n. Então, dado p n vale onde T(t) = S c(t) S c (t). c(p) T 1 (λ max ) T 1 (H(p)), Como consequência do lema acima ganhamos o Corolário 1.1. Seja ψ : n n+1 c, onde n+1 c = R n+1, S n+1 0 ou H n+1, mergulho de uma hipersuperfície compacta n. Se λ 1,..., λ n são as curvaturas principais de n no ponto p, vale n n (S c(t) λ i S c (t)) S c(t) HS c (t). para todo t [0, c(p)). Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, λ 1 = = λ n (i.e., p é um ponto umbílico). Demonstração. O Lema 1.2 implica que S c(t) λ i S c (t)) 0, para todo t [0, c(p)) e todo 1 i n. Pela Desigualdade das édias, temos n n (S c(t) λ i S c (t)) 1 (S n c(t) λ i S c (t)) = S c(t) HS c (t). Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, λ 1 = = λ n.

29 Capítulo 2 O Teorema de Alexandrov em R n+1 Em todo o capítulo denotaremos por a conexão Riemanniana de R n+1 e por a conexão Riemanniana de qualquer hipersuperfície n de R n+1. Teorema 2.1. Seja ψ : n R n+1 uma hipersuperfície orientável imersa no espaço euclidiano R n+1 e N um campo normal unitário de vetores sobre n. Então, para r = 0,..., n 1, temos L r ( ψ 2 ) = 2[(n r)s r + (r + 1)S r+1 ψ, N ]. Demonstração. Dado p n, seja {e 1 (p),..., e n (p)} T p uma base ortonormal que diagonaliza o operador A em p. Sejam λ 1,..., λ n os autovalores de A associados a e 1 (p),..., e n (p), respectivamente. Denote por {e 1,..., e n } o referencial geodésico que estende a base acima a uma vizinhança de p em n. Como ei e i (p) = 0, i = 1,..., n, existe a R tal que ei e i = a i N. Por outro lado, como e i, N = 0 temos ei e i, N = e i, ei N = e i, ei N = λ i. Portanto, ei e i = λ i N. Para todo X X( n ) temos consequentemente X ψ 2 = 2 X, ψ, XX ψ 2 = 2 X ψ, X X. (2.1) 19

30 Capítulo 2. O Teorema de Alexandrov em R n+1 20 Observe que L r ( ψ 2 ) = tr[p r Hess ψ 2 ] = (P r Hess ψ 2 )e i, e i = = = P r ( ei grad ψ 2 ), e i = λ r i ei grad ψ 2, e i = λ r ie i e i ψ 2, ei grad ψ 2, P r (e i ) λ r i ei [ e j ( ψ 2 )e j ], e i j=1 onde λ r i é o autovalor de P r associado a e i (p). Assim, L r ( ψ 2 )(p) = λ r ie i e i ψ 2 (p). (2.2) Substituindo a Igualdade 2.1 na Igualdade 2.2 obtemos L r ( ψ 2 ) = = = 2 = 2 λ r ie i e i ψ 2 λ r i(2 e i ψ, ei e i ) λ r i + 2 λ r i ψ, λ i N λ r i + 2 ψ, N λ i λ r i = 2tr[P r ] + 2tr[AP r ] ψ, N = 2(n r)s r + 2(r + 1)S r+1 ψ, N, ou seja, L r ( ψ 2 ) = 2[(n r)s r + (r + 1)S r+1 ψ, N ]. (2.3) Como consequência temos o seguinte Corolário 2.1 (Fórmula de inkowski). Seja ψ : n R n+1 uma imersão de uma hipersuperfície compacta orientável n no espaço euclidiano R n+1 e N um campo de vetores normal unitário sobre n. Então, para r = 0,..., n 1, vale (H r + H r+1 ψ, N ))da = 0.

31 Capítulo 2. O Teorema de Alexandrov em R n+1 21 Demonstração. ultiplicando ambos os membros da Igualdade 2.3 por r!(n r 1)! n!, onde r = 0,..., n 1, encontramos r!(n r 1)! L r ( ψ 2 ) = 2[H r + H r+1 ψ, N ]. n! Integrando sobre n e utilizando o Teorema da Divergência, obtemos r!(n r 1)! (H r + H r+1 ψ, N )da = L r ( ψ 2 )da 2(n!) r!(n r 1)! = Div [P r (grad ψ 2 )]da 2(n!) = 0. Portanto, (H r + H r+1 ψ, N ))da = 0, r = 0,..., n 1. Iremos provar, no teorema abaixo, uma desigualdade integral para hipersuperfícies compactas mergulhadas no espaço euclidiano R n+1 onde a igualdade caracteriza as esferas. Vejamos, Teorema 2.2. Seja ψ : n R n+1 uma hipersuperfície compacta mergulhada no espaço euclidiano R n+1. Se a curvatura média H de ψ com relação ao normal interior N é sempre positiva sobre n, então a seguinte desigualdade é válida 1 da (n + 1) V(Ω), H onde V(Ω) é a medida de Lebesgue do domínio compacto Ω determinado por n com Ω = n. Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, n é uma esfera. Demonstração. Fazendo uso da Fórmula 4.7 c(p) f dv = f(exp p (tn(p)))f(p, t)dtda Ω com f 1 e levando em conta que, neste caso, 0 dv(exp p (tn(p))) = (1 λ 1 t)... (1 λ n t)dtda = F(p, t)dtda temos V(Ω) = dv = Ω 0 c(p) (1 λ 1 t)... (1 λ n t)dtda.

32 Capítulo 2. O Teorema de Alexandrov em R n+1 22 Pelo Lema 1.2 temos c(p) λ 1 max H 1 (p). Além disso, se t (0, c(p)) concluímos pelo Corolário 1.1 que (1 λ 1 t)... (1 λ n t) (1 th) n, ocorrendo a igualdade somente nos pontos umbílicos. Portanto, isto é, V(Ω) = = 1 H 0 (1 th) n dtda [ (1 th) n+1 H(n + 1) 1 1 n + 1 H da, ] 1 H 1 da (n + 1) V(Ω) H e a igualdade ocorre se, e somente se, ψ é umbílica. Estamos em condição de enunciar (e demonstrar) o teorema principal deste capítulo. Façamos. Teorema 2.3. Seja ψ : n R n+1 uma hipersuperfície compacta mergulhada no espaço euclidiano. Se H r é constante para algum 1 r n, então n é uma esfera. Demonstração. Sendo n compacta, existe um ponto onde todas as curvaturas principais, com relação ao normal interior, são positivas. 0 da Portanto, H r é uma constante positiva e pelo Teorema 1.2 H 1 r r teorema anterior, temos isto é, (n + 1) V(Ω) = 1 H 1 r r 1 da H da = A, H 1 r 1 H 1 r r da H. Utilizando o (n + 1)H 1 r r V(Ω) A, (2.4) onde A é a medida de Riemann de n e a igualdade ocorre se, e somente se, n é umbílica. Ainda pelo Teorema 1.2 temos H r 1 H r 1 r r.

33 Capítulo 2. O Teorema de Alexandrov em R n+1 23 Disto, juntamente com a Fórmula de inkowski (Corolário 2.1), segue que Portanto, 0 = = H r 1 r r (H r 1 + H r ψ, N )da (H r 1 r r + H r ψ, N )da (1 + H 1 r r ψ, N )da. (1 + H 1 r r ψ, N )da 0. (2.5) Seja Ω R n+1 o domínio compacto determinado por n com Ω = n. Se x denota o vetor posição em R n+1 e representa o Laplaciano euclidiano, temos x 2 = n+1 2 x 2 x 2 i = 2(n + 1). Assim, pelo Teorema da Divergência, obtemos ou seja, N da = ψ, 1 2ψ, N )da 2 = 1 div (grad x 2 )dv 2 Ω = 1 x 2 dv 2 Ω = (n + 1) V(Ω), ψ, N da = (n + 1) V(Ω), (2.6) onde N é escolhido sendo o campo normal interior em relação a Ω e V(Ω) é a medida de Lebesgue de Ω. ultiplicando a Igualdade 2.6 por H 1 r r, subtraindo A de ambos os membros e levando em conta que H r é uma constante positiva, obtemos A H 1 r (n + 1) V(Ω) = A + H 1 r ψ, N )da = (1 + H 1 r ψ, N )da. Portanto, pela Desigualdade 2.5, temos A H 1 r r (n + 1) V(Ω).

34 Capítulo 2. O Teorema de Alexandrov em R n+1 24 Disto, juntamente com a Desigualdade 2.4, decorre que A = (n + 1)H 1 r r V(Ω) o que prova o teorema.

35 Capítulo 3 O Teorema de Alexandrov em H n+1 Denotaremos as (n + 2) componentes de um ponto x R n+2 por (x 0, x 1,..., x n+1 ). Seja R n+2 1 o espaço vetorial R n+2 munido com a pseudométrica, : R n+2 1 R n+2 1 R dada por x, y = x 0 y 0 + x 1 y x n+1 y n+1. Esta métrica pseudorriemanniana é chamada métrica de Lorentz. O espaço hiperbólico real de curvatura seccional constante 1 pode ser visto como a hipersuperfície tipoespaço de R n+2 1 definida por H n+1 = {x R n+2 1 \ x 2 = 1, x 0 1}, com a métrica positiva definida induzida pela métrica de Lorentz de R n+2 1. Dado X X(H n+1 ), se x denota o vetor posição em H n+1, temos 0 = X x 2 = 2 X, x o que implica X, x = 0 qualquer que seja X X(H n+1 ). unitário a H n+1 é o próprio vetor posição. Portanto o campo normal Seja ψ : n H n+1 uma imersão de uma hiperfuperfície compacta orientável no espaço hiperbólico. Podemos ver ψ como uma aplicação ψ : n R n+2 1 com ψ 2 = 1 e ψ 0 1. Da mesma forma, um campo normal unitário correspondendo a ψ pode ser considerado como uma aplicação N : n R n+2 1 com N 2 = 1 e ψ, N = 0. Tome a R n+2 1, arbitrariamente, e defina as funções F : H n+1 R e f : n R por F = x, a e f = ψ, a. (3.1) 25

36 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 26 Observe que sendo f a restição de F à hipersuperfície n vale grad (f) = P (grad (F)), onde P (grad (F)) representa a projeção do gradiente de F no plano tangente de n. Em todo este capítulo denotaremos por, e as conexões Riemannianas de n, H n+1 e R n+2 1, respectivamente. Teorema 3.1. Seja ψ : n H n+1 uma hipersuperfície orientável imersa no espaço hiperbólico. Para todo 0 r n 1 e a R n+2 1 arbitrário, a seguinte fórmula é valida L r ( ψ, a ) = (n r)s r ψ, a + (r + 1)S r+1 N, a. Demonstração. Sejam F e f as funções definidas em (3.1). Se X X(H n+1 ), então X(F) = X, a. Portanto grad (F) = P H n+1(a), onde P H n+1(a) representa a projeção de a R n+2 1 no plano tangente de H n+1. Como consequência, obtemos grad (f) = P (P H n+1(a)). Dados X, Y X(), temos X grad (f), Y = X P (P H n+1(a)), Y = X [P H n+1(a) P H n+1(a), N N], Y = X P H n+1(a) + X [ P H n+1(a), N N], Y = X P H n+1(a), Y + P H n+1(a), N X N, Y = X [a + a, ψ ψ], Y + a, N A(X), Y = a, ψ X ψ, Y + a, N A(X), Y = a, ψ X, Y + a, N A(X), Y, isto é, X grad (f), Y = ψ, a X, Y + N, a A(X), Y. Por outro lado, dada uma base ortonormal {e 1,, e n } de n que diagonaliza o

37 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 27 operador A, temos tr[p r Hess f] = = = = = P r ( ei grad (f)), e i ei grad (f), P r (e i ) λ r i ei grad (f), e i λ r i[ ψ, a e i, e i + N, a A(e i ), e i ] λ r i[ ψ, a + λ i N, a ] = ψ, a λ r i + N, a λ r iλ i, onde λ r i e λ i são os autovalores de P r e A, respectivamente, associados ao autovetor e i. Portanto, L r ( ψ, a ) = tr[p r Hess ψ, a ] = ψ, a λ r i + N, a λ r iλ i = ψ, a tr[p r ] + N, a tr[ap r ] = (n r)s r ψ, a + (r + 1)S r+1 N, a, ou seja, L r ( ψ, a ) = (n r)s r ψ, a + (r + 1)S r+1 N, a. Como consequência temos o seguinte Corolário 3.1. Seja ψ : n H n+1 uma hipersuperfície compacta orientável imersa no espaço hiperbólico. Para todo 0 r n 1 e a R n+2 1 arbitrário a seguinte igualdade é válida (H r ψ, a + H r+1 N, a )da = 0. Demonstração. Pelo teorema anterior, vimos que para 0 r n 1 vale L r ( ψ, a ) = (n r)s r ψ, a + (r + 1)S r+1 N, a.

38 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 28 Logo, multiplicando ambos os membros por r!(n r 1)! n!, obtemos r!(n r 1)! r!(n r)! (r + 1)!(n (r + 1))! L r ( ψ, a ) = S r ψ, a + S r+1 N, a n! n! n! = H r ψ, a + H r+1 N, a. Portanto, integrando a igualdade acima sobre o compacto n e utilizando o Teorema da Divergência, obtemos r!(n r 1)! (H r ψ, a + H r+1 N, a )da = n! r!(n r 1)! = n! = 0. Consequentemente, para todo 0 r n 1, vale que (H r ψ, a + H r+1 N, a )da = 0. L r (ψ, a )da div [P r grad ( ψ, a )]da No teorema seguinte provaremos uma desigualdade integral para hipersuperfícies mergulhadas no espaço hiperbólico H n+1, cuja igualdade caracteriza as hiperesferas geodésicas. Para começar, denote por ρ a função positiva ρ : (1, + ) R definida por ρ(u) = arc cotgh (u) 0 [cosh(t) u sinh(t)] n cosh(t)dt. Teorema 3.2. Seja ψ : n H n+1 um mergulho de uma hipersuperfície compacta n no espaço hiperbólico H n+1. Assuma que a r-ésima curvatura média H r, para algum 1 r n, com relação ao normal interior N satisfaz H r > 1 em todos os pontos de n. Então, temos ( ψ, a + H 1 r r N, a )ρ(h 1 r r )da 0 para a R n+2 1 com a 2 = 1 e a 0 1. Além disso, a igualdade vale se, e somente se, n é uma hiperesfera geodésica. Demonstração. Denote por Ω o domínio compacto em H n+1 com Ω = n. Se x é o

39 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 29 vetor posição dos pontos de H n+1 em R n+2 1 e a R n+2 1, então n+1 x, a = div H n+1[grad ( x, a )] = ei grad ( x, a ), e i = = n+1 n+1 ei P H n+1(a), e i = ei [a + x, a x], e i n+1 n+1 x, a ei x, e i = x, a e i, e i = (n + 1) x, a, isto é, x, a = (n + 1) x, a (3.2) onde é o Laplaciano em H n+1. Integrando a Igualdade 3.2 em Ω e utilizando o Teorema da Divergência, segue que ou seja, Ω (n + 1) x, a dv = x, a dv Ω = div H n+1[grad ( x, a )]dv Ω = div H n+1[p H n+1(a)]dv Ω = N, P H n+1(a) da = N, a da, Ω (n + 1) x, a dv = N, a da, onde N é escolhido sendo o normal interior em relação a Ω. Como exp p (tn(p)) = cosh(t) p + sinh(t) N(p), obtemos da Igualdade 4.9 que dv(exp p (tn(p))) = n (cosh(t) λ i sinh(t))dtda. Fazendo uso da Fórmula 4.7 com f = (n + 1) x, a, obtemos c(p) o N, a da = (n + 1) cosh(t) p + sinh(t) N(p), a n (cosh(t) λ i sinh(t))dtda.

40 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 30 No ponto de n, onde a função distância de H n+1 alcança o máximo, todas as curvaturas principais são positivas, na verdade, elas são maiores que 1 (veja Proposição 1.8). Isto combinado com a hipótese H r > 1 e o Teorema 1.2 nos dá 1 < H 1 r H. Pelo Lema 1.2 temos, c(p) arc cotgh (λ max ) arc cotgh (H(p)) arc cotgh (H 1 r (p)), Além disso, se t (0, c(p)) o Corolário 1.1 nos diz que (cosh(t) λ 1 sinh(t))... (cosh(t) λ n sinh(t)) (cosh(t) H sinh(t)) n (cosh(t) H 1 r r sinh(t)) n e a igualdade ocorre somente nos pontos umbílicos. Observe que ψ, a 1 para todo x Ω pois x, a R n+2 1 com x 2 = a 2 = 1, x 0 1 e a 0 1. Portanto, obtemos arc cotgh (H 1 rr ) 0 N, a da (n+1) cosh(t) p+sinh(t) N(p), a (cosh(t) H 1 r r sinh(t)) n dtda, (3.3) e a igualdade ocorre se, e somente se, n é umbilica e portanto uma hiperesfera geodésica. Agora, veja que para todo p em n arc cotgh (H 1 rr ) 0 (n + 1)(cosh(t) H 1 r r sinh(t)) n (sinh(t) H 1 r r cosh(t))dt = 1. (3.4) Para ver isto, é suficiente fazer uma mudança de variável ω = cosh(t) H 1 r r sinh(t). ultiplicando a Igualdade 3.4 por N, a e integrando em n, obtemos N, a da = arc cotgh (H 1 rr ) 0 (n + 1)(cosh(t) H 1 r r sinh(t)) n (sinh(t) H 1 r r cosh(t)) N, a dtda. Substituindo esta expressão na Desigualdade 3.3 e dividindo por (n + 1), segue que 0 = = arc cotgh (H 1 rr ) 0 ( p, a + H 1 r N, a ) (cosh(t) H 1 r sinh(t)) n cosh(t)( p, a + H 1 r N, a )dtda arc cotgh (H 1 rr ) ( p, a + H 1 r r N, a )ρ(h 1 r r )da. 0 (cosh(t) H 1 r sinh(t)) n cosh(t)dt da

41 Capítulo 3. O Teorema de Alexandrov em H n+1 31 Isto conclui a demonstração. Tal como no caso onde o espaço ambiente era o espaço Euclidiano, podemos deduzir a partir dos resultados vistos acima um teorema correspondendo a um tipo de Teorema de Alexandrov. Vejamos, então, o resultado principal deste capítulo. Teorema 3.3. Seja n uma hipersuperfície compacta mergulhada no espaço hiperbólico H n+1. Se H r é constante para algum 1 r n, então n é uma hiperesfera geodésica. Demonstração. Como foi observado na Proposição 1.8, existe um ponto de n onde todas as curvaturas principais são maiores que 1. Portanto, a constante H r é também maior que 1. Assim, do Teorema 3.2, temos ( p, a + H 1 r r N, a )da 0 (3.5) para todo a R n+2 1 tal que a 2 = 1 e a 0 1, pois ρ(h 1 r r ) é uma constante positiva. A igualdade (na Desigualdade 3.5) ocorre se, e somente se, n é umbílica. Por outro lado, o Teorema 1.2 nos dá H r 1 p n. Portanto, o Corolário 3.1 implica 0 = = H r 1 r r H r 1 r r. Observe ainda que p, a 1 para todo (H r 1 p, a + H r N, a )da (H r 1 r r Porém H r é uma constante positiva, então p, a + H r N, a )da ( p, a + H 1 r r N, a )da. ( p, a + H 1 r r N, a )da 0. Desta desigualdade juntamente com a Desigualdade 3.5 encontramos o que demonstra o teorema. ( p, a + H 1 r r N, a )da = 0,

42 Capítulo 4 O Teorema de Alexandrov em S n+1 Seja S n+1 = {x R n+2 : x, x = 1} a esfera unitária (n + 1) dimensional de R n+2 com a métrica induzida pela métrica usual de R n+2. Dado X X(S n+1 ), se p denota o vetor posição em S n+1, temos 0 = X p 2 = X, p. Portanto o campo normal unitário a S n+1 é o próprio vetor posição. Seja ψ : n S n+1 uma imersão de uma hipersuperfície compacta orientável na esfera unitária. Podemos ver ψ como uma aplicação ψ : n R n+2 com ψ 2 = 1. Desta maneira, um campo normal unitário correspondendo a ψ pode ser visto como uma aplicação N : n R n+2 com N 2 = 1 e ψ, N = 0. Tome a R n+2 arbitrário e defina as funções F : S n+1 R e f : n R por F = x, a e f = ψ, a. (4.1) Observe que sendo f a restição de F à hipersuperfície n temos grad (f) = P (grad (F)), onde P (grad (F)) denota a projeção do gradiente de F no plano tangente de n. Em todo este capítulo denotaremos por, e as conexões Riemannianas de n, S n+1 e R n+2, respectivamente. Temos, de maneira análoga ao caso hiperbólico, os seguintes resultados: Teorema 4.1. Seja ψ : n S n+1 uma hipersuperfície orientável imersa na esfera unitária. Para todo 0 r n 1 e a R n+2 arbitrário, a seguinte fórmula é valida L r ( ψ, a ) = (r + 1)S r+1 N, a (n r)s r ψ, a. 32

43 Capítulo 4. O Teorema de Alexandrov em S n+1 33 Demonstração. Sejam F e f as funções definidas em (4.1). Se X X(S n+1 ), então X(F) = X, a. Assim grad (F) = P S n+1(a), onde P S n+1(a) denota a projeção de a R n+2 no plano tangente de S n+1. Portanto, grad (f) = P (P S n+1(a)). Dados X, Y X(), temos X grad (f), Y = X [P S n+1(a) P S n+1(a), N N], Y = X [a a, ψ ψ] P S n+1(a), N X N, Y = a, ψ X, Y + a, N A(X), Y, isto é, X grad (f), Y = N, a A(X), Y a, ψ X, Y. Portanto, dada uma base ortonormal {e 1 (p),..., e n (p)} de T p n que diagonaliza o operador A p, temos L r ( ψ, a ) = tr[p r Hess ψ, a ] = P r ( ei grad ( ψ, a )), e i = = ei grad ( ψ, a ), P r (e i ) λ r i[ N, a A(e i ), e i ψ, a e i, e i ] = N, a λ i λ r i ψ, a = N, a tr[ap r ] ψ, a tr[p r ] = (r + 1)S r+1 N, a (n r)s r ψ, a. λ r i onde λ r i e λ i são os autovalores de P r e A, respectivamente, associados ao autovetor e i. Como consequência direta temos o seguinte Corolário 4.1. Seja ψ : n S n+1 uma hipersuperfície compacta orientável imersa na esfera unitária. Para todo r = 0,..., n 1 e a R n+2 arbitrário, temos (H r ψ, a H r+1 N, a )da = 0.

44 Capítulo 4. O Teorema de Alexandrov em S n+1 34 Agora, considere ψ : n S n+1 uma hipersuperfície compacta mergulhada na esfera unitária, e Ω um domínio compacto em S n+1 com Ω = n. Se x é o vetor posição dos pontos de S n+1 em R n+2 e a R n+2 arbitrário, então x, a = (n + 1) x, a, (4.2) onde é o Laplaciano em S n+1. De fato, x, a = = = n+1 ei grad ( x, a ), e i n+1 ei [a a, x x], e i n+1 n+1 a, x e i, e i = a, x = (n + 1) a, x. Integrando a Igualdade 4.2 em Ω e utilizando o Teorema da Divergência, segue que (n + 1) x, a dv = x, a dv Ω Ω = div S n+1[grad ( x, a )]dv Ω = div S n+1[p S n+1(a)]dv Ω = N, P S n+1(a) da = N, a da, isto é, (n + 1) x, a dv = N, a da, Ω onde N é escolhido sendo o normal interior em relação a Ω. Como exp p (tn(p)) = cos(t) p + sin(t) N(p), obtemos da Igualdade 4.9 que n dv(exp p (tn(p))) = (cos(t) λ i sin(t))dtda. Utilizando a Fórmula 4.7 com f = (n + 1) x, a, obtemos N, a da = c(p) o (n + 1) cos(t) p + sin(t) N(p), a n (cos(t) λ i sin(t))dtda. (4.3)

45 Capítulo 4. O Teorema de Alexandrov em S n+1 35 No teorema seguinte provaremos uma desigualdade integral para hipersuperfícies mergulhadas na esfera unitária S n+1 com a igualdade caracterizando as hipersuperfícies umbílicas. De início, denote por ρ a função positiva definida em (0, + ) por ρ(u) = arc cotg (u) 0 [cos(t) u sin(t)] n cos(t)dt. Teorema 4.2. Seja ψ : n S n+1 uma hipersuperfície compacta mergulhada na esfera unitária e contida no hemisfério aberto com centro a S n+1. Se a r-ésima curvatura média H r, para algum r = 1,..., n, é positiva em todos os pontos de n. Então ( ψ, a H 1 r N, a )ρ(h 1 r )da 0. Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, n é umbílica. Demonstração. No ponto de n, onde a função altura ψ, a alcança o máximo (este máximo existe devido à compacidade de n ), todos as curvaturas principais são positivas pois n está no hemisfério aberto de centro a S n+1 (veja Proposição 1.8). Isto, combinado com a hipótese H r > 0 e o Teorema 1.2 nos dá 0 < H 1 r H. Pelo Lema 1.2, temos c(p) arc cotg (λ max ) arc cotg (H(p)) arc cotg (H 1 r (p)). Além disso, se t (0, c(p)) o Corolário 1.1 nos diz que (cos(t) λ 1 sin(t))... (cos(t) λ n sin(t)) (cos(t) H sin(t)) n (cos(t) H 1 r r sin(t)) n e a igualdade ocorre somente nos pontos umbílicos. Como n é mergulhada existem Ω 1, Ω 2 S n+1 domínios compactos tais que Ω 1 = Ω 2 = n e Ω 1 Ω 2 = S n+1. Seja Ω 1 o domínio contido no hemisfério de centro a e N o normal interior a Ω 1, então cos(t) p + sin(t) N(p), a 0 Portanto, da Igualdade 4.3 obtemos N, a da

46 Capítulo 4. O Teorema de Alexandrov em S n arc cotg (H 1 rr ) (n + 1) cos(t) p + sin(t) N(p), a (cos(t) H 1 r r sin(t)) n dtda, (4.4) e a igualdade ocorre se, e somente se, n é umbílica. Agora, note que para todo ponto p em n 1 arc cotg (H r r ) (n + 1)(cos(t) H 1 r sin(t)) n (sin(t) + H 1 r cos(t))dt = 1. (4.5) 0 De fato, é suficiente fazer a mudança de variável ω = cos(t) H 1 r r sin(t). ultiplicando a Igualdade 4.5 por N, a e integrando em n obtemos N, a da = arc cotg (H 1 rr ) 0 (n+1)(cos(t) H 1 r r sin(t)) n (sin(t)+h 1 r r cos(t)) N, a dtda. Substituindo esta expressão na Desigualdade 4.4 e dividindo por (n + 1), segue que 0 = = arc cotg (H 1 rr ) 0 ( p, a H 1 r N, a ) (cos(t) H 1 r sin(t)) n cos(t)( p, a H 1 r N, a )dtda arc cotg (H 1 rr ) ( p, a H 1 r r N, a )ρ(h 1 r r )da. 0 (cos(t) H 1 r sin(t)) n cos(t)dt da o que encerra a demonstração. De forma análoga ao caso hiperbólico obtemos o teorema principal deste capítulo. Vejamos, Teorema 4.3. Seja n uma hipersuperfície compacta mergulhada num hemisfério aberto de S n+1. Se H r é constante para algum r = 1,..., n, então n é uma hiperesfera geodésica. Demonstração. Como foi destacado na Proposição 1.8, existe um ponto de n onde todas as curvaturas principais são positivas. Ainda pelo Teorema 4.2, temos Portanto a constante H r é, também, positiva. ( p, a H 1 r r N, a )da 0, (4.6) onde a S n+1 é o centro do hemisfério aberto que contém n, pois ρ(h 1 r r ) é uma constante positiva. umbílica. A igualdade na Desigualdade 4.6 ocorre se, e somente se, n é