Folheações Completas de Formas Espaciais por Hipersuperfícies

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1 Universidade Federal do Piauí Centro de Ciências da Natureza Pós-Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Folheações Completas de Formas Espaciais por Hipersuperfícies Daniel da Costa Silva Teresina

2 Daniel da Costa Silva Dissertação de Mestrado: Folheações Completas de Formas Espaciais por Hipersuperfícies Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Piauí, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa Teresina

3 Folheações Completas de Formas Espaciais por Hipersuperfícies Daniel da Costa Silva Dissertação submetida à Coordenação de Pós-graduação em Matemática da Universidade Federal do Piauí, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Banca Examinadora: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa (Orientador-UFPI) Prof. Dr. Newton Luís Santos (UFPI) Profa. Dra. Fernanda Ester Camargo (UFC) Prof. Dr. Juscelino Pereira Silva (Suplente-UFPI) Teresina

4 C977t Silva, Daniel da Costa Folheações Completas de Formas Espaciais por Hipersuperfícies Daniel da Costa Silva - Teresina: f. Orientador: Prof. Dr. Paulo Alexandre Araújo Sousa. Área de concentração: Geometria Diferencial Dissertação (Mestrado)-Universidade Federal do Piauí, Departamento de Matemática, Geometria Diferencial CDD

5 i Ao meu avô Raimundo Rodrigues e à minha madrinha Elisabete (In memoriam).

6 Agradecimentos Agradeço primeiramente a DEUS por me permitir chegar até aqui; Agradeço ao meu santo guardião São Miguel Arcanjo, por estar sempre ao meu lado; Agradeço à minha família pelo apoio incondicional em todos as etapas desta longa caminhada; Agradeço a minha avó e mãe Terezinha, pelo apoio, pelos conselhos, por acreditar em mim, por me ajudar nesta difícil caminhada e por sempre está ao meu lado nesses anos; A minha tia-avó Maria Bezerra, por acreditar em mim, pelos conselhos e por me ajudar nesses anos de estudos; Agradeço ao meu orientador Prof. Paulo Alexandre, pela ótima orientação, a excelente escolha do tema, pelos conselhos, pela paciência e pela certeza de que fiz uma ótima escolha como orientador; Agradeço aos amigos que fiz durante a graduação: Marcão, Pequeno, Irmão, Márcio, Diego, Maurício, Felipe, Zé Francisco, Alex, Nairon, Djavan (corinthiano); e aos amigos do mestrado: Renan, Kelson, Leandro, Yuri, Cleiton, Carla, Pedro, Ciane, Alex, Cleidinaldo, Valdinês e Israel; Agradeço aos meus amigos de longa data Amorim, Ari, João Santos (Jão), Dona Elcilene, Domingão, Gilberto, Venâncio (orelhão), Ítalo (Alma de Flores), Gleison (Cafu), Humberto, André, Prof. Marcolino, Wilson (coração de papel), Dr Ernani (professor da UFC), Kelton. Agradeço também aos amigos que fiz na UFC, Damião, Tiago Veras (buda), Disson, Eraldo; Aos professores Barnabé, Xavier, Cícero Aquino, Mário Gomes, Gilvan, Jurandir, Humberto, Liane e Juscelino pela dedição nas disciplinas ministradas. Aos professores Marconii

7 iii des, Alexandro Marinho e Isaias pelos conselhos, pela motivação e pelas longas conversas; Ao prof. Newton Luís pela paciência, pelas disciplinas ministradas, pelas longas conversas as quais foram um fator determinante para que eu viesse estudar geometria e pelos sábios conselhos; Um agradecimento especial ao prof. Benício, pelos conselhos, pelas conversas, pelo incentivo para vencer mais essa etapa e pelas disciplinas ministradas ao longo da graduação na UFPI; Agradeço a Dona Elisa e ao seu Chico por sempre estarem dispostos a me atender; Agradeço aos amigos Neto, Diniz, Seu Cláudio, Nelson pelas longas conversas que tivemos ao longo desses anos, principalmente por estar certo de que meu time é melhor (Vasco); Agradeço à CAPES-REUNI pelo apoio financeiro.

8 iv Conhecereis a verdade e a verdades vos libertarás. João 8:32.

9 Resumo Estudaremos folheações de formas espaciais por hipersuperfícies completas, com algumas restrições sobre as curvaturas médias de ordem superior. Em particular, no espaço Euclidiano, obteremos um teorema tipo-bernstein para gráficos cujas curvaturas média e escalar não mudam de sinal, mas por outro lado, não necessariamente são constantes. Estabeleceremos também a não existência de folheações da esfera Euclidiana cujas folhas são completas e possuem curvatura escalar constante, assim estendendo um teorema de Barbosa, Kenmotsu e Oshikiri. Para o caso geral de folheações r-mínimas do espaço Euclidiano, possivelmente com um conjunto singular, utilizamos um teorema de Ferus para obter condições sob as quais as folhas não-singulares são folheadas por hiperplanos. v

10 Abstract We study foliations of space forms by complete hypersurfaces, under some mild conditions on its higher curvatures. In particular, in Euclidean space we obtain a Bernstein-type theorem for graphs whose mean and scalar curvature do not change sign but may on the other hand be nonconstant. We also establish the nonexistence of foliations of the standard sphere whose leaves are complete and have constant scalar curvature, thus extending a theorem of Barbosa, Kenmotsu and Oshikiri. For the more general case of r-minimal foliations of the Euclidean space, possibly with a singular set, we are able to invoke a theorem of Ferus to give conditions under which the non-singular leaves are foliated by hyperplanes. vi

11 Sumário Resumo Abstract v vi 1 Noções Preliminares Gradiente e Hessiano Curvaturas Imersões Isométricas Folheações e o Teorema de Ferus Folheações Teorema de Ferus O operador L r 23 4 Gráficos no Espaço Euclidiano 32 5 Folheações de Formas Espaciais 41 Referências Bibliográficas 51 vii

12 Introdução Folheações, de codimensão 1, de espaços Riemannianos têm sido estudadas desde o começo do século passado. Em 1915, S. Bernstein [17] provou que os únicos gráficos mínimos inteiros no R 3 são os planos. Este resultado foi extendido por J. Simons [13] para gráficos mínimos inteiros em R n+1, para n 7. Em 1968, E. Bombieri, E. de Giorgi e E. Giusti [7] mostraram que o resultado não vale para n 8. Uma extensão natural para o problema descrito acima, é considerar folheações completas de formas espaciais de codimensão 1 cujas folhas têm curvatura média constante. Neste sentido, J. L. Barbosa, K. Kenmotsu e G. Oshikiri [4] provaram que, se o espaço em questão é flat então uma tal folheação deve ter folhas mínimas, e que a esfera Euclidiana não adimite uma folheação com tais propriedades. No Capítulo 1, começamos com um breve resumo de conceitos e resultado que serão de fundamental importância para o bom entendimento deste trabalho. No Capítulo 2, apresentamos na Seção 2.1 o conceito de distribuição tangente (ou simplesmente distribuição) e daremos destaque ao importante Teorema de Frobenius. Na Seção 2.2, apresentamos o conceito de índice de nulidade relativa, algumas propriedades e provamos o Teorema de Ferus, que é de fundamental importância no desenvolvimento deste trabalho. O Capítulo 3 é dedicado ao operador L r, onde destacamos algumas de suas propriedades, calcularemos o L r das funções suporte e apresentamos um resultado relacionando a derivada de uma contração com o divergente de um campo. No Capítulo 4, destacamos a Proposição 17 por sua importância na demonstração do Teorema 7, feita no Capítulo 5. Ainda no no Capítulo 5, consideraremos variedades Riemannianas munidas de folheações transversalmente orientáveis, ou seja, tais que é possível escolher um campo vetorial unitário N suave, normal a cada folha da folheação. Quando a variedade ambiente 1

13 Sumário 2 é a esfera Euclidiana provamos o seguinte resultado: Não existe folheação suave na esfera Euclidiana S n+1 transversalmente orientável de codimensão 1, cujas folhas são completas e possuem curvatura escalar constante maior que 1. Finalmente, no Capítulo 5, calculamos uma expressão para a divergência do campo P r ( N N). Também consideramos uma generalização do problema de Bernstein, que é o estudo de folheações r-mínimas do espaço Euclidiano. Neste caso, utilizamos o Teorema de Ferus para provarmos o resultado abaixo: Seja F uma folheação suave, transversalmente orientável, singular, de codimensão 1 de R n+1, cujas folhas são completas, r-mínimas e tal que S r não muda de sinal nas folhas. Se X L 1 e A é limitada em cada folha, então cada folha tem nulidade relativa de no mínimo n r. Em particular, se S r 0 na folha, então esta folha é admite uma folheação por hiperplanos de dimensão n r.

14 Capítulo 1 Noções Preliminares Neste capítulo estabeleceremos a notação a ser usada e recordamos alguns conceitos e fatos básicos, necessários ao desenvolvimento dos capítulos seguintes. Sendo assim, a prova de alguns resultados não será feita, mas em todo o texto ficará clara a referência para obter tais justificativas. Para recomendamos detalhes recomendamos ao leitor a referência [6]. 1.1 Gradiente e Hessiano No que se segue M n denotará uma variedade Riemanniana suave, munida da métrica Riemanniana, e conexão Riemanniana. Definição 1 (Gradiente). Seja f : M n R uma função suave. O gradiente de f é o campo vetorial suave f X(M), definido em M por f, X X(f), (1.1) para todo X X(M). No lema abaixo, apresentamos uma forma de escrever o gradiente de uma função em um referencial ortonormal local. Lema 1. Sejam f : M n R uma função suave e {e 1,..., e n } um referencial ortonormal local em uma vizinhança aberta U M. Então f e j (f)e j, e o segundo membro da igualdade acima independe do referencial escolhido. 3 j1

15 Capítulo 1. Noções Preliminares 4 Demonstração. Seja X x i e i em U, então: n X(f) x i e i (f) x i e i, e j (f)e j X, e j (f)e j. Daí, por (1.1) ii ii j1 j1 f e j (f)e j. j1 Se {e 1,..., e n } for outro referencial ortonormal em U, com e j a matriz (x ij (p)) n n é ortogonal em p U, e daí x ij e i em U, então j1 e j (f)e j x tj x lj e t (f)e l δ tl e t (f)e l j j,l,t1 l,t1 e t (f)e t. t1 Como consequência imediata do lema anterior, obtemos algumas propriedades que o operador gradiente satisfaz. Proposição 1. Sejam f, g : M n R funções suaves, então (a) (f + g) f + g. (b) (fg) g f + f g. Definição 2 (Divergente). Seja X um campo vetorial suave em M n. O divergente de X é a função suave definida em M por div X : M R p div X(p) tr [υ ( υ X)(p)], onde υ T p M e tr denota o traço do operador linear entre colchetes. No lema a seguir, apresentamos sem demonstração, uma forma de escrever o divergente de um campo vetorial em um referencial ortonormal local. Proposição 2. Sejam X um campo suave em M n e {e 1,..., e n } um referencial ortonormal em uma vizinhança aberta U M. Se X x i e i em U, então ( div X ei (x i ) ei e i, X ).

16 Capítulo 1. Noções Preliminares 5 Observação 1 (Refencial Geodésico). Seja M n uma variedade Riemannianna e p M n. Dizemos que um referencial ortonormal {e 1,..., e n } em um aberto U M é geodésico em p U se ( ei e j )(p) 0 para todos 1 i, j n. Neste caso, temos que a expressão obtida no lema anterior para o divergente de um campo vetorial pode ser expressa da seguinte forma div X e i (x i ). As propriedades, que o divergente de um campo vetorial satisfaz, apresentadas no lema abaixo, seguem como consequência direta do lema acima. Proposição 3. Sejam X, Y campos vetoriais suaves em M n e f : M n R uma função suave, então (a) div (X + Y) div X + div Y. (b) div (fx) f div X + f, X. Definição 3 (Laplaciano). Sejam M uma variedade Riemanniana e f : M R uma função suave. O Laplaciano de f é a função f : M R dada por f div( f). (1.2) Temos agora a seguinte: Proposição 4. Sejam f : M n R uma função suave e {e 1,..., e n } um referencial ortonormal em um aberto U M. Então, f ( ei (e i (f)) ( ei e i )(f) ). Em particular, se o referencial for geodésico em p U, então temos em p que f e i (e i (f)). Definição 4 (Hessiano). Seja f : M R uma função suave. O Hessiano de f em p M é o operador linear Hess f p : T p M T p M definido por Hess f p (υ) υ f.

17 Capítulo 1. Noções Preliminares 6 Segue das propriedades da conexão Riemanniana que se X X(M) é uma extensão de υ a uma vizinhança de p M, então Hess f p (υ) X(p) f. Desta forma, podemos considerar o operador hessiano Hess f : X(M) X(M) definido como Hess f(x) X f. Proposição 5. Se f : M R é uma função suave, então o hessiano de f é um operador linear auto-adjunto. Demonstração. Dados U, V X(M), temos que Hess f(u), V U f, V U f, V f, U V U f, V f, [U, V] + V U U(V(f)) f, [U, V] + V U V(U(f)) + [U, V]f f, V U f, [U, V] V(U(f)) + [U, V]f f, V U [U, V]f V(U(f)) f, V U Hess f(v), U. Apresentamos a seguir um fato importante, cuja prova segue como consequência da definição de hessiano: f tr (Hess f). 1.2 Curvaturas Nesta seção, apresentaremos os conceitos e resultados básicos sobre tensor curvatura. Definição 5 (Curvatura). A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y X(M) uma aplicação R(X, Y) : X(M) X(M) dada por R(X, Y)Z Y X Z X Y Z + [X,Y] Z, Z X(M),

18 Capítulo 1. Noções Preliminares 7 onde é a conexão Riemanniana de M. Um fato básico é: se M R n então R(X, Y)Z 0 para quaisquer X, Y, Z X(R n ). Proposição 6. A curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades: (i) R é C (M)-bilinear em X(M) X(M), isto é, R(fX 1 + gx 2, Y 1 ) fr(x 1, Y 1 ) + gr(x 2, Y 1 ), R(X 1, fy 1 + gy 2 ) fr(x 1, Y 1 ) + gr(x 1, Y 2 ), f, g C (M), X 1, X 2, Y 1, Y 2 X(M). (ii) Para todo par X, Y X(M), o operador curvatura R(X, Y) : X(M) X(M) é C (M)-linear, isto é, R(X, Y)(Z + W) R(X, Y)Z + R(X, Y)W, R(X, Y)(fZ) fr(x, Y)Z, f C (M), Z, W X(M). (iii) Vale a Primeira Identidade de Bianchi. R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y 0. (1.3) (iv) Para todos X, Y, Z, T X(M) valem as seguintes propriedades de simetria: (a) R(X, Y)Z, T + R(Y, Z)X, T + R(Z, X)Y, T 0 (b) R(X, Y)Z, T R(Y, X)Z, T (c) R(X, Y)Z, T R(X, Y)T, Z (d) R(X, Y)Z, T R(Z, T)X, Y. Definição 6 (Curvatura Seccional). Dado um ponto p M e um subespaço bi-dimensional σ T p M, o número real K(σ) K(x, y) R(x, y)x, y x y 2, onde {x, y} é uma base qualquer de σ e x y 2 x, x y, y x, y 2, é chamado de curvatura seccional de σ em p. Pode-se mostrar que K(σ) não depende da escolha dos vetores x, y σ.

19 Capítulo 1. Noções Preliminares 8 Além do fato de que a curvatura seccional tem interessantes interpretações geométricas, sua importância provém do fato de que o conhecimento de K(σ), para todo σ, determina completamente a curvatura R. Isto é um fato puramente algébrico, como mostra o lema abaixo. Lema 2. Seja V um espaço vetorial de dimensão n 2, munido de um produto interno,. Sejam R : V V V V e R : V V V V aplicações trilineares tais que as condições (iii), iv-(a), iv-(b), iv-(c) e iv-(d) da Proposição 6 sejam satisfeitas. Se x, y são dois vetores linearmente independentes, consideremos K(σ) R(x, y)x, y x y 2 e K (σ) R (x, y)x, y x y 2, onde σ é o subespaço bi-dimensional gerado por x e y. Se para todo σ V tivermos K(σ) K (σ), então R R. As variedades Riemannianas de curvatura seccional constante desempenham um papel fundamental no desenvolvimento da Geometria Riemanniana, por possuirem uma geometria relativamente simples e bem conhecida, servem como espaços modelo para geometria de comparação. Além disso, construções geométricas com tais espaços são menos complicadas de serem feitas do que quando se considera variáveis abstratas quaisquer. O lema a seguir apresenta uma caracterização da curvatura para as variedades Riemannianas de curvatura seccional constante. Lema 3. Sejam M uma variedade Riemanniana e p M. Defina uma aplicação trilinear R : T p M T p M T p M T p M por R (X, Y)W, Z X, W Y, Z Y, W X, Z X, W Y Y, W X, Z, para todos X, Y, W, Z T p M. Então M tem curvatura seccional constante igual a K 0 se, e somente se, R K 0 R R onde denota a curvatura de M. Utilizando a curvatura seccional de uma variedade, podemos definir outras curvaturas com importantes propriedades e interpretações geométricas, que serão utilizadas apartir do Capítulo 3 quando tratarmos de formas espaciais. Definição 7 (Curvatura de Ricci). Sejam M uma variedade Riemanniana, p M, x um vetor unitário em T p M e {z 1,..., z n 1, z n x} uma base ortonormal de T p M. A curvatura Ricci de M na direção x em p é definida por Ric p (x) 1 n 1 R(x, z i )x, z i. n 1

20 Capítulo 1. Noções Preliminares 9 Definição 8 (Curvatura Escalar). Sejam M uma variedade Riemanniana, p M e {z 1,..., z n 1, z n } uma base ortonormal de T p M. A curvatura escalar de M em p é definida por R(p) 1 n 1.3 Imersões Isométricas Ric p (z j ). j1 Parte substancial das definições e resultados enunciados nesta seção foram extraídos da referência [6]. ( ) Seja M n+mk,,, uma variedade Riemanniana com métrica, e conexão Riemanniana. Sejam M n uma variedade n-dimensional e f : M n M k uma imersão. Nestas condições, a métrica Riemanniana de M induz de maneira natural uma métrica Riemanniana em M através da definição u, v p df p (u), df p (v) f(p), p M, u, v T p M. Dessa forma, a aplicação f é uma imersão isométrica. Dado p M, existe uma vizinhança U M de p tal que f(u) M é uma subvariedade de M. Portanto existem uma vizinhança U de f(p) e um difeomorfismo Φ : U V R k em um aberto V do R k, tais que Φ aplica difeomorficamente f(u) U em um aberto do subespaço R n R k. Identificaremos U com f(u) e cada vetor v T q M, q U, com o vetor df q (v) T f(q) M. Assim, para cada p M, o produto interno em T p M decompõe T p M na soma direta T p M T p M (T p M), onde (T p M) é o complemento ortogonal de T p M em T p M. Se p M e v T p M, podemos escrever v v T + v, v T T p M, v (T p M). Denominamos v T a componente tangencial de v e v a componente normal de v. Além disso, usando o difeomorfismo Φ podemos estender localmente campos de vetores X, Y de M definidos em f(u) U, a campos de vetores X, Y definidos em U de modo tal que X U X.

21 Capítulo 1. Noções Preliminares 10 Se X e Y são campos locais de vetores em M, denotaremos por X e Y suas extensões locais M. Lema 4. A conexão Riemanniana de M relativa à métrica induzida de M por f, definida abaixo, independe das extensõses X e Y: X Y ( X Y ) T. Definição 9 (Campo Normal). Sejam f : M M uma imersão isométrica, U M uma vizinhança de p M tal que f(u) M é uma subvariedade de M e X X(U) um campo local em M, com U M aberto f(u) U. O campo N diz-se normal a M se N(p) N p (T p M), para todo p f(u) U. Dessa forma, se X e Y são campos locais em M então h(x, Y) X Y X Y é um campo local em M normal a M. Mostra-se que a aplicação h : X(U) X(U) X(U) assim definida é bilinear e simétrica. Observação 2. Expressando a aplicação h em um sistema de coordenadas, verifica-se que o valor de h(x, Y)(p) depende apenas de X(p) e de Y(p). Agora podemos definir a segunda forma fundamental de uma imersão isométrica. Dados p M e η (T p M), a aplicação H η : T p M T p M R dada por H η (x, y) h(x, y), η, x, y T p M, (1.4) é uma forma bilinear e simétrica. Definição 10. Sejam p M e η (T p M). A forma quadrática II η definida em T p M por II η (x) H η (x, x) h(x, x), η (1.5) é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η. Observação 3. : (a) Às vezes se utiliza também a expressão segunda forma fundamental para designar a aplicação h.

22 Capítulo 1. Noções Preliminares 11 (b) Associada à aplicação H η temos a aplicação linear auto-adjunta A η : T p M T p M, definida por A η (x), y H η (x, y) h(x, y), η onde x, y T p M. Proposição 7. Sejam p M, x T p M e η (T p M). Se N é uma extensão local de η normal a M, então A η (x) ( x N ). Considerando o caso particular em que a codimensão da imersão é 1, a imersão f : M n M n+1 é denominada uma hipersuperfície. Sejam f(m) M uma hipersuperfície, p M e η (T p M) unitário. Como A η : T p M T p M é auto-adjunta, existe uma base ortonormal {e 1,..., e n } de T p M formada por autovetores de A η com autovalores associados λ 1,..., λ n, isto é, A η (e i ) λ i e i e 1 i n. Supondo que M e M são orientáveis e estão orientadas, então o vetor η fica univocamente determinado. Se exigirmos que {e 1,..., e n } seja uma base na orientação de M, então {e 1,..., e n, η} é uma base na orientção de M. Neste caso, denominamos os vetores e i de direções principais e os autovaloes λ i de curvaturas principais da imersão f. A aplicação A A η é chamada de operador de Weingarten associado à segunda forma fundamental. Nesse caso, vale a igualdade A η (x) ( x N ) x N. No teorema abaixo, relacionaremos a curvatura seccional de M com a curvatura seccional de M. Se x, y T p M T p M são linearmente independentes, indicaremos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente. Teorema 1 (Teorema de Gauss). Sejam f : M n M n+m uma imersão isométrica, p M e x, y vetores ortonormais de T p M. Então K(x, y) K(x, y) h(x, x), h(y, y) h(x, y) 2. Corolário 1. No caso de uma hipersuperfície f : M n M n+1, a fórmula de Gauss dada no teorema anterior admite uma expressão mais simples. Sejam p M e η (T p M) unitário. Se {e 1,..., e n } é uma base ortonormal de T p M que diagonaliza A A η, com autovalores {λ 1,..., λ n }, então K(e i, e j ) K(e i, e j ) λ i λ j.

23 Capítulo 1. Noções Preliminares 12 Definição 11 (Imersão Geodésica). Uma imersão f : M n M n+m é geodésica em p M se para todo η (T p M), a segunda forma fundamental H η é identicamente nula em p. Este fato equivale a dizer que h é nula em p. A imersão f é totalmente geodésica se é geodésica para todo p M.

24 Capítulo 2 Folheações e o Teorema de Ferus Neste capítulo, apresentaremos alguns conceitos e fatos de fundamental importância para a compreensão dos demais resultados do trabalho. Concentraremo-nos apenas nos fatos mais essenciais. Daremos as definições básicas, alguns exemplos ilustrativos, resultados sem demonstração e em seguida apresentaremos de maneira sucinta o Teorema de Ferus a ser utilizado posteriormente. 2.1 Folheações As definições e os resultados desta seção forma extraídos substancialmente da referência [14]. Definição 12. Uma distribuição tangente (ou simplesmente uma distribuição, ou um campo de k-planos) numa variedade suave M, é uma aplicação D que associa a cada ponto p M um subespaço vetorial de dimensão k de T p M. Uma distribuição é suave se a união de todos estes subespaços formam um subfibrado tangente D D p TM. p M No lema a seguir, apresentamos outra forma de verificarmos a suavidade de uma distribuição. Lema 5. Seja M uma variedade suave e suponha que D TM é uma distribuição k- dimensional. Então D é suave se, e somente se, cada ponto p M possui uma vizinhança U na qual existem campos vetoriais suaves Y 1,..., Y k : U TM tais que Y 1 (q),..., Y k (q) formam uma base para D q em cada q U. 13

25 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 14 Definição 13. Seja D TM uma distribuição suave em M. Uma subvariedade imersa N M é chamada uma variedade integral de D se T p N D p para cada p N. Exemplo 1. Defina uma distribuição em R n \ {0} da seguinte forma: D p é o subespaço de T p (R n \ {0}) ortogonal ao vetor posição e 1 (p) p. Consideremos um referencial local ortonormal {e 1,..., e n }, então D é localmente gerado por {e 2,..., e n }. Assim D é uma distribuição (n 1)-dimensional suave em R n \ {0}. Além disso, para cada ponto p R n \ {0} a esfera de raio p centrada na origem é uma variedade integral. Dizemos que uma distribuição D em M é involutiva se: dados campos suaves X, Y definidos em um aberto U M tais que X p, Y p D p, para todo p U, então o colchete de Lie [X, Y] é tal que [X, Y] p D p, para todo p U. Dizemos que D é integrável se cada ponto de M pertence a uma variedade integral de D. Proposição 8. Toda distribuição integrável é involutiva. Demonstração. Seja D TM uma distribuição integrável. Suponha que X e Y são campos suaves definidos em um aberto U M, tais que X p, Y p D p para todo p U. Seja N uma variedade integral, então X p, Y p D p T p N para todo ponto p N. Daí, X, Y são tangentes à N. Donde segue que [X, Y] também é tangente à N, assim [X p, Y p ] D p. Definição 14. Sejam M uma variedade n-dimensional e D uma distribuição k-dimensional, dizemos que uma carta (U, ϕ) em M é plana se ϕ(u) é um produto de conjuntos abertos conexos U U R k R n k e, nos pontos de U, D é gerado pelos k primeiros campos coordenados. Dizemos que a distribuição D T M é completamente integrável se existe uma carta plana na vizinhança de todo ponto de M. Observe que toda distribuição completamente integrável é integrável, portanto involutiva. A pergunta que surge naturalmente é: vale a recíproca? A resposta é afirmativa, e é dada pelo seguinte Teorema 2 (Frobenius). Toda distribuição involutiva é completamente integrável. Exemplo 2. Seja D a distribuição gerada pelos campos vetoriais V, W : R 3 R 3 definidos por V(x, y, z) x x + y + x(y + 1) z e W(x, y, z) x + y z.

26 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 15 Afirmamos que D é completamente integrável. Para isto, basta mostrarmos que D é involutiva. Com efeito, [ [V, W]f x x + y + x(y + 1) z, x + y z ( x x + ( x + y z y + x(y + 1) z ) ( x f x + f y ] f ) ( f x + y f z ) + x(y + 1) f z x 2 f x + xy 2 f 2 x y + 2 f y x + f z + y 2 f y z + x(y + 1) 2 f z x +xy(y + 1) 2 f z x f x x 2 f x 2 f 2 x y y f z xy 2 f x z f z x 2 f x z xy 2 f z x y 2 f z y xy(y + 1) 2 f z 2 f x y f z. Assim, [V, W]f ( x + y z) f Wf para toda f suave. Logo, [V, W] W D. Portanto, D é involutiva e pelo Teorema de Frobenius D é completamente integrável. Veja que a distribuição D também é gerada pelos campos X W e Y V xw, ou seja, X x + y z e Y y + x z. Não é difícil verificar que o fluxo α t de X e o fluxo β t de Y são, respectivamente ) α t (x, y, z) (x + t, y, z + yt) e β t (x, y, z) (x, y + t, z + xt). Fazendo uso de um argumento, não trivial da teoria das Equações Diferenciais Parciais, temos que as variedades integrais de D são as curvas de níveis da função w(x, y, z) onde (u, v, w) ψ 1 (x, y, z) e ψ(u, v, w) α u β v (0, 0, w). Com um cálculo simples obtemos que ψ(u, v, w) (u, v, z + uv) e w(x, y, z) z xy. Exemplo 3. Seja M uma variedade Riemanniana, dizemos que um campo V X(M) é conforme se L V, 2ψ, para alguma função ψ C (M), onde L V, denota a derivada de Lie da métrica na direção do campo V. A função ψ é o fator conforme de V.

27 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 16 Dizemos que um campo conforme V X(M) é fechado quando X V ψx, para todo X X(M). Esta definição, é uma alusão ao fato de que a sua 1-forma dual é fechada. Considere a distribuição suave V em M definida, em cada ponto p M, como segue V : {w T p M : w, V(p) 0}. Mostraremos que a distribuição V é involutiva. De fato, dados X, Y X(M), tais que X p, Y p Vp, temos que X, V Y, V 0, X V ψx e Y V ψy. Daí, [X, Y], V X Y, V Y X, V X Y, V Y, X V Y X, V + X, Y V X, Y V Y, X V 0. Donde concluímos que [X, Y], V 0, ou seja, [X, Y] p V p. Isto diz que a distribuição é involutiva, pelo Teorema de Frobenius a mesma é completamente integrável. Definição 15. Seja U R n. Uma k-fatia de U é um subconjunto da forma {(x 1,..., x k, x k+1,..., x n ) U : x k+1 c k+1,..., x n c n } para constantes c k+1,..., c n. Sejam M n uma variedade suave e (U, ϕ) uma carta local em M. Seja S U tal que ϕ(s) é uma k-fatia de ϕ(u), então dizemos que S é uma k-fatia de U. Definição 16. Definimos uma folheação de dimensão k em uma variedade M n como a coleção de subvariedades de dimensão k, disjuntas, conexas e imersas em M (chamadas as folhas da folheação), cuja união é M e tal que numa vizinhança de cada ponto p M, existe uma carta suave (U, ϕ) com a propriedade ϕ(u) U 1 U 2, onde U 1 R k, U 2 R n k são conjuntos abertos, e cada folha da folheação intersecta U ou em um conjunto vazio ou em uma união enumerável de fatias de dimensão k. Tal carta é chamada uma carta plana para a folheação. Exemplo 4. Apresentamos quatro exemplos de folheações: (i) (Folheações definidas por submersões) Seja f : M n+k N n uma submersão suave. Pela forma local das submersões, dados p M e q f(p) N, existem cartas

28 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 17 locais (U, ϕ) em M e (V, ψ) em N tais que p U, q V, ϕ(u) U 1 U 2 R k R n, ψ(v) V 2 U 2 e tal que ψ f ϕ 1 : U 1 U 2 U 2 coincide com a projeção (x, y) y. Portanto, as cartas locais (U, ϕ) definem uma estrutura de variedade folheada onde as folhas são as componentes conexas das subvariedades de nível f 1 (c) k-dimensionais, onde c N; (ii) Se M e N são variedades suaves conexas, a coleção de subconjuntos da forma {q} N, onde q varia sobre M, forma uma folheação de M N. Cada folha da folheação é difeomorfa a N; (iii) A coleção de todas as esferas, centradas na origem, é uma folheação (n 1)- dimensional do R n \ {0}; (iv) Sejam u : R n R uma função suave e M n {(x, u(x)) : x R n } o gráfico de u. A família F {M + c : c R} {(x, u(x) + c) : x R n e c R} é uma folheação de dimensão n do espaço Euclidiano R n+1. O lema seguinte relaciona involutividade com folheação. Lema 6. Seja F uma folheação da variedade suave M n. A coleção de todos os espaços tangentes nas folhas de F forma uma distribuição involutiva em M. Portanto, temos uma generalização do Teorema de Frobenius. Teorema 3 (Teorema Global de Frobenius). Seja D uma distribuição involutiva em uma variedade suave M. A coleção de todas as variedades integrais conexas de D formam uma folheação de M. Definição 17. Seja F uma folheação de dimensão k de uma variedade n-dimensional M. Então chamaremos de codimensão da folheação F ao número n k. O seguinte resultado nos será bastante útil e sua demonstração encontra-se em [12]. Proposição 9. Sejam F uma folheação de codimensão 1 de uma variedade Riemanianna conexa M e f : M R uma função que é constante ao longo das folhas de F. Se f não é constante em M, então o conjunto contém pelo menos uma folha compacta. A {x M; f(x) max M (f(x))}

29 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus Teorema de Ferus Ao leitor mais curioso, que deseja obter mais informações a cerca das definições e resultados que apresentaremos nesta seção, indicamos a referência [15]. Seja f : M n M n+k uma imersão isométrica. Dado p M, o subespaço de T p M definido como (p) {u T p M : h(u, w) 0, w T p M}, onde h é a segunda forma fundamental de f, é o subespaço de nulidade relativa de f em p. A dimensão υ(p) de (p) é o índice de nulidade relativa de f em p. Considere um variedade Riemanniana M n, e uma distribuição suave D definida em um aberto U M, que é involutiva e possui folhas totalmente geodésicas. Defina a distribuição D T em U tomando para cada x U o complemento ortogonal (D x ) de D x em T x M. Associamos para cada X D a aplicação C X : D D Y C X Y P( Y X), onde P : TU D é a projeção ortogonal. A aplicação C : D D D (X, Y) C(X, Y) C Y X, com X D e Y D, é um tensor, pois C(fX, Y) C fx Y P( Y fx) P(f Y X + Y(f)X) P(f Y X) fc X Y fc(x, Y) e C(X, fy) C X fy P( fy X) P(f Y X) fp( Y X) fc(x, Y)

30 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 19 para toda f C (U). Observe que D é involutiva se e somente se C X é simétrica para todo X D. Neste caso, C X é precisamente o operador forma na direção de X da inclusão das folhas de D em M. Seja Z D e Y D. Como Z W D, para todo W D, temos que e além disso, 0 Z Y, W Z Y, W, Z Y D (2.1) para todo Z D e Y D. Em particular, definimos a derivada covariante de C X por ( Z C X )Y Z (C X Y) C X Z Y. (2.2) Proposição 10. O operador C γ ao longo de uma geodésica γ contida na folha de D, satisfaz a seguinte equação diferencial: D dt C γ C2 γ + P(R(, γ )γ ). (2.3) Demonstração. Seja Y TM e Z D. Por (2.1) temos que Z P(Y) D. Assim Z (Y P(Y)) D. Além disso, P( Z X) P( Z (Y P(Y))) + Z P(Y) Z P(Y). (2.4) Sejam X D uma extensão local de γ e Y D. Ao longo de γ por (2.4) e por (2.2) temos que ( X C X )Y X (C X Y) C X X Y X ( P( Y X)) + P( X YX) P( X Y X) + P( X YX) P(R(Y, X)X Y X X + [Y,X] X) + P( X YX) P(R(Y, X)X) + P( Y XX). Onde P( Y X X) C X XY 0, pois X X 0 ao longo de γ. Sendo P( Y XX) C γ P( Y X) C 2 γ Y, obtemos que ( D dt C γ ) Y C 2 γ Y + P(R(Y, γ )γ ).

31 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 20 Definição 18. Seja f : M n M n+k uma imersão isométrica. Denotaremos por υ 0 o índice de nulidade relativa mínima de f, definido como υ 0 min p M υ(p), onde υ(p) é o índice de nulidade relativa de f em p M. Na proposição seguinte, apresentamos propriedades satisfeitas pelo índice de nulidade relativa. Proposição 11. Para uma imersão isométrica f : M n M n+k temos: (i) A distribuição de nulidade relativa p (p) é suave em qualquer subconjunto aberto onde υ é constante; (ii) O conjunto O {p M; υ(p) υ 0 } é aberto. Temos o seguinte Lema 7. Seja f : M n M n+k (c) uma imersão isométrica. Para cada W T (γ(0)), existe um único campo vetorial Y sobre γ [0,b) tal que: (1) Y(0) W; (2) D dt Y + C γ Y 0, 0 t < b, e Y se estende suavemente a t b. Demonstração. Segue do Teorema de Existência e Unicidade, da Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias, que os itens (1) e (2) são válidos. Desta forma, nos resta mostrar que Y se estende suavemente a t b. Calculando a segunda derivada temos que 0 D2 dt Y + D 2 dt C γ Y ( ) D2 D dt Y + 2 dt C D γ Y + C γ dt Y ( ) D2 D dt Y + 2 dt C γ Y C 2 γ Y D2 dt 2 Y + P(R(Y, γ )γ ) D2 dt 2 Y + cy, onde a última equação segue da Proposição (10). Isto nos diz que Y é solução de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes em [0, b), e assim estende-se a t b.

32 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 21 Finalmente, enunciamos e demonstramos o Teorema 4 (Ferus). Sejam M uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c, f : M n M n+k (c) uma imersão isométrica e U M um conjunto aberto com índice de nulidade relativa constante igual a m. Então, em U, temos (i) A distribuição de nulidade relativa é suave e integrável, e suas folhas são totalmente geodésicas em M n e M n+k ; (ii) Se γ : [0, b] M é uma geodésica tal que γ([0, b]) está contido em uma folha de, então υ(γ(b)) m; (iii) Se M é completa, então as folhas da distribuição com nulidade relativa mínima são completas. Demonstração. Dados X, Y e Z TM, temos que ( ZA)(X, Y) ZA(X, Y) A( Z X, Y) A(X, Z Y) 0 (2.5) Daí, pela equação de Codazzi segue que 0 ( XA)(Z, Y) A(Z, X Y). Assim X Y. Analogamente Y X, donde obtemos que [X, Y] e concluímos que é involutiva. Pelo Teorema 2 segue que é completamente integrável. Além disso X Y X Y + A(X, Y) X Y, o que mostra que as folhas são totalmente geodésicas em M n e M n+k. E portanto está demonstrado o item (i). Sejam F uma folha de contendo γ([0, b)) e Z um campo de vetores, paralelo ao longo de γ, tal que Z(γ(b)) (γ(b)). É suficiente mostrar que Z(γ(0)) (γ(0)). Daí, teremos que υ(γ(0)) υ(γ(b)) e assim υ(γ(0)) υ(γ(b)). Sejam X uma extensão de γ em e Y como no Lema 7. Temos que, ( ) D γ h(y, Z) ( Xh)(Y, Z) + h dt Y, Z ( ) D ( Y h)(x, Z) + h dt Y, Z ( ) D h( Y X, Z) + h dt Y, Z h (C γ Y + Ddt ) Y, Z 0.

33 Capítulo 2. Folheações e o Teorema de Ferus 22 Em particular, h(y, Z) é constante ao longo de γ e se anula em γ(b). De fato, como Z(γ(b)) (γ(b)) temos A(Y(γ(0)), Z(γ(0))) 0 e, portanto, Z(γ(0)) (γ(0)). Isto prova o item (ii). O item (iii) segue imediatamente de (ii). Exemplo 5. Seja f : M 2 R 3 uma superfície com curvatura gaussiana nula, tal que υ 1 em M. Então pelo Teorema de Ferus, a distribuição é integrável e possui folhas totalmente geodésicas em M e em R 3, que são retas.

34 Capítulo 3 O operador L r Seja M n+1 (c) uma variedade Riemanniana orientável simplesmente conexa de curvatura seccional constante c. Uma vez que M é orientável, podemos considerar um elemento de volume dm globalmente definida sobre M. Considere agora, uma imersão isométrica x : M n M n+1 (c) de uma variedade Riemanniana orientável compacta conexa M n. Sejam A o operador de Weingarten da imersão x, S r λ i1 λ ir a i 1 < <i r r-ésima função simétricas elementar associada a A e H r S r ( n r) a r-ésima curvatura média. Lembremos que, as funções simétricas elementares S r associadas a A podem ser definidas usando o polinômio característico de A, a saber: det(ti A) (t λ 1 ) (t λ n ) ( 1) r S r t n r. Proposição 12. Seja x : M n M n+1 (c) uma imersão num espaço de curvatura seccional constante c. Então a curvatura escalar R de M é dada por Em particular, S 2 0 se, e só se, R c. n(n 1)(R c) 2S 2. Demonstração. Seja {e 1,..., e n } a base ortonormal de T p M que diagonaliza A, associada aos autovalores {λ 1,..., λ n }. Então, por definição temos que Assim, R(p) 1 n Ric p (e j ) 1 n 1 Ric p (e j ). j1 R(e j, e i )e i, e j. i j 23 r

35 Capítulo 3. O operador L r 24 Daí, obtemos que R(p) 1 n(n 1) 1 n(n 1) 1 n(n 1) R(e j, e i )e i, e j j1 ij i j i j R(e j, e i )e i, e j j1 K(e i, e j ). j1 Pela Equação de Gauss, segue que K(e i, e j ) c + λ i λ j. Donde obtemos n(n 1)R(p) i j (c + λ i λ j ), j1 isto é, Portanto, n(n 1)R(p) cn(n 1) + 2 i<j n(n 1)(R c) 2S 2. λ i λ j. Na proposição a seguir, estabelecemos uma desigualdade que será de fundamental importância para demonstração de alguns resultados. pode ser encontrada em [2]. A demonstração da proposição Proposição 13. Dados n N números reais λ 1,..., λ n, para cada 0 r n defina S r λ i1 λ ir e H r S r ( n i 1 < <i r r). (i) Para todo 1 r < n, temos que H 2 r H r 1 H r+1. Além disso, a igualdade ocorre para r 1 ou para algum 1 < r < n, com H r+1 0, se e somente se, λ 1... λ n ; (ii) Se H 1, H 2,..., H r > 0 para algum 1 < r n, então vale a seguinte desigualdade H 1 H 2 3 H 3... r Hr. Além disso, se a igualdade ocorre para algum 1 j < r, então λ 1... λ n ; (iii) Se para algum 1 r < n temos que H r H r+1 0, então H j 0 para todo r j n. Em particular, no máximo r 1 dos λ i são diferentes de zero. As transformações clássicas de Newton P r são definidas indutivamente por:

36 Capítulo 3. O operador L r 25 P 0 I P r S r I AP r 1. r Segue da fórmula de recorrência que P r ( 1) j S r j A j, onde S 0 1. Como A é um operador auto-adjunto, segue que cada A j também o é. Por outro lado, como a soma de operadores auto-adjuntos é um operador auto-adjunto, segue da expressão obitida que, para cada r, P r é um operador auto-adjunto. Sejam {e 1,..., e n } uma base ortonormal de autovetores de A, correspondendo respectivamente aos autovalores λ 1,..., λ n. Da expressão obtida para P r, segue que ( r ) P r (e i ) ( 1) j j S r j λ i e i. j0 Assim, cada P r possui os mesmos autovetores de A. Representando por A i a restrição da transformação A ao subespaço normal a e i, e por S r (A i ) a r-função simétrica associada a A i. Considerando S n+1 0, no lema abaixo apresentamos alguns resultados clássicos sobre os autovalores do operador P r. Lema 8. Para cada 1 r n 1, vale: (1) P r (e i ) S r (A i )e i, para cada 1 i n; (2) tr(p r ) S r (A i ) (n r)s r ; (3) tr(ap r ) λ i S r (A i ) (r + 1)S r+1 ; j0 (4) tr(a 2 P r ) λ 2 is r (A i ) S 1 S r+1 (r + 2)S r+2. onde tr denota o traço do operador. Demonstração. Para provarmos o item (1), faremos indução sobre r. Para r 1 temos P 1 (e i ) (S 1 I A)e i (λ λ n )e i λ i e i (λ λ i + + λ n )e i S 1 (A i )e i. Agora suponhamos que o resultado é válido para r 1, isto é, P r 1 (e i ) S r 1 (A i )e i.

37 Capítulo 3. O operador L r 26 Desta forma, P r (e i ) S r I(e i ) A(P r 1 (e i )) (S r S r 1 (A i ) λ i ) e i S r (A i )e i. Para o item (2), observe que os autovalores de P r associados a base ortonormal e 1,..., e n são S r (A 1 ),..., S r (A n ), respectivamente. Assim tr(p r ) S r (A i ), o que prova a primeira igualdade do item (2). Para provar a segunda igualdade, considere S r e S r (A i ) como polinômios homogêneos nas variáveis λ i. Se i {j 1,..., j r }, cada monômio λ j1 λ jr de S r é também um monômio de S r (A i ). Assim, cada monômio aparece exatamente n r vezes no somatório S r (A i ). Reciprocamente, cada monômio de S r (A i ) é um monômio de S r. Portanto, S r (A i ) (n r)s r o que prova a segunda igualdade do item (2). Segue do item (1) que os autovalores de AP r, associados a base ortonormal {e 1,..., e n } são, respectivamente, λ 1 S r (A 1 ),..., λ r S r (A n ). Assim tr(ap r ) λ i S r (A i ), o que prova a primeira igualdade do item (3). Da definição do operador P r segue que tr(ap r ) tr(s r+1 I) tr(p r+1 ) ns r+1 (n + r 1)S r+1 (r + 1)S r+1. Concluindo a prova do item (3). Novamente pelo item (1), temos que os autovalores de A 2 P r são, respectivamente, λ 2 1S r (A 1 ),..., λ 2 rs r (A n ). Assim tr(a 2 P r ) λ 2 is r (A i ), o que prova a primeira igualdade do item (4). Da igualdade P r+1 S r+1 I AP r concluímos que tr(a 2 P r ) tr(s r+1 A) tr(ap r+1 ) S 1 S r+1 (r + 2)S r+2, finalizando a demonstração do lema. Associado a cada transformção de Newton P r, da imersão x : M n M n+1, temos o operador diferencial de segunda ordem L r definido abaixo por: L r (f) tr(p r Hess (f)). Quando M n+1 é uma variedade Riemanniana orientável simplesmente conexa de curvatura seccional constante c, H. Rosenberg provou em [10], como uma consequência da equação de Codazzi que L r (f) div (P r f). Uma consequência muito útil deste fato é dada na seguinte proposição.

38 Capítulo 3. O operador L r 27 Proposição 14. Seja x : M n M n+1 (c) uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana compacta sem bordo em um forma espacial. Então, L r (f)dm 0 e fl r (f)dm P r f, f dm. M M M Demonstração. Como podemos escrever L r na forma divergente L r (f) div (P r f), segue diretamente do Teorema da Divergência que L r (f)dm 0. Para provar a segunda igualdade, observe que, das propriedades do operador divergente, temos M div (f P r f) f L r (f) + f, P r f. Pelo Teorema da Divergência, segue que 0 div (f P r f)dm f L r (f)dm + f, P r f dm, M M M donde obtemos a igualdade desejada. Representaremos por M n+1 (c) o espaço Euclidiano (n + 1)-dimensional, no caso onde c 0, ou a esfera Euclidiana (n + 1)-dimensional, no caso em que c > 0, ou o espaço Hiperbólico (n + 1)-dimensional, no caso em que c < 0. O modelo do espaço Hiperbólico considerado é definido a seguir: A métrica de Lorentz em R n+2 é definida do seguinte modo: consideremos a base canônica a 1 (1, 0,, 0),, a n+2 (0,, 0, 1) e introduzamos a forma bilinear simétrica, em R n+2 definida por a i, a j δ ij, a n+2, a i 0, a n+2, a n+2 1, onde 1 i, j n + 1. A forma bilinear, define um produto interno em R n+2 (que não é positivo definido), denominado de métrica de Lorentz. Indicaremos o espaço Euclidiano R n+2 munido da métrica, por E n+2. Considere agora, o conjunto dos pontos x E n+2 tais que x, x 1. Escrevendo x x 1 a x n+1 a n+1 + x n+2 a n+2, temos que x, x x x x 2 n+1 x 2 n+2 1. Um tal conjunto é um hiperbolóide de duas folhas em E n+2, a componente conexa do hiperbolóide correspondente a x n+2 > 0 será indicada por H n+1 ( 1) e denominada de espaço Hiperbólico. Mostra-se que: a restrição da forma bilinear, a H n+1 ( 1) define

39 Capítulo 3. O operador L r 28 uma métrica; H n+1 ( 1) tem curvatura seccional constante igual a 1; o espaço tangente em cada ponto de H n+1 ( 1) é normal a x, na métrica de Lorentz. Considere um vetor fixo U R n+2. Dada um imersão isométrica x : M n M n+1 (c), seja N o campo unitário normal à imersão. As funções suporte f N, U e g x, U têm um importante papel na teoria das imersões. Alguns autores, por exemplo [4] e [10], obtiveram importantes fórmulas envolvendo tais funções suportes. Apresentaremos na proposição abaixo as expressões do gradiente e do Laplaciano das funções suporte definidas. Para isto, apresentamos a definição de derivada covariante de tensores e algumas propriedades básicas. Definição 19. Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana M é uma aplicação multilinear T : X(M) X(M) C (M). }{{} r fatores Definição 20. Seja T um tensor de ordem r numa variedade Riemanniana, com conexão. A derivada covariante T de T é um tensor de ordem (r + 1) dado por T(Y 1,..., Y r, X) X(T(Y 1,..., Y r )) T(Y 1,..., X Y i,..., Y r ). Para cada X X(M), a derivada covariante X T de T em relação a X é um tensor de ordem r dado por X T(Y 1,..., Y r ) T(Y 1,..., Y r, X). Observação 4. Nas definições 19 e 20, se considerarmos o caso particular r 2 temos T(Y, X) X T(Y) T( X Y). Além disso, mostra-se no caso r 1 que tr( X T) X(tr T). Proposição 15. Para toda imersão x : M n M n+1 (c) onde M n+1 (c) representa o R n+1, a esfera Euclidiana S n+1 (1) ou o espaço Hiperbólico H n+1 ( 1), as funções suporte f N, U e g x, U satisfazem: g U ; L r (g) (r + 1)S r+1 f c(n r)s r g; f A(U ); L r (f) [S 1 S r+1 (r + 2)S r+2 ] f + c(r + 1)S r+1 g U T S r+1. onde U denota a projeção do campo U sobre o fibrado tangente da imersão x.

40 Capítulo 3. O operador L r 29 Demonstração. Denotaremos por e as conexões de M n e M n+1 (c), respectivamente. Dado p M, seja {e 1 (p),..., e n (p)} uma base de T p M que diagonaliza o operador de Weingarten A em p. Sejam λ i,..., λ n os autovalores de A associados a e 1 (p),..., e n (p), respectivamente. Denotemos por λ r i,..., λr n os autovalores de P r associados aos vetores e 1 (p),..., e n (p), respectivamente. Seja {e 1,..., e n } o referencial geodésico, em p, que estende a base acima a uma vizinhança de p em M n+1 (c). Veja que, e i (g) e i, U e i, U. Segue que, g U. Assim, no ponto p, temos que L r (g) tr (P r Hess g) P r Hess g(e i ), e i Observe também que Hess g(e i ), P r (e i ) λ r i ei g, e i λ r i Hess g(e i ), e i λ r i ei U, e i λ r i ei (U N, U N c x, U x), e i λ r i ( N, U A(e i), e i c x, U e i, e i ) (λ r i λ i N, U c λ r i x, U e i, e i ). tr(ap r ) AP r (e i ), e i P r (e i ), A(e i ) λ r ie i, λ i e i λ r iλ i e i, e i λ r iλ i. (3.1) Pelo Lema 8 e por (3.1), temos que L r (g) (r + 1)S r+1 f c(n r)s r g. Agora observe que, e i (f) ei N, U A(e i ), U e i, A(U ). Donde obtemos que f A(U ). Para o cálculo do L r (f), usamos em ( ) que o operador P r é livre de divergência, a demonstração deste fato pode ser encontrada em [10]. Mais

41 Capítulo 3. O operador L r 30 precisamente, temos L r (f) tr (P r Hess f) P r Hess f(e i ), e i P r ( ei f), e i ( ) ei P r ( f), e i ei P r A(U ), e i P r A( ei U ), e i (P r A)(e i, U ), e i λ r i λ i ei U, e i tr ( U (P r A)) λ r i λ i ei (U N, U N c x, U x), e i U (tr(p r A)) λ r i λ i ( N, U A(e i ), e i c x, U e i, e i ) (r + 1) U S r+1 ( λ r i λ 2 i N, U c λ r i λ i x, U ) (r + 1) U S r+1. Do mesmo modo, temos que tr(a 2 P r ) n A 2 P r (e i ), e i AP r (e i ), A(e i ) AP r (e i ), λ i e i λ r i e i, λ 2 ie i P r (e i ), λ i A(e i ) λ r iλ 2 i. (3.2) Portanto pelo Lema 8, por (3.1) e por (3.2) temos que L r (g) [S 1 S r+1 (r + 2)S r+2 ] f + c(r + 1)S r+1 g U T S r+1. Definição 21. Seja M n uma variedade Riemanniana orientada e X X(M). Dada ω Ω k (M), a contração de ω na direção de X é a (k 1)-forma ι X ω Ω k 1 (M) dada por (ι X ω) p (u 1,..., u k 1 ) ω p (X p, u 1,..., u k 1 ) para todo p M e quaisquer u 1,..., u k 1 T p M.

42 Capítulo 3. O operador L r 31 Proposição 16. Sejam (M n, g) uma variedade Riemanniana orientada e dm a forma canônica do elemento de volume. Então para qualquer campo vetorial X, vale d(ι X dm) div X dm. Demonstração. Seja p M. Tome uma base ortonormal {e 1,..., e n } de T p M. Como a n-forma dm é paralela, temos (D e1 (ι X dm)) p (e 1,..., e n ) (dm) p (D e1 X, e 1,..., e n ). Donde concluímos que (d(ι X dm)) p dm(e 1,..., D e1 X,..., e n ) g(e i, D ei X) dm(e 1,..., e n ) div X dm.

43 Capítulo 4 Gráficos no Espaço Euclidiano Em [18], S.T. Yau obteve uma versão do Teorema de Stokes para variedades Riemanniana completas não-compactas, a saber: Lema 9. Seja ω uma (n 1)-forma suave integrável definida em M n. Então existe uma sequência de domínios B i M n tal que M n i lim dω 0. i B i B i, B i B i+1, e A demonstração deste teorema utiliza argumentos da teoria geométrica da medida e a fórmula da Co-área. Definição 22. Seja M n uma variedade Riemanniana. Dizemos que uma função suave f : M n R é harmônica (subharmônica) se f ( )0. Aplicando o resultado do lema acima para ω ι f dm, onde f : M R é uma função suave e ι f dm é a contração do elemento de volume dm na direção de f, Yau estabeleceu a seguinte extensão do Teorema de Hopf para variedades Riemanniana completas não-compactas. Corolário 2. Sejam M uma variedade Riemanniana completa não-compacta e u : M R uma função subharmônica tal que M du <, então u é harmônica. Suponhamos que M seja orientada pelo elemento de volume dm, denotaremos por L 1 (M) o espaço das funções Lebesgue integráveis em M. Proposição 17. Seja X um campo de vetores suave em M, variedade n-dimensional completa, não-compacta e orientada, tal que div X não muda de sinal em M. Se X L 1 (M), então div X 0 em M. 32

44 Capítulo 4. Gráficos no Espaço Euclidiano 33 Demonstração. Suponha, sem perda de generalidade, que div X 0 em M. Seja ω a (n 1)-forma em M dada por ω ι X dm, isto é, a contração de dm na direção do campo X. Se {e 1,..., e n } é um referencial ortonormal em um aberto U M, com coreferencial {ω 1,..., ω n }, então ι X dm ( 1) i 1 ω i (X)ω 1... ω i... ω n. Por outro lado, se escrevermos X x j e j, temos j1 ( n ) ω i (X) ω i x j e j x j ω i (e j ) x j δ ij x j e j, e i X, e i. j1 j1 j1 j1 Assim, ι X dm ( 1) i 1 X, e i ω 1... ω i... ω n. Como as (n 1)-formas ω 1... ω i... ω n são ortonormais em Ω n 1 (M), temos que ω 2 X, e i 2 X 2. Isto nos diz que ω L 1 (M), pois X L 1 (M). Além disso, pela Proposição 16 temos que dω d(ι X dm) div X dm. Logo, tomando B i como no Lema 9 temos div X dm dω i 0. B i B i Agora usando nossa hipótese div X 0, segue que div X 0. Agora, sejam M n+1 uma variedade Riemanniana (n + 1)-dimensional e M uma hipersuperfície orientável, completa, imersa em M, orientada pela escolha de um campo de vetores normal unitário suave N. Seja A : TM TM o operador de Weingarten, isto é, A(X) X N onde é a conexão de M. Corolário 3. Seja x : M n M n+1 (c) uma hipersuperfície completa, orientada de uma forma espacial M n+1 (c), com segunda forma fundamental limitada. Se f : M R é uma função suave tal que f L 1 (M) e L r (f) não muda de sinal em M, então L r (f) 0. Demonstração. Os autovalores de A são funções contínuas em M. Pela expressão r P r ( 1) j S r j A j, segue-se que P r é limitada em M. Daí, existe uma contante j0

45 Capítulo 4. Gráficos no Espaço Euclidiano 34 k > 0 tal que P r k. Logo, P r ( f) P r f k f L 1 (M). Como L r (f) div (P r f) não muda de sinal em M, pela proposição anterior segue que L r (f) 0 em M. Estamos interessados em analisar o caso M n+1 (0) R n+1. Seja U um vetor fixo de R n+1 e considere f, g : M R dadas por: f N, U e g x, U, onde N é o campo vetorial unitário normal a M. Denotemos por U T sobre T p M para qualquer p M. a projeção de U Consideremos o caso que M é o gráfico de uma função suave u : R n R, isto é, M n {(x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )) : (x 1,..., x n ) R n }. Suponha ainda que U ( V, 1), onde V é um vetor fixo de R n. Consideremos agora a parametrização ϕ : R n M n dada naturalmente por ϕ(x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )). Com um cálculo direto, obtemos as expressões abaixo para os campos coordenados ϕ 1,..., ϕ n : ϕ i ϕ x i e i + u i e n+1, onde {e 1,..., e n, e n+1 } é base canônica do R n+1. Encontraremos a expressão do campo normal unitário a M. Para isto, suponha que Daí, 0 N, ϕ k n+1 N α i e i. n+1 α i e i, e k + u k e n+1 n α i e i + α n+1 e n+1, e k + u k e n+1 n n α i e i, e k + α i e i, u k e n+1 + α n+1 e n+1, e k + α n+1 e n+1, u k e n+1 α k + α n+1 u k,