UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MESTRADO EM MATEMÁTICA. GRÁFICOS RADIAIS COMPLETOS SOBRE Sn+1

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAENTO DE ATEÁTICA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO E ATEÁTICA ESTRADO E ATEÁTICA JOBSON DE QUEIROZ OLIVEIRA GRÁFICOS RADIAIS COPLETOS SOBRE Sn+1 Fortaleza 2007

2 Jobson de Queiroz Oliveira GRÁFICOS RADIAIS COPLETOS SOBRE Sn+1 Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em atemática, da Universidade Federal do Ceará, para obtenção do grau de estre em atemática. Orientador: Prof. Dr. Abdênago Alves de Barros. Fortaleza 2007

3 Oliveira, Jobson de Queiroz O47g Gráficos Radiais Completos Sobre S n+1 Jobson de Queiroz Oliveira. - Fortaleza: f. Orientador: Prof. Dr. Abdênago Alves de Barros. 1- Geometria Diferencial CDD

4 folha de aprovação 3

5 Dedico este trabalho aos meus amigos

6 Agradecimentos Gostaria de agradecer inicialmente ao professor Abdênago Barros por ter aceitado me orientar e pela paciência durante este período. Ao professor Pacelli Bessa, por seus conselhos. Ao professor Luquésio Jorge por mostrar que atemática deve ser um prazer e não um trabalho. À Andréa pela eficiência e paciência. Aos amigos: Alisson, Carpegiani, Cícero, Darlan Girão, Darlan Portela, Feliciano, Gleydson, Ivy, Jânio, Joserlan, Luiza, ichel, Paulo, Ronny, Silvana, Tony. A minha turma de estrado pelo apoio. A CAPES pelo apoio financeiro.

7 . O rio atinge seus objetivos porque aprendeu a contornar obstáculos. (Lao-Tsé)

8 Resumo Seja S n+1 a esfera euclidiana n+1-dimensional e p 0 S n+1. Dado r > 0, considere o conjunto S n (r) = {q S n+1 ; dist (q, p 0 ) = r}. Seja n S n+1 gráfico radial completo sobre S n (r). Demonstraremos que se n tem curvatura média constante não nula então n será totalmente umbílico. Na demonstração serão utilizados a primeira fórmula integral de inkowski, juntamente com um resultado devido a Sousa (2004), que fornece uma expressão para o Laplaciano da função suporte da imersão x : n S n+1.

9 Sumário 1 Introdução 9 2 Preliminares Curvaturas Gradiente, Divergente e Laplaciano Campos de Jacobi em variedades com curvatura constante Imersões Isométricas A Primeira Fórmula Integral de inkowski Função Suporte Laplaciano da Função Suporte Gráficos Radiais Gráficos Radiais

10 Capítulo 1 Introdução O estudo de superfícies compactas com curvatura média constante no espaço euclidiano tridimensional foi um dos principais problemas da Geometria Diferencial Clássica. Um dos primeiros resultados acerca desse problema, devido a Delanay, diz que toda superfície de revolução compacta com curvatura média constante é uma esfera redonda. Em 1853, Jellet mostrou que toda superfície estrelada R 3, com curvatura média constante é uma esfera redonda. Posteriormente, Hopf mostrou que se uma superfície Σ R 3 com curvatura média constante é homeomorfa a uma esfera, então Σ também é uma esfera redonda. A generalização das curvaturas média e gaussiana para uma hipersuperfície n no espaço euclidiano (n+1)-dimensional são as r-ésimas curvaturas médias H r, r = 1,..., n, que são definidas pelos r-ésimos polinômios simétricos elementares avaliados nas curvaturas principais de n. Posteriormente, Süss (1952) mostrou que se uma hipersuperfície n no espaço euclidiano é compacta, convexa, com H r constante, para algum r = 1,..., n, então n é uma esfera. A demonstração de Süss baseia-se nas fórmulas integrais de inkowski, no entanto, tal demonstração não se aplica a hipersuperfícies compactas quaisquer. Alexandrov (1956) mostrou que toda hipersuperfície compacta mergulhada no espaço euclidiano que tem curvatura média constante é 9

11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10 uma esfera redonda. Ros (1987) estendeu o resultado de Alexandrov mostrando que a esfera redonda é a única hipersuperfície compacta, mergulhada no espaço euclidiano com curvatura escalar constante. Em seguida, Ros (1988) estendeu este resultado para qualquer curvatura de ordem superior, mostrando que a esfera é a única hipersuperfície compacta mergulhada no espaço euclidiano com H r constante. Após este trabalho, ontiel e Ros (1991) obtiveram um resultado semelhante para o espaço hiperbólico e para a esfera euclidiana, sendo que, para esta última, com a hipótese adicional de a hipersuperfície estar totalmente contida num hemisfério. A hipótese de estar totalmente contida num hemisfério é essencial pois um produto de esferas gera hipersuperfícies da esfera euclidiana com curvatura média constante. Revisitando o teorema de Jellett, Barros e Sousa (2006) estenderam tal teorema para hipersuperfícies da esfera. Nosso objetivo principal neste trabalho é apresentar uma demonstração desse resultado. ais precisamente temos o seguinte teorema: Teorema 1 Seja n S n+1 um gráfico radial completo sobre uma esfera de raio R contida em S n+1. Se n tem curvatura média constante não nula então n é uma esfera geodésica. Na sua demonstração será utilizada a primeira fórmula integral de inkowski, juntamente com um corolário do teorema a seguir, obtido por Sousa (2004). Teorema 2 Seja uma variedade riemanniana de dimensão n + 1 e V um campo conforme em. Seja uma hipersuperfície de e η um campo de vetores unitário, normal a em. Defina f : R por f (p) = V(p), η(p) então f = n V, grad H (Ric (η) + A η 2 ) f n(ψh + η[ψ]), onde H é a curvatura média de, grad H é o gradiente de H, A η é a norma da

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 11 segunda forma fundamental de, ψ é o fator de conformidade do campo V e é o Laplaciano de na métrica induzida por. Corolário 1 Seja x : Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante H de uma variedade riemanniana orientável. Considere o campo tangente V = S c grad ρ então f = A η 2 f nhθ c, onde é o Laplaciano em, η é normal a imersão, A η é a norma da segunda forma fundamental A η da imersão, ρ : R é a distância intrínseca a um ponto p 0 n fixado, S c = sin ρ e θ c = cos ρ. Finalmente, vamos enunciar a primeira fórmula integral de inkowski que sera útil na demonstração do teorema 1: Teorema 3 (Primeira Fórmula Integral de inkowski): Seja n uma variedade riemanniana compacta e x : n Q n+1 c HgdA = uma imersão isométrica, então θ c da, onde H e g são a curvatura média e a função suporte da imersão.

13 Capítulo 2 Preliminares Neste capítulo apresentaremos alguns conceitos e resultados básicos que serão utilizados ao longo deste trabalho. Denotaremos por n, ou simplesmente, uma variedade riemanniana de dimensão n. A conexão de será denotada por e, representará sua métrica. Designaremos por X() o conjunto dos campos de vetores de classe C em e por D() o anel das funções reais de classe C definidas em. Se p, então T p denotará o espaço tangente a em p. Enunciaremos agora um importante teorema, cuja prova pode ser encontrada em do Carmo (1988). Teorema 4 (Levi-Civita) Seja n uma variedade riemanniana. Então existe uma única conexão afim em satisfazendo, X, Y, Z X(), as seguintes condições: a) é livre de torção, isto é, X Y Y X [X, Y] = 0; b) é compatível com a métrica, isto é, Z X, Y = Z X, Y + X, Z Y. 12

14 Preliminares Curvaturas Nesta secção relembraremos definições e propriedades básicas a respeito das curvaturas seccional, escalar e de Ricci. O tensor curvatura R de uma variedade riemanniana n é uma correspondência que associa a cada par X, Y X() uma aplicação linear R(X, Y) : X() X() dada por R(X, Y)Z = Y X Z Y X Z + [X,Y] Z, Z X(). Verifica-se que o tensor curvatura satisfaz as seguintes propriedades para quaisquer X, Y, Z, T X() a) R(X, Y)Z, T + R(Y, Z)X, T + R(Z, X)Y, T = 0 (1 a Identidade de Bianchi); b) R(X, Y)Z, T = R(Y, X)Z, T ; c) R(X, Y)Z, T = R(X, Y)T, Z ; d) R(X, Y)Z, T = R(Z, T)X, Y. Lema 1 Sejam uma variedade riemanniana e p. Defina uma aplicação trilinear R : T p T p T p T p por R (X, Y, W), Z = X, W Y, Z Y, W X, Z, X, Y, Z, W T p. Então tem curvatura seccional constante c se e somente se R = cr, onde R é a curvatura de. Seja σ T p um subespaço bidimensional do espaço tangente T p e sejam x, y σ dois vetores linearmente independentes. Definimos a curvatura seccional K de em p segundo σ por K(x, y) = R(x, y)x, y x y 2,

15 Preliminares 14 onde x y 2 = x, x y, y x, y 2. Seja X T p um vetor unitário. Tomemos {z 1,..., z n 1, z n = X} uma base ortonormal de T p. A curvatura de Ricci de na direção de X em p é definida por Ric p (X) = 1 n 1 n 1 R(X, z i )X, z i. i=1 A curvatura escalar de em p é definida como S(p) = 1 n Ric p (z j ). 2.2 Gradiente, Divergente e Laplaciano Nesta secção serão provados alguns resultados básicos envolvendo o gradiente e o Laplaciano de funções reais de classe C definidos em e a divergência de campos de vetores em. Seja f D(). O gradiente de f é o campo de vetores em, definido pela seguinte condição grad f, X = X( f ), X X(). Decorre da definição que se f, g D() então: 1. grad ( f + g) = grad f + grad g; 2. grad ( f.g) = f grad g + ggrad f. Seja X X(). A divergência de X é a função Div X : R, definida por Div X(p) = tr [Y(p) ( Y X)(p)].

16 Preliminares 15 As propriedades abaixo decorrem diretamente da definição. 1. Div (X + Y) = Div X + Div Y; 2. Div ( f.x) = f.div X + grad f, X, para quaisquer X, Y X() e qualquer f D(). Seja f D(). O Laplaciano de f é o operador : D() D() definido por f = Div (grad f ). que Usando as propriedades do gradiente e divergente, prova-se facilmente 1. ( f + g) = f + g; 2. ( f.g) = f g + g f + 2 grad f, grad g, para quaisquer f, g D(). Proposição 1 Sejam (x 1,..., x n ) um sistema de coordenadas locais em e f D(). Então grad f = i, g f ij, x j x i onde g ij = x i, x j e (g ij ) é a inversa da matriz (g ij ). Prova: Como grad f X() e { x 1,..., x n } constitui uma base, podemos escrever grad f = a i. x i Portanto grad f, = x j i=1 a i x i, i=1 x j = a i g ij = i=1 g ij a i. (2.1) i=1

17 Preliminares 16 ( ) Assim considerando as matrizes F = grad f, x j, A = (a k ) n 1 e G = n 1 (g ij ) n n, decorre que F = GA. Então sendo G invertível temos A = G 1 F e com isso um elemento genérico de A se escreve como a i = g ij f j, onde f j = grad f, x j = f x j. Portanto grad f = = i=1 i, g ij f j x i g f ij. x j x i Proposição 2 Sejam (x 1,..., x n ) um sistema de coordenadas locais em e X = um campo de vetores em. Então a j x j div X = a j Γ i ij + a i x i, onde Γ k são os símbolos de Christoffel da métrica em. ij Prova: Por definição, div X = tr[y Y X]. Então [ X = a x i x i j x j = x i [ = a j + a ] j. x i x j x i x j Faça x i x j = n Γ k ij k=1 i=1 x k, para obter x i X = = a j x j a j Γ k ij + a j x k x i x j k=1 a j Γ k ij + a k. x i x k k=1 ]

18 Preliminares 17 Como div X = i,l=1 g il x i X, x l div X =, temos que a j Γ i ij + a i x i. i=1 Proposição 3 Sejam (x 1,..., x n ) um sistema de coordenadas locais em e X = um campo de vetores em. Então i=1 a i x i onde g = det (g ij ). div X = 1 g i=1 x i (a i g), Prova: Temos, inicialmente, que Γ i ij = 1 [ g jl + g li ] g ij g li. 2 x i x j x l Então 2 a j Γ i ij = i = i, l=1 [ a j g jl + g li ] g ij g li x i x j x l ij,l=1 l=1 a j g jl x i g li + i,j,l=1 a j g li x j g li i,j,l=1 Trocando i por l na primeira parcela, temos que (2.2) se reduz a 2 a j Γ i ij = i,j,l=1 i,j,l=1 a j g li x j g li = i,j,l=1 Logo, usando (2.3) e a Proposição 2, temos a i div X = g g lj lj + a i 2 x i x i i=1 j,l=1 a i = g g jl jl + a i 2 x i x i. i=1 j,l=1 a j g ij x l g li. (2.2) a i g lj x i g li. (2.3)

19 Preliminares 18 Usando o fato de que j,l=1 div X = g jl g jl x i = = = i=1 i=1 1 g 1 g = 1 g, obtemos g x i [ ai 1 g + a ] i 2 g x i x i 1 g + a ] i 2 g x i x i [ ] ai ( g) g + ai x i x i i=1 (a i g). x i [ ai i=1 Proposição 4 Sejam (x 1,..., x n ) um sistema de coordenadas locais em e f D(). Então Prova: Por definição temos que f = 1 ( gg f ) ij. g x i x j i, Assim, pela Proposição 1, temos que f = Div (grad f ). grad f = i, g f ij. x j x i Usando a Proposição 3, obtemos que f = Div (grad f ) = 1 g f g x i ij g x j i=1 1 ( gg = f ) ij, g x i x j onde g = det (g ij ). i,

20 Preliminares 19 Seja f D(). Definimos o Hessiano de f em p como o operador linear Hess f : T p T p, dado por (Hess f )Y = Y grad f, Y T p. Podemos considerar Hess f como um tensor tal que para cada par de campos X, Y X(), temos (Hess f )(X, Y) = (Hess f )(X), Y. 2.3 Campos de Jacobi em variedades com curvatura constante Seja n uma variedade riemanniana e p n e seja γ : [0, a] n uma geodésica de n. Um campo de vetores J ao longo de γ é um campo de Jacobi se vale: D 2 J dt 2 + R(γ (t), J(t))γ (t) = 0, t [0, a] Tome agora variedade riemanniana com curvatura seccional constante c, γ : [0, a] geodésica normalizada em e J um campo de Jacobi ao longo de γ, normal a γ. Segue do lema 1 da seção 2.1 e do fato de γ = 1 que R(γ, J)γ = cj. De fato, para todo campo T ao longo de γ temos R(γ, J)γ, T = c{ γ, γ J, T γ, T J, γ } = c J, T. Donde R(γ, J)γ = cj. Temos então que a equação de Jacobi se escreve D 2 J + cj = 0. dt2

21 Preliminares 20 Seja ω(t) um campo paralelo ao longo de γ com γ (t), ω(t) = 0 e ω(t) = 1. Temos que o campo J(t) dado por J(t) = tω(t), se c = 0 sin( ct) c ω(t), se c > 0 sinh( ct) c ω(t), se c < 0 é solução da equação de Jacobi, com condições as iniciais J(0) = 0 e J (0) = ω(0). Portanto, os campos de Jacobi numa variedade riemanniana com curvatura seccional constante são da forma J(t) acima. 2.4 Imersões Isométricas Considere ( n, g) e ( m, g) variedades riemannianas. Uma aplicação diferenciável x : é uma imersão se dx p : T p T x(p) for injetiva p. Se, além disso, x for um homeomorfismo sobre x(), com x() munido com a topologia induzida por, diz-se que x é um mergulho. Quando x g = g, ou seja, a métrica em é o pull-back, via x da métrica em, dizemos que x é imersão isométrica. Por simplicidade, denotaremos g e g por,. Assim x g = g significa que z, w p = dx p (z), dx p (w) x(p). As conexões riemannianas de e serão denotados por e, respectivamente. Considerando x : uma imersão isométrica temos que x é localmente um mergulho, ou seja, p, existe uma vizinhança U de p tal que x(u) é subvariedade de. Isso nos permite, para efeito de simplificação, identificar cada ponto p com sua imagem x(p)

22 Preliminares 21 e cada vetor tangente υ T p com dx p (υ) T x(p). Desse modo temos a decomposição T p = T p (T p ) em cada ponto p, já que é possível estender campos de vetores definidos numa vizinhança U de x(p) em. Nesse mesmo contexto prova-se que =, isto é, X Y = ( X Y), onde X, Y X() e X, Y são extensões de X,Y, respectivamente a X(). Considerando X, Y X(U) e X, Y extensões de X,Y a X(x(U)) temos que a aplicação A η : X(U) X(U) X(U), dada por α(x, Y) = X Y X Y, é bilinear e simétrica, onde X(U) é o conjunto dos campos de vetores normais a x(u) U. Assim, dado η (T p ), definimos uma forma bilinear e simétrica H η : T p T p R por H η (X, Y) = α(x, Y), η. A forma quadrática II η, definida em T p por II η (X) = H η (X, X), é denominada segunda forma fundamental da imersão x segundo o vetor normal η. À forma H η podemos associar um operador linear auto-adjunto A η : T p T p, satisfazendo A η (X), Y = H η (X, Y). Por abuso de linguagem também designaremos A η por segunda forma fundamental da imersão x segundo o vetor normal η. Assim, é fácil provar que, se p, X T p e η (T p ), então A η (X) = ( X η),

23 Preliminares 22 onde η é uma extensão local de η normal à. A fórmula de Gauss é um resultado fundamental no estudo das imersões e pode ser encontrada em do Carmo (1988), que estabelece o seguinte: Teorema 5 (Equação de Gauss) : Sejam p, X, Y vetores ortonormais de T p. Então K(X, Y) K(X, Y) = α(x, X), α(y, Y) α(x, Y) 2, onde K(X, Y) e K(X, Y) denotam, respectivamente, as curvaturas seccionais de e com relação ao plano gerado por X e Y. Agora consideremos uma imersão x : n n+1. Sejam p, η (T p ) e {e 1,..., e n } uma base ortonormal de T p para a qual A η é diagonal. Por simplicidade denotaremos A η por A, já que a codimensão da imersão é um. Temos A(e i ) = k i e i, os auto-valores k s são as curvaturas i principais de em p. Então H(e i, e i ) = k i. Portanto a equação de Gauss se escreve como K(e i, e j ) K(e i, e j ) = k i k j, i j. Em particular, se a curvatura K de for constante e igual a c, obtemos K(e i, e j ) = c + k i k j. Lema 2 Seja x : n S n+1 uma imersão isométrica então A 2 nh 2 e vale a igualdade se e somente se é umbílica. Prova: Considere os vetores v 1 = (k 1, k 2,..., k n ), v 2 = (1, 1,..., 1) R n, então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos v 1, v 2 2 v 1 2 v 2 2 e

24 Preliminares 23 vale a igualdade se e somente se v 1 = kv 2, com k R. Donde obtemos 1 n (k 1 + k k n ) 2 k k k2 n. as A 2 = k k k2 n e nh 2 = n( 1 n n k j ) 2 = 1 n (k 1 + k k n ) 2 donde segue o resultado. Se vale a igualdade então k j = k, j = 1,..., n isto é, é umbílica. Lema 3 Na esfera euclidiana S n+1 vale a seguinte relação Hessρ(X, Y) = cosρ [ X, Y XρYρ], senρ onde ρ é a distância intrínseca a um ponto p 0 S n+1 fixado e senρ é solução da equação y + y = 0 com condições iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1. Prova: Seja p 0 S n+1 fixado e considere a função ρ : S n+1 R dada por ρ = dist S n+1(p, p 0 ) então temos que ρ = θ onde θ é o ângulo formado pelos vetores p e p 0, portanto cosρ = p, p 0 p p 0 = p, p 0. Dado um campo de vetores X em S n+1 temos Xcosρ = senρxρ. Por outro lado, Xcosρ = X p, p 0 = X, p 0. Donde X, p 0 = senρxρ. Derivando agora com relação a um outro campo de vetores arbitrário Y

25 Preliminares 24 em S n+1, obtemos YXcosρ = Y( senρxρ) = senρyxρ cosρyρxρ. as Y X, p 0 = Y X, p 0 = Y X + α(x, Y), p 0, onde é a conexão do R n+1 e α(x, Y) a segunda forma fundamental de S n+1 vista como hipersuperfície de R n+1. Na esfera S n+1 sabemos que α(x, Y) = X, Y p daí temos senρyxρ cosρyρxρ = Y X X, Y p, p 0, isto é, senρyxρ cosρxρyρ = Y X, p 0 X, Y cosρ. Note que Y X, p 0 = Y X p, p 0 = Y Xcosρ = senρ Y Xρ. Substituindo na expressão acima, obtemos senρyxρ cosρxρyρ = senρ Y Xρ X, Y cosρ. Donde cosρ[ X, Y XρYρ] = senρ Y Xρ + senρyxρ. Como Hessρ(X, Y) = XYρ X Yρ = X grad ρ, Y, vem que senρ Y Xρ + senρyxρ = senρhessρ(x, Y). Logo, Hessρ(X, Y) = cosρ [ X, Y XρYρ], senρ como queríamos demonstrar.

26 Capítulo 3 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 3.1 Função Suporte No que segue Q n+1 c denotará uma variedade riemanniana (n+1)-dimensional, completa, simplesmente conexa com curvatura seccional constante c. Seja x : n R n+1 uma imersão isométrica e tome p 0 R n+1, defina χ : n R n+1 por χ(p) = p p 0 onde aqui fazemos a identificação x(). Defina g : n R a função suporte da imersão χ por g(p) = χ(p), N(p), onde N é o vetor unitário normal a em p e, é o produto interno canônico do R n+1. Desejamos agora estender as noções de vetor posição e função suporte para variedades com curvatura seccional constante não-nula. Para isso utilizaremos a noção de campos de Jacobi em variedades com curvatura constante. 25

27 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 26 Sejam γ : ( ɛ, ɛ) Q n+1 c uma geodésica normalizada tal que γ(0) = p 0, E(t) campo paralelo ao longo de γ com γ (t), E(t) = 0, E(t) = 1 e J(t) = S c (t)e(t) o campo de Jacobi normal ao longo de γ que se anula em t = 0. Fixado p 0 Q n+1 c considere a função ρ : Q n+1 c R dada por ρ(p) = dist (p, p 0 ) onde dist é a distância intrínseca de Q n+1 c função ρ em Q n+1 c. Se c = 0 temos, fixando p 0 = (a 1,..., a n+1 ) e denote por grad ρ o gradiente da ρ(p) = dist (p, p 0 ) = p p 0 = (x 1 a 1 ) (x n+1 a n+1 ) 2. Como c = 0 então grad ρ = ( ρ ρ x 1,..., x n+1 ) onde ρ = 1 x j 2 p p (xj a j ) = (p j a j ) p p = p j a j ρ(p). Logo grad ρ(p) = ( p 1 a 1 ρ(p),..., p n+1 a n+1 ) = χ(p) :χ(p) = ρ(p)grad ρ(p). ρ(p) ρ(p) Por analogia com o caso c = 0 definiremos o campo de vetores χ como χ(p) = S c (ρ(p))grad ρ(p). Este campo é chamado de vetor posição com origem p 0. Seja n uma variedade riemanniana orientável e x : n Q n+1 c uma imersão isométrica. Como estamos identificando n x( n ) então podemos definir, para todo p em n, o vetor N(p), normal a n x( n ) em x(p). Novamente por analogia com o caso c = 0, definimos a função g : n R por: g(p) = χ(p), N(p),

28 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 27 onde χ(p) = S c (ρ)grad ρ é o vetor posição com origem p 0 n e, é o produto interno dado pela métrica h de Q n+1 c. A função g definida acima é chamada de função suporte da imersão x. Uma interpretação geométrica para a função g no caso c = 0 é que g(p) é a distância de p 0 ao hiperplano tangente a x() em x(p). De fato, note que se c = 0 então temos x : n R n+1 daí g(p) = χ(p), N(p) = χ(p), N(p) N(p) N(p) 2 = Proj χ(p) (p) N = dist (p 0, T p ), ou seja, g(p) é a distância de p 0 ao hiperplano tangente a χ() em χ(p). No caso c > 0 podemos assumir, sem perda de generalidade, que Q n+1 c esfera de raio 1 c no R n+2. Neste caso, g(p) é igual a distância euclidiana do ponto p 0 ao hiperplano que contém a hipersuperfície totalmente geodésica tangente a χ() em χ(p). Inicialmente, note que podemos escrever p 0 = cos ( cρ(p))p sin( cρ(p)) c grad ρ. é a De fato, sejam p, p 0 S 1 c R n+2 então p 0 = ap + b grad ρ grad ρ, p, p 0 = 1 cos θ, c onde, é o produto interno canônico do R n+2. Logo 1 c cos θ = p, p 0 = a 1 + b p, grad ρ c e 1 c = p 0, p 0 = a 2 1 grad ρ + 2ab p, c grad ρ + b2 grad ρ grad ρ, grad ρ grad ρ.

29 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 28 Sendo p, grad ρ = 0 então segue que Donde b = 1 c sin ( cρ(p)). Logo a = cos θ = cos( cρ(p)) b 2 = 1 c (1 cos2 θ) = 1 c sin2 θ p 0 = cos ( cρ(p))p sin ( cρ(p)) c grad ρ, daí p, N(p) = cos ( cρ(p))p sin ( cρ(p)) grad ρ, N(p) c = cos ( cρ(p)) p, N(p) sin ( cρ(p)) grad ρ, N(p) c = sin( cρ(p)) grad ρ, N(p). c Portanto p 0, N(p) = sin ( cρ(p)) grad ρ, N(p) c = χ(p), N(p) = g(p). E então g(p) = g(p) = p 0, N(p) que é a distância euclidiana de p 0 ao hiperplano gerado por N(p) que contém a hipersuperfície totalmente geodésica tangente a χ() em χ(p). Definição 1 Uma subvariedade Q n+1 c todo v T, γ v, geodésica de Q n+1 c é dita totalmente geodésica se para que passa por p e tem vetor velocidade v em p está totalmente contida em ou, equivalentemente, se toda geodésica de é goedésica de Q n+1 c.

30 A Primeira Fórmula Integral de inkowski Laplaciano da Função Suporte Definição 2 Seja ω T r (), isto é, ω é um r-tensor covariante e V X(). A derivada de Lie de ω com respeito a V, denotada por L V ω é definida por: (L V )ω(x 1,..., X r ) = V[ω(X 1,..., X r ) r ω(x 1,..., [V, X j ],..., X r ). Exemplo 1 Se ω é a métrica, de então: L V ω(x, Y) = V[ X, Y ] X, [V, Y] [V, X], Y = V X, Y + V Y, X X, [V, Y] [V, X], Y = V X [V, X] + V Y [V, Y], X = X V, Y + Y V, X, onde na última igualdade usamos o fato de ser simétrica. Definição 3 Seja V X(), dizemos que V é conforme se existe ψ C () tal que L V, = 2ψ,. O próximo teorema, provado inicialmente em Sousa (2003) será um dos ingrediantes principais na demosntração do nosso principal resultado. Teorema 6 Seja uma variedade riemanniana de dimensão n + 1 e V um campo conforme em. Seja uma hipersuperfície de e η um campo de vetores unitário, normal a em. Defina f : R por f (p) = V(p), η(p) então f = n V, grad H (Ric (η) + A η 2 ) f n(ψh + η[ψ]), onde H é a curvatura média de, grad H é o gradiente de H, A η é a norma da segunda forma fundamental de, ψ é o fator de conformidade do campo V e é o Laplaciano de na métrica induzida por.

31 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 30 Corolário 2 Seja x : Q n+1 c uma imersão isométrica com curvatura média constante H de uma variedade riemanniana orientável. Considere o campo tangente V = S c grad ρ então f = A η 2 f nhθ c, onde é o Laplaciano em, η é normal a imersão, A η é a norma da segunda forma fundamental A η da imersão, ρ : R é a distância intrínseca a um ponto p 0 n fixado, S c = sin ρ e θ c = cos ρ. Prova: Para usar o teorema acima devemos mostrar que o campo V dado por V = S c grad ρ é conforme, ou seja, devemos mostrar que existe uma função ψ C () tal que L V, (X, Y) = 2ψ X, Y, X, Y X(). Sabemos que L V (X, Y) = X V, Y + Y V, X e sendo S c = S c (ρ) então X S c grad ρ = S c X grad ρ + X(S c )grad ρ = S c X grad ρ + θ c (Xρ)grad ρ. Logo L V, (X, Y) = X S c grad ρ, Y + Y S c grad ρ, X = S c X grad ρ, Y + 2θ c grad ρ, X grad ρ, Y + S c Y grad ρ, X = S c X grad ρ, Y + 2θ c X(ρ)Y(ρ) + S c Y grad ρ, X. Daí as X grad ρ, Y = θ c S c [ X, Y XρYρ]. L V, (X, Y) = S c { θ c [ X, Y X(ρ)Y(ρ)] + θ c [ X, Y X(ρ)Y(ρ)]} + 2θ c X(ρ)Y(ρ) S c S c = θ c X, Y θ c X(ρ)Y(ρ) + θ c X, Y θ c X(ρ)Y(ρ) + 2θ c X(ρ)Y(ρ) = 2θ c X, Y.

32 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 31 Logo V = S c grad ρ é conforme. Pelo teorema acima temos que f = f (Ric p (η) + A η 2 ) n grad H, V n(ψh + η[ψ]) Sendo grad H = 0 e V = S c grad ρ conforme vem que f = (Ric p (η) + A η 2 ) f n(ψh + η[ψ]) = (Ric p (η) + A η 2 ) f n(ψh + η[ψ]). Note que η[s c(ρ)] = S c (ρ) grad ρ, η. Como S c + cs c = 0 e f = S c grad ρ, η obtemos η[s c(ρ)] = c f. Portanto n(η[s c(ρ)]) = cn f. as Ric p (η) = n R(η, e j )η, e j, onde {e 1,..., e n } é base ortonormal de T p. Daí donde Ric p (η) = R(η, e j )η, e j = Ric p (η) f = nc f. c = nc Temos então que f = A η 2 f nhθ c. Teorema 7 (Primeira Fórmula Integral de inkowski): Seja n uma variedade riemanniana compacta e x : n Q n+1 c HgdA = θ c da, onde Hé a curvatura média da imersão. uma imersão isométrica. Então Prova: Seja X o vetor posição com origem em p 0 e {E 1,..., E n } referencial ortonormal de T. Denote por Div o divergente em e por X e X

33 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 32 as componentes tangente e normal do vetor X. Note que X, E j = 0, j, daí, sendo a conexão riemanniana de Q n+1 c que 0 = E j X, E j = Ej X, E j + Ej E j, X, isto é, Ej X, E j = Ej E j, X = ( Ej E j ) + ( Ej E j ), X = ( Ej E j ), X = ( Ej E j ), X. Sabemos que Div (X) = tr(y(p) Y X(p)). Logo vem Div (X ) = = = = Ej X, E j Ej (X X ), E j Ej X, E j Ej X, E j + Ej X, E j ( Ej E j ), X. Afirmação: n Ej X, E j = nθ c, onde X = S c (ρ)grad ρ. Prova: Inicialmente, note que Ej S c (ρ)grad ρ = S c (ρ) Ej grad ρ + E j (S c (ρ))grad ρ = S c (ρ) Ej grad ρ + S c(ρ) grad ρ, E j grad ρ. Ej S c (ρ)grad ρ, E j = S c (ρ) Ej grad ρ + S c(ρ) grad ρ, E j grad ρ, E j = S c (ρ) Ej grad ρ, E j + θ c grad ρ, E j 2.

34 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 33 Temos então que Ej X, E j = Usando que = Ej S c (ρ)grad ρ, E j {S c (ρ) Ej grad ρ, E j + θ c (ρ) grad ρ, E j 2 } = S c (ρ) Ej grad ρ, E j + θ c (ρ) grad ρ, E j 2. V grad ρ, W = θ c S c ( V, W VρWρ), V, W X(Q n+1 c ), obtemos em particular Ej grad ρ, E j = θ c S c (1 grad ρ, E j 2 ). Portanto Ej X, E j = S c (ρ) = S c (ρ) = S c (ρ) = nθ c. Ej grad ρ, E j + θ c (ρ) grad ρ, E j 2 ( θ c S c (1 grad ρ, E j 2 ) + θ c (ρ) θ c S c grad ρ, E j 2

35 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 34 Note que n ( Ej E j ), η = nh pois H = 1 n tr(a η(e j )) = 1 n = 1 n = 1 n = 1 n A η (E j ), E j B(E j, E j ), η ( Ej E j ), η ( Ej E j ), η. Logo nhη = n ( Ej E j ). Temos então que Div (X ) = Ej X, E j + = nθ c + ( Ej E j ), X ( Ej E j ), X = nθ c + nhη, X = nθ c + nhg. Integrando sobre n obtemos Div (X )da = n(θ c + Hg)dA. Pelo Teorema da Divergência Div(X )da = pois é compacta sem bordo. Daí 0 = Div (X )da = X, N da = 0, n(θ c + Hg)dA.

36 A Primeira Fórmula Integral de inkowski 35 Logo, ou seja (θ c + Hg)dA = 0, HgdA = θ c da.

37 Capítulo 4 Gráficos Radiais 4.1 Gráficos Radiais Seja n R n+1 um gráfico radial sobre S n (r) e considere X : U R n S n (r) parametrização de S n (r) e Y : U R n n parametrização de n. Se σ(u 1,..., u n ) = Y(u 1,..., u n ) > 0 então Y = σx. Considere agora a função f : n R definida por f (Y) = Y, N Y, onde N Y é um campo unitário normal à n. Observe que Y j = Y u j = σx j + σ j X. Daí Portanto σx, (σx 1 + σ 1 X)... (σx n + σ n X) Y 1... Y n = σx, (σx 1)... (σx n ). Y 1... Y n f (Y) = σx, Y 1... Y n Y 1... Y n = X 1... X n Y 1... Y n σn+1 X, N X = X 1... X n 1 Y 1... Y n σn+1 X, X r = X 1... X n 1 Y 1... Y n σn+1 r < 0. 36

38 Gráficos Radiais 37 Aqui tomamos N X = 1X o campo unitário, normal à r Sn (r) de modo que a curvatura média H S n (r) seja estritamente positiva. Sejam p 0 S n+1 e r > 0 e tome o conjunto S n (r) = {q S n+1 ; dist (q, p o ) = r}. Seja então n S n+1 gráfico radial sobre S n (r). Supondo n S n+1 [p 0, p 0 ], considere a projeção estereográfica P : S n+1 [p 0 ] R n+1 e V S n+1 o campo vetor posição com base p 0 em S n+1. Então temos o seguinte lema: Lema 4 Nas condições acima, a função f : n R, definida por f (p) = V S n+1(p), N Y (p), tem sinal bem definido. Prova: Sejam X, Y parametrizações de S n (r) e n respectivamente. Então P(X) é uma esfera em R n+1 e P(Y) é gráfico sobre P(X). Como P é aplicação conforme então existe e φ D( n ) tal que dp q V, dp q W = e 2φ V, W, V, W T q n, ou seja, dp q preserva o ângulo entre os vetores V e W, logo, existem funções g 1, g 2 : P(Y) R contínuas, ambas positivas ou ambas negativas tais que dp q (V S n+1) = g 1 V R n+1 e dp q (N Y ) = g 2 N P(Y). Daí e 2φ V S n+1, N Y = dp q (V S n+1), dp q (N Y ) = g 1 V R n+1, g 2 N P(Y) > 0(ou < 0). Como e 2φ > 0 segue que a função f tem sinal bem-definido. Passemos agora ao resultado principal deste trabalho.

39 Gráficos Radiais 38 Teorema 8 Seja n S n+1 um gráfico radial completo sobre o conjunto S n (r) definido acima. Se n tem curvatura média constante não nula H então n é uma hipersuperfície totalmente umbílica. Prova: Pelo Corolário 1, do capítulo 3, considerando f = V S n+1(p), N Y (p) temos que f = A η 2 f nhθ c, onde A η é a segunda forma fundamental de n. Daí, integrando sobre obtemos f da = A η 2 f da = nhθ c da. Pelo Teorema da Divergência temos f da = 0. Logo A η 2 f da = nhθ c da. Da Primeira Fórmula Integral de inkowski vem que H f da = θ c da. ultiplicando ambas por nh e usando que H é constante não nula temos nh 2 f da = nhθ c da = A η 2 f da. Note agora que, como o sinal da função f é bem definido segue que, supondo f não negativa, temos, pelo Lema 2, que A η 2 f nh 2 f. isto implica que A η 2 f da nh2 f da.

40 Gráficos Radiais 39 Como vale a igualdade entre essas integrais então ( A η 2 f nh 2 f )da = 0. Conseqüentemante, pelo Lema 2 do capítulo 2 vem que é umbílica.

41 Referências Bibliográficas [1] ALENCAR, H.; FRENSEL, K. Hypersurfaces whose tangent geodesics omit a nonempty set. In: LAWSON, Blaine;TENENBLAT, Keti. (Ed.). Differential Geometry: a symposium in honour of anfredo do Carmo. New York: Longman Scientific Technical, p (Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 52). [2] ALEXANDROV, A. D. Uniqueness theorems for surfaces in the large. Vestnik Leingrad Univ, 11, p. 5-17, [3] BARROS, A. B.; SOUSA, P. A. An extension of Jellett s theorem, preprint, [4] do CARO,. P. Geometria Riemanniana. 2 ed. Rio de Janeiro : IPA, p. (Projeto Euclides). [5] JORGE, L.; KOUTROUFIOTIS, D. An Estimate for the curvature of bounded submanifolds, American Journal of athematics, Baltimore, v. 103, p , [6] ONTIEL, Sebastián; ROS, Antonio. Compact hypersurfaces: the Alexandrov theorem for higher order mean curvature. In: LAWSON, Blaine; TENENBLAT, Keti (Ed.) Differential Geometry: symposium in honour of anfredo do Carmo. New York: Longman Scientific 40

42 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 41 Technical, p (Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 52). [7] ROS, Antonio. Compact hypersurfaces with constant scalar curvature and a congruence theorem. Journal of Differential Geometry, Bethlehem, vol. 27, p , [8] ROS, Antonio. Compact hypersurfaces with constant higher order mean curvatures. Revista Iberoamericana, v. 3, p , [9] SOUSA, P. A. O Laplaciano de uma função tipo suporte e aplicações, Dissertação de estrado, UFC, [10] SÜSS, Wilhelm. Uber kennzeichnungen der kugeln und affinespharen durch Herrn K. P. Grotemeyer. Archiv for athematik, Basel, v. 3, p , 1952.