Universidade Federal de Alagoas

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1 Universidade Federal de Alagoas Programa de Pós-Graduação em Matemática DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Hiperplanos Rio São Francisco Natália Rocha Pinheiro MATEMÁTICA A ciência do infinito Maceió Janeiro de 2010

2 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Hiperplanos Natália Rocha Pinheiro Maceió, Brasil 28 de Janeiro de 2010

3 NATÁLIA ROCHA PINHEIRO Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Hiperplanos Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 28 de Janeiro de 2010 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva. Maceió 2010

4 Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Lucia Lima do Nascimento P654i Pinheiro, Natália Rocha. Hipersuperfícies com curvatura média constante e hiperplanos. /Natália Rocha Pinheiro, f. : il. grafs. e tabs. Orientador: Hilário Alencar da Silva. Dissertação (mestrado em Matemática) Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática, Bibliografia: f Índice: f Geometria diferencial. 2. Laplaciano. 3. Função suporte. 4. Curvatura média. 5. Hiperplanos. I. Título. CDU: 514.7

5 Hipersuperficies com Curvatura Media Constante e Hiperplanos Natalia Rocha Pinheiro Dissertacao de Mestrado na area de concentracao de Geometria Diferencial submetida em 28 de Janeiro de 2010 a Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pos-Graduacao em Matematica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessaries a obtencao do grau de mestre em Maternatica, Banca Examinadora: Prof. Dr. Abdenago Alves de Barros Prof. Dr. Hilario Ale car da Silva (Orientador)

6 Aos meus pais Robério e Tuca e a minha irmã Talita.

7 Agradecimentos Ao professor Hilário Alencar pela orientação no mestrado, por estar sempre disposto a me ajudar, pela amizade, confiança, por acreditar e contribuir no meu crescimento profissional e pessoal e por ser um exemplo de profissional honesto e competente. Ao professor Manfredo do Carmo pela grande contribuição à Geometria Diferencial. Aos meus pais Robério Pinheiro e Tuca Rocha por me apoiarem em todas as minhas decisões, pela força em todos os momentos da minha vida, pelo carinho e por serem exemplo do que é família. A minha irmã e grande amiga Talita Pinheiro pelo companheirismo e pelas boas conversas. Aos professores Adán Corcho, Amauri Barros e Francisco Barros que sempre tinham uma palavra de estímulo e por contribuirem na minha formação acadêmica. A estudante de mestrado da UFAL Adina Rocha dos Santos pela ajuda dada neste trabalho. Aos professores Jorge Costa da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) e Valdenberg Araujo da Universidade Federal de Sergipe (UFS) pelo incentivo ao meu ingresso no mestrado em matemática da UFAL. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico (CNPq) pela concessão da bolsa. 1

8 Resumo Nesta dissertação, apresentamos resultados sobre hipersuperfícies cujas geodésicas tangentes omitem um conjunto não-vazio. Tais resultados foram obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel e publicados no livro Differential Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo em Consideramos M uma variedade diferenciável de dimensão n e Q o espaço (n + 1)-dimensional simplesmente conexo, completo com curvatura seccional constante igual a c. Além disso, seja x uma imersão isométrica de M em Q. Inicialmente, estendemos para as variedades Q, c arbitrário, as noções de vetor posição e função suporte conhecidas no espaço Euclidiano de dimensão n + 1 e fazemos uma interpretação geométrica desta função suporte nos casos em que c = 0, c > 0 e c < 0, ou seja, no espaço Euclidiano, Esférico e Hiperbólico. Denotemos por W o conjunto dos pontos em Q que não passam nenhuma hipersuperfície totalmente geodésica tangente a imagem de M por x. Usando a função suporte de x, caracterizamos as imersões para as quais o conjunto W é não-vazio. Analisamos separadamente as hipersuperfícies completas não-compactas com curvatura média constante bem como as hipersuperfícies compactas com curvatura média constante. Palavras Chave: Laplaciano; Função Suporte; Curvatura Média; Estabilidade; Imersão Isométrica; Hiperplanos; Esfera Geodésica. 2

9 Abstract In this work, we present results concerning hypersurfaces whose tangent geodesic does not intercept a nonempty special set. These results were obtained by Hilário Alencar and Kátia Frensel in a work which was published in the book Differential Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo in Let us consider an isometric immersion x from M to Q where M denotes a differentiable manifold of dimension n as well as Q stands for the (n + 1)-dimensional, space form of constant sectional curvature c. Initially, we extend for Q, c arbitrary, the notions of position vector and support function known in (n + 1)-dimensional Euclidean space and we present a geometric interpretation of such a support function in the Euclidean, Spherical and Hyperbolic space. We denote by W the set of points of Q for which does not cross any totally geodesic hypersurface tangent to the image of M by x. By using the support function of x, we characterize the immersions for which the set W is nonempty. We analyze separately the complete noncompact case as well as the compact case among hypersurfaces with constant mean curvature. Keywords: Laplacian; Support Function; Mean Curvature; Stability; Isometric Immersion; Hyperplanes; Geodesic Sphere. 3

10 Sumário 1 Preliminares Noções de Geometria Riemanniana Estabilidade A Função Suporte em Espaços de Curvatura Constante A Função Suporte em R n A Função Suporte em S n A Função Suporte em H n O Laplaciano da Função Suporte A Fórmula de Minkowski da Função Suporte Hipersuperfícies cujas Geodésicas Tangentes omitem um Conjunto Não-Vazio Hipersuperfícies Completas Hipersuperfícies Compactas Referências Bibliográficas 55 4

11 Introdução Nesta dissertação, apresentaremos resultados sobre hipersuperfícies cujas geodésicas tangentes omitem um conjunto não-vazio, os quais foram obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel e publicados no livro Differential Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo em Consideremos Q n+1 c uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa com curvatura seccional constante igual a c, M n uma variedade diferenciável e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Para todo ponto p M n, seja (Q n c ) p a hipersuperfície totalmente geodésica de Q n+1 c tangente a x(m n ) em x(p). Denotemos por W = Q n+1 c (Q n c ) p o conjunto dos pontos omitidos pelas hipersuperfícies totalmente geodésicas tangentes a x(m n ). Caracterizaremos as hipersuperfícies com curvatura média constante completas não-compactas e hipersuperfícies com curvatura média constante compactas em Q n+1 c com condições sobre W. Em todo o trabalho, as variedades diferenciáveis M n são conexas e quando nos referirmos às variedades compactas, estamos supondo que são compactas sem bordo. Inicialmente, apresentaremos resultados para hipersuperfícies mínimas completas não-compactas de Q n+1 c. O primeiro resultado nesta direção foi provado por Hasanis e Koutroufiotis, a saber: Teorema 0.1. (Hasanis e Koutroufiotis, ver [10]) Se uma imersão isométrica x : M 2 Q 3 c, c 0, é mínima com W não-vazio, então x é totalmente geodésica. A demonstração deste teorema usa fortemente a hipótese que M tem dimensão 2. O teorema acima não é válido para dimensões maiores. Hilário Alencar, em sua tese de doutorado, ver [1], deu exemplos de hipersuperfícies mínimas não totalmente geodésicas em R 2n, n 4, cujo W contém um ponto. 5 p M

12 Hilário Alencar e Kátia Frensel, ver [3], p. 6, estenderam o Teorema 0.1 assumindo a hipótese adicional que o conjunto W é aberto. Teorema 0.2. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 6) Sejam M n uma variedade Riemanniana completa e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica mínima. Se o conjunto W é aberto e não-vazio, então x é totalmente geodésica. Quando o conjunto W é somente não-vazio, Alencar e Frensel obtiveram o seguinte resultado para os casos em que c 0. Proposição 0.1. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 8) Sejam M n uma variedade Riemanniana completa e x : M n Q n+1 c, c 0, uma imersão isométrica mínima. Se W é não-vazio, então x é estável. Este resultado não é válido para o caso em que c > 0. As hipersuperfícies totalmente geodésicas de S n+1 são exemplos de hipersuperfícies mínimas nãoestáveis com W não-vazio. A recíproca da Proposição 0.1 é falsa. Em [9], p. 57, J. Gomes apresentou exemplos de hipersuperfícies mínimas estáveis em Q n+1 c, c < 0, tais que o conjunto W é vazio. No caso em que as hipersuperfícies são compactas em Q n+1 c, também apresentaremos alguns resultados. Neste caso, caracterizaremos as hipersuperfícies com curvatura média constante. Um dos primeiros resultados nesta direção foi obtido por Pogorelov no caso em que H = 0. Teorema 0.3. (Pogorelov, ver [13]) Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n S n+1 uma imersão isométrica mínima. Se W é não-vazio, então x é totalmente geodésica. Se restringirmos x : M n Q n+1 c às imersões isométricas com curvatura média constante não-nula, obtemos o seguinte resultado: Teorema 0.4. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 11) Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante diferente de zero. Então W é nãovazio se, e somente se, x é umbílica, isto é, x(m n ) é uma esfera geodésica em Q n+1 c. Em [5], Barbosa, do Carmo e Eschenburg provaram o seguinte teorema: Teorema 0.5. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante não-nula. Então x é estável se, e somente se, x é umbílica. 6

13 Como conseqüência deste resultado, Alencar e Frensel obtiveram o seguinte corolário do Teorema 0.4. Corolário 0.1. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante não-nula. Então W é não-vazio se, e somente se, x é estável. Este trabalho está dividido em 3 capítulos. No capítulo 1, apresentaremos definições e resultados da Geometria Riemanniana e de Estabilidade que serão necessários para a compreensão dos próximos capítulos. No capítulo 2, estenderemos para as variedade Q n+1 c, c arbitrário, as noções de vetor posição e função suporte conhecidas em R n+1, c = 0. Também neste capítulo, daremos separadamente uma interpretação geométrica da função suporte nos casos em que c = 0, c > 0 e c < 0. No capítulo 3, mostraremos que a função suporte de uma imersão isométrica x : M n Q n+1 c satisfaz uma equação diferencial e demonstraremos o Teorema 0.2, a Proposição 0.1, o Teorema 0.3 e o Teorema 0.4 enunciados anteriormente. Recentemente, Hilário Alencar e Márcio Batista, ver [2], generalizaram o Teorema 0.2 e a Proposição 0.1 para hipersuperfícies r-mínimas em Q n+1 c. 7

14 Capítulo 1 Preliminares Iniciaremos a seção 1.1 apresentando os conceitos básicos da Geometria Riemanniana tais como variedades diferenciáveis (imersões e campos de vetores), métricas Riemannianas, conexões Riemannianas, geodésicas e curvatura. Em seguida, introduziremos a segunda forma fundamental associada a uma imersão isométrica. As demonstrações dos resultados podem ser encontradas em [6]. Na seção 1.2 definiremos estabilidade para imersões com curvatura média constante e imersões mínimas. 1.1 Noções de Geometria Riemanniana Denotaremos por M n uma variedade diferenciável de dimensão n e, para cada p M, indicaremos por T p M o espaço tangente a M em p e T M seu fibrado tangente, isto é, a união de todos os espaços tangentes a M. Variedade diferenciável significará de classe C. Indicaremos por X (M) o conjunto dos campos de vetores de classe C em M, por D(M) o anel das funções reais de classe C definidas em M e por F(M) o conjunto das funções em M. Definição Sejam M n e N k variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável f : M N é uma imersão, se df p : T p M T f(p) N é injetiva para todo p M. Observação Seja x : M n N n+1 uma imersão. O conjunto x(m) N é denominado uma hipersuperfície de N n+1. Um campo de vetores v : M T M em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p M associa um vetor v(p) T p M. 8

15 Considerando uma parametrização y : U R n M de um aberto U R n e um campo de vetores : y(u) T U, podemos escrever, para y i cada p y(u), v(p) = a i (y 1 (p)) (p), y i { } onde cada a i : U R é uma função em U e (p), i = 1,..., n, é a base y i de vetores tangentes a M em p associada a y. Figura 1.1: Campo de vetores Escrevendo f ao invés de f y, podemos também pensar em um campo de vetores como uma aplicação v : D(M) F(M) definida da forma (vf) (p) = a i (y 1 (p)) y i f(p). Definição Uma métrica Riemanniana em M é uma correspondência que associa a cada p M um produto interno, p em T p M, que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Se y : U R n M é um sistema de coordenadas locais em torno de p, com y(x 1,..., x n ) = p y(u) e (p) = dy(0,..., 1,..., 0), então y i (p), (p) y i y j é uma função diferenciável em U. p = g ij (x 1,..., x n ) 9

16 Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica Riemanniana é dizer que, para todo par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função X, Y é diferenciável em V. As funções g ij são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas y : U R n M. Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana. Exemplo (Variedades Imersas). Seja x : M n N n+m uma imersão. Se N tem uma estrutura Riemanniana, x induz uma estrutura Riemanniana em M por u, v p = dx p (u), dx p (v) x(p), u, v T p M. Como dx p é injetiva,, p é positivo definido. As demais condições da definição de métrica Riemanniana são facilmente verificadas. A métrica de M é chamada métrica induzida por x. Neste caso, dizemos que x é uma imersão isométrica. Agora definiremos conexão afim. Definição Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M é uma aplicação : X (M) X (M) X (M) (X, Y ) X Y que satisfaz às seguintes propriedades: (i) fx+gy Z = f X Z + g Y Z, (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z, (iii) X (fy ) = f X Y + X(f)Y, (iv) X Y Y X = [X, Y ] (conexão simétrica), onde X, Y, Z X (M), f, g D(M) e [X, Y ] é o colchete dos campos X e Y, ou seja, é o campo de vetores dado por [X, Y ] = XY Y X. Proposição Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim. Então existe uma única correspondência que associa a um campo de vetores V ao longo da curva diferenciável c : I M um outro campo de vetores DV ao longo de c, denominado derivada covariante de V ao longo de dt c, tal que: (i) D DV (V + W ) = dt dt + DW dt ; 10

17 (ii) D df (fv ) = dt dt V + f DV, onde V é um campo de vetores ao longo de c dt e f é uma função diferenciável em I; (iii) se V é induzido por um campo de vetores Y X (M), isto é, V (t) = Y (c(t)), então DV = dc Y. dt dt Definição Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim e uma métrica Riemanniana,. A conexão é dita compatível com a métrica, quando, para toda curva diferenciável c : I M e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P ao longo de c (isto é, = 0, t I), tivermos P, P igual a uma constante. DP = DP dt dt Proposição Uma conexão em uma variedade Riemanniana M é compatível com a métrica se, e só se, X Y, Z = X Y, Z + X, X Z, X, Y, Z X (M). Teorema (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão afim em M tal que: (i) é simétrica; (ii) é compatível com a métrica Riemanniana. Observação A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M. No que se segue, M será uma variedade Riemanniana munida de sua conexão Riemanniana. Definição Uma curva parametrizada γ : I M é uma geodésica em t 0 I, se D ( ) dγ = 0 no ponto t 0. Se γ é uma geodésica em t, para todo dt dt t I, dizemos que γ é uma geodésica. Proposição Dado p M, existem uma vizinhança V de p em M, um número ε > 0 e uma aplicação C γ : ( 2, 2) U M, U = {(q, w) T M; q V, w T q M, w < ε}, tal que t γ(t, q, w), t ( 2, 2), é a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q V e cada w T q M, com w < ε. 11

18 Esta proposição nos permite introduzir o conceito de aplicação exponencial da seguinte maneira: Sejam p M e U T M um aberto dado pela proposição acima. Então a aplicação exp : U M dada por ( ) u exp(q, u) = γ(1, q, u) = γ u, q,, (q, u) U, u é chamada a aplicação exponencial em U. Geometricamente, exp q (u) é o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual a u, a partir de q, sobre a geodésica que passa por q com velocidade igual a u u. Figura 1.2: Aplicação exponencial Definição Uma variedade Riemanniana M é (geodesicamente) completa se para todo p M, a aplicação exponencial, exp p, está definida para todo v T p M, isto é, se as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do parâmetro t R. Definição Um segmento de geodésica γ : [a, b] M é chamado minimizante se l(γ) l(c), onde l( ) indica o comprimento de uma curva e c é qualquer curva diferenciável por partes ligando γ(a) a γ(b). Definição (Referencial Geodésico) Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n e p M. Considere uma vizinhança U M de p e n campos de vetores e 1,..., e n X (U), ortonormais em cada ponto de U tal que, em p, ei e j (p) = 0. Um tal conjunto {e i }, i = 1,..., n, de campos de vetores é chamado um referencial (local) geodésico em p. 12

19 Seja M uma variedade. Sejam X X (M) e f D(M). Definimos a divergência de X como a função divx : M R p divx(p) = tr(y (p) Y X(p)), p M, onde tr(y (p) Y X(p)) é o traço da aplicação linear Y (p) Y X(p), p M. O gradiente de f é o campo vetorial gradf em M definido por gradf(p), v = df p (v), p M, v T p M. Afirmação 1.1. Consideremos {e i }, i = 1,..., n, um referencial geodésico em p M. Temos que e div X(p) = gradf(p) = e i (f)e i (p) e i (f i )(p), onde X = f i e i. Demonstração. De fato, como {e 1 (p),..., e n (p)} é uma base de T p M, seguese que gradf(p) = a i (p)e i (p). Daí, a i (p) = gradf(p), e i (p). Mas, por definição, gradf(p), e i (p) = df p (e i (p)) = e i (p)(f). Logo, gradf(p) = e i (f)e i (p). Agora, se T X : T p M T p M é dado por T X (Y (p)) = Y X(p), então T X (e i (p)) = ei X(p) 13

20 = ei ( j=1 f j e j ) (p) = = (e i (p)(f j )e j + f j ei e j (p)) j=1 e i (p)(f j )e j. j=1 Assim, divx(p) = tr (T X ) = e i (p)f i = e i (f i )(p). Seja M uma variedade Riemanniana. O operador : D(M) D(M), dado por f = div (gradf), f D(M), é denominado operador Laplaciano de M. Afirmação 1.2. Considerando um referencial geodésico {e i }, i = 1,..., n, em p M, temos que f(p) = e i (e i (f))(p). Demonstração. Com efeito, f = div (gradf) ( ) = div e i (f)e i = = = ( ) ej e i (f)e i, e j j=1 ej (e i (f)e i ), e j i,j=1 ej (e i (f))e i + e i (f) ej e i, e j. i,j=1 14

21 Em p, usando o fato que {e i } é um referencial geodésico, temos f(p) = e j (e i (f))e i, e j (p) = i,j=1 e i (e i (f))(p). Definição A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y X (M) uma aplicação dada por R(X, Y ) : X (M) X (M) R(X, Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, Z X (M), onde é a conexão Riemanniana de M. Outra maneira de olhar a Definição 1.1.9[ é considerar ] um sistema de coordenadas {x i } em torno de p M. Como, = 0, obtemos x i x j ( ) ( ) R, =, x i x j x k x j x i x i x j x k isto é, a curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante. Intimamente relacionado com o operador curvatura está a curvatura seccional (ou Riemanniana), que passamos a definir. Seja σ T p M um subespaço bidimensional do espaço tangente T p M e sejam x, y σ dois vetores linearmente independentes. Definição Dado p M, seja {x, y} uma base qualquer de σ. O número real R(x, y)x, y K(p, σ) = K(x, y) = x 2 y 2 x, y 2 é chamado curvatura seccional de σ em p. Corolário Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n, p um ponto de M e {e 1,..., e n } uma base ortonormal de T p M. Escreva R ijkl = R(e i, e j )e k, e l, i, j, k, l = 1,..., n. Então K(p, σ) = K 0 = constante para todo σ T p M se, e somente se, R ijkl = K 0 (δ ik δ jl δ il δ jk ), 15

22 onde δ ij = { 1, se i = j, 0, se i j. Em outras palavras, K(p, σ) = K 0 para todo σ T p M se, e só se, R ijij = R ijji = K 0 para todo i j, e R ijkl = 0 nos outros casos. Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta freqüência que elas merecem nomes. Sejam p M e x = z n um vetor unitário em T p M. Tomemos uma base ortonormal {z 1,..., z n 1 } do hiperplano de T p M ortogonal a x e consideremos as seguintes médias: e Ric p (x) = 1 n 1 R(x, z i )x, z i = 1 n 1 K(x, z i ) n 1 n 1 K(p) = 1 n Ric p (z j ) = j=1 1 n(n 1) R(z i, z j )z i, z j. i,j=1 Ric p (x) é chamada a curvatura de Ricci no ponto p na direção x e K(p) é a curvatura escalar (ou média) em p. Exemplo Seja M uma variedade Riemanniana conexa de dimensão n com curvatura seccional constante igual a c. Então Ric p (x) = 1 n 1 K(x, z i ) = 1 n 1 c = c. n 1 n 1 Consideremos uma imersão isométrica x : M n N n+m=k de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade Riemanniana N de dimensão igual a k = n + m. Queremos definir a segunda forma fundamental da imersão x. Para isto, introduziremos a seguinte definição: Seja a conexão Riemanniana de N. Se X e Y são campos locais de vetores em M e X, Y são extensões locais de X e Y, respectivamente, a N, definimos X Y = ( X Y ) T, onde o expoente T indica a componente tangente do vetor X Y. No que se segue, indicaremos por X (U) os campos diferenciáveis em U de vetores normais a f(u) U. 16

23 Definição A aplicação B : X (U) X (U) X (U) definida por é a segunda forma fundamental de x. B(X, Y ) = X Y X Y = ( X Y ) B é um campo local em N normal a M e não depende das extensões X, Y. Com efeito, se X 1 é uma outra extensão de X, temos ( X Y X Y ) ( X1 Y X Y ) = X X1 Y, que se anula em M, pois X X 1 = 0 em M. Além disso, se Y 1 é uma outra extensão de Y, ( X Y X Y ) ( X Y 1 X Y ) = X ( Y Y 1 ) = 0, pois Y Y 1 = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto B(X, Y ) está bem definida. Proposição A aplicação B é bilinear e simétrica. Demonstração. Sejam X, Y, Z X (U) e f, g D(U) e indicaremos por X, Y, Z, f, g as extensões de X, Y, Z, f, g, respectivamente, a U. Inicialmente mostraremos que B é uma aplicação bilinear. De fato, u- sando as propriedades de linearidade das conexões e e como f = f, g = g e X (g) = X (g) em M, temos: B(X + Z, Y ) = X+Z Y X+Z Y = X Y X Y + Z Y Z Y = B(X, Y ) + B(Z, Y ), B(X, Y + Z) = X ( Y + Z ) X (Y + Z) = X Y X Y + X Z X Z = B(X, Y ) + B(X, Z), B(fX, Y ) = f X Y fx Y = f X Y f X Y = fb(x, Y ), 17

24 B(X, gy ) = X ( gy ) X (gy ) = g X Y g X Y + X (g) Y X (g) Y = gb(x, Y ). Portanto, B é uma aplicação bilinear. Finalmente, como [X, Y ] = [X, Y ] em M, B é uma aplicação simétrica. Com efeito, B(X, Y ) = X Y X Y = X Y [X, Y ] X Y + [X, Y ] = X Y ( X Y Y X ) X Y + ( X Y Y X) = Y X Y X = B(Y, X). Observação Como B é uma aplicação bilinear, podemos associá-la a uma aplicação linear auto-adjunta S η : T p M T p M dada por S η (X), Y TpM = B(X, Y ), η T x(p) N, onde η (T M). Podemos escrever esta aplicação linear associada à segunda forma fundamental em termos da derivada covariante da seguinte maneira: S η (X) = ( X η ) T. Aqui estamos identificando η com a extensão local de η normal a M. De fato, S η (X), Y TpM = B(X, Y ), η T x(p) N = X Y X Y, η T x(p) N = X Y, η T x(p) N = Y, X η T x(p) N = X η, Y T x(p) N = ( X η ) T, Y T x(p) N. 18

25 Logo, S η (X) ( X η ) T, Y T pm e, portanto, S η (X) = ( X η ) T. = 0 Agora consideremos o caso particular em que a codimensão da imersão é 1, isto é, x : M n N n+1. Definimos a curvatura média H de x por H = 1 n tr(s η), onde tr(s η ) é o traço da matriz da aplicação S η. Além disso, B 2 = tr(s η (S η ) t ), onde (S η ) t representa a transposta de (S η ), é uma norma para a segunda forma fundamental de x. Sejam p M e η o vetor normal unitário a x. Como S η : T p M T p M é simétrica, existe uma base ortonormal de vetores próprios {e 1,..., e n } de T p M com valores próprios reais k 1,..., k n, respectivamente, isto é, S η (e i ) = k i e i, 1 i n. Vamos supor que M e N são ambas orientáveis e estão orientadas e seja {e 1,..., e n } uma base na orientação de M. Escolhemos η de modo que {e 1,..., e n, η} seja uma base na orientação de N. Neste caso, denominamos os e i as direções principais e os k i as curvaturas principais de x. Daí, a matriz da aplicação na base {e 1,..., e n } é dada por k 1 0 S η = k n Logo, reescrevendo H e B 2 em termos das curvaturas principais, obtemos H = 1 n tr(s η) = 1 n k i e B 2 = tr(s η (S η ) t ) = tr ( (S η ) 2) = ki 2. 19

26 Definição Uma imersão x : M n N n+m=k é geodésica em p M, se para todo η (T p M) a segunda forma fundamental B é identicamente nula em p. A imersão x é totalmente geodésica, se ela é geodésica para todo p M. Proposição Uma imersão x : M N é geodésica em p M se, e só se, toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de N em p. Definição Uma imersão x : M N é mínima, se para todo p M e todo η (T p M) tem-se que tr(s η ) = 0. Definição Seja N n+1 uma variedade com uma métrica Riemanniana, e seja a sua conexão Riemanniana. Dizemos que uma imersão x : M n N n+1 é (totalmente) umbílica se, para todo p M, a segunda forma fundamental B de x em p satisfaz B(X, Y ), η (p) = λ(p) X, Y, λ(p) R, para todo X, Y X (M) e todo campo unitário η normal a x(m). 1.2 Estabilidade Nesta seção, consideremos uma imersão x : M n N n+1 de uma variedade diferenciável orientada e conexa em uma variedade Riemanniana orientada. Seja D M um domínio relativamente compacto com bordo D suave e denotemos por D o fecho de D. Escolhemos a orientação de M compatível com a orientação de N. Definição Uma variação de x em D é uma função diferenciável X : ( ε, ε) D N tal que, para cada t ( ε, ε), é uma imersão com X 0 = x. X t : D N p X(t, p) Dizemos que uma variação X t fixa o bordo D, se para todo t ( ε, ε). X t D = x D, 20

27 Figura 1.3: Variação que fixa o bordo. Nesta dissertação só trataremos das variações que fixam o bordo. Definimos a função área A : ( ε, ε) R por A D (t) = dm t, onde dm t é o elemento volume de M na métrica induzida por X t, e a função volume V : ( ε, ε) R por V (t) = X dn. D [0,t] D Dado p D, seja W (p) = X t t=0 a variação do campo vetorial de X. Uma variação é normal, se W é paralelo a η. Dizemos que uma variação preserva volume se V (t) = V (0), para todo t ( ε, ε). Figura 1.4: Variação normal. 21

28 Vamos definir estabilidade para imersões com curvatura média constante. Definição Sejam x : M n N n+1 uma imersão com curvatura média constante e D M um domínio relativamente compacto com bordo D suave. A restrição x D é estável, se A (0) 0 para toda variação que preserva volume. Dizemos que x é estável se, para qualquer D, x D é estável. Seja F o conjunto das funções diferenciáveis f : M R com f M = 0 e fdm = 0. A seguinte proposição é um importante resultado para saber M se uma imersão é estável. Proposição Seja x : M n N n+1 uma imersão com curvatura média constante. A imersão x é estável se, e somente se, ( f f (Ric(η) + B 2 )f 2 )da 0, M para toda f F. Aqui é o Laplaciano da métrica induzida e Ric(η) é a curvatura de Ricci de N na direção η. Quando a imersão x é mínima, temos a seguinte definição para estabilidade: Definição Sejam x : M n N n+1 uma imersão mínima e D M um domínio relativamente compacto com bordo D suave. A restrição x D é estável, se A (0) 0 para toda variação. Dizemos que x é estável se, para qualquer D, x D é estável. Uma proposição análoga à Proposição para imersões mínimas é a seguinte: Proposição Seja x : M n N n+1 uma imersão mínima. A imersão x é estável se, e somente se, ( f f (Ric(η) + B 2 )f 2 )da 0. M Aqui é o Laplaciano da métrica induzida e Ric(η) é a curvatura de Ricci de N na direção η. Observamos que para o caso em que x é mínima, a proposição acima não precisa da hipótese que f F. 22

29 Capítulo 2 A Função Suporte em Espaços de Curvatura Constante Seja Q n+1 c uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa com curvatura seccional constante igual a c. Neste capítulo, estenderemos para as variedades Q n+1 c, c arbitrário, as noções de função suporte e vetor posição já conhecidas em R n+1 e daremos uma interpretação geométrica da função suporte. Seja S c a solução da equação diferencial ordinária y + cy = 0 com condições iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1. Então S c (r) = r, se c = 0, sen( c r) c, se c > 0, senh( c r) c, se c < 0. Consideremos a função r( ) = d(, p 0 ), onde d é a função distância geodésica em Q n+1 c e p 0 Q n+1 c, e denotemos por gradr o gradiente em Q n+1 c da função r. Definição Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada de dimensão n e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Dado p 0 Q n+1 c, o campo de vetores X(p) = S c (r)grad r(p) em Q n+1 c é chamado de vetor posição com origem em p 0. A função g : M n R definida por g(p) = X(p), η(p) 23

30 é denominada a função suporte da imersão x. Aqui η é o vetor normal unitário à imersão x e identificamos x(p) com p. 2.1 A Função Suporte em R n+1 Seja (Q n 0) p o hiperplano tangente a x(m n ) em p M. Então a distância do ponto p 0 a (Q n 0) p é dada por g(p). Figura 2.1: Espaço Euclidiano Com efeito, o cosseno do ângulo entre os vetores grad r(p) e η(p) de R n+1 é dado por cos θ = grad r(p), η(p) grad r(p) η(p) = 1 1 X(p), η(p) = X(p), η(p). r(p) X(p) Agora seja y a distância de p 0 a (Q n 0) p e seja q o pé da perpendicular baixada de p 0 a (Q n 0) p. No triângulo p 0 qp, temos que 1 y = X(p) cos θ = X(p) X(p), η(p) = X(p), η(p) = g(p). X(p) Isto conclui a afirmação. 24

31 A definição do vetor posição dada, ver Definição 2.0.4, no caso Euclidiano é bastante natural. De fato, escrevendo p = (x 1,..., x n+1 ) e p 0 = (x 0 1,..., x 0 n+1), temos que Logo, r(p) = d(p, p 0 ) = X(p) = p p 0 = ( n+1 ) 1 2 ( ) xi x 0 2 i. grad r(p) = = = 1 ( x1 x 0 X(p) 1,..., x n+1 xn+1) 0 1 n+1 ( xi x 0 i X(p) 1 X(p) X(p) ) ei = 1 r X(p), ou seja, X(p) = r grad r(p). 2.2 A Função Suporte em S n+1 No caso em que c > 0, vamos supor, sem perda de generalidade, que c = 1 e, portanto, Q n+1 c é a esfera unitária S n+1 em R n+2. Neste caso, para qualquer ponto p 0 S n+1, a função distância geodésica r( ) = d(, p 0 ), dada pelo comprimento da geodésica minimizante, é diferenciável em S n+1 {p 0, p 0 }. Logo, o vetor posição com origem em p 0 dado por X(p) = sen r grad r(p) só é diferenciável em S n+1 {p 0, p 0 }. Isto implica que a função suporte g = X, η é diferenciável somente em x(m n ) S n+1 {p 0, p 0 }. Seja (Q n 1) p a hipersuperfície totalmente geodésica tangente a x(m n ) em p M. Então a distância Euclidiana do ponto p 0 ao hiperplano que contém (Q n 1) p é dada por g(p). 25

32 Figura 2.2: Espaço Esférico De fato, como a esfera é unitária e r = d(p, p 0 ), obtemos que (p, p 0 ) = r. Visto que grad r(p) é o vetor velocidade da geodésica que parte de p 0, então grad r(p) é ortogonal a p. Logo, podemos decompor p 0 da seguinte forma: p 0 = cos r(p)p sen r(p)grad r(p). (2.1) Isto mostra que a definição de vetor posição dada anteriormente também é natural em S n+1. Observando que p, η(p) = 0, obtemos p 0, η(p) = sen r(p) grad r(p), η(p) = g(p). Logo g(p) = p 0, η(p). 26

33 2.3 A Função Suporte em H n+1 No caso em que c < 0, vamos utilizar o modelo do hiperbolóide para o espaço hiperbólico. Para isto, consideremos no espaço vetorial R n+2 a métrica pseudo-riemanniana, definida por v, w = v 1 w v n+1 w n+1 v n+2 w n+2, onde v = (v 1,..., v n+2 ) e w = (w 1,..., w n+2 ) são vetores em R n+2. O produto interno definido acima é chamado produto interno de Lorentz e (R n+2,, ) é chamado espaço de Lorentz e indicamos este espaço por L n+2. Consideremos a hipersuperfície de L n+2 dada por H n+1 (c) = {v L n+2 ; v, v = 1c }. 2 27

34 Como H n+1 (c) possui duas componentes conexas, vamos escolher a componente conexa tal que v n+2 > 0, isto é, H n+1 (c) = {v L n+2 ; v n+2 > 0 e v, v = 1c }. 2 A métrica induzida pelo produto de Lorentz em H n+1 (c) é Riemanniana. Além disso, a curvatura seccional de H n+1 (c) é igual a c. Visto que H n+1 (c) é simplesmente conexa, pois é homeomorfa a R n+1, segue-se que H n+1 (c) é um modelo para o espaço hiperbólico H n+1 (c) chamado modelo de Lorentz ou modelo do hiperbolóide. As geodésicas neste modelo são interseções de H n+1 com hiperplanos que passam pela origem de R n+2, ver [14], p. 70, corolário 4. Figura 2.3: Geodésicas do espaço hiperbólico Podemos supor, sem perda de generalidade, que c = 1 e p 0 = e n+2 = (0,..., 0, 1). 28

35 Seja ( ) Q n 1 a hipersuperfície totalmente geodésica tangente a x(m n ) em p p M. Neste caso, a distância Euclidiana de p 0 ao hiperplano que passa pela origem de R n+2 e contém ( ) Q n 1 é dada por p g(p) 1 + 2g(p) 2. (2.2) De fato, os vetores p 0, p e grad r(p) estão num mesmo plano e não são colineares, então podemos escrever p 0 como combinação linear dos outros dois vetores, isto é, ver figura abaixo. p 0 = αp βgrad r(p) com α, β R, Observemos que, como grad r(p), p = 0, 1 = p 0 2 = α 2 p 2 + β 2 grad r(p) 2 = α 2 + β 2. 29

36 Logo, α = cosh r(p) e β = senh r(p) e, portanto, p 0 = cosh r(p)p senh r(p)grad r(p). (2.3) Como cosh r(p)p p 0 = X(p), obtemos que a definição de vetor posição, neste caso, também é natural. Seja η(p) o vetor normal a M em p. Como p, η = 0, p 0, η(p) = cosh r(p) p, η(p) senh r(p) grad r(p), η(p) = senh r(p)grad r(p), η(p) = X(p), η(p) = g(p). Escrevendo η(p) = (η 1,..., η n+1, η n+2 ), vemos que e p 0, η(p) = (0,..., 0, 1), (η 1,..., η n+1, η n+2 ) = 0 η η n+1 1 η n+2 = η n+2 p 0, η(p) = (0,..., 0, 1), (η 1,..., η n+1, η n+2 ) = 0 η η n η n+2 = η n+2, onde, é o produto interno usual de R n+2. Como η, η = 1, p, η(p) = 0 e v, η(p) = 0, para qualquer vetor v tangente a ( ) Q n 1, temos que p η(p) = (η 1,..., η n+1, η n+2 ) 1 + 2η 2 n+2 é um vetor unitário em R n+2 perpendicular ao hiperplano que passa pela origem de R n+2 e contém ( ) Q n 1 p. 30

37 Figura 2.4: Espaço Hiperbólico De fato, η(p) 2 = η η 2 n+1 + η 2 n η 2 n+2 = η η 2 n+1 η 2 n+2 + 2η 2 n η 2 n+2 = 1 + 2η2 n η 2 n+2 = 1. Escrevendo p = (x 1,..., x n+2 ), obtemos 31

38 η(p), p = (η 1,..., η n+1, η n+2 ), (x 1 + 2η 2 1,..., x n+2 ) n+2 1 = (η 1+2η 2 1 x η n+1 x n+1 η n+2 x n+2 ) n+2 1 = η(p), p 1+2η 2 n+2 = 0. Logo, a distância Euclidiana de p 0 a este hiperplano é dada por η n+2 g(p) p 0, η(p) = = η 2 n g(p) O Laplaciano da Função Suporte Nesta seção consideremos uma variedade Riemanniana orientada M n e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante H. Seja θ c = S c. Mostraremos que a função suporte g da imersão x satisfaz onde é o Laplaciano em M n. g = B 2 g nhθ c, Antes de provarmos o resultado acima, necessitaremos de três lemas, a saber: Lema Sejam x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante H e {e 1,..., e n } um referencial geodésico em p M n. Então ei ei η, e k (p) = 0, k = 1,..., n. Além disso, X, ei ei η (p) = B 2 g(p), onde X é o vetor posição com origem em p 0 Q n+1 c. Demonstração. Como η, e k = 0, temos que ei η, e k = η, ei e k. 32

39 Derivando a equação acima, obtemos ei ei η, e k + ei η, ei e k = ei η, ei e k η, ei ei e k. (2.4) Como η, η = 1, segue-se que ei η, η = 0. Isto significa que ei η é tangente a M n. Visto que ei η é tangente a M n e ( ei e k (p) ) T = 0, pois o referencial é geodésico, temos que a equação (2.4) se reduz a seguinte equação: ei ei η, e k (p) = η, ei ei e k (p) = η, ei ek e i (p). (2.5) A última igualdade segue do fato que a conexão de uma variedade Riemanniana é simétrica. Assim, Como Q n+1 c Por outro lado, possui curvatura seccional constante e igual a c, então R ikik = R(e i, e k )e i, e k = K(e i, e k ) = c. R ikik e k = R(e i, e k )e i = ce k. R(e i, e k )e i = ek ei e i ei ek e i + [ei,e k ]e i = ek ei e i ei ek e i. Logo, ei ek e i = ek ei e i ce k. (2.6) Usando (2.5) e (2.6), obtemos ei ei η, e k (p) = η, ei ek e i (p) = = η, ek ei e i ce k (p) η, ek ei e i (p) ( ) = η, ek ei e i (p). 33

40 Como η, ei e i = nh é constante, vemos que ek η, e, finalmente, ( ) ei e i = η, ek ei e i, ei ei η, e k (p) = ek η, ei e i (p) = = ( ek η) T ( + ek η) N, ei e i (p) ( ek η) T, ei e i (p) = 0. Isto conclui a prova da primeira afirmação. Agora como ei η é tangente a M n, podemos reescrevê-lo da forma ei η = ei η, e j ej. Assim, j=1 ei ei η, η = ei η, ei η = = = ei η, e j ej, j=1 ei η, e k ek k=1 ( ) ei η, e j ei η, e k ej, e k j,k=1 2 ei η, e j i,j=1 = B 2. (2.7) 34

41 Escrevendo X = X, η η + X, e k e k e usando (2.7) e a primeira parte deste lema, obtemos X, ei ei η (p) = X, η η + X, e k e k, ei ei η (p) = X, η k=1 k=1 ei ei η, η (p) = B 2 g. Utilizaremos a proposição abaixo para demonstrarmos os lemas e Proposição Se V e W são campos de vetores diferenciáveis em Q n+1 c, então V grad r, W = θ c S c (V, W grad r, V grad r, W ), (2.8) onde r é a função distância geodésica em Q n+1 c. Demonstração. Inicialmente provaremos a proposição para o caso em que c = 0. Sejam V e W campos de vetores em R n+1 e r : R n+1 R a função distância geodésica, a qual é dada por r(p) = d(p, p 0 ) = p p 0, p 0 R n+1. Como r 2 = p p 0 2 = p p 0, p p 0, temos que W (r 2 ) = 2 W, p p 0 = 2r grad r, W, isto é W, p p 0 = r grad r, W. Aplicando o campo V a equação acima, obtemos V W, p p 0 + W, V = grad r, V grad r, W +r( V grad r, W + grad r, V W ). (2.9) 35

42 Visto que r grad r = p p 0, podemos escrever (2.9) da forma ou seja, V W, p p 0 + W, V = grad r, V grad r, W +r V grad r, W + p p 0, V W ), V grad r, W = 1 (V, W grad r, V grad r, W ). r Visto que S c = r e θ c = 1 em R n+1, concluímos o resultado. No caso em que c = 1, consideremos V e W campos de vetores diferenciáveis em S n+1. Aplicando o campo V na equação (2.1), apresentada na seção 2 do capítulo 2, vemos que ou seja, 0 = sen r(p) grad r(p), V p + cos r(p)v cos r(p) grad r(p), V grad r(p) sen r(p) V grad r(p), V grad r(p) = grad r(p), V p Como p, W = 0, temos que V grad r(p), W = cos r(p) + (V grad r(p), V grad r(p)). sen r(p) cos r(p) (V, W grad r(p), V grad r(p), W ). sen r(p) Visto que, em S n+1, S c = sen r(p) e θ c = cos r(p), concluímos o resultado. Finalmente, provaremos a proposição para o caso em que c = 1. Consideremos V e W campos de vetores diferenciáveis em H n+1. Aplicando o campo V na equação (2.3), apresentada na seção 3 do capítulo 2, vemos que 36

43 0 = senh r(p) grad r(p), V p + cosh r(p)v cosh r(p) grad r(p), V grad r(p) senh r(p) V grad r(p), ou seja, V grad r(p) = grad r(p), V p portanto, como p, W = 0, V grad r(p), W = cosh r(p) + (V grad r(p), V grad r(p)), senh r(p) cosh r(p) (V, W grad r(p), V grad r(p), W ). senh r(p) Como S c = senh r(p) e θ c = cosh r(p), concluímos a demonstração. Lema Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Consideremos {e 1,..., e n } campos de vetores ortonormais definidos numa vizinhança de p M. Então ei X, ei η (p) = nhθ c, onde H é a curvatura média de x. Demonstração. Como X = S c grad r e θ c = S c, temos que ei X = ei (S c grad r) = θ c grad r, e i grad r + S c ei grad r. (2.10) Logo, ei X, ei η = θ c grad r, e i grad r + S c ei grad r, ei η = θ c grad r, e i grad r, ei η +S c ei grad r, ei η. (2.11) Fazendo V = e i e W = ei η em (2.8), obtemos que S c ei grad r, ei η = θ c ei, ei η θ c grad r, e i grad r, ei η. 37

44 Substituindo a igualdade acima em (2.11), vem que ei X, ei η = θ c ei, ei η. Portanto, ei X, ei η = θ c ei, ei η = nhθ c. Lema Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Seja {e 1,..., e n } um referencial geodésico em p M n. Então ei ei X, η (p) = nhθ c (p), onde H é a curvatura média de x. Demonstração. Usando (2.10) e observando que θ c = cs c, obtemos Assim, ei ei X = cs c grad r, e i 2 grad r + θ c ei grad r, e i grad r +θ c grad r, ei e i grad r + 2θc grad r, e i ei grad r +S c ei ei grad r. ei ei X, η (p) = cs c grad r, e i 2 grad r, η (p) +θ c ei grad r, e i grad r, η (p) +θ c grad r, ei e i grad r, η (p) +2θ c grad r, e i ei grad r, η (p) +S c ei ei grad r, η (p). 38

45 Logo, ei ei X, η = cs c grad r, η grad r, e i 2 +θ c grad r, η +θ c grad r, η ei grad r, e i grad r, ei e i +2θ c grad r, e i ei grad r, η +S c ei ei grad r, η. (2.12) Vamos reescrever cada termo de (2.12) da seguinte maneira: cs c grad r, η θ c grad r, η grad r, e i 2 = c X, η = cg = cg grad r, e i 2 grad r, e i e i, grad r, e i e i grad r, e i e i 2 = cg (grad r) T 2, ei grad r, e i = θc grad r, η = θ2 c g Sc 2 ( 1 grad r, ei 2) (2.13) θ c S c ( 1 grad r, ei 2) = θ2 c gn θ2 c g (grad r) T 2, Sc 2 Sc 2 (2.14) 39

46 ( ) N θ c grad r, η grad r, ei e i = θc grad r, η grad r, ei e i = θ c grad r, η grad r, ei e i, η η = θ c grad r, η grad r, ei, ei η η = θ c grad r, η grad r, nhη = nhθ c grad r, η 2, (2.15) grad r, e i ei grad r, η = grad r, e i θ c S c ( grad r, e i grad r, η) = θ c S c grad r, η grad r, e i 2 = θ c g (grad r) T 2, Sc 2 onde (grad r) T indica a projeção de grad r em T M. (2.16) Usaremos (2.8) para reescrever o último termo de (2.12), isto é, ei ei grad r, η = ( ei ei grad r, η ei grad r, ei η ) = + ( e i θ ) c grad r, e i grad r, η S c θ c S c grad r, e i grad r, ei η + nh θ c S c. Como θ 2 c + cs 2 c = 1 e grad r = 1, obtemos que 40

47 ei ei grad r, η (p) = 1 grad r, η (grad r) T 2 s 2 c ( n (grad r) T ) 2 g θ2 c S 3 c θ c S c nh + θ2 c S 3 c ( 1 (grad r) T ) 2 (grad r) T 2 g + nh θ c S c. (2.17) Substituindo (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) e (2.17) em (2.12), vem que ei ei X, η = cg (grad r) T 2 θ 2 3 c g (grad r) T 2 θ 2 + n c g θ2 c S 2 c S 2 c +nhθ c grad r, η g (grad r) T 2 Sc 2 ( n + θ2 c S 2 c isto é, ei ei X, η = cs2 c θc 2 Sc 2 Então S 2 c (grad r) T 2 ) g nhθ c grad r, η 2 (grad r) T 2 g + nhθc, (grad r) T 2 g + 1 S 2 c ei ei X, η (p) = nhθ c (p), pois θc 2 + csc 2 = 1. (grad r) T 2 g + nhθc. O próximo resultado será crucial nas demonstrações dos teoremas do capítulo 3. Proposição (Alencar e Frensel, ver [3], p. 4) Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante H. Então onde é o Laplaciano em M n. g = B 2 g nhθ c, 41

48 Demonstração. Seja {e 1,..., e n } um referencial geodésico em p M n. Vimos que o Laplaciano de uma função f neste referencial é dado por f(p) = e i e i f(p). Logo, a função suporte g = X, η satisfaz g(p) = = ( e i e i X, η (p) = e i ei X, η + X, ei η ) (p) ( ei ei X, η + 2 ei X, ei η + X, ei ei η ) (p). Usando os Lemas 2.4.1, e 2.4.3, temos que g(p) = ( nhθ c 2nHθ c B 2 g ) (p) = B 2 g(p) nhθ c (p). O caso em que c = 0 da proposição acima já tinha sido provado, ver, por exemplo, [4] p A Fórmula de Minkowski da Função Suporte A seguinte proposição é uma generalização da igualdade de Minkowski em R n+1, c = 0 e θ c = 1. Proposição (Heintze, ver [11], p. 397) Seja M n uma variedade Riemanniana compacta e seja x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Então HgdA = θ c da, (2.18) M M onde H é a curvatura média de x. Demonstração. Sejam X o vetor posição com origem em p 0 e {e 1,..., e n } um referencial geodésico em p M n. Denotemos por X T e X N as componentes tangente e normal, respectivamente, do vetor X. Assim, 42

49 X N, ei e i = X X T, ( ei e i ) T + ( ei e i ) N = = = X X T, ( ei e i ) N X, ( ) N ei e i X T, ( ) N ei e i X, ( ) N ei e i. Visto que X N, e i = 0, obtemos ei X N, e i = X N, ei e i = X, ( ei e i ) N. Dessa forma, o divergente do campo X T é dado por divx T = = ei X T, e i = ei X, e i ei X N, e i ei X, e i + X, ( ) N ei e i. Mostraremos que ei X, e i = nθc e fato, usando (2.8) obtemos X, ( ) N ei e i = nhg. De ei X, e i = ei (S c grad r(p)), e i = θ c grad r(p), e i 2 + S c = θ c grad r(p), e i 2 + θ c = nθ c. ei grad r(p), e i ( 1 grad r(p), ei 2) Como ( ) N ei e i = ei e i, η η = nhη, segue-se que 43

50 X, ( ) N ei e i ( ) N = X, ei e i = X, nhη = nh X, η = nhg. Portanto, o divergente da componente tangente de X é dado por divx T = nθ c + nhg. Usando o Teorema de Stokes e o fato de M n ser uma variedade compacta sem bordo, obtemos HgdA = θ c da. M M Observação Na verdade Heintze (ver [11], p. 397) prova esta proposição para imersões cujos espaços ambientes possuem curvaturas seccionais limitadas superiormente por uma constante. Neste caso, o resultado obtido é uma desigualdade tipo Minkowski. 44

51 Capítulo 3 Hipersuperfícies cujas Geodésicas Tangentes omitem um Conjunto Não-Vazio Sejam M n uma variedade diferenciável e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica. Para todo ponto p M n, seja (Q n c ) p a hipersuperfície totalmente geodésica de Q n+1 c tangente a x(m n ) em x(p). Denotemos por W = Q n+1 c (Q n c ) p o conjunto dos pontos omitidos pelas hipersuperfícies totalmente geodésicas tangentes a x(m n ). p M Exemplo Hiperbolóide de uma folha em R 3. Figura 3.1: W = {0}. 45

52 Exemplo Esfera unitária em R 3. Figura 3.2: W = {p R 3 ; p < 1}. Neste capítulo, estudaremos as imersões para as quais o conjunto W é não-vazio. Analisaremos separadamente as hipersuperfícies completas nãocompactas e as hipersuperfícies compactas. 3.1 Hipersuperfícies Completas Nesta seção estabeleceremos resultados que caracterizam as hipersuperfícies completas cujo W é aberto e não-vazio. Além disso, apresentaremos uma relação entre W e a estabilidade de uma imersão mínima. Os resultados destas seção foram obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel, ver [3]. Teorema (Alencar e Frensel, ver [3], p. 6) Sejam M n uma variedade Riemanniana completa e x : M n Q n+1 c uma imersão isométrica mínima. Se o conjunto W é aberto e não-vazio, então x é totalmente geodésica. Demonstração. Dado p 0 W, seja X o vetor posição com origem em p 0. Como W é não-vazio, existe p 0 W tal que g(p) = X(p), η(p) 0 para qualquer p M. Seja d = inf {g(p); p M}. Suponhamos que este ínfimo é atingido, isto é, existe um ponto p M tal que g(p) = d. Usando a Proposição com H = 0, segue-se que g + B 2 g = 0. (3.1) 46

53 Portanto, usando o Princípio do Máximo, ver [8], p. 6, vemos que g é constante e igual a d. Logo B 0, isto é, x é totalmente geodésica. Para concluirmos a demonstração, basta provarmos que existe um ponto p M tal que g(p) = d. Para isto, consideremos uma seqüência de pontos {p k } k>0 em M tal que lim k g(p k) = d. Trataremos separadamente os casos em que c = 0, c > 0 e c < 0 e, além disso, vamos admitir, sem perda de generalidade, que c = 1 e c = 1 quando, respectivamente, c > 0 e c < 0. (i) Suponhamos que c = 0. Para cada ponto p k em M, consideremos o ponto q k, interseção de T pk M com a reta perpendicular a T pk M que passa por p 0 W. Figura 3.3: Caso c = 0. Como d(q k, p 0 ) = g(p k ), ver seção 1 do capítulo 2, é uma seqüência limitada, então {q k } também é limitada. Por Bolzano-Weierstrass, {q k } possui uma subseqüência { } q kj que converge para algum q R n+1. Visto que q é o limite de uma seqüência { } q kj em Tpk M e p M T pm é fechado em R n+1, pois W = R n+1 p M T pm é aberto, segue-se que q T p M, para algum ponto p M. Como d(p 0, q) = d e d d(p 0, T p M) d(p 0, q) = d, então g(p) = d(p 0, T p M) = d. (ii) Agora vamos provar o teorema para o caso em que c = 1. 47

54 Para cada ponto p k M, seja s k a projeção ortogonal de p 0 ao hiperplano de R n+2 que contém (Q n 1) pk e seja q k a interseção de (Q n 1) pk com a reta que passa pela origem e pelo ponto s k. Para todo k, Figura 3.4: Caso c = 1. q k Q n+1 c = S n+1 e s k B n+2 = { p R n+2 ; p < 1 }. Logo, existe uma subseqüência {k j } tal que { q kj } converge para um ponto q S n+1 e { s kj } converge para um ponto s B n+2. Temos que p M (Qn 1) p é fechado em S n+1, pois W é aberto, então q (Q n 1) p para algum p M. Além disso, como s k e q k são colineares para todo k, segue-se que s e q são colineares. Logo, s pertence ao hiperplano L p de R n+2 que contém (Q n 1) p. Como g(p k ) = d(s k, p 0 ) e então g(p) = d. d g(p) = d(p 0, L p ) d(p 0, s) = lim k d(s k, p 0 ) = d, (iii) Para provarmos o teorema no caso em que c = 1, utilizaremos o modelo do hiperbolóide visto no Capítulo 2. Definiremos o ponto s k de forma análoga ao caso anterior. 48

55 Figura 3.5: Caso c = 1. Usando (2.2), temos que a distância Euclidiana de p 0 ao hiperplano de R n+2 que passa pela origem e contém ( ) Q n 1 é dada por s k p 0 = p k g(p k ) 1 + 2g(pk ) 2, onde é a norma Euclidiana. Afirmação 3.1. s k, s k < 0, onde, é o produto interno de Lorentz. Demonstração. Com efeito, suponhamos que s k, s k 0. Escrevemos s k = (s k1,..., s kn+2 ). Assim, s 2 k s 2 k n+1 s 2 k n+2 0. Logo, s 2 k s 2 k n+1 s 2 k n+2. (3.2) Como s k e s k p 0 são perpendiculares, temos que s k, s k p 0 = 0. 49

56 Daí, s k, s k = s k, p 0 = (s k1,..., s kn+2 ) (0,..., 0, 1) = s kn+2. Portanto, usando (3.2), vem que s kn+2 = s k, s k = s 2 k s 2 k n+1 + s 2 k n+2 2s 2 k n+2, ou seja, s kn Assim, temos que s k p 0 2 = s k p 0, s k p 0 = s k, s k p 0 p 0, s k p 0 = p 0, s k + p 0, p 0 = s n g(p k ) 2 Logo, 1 + 2g(p k ) Isto contradiz o fato de g(p k ) g(p k ) < 1 2 2, para qualquer g(p k ). E a igualdade só seria válida se, e somente se, g(p k ) 0. Logo, s k, s k < 0. Seja λ k > 0 tal que λ 2 k s k, s k = 1 e seja q k = λ k s k a interseção de ( ) Q n 1 com a reta que passa pela origem e p k por s k. Temos que {s k } k 0 é uma seqüência limitada. Passando a uma subseqüência se necessário, existe um ponto s tal que lim s k = s. k d2 Podemos provar, como acima, que s, s < 0, pois s e s p 0 são perpendiculares e s p 0 2 = { 1 + 2d. 2 } 1 Como a seqüência s k, s k constante positiva e q k 2 = s k 2 limitada. k>0 é limitada inferiormente por uma s k, s k, vemos que a seqüência {q k} k>0 é 50