Teoremas de Rigidez no Espaço Hiperbólico

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1 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Teoremas de Rigidez no Espaço Hiperbólico por Jamilly Lourêdo Rocha sob orientação do Prof. Dr. Marco Antonio Lázaro Velásquez Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES

2 Teoremas de Rigidez no Espaço Hiperbólico por Jamilly Lourêdo Rocha Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Geometria Diferencial Aprovada por: Prof. Dr. Jonatan Floriano da Silva - UFC Prof. Dr. Henrique Fernandes de Lima - UFCG Prof. Dr. Marco Antonio Lázaro Velásquez - UFCG Orientador Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Agosto/2014 ii

3 Resumo Com uma aplicação adequada do conhecido princípio do máximo generalizado de Omori-Yau, obtemos resultados de rigidez com relação a hipersuperfícies imersas completas com curvatura média delimitada no espaço hiperbólico H n+1 (n+1)-dimensional. Em nossa abordagem exploramos a existência de uma dualidade natural entre H n+1 e a metade H n+1 do espaço de Sitter S n+1 1, cujo modelo é chamado de steady state space. Palavras-chave: Espaço hiperbólico, hipersuperfícies completas, curvatura média, aplicação de Gauss. iii

4 Abstract As a suitable application of the well known generalized maximum principle of Omori-Yau, we obtain rigidity results concerning to a complete hypersurface immersed with bounded mean curvature in the (n + 1)-dimensional hyperbolic space H n+1. In our approach, we explore the existence of a natural duality between H n+1 and the half H n+1 of the de Sitter space S n+1 1, which models the so-called steady state space. map. Keywords: Hyperbolic Space, complete hypersurfaces, mean curvature, Gauss iv

5 Agradecimentos Primeiramente, agradeço a Deus por me permitir ser quem eu sou e sempre ter ao meu lado pessoas das quais me orgulho muito. Agradeço imensamente aos meus pais, Iêda e Janildo, que sempre com muita dedicação e amor me apoiaram em todas as minhas escolhas. Sempre presentes dia após dia, sem eles não teria conseguido chegar até aqui. Agradeço também a minha irmã por todo o incentivo e por se fazer presente em todos os momentos. Agradeço ao meu namorado, André, pela ajuda na parte computacional deste trabalho, mas principalmente por toda a sua paciência e por todo o seu amor. Agradeço aos amigos, Jonas e Keytt, por todo o apoio e pela amizade que vai além da matemática. Agradeço ao Prof. Dr. Marco Antônio Lázaro Velásquez, que foi meu orientador, por toda a dedicação, ajuda e principalmente por todo o conhecimento que a mim foi transmitido. Agradeço ainda por todos os conselhos e pela excelente orientação. Agradeço ao Prof. Dr. Henrique Fernandez de Lima, que foi meu co-orientador, por todas as sugestão dadas a este trabalho e por sua intensa dedicação a matemática, sem dúvida, com grandes contribuições. Agradeço ao Prof. Dr. Jonatan Floriano da Silva, por ter aceito o convite para participar da banca examinadora da minha dissertação, bem como as sugestões dadas a este trabalho. Não poderia deixar de agradecer a todos os professores aos quais tive o prazer de ser aluna e que sem dúvida já fazem parte desta jornada. Em especial, agradeço aos professores Severino Horácio da Silva e Marco Aurélio Soares Souto, profissionais os quais tenho grande admiração. Agradeço à CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo apoio financeiro e à Coordenação de Pós-Graduação em Matemática da UFCG. v

6 Dedicatória Aos meus pais, Iêda e Janildo. vi

7 Conteúdo Introdução Preliminares Espaços munidos com um produto escalar Variedades semi-riemannianas Métricas semi-reimannianas e a conexão de Levi-Civita Alguns operadores diferenciáveis Geodésicas e a aplicação exponencial Curvatura Orientação temporal Imersões isométricas A segunda forma fundamental Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State Hipersuperfícies totalmente umbílicas Hipersuperfícies tipo-espaço totalmente umbílicas em S n Hipersuperfícies totalmente umbílicas em H n Variedades semi-riemannianas munidas com um campo conforme Produtos warped semi-riemannianos O Laplaciano da função altura Resultados Principais 53 Bibliografia 60

8 Introdução Nesta dissertação estudaremos hipersuperfícies não-compactas completas, com curvatura média limitada, imersas no espaço hiperbólico (n + 1)-dimensional H n+1. Antes de falarmos um pouco mais sobre o nosso trabalho, apresentamos um breve resumo dos principais resultados relacionados ao nosso tema. Em [3], L. J. Alías e M. Dajczer estudaram superfícies completas imersas em H 3, contidas entre duas horoesferas, obtendo um resultado tipo Bernstein para o caso de curvatura média constante 1 H 1. Depois, H. F. de Lima e A. Caminha estudaram em [6] gráficos verticais completos de curvatura média constante em H n+1. Sob restrição apropriada no crescimento da função altura, eles obtiveram condições necessárias para a existência de tal gráfico. Além disso, para superfícies completas de curvatura Gaussiana não negativa, eles obtiveram um teorema tipo Bernstein em H 3. Mais recentemente, aplicando a técnica de S.T. Yau [17], H. F. de Lima em conjunto com F. E. C. Camargo e A. Caminha [5] também obtiveram resultados tipo Bernstein em H n+1. Neste trabalho, sob uma restrição apropriada no ângulo normal da hipersuperfície (isto é, o ângulo entre a aplicação de Gauss da hipersuperfície e o campo vetorial unitário que determina a folheação 1-codimensional de H n+1 por horoesferas), obtemos teoremas de rigidez com relação a uma hipersuperfície completa imersa com curvatura média limitada em H n+1. Em nossa abordagem, exploramos a existência de uma dualidade natural entre as geometrias de H n+1 e a metade H n+1 do espaço de Sitter S n+1, cujo modelo é chamado steady state space. Mais precisamente, mostramos o seguinte (cf. Teorema 3.2; ver também os Co-

9 Introdução 7 rolários 3.3 e 3.4): Seja ψ : Σ n H n+1 uma hipersuperfície completa, com segunda forma fundamental A limitada. Suponha que a curvatura média H de Σ n é tal que 0 H 1. Se Σ n está abaixo de uma horoesfera de H n+1 e o ângulo normal θ satisfaz cos θ sup Σ H, então Σ n é uma horoesfera e a imagem da sua aplicação de Gauss é exatamente um hiperplano de H n+1. Queremos salientar que nossa restrição ao ângulo normal da hipersuperfície é motivada por uma estimativa do gradiente devido à R. López e S. Montiel [10] (para mais detalhes veja Observação 2). Além disso, através da aplicação de um resultado clássico devido à A. Hüber [9] relacionado a superfícies parabólicas, provamos também o seguinte resultado (cf. Teorema 3.7): Seja ψ : Σ 2 H 3 uma hipersuperfície completa com curvatura Gaussiana não-negativa e curvatura média 0 H 1. Se o ângulo normal θ de Σ 2 satisfaz cos θ H, então Σ 2 é uma horoesfera e a imagem da aplicação de Gauss é exatamente um plano de H 3. Este trabalho é baseado no artigo [7], publicado em 2013 por H. F. de Lima, e apresenta-se com a seguinte organização. No Capítulo 1 estabelecemos as notações e fatos preliminares que serão utilizados no decorrer do texto. No Capítulo 2 fazemos um estudo da teoria de hipersuperfícies Riemannianas imersas em ambientes Riemannianos ou Lorentzianos. Destacamos a Seção 2.4, onde usamos o Proposição 2.11 e a Observação 1 para construir campos conformes fechados nos espaços Steady State H n+1 e hiperbólico H n+1. Este capítulo finaliza com uma seção cujo objetivo é estabelecer uma fórmula para o Laplaciano da função altura da hipersuperfície orientada completa ψ : Σ n R f M n imersa em um produto warped Riemanniano R f M n. Finalmente, no Capítulo 3 enunciamos e mostramos os resultados principais deste trabalho.

10 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo temos como objetivo estabelecer as notações que serão utilizadas nos demais capítulos deste trabalho, bem como os fatos básicos da teoria de imersões isométricas dos quais faremos uso posteriormente. Para maiores detalhes, indicamos como referências [8] e [15]. Iniciamos com uma exposição sobre formas bilineares simétricas e produto escalar num espaço vetorial de dimensão finita; logo após, definimos o que é uma variedade semi-riemanniana e, então, apresentamos os conceitos de conexão e curvatura. No que segue, V sempre denotará um espaço vetorial real de dimensão finita. Uma forma bilinear simétrica b sobre V é uma função bilinear b : V V R tais que b(v, w) = b(w, v) para quaisquer v, w V 1.1 Espaços munidos com um produto escalar Uma forma bilinear simétrica b sobre V é dita (a) positiva definida, se b(v, v) > 0 para todo v V \ {0}. (b) negativa definida, se b(v, v) < 0 para todo v V \ {0}. (c) não-degenerada, se b(v, v) = 0 para todo w V implica em v = 0. Se b é uma forma bilinear simétrica sobre V e W é um subespaço de V, então a restrição b W W : W W R é uma forma bilinear simétrica sobre W. Definimos o

11 Capítulo 1. Espaços munidos com um produto escalar 9 índice de b como a maior dimensão de um subespaço W de V tal que b W W é negativa definida. Definição 1.1. Um produto escalar sobre um espaço vetorial real de dimensão finita V é uma forma bilinear simétrica b : V V R que é não-degenerada. Diremos que V é um espaço com produto escalar se ele é munido com um produto escalar, e definimos o índice de V como sendo o índice de seu produto escalar. Se V é um espaço com produto escalar b e W é um subespaço de V, dizemos que W é não-degenerado se a restrição b W W : W W R for não-degenerada. Definimos o complemento ortogonal W de W em V por W = {v V ; b(v, w) = 0 para todo w W}. No seguinte resultado colecionamos alguns fatos relevantes sobre espaços vetorias munidos com um produto escalar (cf. [15], Lemas 2.19, 2.22 e 2.23). Lema 1.1. Sejam V um espaço com produto escalar b e W um subespaço de V. Então (a) b é não-degenerada se, e somente se, sua matriz com respeito a uma (e então a toda) base de V for invertível; (b) se W é não-degenerado então dim(w) + dim(w ) = dim(v) e (W ) = W; (c) W é não-degenerado se, e somente se, V = W W. Em particular, W é não-degenerado se e só se W for não-degenerado. No que segue, supomos que V é um espaço com produto escalar b =,. Em relação a,, dizemos que v V \ {0} é: (i) tipo-tempo, quando v, v < 0; (ii) tipo-luz, quando v, v = 0; (iii) tipo-espaço, quando v, v > 0. Analogamente, define-se o que significa para um subespaço não-degenerado W de V ser tipo-tempo, tipo-luz ou tipo-espaço. Se v V \ {0} não for tipo-luz, define-se o sinal ɛ v { 1, 1} de v por ɛ v = v, v v, v.

12 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 10 A norma de v V é v = ɛ v v, v, e v é unitário se v = 1. É bem conhecido em Álgebra Linear que todo espaço vetorial real V munido com um produto escalar, admite uma base ortonormal. Assim, se {e 1,..., e n } é uma tal base, teremos que e i, e j = ɛ i ij, onde ɛ i denota o sinal de e i e 1, se i = j ij = 0, se i j. 2.26). Nesse contexto, é possível estabelecer o seguinte resultado (cf. [15], Lemas 2.25 e Lema 1.2. Sejam V um espaço com produto escalar, e {e 1,..., e n } uma base ortonormal de V. Então (a) todo v V admite uma única representação da forma v = n ɛ i v, e i e i ; (b) o número de elementos com sinais negativos em (ɛ 1,... ɛ n ) é igual ao índice de V. 1.2 Variedades semi-riemannianas Voltando nossa atenção a partir de agora as variedades diferenciáveis, passamos a estabelecer a noção de métrica, bem como algumas das suas principais consequências, que serão importantes para entender nosso cenário de trabalho Métricas semi-reimannianas e a conexão de Levi-Civita Definição 1.2. Seja M n+1 uma variedade diferenciável. Uma métrica semi-riemanniana em M n+1 é uma correspondência que associa, a cada p M n+1, um produto escalar, p no espaço tangente T p M, com índice constante ν (isto é, cada T p M tem índice ν), e que é diferenciável no seguinte sentido: se x 1,..., x n+1 são as funções coordenadas de um sistema de coordenadas de M n+1, definido em um aberto U, então as funções p p p, x i x j p são diferenciáveis em U, para cada i, j {1,..., n + 1}. Uma variedade semi-riemanniana é um par ( M n+1,, ), onde M n+1 é uma variedade diferenciável e, é uma métrica semi-riemanniana em M n+1.

13 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 11 No que segue, por simplificação de notação, escreveremos M n+1 para o par ( M n+1,, ). Quando o índice ν de, é zero, M n+1 é simplesmente uma variedade Riemanniana. Lorentziana. Por outro lado, quando ν = 1, M n+1 é denominada uma variedade Exemplo 1. Para cada número inteiro ν {0,..., n + 1}, seja R n+1 ν o espaço R n+1 munido com o produto escalar v, w = n+1 ν v i w i n+1 i=n ν+1 v i w i, onde v = (v 1,..., v n+1 ) e w = (w 1,..., w n+1 ). Do item (b) do Lema 1.2 obtemos que, tem índice ν. Neste contexto, R n+1 ν e de dimensão (n+1). Quando ν = 0, R n+1 ν é chamado espaço semi-euclidiano de índice ν torna-se simplesmente o espaço Euclidiano R n+1. Quando n 1, R n+1 1 é chamado espaço de Lorentz-Minkowski e é frequentemente denotado por L n+1. Denotemos, a partir de agora, por X(M) como sendo o conjunto dos campos de vetores de classe C em M n+1 e por C (M) o anel das funções reais de classe C definidas em M n+1. Dados X, Y X(M), nosso objetivo é agora definir um outro campo de vetores que seja a derivada de Y na direção de X. Há um caminho natural para fazer isso em R n+1 ν. Definição 1.3. Sejam x 1,..., x n+1 as coordenadas em R n+1 ν. Se X e Y = são campos de vetores em R n+1 ν, o campo de vetores n+1 D X Y = X(Y i ) x i é chamado derivada covariante de W com relação a V. n+1 Y i Uma vez que esta última definição utiliza as coordenadas de R n+1 ν, não é óbvio como estendê-lo a uma variedade semi-riemanniana arbitrária. Começamos, portanto, axiomatizando suas propriedades. Definição 1.4. Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M n+1 é uma aplicação tal que : X(M) X(M) X(M) (X, Y ) X Y x i

14 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 12 (i) (fx+gy ) Z = f X Z + g Y Z, (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z, (iii) X (fy ) = f X Y + X(f)Y, para quaisquer X, Y, Z X(M) e todos f, g C (M). O campo X Y é chamado derivada covariante de Y na direção X com relação a. Uma conexão afim está diretamente ligada a métrica, desde que acrescentemos uma compatibilidade com a métrica e outra propriedade relacionada ao colchete de Lie. Mais precisamente temos o seguinte Proposição 1.5 (Levi-Civita). Dada uma variedade semi-riemanniana M n+1, existe uma única conexão afim, chamada conexão de Levi-Civita, verificando (i) [X, Y ] = X Y Y X ( é simétrica ), (ii) XY, Z = X Y, Z + Y, X Z ( é compatível com a métrica ), para quaisquer X, Y, Z X(M). A conexão de Levi-Civita é caracterizada pela seguinte equação 2 X Y, Z = XY, Z + Y Z, X ZX, Y X, [Y, Z] + Y, [Z, X] + Z, [X, Y ], (1.1) chamada fórmula de Koszul. Demonstração. A fórmula de Koszul mostra que é unicamente determinada pela métrica,. Assim, caso exista, ela será única. Para mostrar a existência, defina por (1.1). É imediato verificar que é uma conexão afim, é simétrica e compatível com a métrica Alguns operadores diferenciáveis A seguir, estenderemos os conceitos de gradiente, divergente, Hessiano e Laplaciano para uma variedade semi-riemanniana M n+1. Para isso, precisamos da noção de referencial ortonormal. Definição 1.6. Para um conjunto aberto U de uma variedade semi-riemanniana M n+1, dizemos que uma coleção de campos vetorias {e 1,..., e n+1 } em U é chamado um referencial ortonormal em U quando e i, e j = ɛ i ij em todo ponto de U e todos i, j {1,..., n + 1}, onde ɛ i denota o sinal de e i.

15 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 13 Se U é o domínio de um sistema de coordenada em M n+1 { }, com campos coordenados,...,, então é imediato verificar que a aplicação do processo de x 1 x n+1 ortogonalização de Gramm-Schmidt a tais campos nos fornece um referencial ortonormal em U. Definição 1.7. O gradiente de uma função f C (M), o qual denotaremos por f, é um campo vetorial metricamente equivalente a diferencial df. Assim, f, X = df(x) = X(f) para todo X X(M). referencial ortonormal {e 1,..., e n+1 } temos Em termos de um n+1 f = ɛ i e i (f)e i, onde e i (f) = f, e i. Definição 1.8. Dado um campo vetorial X X(M) definimos a divergência de X como a função divx : M n+1 R dada por divx = tr{y (p) Y X(p)}, p M n+1. Em um referencial ortonormal {e 1,..., e n+1 } podemos escrever n+1 divx = ɛ i ei X, e i. Definição 1.9. O Hessiano de uma função f C (M), denotado por Hessf, é definido como sendo a aplicação C (M)-bilinear Hess : X(M) X(M) C (M) dada por (Hessf)(X, Y ) = X ( f), Y. O próximo resultado, nos fornece algumas propriedades do Hessiano de uma função. Proposição Para toda f C (M) e quaisquer X, Y X(M) temos (a) (Hessf)(X, Y ) = X(Y (f)) ( X Y )f, (b) (Hessf)(X, Y ) = (Hessf)(Y, X). Demonstração. Para o item (a), como f, Y = Y (f) então X(Y (f)) = X f, Y = X ( f), Y + f, X Y = (Hessf)(X, Y ) + ( X Y )f.

16 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 14 por Agora para o item (b), lembremos que o colchete dos campos X e Y é definido [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)), mas por outro lado, da simetria da conexão de Levi-Civita temos [X, Y ](f) = ( X Y )f ( Y X)f. Logo, do item (a), (Hessf)(X, Y ) (Hessf)(Y, X) = X(Y (f)) Y (X(f)) {( X Y )f ( Y X)f} = 0. Definição Seja M n+1 uma variedade semi-riemanniana. O operador Laplaciano : C (M) C (M) de M n+1 é definido por f = tr(hessf), para toda f C (M). Observemos que o Laplaciano também pode ser visto como um divergente, especificamente, com ajuda de um rererencial ortonormal {e 1,..., e n+1 }, temos n+1 n+1 f = ɛ i (Hessf)(e i, e i ) = ɛ i ei ( f), e i = div( f). (1.2) i i Proposição Sejam X, Y X(M), f, g C (M) e φ : R R uma função diferenciável. Então (i) div(x + Y ) = divx + divy, (ii) div(fx) = fdivx + f, X, (iii) (fg) = g f + f g + 2 f, g, (iv) (φ f) = φ (f) f + φ (f) f 2. Demonstração. (i) Seja {e 1,..., e n+1 } um referencial ortonormal. Logo, div(x + Y ) = = n+1 n+1 ɛ i ei (X + Y ), e i = ɛ i ei X + ei Y, e i i=i i=i n+1 n+1 ɛ i ei X, e i + ɛ i ei Y, e i = divx + divy. i=i i=i

17 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 15 (ii) Além disso, div(f X) = = n+1 n+1 ɛ i ei (fx), e i = ɛ i e i (f)x + f ei (X), e i i=i i=i n+1 n+1 X, ɛ i e i (f)e i + f ɛ i ei (X), e i = X, f + fdivx. i=i i=i (iii) Por outro lado, dos itens anteriores e de (1.2), (f g) = div( (f g)) = div(g f + f g) = div(g f) + div(f g) = g f + f g + 2 f, g. (iv) Finalmente, (φ f) = div( (φ f)) = div(φ (f) f) = φ (f)div( f) + (φ (f)), f = φ (f)div f + (φ (f)) f, f Geodésicas e a aplicação exponencial Sejam M n+1 uma variedade semi-riemanniana e α : I M n+1 uma curva diferenciável definida em um intervalo aberto I R. Dizemos que Z é um campo vetorial ao longo de α se a correspondência I t Z(t) T α(t) M é diferenciável. O conjunto de todos os campos vetorias ao longo de α será denotado por X(α). Proposição Se Z X(α), então existe uma única função Z Z satisfazendo: X(α) (i) (az 1 + bz 2 ) = az 1 + bz 2 para todos a, b R; (ii) (hz) = dh dt Z + hz para qualquer h C (I); (iii) (V α ) (t) = α (t)(v ) para todo t I e qualquer V X(M); (iv) d dt Z 1, Z 2 = Z 1, Z 2 + Z 1, Z 2, para quaisquer Z 1, Z 2 X(α) A prova da Proposição 1.13 tem como chave utilizar um sistema de coordenadas x 1,..., x n+1 para M n+1. Após alguns cálculos, é possível obter a expressão Z = n+1 dz i dt x i + i Z i α, (1.3) x i

18 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 16 obtendo deste modo a unicidade. Para a existência, basta definirmos Z de acordo com (1.3). Através de cálculos diretos, mostramos que as quatro propriedades são satisfeitas localmente, e pela unicidade, obtemos a independência do sistema de coordenadas. Definição Uma curva α : I M n+1 é dita geodésica se (α ) = 0. Da equação (1.3) obtemos que (α ) = 0 equivale a d 2 (x k α) dt 2 + n+1 i,j=1 Γ k ij(α) d(x i α) d(x j α) dt dt = 0, k {1,..., n + 1}, (1.4) onde x 1,..., x n+1 é um sistema de coordenadas de M n+1 e Γ k ij são os símbolos de Christoffel associados a conexão. Em (1.4) temos um sistema de n+1 equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, o que nos fornece alguns resultados de existência e unicidade, como os seguintes. Proposição Se α, β : I M n+1 são geodésicas tais que α (a) = β (a), para algum ponto a I, então α = β. Proposição Dado v T p M, existe uma única geodésica α v tal que (i) α v(0) = v; (ii) α v é maximal, i.e., tem domínio maximal. Definição Seja v U T p M tal que a geodésica α v é definida ao menos em [0, 1]. A função é chamada aplicação exponencial. exp p : U M n+1 v exp p (v) = α v (1) A prova do próximo resultado é uma aplicação direta do Teorema da Função Inversa (cf. [8], Proposição 2.9). Proposição Para cada p M n+1, existe uma vizinhança U 0 T p M na qual exp p é um difeomorfismo sobre uma vizinhança V p em M n+1. O próximo resultado garante localmente a existentência de uma referencial ortonormal cujas derivadas covarientes num ponto é zero, o qual será usado no próximo capítulo para obter fórmulas para poder estabelecer e mostrar os resultados principais deste trabalho.

19 Capítulo 1. Variedades semi-riemannianas 17 Lema 1.3 (Referencial Geodésico). Sejam M n+1 uma variedade semi-riemanniana de dimensão n + 1 e índice ν. Então, para cada p M n+1, existe um referencial ortonormal {e 1,..., e n+1 } ao redor de uma vizinhança de p satisfazendo ei e j (p) = 0. Este referencial será dito geodésico. Demonstração. Seja B (0) T p M tal que exp p : B (0) exp p (B (0)) é um difeomorfismo. Defina φ = exp p J, onde J : B (0) R n+1 ν B (0) T p M é uma isometria. Sejam v T p M com exp p (tv) = α v (t) e v = n+1 a ie i, para uma base ortonormal {e 1,..., e n+1 } de T p M. Note que x i (α v (t)) = (J 1 ) i (tv) = t(j 1 ) i (v) = ta i, onde J(a 1,..., a n+1 ) = n+1 a ie i. Assim, v = α v(0) = n+1 a i 0 x i e deste modo { } n+1 e j = 0 x i, fornecendo-nos que o referencial x i é ortonormal em p. Substituindo x i (α v (t)) = ta i em (1.4) obtemos n+1 i,j=1 Γ k ij(α v (t))a i a j = 0, k {1,..., n + 1}. Sendo a i, a j arbitrários, Γ k ij(p) = 0 e o rusultado segue. No caso de variedades Riemannianas, temos o seguinte conceito de completitude. Definição Uma variedade Riemanniana M n+1 é (geodesicamente) completa se para todo p M n+1, a aplicação exponencial, exp p, está definida para todo v T p M, i.e., se toda geodésica começando em p está definida para todos os valores do parâmetro t R Curvatura As propriedades da conexão de Levi-Civita de uma variedade semi-riemanniana M n+1 garantem o seguinte resultado. Proposição 1.20 ([15], Lema 3.35). Se M n+1 é uma variedade semi-riemanniana com conexão de Levi-Civita, então a aplicação R : X(M) 3 X(M), dada para X, Y, Z X(M) por R(X, Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, (1.5) é C (M)-trilinear, sendo denominada o tensor de curvatura de M n+1. Sempre que p M n+1 e v, w T p M gerarem um subespaço de dimensão 2 nãodegenerado de T p M, segue do item (a) do Lema 1.1 que v, v w, w v, w 2 0. Faz sentido, portanto, a seguinte

20 Capítulo 1. Orientação temporal 18 Definição Sejam M n+1 uma variedade semi-riemanniana, p M n+1 e σ T p M um subespaço de 2-dimensional não-degenerado de T p M. O número K(σ) = R(v, w)v, w v, v w, w v, w 2 independe da base escolhida {v, w} de σ, e é denominado curvatura seccional de M n+1 em p, segundo σ. Uma variedade semi-riemanniana M n+1 tem curvatura seccional constante em p M se os números K(σ) da definição acima independerem do subespaço 2-dimensional não-degenerado σ T p M considerado. Aproximando subespaços 2-dimensionais degenerados de T p M através de subespaços 2-dimensionais não-degenerados, pode-se mostrar que o fato de M n+1 ter curvatura seccional constante determina seu tensor curvatura R. Mais precisamente (cf. [15], Corolário 3.43), se M n+1 tiver curvatura seccional constante c, então R(X, Y )Z = c {X, Z Y Y, Z X}, (1.6) para todos X, Y, Z X(M). Definição Sejam M n+1 uma variedade semi-riemanniana, p um ponto de M n+1, {e 1,..., e n+1 } um referencial ortonormal definido em uma vizinhança de p e ɛ i o sinal de e i. A aplicação C (M)-bilinear Ric : X(M) X(M) C (M), definida em p por n+1 Ric(X, Y )(p) = ɛ i R(X, e i )Y, e i (p), (1.7) é chamada curvatura de Ricci de M n+1. É imedito verificar que Ric não depende do referencial ortonormal escolhido. Definição Diremos que a curvatura de Ricci de uma variedade semi-riemanniana M n+1 é limitada inferiormente se existe κ R tal que Ric(X, X) κx, X para qualquer X X(M). 1.3 Orientação temporal Agora, sejam V um espaço com produto escalar, de índice 1 e T = {u V ; u, u < 0}

21 Capítulo 1. Orientação temporal 19 o conjunto de todos os vetores tipo tempo de V. Para cada u T, definimos o cone tipo-tempo de V contendo u por C(u) = {v T ; u, v < 0}. No seguinte resultado colecionamos alguns fatos sobre cones tipo-tempo (cf. Lema 5.26 e Proposição 5.30 de [15]). Lema 1.4. Nas notações acima, se v, w T, então (a) o subespaço {v} é tipo-espaço e V = span{v} span{v}. Assim, T é a união disjunta de C(v) e C( v); (b) (desigualdade de Cauchy-Schwarz) v, w v w, com igualdade se e só se v e w forem colineares; (c) se v C(u) para algum u T, então w C(u) v, w < 0. w C(v) v C(w) C(v) = C(w). Portanto, Para o que segue precisaremos também da seguinte Definição Uma variedade de Lorentz M n+1 é temporalmente orientável se existir uma aplicação τ que associa a cada p M n+1 um cone tipo-tempo τ p em T p M, a qual é suave no seguinte sentido: para cada p M n+1 existe uma vizinhança aberta U de p e um campo V X(U) tais que V (q) τ q para todo q U. O resultado a seguir torna operacional a definição anterior. Proposição 1.25 ([15], Lema 5.32). Uma variedade de Lorentz M n+1 é temporalmente orientável se, e somente se, existir um campo vetorial tipo-tempo V X(M). Sempre que uma variedade de Lorentz M n+1 for temporalmente orientável, a escolha de uma aplicação τ como na Definição 1.24, ou de um campo vetorial tipotempo V X(M) a ela correspondente, será denominada uma orientação temporal para M n+1. Seja τ uma orientação temporal para M n+1 e Y X(M). Se Y (q) τ q (respectivamente, Y (q) τ q ) para todo q M, dizemos que Y aponta para o futuro (respectivamente, aponta para o passado). Sendo V X(M) uma orientação temporal para M n+1, segue do item (c) do Lema 1.4 que um campo vetorial tipo-tempo Y sobre M n+1 aponta para o futuro (respectivamente, para o passado) se, e somente se, Y, V < 0 (respectivamente, Y, V > 0).

22 Capítulo 2 Imersões isométricas Neste capítulo consideramos a seguinte situação. Seja x : M n M n+1 uma imersão de uma variedade diferenciável M n em uma variedade semi-riemanniana M n+1, isto é dx p : T p M T xp M é injetiva para todo p M n. A métrica semi-riemanniana de M n+1 induz de maneira natural uma métrica semi-riemanniana em M n : se v 1, v 2 T p M, definimos v 1, v 2 p = dx p (v 1 ), dx p (v 2 ) x(p). Nesse contexto, x : M n M n+1 passa a ser uma imersão isométrica de M n em M n+1. Neste capítulo, o objetivo principal é estudar as relações entre as geometrias de M n e M n A segunda forma fundamental Seja x : M n M n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana n- dimensional e orientada M n em uma variedade semi-riemanniana (n + 1)-dimensional M n+1 de índice ν {0, 1}. Quando ν = 0, M n+1 será sempre assumida orientável, e se ν = 1 então M n+1 será sempre uma variedade de Lorentz temporalmente orientável. Ainda no caso ν = 1, se a métrica induzida em M n via x : M n M n+1 for Riemanniana, então dizemos que M n é uma hipersuperfície tipo-espaço de M n+1. Em qualquer caso, existe um campo de vetores normais unitários N globalmente definido em M n. Seja ɛ N = N, N o sinal de N. Assim, ɛ N = 1 ou ɛ N = 1, dependendo de ν = 0 ou ν = 1, respectivamente. Denotemos por e as coneções de Levi-Civita de M n e M n+1, respectivamente.

23 Capítulo 2. A segunda forma fundamental 21 A segunda forma fundamental de x : M n M n+1 é dada por II : X(M n ) X(M n ) X(M n ) (X, Y ) II(X, Y ) = ( X Y ), e sua fórmula de Gauss por X Y = X Y + II(X, Y ), X, Y X(M n ), (2.1) onde X Y = ( X Y ). Como N é campo normal unitário, II(X, Y ) = βn, para algum β C (M n ). Veja que II(X, Y ), N = β N, N = β ɛ N. Assim, e (2.1) pode ser escrito como II(X, Y ) = 1 ɛ N II(X, Y ), N N, X, Y X(M n ), (2.2) X Y = X Y + 1 ɛ N II(X, Y ), N N, X, Y X(M n ). (2.3) Por outro lado, N, Y = 0 para todo Y X(M n ), implica que 0 = XN, Y = X N, Y + N, X Y = X N, Y + N, X Y + II(X, Y ) = X N, Y + N, II(X, Y ), para todo Y X(M n ), onde na penúltima igualdade foi usado (2.1). Assim, obtemos a equação de Weingarten de x : M n M n+1, dada por X N, Y = N, II(X, Y ), X, Y X(M n ). (2.4) O operador de forma A : X(M n ) X(M n ) e o vetor curvatura média H X(M n ) de x : M n M n+1, na direção do campo normal unitário N, são definidos por respectivamente, onde A(X), Y = II(X, Y ), N, X, Y X(M n ), (2.5) é a função curvatura média de x : M n M n+1. H = HN, (2.6) H = ɛ N n tr (A) C (M n ) (2.7)

24 Capítulo 2. A segunda forma fundamental 22 Logo, de (2.5) e (2.3) obtemos que a fórmula de Gauss de x : M n M n+1, dada em (2.1), pode ser escrita como X Y = X Y + 1 ɛ N A(X), Y N, X, Y X(M n ). (2.8) Agora, de (2.4) e (2.5) obtemos X N, Y = A(X), Y, X, Y X(M n ). (2.9) Daí, A(X) = ( X N), para todo X X(M n ). Mas, observando que 0 = XN, N = 2 X N, N, para todo X X(M n ), pois N, N = ɛ N, obtemos X N = ( X N). Assim, o operador de forma de x : M n M n+1 é dado por A(X) = X N, X X(M n ). (2.10) Proposição 2.1. Seja x : M n M n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n em uma variedade semi-riemanniana M n+1 de índice ν {0, 1}. Seja também N o seu campo de vetores normais unitários e A : X(M n ) X(M n ) o seu correspondente operador de forma. Se R e R denotam os tensores de curvatura de M n e M n+1, respectivamente, então (a) (Equação de Gauss) R(X, Y )Z = ( R(X, Y )Z ) +ɛ N {A(X), Z A(Y ) A(Y ), Z A(X)}, (2.11) (b) (Equação de Codazzi) ( R(X, Y )N ) = ( X A)(Y ) + ( Y A)(X), (2.12) para quaisquer X, Y, Z X(M n ). Demonstração. (a) De (2.8), X Y = X Y + ɛ N A(X), Y N, X, Y X(M n ). (2.13)

25 Capítulo 2. A segunda forma fundamental 23 Logo, de (1.5) e (2.13) obtemos R(X, Y )Z, W = Y X Z, W X Y Z, W + [X,Y ] Z, W = Y X Z, W + ɛ N Y A(X), Z N, W X Y Z, W ɛ N X A(Y ), Z N, W [X,Y ] Z, W + ɛ N A([X, Y ], Z) N, W }{{} 0 = Y X Z, W + ɛ N A(Y ), X Z N, W }{{} 0 +ɛ N Y A(X), Z N, W X Y Z, W +ɛ N A(X), Y Z N, W }{{} 0 ɛ N X A(Y ), Z N, W + [X,Y ] Z, W = R(X, Y )Z, W +ɛ N Y A(X), Z N, W +A(X), Z }{{} Y N, W 0 ɛ N XA(Y ), Z N, W +A(Y ), Z }{{} X N, W, 0 para todos X, Y, Z, W X(M n ). Agora, de (2.9), R(X, Y )Z, W = R(X, Y )Z, W e a equação (2.11) fica estabelecida. (b) Por outro lado, de (2.2) e (2.5) segue que Logo, de (1.5), (2.1) e (2.14), ɛ N A(X), Z A(Y ), W +ɛ N A(Y ), Z A(X), W = R(X, Y )Z ɛ N {A(X), Z A(Y ) + A(Y ), Z A(X)}, W, II(X, Y ) = ɛ N A(X), Y N, X, Y X(M n ). (2.14)

26 Capítulo 2. A segunda forma fundamental 24 R(X, Y )Z, N = ( R(X, Y )Z ) + ( R(X, Y )Z ), N = ( R(X, Y )Z ), N = ( Y X Z ) ( X Y Z ) + ( [X,Y ] Z ), N = ( Y X Z ) + ( Y II(X, Z) ) ( X Y Z ) ( X II(Y, Z) ) + II([X, Y ], Z), N = II(Y, X Z) + ( Y II(X, Z) ) II(X, Y Z) ( X II(Y, Z) ) + II([X, Y ], Z), N = II(Y, X Z), N + Y II(X, Z), N II(X, Y Z), N X II(Y, Z), N +II([X, Y ], Z), N = ɛ N A(Y ), X Z N, N }{{} ɛ N +ɛ N Y A(X), Z N, N +ɛ N X A(Y ), Z N, N ɛ N A(X), Y Z N, N }{{} ɛ N +ɛ N A([X, Y ]), Z N, N }{{} ɛ N = A(Y ), X Z A(X), Y Z + A([X, Y ]), Z +ɛ N Y (A(X), Z ) N, N +A(X), Z }{{} Y N, N }{{} ɛ N 0 ɛ N X(A(Y ), Z ) N, N +A(Y ), Z }{{} X N, N }{{} ɛ N 0 = A(Y ), X Z A(X), Y Z + A([X, Y ]), Z +Y (A(X), Z ) X(A(Y ), Z ) = A(Y ), X Z A(X), Y Z + A([X, Y ]), Z + Y A(X), Z + A(X), Y Z X A(Y ), Z A(Y ), X Z = { Y A(X) A( Y X)} { X A(Y ) A( X Y )}, Z = ( Y A)(X) ( X A)(Y ), Z, para todos X, Y, Z X(M n ). Assim, ( Y A)(X) ( X A)(Y ), Z = R(X, Y )Z, N = R(X, Y )N, Z, e a equação (2.12) também fica estabelecida. Em particular, quando a variedade ambiente tem curvatura seccional constante, da Proposição 2.1 podemos obter o seguinte resultado.

27 Capítulo 2. A segunda forma fundamental 25 Corolário 2.2. Seja x : M n M n+1 c uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n em uma variedade semi-riemanniana M n+1, de índice ν {0, 1} e curvatura seccional constante c. Seja também N o seu campo de vetores normais unitários e A : X(M n ) X(M n ) o seu correspondente operador de forma. denota o tensor de curvatura de M n então (a) (Equação de Gauss) R(X, Y )Z, W = c{x, Z Y, W Y, Z X, W } +ɛ N {A(X), Z A(Y ), W Se R A(Y ), Z A(X), W }, (2.15) (b) (Equação de Codazzi) ( X A)(Y ) = ( Y A)(X), (2.16) para quaisquer X, Y, Z X(M n ). Demonstração. Como M n+1 c curvatura R é dado por possui curvatura seccional constante c, então seu tensor R(X, Y )Z = c{x, Z Y Y, Z X}, X, Y, Z X(M n ), (2.17) como foi estabelecido em (1.6). Substituindo (2.17) em (2.11) obtemos (2.15). Além disso, de (2.12), ( X A)(Y ) + ( Y A)(X), N = R(X, Y )Z, N = 0, X, Y X(M n ), pois de (2.17) segue que R(X, Y )Z X(M n ). Agora, (2.16) segue diretamente. Além da curvatura média H, uma outra curvatura associada a x : M n M n+1 é a segunda curvatura média H 2, definida por onde H 2 = 2S 2 n(n 1), (2.18) S 2 = i<j k i k j é a segunda função simétrica elementar dos autovetores k 1,..., k n do operador de forma A : X(M n ) X(M n ). A seguir estabelecemos uma relação muito útil entre a norma do operador de forma A e H 2.

28 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 26 Lema 2.1. Sejam x : M n M n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n em uma variedade semi-riemanniana M n+1 de índice ν {0, 1} e A seu correspondente operador de forma. Então A 2 = n 2 H 2 n(n 1)H 2, (2.19) onde H e H 2 são a curvatura média e segunda curvatura média de M n, respectivamente. Demonstração. De (2.18), podemos observar que A 2 = n 2 H 2 2S 2, ou seja, a equação (2.19) pode ser visualisada, en função dos autovalores k 1,..., k n de A, como n ( n ) 2 ki 2 = k i 2 n k i k j. (2.20) A demonstração de (2.20) será feita por indução. Para n = 2 temos que a equação (2.20) é satisfeita. Agora, suponhamos que (2.20) é válida para n N. Daí, ( n+1 ) 2 ( n ) 2 k i = k i + k n+1 = ( n i<j ) 2 ( n k i + 2 k i )k n+1 + kn+1. 2 Substituindo a hipótese de indução na igualdade acima, obtemos ( n+1 ) 2 n k i = ki ( n k i k j + 2 k i )k n+1 + kn+1 2 i<j i+1 = n+1 ki ficando assim mostrado o resultado. 1 i<j n+1 k i k j, 2.2 Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State Consideremos o espaço de Lorenzt-Minkowski L n+2, com n 0 (vide Exemplo 1), a saber, o espaço R n+2 munido com o produto escalar n+1 v, w = v i w i v n+2 w n+2, onde v = (v 1,..., v n+2 ) e w = (w 1,..., w n+2 ). No que segue, para cada { 1, 1}, consideremos o seguinte subconjunto M n+1 = { p L n+2 ; p, p = }. (2.21)

29 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 27 Proposição 2.3. M n+1 tangente em cada ponto p M n+1 é uma subvariedade (n + 1)-dimensional de L n+2, cujo espaço é o conjunto de todos os vetores de L n+2 que são ortogonais a p. Além disso, M n+1 1 tem índice zero e M n+1 1 tem índice 1. Demonstração. Basta mostrar que é um valor regular da função G : L n+2 R p G(p) = p, p, pois M n+1 = G 1 ({}). Para isso, sejam p L n+2, v T p (L n+2 ) e considere uma curva α : ( ε, ε) L n+2 tal que α(0) = p e α (0) = v. Logo, grad G(p), v = dg p (v) = d dt (G α)(t) t=0 = d dt α(t), α(t) t=0 = 2α (0), α(0) = 2p, v. Como, é não-degenerado e v T p (L n+2 ) é arbitrario, grad G(p) = 2p, p L n+2. (2.22) Observemos que grad G(p) = 0 se, e somente se, p = 0. Porém, isso não acontece para os pontos que pertencem a M n+1. Assim, é valor regular de G e, portanto, é subvariedade de L n+2, cuja dimensão é M n+1 Além disso, dim(m n+1 ) = dim(l n+2 ) dim(r) = n + 1. T p (M n+1 ) = ker{ dg p : T p (L n+2 ) R }, p M n+1. (2.23) Agora, observando de (2.22) que v ker{ dg p } 0 = dg p (v) 0 = grad G(p), v = 2p, v, então obtemos de (2.23) que como desejado. T p (M n+1 ) = { v L n+2 ; p, v = 0 }, p M n+1, (2.24) Por outro lado, se w T p (M n+1 ) Span{grad G(p)} então de (2.22) e (2.24) obtemos respectivamente que w, p = 0 e w = β grad G(p), para algum β R. Daí, 0 = w, p = βgrad G(p), p = 2βp, p = 2β. Isso implica que β = 0, pois 0. Logo, w = 0 e T p (M n+1 ) Span{grad G(p)} = {0}.

30 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 28 Assim, T p (L n+2 ) = T p (M n+1 ) Span{grad G(p)}, p M n+1. (2.25) Como p, p = { 1, 1} e grad G(p) = 2p então Span{grad G(p)} tem índice ν igual a 1 ou 0, dependendo se = 1 ou = 1, respectivamente. Em particular, Span{grad G(p)} é não-degenerado. Segue que, Span{grad G(p)} = T p (M n+1 ) também é não-degenerado. Logo, de (2.25) segue que 1 = ind(t p (L n+2 )) = ind(t p (M n+1 )) + ind(span{grad G(p)}) = ind(t p (M n+1 )) + ν, (2.26) para todo p M n+1. Portanto, de (2.26) podemos concluir que ind(m n+1 1 ) = 0 e ind(m n+1 1 ) = 1. No espaço de Lorentz-Minkowski L n+2 podemos obter um modelo para o espaço hiperbólico H n+1 que será bastante apropriado aos nossos propósitos. Especificamente, H n+1 = { p L n+2 ; p, p = 1, p n+2 1 }, ou seja, H n+1 = { p M n+1 1 ; p n+2 1 }. Assim, da Proposição 2.3 obtemos que H n+1 é uma subvariedade Riemanniana (n + 1)-dimensional de L n+2, cujo espaço tangente em cada ponto p S n+1 1 é dado por T p (H n+1 ) = { v L n+2 ; p, v = 0 }. (2.27) Figura 2.1: Espaço Hiperbólico Por outro lado, o espaço de Sitter é denotado e definido por S n+1 1 = { p L n+2 ; p, p = 1 },

31 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 29 isto é, S n+1 1 = M n+1 1. Logo, usamos novamente a Proposição 2.3 para obter que S n+1 1 é uma subvariedade de Lorentz (n + 1)-dimensional de L n+2, cujo espaço tangente em cada ponto p S n+1 1 é dado por T p (S n+1 1 ) = { v L n+2 ; p, v = 0 }. (2.28) Figura 2.2: Espaço de Sitter Ao longo desta seção, usaremos M n+1 para denotar indistintamente ou o espaço hiperbólico H n+1 ou o espaço de Sitter S n+1 1 de acordo com = 1 ou = 1, respectivamente. Consideremos agora a aplicação inclusão ι : M n+1 L n+2. De (2.22) e (2.25) obtemos que a correspondência M n+1 p N p = grad G(p) grad G(p) = 2p 2p, 2p = p (2.29) define um campo normal unitário globalmente definido em M n+1. Assim, a aplicação N : M n+1 M n+1 definida por (2.29) é chamada aplicação de Gauss de ι : M n+1 L n+2. Sejam 0 e, respectivamente, as conexões de Levi-Civita de L n+2 e M n+1. A segunda forma fundamental de ι : M n+1 e sua fórmula de Gauss por onde X Y = ( 0 X Y ). L n+2 é dada por II : X(M n+1 ) X(M n+1 ) X(M n+1 (X, Y ) II(X, Y ) = ( 0 X Y ), 0 XY = X Y + II(X, Y ), X, Y X(M n+1 ), (2.30) )

32 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 30 Sendo N um campo normal unitário em M n+1 então II(X, Y ) = βn, para alguma função β C (M n+1 ). Veja que II(X, Y ), N = λ N, N = β. Assim, II(X, Y ) = 1 e (2.30) pode ser escrito como 0 XY = X Y + 1 II(X, Y ), N N, X, Y X(M n+1 ), II(X, Y ), N N, X, Y X(M n+1 ). (2.31) Por outro lado, N, X = 0 para todo Y X(M n+1 ), implica que 0 = XN, Y = 0 XN, Y + N, 0 XY = 0 XN, Y + N, X Y + II(X, Y ) = 0 XN, Y + N, II(X, Y ), para todo Y X(M n+1 ), onde na penúltima igualdade foi usado (2.30). Assim, obtemos a equação de Weingarten de ι : M n+1 L n+2, dada por 0 XN, Y = N, II(X, Y ), X, Y X(M n+1 ). (2.32) O operador de forma A : X(M n+1 ) X(M n+1 ) e o vetor curvatura média H X(M n+1 ) de ι : M n+1 L n+2, na direção do campo normal unitário N, são definidos por respectivamente, onde A(X), Y = II(X, Y ), N, X, Y X(M n+1 ), (2.33) H = é a curvatura média de ι : M n+1 L n+2. H = H N, (2.34) n + 1 tr (A) C (M n+1 ) (2.35) Logo, de (2.33) e (2.31) obtemos que a fórmula de Gauss de ι : M n+1 L n+2, dada em (2.30), pode ser escrita como 0 XY = X Y + 1 Agora, de (2.32) e (2.33) obtemos A(X), Y N, X, Y X(M n+1 ). (2.36) 0 XN, Y = A(X), Y, X, Y X(M n+1 ).

33 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 31 Daí, A(X) = ( 0 X N ), para todo X X(M n+1 ). Mais observando que 0 = XN, N = 2 0 XN, N, para todo X X(M n+1 ), pois N, N =, obtemos 0 X N = ( 0 X N). Assim, o operador de forma de ι : M n+1 L n+2 é dado por A(X) = 0 XN, X X(M n+1 ). (2.37) obtendo ou ainda, Para obter uma expressão mais explícita de A, substituimos (2.29) em (2.37), A(v) = 0 vn = 0 v p = v, v T p (M n+1 ), A(X) = X, X X(M n+1 ). (2.38) Se R 0 e R denotam os tensores de curvatura de L n+2 e M n+1, respectivamente, então a equação de Gauss de ι : M n+1 L n+2 é dada por R(X, Y )Z = (R 0 (X, Y )Z) + A(X), Z A(Y ) A(Y ), Z A(X), para todos X, Y, Z X(M n+1 ). Sendo os coeficientes da métrica do espaço L n+2 constantes então o tensor curvatura R 0 é identicamente nulo. Logo, R(X, Y )Z = A(X), Z A(Y ) A(Y ), Z A(X), (2.39) para todos X, Y, Z X(M n+1 ). Com toda essa discussão, estamos em condições de estabelecer e mostrar o seguinte resultado. Proposição 2.4. Com a métrica induzida de L n+2, (a) S n+1 1 tem curvatura seccional constante igual a 1 e curvatura média, na direção do campo normal unitário N definido em (2.29), igual a 1. (b) H n+1 tem curvatura seccional constante igual a 1 e curvatura média, na direção do campo normal unitário N definido em (2.29), igual a 1.

34 Capítulo 2. Os espaços de Sitter, Hipebólico e Steady State 32 Demonstração. De (2.39) e (2.38) segue que R(X, Y )Z = {X, Z Y Y, Z X}, para todos X, Y, Z X(M n+1 ). Assim, M n+1 tem curvatura seccional constante igual a. Por outro lado, observando de (2.38) que A = Id X(M n+1 ), obtemos tr(a) = (n + 1). Logo, de (2.34), H = N. Assim, a curvatura média H de M n+1 N é constante igual a. na direção de Agora, seja a L n+2 \ {0} um vetor fixo tal que a, a = 0 e a, e n+2 > 0, onde e n+2 = (0,..., 0, 1) L n+2. Então a região aberta do espaço de Sitter S n+1 1 dada por, é chamada Steady State space. H n+1 = { p S n+1 1 ; p, a > 0 }, Figura 2.3: Steady State Space Observe que H n+1 é estendível, uma vez que H n+1 é isométrica a um aberto de S n+1 1 e por isso é não-completo. A sua fronteira, como um subconjunto de S n+1 1, é a hipersuperfície nula { p S n+1 1 ; p, a = 0 }, cuja topologia é equivalente a de R S n 1.

35 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas Hipersuperfícies totalmente umbílicas Definição 2.5. Seja x : M n M n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n em uma variedade semi-riemanniana M n+1 de índice ν {0, 1}. Seja também N o seu campo de vetores normais unitários e A : X(M n ) X(M n ) o seu correspondente operador de forma. Um ponto p M n é chamado umbílico se existe λ(p) R tal que A p = λ(p) Id TpM. Dizemos que x : M n M n+1 é totalmente umbílica se todos os pontos de M n são umbílicos, isto é, se existe λ C (M) tal que A = λ Id X(M n ). Em cada p M n, temos que A p : T p M T p M é um operador auto-adjunto. Logo, A p é diagonalizável. Em particular, existe uma base ortonormal {e 1,..., e n } de T p M tal que a matriz associada a A p é diagonal. Definição 2.6. A aplicação auto-adjunta Φ p = A p λ(p) Id TpM : T pm T p M, onde λ(p) é o único número real tal que tr(φ p ) = 0, é chamado operador sem traço de x : M n M n+1. Observemos de (2.7) que tr(φ p ) = 0 0 = tr(a p ) nλ(p) λ(p) = 1 n tr(a p) = 1 ɛ N H(p). Assim, x : M n M n+1 é totalmente umbílica se uma (e portanto totas) das seguintes afirmações é válida em cada ponto p M n : Φ p = 0 Φ p (e 1 ), i {1,..., n}, n Φ p (e i ), Φ p (e i ) = 0, tr(φ 2 p) = 0. n Φ p (e i ) 2 = 0, n Φ 2 p(e i ), e i = 0, Em geral, tr(φ 2 ) = n Φ 2 (e i ), e i = n Φ(e i ), Φ(e i ) = n Φ(e i ) 2 0, onde {e 1,..., e n } é qualquer referencial ortonormal local de x(m n ). Assim, obtemos o seguinte

36 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas 34 Proposição 2.7. tr(φ 2 ) 0, e a igualdade acontece se, e somente se, x : M n M n+1 é totalmente umbílica. Observando que ( ( tr(φ 2 ) = tr A H ) ) 2 Id X(M ɛ n ) N = tr(a 2 ) 2H tr(a) + H 2 tr ( ) Id X(M ɛ n ) N = tr(a 2 ) 2nH 2 + nh 2 = tr(a 2 ) nh 2, então a última proposição pode ser escrito da seguinte forma. Proposição 2.8. tr(a 2 ) nh 2 0, e a igualdade acontece se, e somente se, x : M n M n+1 é totalmente umbílica Hipersuperfícies tipo-espaço totalmente umbílicas em S n+1 1 Nosso objetivo agora é estudar alguns exemplos de hipersuperfícies tipo-espaço totalmente umbílicas no espaço de-sitter S n+1 1. Para isso, fixemos um vetor a L n+2 e denotemos c = a, a { 1, 0, 1}. Observemos que, quando = 1 em (2.25), R n+2 1 = Tp (R n+2 1 ) = T p (S n+1 1 ) Span{p}, p S n+1 1. (2.40) Logo, existem a (p) T p (S n+1 1 ) e β(p) R de forma que a L n+2 pode ser escrito como a = a (p) + β(p)p. Mas como então a, p = a (p), p +β(p) p, p = β(p) }{{}}{{} 0 1 a = a (p) + a, p p. (2.41) Agora, consideremos a função f a : S n+1 1 R p f a (p) = p, a, (2.42) e, dado τ R, consideremos M n c,τ = f 1 a ({τ}) = { p S n+1 1 ; p, a = τ }.

37 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas 35 Em primeiro lugar, tentemos determinar para que valores de τ o conjunto M n c,τ é uma hipersuperfície tipo-espaço de S n+1 1. Para isso, usaremos que se f a (p) 0 e f a (p), f a (p) < 0 em todo p f 1 a ({τ}) então M n c,τ é uma hipersuperfície tipoespaço. Sejam p S n+1 1, v T p (S n+1 1 ) e considere uma curva α : ( ε, ε) S n+1 1 tal que α(0) = p e α (0) = v. Logo, de (2.41), f a (p), v = d(f a ) p (v) = d dt (f a(α(t)) t=0 = d dt α(t), a t=0 = α (0), a = v, a = v, a (p) + a, p v, p }{{} 0 = a (p), v. Como v T p (S n+1 1 ) é arbitrário e, é não-degenerado, f a (p) = a (p), para todo p S n+1 1. Em particular, se p f 1 ({τ}) então de (2.41) e (2.42) obtemos a f a (p) = a τp. (2.43) Assim, M n c,τ será uma hipersuperfície tipo-espaço de S n+1 1 quando 0 > f a (p), f a (p) = a τp, a τp ou equivalentemente, quando τ 2 > c. = a, a 2τ a, p +τ 2 p, p }{{}}{{}}{{} c τ 1 = c τ 2, (2.44) Para o que segue, a desigualdade τ 2 > c será considerada sempre válida. Denotemos por ϕ : M n c,τ S n+1 1 a imersão isométrica de M n c,τ em S n+1 1 e, seguindo a mesma notação da última seção, seja ι : S n+1 1 L n+2 a aplicação inclusão de S n+1 1 em L n+2. As conexões de Levi-Civita de M n c,τ, S n+1 1 e L n+2 serão denotadas por, e 0, respectivamente. Observemos de (2.43) e (2.29) que as correspondentes aplicações de Gauss de ϕ : M n c,τ S n+1 1 e ι : S n+1 1 L n+2 são dadas por e N : M n c,τ H n+1 p N(p) = f a(p) f a (p) = a τp τ 2 c N : S n+1 1 S n+1 1 p N(x) = p, (2.45) (2.46)

38 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas 36 respectivamente. De (2.56) e (2.45) podemos observar que Denotemos por A : X ( M n c,τ N, N = 1 (2.47) ) X ( M n c,τ ) e A : X ( S n+1 1 ) ( ) X S n+1 1 os operadores de forma de ϕ : M n c,τ S n+1 1 na direção de N e ι : S n+1 1 L n+2 na direção do campo N, respectivamente. De (2.38), Procuremos agora uma expressão explícita para A. A = Id X(S n+1 1 ). (2.48) De (2.8) obtemos que a fórmula de Gauss para ϕ : M n c,b Sn+1 1 é dada por X Y = X Y A(X), Y N, X, Y X(M n c,b). (2.49) Da fórmula de Gauss para ι : S n+1 1 L n+2, dada em (2.36), obtemos 0 XY = X Y + A(X), Y ϕ = X Y A(X), Y N X, Y ϕ, X, Y X(M n c,τ), (2.50) onde na última igualdade foi usado (2.49) e (2.48). De (2.10), A(X) = X N, X X(M n c,τ). (2.51) Mas como N é um campo vetorial tangente a S n+1 1, então de (2.50) obtemos 0 XN = X N A(X), N N X, N ϕ = }{{}}{{} X N, 0 0 Assim, (2.51) fica da forma X X(M n c,τ). Substituindo (2.45) em (2.64), A(X) = 0 XN, X X(M n c,τ). (2.52) 1 A(X) = τ 2 c 0 X(a τp) = τ τ 2 c 0 Xp = τ τ 2 c X, X X(Mn c,τ). (2.53) Portanto, podemos concluir de todo nosso estudo que ϕ : M n c,τ S n+1 1, com τ 2 > c, é uma hipersuperfície tipo-espaço totalmente umbílica, com curvatura média H constante igual a H = 1 n tr(a) = τ τ 2 c.

39 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas 37 Passamos agora a fazer um estudo dos valores de τ e em função de c = a, a { 1, 0, 1}. H 2 = τ 2 τ 2 c (i) Se c = 0 (o que corresponde a um corte de S n+1 1 por um plano degenerado de L n+2 ) então τ 2 > 0. Segue que τ R \ {0} e H 2 = 1. Tomemos por exemplo a = (0,..., 0, 1, 1) L n+2. Então um ponto em M n c,τ = { p S n+1 1 ; p, a = τ } verifica Como p p 2 n+1 p 2 n+2 = 1, p n+1 p n+2 = τ. 1 = p p 2 n+1 p 2 n+2 p 2 n+1 p 2 n+2 = (p n+1 p n+2 ) (p n+1 + p n+2 ) = τ(p n+1 + p n+2 ), então p p 2 n = 1 ( ) p 2 n+1 p 2 n+2 = 1 τ (p n+1 + p n+2 ) 1 1 = 0, ou seja, p p 2 n [0, + ). Logo, podemos identificar M n c,τ com R n. (ii) Se c = 1 (o que corresponde a um corte de S n+1 1 por um plano tipo-tempo de L n+2 ) então τ 2 > 1. Segue que τ (, 1) (1, + ) e H 2 = τ 2 (1, + ). τ 2 1 Por exemplo, se consideramos a = (1, 0,..., 0) L n+2 então qualquer ponto em M n c,τ = { p S n+1 1 ; p, a = τ } satisfaz p p 2 n+1 p 2 n+2 = 1, p 1 = τ. Logo, p p 2 n+1 p 2 n+2 = 1 τ 2 < 0. Assim, podemos identificar M n c,τ com H n ( τ 2 1) L n+1.

40 Capítulo 2. Hipersuperfícies totalmente umbílicas 38 (iii) Se c = 1 (o que corresponde a um corte de S n+1 1 por um plano tipo-espaço de L n+2 ) então τ 2 > 1. Neste caso, τ R e H 2 = τ 2 [0, 1). τ Por exemplo, se escolhemos a = (0,..., 0, 1) L n+2 então um ponto p M n c,τ = {p S n+1 1 ; p, a = τ } verifica p p 2 n+1 p 2 n+2 = 1, p n+2 = τ. Logo, p p 2 n+1 = 1 + τ 2. Assim, podemos identificar M n c,τ com S n ( 1 + τ 2 ) R n+1. Pode ser mostrado que tais hipersuperfícies são essencialmente as únicas hipersuperfícies tipo-espaço totalmente umbílicas de S n+1 1, como afirma o seguinte resultado. Proposição 2.9 ([1], Teorema 1.5.1). Seja x : M n S n+1 1, n 2, uma hipersuperfície tipo-espaço conexa e totalmente umbílica. Então (a) sua curvatura média H é constante. (b 1 ) Se H 2 [0, 1) então existem a L n+2 e τ R tais que a, a = 1 e x(m n ) { p S n+1 1 ; p, a = τ } ( ) = S n 1 + τ 2. Figura 2.4: Item (b 1 ): Esferas geodésicas (b 2 ) Se H 2 = 1 então existem a L n+2 e τ R \ {0} tais que a, a = 0 e x(m n ) { p S n+1 1 ; p, a = τ } = R n. (b 3 ) Se H 2 (1, + ) então existem a L n+2 e τ (, 1) (1, + ) tais que a, a = 1 e x(m n ) { p S n+1 1 ; p, a = τ } ( ) = H n τ 2 1.