UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FRANCISCO CALVI DA CRUZ JUNIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FRANCISCO CALVI DA CRUZ JUNIOR FOLHEAÇÕES COMPLETAS DE FORMAS ESPACIAIS POR HIPERSUPERFÍCIES FORTALEZA-CE 2010

2 FRANCISCO CALVI DA CRUZ JUNIOR FOLHEAÇÕES COMPLETAS DE FORMAS ESPACIAIS POR HIPERSUPERFÍCIES Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de concentração: Matemática Orientador: Prof. Dr. Antônio Caminha Muniz Neto FORTALEZA-CE 2010

3 C957f Cruz Junior, F. C. Folheações completas de formas especiais por hipersuperfíceis/ Francisco Calvi da Cruz Junior f. Orientador: Prof. Dr. Antônio Caminha Muniz Neto Área de concentração: Matemática Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Departamento de Matemática, Fortaleza, Geometria Diferencial CDD

4 Aos meus pais, aos meus irmãos e aos meus grandes amigos.

5 AGRADECIMENTOS À minha mãe, pelo amor, pelo afeto e por sempre acreditar em mim. Ao meu pai, pelo amor e pela forte presença nos momentos de dificuldade. Aos meus irmãos Abraão e Otávio, por sempre estarem ao meu lado e pelo amor sincero e verdadeiro. À minha irmã Marta, pela amizade, pelo respeito, pelo amor e pelos conselhos valiosos. Ao meu cunhado Leilson, pela amizade e pelo respeito e aos meus sobrinhos Gabriel e Danilo, pelos inúmeros momentos de felicidade. À minha baixinha Antônia Evandécia, pelo amor, pela força e por sempre estar ao meu lado em todos os momentos. Ao Professor Antônio Caminha Muniz Neto, pela participação essencial e efetiva neste trabalho, por sua paciência com minhas deficiências, pelo seu apoio e pela orientação. Aos professores Abdênago Barros, Lucas Barbosa, Luquésio, Marcos Melo, Fábio Montenegro, Robério e Othon, pela dedicação nas disciplinas ministradas. À Andrea, pela prestatividade e eficiência nos assuntos burocráticos da pós-graduação. Aos professores Mário de Assis e Francisco Eduardo, pela amizade, pelo convívio, pelo apoio e por serem meus maiores incentivadores durante o período de graduação na URCA. Em especial aos professores Wilson Hugo e Francisco Augusto, pelo apoio, incentivo e pelos ensinamentos durante a iniciação científica. Ao meu amigo Flávio França, pela amizade, pelos ensinamentos e por ser parte responsável da minha história de sucesso. Ao amigo Marco Antonio Lázaro, pela amizade, pelos ensinamentos, pelo apoio e pelos conselhos. Ao meu amigo Leon Denis, pela amizade sincera e verdadeira, por sempre oferecer um ombro amigo e por seus valiosos conselhos. Aos meus amigos e companheiros de pós-graduação José Deibson e Filipe, pela amizade, pelo convívio saudável e pelos momentos de descontração. Aos companheiros Adam, Alexsandro Belém, Ernani Junior, Kelton, Tiago Veras, Edinardo, Cícero de Aquino, José Nazareno, Rondinelle, João Fran-

6 cisco (Piaget), Tiago Cruz, Tiarlos, Francisco Chaves e Serginho ( Malandro ), pelas reflexões, críticas, sugestões e momentos de descontração durante o período de pós-graduação. Aos meus grandes amigos, conterrâneos e companheiros de todas as horas, André Borges ( O bacana ), Brunos Borges, Fagner França, Gilberto ( Bebel ) e José Carlos ( Carne Moída ), pelo apoio, pelo incentivo e, claro, pelos momentos de descontração. Em especial ao meu grande amigo Adriano Delfino ( Cumpadi ), por sua amizade sincera e verdadeira, por sempre acreditar em mim e por ser parte importante em minha vida. Aos meus amigos de graduação Eryvelton, Alci, Ricarte e Ariane, pelas amizades sinceras e pelo convívio. Aos meus professores de graduação Paulo César, Ricardo, Humberto, Carlos Alberto e Evandro, por seus ensinamentos. Ao Cnpq, pelo auxílio financeiro. 6

7 RESUMO Estudamos folheações de formas espaciais por hipersuperfícies completas, sob certas condições sobre as suas curvaturas médias de ordem superior. Em particular, no espaço euclidiano obtemos um Teorema tipo-bernstein para gráficos cujas curvaturas média e escalar não mudam de sinal (podendo ser não constantes). Nós também estabelecemos a não existência de folheações da esfera padrão cujas folhas são completas e têm curvatura escalar constante, alargando assim um teorema de Barbosa, Kenmotsu e Oshikiri. Para o caso mais geral de folheações r-mínimas do espaço euclidiano, possivelmente com um conjunto singular, somos capazes de invocar um teorema de D. Ferus para dar condições sob as quais as folhas não-singulares são folheadas por hiperplanos.

8 ABSTRACT We study foliations of space forms by complete hypersurfaces, under some mild conditions on its higher order mean curvatures. In particular, in Euclidean space we obtain a Bernstein-type theorem for graphs whose mean and scalar curvature do not change sign but may otherwise be nonconstant. We also establish the nonexistence of foliations of the standard sphere whose leaves are complete and have constant scalar curvature, thus extending a theorem of Barbosa, Kenmotsu and Oshikiri. For the more general case of r-minimal foliations of the Euclidean space, possibly with a singular set, we are able to invoke a theorem of Ferus to give conditions under which the nonsigular leaves are foliated by hyperplanes.

9 Sumário 1 Introdução 10 2 Preliminares Campos de Vetores Variedades Riemannianas Conexões e Geodésicas Operadores Diferenciais Curvatura, Curvatura Seccional, Curvatura de Ricci e Escalar Tensores em Variedades Riemannianas Imersões Isométricas A Segunda Forma Fundamental As Equações Fundamentais de Uma Imersão Isométrica Transformações de Newton 35 4 Folheações Distribuições Tangentes Folheações O Teorema de D. Ferus Um Teorema Tipo Hopf para Variedades Completas 59 6 Gráficos No Espaço Euclidiano 63 7 Folheações de Formas Espaciais 69 9

10 Capítulo 1 Introdução Estudaremos neste trabalho folheações de formas espaciais por hipersuperfícies completas, supondo que as folhas da folheação tenham segunda forma fundamental limitada e que duas curvaturas médias de ordem superior não mudam de sinal. Primeiro estudamos o caso particular em que a variedade é o gráfico de uma função diferenciável. Assim, obtemos o Teorema 6.1. Seja M n R n+1 o gráfico de uma função u : R n R tal que u V L 1 (M), para algum V R n e Hessu 2 c ( 1 + u 2), para algum c > 0. Se existem 0 r n 1 tais que as funções simétricas elementares S r+1 e S r+2 não mudam de sinal em M, então M possui nulidade relativa ν n r. Em particular, se S r 0, então o gráfico é folheado por hiperplanos de dimensão n r. Que fornece uma estimativa para a nulidade relativa da variedade e, por um Teorema de D. Ferus, mostra que a variedade é folheada por hiperplanos de uma determinada dimensão. Mostramos, por dois exemplos, que nossas hipóteses não são supérfluas. Como conseqüência interessante do Teorema 6.1, obtemos, no Corolário 6.2, um Teorema tipo-bernstein para este gráfico, desde que a curvatura média e escalar não mudem de sinal (podendo ser não constantes). Passando para o caso geral, isto é, folheações transversalmente orientadas de formas espaciais, seguimos a abordagem de [2], calculando na Proposição 7.1 a divergência do campo vetorial P r N N sobre as folhas da folheação, onde N é um campo vetorial normal unitário e P r é a r ésima transformação de Newton da folheação com respeito a N. Com isso, mostramos o 10

11 Teorema 7.3. Não existem, na esfera Euclidiana, folheações transversalmente orientadas e diferenciáveis, cujas folhas são completas e possuem curvatura escalar constante e maior que um. Consideramos também uma generalização mais direta do problema de Bernstein, ou seja, o estudo de folheações r mínimas (possivelmente com um conjunto singular) do espaço Euclidiano. Nesse sentido, também somos capazes de invocar um teorema de Ferus para provar o Teorema 7.5. Seja F folheação transversalmente rientada e diferenciável de codimensão um de R n+1, cujas folhas são completas, r minimais e tais que S r não mudam de sinal sobre elas. Se X L 1 e A é limitada ao longo de cada folha, então a nulidade relativa de cada folha é, pelo menos, n r. Em particular, se S r 0 em uma folha, então esta folha é folheada por hiperplanos de dimensão n r. Além da fórmula para a divergência de P r N N, outra ferramenta central para o nosso trabalho é uma análise mais aprofundada, realizada na Proposição 5.3 e no Corolário 5.4, da extensão de S. T. Yau para o Teorema de H. Hopf de funções subharmônicas em variedades Riemannianas completas e não-compactas. Este trabalho se baseia no artigo Complete foliations of space forms by hypersurfaces de F. Camargo, A. Caminha e P. Sousa [3]. 11

12 Capítulo 2 Preliminares 2.1 Campos de Vetores Seja M n uma variedade diferenciável n dimensional e considere uma função f : M n R k. Definição 2.1. Dizemos que f é uma função diferenciável se, para todo p M n, existe uma carta diferenciável (U,ϕ) para M n cujo domínio contém p e tal que a função composta f ϕ 1 é diferenciável sobre o subconjunto aberto Ũ = ϕ(u) de R n Podemos destacar as funções f : M n R diferenciáveis em M n. Sendo assim, denotaremos o conjuno de tais funções por C (M). Definição 2.2. Um campo de vetores X em M n é uma função que associa a cada ponto p M n um vetor X p T p M. Dizemos que o campo X é diferenciável se a aplicação X : M n TM for diferenciável. Denotaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores diferenciáveis em M n. Se X é um campo de vetores em M n e f : U R é uma função difrenciável definida em um subconjunto aberto U de M n, então obtemos uma nova função Xf : U R definida por Xf(p) = X p f. Lema 2.3. Sejam M n uma variedade diferenciável e X um campo de vetores. 12

13 X é diferenciável se, e somente se, Xf : U R é diferenciável, para todo conjunto aberto U M n e toda função f C (M). Demonstração. Ver Lee [12], página 86. Assim, um campo X X(M) define uma aplicação, claramente R-linear, X : C (M) C (M). E, pela regra do produto para vetores tangentes em M n, tal função satisfaz a regra de Liebniz X(fg) = fx(g) + gx(f), para todas as funções f,g C (M). Definição 2.4. Uma aplicação Y : C (M) C (M) é uma derivação se ela é linear sobre R e satisfaz a regra de Liebniz para todas as funções de C (M). Pode-se mostrar que uma aplicação ξ : C (M) C (M) é uma derivação se, e somente se, ξ é da forma ξf = Xf para algum campo X X(M). Assim, podemos identificar as derivações de C (M) com campos de vetores diferenciáveis. Se X X(M) e f C (M), então obtemos um novo campo de vetores fx : C (M) C (M) definido por (fx)(g) = fx(g). Sejam X,Y X(M) e f C (M). Assim, aplicando X a f, obtemos outra função Xf C (M) e, por sua vez, podemos aplicar o campo Y a Xf e obter, ainda, outra função Y Xf = Y (Xf) em C (M). Sendo assim, podemos definir Definição 2.5. O colchete de Lie dos campos X,Y X(M) é o operador [X,Y ] : C (M) C (M) definido por [X,Y ]f = XY f Y Xf. Lema 2.6. O colchete de Lie de qualquer par de vetores X,Y X(M) é um campo de vetores em M n. 13

14 Demonstração. Basta mostrar que [X,Y ] é uma derivação de C (M). Note que [X,Y ](fg) = X(Y (fg)) Y (X(fg)) = X(fY g + gy f) Y (fy g + gy f) = fxy g + gxy f fy Xg gy Xf = f[x,y ]g + g[x,y ]f, para todas as funções f,g C (M). E o resultado segue-se, pois, claramente, [X,Y ] é R-linear. Claramente temos que [X,Y ] = [Y,X], para quaisquer campos de vetores X,Y X(M). Com isso, pode-se mostrar, para quaisquer X,Y,Z X(M), que [[X,Y ],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y ] = 0. A igualdade acima é dita a identidade de Jacobi. 2.2 Variedades Riemannianas Seja M n uma variedade diferenciável n dimensional. Definição 2.7. Uma métrica Riemanniana em M n é uma forma bilinear, simétrica e positiva definida, : X(M) X(M) C (M). É imediato que a restrição de, a cada espaço tangente T p M está bem definida e torna T p M um espaço vetorial com produto interno. Definição 2.8. Uma variedade Riemanniana é uma varidade diferenciável M n munida com uma métrica Riemanniana,. Se (M n,, ) é uma variedade Riemanniana e (U, (x i )) uma carta coordenada em M n, com campos coordenados 1, 2,..., n. Então, podemos definir n 2 funções diferenciáveis g ij : U R por g ij = i, j. 14

15 Definição 2.9. As n 2 funções diferenciáveis g ij : U R são ditas coeficientes da métrica de M n em U. Sejam M n uma variedade Riemanniana n dimensional com métrica Riemanniana, e p M n, considere uma base {e 1,e 2,...,e n } ortonormal positiva em T p M. Dados os campos de vetores x 1,x 2,...,x n T p M, temos que x j = a ij e i, j = 1, 2,...,n. Sendo assim, podemos definir ω(x 1,x 2,...,x n ) = det(a ij ). Evidentemente ω é uma n forma diferencial em M n. Agora note que x i,x j = a ki e k, a sj e s = a ki a kj, k=1 s=1 e portanto det( x i,x j ) = (det(a ij )) 2 = ω 2 (x 1,x 2,...,x n ). Supondo que x 1, x 2,..., x n são linearmente independentes, obtemos que det( x i,x j ) > 0 e, consequentemente, k=1 ω(x 1,x 2,...,x n ) = ± det( x i,x j ), onde + ou é o sinal de det(a ij ). Assim, ω(x 1,x 2,...,x n ) > 0 quando os vetores x 1,x 2,...,x n formam (nesta ordem) uma base positiva de T p M e ω(x 1,x 2,...,x n ) < 0 se a base x 1,x 2,...,x n for negativa. Observação No caso de x 1,x 2,...,x n forem linearmente dependentes, tem-se que det( x i,x j ) = 0 e, dessa forma, ω(x 1,x 2,...,x n ) = 0. Definição A forma diferencial ω de grau n definida por ω(x 1,x 2,...,x n ) = ± det( x i,x j ), é chamada de elemento de volume de M n. Pode-se mostrar que uma n forma em M n define uma orientação. Sendo assim, o elemento de volume define uma orientação em M n. Se ω i, i = 1, 2,...,n, são formas diferenciais de grau um definidas em uma vizinhança de p M n por ω i (e j ) = δ ij, então ω = ω 1... ω n. 15

16 2.3 Conexões e Geodésicas Seja M n uma variedade diferenciável. Definição Uma conexão em M n é uma aplicação R bilinear : X(M) X(M) (X,Y ) X(M) X Y satisfazendo as seguintes condições: (a) fx Y = f X Y ; (b) X (fy ) = X(f)Y + f X Y. Para X,Y X(M) e f C (M). Se M n é uma variedade Riemannnina, então é possível mostrar que existe uma única conexão satisfazendo: (a) X Y,Z = X Y,z + Y, X Z (compatibilidade com a métrica). (b) X Y Y X = [X,Y ] (simetria). Tal conexão é dita conexão Riemanniana, ou conexão de Levi-Civita. Definição Uma curva em uma variedade diferenciável M n é uma aplicação diferenciável γ : I M n, onde I R é um intervalo. Um campo de vetores X ao longo de uma curva γ : I M n é uma aplicação diferenciável que associa à cada t I um vetor X(t) T γ(t) M. Dize-se que X é diferenciável se a função t X(t)f é diferenciável em I, para toda função f C (M). Suponha que γ : I M n é uma curva e X X(M). Para cada t I, seja X(t) = X γ(t). É fácil verificar, em coordenadas, que X é diferenciável. Sendo assim, Definição Um campo de vetores X ao longo de uma curva γ é dito estendível se existe um campo de vetores X em uma vizinhança da imagem de γ tal que X(t) = X γ(t). 16

17 Nem todos os campos de vetores ao longo de uma curva podem ser extendidos, por exemplo, se γ : I M n é tal que, para t 1,t 2 I com t 1 t 2, γ(t 1 ) = γ(t 2 ) e γ(t 1 ) γ(t 2 ), então γ não é estendível. Sejam M n uma variedade diferenciável com uma conexão e p M n. Escolhendo um sistema de coordenadas {x 1,x 2,...,x n } em torno de p temos, para X,Y X(M), que X = x i i e Y = y j j, j=1 onde i = / x i. Assim, X Y = = ( ) x i i y j j j=1 x i y j i j + x i i (y j ) j. i,j=1 i,j=1 Fazendo i j = n k=1 Γk ij k, concluímos que Γ k ij são funções diferenciáveis. Definição As funções Γ k ij são chamadas de símbolos de Christoffel de com respeito aos campos coordenados { 1, 2,..., n }. Pode-se mostrar que Γ l ijg l = 1 2 l k { x i g jk + x j g ki } g ij. x k Como a matriz (g km ) admite uma inversa (g km ), obtemos Γ m ijg l = 1 { g jk + g ki } g ij g km. 2 x i x j x k Observação Para o espaço euclidiano R n temos que Γ k ij = 0. Assim, X Y = ( ) x i y j Γ k ij + X(y k ) e k, k=1 i,j=1 o que mostra que X Y (p) depende somente do valor de X(p) e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a X em p. Sendo assim, faz sentido falar em X X, onde X é um campo de vetores ao longo de uma curva γ : I M n e X uma extensão de X (supondo X estendível). Logo, 17

18 Proposição Seja M n uma variedade diferenciável com uma conexão. Então determina um único opertador que associa a um campo vetorial X ao longo de uma cuva γ : I M n um outro campo vetorial DX dt de γ tal que: ao longo (a) D dt (b) D dt (ax + by ) = adx dt + b DY dt. (fx) = df dt X + f DX dt. (c) Se X é estendível, então para qualquer extensão X de X. DX dt = γ X. para quaisquer campo de campo Y ao longo de γ, a,b R e f C (M). Demonstração. Ver Lee [13], página 57. Definição O campo DX dt de X ao longo da curva γ. definido como acima é a derivada covariante Seja M n uma variedade diferenciável com uma conexão. Definição A aceleração de um curva γ : I M n é o campo de vetores D γ ao longo de γ. A curva γ é dita uma geodésica em t dt 0 com respeito a se sua aceleração em t 0 é nula, isto é, D γ 0. Se γ : I M n dt for uma geodésica para todo t I, dizemos que γ é uma geodésica. 2.4 Operadores Diferenciais Vamos considerar, neste tópico, M n uma variedade Riemanniana com métrica Riemanniana, e conexão Riemanniana. Definição O gradiente f de uma função f C (M) é um campo vetorial sobre M n tal que f,x = df(x) = X(f). Para todo X X(M). Decorre diretamente da definição que se f,g C (M), então 18

19 1. (f + g) = f + g; 2. (fg) = g f + f g. Seja {e 1,e 2,...,e n } um referencial ortonormal em uma vizinhança U M n. Assim, se X X(M), temos Logo, X(f) = X = x i e i. x i e i (f) = x i e i, e j (f)e j = X, e j (f)e j. j=1 j=1 Daí f = e j (f)e j. j=1 Definição Seja X um campo vetorial em M n. A divergência divx de X é a função suave divx : M n R dada por (divx)(p) = tr {v v X(p)}, onde v T p M e tr {v v X(p)} denota o traço de {v v X(p)}. Em outras palavras, temos que div X = ei X,e i, onde {e 1,e 2,...,e n } é um referencial ortonormal em uma vizinhança U M n. Decorre diretamente da definição que 1. div(x + Y ) = divx + divy ; 2. div(fx) = fdivx + f,x, para quaisquer X,Y TM e qualquer f C (M). Considere, em M n, o elemento de volume dv (que é uma n forma em M n ) e, para todo X X(M), definamos o produto interior de X por dv, que denotaremos por ι X dv, como a (n 1) forma dada por ι X dv (X 2,...,X n ) = dv (X,X 2,...,X n ). 19

20 Sejam p M n e {e 1,e 2,...,e n } um referencial geodésico em p. Assim, X = n x ie i e ι X dv (X 2,...,X n ) = dv (X,X 2,...,X n ) = dv (X = = x i e i,x 2,...,X n ) ( 1) i+1 x i ω 1... ω i... ω n (X 2,...,X n ). Portanto ι X dv = n ( 1)i+1 x i ω 1... ω i... ω n e d(ι X dv ) = d( = + ( 1) i+1 x i ω 1... ω i... ω n ) ( 1) i+1 d(x i ) ω 1... ω i... ω n ( 1) i+1 x i d(ω 1... ω i... ω n ). Mas d(ω 1... ω i... ω n ) = 0 em p, pois dω k (e i,e j ) = e i ω k (e j ) e j ω k (e i ) ω k ([e i,e j ]) = ω k ( ei e j ej e i ) = 0, já que {e 1,e 2,...,e n } é um referencial geodésico em p e, portanto, ei e j = 0. Assim, ( ) d(ι X dv ) = ( 1) i+1 e i (x i ) dv = div(x)dv. Integrando ambos os membros da igualdade acima e utilizando o teorema de Stokes, um pouco mais de trabalho permite mostrar o seguinte Teorema 2.22 (Teorema da Divergência). Se M n é uma variedade Riemanniana compacta, orientada pelo elemento de volume dv e com bordo M, então, para X X(M), M divxdv = M X,N dṽ, onde N é o campo unitário normal à M apontando para fora de M n e dṽ é o elemento de volume da métrica induzida em M. Demonstração. Ver Lee [12], página

21 Definição O laplaciano f de uma função f C (M) é a função f : M n R dada por f = divf( f). Pelas propriedades do gradiente e da divergência, temos que 1. (f + g) = f + g; 2. (fg) = f g + g f + 2 f, g. Para quaisquer f,g C (M). Mais adiante precisaremos da seguinte Definição Dizemos que f C (M) é uma função hamônica (respec., subharmônica) se f = 0 (respec., f 0). Definição O hessiano de uma função f C (M), denotado por Hessf, é o campo de operadores lineares Hessf : T P M T p M definido, para cada v T p M, por (Hessf)(v) = v f. Proposição : O operador linear (Hessf) p : T P M T p M, com p M n e f C (M), é auto-adjunto. Demonstração. Sejam v,w T p M e V,W usas extensões as campos em uma vizinhança U M n de p. Temos (Hessf) p (v),w = V f,w p = (V f,w )(p) f, V W p = (V (Wf))(p) f, W V + [V,W] p = (W(V f))(p) + ([V,W] f)(p) f, W V + [V,W] p = (W(V f))(p) f, W V p = (Hessf) p (w),v. 21

22 Denotaremos também por Hessf, f C (M), a forma bilinear simétrica em T p M dada por (Hessf)(v,w) = v f,w = v(w(f)) ( v w)f. Para v,w T p M. Daí, (Hessf)(v,w) = v f,w = v f,w f, v w. Se 1, 2,..., n são os campos coordenados em uma vizinhança coordenada U M n, temos (Hessf)( i, j ) = i f, j f, i j = i j (f) l (f) l, Γ k ij k = i j (f) l (f)γ k ijg lk. l l Observação Já que em R n temos Γ k ij = 0, teremos em R n que (Hessf)( i, j ) = i j (f). Proposição Se f C (M), então f = tr(hessf). Demonstração. Seja U M n uma vizinhança de p e considere o referencial ortonormal {e 1,e 2,...,e n }. Assim, tr(hessf) p = = (Hessf) p (e i,e i ei f,e i p = div( f)(p) = f(p). 2.5 Curvatura, Curvatura Seccional, Curvatura de Ricci e Escalar Seja M n uma variedade Riemanniana com conexão Riemanniana. 22

23 Definição A curvatura R de M n é a aplicação R : X(M) X(M) X(M) X(M) dada por R(X,Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z. É imediato a partir das propriedades de que R é uma aplicação C (M) -linear. Por outro lado, pela simetria da conexão Riemanniana, temos que R(X,Y )Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z + Z Y X Y Z X + [Y,Z] X + X Z Y Z X Y + [Z,X] Y = [Y, [X,Z]] + [Z, [Y,X]] + [X, [Z,Y ]]. Pela identidade de Jacobi para campos de vetores, obtemos a primeira identidade de Bianchi R(X,Y )Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0. De agora em diante, escreveremos por conveniência para todos X,Y,Z,T X(M). R(X,Y )Z,T = (X,Y,Z,T), Proposição Para X,Y,Z,T X(M), temos (a) (X,Y,Z,T) + (Y,Z,X,T) + (Z,X,Y,T) = 0; (b) (X,Y,Z,T) = (Y,X,Z,T); (c) (X,Y,Z,T) = (X,Y,T,Z); (d) (X,Y,Z,T) = (Z,T,X,Y ). Demonstração. Ver do Carmo [11], página 102. Seja σ T p M um subespaço bi-dimensional do espaço tangente T p M e considere dois vetores x, y σ linearmente independentes. Pode-se mostrar que K(x,y) = (x,y,x,y) ( x 2 y 2 x,y 2) 2 não depende da escolha dos vetores x,y σ. Com isso temos a seguinte 23

24 Definição Dado um ponto p M e um subespaço bi-dimensional σ T p M, o número real K(x,y) = K(σ), onde {x,y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p. Lema Sejam M n uma variedade Riemanniana e p um ponto de M n. Defina uma aplicação tri-linear R : T p M T p M T p M T p M por R (X,Y,W),Z = X,W Y,Z Y,W X,Z, para todos X,Y,Z,W T p M. Então M tem curvatura seccional constante igual a K 0 se, e somente se, R = K 0 R, onde R é a curvatura de M. Demonstração. Ver do Carmo [11], página 107. Seja x = e n um vetor unitário em T p M e considere uma base {e 1,e 2,...,e n 1 } ortonormal do hiperplano de T p M ortogonal a x. Definição As médias Ric p (x) = 1 n 1 R(x,e i )x,e i n 1 e K(p) = 1 Ric p (e j ) n j são chamadas de curvatura de Ricci na direção de x e curvatura escalar em p, respectivamente. Definamos agora a seguinte forma em T p M para x,y T p M. Q(x,y) = tr {z R(x,z)y}, Obviamente Q é bilinear. Escolhendo x unitário e uma base ortonormal {e 1,e 2,...,e n 1,e n = x} para T p M temos Q(x, y) = = R(x,e i )y,e i R(y,e i )x,e i = Q(y,x). Assim, Q é uma forma bilinear simétrica e Q(x,x) = (n 1)Ric p. 24

25 Por outro lado, à forma bilinear Q em T p M corresponde uma aplicação linear auto-adjunta F, dada por F(x),y = Q(x,y). Daí, denotando por tr F o traço de F, temos trf = F(e j ),e j = Q(e j,e j ) j=1 = (n 1) j=1 Ric p (e j ) = n(n 1)K(p). j=1 Portanto, as curvaturas de Ricci e escalar não dependem da escolha das correspondentes bases ortonormais. 2.6 Tensores em Variedades Riemannianas Note que X(M) tem uma estrutura linear quando tomamos como escalares os elementos de C (M). Definição Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana M n é uma aplicação multilinear T : X(M) X(M) X(M) C (M). }{{} r vezes Isto quer dizer que, dados X 1,...,X r X(M), T(X 1,...,X r ) é uma diferenciável em M n e que T é linear em cada entrada, isto é, T(X 1,...,fX + gy,x r ) = ft(x 1,...X,...,X r ) + gt(x 1,...,Y,...,X r ), para todos X,Y X(M) e todas f,g C (M). Definição Seja M n uma variedade Riemanniana n dimensional e considere uma vizinhança U M n de p M n onde seja possível definir campos e 1, e 2,...,e n X(M) de modo que, em cada q U, os vetores e 1 (q), e 2 (q),...,e n (q) formam uma base de T q M. Diremos, neste caso, que {e 1,e 2,...,e n } é um referencial móvel em U. 25

26 Assim, podemos restringir os campos X 1,...,X r a U e expressá-los no referencial móvel {e 1,e 2,...,e n } da seguinte maneira X 1 = i 1 x i1 e i1,...,x r = i r x ir e ir, i 1,...,i r = 1,...,n. Pela linearidade de T, temos que T(X 1,...,X r ) = x i1...x ir T(e i1,...e ir ). i 1,...,i r Portanto temos que o valor de T(X 1,...,X r ) em p M n depende apenas dos valores de T(e i1,...e ir ) e de X 1,...,X r em p. Definição As funções T(e i1,...e ir ) = T i1,...,i r em U, são ditas as componentes de T no referencial {e 1,e 2,...,e n }. Exemplo O tensor curvatura de uma variedade Riemanniana M n é definido por R : X(M) X(M) X(M) X(M) C (M) (X,Y,Z,W) R(X,Y,Z,W) = R(X,Y )Z,W. É imediato verificar que R é um tensor de ordem 4, cujas componentes no referencial { / x 1,..., / x n }, associado ao sistema de coordenadas {x 1,...,x n }, são R(X i,x j,x k,x l ) = R ijkl. Definição Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante T de T é um tensor de ordem (r + 1) dado por T(X 1,...,X r,z) = Z(T(X 1,...,X r )) T( Z X 1,...,X r ) T(X 1,...,X r 1, Z X r ). Definição Seja T um tensor de ordem r. Para cada Z X(M), a derivada covariante Z de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado por Z T(X 1,...,X r ) = T(X 1,...,X r,z). 26

27 2.7 Imersões Isométricas Sejam M m e N n variedades diferenciáveis e considere uma aplicação diferenciável ϕ : M m N n. Definição Um ponto p M m é dito ponto regular de ϕ quando dϕ p : T p M m T ϕ(p) N n é injetiva. Dizemos que ϕ é uma imersão se todo ponto p M m é um ponto regular de ϕ, isto é, dϕ p : T p M m T ϕ(p) N n é injetiva para todo p M m. Se, além disso, ϕ é um homeomorfismo sobre ϕ(m) N, onde ϕ(m) tem a topologia induzida por N n, então diz-se que ϕ é um mergulho. Note que se ϕ : M m N n é uma imersão, então m n. A diferença n m é chamada a codimensão da imersão ϕ. As hipersuperfícies de N são as imersões isométricas com codimensão 1. Definição Se M m N n e a aplicação inclusão ι : M N é um mergulho, diz-se que M m é uma subvariedade de N n. Proposição Seja ϕ : M m N n uma imersão. Para todo ponto p M m, existe uma vizinhança V M m de p tal que a restrição ϕ V : V N n é um mergulho. Demonstração. Ver do Carmo [11], página 14. Seja agora ϕ : M n M k uma imersão de uma variedade diferenciável M n de dimensão n em uma variedade Riemanniana M k de dimensão k = n+m com métrica Riemanniana g =,. A métrica Riemanniana g de M k induz, de maneira natural, uma métrica Riemanniana g em M n : se v 1,v 2 T p M, define-se g(v 1,v 2 ) = g(dϕ p (v 1 ),dϕ p (v 2 )). Definição Sejam M n e M k variedades Riemannianas com métricas Riemannianas g e g, respectivamente. Dizemos que uma imersão diferenciável ϕ : M n M k é uma imersão isométrica se g(v 1,v 2 ) = g(dϕ p (v 1 ),dϕ p (v 2 )). 2.8 A Segunda Forma Fundamental Seja ϕ : M n M n+m uma imersão. Dado p M, existe, pela proposição 2.42, uma vizinhança U M de p tal que ϕ(u) M é uma subvariedade de M. Isto 27

28 quer dizer que existem uma vizinhança U M de ϕ(p) e um difeomorfismo φ : U M V R n+m em uma aberto V de R n+m, tal que φ aplica difeomorficamente ϕ(u) U em um aberto do subespaço R n {0} R n+m. Para simplificar a notação, identificamos U com ϕ(u) e cada vetor v T q M, q U, com dϕ q (v) T ϕ(q) M. Usaremos tais identificações para estender, por exemplo, um campo local (isto é, definido em U) de vetores de M a um campo local (isto é, definido em U) de vetores em M; se U é suficientemente pequeno, tal extensão é sempre possível, como se vê facilmente usando o difeomorfismo ϕ. Para cada p M n, o produto interno em T p M decompõe T p M na soma direta T p M = T p M (T p M), onde (T p M) é o complemento ortogonal de T p M em T p M. Se v T p M, p M n, podemos escrever v = v + v, v T p M, v (T p M). Tal decomposição é evidentemente diferenciável no sentido que as aplicações de TM em TM dadas por (p,v) (p,v ) e (p,v) (p,v ) são diferenciáveis. Definição Dizemos que v é a componente tangencial de v e que v é a componente normal de v. Seja a conexão Riemanniana de M n+m e considere campos de vetores locais X e Y em M n. Para X e Y extensões locais de X e Y a M n+m, definimos X Y = ( X Y ). Supondo que M n tem a métrica Riemanniana induzida por ϕ, pode-se mostrar que é a conexão Riemanniana de M n. Assim, B(X,Y ) = X Y X Y é um campo local em M n+m normal a M n. Agora note que, sendo X 1 e Y 1 outras extensões locais de X e Y, respectivamente, temos ( X Y X Y ) ( X1 Y X Y ) = X X1 Y 28

29 se anula em M n, pois X X 1 = 0 em M n. Por outro lado, ( X Y X Y ) ( X Y 1 X Y ) = X (Y Y 1 ) = 0, pois Y Y 1 = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto B(X,Y ) não depende das extensões X e Y e, consequentemente, está bem definida. No que se segue, indicaremos por X(U) os campos diferenciáveis em U de vetores normais a ϕ(u) U. Proposição Se X,Y X(U), a aplicação B : X(U) X(U) X(U) dada por B(X,Y ) = X Y X Y é bilinear e simétrica. Demonstração. Pelas propriedades de linearidade de uma conexão, conclui-se imediatamente que B é aditiva em X e Y e que B(fX,Y ) = fb(x,y ), f C (U). Resta mostrar que B(X,fY ) = fb(x,y ), f C (U). Indicando por f uma extensão de f a U, teremos B(X,fY ) = X (fy ) X (fy ) = f X Y f X Y + X(f)Y X(f)Y. Como em M, f = f e X(f) = X(f), concluímos que as duas últimas parcelas se anulam, donde B(X,fY ) = fb(x,y ), isto é, B é bilinear. Para mostrar que B é simétrica, utilizaremos a simetria da conexão Riemanniana, obtendo B(X,Y ) = X Y X Y = Y X + [X,Y ] Y X [X,Y ]. Como em M, [X,Y ] = [X,Y ], concluímos que B(X,Y ) = B(Y,X). Como B é bilinear, concluímos, exprimindo B em um sistema de coordenadas, que o valor de B(X,Y )(p) depende apenas de X(p) e Y (p). Seja p M n e considere a aplicação H η : T p M T p M R dada por H η (x,y) = B(x,y),η, x,y T p M, onde η (T p M). Temos, pela proposição 2.45, que H η é uma forma bilinear simétrica. 29

30 Definição A forma quadrática II η definida em T p M por II η (x) = H η (x,x), é chamada a segunda forma fundamental de ϕ em p segundo o vetor normal η. Observe que à aplicação bilinear H η fica associada uma aplicação linear auto-adjunta, chamada aplicação de Weingarten, A η : T p M T p M dada por A η (x),y = H η (x,y) = B(x,y),η. Proposição Sejam p M, x T p M e η (T p M). Se N é uma extensão local de η normal a M, então A η (x) = ( x N). Demonstração. Seja y T p M e considere X,Y extensões locais de x,y, respectivamente, e tangentes a M. Então, N,Y = 0, e portanto, A η (x),y = B(X,Y )(p),n = X Y X Y,N (p) = X Y,N (p) = Y, X N (p) = x N,y, para todo y T p M. Sejam K e K as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, definidas por e K(X,Y ) = R(X,Y )X,Y X 2 Y 2 X,Y 2, K(X,Y ) = R(X,Y )X,Y X 2 Y 2 X,Y 2, onde R(X,Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, R(X,Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z. 30

31 Teorema 2.48 (Gauss). Sejam p M e x,y vetores ortonormais de T p M. Então K(x,y) K(x,y) = B(x,x),B(y,y) B(x,y) 2. Demonstração. Ver do Carmo [11], página 143. Definição Uma imersão ϕ : M n M n+m é geodésica em p M n se, para todo η (T p M), a segunda forma fundamental II η é identicamente nula em p. A imersão ϕ é totalmente geodésica se ela é geodésica para todo p M. Proposição Uma imersão ϕ : M n M n+m é geodésica em p M se, e só se, toda geodésica γ de M n partindo de p é geodésica de M n+m em p. Demonstração. Suponhamos que γ(0) = p e γ (0) = x e sejam N uma extensão local, normal a M, de um vetor normal η em p e X uma extensão local, tangente a M, de γ (t). Como X,N = 0, obteremos em p, H η (x,x) = A η (x),x = X N,X = X N,X + N, X X = N, X X. Decorre daí que ϕ é geodésica em p se, e só se, para todo x T p M, a geodésica γ de M que é tangente a x em p satisfaz a condição: X X(p) não tem componente normal. Portanto, ϕ é geodésica em p se, e só se, toda geodésica γ de M n partindo de p é geodésica de M n+m em p. Definição Uma imersão ϕ : M n M n+m é mínima se para todo p M n e todo η (T p M) tem-se que tra η = 0. Sendo {e 1,e 2,...,e n } um referencial ortonormal de vetores em X(U), onde U é uma vizinhança de p na qual ϕ é um mergulho, podemos escrever, em p, B(x,y) = i H ei (x,y)e i, x,y T p M, i = 1,...,m. Não é difícil verificar que o vetor normal dado por H = 1 (tra ei )e i n i não depende do referencial {e 1,e 2,...,e n } escolhido. Definição O vetor H dado acima é chamado o vetor curvatura média de ϕ. É claro que ϕ é mínima se, e só se, H(p) = 0 para todo p M. 31

32 2.9 As Equações Fundamentais de Uma Imersão Isométrica Dada uma imersão isométrica ϕ : M n M n+m, temos, em cada p M n, a decomposição T p M = T p M (T p M) que varia diferenciavelmente com p. Isto significa que, localmente, a parte do fibrado tangente TM que se projeta sobre M se decompõe em um fibrado tangente TM e em um fibrado normal TM. No que se segue, usaremos sistematicamente as letras latinas X, Y, Z, etc., para indicar os campos diferenciáveis de vetores tangentes e as letras gregas ξ,η,ζ,etc., para indicar os campos diferenciáveis de vetores normais. Dados X e η, já vimos que a componente tangente de X η é dada por ( X η) = A η X. A componente normal de X η, chamada conexão normal da imersão é dada por Xη = ( X η) = X η ( X η) = X η + A η X. Verifica-se facilmente que a conexão normal usuais de uma conexão, isto é, é linear em X, aditiva em η, e possui as propriedades X(fη) = f Xη + X(f)η, f C (M). De maneira análoga ao caso do fibrado tangente, introduz-se a partir de uma noção de curvatura no fibrado normal que é chamada curvatura normal R da imersão e definida por R (X,Y )η = Y Xη X Y η + [X,Y ]η. Proposição Com as notações acima, as seguintes equações se verificam (a) (Equação de Gauss) R(X,Y )Z,T = R(X,Y )Z,T B(Y,T),B(X,Z) + B(X,T),B(Y,Z). 32

33 (b) (Equação de Ricci) R(X,Y )η,ζ R (X,Y )η,ζ = [A η,a ζ ]X,Y. onde [A η,a ζ ] indica o operador A η A ζ A ζ A η. Demonstração. Ver do Carmo [11], página 149. Observação Dizemos que o fibrado normal de uma imersão é plano (flat) se R = 0. Admita que o espaço ambiente M n+m tem curvatura seccional constante. Então a equação de Ricci se escreve R (X,Y )η,ζ = [A η,a ζ ]X,Y. Decorre daí que R = 0 se, e só se, [A η,a ζ ] = 0 para todo η e ζ, isto é, se, e só se, para todo p M n existe uma base de T p M que diagonaliza simultaneamente todos os A η. Dada uma imersão isométrica, convém indicar por X(M) o espaço dos campos diferenciáveis de vetores normais a M. A segunda forma fundamental da imersão pode então ser considerada como um tensor B : X(M) X(M) X(M) C (M) (X,Y,η) B(X,Y,η) = B(X,Y ),η. A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira natural ( X B)(Y,Z,η) = X(B(Y,Z,η)) B( X Y,Z,η) B(Y, X Z,η) B(Y,Z, Xη). Proposição 2.55 (Equação de Codazzi). Com a notação acima, vale R(X,Y )Z,η = ( Y B)(X,Z,η) ( X B)(Y,Z,η). Demonstração. Ver do Carmo [11], página 151. Observação Se o espaço ambiente M n+m tem curvatura seccional constante, a equação de Codazzi se escreve como ( X B)(Y,Z,η) = ( Y B)(X,Z,η). 33

34 Se, além disto, a codimensão da imersão é um, tem-se Xη = 0. Donde, X B(Y,Z,η) = X A η Y,Z A η ( X Y ),Z A η Y, X Z = X (A η Y ),Z A η ( X Y ),Z. Portanto, neste caso, a equação de Codazzi se escreve X (A η Y ) Y (A η X) = A η ([X,Y ]). 34

35 Capítulo 3 Transformações de Newton Seja x : M n M n+1 (c) uma imersão, onde M n é uma variedade diferenciável compacta, conexa, orientável, com bordo M (podendo ser M = ) e M n+1 (c) uma variedade riemanniana simplesmente conexa, orientada e com curvatura seccional constante c. Considere em M n+1 a métrica riemanniana,, a conexão Riemanniana e dm sua forma volume e tome em M n a métrica induzida por x, de modo que x se torne uma imersão isométrica. A segunda forma fundamental A : TM TM da imersão x : M n M n+1 (c) com respeito a um campo vetorial normal unitário N X (M) induz, em cada p M, um operador linear auto-adjunto A : T p M T p M. Seus autovalores são as curvaturas principais λ 1,λ 2,...λ n da imersão x. Associadas a A, tem-se as n funções simétricas elementares S r = S r (λ 1,λ 2,...,λ n ), com 1 r n, dadas por p(t) = det(ti A) = ( 1) r S r t n r, r=0 onde p(t) é o polonômio caractístico de A e I é o operador identidade. Em outras palavras, S 0 = 1 e, para 1 r n, S r = λ i1 λ i2...λ ir. 1 i 1 <i 2 <...<i r n 35

36 Note, em particular, que S 2 1 2S 2 = ( i λ i ) 2 2 i<j λ i λ j = i λ 2 i = A 2. onde A 2 = A,A = tr(a 2 ). Portanto, 2S 2 + A 2 = S 2 1, Dado p M, seja {e 1,...,e n } um referencial ortonormal (um referencial geodésico, por exemplo) numa vizinhança de p tal que {e 1 (p),...,e n (p)} seja uma base ortonormal de T p M formada por autovetores de A p. Se R é a curvatura escalar de M, segue da equação de Gauss que R = = = c + 1 n(n 1) 1 n(n 1) R(e i,e j )e j,e i i j (c + A(e i,e i ),A(e j,e j ) A(e i,e j ) 2 ) i j 1 n(n 1) ( A(e i,e i ),A(e j,e j ) A(e i,e j ) 2 ). i j Como N,N = 1 e a codimensão é 1, segue que A(e i,e j ) = A(e i,e j ),N N. Assim, temos em p A(e i,e i ),A(e j,e j ) = A(e i,e i ),N A(e j,e j ),N = A p (e i ),e i A p (e j ),e j = λ i λ j. Por um argumento análogo, A(e i,e j ) 2 = 0 se i j. Segue então que R = c + = c + 1 n(n 1) λ i λ j i j 2 n(n 1) S 2, ou seja, 2S 2 = n(n 1)(R c). 36

37 Para 1 r n, nós definimos a r ésima curvatura média H r de x por H r = ( 1)r ( n r) S r. Em particular, H 1 = H é a curvatura média de x. Tais funções satisfazem certas desigualdades algébricas muitos úteis, usualmente conhecidas como desigualdades de Newton. Os dois resultados que se seguem foram obtidos de [5]. Lema 3.1. Se f R[x] é um polinômio com k 1 raízes reais, contadas as multiplicidades, então f tem pelo menos k 1 raízes reais, contadas as multiplicidades. Em particular, se todas as raízes de f são reais, o mesmo ocorre com f. Demonstração. Seja α R uma raiz de multiplicidade k 1 de f, isto é, f(x) = (x α) k g(x), com g(α) 0. Derivando obtemos f (x) = k(x α) k 1 g(x) + (x α) k g (x) = (x α) k 1 (kg(x) + (x α)g (x)). de f. Como kg(α) + (α α)g (α) 0, segue que α é raiz de multiplicidade k 1 Agora sejam α 1,...,α l R as raízes distintas de f, isto é, f(x) = (x α 1 ) k1 (x α l ) k l g(x), onde k 1,...,k l são inteiros positivos e g(α i ) 0, i = 1,...,l. Como vimos acima, α i é raiz de multiplicidade k i 1 de f. Contadas as multiplicidades, f tem k = k k l raízes reais. Supondo, sem perda de generalidade, que α 1 <... < α l, obtemos mais l 1 raízes para f, distintas dos α i, aplicando o Teorema do Valor Médio aos intervalos [α i,α i+1 ]. Assim, f tem pelo menos (k 1 1) (k l l) + (l 1) = k l + l 1 = k 1 raízes reais. Proposição 3.2. Sejam n > 1 inteiro, e λ 1,...,λ n números reais. Defina, para 0 r n, S r = S r (λ i ) como acima, e H r = H r (λ i ) = ( n r) 1Sr (λ i ). (a) Para 1 r < n, tem-se H 2 r H r 1 H r+1. Além disso, se a igualdade ocorre para r = 1 ou para algum 1 < r < n, com H r+1 0 neste caso, então λ 1 =... = λ n. 37

38 (b) Se H 1,H 2,...,H r > 0 para algum 1 < r n, então H 1 H 2 3 H 3... r H r. Mais ainda, se a igualdade ocorre para algum 1 j < r, então λ 1 =... = λ n. (c) Se, para algum 1 r < n, tem-se H r = H r+1 = 0, então H j = 0 para todo r j n. Em particular, no máximo r 1 dos λ i são diferentes de zero. Demonstração. Para provar (a) nós usamos indução sobre o número n > 1 de números reais. Para n = 2, temos somente r = 1, e a desigualdade segue de H 2 1 H 0 H 2 = ( 1 2 S 1) 2 S 2 = ( 1 2 (λ 1 + λ 2 )) 2 λ 1 λ 2 = 1 4 ((λ 1 + λ 2 ) 2 4λ 1 λ 2 ) = 1 4 (λ 1 λ 2 ) 2 0, valendo a igualdade se e só se λ 1 = λ 2. Suponha agora que as desigualdades sejam verdadeiras para n 1 números reais, com igualdade para r = 1 ou 1 < r < n e H r+1 0 se e só se todos os λ i são iguais. Dados n 3 números reais λ 1,...,λ n, seja Então f(x) = (x + λ 1 )...(x + λ n ) = f (x) = r=0 r=0 ( ) n H r (λ i )x n r. r n 1 ( ) n (n r) H r (λ i )x n r 1. r Como as raízes de f são todas reais, o mesmo ocorre com f, de modo que existem números reais γ 1,...,γ n 1 tais que n 1 f (x) = n(x + γ 1 )...(x + γ n 1 ) = n S r (γ i )x n r 1 = r=0 n 1 ( ) n 1 n H r (γ i )x n r 1. r r=0 Desde que n ( ) ( n 1 r = (n r) n ) r, comparando os coeficientes temos que H r (λ i ) = H r (γ i ) para 0 r n 1. Daí, segue da hipótese de indução que, para 1 r n 2, H 2 r(λ i ) = H 2 r(γ i ) H r 1 (γ i )H r+1 (γ i ) = H r 1 (λ i )H r+1 (λ i ). 38

39 Além disso, se a igualdade ocorre para os λ i com r = 1, respectivamente 1 < r < n 1 e H r+1 (λ i ) 0, ela também ocorre para os γ i com r = 1, respectivamente 1 < r < n 1 e H r+1 (γ i ) 0. Segue então da hipótese de indução que γ 1 =... = γ n 1, e assim λ 1 =... = λ n. Por fim, temos que mostrar que H 2 n 1(λ i ) H n 2 (λ i )H n (λ i ), com igualdade para H n 0 se e só se todos os λ i são iguais. Se λ i = 0 para algum 1 i n, temos H n (λ i ) = 0 e a desigualdade é óbvia. Se não, H n 0 e [ ( ) ] 1 2 [ n ( ) ] 1 Hn 1 2 H n n H n H n 2 H n n 1 λ i i n 2 λ i<j i λ j ( ) 2 1 (n 1) 2n 1. λ i λ j i λ i i<j H n a Por simplicidade, façamos α i = 1 λ i. Assim, a desigualdade acima equivale (n 1)( α i ) 2 2n α i α j. i<j Fazendo T(α i ) = (n 1)( n α i) 2 2n i<j α iα j, nós temos T(α i ) = n( α i ) 2 ( α i ) 2 2n α i α j i<j = n[( α i ) 2 2 α i α j ] ( α i ) 2 i<j = n αi 2 ( α i ) 2 0, onde usamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores u = (α 1,...,α n ) e v = (1,..., 1). Assim, vale a igualdade se e só se existe t R tal que u = tv, isto é, se e só se todos os α i (e então todos os λ i ) são iguais. Para a prova de (b), observe que H 1 H segue de (a), pois aqui temos H 1,H 2 > 0. Suponha então que H 1 H H 1 k k para algum 2 k < r. Então, Hk 2 H k 1 H k+1 H k 1 k k H k+1. Dividindo por H k 1 k k, obtemos H 1 k k H 1 desigualdades acima que se H 1 k k = H 1 k+1 k+1 k+1 k+1 H 2 k = H k 1H k+1. Assim, o item (a) nos dá λ 1 =... = λ n. 39. Segue imediatamente das para algum 1 k < r, então

40 Para provar o item (c), podemos supor r < n 1, pois o caso r = n 1 é direto. Pelo item (a), Hr+1 2 H r H r+2, e como H r = H r+1 = 0, vale a igualdade, de sorte que se H r+2 0, segue ainda de (a) que λ 1 =... = λ n = λ. Mas H r = 0 λ = 0 H r+2 = 0 (veja a definição dos H r ), uma contradição. Assim H r+2 = 0, e analogamente H r+3 =... = H n = 0. Para finalizar, é suficiente notar que o polinômio f(x) do item (a) é, neste caso, f(x) = r 1 S j x n j = S j x n j. j=0 j=0 Para 0 r n definimos a r ésima transformação de Newton P r em M por P 0 = I (operador identidade) e, para 1 r n, por P r = ( 1) r S r I + AP r 1. Segue facilmente por indução que P r = ( 1) r (S r I S r 1 A + S r 2 A ( 1) r A r ), Em particular, cada P r, sendo um polinômio em A, é auto-adjunto e tem os mesmos autovetores de A. Daí, A e todos os P r podem ser simultaneamente diagonalizados. Pelo teorema de Cayley - Hamilton, temos 0 = p(a) = ( 1) r S r A n r = ( 1) n P n. r=0 Sejam e 1,e 2,...,e n autovetores linearmente independentes de A e k 1,k 2,...,k n os autovalores correspondentes. Denotando por A i a restrição de A a {e i } T p M e por S r (A i ) a r ésima função simétrica associada a A i, segue-se que det(ti A i ) = n 1 ( 1) k S k (A i )t n 1 k, k=0 onde S k (A i ) = (1 j 1 <...<j k n) js i k j1 k j2 k jn. Observe que os autovalores de A i são k 1,k 2,..., ˆk i,k n. Proposição 3.3. Para 0 r n, 40

41 (a) P r e i = S r (A i )e i. (b) tr(p r ) = n S r(a i ) = (n r)s r. (c) tr(ap r ) = n k is r (A i ) = (r + 1)S r+1. (d) tr(a 2 P r ) = n k2 i S r (A i ) = S 1 S r+1 (r + 2)S r+2. Demonstração. (a) - Fixemos 1 i n e façamos indução em r. Para r = 0 temos P 0 e i = e i = ( 1) 0 e i = ( 1) 0 S 0 (A i )e i. Para r = 1, P 1 (e i ) = (S 1 I + A)e i = (S 1 k i )e i = S 1 (A i )e i. Suponhamos, por indução, que P r (e i ) = S r (A i )e i, para 0 r < n 1. Assim, P r+1 (e i ) = (S r+1 I AP r )e i = (S r+1 k i S r (A i ))e i = k j1 k j2 k jr+1 e i (j 1 <...<j r+1 ) js i = S r+1 (A i )e i. (b) - Pelo item (a) temos que tr(p r ) = = P r e i,e i S r (A i ). No somatório n S r(a i ), para 1 j 1 <... < j r n, o termo k j1 k j2 k jr comparece em S r (A i ) exatamente uma vez para cada índice 1 i n diferente de j 1,j 2,...,j r, isto é, (n r) vezes. Logo, tr(p r ) = (n r)s r. (c) - De P r+1 = S r+1 I AP r, temos que tr(ap r ) = tr(s r+1 I P r+1 ) = ns r+1 (n (r + 1))S r+1 = (r + 1)S r+1. 41

42 Observe ainda que AP r e i = A(S r (A i )e i ) = S r (A i )k i. Donde tr(ap r ) = k i S r (A i ). (d) - De P r+1 = S r+1 I AP r, obtemos A 2 P r+1 = S r+1 A AP r. Então, tr(a 2 P r ) = tr(s r+1 A AP r+1 )) = S 1 S r+1 (r + 2)S r+2. Por fim A 2 P r e i = A 2 (S r (A i )e i ) = ki 2 S r (A i ). Donde tr(a 2 P r ) = ki 2 S r (A i ). Associada a cada transformação de Newton P r de uma imersão x : M n M n+1, temos o operador diferencial linear de segunda ordem L r : C (M) C (M) dado por L r f = tr(p r Hessf). Em particular, L 0 f = tr(hessf) = f. O próximo resultado consta de Rosenberg [16]. Proposição 3.4. : Se M n+1 tiver curvatura seccional constante, então L r f = div(p r f). Demonstração. Note que, sendo β uma base de T p M, temos tr(hessf P r ) = Hessf(P r X,X) = df(p r X,X) X β X β = X f,p r X X β = PrX f,x. X β 42

43 Por outro lado temos div(p r f) = tr(x X P r ( f)) = X P r ( f),x. X β Logo tr(hessf P r ) = div(p r f) X P r ( f),x = PrX f,x. X β X β Assim, para provar L r f = div(p r f) basta mostrar que tr(x PrXY ) = tr(x X P r Y ). Afirmamos agora que se tr(x PrXY ) = tr(x X P r Y ) for válido para um campo Y, então também será válido para o campo φy, para toda função φ C (M). De fato, sendo β é uma base de T p M formada por autovetores X de P r, com autovalores λ, então PrXφY,X = (φ PrXY,X + (P r X)(φ) X,Y ) X β X β e X P r (φy ),X = (φ X P r Y,X + X(φ) X,P r Y ), X β X β uma vez que P r é auto-adjunto. Agora, (P r X)(φ)X = λx(φ)x = X(φ)λX = X(φ)P r X, e as equações acima são iguais desde que tr(x PrXY ) = tr(x X P r Y ) seja válido pra Y. Assim, basta estabelecer que tr(x PrXY ) = tr(x X P r Y ) é válido para Y = e 1, onde {e 1,e 2,...,e n } é um referencial ortonormal, em uma vizinhança U M de p, geodésico em P e que diagonaliza A em p. Supunhamos, por indução, que tr(x PrXY ) = tr(x X P r Y ) seja válido para r 1. Como os e i diagonalizam também P r, digamos P r e i = µ i e i, temos tr(x PrXe 1 ) = Pre i e 1,e i = µi e i e 1,e i = 0. Assim, basta mostrar que tr(x X P r e i ) = 0 em P. 43

44 Porém note que tr(x X P r 1 Ae 1 ) = = = Logo, ei P r 1 Ae 1,e i = Pr 1ei Ae 1,e i µi e i Ae 1,e i = ei Ae 1, µ i e i ei Ae 1,P r 1 e i = P r 1 ei Ae 1,e i. tr(x X P r 1 Ae 1 ) = tr(x X S r Ae 1 ). Portanto, tr(x X P r e i ) = 0, já que P r = S r I AP r 1 e, consequentemente, tr(x X P r e i ) = tr(x X P r 1 Ae 1 ) tr(x X S r Ae 1 ). Como, por hipótese, M n+1 tem curvatura seccional constante, segue-se,pela equação de Codazzi, que ( ei A)e 1 = ( e1 A)e i. Donde, ei Ae 1 A ei e 1 = e1 Ae i A e1 e i = ei Ae 1 = e1 Ae i. Logo tr(x X P r 1 Ae 1 ) = P r 1 e1 Ae i,e i = tr(p r 1 ei A) = S r,e 1, tr(x X S r e 1 ) = ei S r e 1,e i = = S r e 1,e i = e 1 (S r ) e i S r e 1,e i = S r,e 1. Agora, para r=1, basta mostrarmos que tr(x X Ae 1 ) = tr(x X S 1 e 1 ), 44

45 pois P 1 = S 1 I P 0 A = S 1 I A. Ora, tr(x X Ae 1 ) = = ei Ae 1,e i = e1 Ae i,e i e 1 Ae i,e i = e 1 = e 1 (S 1 ). Ae i,e i Por outro lado, tr(x X S 1 e 1 ) = ei S 1 e 1,e i = e 1 S 1 e 1,e i = e 1 S 1 e 1,e 1 = e 1 (S 1 ), e com isso concluímos a demonstração do teorema. Proposição 3.5. : Seja x : M n M n+1 (c) uma imersão, onde M n+1 (c) representa R n+1, a esfera Euclidiana S n+1 (1) ou o espaço hiperbólico H n+1 ( 1). Considere um vetor fixo U de R n+2 (nos dois primeiros casos) ou de L n+2 (no terceiro caso), N um campo unitário de vetores normal a M e as funções f,g : M R dadas por f(p) = N(p),U e g(p) = X(p),U. Então (a) f = A(U ) e g = U ; (b) L r (g) = tr(ap r )f ctr(p r )g; (c) L r (f) = tr(a 2 P r )f + ctr(ap r ) U (S r+1 ). Demonstração. : Faremos a prova para o caso em que M n+1 = S n+1. Os demais casos seguem-se de forma análoga. Seja {X = e 0,e 1,e 2,...,e n,e n+1 = N} um referencial ortonormal adaptado à imersão x, a conexão de R n+2, a de M n+1 e a de M. Suponhamos que {e 1,e 2,...,e n, } é geodésico em p M e diagonaliza A em p. Note que g = X,U = e i (g) = ei X,U = e i,u. 45

46 Suponha agora, sem perda de generalidade, que U = 1. Então, g = n e i(g)e i = n e i,u = U ; g 2 + f 2 + g 2 = n e i,u 2 + e n+1,u 2 + e 0,U 2 = U 2 = 1. Agora g ij = e j (e i (g)) = e j e i,u = ej e i,u = ej e i,u + ( ej e i ),U = ej e i,u + ( ej e i ),U + ej e i,x X,U = ej e i,n N,U + (e j e i,x e i, ej X )g Daí, = Ae i,e j f e i,e j g = h ij f δ ij g. L r (g) = tr(p r Hessg) = = P r Hessg(e k ),e k = k=1 S r (A k )g kk ( ( ) S r (A k )(h kk f g) = S r (A k )λ k )f S r (A k ) g k=1 = tr(ap r )f tr(p R )g. k=1 k=1 Por outro lado, f = N,U = e i (f) = ei N,U = ei N,U + = j=1 = = k=1 ( ei N),U ei N,e j ej,u + ei N,N N,U + ei N,X X,U h ij e j,u + (e i N,X j=1 δ ij λ j e j,u N,e i g j=1 = λ i e i,u. N, ei X )g Logo, f = e i (f)e i = λ i = Aei,U e i = AU,e i ei = AU. 46

47 Para o que falta, note que f i = AU,e i = fij = e j (f i ) = e j AU,e i = ej AU,e i. Assim, pela equação de Codazzi, temos que f ij = U Ae j + A[e j,u ],e i = U Ae j,e i Ae i, [e j,u ] = U top (h ij ) + Ae j, U e i Ae i, ej U U e i = U (h ij ) Ae i, ei U, em p, pois {e 1,e 2,...,e n } em p implica em v e i = 0, v T p M. Então, em p, f ij = = = g k e k (e ij ) Aei, ej (g k e k ) k=1 g k h ijk k=1 g k h ijk k=1 e j (g k ) Ae i,e k k=1 k=1 k=1 (h kj f δ kj g)h jk. Segue-se que L r (f) = = j,k=1 P r e j (e j (f)) = S r (A j )f jj j=1 [ S r (A j ) j=1 = j=1 g k h jjk k=1 S r (A j )h jjk g k j,k=1 ] (h kj f δ kj g)h jk k=1 S r (A j )λ 2 jδ kj f + j,k=1 S R (A j ) j,k=1 ( ) = P r e j,e j e k (h jj )g k S r (A j )λ 2 j g = j,k=1 j=1 Pr e j, ej h jj e j gk tr(a 2 P r )f + tr(ap r )g. j,k=1 Porém temos que Pr e j, ej (h jj e j ) g k = e j, g (h jj e j ) = e j,p r U (Ae j ) = j=1 e j, (P r U A)e j j=1 j=1 = tr(p r U A) = U (S r+1 ). 47