Hipersuperfícies Estáveis CMC com Fronteira Livre numa Bola Euclidiana

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Hipersuperfícies Estáveis CMC com Fronteira Livre numa Bola Euclidiana por Zulema Katherine Gutierrez Ttamiña Belo Horizonte 2019

2 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de matemática Hipersuperfícies Estáveis CMC com Fronteira Livre numa Bola Euclidiana por Zulema Katherine Gutierrez Ttamiña Trabalho de Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para obtenção do grau de MESTRE EM MATEMÁTICA Belo Horizonte, 8 de Março de 2018 Comissão Examinadora: Ezequiel Rodrigues Barbosa - Orientador(UFMG) Emerson Alves Mendoça de Abreu (UFMG) Marcos da Silva Montenegro(UFMG) O autor foi bolsista da Cnpq durante a elaboração deste trabalho.

3 Dedicado a meus pais, Edgar Gutierrez Altamirano e Toribia Ttamiña Huaman, minha fonte de amor incondicional.

4 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, coragem e saude nos momentos de dificultade. Aos meus pais Edgar e Toribia pelo amor e carinho estiveram dando força e incentivo para chegar até o final, a meus irmãos Jan e Helen pelo carinho e as noites de fim de semana engraçadas pelo telefone. A meu tio Elias(em memória), a meu avô Constatino(em memória) sempre presentes. A meu orientador Ezequiel Rodrigues Barbosa, pelos ensinamentos. Ao CNPq pelo apoio. ii

5 Resumo Neste trabalho, estudaremos o resultado obtido por Ezequiel Barbosa que afirma que se B é uma bola em um espaço Euclidiano R n, com dimensão n 3, então a hipersuperfície CMC estável com fronteira livre B satisfaz ( 1 + ) 1 + 4(n + 1)H na L na 2, 2 onde L denota o comprimento da fronteira de, A denota a área de e H denota a curvatura média de. Consequentemente, se a fronteira de é mergulhada, então é totalmente geodésica, ou estrelada com respeito ao centro da bola. Esse resultado é uma melhoria de um Teorema mostrado por Ros e Vergasta em [4]. Palavras-Chaves: Estabilidade, Hipersuperfíes CMC, fronteira livre. iii

6 Abstract In this work, we will study the result obtained by Ezequiel Barbosa which states that if B is a ball in a Euclidean space R n,with dimension n 3, then the stable CMC hypersurface free boundary B suit ( 1 + ) 1 + 4(n + 1)H na L na 2, 2 where L denotes the border length of, A denotes the area of?? and H denotes the mean curvature of. Consequently, if the border is dipped, then is fully geodesic, or starred with respect to the center of the ball. This result is an improvement of a Theorem shown by Ros and Vergasta in [4]. Key-Words: Estability, Hypersurfaces CMC, Free boundary. iv

7 Sumário Introdução 2 1 Preliminares Definições e resultados de Geometria Riemanniana Variações de área e estabilidade Primeira Variação de Área Segunda variação de área Hipersuperfícies estáveis CMC com fronteira livre sobre uma bola euclidiana Lema de Estabilidade do tipo Nunes Demonstração do teorema principal A Apêndice 41 A.1 A derivada do determinante A.2 Resultados Auxiliares Referências Bibliográficas 46

8 Introdução Em 1958, Aleksandrov mostrou que a esfera é a única hipersuperfície conexa, compacta e mergulhada com curvatura média constante no espaço Euclidiano. Em 1984, J. Lucas Barbosa e Manfredo do Carmo forneceram uma noção de estabilidade para hipersuperfícies de Curvatura Media Constante (CMC) no espaço R n+1, e foi provado que as esferas redondas (esferas com métrica Euclidiana) são as únicas hipersuperfícies compactas CMC em R n+1 que são estáveis. Com uma definição similar a deles, em 1995, Ros-Vergasta provaram que uma superfície CMC compacta orientável imersa com fronteira livre em uma bola fechada B R 3 deve de ser ou um disco plano, ou uma calota esférica, ou uma superfície de gênero 1, cuja fronteira tem duas componentes. Daqui em diante, consideraremos um domínio suave, compacto e convexo B em R n+1, e denotaremos por B e intb a fronteira e o interior de B, respectivamente. Definição 0.1. Uma hipersuperfície de fronteira livre CMC em B é uma hipersuperfície de curvatura media constante tal que B intersecta B ortogonalmente ao longo de. Estes tipos de hipersuperfícies são pontos críticos do funcional área dentre todas as hipersuperfícies compactas B com B as quais dividem B em dois subconjuntos de volumes prescritos. Se uma hipersuperfície B com fronteira livre CMC tem segunda variação de área não-negativa, para toda variação que preserva volume, dizemos que ela é uma hipersuperfície CMC estável com fronteira livre. Em Maio de 2016, Ivaldo Nunes mostrou um caso particular do teorema acima, usando um resultado de estabilidade estendido, e um argumento modificado de balanceamento do tipo Hersch, tendo assim um melhor controle sobre o gênero. No mesmo ano, Junho de 2016, Ezequiel Barbosa usa o Lema de Estabilidade tipo Nunes e um importante resultado de Ros-Vergasta [4] para obter o seguinte resultado. Teorema 0.2 (E. Barbosa). Seja B R n, n 3, uma bola fechada. Seja B uma hipersuperfície CMC estável com fronteira livre tal que a fronteira está mergulhada em B.

9 Introdução 2 Então L na. Em particular, é totalmente geodésica, ou é estrelada em relação ao centro da bola. Se n 2, então é um disco totalmente geodésico ou uma calota esférica. O presente trabalho tem como objetivo mostrar o resultado obtido por Ezequiel Barbosa usando como ferramenta a técnica utilizada na demonstração do Lema de Estabilidade do tipo Nunes. O trabalho está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo, introduzimos alguns conceitos básicos de Variedades Diferenciáveis e Variedades Riemannianas. Em seguida, dedicamos o segundo capítulo ao estudo dos conceitos de variação de área, e demonstramos as fórmulas de primeira e segunda variação de área, com a finalidade de introduzir de maneira natural a definição de estabilidade de uma Hipersuperfície. Por fim, no terceiro capítulo, faremos a demonstração do Lema de Estabilidade tipo Nunes para finalmente mostrarmos o teorema de Ezequiel Barbosa.

10 Preliminares Capítulo 1 Nesta seção, apresentaremos algumas definições e resultados conhecidos no ambiente da Geometria Riemanniana com o objetivo de fixar a notação que utilizaremos ao longo desta dissertação. Por esse motivo, algumas demonstrações serão simplesmente referenciadas. 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana Inicialmente, vamos definir o conceito de variedade diferenciável. Seja M um espaço topológico de Hausdorff com base enumerável. Um atlas de dimensão n para M é uma família {φ α : U α M} α L de aplicações contínuas tais que para cada α L, φ α : U α φ α (U α ) é um homeomorfismo de um aberto U α R n sobre um aberto φ α (U α ) de M satisfazendo as seguintes condições: (i) Os abertos φ α (U α ) formam uma cobertura de M, isto é, φ α (U α ) M α L (ii) Para todos índices α, β L, tais que V αβ φ α (U α ) φ β (U β ), as aplicações φ αβ φ 1 α φ βα φ 1 β são diferenciáveis de classe C. φ β : φ 1 β (V αβ) φ 1 φ α : φ 1 α (V αβ ) φ 1 α (V αβ ), (V αβ), Cada aplicação φ α é chamada uma parametrização ou carta local de uma vizinhança β

11 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 4 de M e φ α (U α ) é chamada uma vizinhança coordenada. Se p φ α (x 1,, x n ), então x 1,, x n são chamadas as coordenadas de p na parametrização φ α. Por este motivo, a aplicação φ α também é chamada de um sistema de coordenadas locais, e o atlas {φ α : U α M} α L é também chamado de um sistema de coordenadas para M. Uma estrutura diferenciável para M é um atlas maximal. Definição Uma variedade diferenciável de dimensão n é um espaço topológico de Hausdorff com base enumerável munido de uma estrutura diferenciável. Dados dois sistemas de coordenadas locais x : U M e y : V M no espaço topológico M, tais que W x(u) x(v ), cada p x(u) x(v ) tem coordenadas x i x i (p) no sistema x e coordenadas y i y i (p) no sistema y. A correspondência (x 1 (p),..., x m (p)) (y 1 (p),..., y m (p)) estabelece um homeomorfismo φ xy y 1 x : x 1 (W ) y 1 (W ) chamado mudança de coordenadas. Um atlas A sobre um espaço topológico M diz-se diferenciável, de classe C k, (k 1), se todas as mudanças de coordenadas φ xy, x, y A são aplicações de classe C k. Escrevese então A C k. Como φ yx (φ xy ) 1, segue-se que as aplicações φ xy são, de fato, difeomorfismos de classe C k. Em particular, se escrevemos φ xy : (x 1,..., x m ) (y 1,..., y m ), então o determinante jacobiano det ( ) y i x j é não-nulo em todo ponto de x(u V ). Dado um atlas A C k de dimensão m em um espaço topológico M, dizemos que um sistema de coordenadas z : W M é admissível relativamente ao atlas A, se A {z} ainda é um atlas de classe C k em M. Um atlas A de dimensão m e classe C k sobre M se diz maximal quando contém todos os sistemas de coordenadas locais que são admissíveis em relação a A. Todo atlas de classe C k sobre M pode ser estendido, de modo único, até se tornar um atlas maximal de classe C k, para isso basta acrescentar-lhe todos os sistemas de coordenadas admissíveis. Exemplo 1.1. O espaço R n é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n. Exemplo 1.2. A esfera S n {x R n+1 ; x x 2 n+1 1} é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n. Exemplo 1.3. O espaço projetivo real P n (R), isto é, o espaço quociente de R n+1 {0} pela relação de equivalência: (x 1,..., x n+1 ) (λx 1,..., λx n+1 ) λ R, λ 0

12 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 5 é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n. Definição Sejam M m e N n variedades diferenciáveis. Dizemos que uma aplicação F : M N é diferenciável em p M se existem parametrizações φ : U M de uma vizinhança de p e ψ : V N de uma vizinhança de F (p) tais que (F (φ(u)) ψ(v ) e ψ 1 F φ : U R m R n é uma aplicação diferenciável de classe C. Se f for diferenciável em todo ponto p M, diremos simplesmente que F é uma aplicação diferenciável. Uma aplicação diferenciável F : M N é chamada um difeomorfismo se F é bijetiva e F 1 também é diferenciável. Agora introduziremos o conceito de Espaço Tangente. Definição Seja γ : I M uma curva diferenciável com γ(t 0 ) p. Denotemos por D p (M) {f : M R : fé diferenciável em p} o espaço vetorial das funções reais em M diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva γ em p é a função γ (t 0 ) : D p (M) R definida por γ (t 0 )f (f γ) (t 0 ). Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t 0 de alguma curva α : ( ɛ, ɛ) M com α(0) p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por T p M. Observação Pode-se mostrar que se M é uma variedade diferenciável de dimensão n, então T p M é um espaço vetorial n-dimensional. Uma base para T p M pode ser dada escolhendo uma carta local x : U x(u) em p e considerando as aplicações (p) : C (M) R definidas por, x i x i (p)f x i f x(x 1 (p)) Assim, as aplicações (p) de acordo com a definição, são vetores tangentes a M em p { x i } e o conjunto (p),..., (p) forma uma base para T p M. x 1 x n Proposição Sejam M m e N n variedades diferenciáveis e seja φ : M N uma aplicação diferenciável. Para cada p M e cada v T p M, escolha uma curva diferenciável α : ( ɛ, ɛ) M com α(0) p, α (0) v. Faça β φ α. A aplicação dφ p : T p M T φ(p) N definida por dφ p (v) β (0) não depende da escolha de α.

13 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 6 Definição A aplicação linear dφ p dada pela proposição anterior é chamada diferencial de φ em p. Podemos ver os vetores tangentes a M em p de outro modo: Definição Seja M uma variedade suave e p M. A aplicação linear X p : C (M) R, definida no conjunto de todas as funções infinitamente diferenciáveis em uma vizinhança de p é chamada de derivação em p se satisfaz a regra do produto, X p (fg) f(p)x p (g) + g(p)x p (f) para toda f, g C (M) e X p é chamado um vetor tangente a M em p. O conjunto de todas as derivações de em p possui estrutura de espaço vetorial, e pode ser mostrado que este conjunto coincide com T p M chamado espaço tangente a M em p, denotado por T p M. O fibrado tangente T M é definido por T M : p M T pm. É possível mostrar que T M possui estrutura de variedade diferenciável de dimensão 2n. Definição Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p M associa um vetor X(p) T p M, em termos de aplicações, X é uma aplicação de M no fibrado tangente T M. O campo X é diferenciável se a aplicação X : M T M é diferenciável. O conjunto de todos os campos diferenciáveis sobre M será denotado por T (M). Definição Dadas duas variedades diferenciáveis M e N, um ponto p M, e uma aplicação diferenciável f : M N, a derivada de f em p, denotada por df p, é a aplicação linear de T p M em T f(p) N que, para cada X p T p M e g D f(p) (N) é definida por (df p X p )(g) X p (g f). Também podemos denotar a derivada de f em p por f. Definição Um ponto p M é chamado um ponto regular de f : M N quando a derivada f (p) : T p M T f(p) N é injetiva. Caso contrário, p é chamado um ponto singular ou crítico de f. Definição Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável f : M N é uma imersão se f (p) : T p M T f(p) N é injetiva para todo p M. Se, além disto, f é um homeomorfismo sobre f(m) N, donde f(m) tem a topologia induzida por N, diz-se que f é um mergulho.

14 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 7 Exemplo A curva α(t) (t 3 4t, t 2 4) é uma imersão α : R R 2 que possui uma auto-intersecção para t 0. Portanto α não é um mergulho. Na maior parte das questões puramente locais de Geometria é indiferente tratar com imersões ou mergulhos. Isto provém da seguinte proposição que mostra ser toda imersão localmente um mergulho. Proposição Sejam f : M 1 M 2, n m, uma imersão da variedade M 1 na variedade M 2. Para todo ponto p M 1, existe uma vizinhança V M 1 de p tal que a restrição f V M 2 é um mergulho. Definição Dados dois campos X, Y T (M), o campo vetorial [X, Y ] definido por, é chamado colchete. [X, Y ] p f (XY Y X)f X p (Y (f)) Y p (X(f)) Agora vamos definir a noção de métrica em uma variedade diferenciável. Definição Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto de p de M um produto interno, p no espaço tangente T p M. Por conveniência denotaremos algumas vezes como g, g, p para a métrica Riemanniana. A definição acima exige que a métrica, p varie diferenciavelmente no seguinte sentido: Se x : U x(u) é um sistema de coordenadas locais em p x(u), para cada q x(x 1,..., x m ) x(u), devemos ter que a função g ij : x(u) R dada por g ij (x 1,..., x m ) (q), (q) seja uma função diferenciável para todo i, j {1,..., m}. x i x j q Definição As funções g ij (x 1,..., x m ) (q) x i, (q) x j são chamadas expressão da q métrica Riemanniana no sistema de coordenadas x. Uma variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana é chamada variedade Riemanniana. Proposição Toda variedade diferenciável M (de Hausdorff e com base enumerável) possui uma métrica Riemanniana. Demonstração. Veja [9], p. 47. Definição Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M é uma aplicação : T (M) T (M) T (M) denotada por (X, Y ) X Y e que satisfaz as seguintes propriedades:

15 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 8 1. fx+gy Z f X Z + g Y Z, 2. X (Y + Z) X Y + X Z, 3. X (fy ) f X Y + X(f)Y, em que X, Y, Z T (M), f, g C (M). O símbolo X Y lê-se: derivada covariante de Y na direção de X. Definição Quando a conexão afim satisfaz as propriedades: (i) X Y, Z X Y, Z + Y, X Z, (ii) X Y Y X [X, Y ], dizemos que a conexão é uma conexão de Levi-Civita (ou Rimanniana). Teorema 1.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão de Levi-Civita em M. Demonstração. Veja [9] p. 61. Observação Dado um sistema de coordenadas (U, x), o item (ii) da definição implica que para ser simétrica implica que para todo i, j 1,..., n temos, Xi X j Xj X i [X i, X j ] 0, X i x i Definição A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y T (M) uma aplicação R(X, Y ) : T (M) T (M) dada por, R(X, Y )Z Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, onde é a conexão Riemanniana de M. Z T (M) Observação Se M R n, então R(X, Y )Z 0 para todo X, Y, Z T (R n ). De fato, consideremos {e 1,..., e n } a base canônica do R n, dados X, Y, Z T (R n ), podemos escrever então X n X i e i, Y n Y i e i, Z n Z i e i, Y Z Y ( n Z i e i ) n Z i Y e i + n [Y (Z i )] e i n [Y (Z i )] e i

16 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 9 onde usamos que a derivada covariante de um campo constante na direcção de qualquer campo é nula. Segue que, X Y Z X { n [Y (Z i )] e i } n Y (Z i ) X e i + n X[Y (Z i )]e i. n X[Y (Z i )]e i Analogamente, Portanto, Y X Z n Y [X(Z i )]e i. X Y Z Y X Z n n X[Y (Z i )]e i Y [X(Z i )]e i n {X[Y (Z i )] Y [X(Z i )]}e i n {[X, Y ](Z i )}e i n {[X, Y ](Z i )}e i + [X,Y ] Z. n Z i [X,Y ] e i Segue que, 0 X Y Z Y X Z [X,Y ] Z R(X, Y )Z. Esta observação ilustra que, intuitivamente a curvatura R mede o quanto uma variedade Riemanniana M deixa de ser euclidiana. Proposição A curvatura R em M tem as seguintes propriedades; 1. R é tensorial em T (M) T (M), isto é, R(fX 1 + gx 2, Y 1 ) fr(x 1, Y 1 ) + gr(x 2, Y 1 )

17 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 10 R(X 1, fy 1 + gy 2 ) fr(x 1, Y 1 ) + gr(x 1, Y 2 ) para todo f, g C, e X 1, X 2, Y 1, Y 2 T (M) 2. Para todo par X, Y T (M), o operador curvatura R(X, Y ) : T (M) T (M) é tensorial, isto é, R(X, Y )(Z + W ) R(X, Y )Z + R(X, Y )W R(X, Y )fz fr(x, Y )Z com f C (M), Z, W T (M) 3. (Primeira identidade de Bianchi) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y 0 Demonstração. Veja [9] pág. 100 e 101 Dada uma variedade Riemanniana (M, g) com uma curvatura R, usaremos a notação (X, Y, Z, T ) g(r(x, Y )Z, T ), além disso se p M e {e 1,..., e m } uma base ortonormal de T p M denotaremos R ijkl g(r(e i, e j )e k, e l ) Proposição Para quaisquer campos X, Y, Z, T T (M) temos as seguintes propriedades: 1. (X, Y, Z, T ) + (Y, Z, X, T ) + (Z, X, Y, T ) 0 2. (X, Y, Z, T ) (Y, X, Z, T ) 3. (X, Y, Z, T ) (X, Y, T, Z) 4. (X, Y, Z, T ) (Z, T, X, Y ) Demonstração. Veja [9] pág. 102 Proposição Seja σ T p M um subespaço bi-dimensional do espaço T p M e sejam X, Y σ dois vetores linearmente independentes. Então K(X, Y ) (X, Y, X, Y ) X Y 2, onde X y 2 X 2 Y 2 g(x, Y ) 2, é independente da escolha dos vetores X, Y σ

18 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 11 Demonstração. Veja [9] pág Definição Dado um ponto p M e um subespaço bidimensional σ T p M o número real K(X, Y ) K(σ), onde {X, Y } é uma base qualquer de σ é chamado curvatura seccional de σ em p. Definição Seja M uma variedade Riemanniana. O tensor curvatura de Ricci de M (ou tensor de Ricci) denotado por Ric, é o campo tensorial covariante de ordem 2 definido como o traço em relação à métrica do tensor curvatura no seu primeiro e último índices. Portanto, as componentes da curvatura de Ricci são dadas por n R ij g km R kijm k,m1 Note que, pelas simetrias de tensor curvatura, mudanças de traços só alteram o sinal da curvatura de Ricci. Definição Seja M uma variedade Riemanniana. A curvatura escalar de M, denotada por S, é a função real S : M R definida como o traço em relação à métrica do tensor de Ricci: n S tr g Ric g ij R ij Definição Sejam M n e M n+k (k 1) variedades Riemannianas. Uma imersão φ : M n M n+k é dita isométrica se dφ p (v), dφ p (w) M v, w M, v, w T p M. Dada uma imersão isométrica φ : M n M n+k, podemos estabelecer relações entre objetos definidos em ambas as variedades. Recordemos que, se φ : M n M n+k é uma imersão, então φ é localmente um mergulho. Nestas condições, podemos identificar um aberto U de M com φ(u), e dizer que φ é localmente a aplicação de inclusão. Mais ainda, podemos considerar U como uma subvariedade de M. Em particular, estamos identificando p U com φ(p) φ(u). Consequentemente, para cada p M, o espaço tangente T p M é considerado um subespaço vetorial de T p M de dimensão n, como acima. Assim, se considerarmos o espaço k-dimensional T p M {v T p M : u, v 0, u T p M}, podemos escrever T p M T p M T p M. O espaço T p M é chamado de espaço normal à M em p. assim, podemos definir, o fibrado i,j1

19 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 12 normal como segue T M {(p, N p ) p M, N p T p M } T p M. Um campo de vetores normal N é uma correspondência que a cada p M associa um vetor em T p M. Dizemos que N T M é diferenciável se ele for localmente a restrição à T M de algum campo de vetores diferenciável em M. Indicaremos por T (M) os campos de vetores diferenciáveis normais à M. Se φ U é um mergulho, sejam X e Y campos de vetores tangentes em U M, como φ U é mergulho tomemos extensões locais X e Y de X e Y em M, respectivamente, numa vizinhança de U M. Assim, se é a conexão de Levi-Civita de M, faz sentido calcularmos X Y. Pode-se mostrar que X Y não depende das extensões X, Y de X e Y respectivamente, portanto, por simplicidade denotaremos X Y por X Y. Assim, podemos escrever X Y ( X Y ) + ( X Y ). No entanto, é possível verificar que (..) é a própria conexão de Levi-Civita de M (que denotaremos por ), isto é, ( X Y ) X Y. Denotemos por T (M n ) o espaço dos campos de vetores diferenciáveis normais à M n. A segunda forma fundamental da imersão φ é a aplicação II : T (M n ) T (M n ) T (M n ), definida por II(X, Y ) X Y X Y, X, Y T (M n ). Uma vez que, para todo p M n, II é uma aplicação bilinear simétrica, então, para cada vetor unitário N normal à M n em p, podemos associá-la a uma aplicação linear auto-adjunta S N : T p M n T p M n, dada por p M S N (X), Y II(X, Y ), N, X, Y T p M n. Daí, vamos definir a curvatura média H da imersão φ : M n R por H 1 n tr(s N). Aqui tr(s N ) significa o traço da matriz da aplicação S N. Sejam N T (M n ) e X, Y T (M n ). Então N, Y 0. Isto implica que X Y, N X N, Y.

20 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 13 Daí S N (X), Y II(X, Y ), N X Y, N X N, Y, (1.1) pois II(X, Y ), N X Y X Y, N X Y ( X Y ) T, N X Y, N. Agora, sabendo que nh tr(s N ) e que cada entrada da matriz S N é dada por S N (e i ), e j II(e i, e j ), N ei e j, N, podemos escrever nh da seguinte forma: nh n S N (e i ), e i n ei e i, N. (1.2) Apresentaremos agora uma ferramenta muito importante para o estudo das hipersuperfícies estáveis com curvatura média constante conhecido por Primeira formula de Minkowski. Antes, porém, fixemos algumas notações. Proposição Seja M uma variedade diferenciável munida de uma conexão. Então existe uma única conexão em cada T k l (M) tal que: : T (M) T k l (M) T k l (M) 1. Em T 1 (M) T (M) coincide com a conexão dada. 2. Em T 0 (M) C (M), X f X(f) 3. satisfaz a regra do produto com relação a produtos tensoriais : X (F G) ( X F ) G + F ( X G) 4. comuta com todos os traços: se tr denota o traço com relação a qualquer par de índices, então X (trf ) tr( X F ) Além disso, esta conexão satisfaz também as propriedades adicionais: (a) Para todo Y T (M) e T 1 (M) vale X [w(y )] ( X w)(y ) + w( X Y )

21 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 14. (b) Para todo T T k l (M), X i T (M) e w j T 1 (M) vale ( X T )(X 1,..., X k, w 1,..., w l ) X(T (X 1,..., X k, w 1,.., w l )) T ((X 1,..., X X i,..., X k, w 1,..., w l )) l T ((X 1,..., X k, w 1,..., X w j,..., w l )) j1 Definição Seja M uma variedade diferenciável munida de uma conexão. Dado um campo (k, l)-tensorial T T k l (M), a derivada covariante total de T é o campo (k + 1, l) tensorial T : T 1 (M)... T 1 (M) T 1 (M)... T 1 (M) C (M) }{{}}{{} (k+1) vezes l vezes definido por T (Y 1,..., Y k, w 1,..., w l ) X T (Y 1,..., Y k, w 1,..., w l ). Definição Seja f C (M). O campo tensorial (ou tensor) covariante de ordem 2, ( f) 2 f em M, dado por ( f)(x, Y ) Y (( f)(y )) f( Y X), X, Y T (M) é chamado de Hessiana de f. Definição Seja f C (M). O laplaciano de f é a função real definida por: f tr g 2 f. Proposição Seja M uma variedade riemanniana e a sua conexão de Levi-Civita (riemanniana). Então 2 f(x, Y ) X f, Y (1.3) onde f do lado direito da equação é o campo vetorial identificado com a 1-forma f. Definição Seja ϕ : M n M n+1 ; ϕ(m) M é então denominada uma hipersuperfície. Dada uma hipersuperfície ϕ : M R n+1 vamos denotar por e a conexão Riemanniana de M e R n+1, respectivamente. Do mesmo modo, denotaremos a diferencial

22 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 15 covariante de uma função (ou gradiente) definida em M por e para uma função definida em R n+1 por. Nestas condições, também será denotado por 2 e 2 o hessiano e por e o laplaciano de uma função. O gradiente de uma função diferenciável f denotará tanto a 1-forma como o campo de vetores identificado a f, e o significado de f ficará claro no contexto. Seja F uma função diferenciável definida sobre um aberto U R n+1 e M U uma hipersuperfície de R n+1. Associe a p M, uma base ortonormal {e 1,..., e n, N} de R n+1, de modo que N seja normal a M em p. Se considerarmos f F M, então f C (M) e assim f coincide com a componente tangencial do campo f, ou seja, para cada ponto p M temos f(p) F (p) F (p), N(p) N(p), (1.4) e assim pela equação (1.1) para quaisquer X, Y T p M, obtemos 2 f(x, Y ) X f, Y X F, Y X F, N N, Y 2 F (X, Y ) X( F, N )N + F, N X N, Y 2 F (X, Y ) + F, N S N (X), Y. (1.5) Na penúltima igualdade usamos que X, Y são normais a N. Exemplo Dado c R n+1 considere a função F : R n+1 R dada por F (y) 1 y c 2 2 note que e F (y) y c 2 F (w, v) v( F (w)) ( v w) w, v, y, v, w R n+1. Dada hipersuperfície φ : M R n+1, considere f : M R dada por f(p) F M (p) 1 2 p c 2. Aqui estamos identificando M com φ(m) e p com φ(p) R n+1, isto é, f(p) F (φ(p)). As equações (1.4) e (1.5)implicam : f (p c) p c, N N (p c)

23 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 16 e 2 f(x, Y ) X, Y + S N (X), Y p c, N, X, Y T p M. Teorema (Primeira Formula de Minkowski). Seja φ : M R n+1 uma hipersuperfície mergulhada, compacta e orientada. Então M(1 + H p, N )ds 1 n onde p φ(p) e H é a curvatura média de φ. Demonstração. Considere f : M R dada por f(p) 1 2 φ(p) 2 e uma base de T p M formada por direções principais {e 1,..., e n } p. Então, pelo Exemplo 1.1.2, temos que M f ν 2 f(e i, e i ) e i, e i S N (e i ), e i p, N 1 + k i x, N (1.6) onde k i são as curvaturas principais de M em p. Mostremos que f n(1 + H p, N ). Somando em i 1,..., n na equação (1.6) temos agora integrando ambos os lados, M f e usando a Fórmula de Green f 1dvol R n+1 + M n (1 + k i p, N ) n + n k i p, N n + nh p, N n(1 + H p, N ). f 1dvol R n+1 n (1 + H p, N ) dvol R n+1 M M f ν n (1 + H p, N ) dvol R n+1 M entao, 1 n M f ν n M f ν M M (1 + H p, N ) dvol R n+1 (1 + H p, N ) dvol R n+1 Definição Seja M uma hipersuperfície do R n+1 e p M, dizemos que p é um ponto umbílico de M se toda as curvaturas principais em p são iguais.

24 1.1 Definições e resultados de Geometria Riemanniana 17 Definição Seja M uma hipersuperfície do R n+1, dizemos que M é uma hipersuperfície umbílica se todo ponto p M for um ponto umbílico. Teorema Seja φ : M n R n+1 uma imersão isométrica umbílica de uma variedade Riemanniana conexa M n em R n+1. Então, φ(m) esta contida em um hiperplano ou, φ(m) esta contida em uma esfera. Além disso, se a hipersuperfície for compacta, ela é igual à esfera.

25 Capítulo 2 Variações de área e estabilidade Neste capítulo, expressaremos as fórmulas de primeira e segunda variação de área. Nosso objetivo é obter, a partir destas fórmulas, consequências geométricas e assim definir de maneira natural a noção de estabilidade de uma hipersuperfície. Seja B R n+1 uma hipersuperfície orientável e ϕ : B uma imersão. A segunda forma fundamental A de, é o endomorfismo A(X, Y ) ( X Y ) N, com X, Y T. O vetor curvatura média de é definida por H 1 n TrA. Definição Uma variação de B é uma família de imersões φ : [0, ɛ) B tal que φ(x, 0) x para todo x satisfazendo φ(, ) φ(, ) B. Dizemos que a variação é própria (ou de bordo fixo ) se φ(x, ) x para todo x. d Um campo X (T ) dado por X(x) dϕ (x,0) é chamado campo variacional da variação φ. dt Se φ(x, ) x para todo x K c onde, K é um conjunto compacto, dizemos que a variação tem suporte compacto. Uma variação é dita normal quando o campo variacional é da forma ξ f(p)n(p), para alguma função f : R suave, onde N(p) é o vetor normal a em φ(p, 0). Então é natural considerar as seguinte funções: A(t) dvol t V (t) φ dvol R n+1 [0,t] onde dvol t é o elemento volume de t na métrica inducida por φ t e dvol R n+1 é o elemento volume canônico de R n+1. V (t) representa o volume com sinal delimitado pelas hiper-

26 2.1 Primeira Variação de Área 19 superfícies φ(, 0) e φ(, t). Dizemos que a variação φ preserva volume se V (t) V (0), t (0, ɛ). 2.1 Primeira Variação de Área Teorema 2.1 (Primeira Variação de Área). Seja φ : (0, ɛ) M uma variação de M cujo campo variacional será denotado por X. Suponhamos que é orientável e compacta Então d dt A(t) t0 g(x, H)dvol 0 + g(x, ν)ds, em que ν é o campo normal exterior ao bordo de e tangente a, caso ; dvol 0 é o elemento de volume de e ds é o elemento de área de. Demonstração. Seja (x i ) uma carta local sobre e nesta carta definamos g ij (t) g(φ xi, φ xj ), φ xi : dφ (x,t). Denote o elemento de volume de φ(, t) por dvol t : det(g ij (t))dx. x i Faça ν t det(g ij (t)) det(g ij (0)), se ĝ ij são os coeficientes da métrica de induzidas pela carta ˆx i, então pelo lema A.7 temos que. Daí, det(g ij (t)) det(g ij (0)) det(ĝ ij (t)) det(ĝ ij (0)) A(t) dvol t det(g ij (t)) det(g ij (0)) det(g ij (0))dx ν t det(g ij (0))dx ν t dvol 0 Assim para calcular d dt A(t), basta calcular d t0 dt ν t, pois t0 d dt A(t) d dt ν t det(g ij (0))dx. Agora, para calcular d dt ν t em algum ponto x, escolhemos uma carta em de t0 modo que, em x, tenha-se g ij (0) δ ij e portanto det(g ij (0)) det(g ij (0)) 1; temos

27 2.1 Primeira Variação de Área 20 que, φt φ xi φxi φ t [φ t, φ xi ] 0. Com isso obtemos, em x, que d dt ν t d t0 dt det(g ij (t)) det(g ij (0)) t0 1 1 d 2 det(gij (0)) dt det(g ij (t)) t0 1 d 2 dt det(g ij (t)) t0 1 2 tr(g ij(0)) 1 d 2 dt g(φ xi, φ xi ) t0 Em t 0, φ t X, assim 1 2 2g( φt φ xi, φ xi ) g( φxi φ xt, φ xi ) d dt ν t t0 g( φxi X, φ xi ) g( φxi X T, φ xi ) + div X T + div X N div X T g(x, H) g( φxi X N, φ xi ) Pelo Teorema A.4 no apêndice, temos d dt A(t) t0 div X T g(x, H)dvol 0 div X T dvol 0 g(x, H)dvol 0 g(ν, X T )ds g(x, H)dvol 0 g(ν, X)ds g(x, H)dvol 0 Onde usamos que g(ν, X T ) g(ν, X) pois, ν é um campo tangente a e portanto g(ν, X N ) 0.

28 2.1 Primeira Variação de Área 21 Corolário 2.1. Se é compacta (se ela tiver bordo, suponha que a variação seja própria) ou se a variação tem suporte compacto, então d dt A(t) t0 g(x, H)dvol 0 Definição 2.1. Uma subvariedade imersa, k M n, é dita de mínima, se seu campo de curvatura média é identicamente nulo. De outro modo, é mínima se, e somente se, ela for um ponto crítico do funcional volume, para qualquer variação de suporte compacto. Observação 2.1. Se k M n é uma subvariedade imersa e orientada, então div X 0 para todo campo vetorial, X, ao longo de, com suporte compacto ou tal que X 0 (caso ) se, e somente se, é subvariedade mínima. Demonstração. Tem-se div Xdvol t div X T dvol t + div X N dvol t g(x T, ν)dvol t g(x, H)dvol t g(x, H)dvol t. Portanto, div Xdvol t 0 para todo X nas hipóteses se, somente se, H 0. Observação 2.2. Suponha que k M n esteja imersa e seja X um campo vetorial sobre M, então div X div X T + div X N div X T g(x, H). Portanto, div X div X T é mínima. para todos os campos vetoriais sobre M se, e somente se, Corolário 2.2 (Harmonicidade das funções coordenadas). k R n será mínima se, e somente se, as restrições das funções coordenadas de R n sobre forem funções harmônicas. Demonstração. Seja η C 0 (), então ηe i é um campo sobre com suporte compacto

29 2.2 Segunda variação de área , temos 0 div (ηe i ) η, e i + ηdiv e i η, e i η, R nx i η, ( R nx i ) T + ( R nx i ) N η, ( R nx i ) T η, x i. Pela primeira fórmula de Green, 0 η x i, ν η x i. Como η é qualquer, x i 0. η x i 2.2 Segunda variação de área Teorema 2.2 (Segunda Variação de Área). Suponha que k M n seja uma subvariedade mínima. Seja φ uma variação normal de com suporte compacto e cujo campo variacional seja X, então d 2 dt 2 A(t) g(a( i, j ), X) 2 dvol 0 t0 i,j1 + N X 2 dvol 0 g(r M (X, i ) i, X)dvol 0.

30 2.2 Segunda variação de área 23 Demonstração. Como antes, sejam (x i ) coordenadas locais sobre, g ij (t) g(φ xi, φ xj ) e ν t det(g ij (t)) det(g ij (0)). Então, d 2 dt 2 A(t) t0 Pelo lema (A.1.1)do apêndice e a regra da cadeia, temos d 2 dt 2 ν t det(g ij (0))dx t0 d 2 dt 2 ν t dvol 0 (2.1) t0 d 1 1 d det g(t) det g(t) dt 2 det g(t) dt 1 1 tr[g 2 ij(t)g lm (t)]. det g(t) Daí, multiplicando os dois lados por det(g ij (0)) temos 2 d dt ν t tr(g ij(t)g lm (t))ν t. Com isso, 2 d2 dt 2 ν t d dt {tr[g ij(t)g lm (t)]ν t } d dt {tr[g ij(t)g lm (t)]}ν t + tr[g ij(t)g lm (t)] d dt ν t tr[g ij(t)g lm (t) + g ij(t)(g lm ) (t)]ν t + tr[g ij(t)g lm (t)] d dt ν t tr[g ij(t)g lm (t) + g ij(t)(g lm ) (t)]ν t + tr[g ij(t)g lm (t)] 1 2 tr[g ij(t)g lm (t)] d dt ν t tr[g ij(t)g lm (t) + g ij(t)(g lm ) (t)]ν t {tr[g ij(t)g lm (t)]} 2 ν t (2.2) Para avaliar d2 dt 2 ν t em algum ponto x, pode-se escolher o sistema de coordenadas (x i ) ortonormal em x. Diferenciando g lk (t)g km (t) δ lm, obtém-se (g lk ) (t)g km (t) t0 + g lk (t)g km (t) 0, daí, (glk ) (0) δ lk g km (0) e portanto, (glk ) (0) δ lm g lm (0). Usando (2.2). tem-se dt 2 ν t tr[g ij(0)] tr[g ij(0)g lm(0)] + 1 t0 2 {tr[g ij(0)]} 2. (2.3) 2 d2 Por outro lado, usando que

31 2.2 Segunda variação de área 24 φt φ xi φxi φ t [φ t, φ xi ] 0, (2.4) que a variação é normal e que a segunda forma fundamental é simétrica, encontra-se g ij(0) d dt g(φ xi, φ xj ) t0 φ t g(φ xi, φ xj ) g( φt φ xi, φ xj ) + g(φ xi, φt φ xj ) g( φxi φ t, φ xj ) + g(φ xi, φxj φ t ) φ xi g(φ t, φ xj ) g(φ t, φxi φ xj ) + φ xj g(φ xi, φ t ) g( φxj φ xi, φ t ) g(φ t, φxi φ xj ) g( φxj φ xi, φ t ) g(φ t, ( φxi φ xj ) N ) g(( φxj φ xi ) N, φ t ) g(φ t, A(φ xi, φ xj )) g(a(φ xj, φ xi ), φ t ) 2g(φ t, A(φ xi, φ xj )). (2.5) Com isso, tr[g ij(0)] i g ii(0) 2g(φ t, A(φ xi, φ xj )) i ( 2g φ t, ) A(φ xi, φ xi ) i 2g(φ t, H) 0, pois é mínima. Usando isso em (2.3) obtém-se Note que, em x, tem-se dt 2 ν t tr[g ij(0)] tr[g ij(0)g lm(0)] (2.6) t0 2 d2 tr[g ij(0)] g ii(0) 2g(φ xi tt, φ xi ) + 2g(φ xi t, φ xi t) (2.7)

32 2.2 Segunda variação de área 25 Usando (2.4), tem-se g(φ xi tt, φ xi ) g( φt φt φ xi, φ xi ) g( φt φxi φ t, φ xi ) g( φt φxi φ t φxi φt φ t [φt,φxi ]φ t, φ xi ) + g(r M (φ t, φ xi )φ t, φ xi ) + div (φ tt ). g( φxi φt φ t, φ xi ) Substituindo em (2.7), tr[g ij(0)] g(r M (φ t, φ xi )φ t, φ xi ) + 2div (φ tt ) + 2 g(r M (φ t, φ xi )φ t, φ xi ) + 2div (φ tt ) g(φ T x i t, φ T x i t) + 2 g(φ xi t, φ xi t) g(φ N x i t, φ N x i t) (2.8)

33 2.2 Segunda variação de área 26 Usando (2.4) e que a variação é normal, em x, tem-se g(φ T x i t, φ T x i t) g(( φt φ xi ) T, ( φt φ xi ) T ) g(( φxi φ t ) T, ( φxi φ t ) T ) ( g g( φxi )φ t, φ xj )φ xj, i,j,l1 i,j,l1 j1 ) g( φxi φ t, φ xl )φ xl g( φxi φ t, φ xj )g( φxi φ t, φ xl )g(φ xj, φ xl ) g( φxi φ t, φ xj )g( φxi φ t, φ xl )δ jl g( φxi φ t, φ xj ) 2 i,j1 {φ xi g(φ t, φ xj ) g(φ t, φxi φ xj )} 2 i,j1 {g(φ t, φxi φ xj )} 2 i,j1 g(φ t, ( φxi φ xj ) N ) 2 i,j1 g(a(φ xi, φ xj ), φ t ) 2 (2.9) i,j1 Também note, usando (2.4), que g(φ N x i t, φ N x i t) g(( φt φ xi ) N, ( φt φ xi ) N ) g(( φxi φ t ) N, ( φxi φ t ) N ) ( φxi φ t ) N 2 ( N φ t ) N 2 (2.10)

34 2.2 Segunda variação de área 27 Substituindo (2.9) e (2.10) em (2.8), tem-se Usando (2.5) tr[g ij(0)] 2div (φ tt ) g(r M (φ t, φ xi )φ t, φ xi ) g(a(φ xi, φ xj ), φ t ) N φ t 2. (2.11) i,j1 tr(g ij(0)g lm(0)) 4 g ij(0)g ji(0) i,j1 g ij(0) 2 i,j1 [ 2g(A(φ xi, φ xj ), φ t ] 2 i,j1 g(a(φ xi, φ xj ), φ t ) 2 (2.12) i,j1 Substituindo (2.11) e (2.12) em (2.6) encontra-se d 2 dt 2 ν t t0 g(a(φ xi, φ xj ), φ t ) 2 + N φ t 2 i,j1 Substituindo (2.13) em (2.1) e usando a observação 2.1, g(r M (φ t, φ xi )φ xi, φ t ) + div (φ tt ) (2.13) d 2 dt 2 A(t) g(a(φ xi, φ xj ), φ t ) 2 dvol 0 t0 i,j1 + N φ t 2 dvol 0 g(r M (φ t, φ xi )φ xi, φ t )dvol 0. (2.14) Denotando por φ t X e φ xi i em t 0 concluímos o Teorema. Definição 2.2 (Estabilidade). Dizemos que uma hipersuperfície mínima, k B n, é

35 2.2 Segunda variação de área 28 estável se, para todas as variações próprias φ de, tem-se A (0) 0.

36 Capítulo 3 Hipersuperfícies estáveis CMC com fronteira livre sobre uma bola euclidiana Seja B um domínio compacto convexo com R n+1, com fronteira B não vazia. Seja uma hipersuperfície compacta com fronteira não vazia. Seja ϕ : n B uma imersão de uma variedade orientável suave tal que ϕ( ) ϕ() B. Fixando um campo de vetores unitários normais da hipersuperfície por N, e denotando por A como a segunda forma fundamental de sendo o endomorfismo A(X) X N donde X T. Além disso, vamos denotar por ν como o vetor normal exterior de em que aponta para fora de. A curvatura media de é dada por H 1 n T ra. Definição Uma hipersuperfície B é de fronteira livre se intersecta B ortogonalmente ao longo de. A seguir alguns exemplos de hipersuperfícies de curvatura media constante (CMC), com fronteira livre, (aqui escrever os EXEMPLOS...) Agora apresentaremos ás noções de estabilidade para hipersuperfícies de curvatura media constante (CMC) com fronteira livre. Lembrando a definição consideramos a variação suave φ : [0, ɛ) B tal que φ(x, 0) x para todo x, podemos definir a seguintes funções: A(t) dvol t e V (t) φ dvol R n+1 [0,t)

37 30 onde V (t) representa o volume delimitado pelas hipersuperfícies ϕ e φ t. Além disso, vamos dizer que φ é de volume preservado quando V (t) V (0), para todo t. Seja ξ(x) φ t (x) φ(x, 0) t0 t como o vetor variação de φ e definamos a função f por f(x) φ(x, 0), N(x) t, x Denotando ν como a norma exterior ao longo de e por ds como o elemento volume de induzido por ϕ. Fixando um campo de vetores unitarios normais da hipersuperfícies por N, e denotando por A como a segunda forma fundamental de sendo o endomorfismo A(x) X N, X T, e a curvatura media de é dada por H 1 n T ra. Então como foi feito no capítuo 2 e em [4], as fórmulas de primeira variação podem ser escritas como segue: e A (0) n Hfdvol + f N, ν ds V (0) fdvol onde dvol dvol 0 em R n+1. Segue que a imersão ϕ é ponto crítico do funcional área A(t) para variações que preservam volume constante, serão as hipersuperfícies de curvatura media constante com fronteira livre. Para cada função f C () sob com fdvol 0. Fazendo como no capítulo anterior e em [4] para qualquer variação de volume preservado, temos que a fórmula da segunda variação de área é dada por : I(f, f) f 2 A 2 f 2 dvol Π(N, N)f 2 ds 0. Em [4], Ros e Vergasta estudaram hipersuperfícies CMC estáveis com fronteira livre quando B é uma bola, e mostraram o seguinte resultado: Teorema 3.1 (Ros - Vergasta). Seja B R n uma bola fechada, com n 3. Seja B uma hipersuperfície estável de fronteira livre CMC cuja fronteira está mergulhada em B. Se L denota o comprimento da fronteira de, A é a área de e vale L na, então é totalmente geodésica ou estrelada com respeito ao centro da bola. Para melhorar o resultado acima, E. Barbosa usou um lema de estabilidade tipo Nunes para mostrar que a desigualdade L na é sempre satisfeita. Mais precisamente, ele

38 31 obteve o seguinte resultado: Teorema 3.2 (Ezequiel Barbosa). Seja B R n, n 3, uma bola fechada. Seja B uma hipersuperfície estável de fronteira livre CMC em B, então ( 1 + ) 1 + 4(n + 1)H na L na 2. 2 Em particular, se está mergulhado, temos que é totalmente geodésica ou estrelada com respeito ao centro da bola. Como uma consequência direta deste teorema, obtemos o seguinte resultado: Corolário 3.1. Seja B R n, n 3, uma bola fechada. Se B é uma hipersuperfície estável CMC com fronteira livre mergulhada em B e 0, então é totalmente geodésica. Note que para n 3 obtemos uma classificação topológica completa para superfícies de fronteira livre cuja fronteira está mergulhada (ver teorema 11 em [4]). Corolário 3.2. Seja B R 3 uma bola fechada. Se B é uma superfície estável de fronteira livre CMC, então é um disco totalmente geodésico ou uma calota esférica. É importante mencionar que o corolário 3.2 foi mostrado por I. Nunes [5] usando um importante resultado de estabilidade e um argumento de balanceamento tipo Hersch modificado para obter um melhor controle sobre o gênero e o número de componentes conexas da fronteira da superfície. De fato, I. Nunes provou um resultado mais geral que, junto com o teorema 11 em [4], nós dá o resultado acima como corolário. Teorema 3.3 (I. Nunes). Seja Ω R 3 um domínio convexo, compacto e suave. Suponha que a segunda forma fundamental Π Ω de satisfazendo a condição de pinzada kh Π Ω ( ) 3 kh, 2 para alguma constante k > 0, onde h denota a métrica de R 3 induzida sobre Ω. Se Ω é uma superfície estável CMC compacta orientável, e mergulhada de fronteira livre, então tem gênero zero e tem no máximo duas componentes conexas. A fim de provar o teorema 3.2, E. Barbosa usou a mesma ideia que foi aplicada por I. Nunes na prova do resultado principal para o caso de superfícies com fronteira livre em [5]. I. Nunes mostrou que a estabilidade de uma superfície CMC de fronteira livre implica que a forma quadrática dada pela segunda variação de área é não-negativa para

39 3.1 Lema de Estabilidade do tipo Nunes 32 toda função f tal que f 0 sobre independentemente de ser satisfeita a condição fdvol 0 ou não. É esse resultado que chamamos o Lema de Estabilidade de tipo Nunes. Então I. Nunes foi capaz de aplicar o argumento de balanceamento tipo Herch para obter um melhor controle sobre o gênero de. E. Barbosa usa essa mesma ideia para dimensão maior ou igual a 3, combinada com alguns resultados de Ros-Vergasta. 3.1 Lema de Estabilidade do tipo Nunes Lema 3.4 (Lema de Estabilidade tipo Nunes). Seja uma hipersuperfície estável imersa em B, com uma curvatura média constante e com fronteira livre. Se f C () é tal que f(x) 0, x, então I(f, f) f 2 A 2 f 2 dvol 1 ( fdvol ) 2 Π(N, N)ds n + 1 A Em particular, se f C () é tal que f(x) 0, então I(f, f) f 2 A 2 f 2 dvol 0 Demonstração. Seja f i uma função teste, tal que f i e i, N donde {e i } é a base canônica de R n+1. f i + A 2 f i 0 (3.1) Como é estável, sustituir em I(f, f) f 2 A 2 f 2 dvol Π(N, N)f 2 ds então, temos I(f i, f i ) f i 2 A 2 fi 2 dvol Π(N, N)fi 2 ds daí somando em i n+1 n+1 n+1 I(f i, f i ) f i 2 A 2 fi 2 dvol Π(N, N)fi 2 ds

40 3.1 Lema de Estabilidade do tipo Nunes 33 Por outro lado, usando a afirmação Daí usando a fórmula de Green 0 f i 2 dvol + então,temos f i 2 dvol (f i f i + A 2 f 2 i )dvol f i f i ν ds + A 2 fi 2 dvol A 2 fi 2 dvol logo somando em i e somando ambos os lados n+1 f i 2 A 2 fi 2 dvol então n+1 Π(N, N)fi 2 ds n+1 I(f i, f i ) n+1 f i f i ν ds n+1 Π(N, N)f 2 i ds n+1 ( ) f i f i Π(N, N) ds ν f i f i ν Π(N, N)f 2 i ds (3.2) como n+1 f 2 i N 2 1, (f i e i, N se e somente se N f 1 e f n+1 e n+1 ), daí 3.2 fica como segue ( 0 n+1 ν 1 2 n+1 I(f i, f i ) 1 2 ( ν 1 n+1 ν f 2 i ) n+1 n+1 f 2 i ) ν (f n+1 i 2 ) ν (f n+1 i 2 ) n+1 f i ν f i 2f i ν f i ν (f i) 2 ds Π(N, N)fi 2 ds

41 3.1 Lema de Estabilidade do tipo Nunes 34 n+1 I(f i, f i ) n+1 Π(N, N)fi 2 ds Π(N, N)f i ds Afirmamos que dado f C () tal que f(x) 0, x então existe i {1,, n+1} tal que I(f i, f i ) 1 Π(N, N)ds e f i f (3.3) n + 1 De fato, suponhamos que a afirmação é falsa, isto é i {1,, n + 1} temos Somando I(f i, f i ) de 1 até n + 1 I(f i, f i ) > 1 Π(N, N)ds e f i f (3.4) n + 1 n+1 I(f i, f i ) I(f 1, f 1 ) + + I(f n+1, f n+1 ) Suponhamos, sem perda de generalidade que a condição 3.4 é válida para m elementos, onde m são os m primeiros n+1 I(f i, f i ) I(f 1, f 1 ) + + I(f m, f m ) + I(f m+1, f m+1 ) + + I(f n+1, f n+1 ) n+1 I(f i, f i ) > m n + 1 Π(N, N)ds, m n + 1 e os I(f i, f i ) com i m + 1,, n + 1 são zero, por cálculos feitos anteriormente n+1 Π(N, N)ds I(f i, f i ) > m n + 1 Π(N, N)ds > m Π(N, N)ds n + 1 ( ) m n Π(N, N)ds > 0 Π(N, N)ds m > 1 implica m > n + 1 o que é uma contradição poi m n + 1. n + 1 Portanto, seja f i satisfazendo a condição 3.3. Note-se que a estabilidade de implica que

42 3.1 Lema de Estabilidade do tipo Nunes 35 f idvol 0. Caso contrario teriamos que f idvol 0 daí I(f i, f i ) 0. Suponha que fdvol 0 e considere a função f c f donde c f idvol fdvol 0 I(f f i, f f i ) I(f, f) 2I(f, f i ) + I(f i, f i ) c 2 I(f, f) 2I(f, f i ) + I(f i, f i ) (3.5) I(f, f i ) I(c f, f i ) c I(f, f i ) ( ) c f f i A 2 f f i dvol Π(N, N)f f i ds ( ( ) ) fi c ( f i )f + f A 2 f f i dvol Π(N, N)f f i ds ν ( ( ) ) ( ) c ( fi )f + A 2 fi f f i dvol + f Π(N, N)f f i ds ν ( c f ( ( ) ) ) ( f i ) + A 2 fi f i dvol + f Π(N, N)f f i ds ν 0 I(f, f i ) Usando em 3.5 tem-se 0 c 2 I(f, f) + I(f i, f i ) < c 2 I(f, f) 1 n + 1 Π(N, N)ds Então 1 n + 1 Π(N, N)ds c 2 < I(f, f) (3.6)

43 3.2 Demonstração do teorema principal 36 reemplazando o valor de c em 3.6 daí 1 Π(N, N)ds n + 1 ( f ) 2 < I(f, f) idvol fdvol ( I(f, f) > f ) 2 idvol 1 fdvol Π(N, N)ds (3.7) n + 1 Usando a Desigualdade de Holder com p 2 q e n+1 i f 2 i N 2 1, temos ( ) 2 f i dvol 2 ( f i dvol [ ( ( A 2 A A ) 2 f i dvol ) 1/2 ( ) ] 1/2 2 f i 2 dvol 1 2 dvol ) f i 2 dvol A então ( ) 2 f i dvol A 2 reemplazando a desigualdade em 3.7, obtemos o que finaliza a prova. I(f, f) 1 ( fdvol ) 2 Π(N, N)ds n + 1 A 3.2 Demonstração do teorema principal Teorema 3.5 (Ezequiel Barbosa). Seja B R n, n 3, uma bola fechada. Seja B uma hipersuperfície estável com fronteira livre CMC em B, então ( 1 + ) 1 + 4(n + 1)H na L na 2 2

44 3.2 Demonstração do teorema principal 37 Em particular, se está mergulhado, então é totalmente geodésica ou estrelada com respeito ao centro da bola. Demonstração. Suponhamos que B é uma hipersuperfície estável de fronteira livre, e seja u ψ, N a função suporte de, onde ψ é uma imersão de em B, σ 2 é o quadrado da norma da segunda forma fundamental de com respeito a N o que satisfaz a seguinte equação, { u + σ 2 u nh, u 0,. (3.8) Além disso, tomando a divergência da componente tangente ψ un div(ψ un) n + nhu (3.9) integrando ambos os lados temos ν é a normal a div(ψ un)ds (n + nhu)dvol ψ un, ν ds n (1 + Hu)dvol ψ, ν ds n (1 + Hu)dvol ( ) n A + Hudvol segue do teorema da divergência A.4, que ( ) L n A + Hudvol (3.10) Desde que u 0 em e pela estabilidade de. Primeiro, multiplicando por u à primeira equação de 3.8 nhu u u + σ 2 u 2

45 3.2 Demonstração do teorema principal 38 agora integrando e usando Green nhudvol u u + σ 2 u 2 dvol u ν uds u 2 dvol + σ 2 u 2 dvol nhudvol u 2 dvol I(u, u) e pelo Lema de estabilidade de tipo Nunes σ 2 u 2 dvol I(u, u) 0 isto é nh Note que se H 0 então L na. udvol u 2 σ 2 u 2 dvol 0 Primeiro como foi feito por Ros- Vergasta em [4] mostraremos que u 0 ou u 0 sobre. Suponhamos por contradição que u muda de sinal. Consideremos + e subconjuntos de onde u é positivo e definimos u +, u H 1 () por e u + (p) u (p) { { u(p) se p + 0 se p \ +. u(p) se p 0 se p \.

46 3.2 Demonstração do teorema principal 39 Assim, temos então, tem-se e analogamente I(u +, u + ) u +, u + σ 2 (u + ) 2 dvol u, u + σ 2 u u + dvol u u + u dvol + ν u+ ds ( u + σ 2 u ) u + dvol ( nh) u + dvol nh u + dvol I(u +, u + ) nh I(u, u ) nh u + dvol u dvol σ σ 2 u u + dvol Agora definamos ũ u + + au, onde a é uma constante positiva tal que ũdvol 0 e além disso ũ não é identicamente nula e I(ũ, ũ) I(u + + au, u + + au ) I(u +, u + ) + ai(u, u + ) + ai(u +, u ) + a 2 I(u, u ) I(u +, u + ) + 2aI(u, u + ) + a 2 I(u, u ) nh u + dvol + 2a u, u + A 2 u u + dvol + a 2 nh ( ) 1 a a nh u + dvol + nh au dvol ( ) 1 a a nh u + dvol nh u + dvol ( ) a nh u dvol nh u + dvol anh u + u + dvol anh udvol u dvol Como em Ros-Vergasta em [4], obtemos isso ou u 0 ou u 0 sobre. Podemos escolher

47 3.2 Demonstração do teorema principal 40 a orientação em tal que u 0. Desde que H 0 e HudA 0 nós conseguimos que H > 0. Portanto, u satisfaz: u 0, u 0 em e u σ 2 u nh < 0. Pelo principio do máximo para funções subarmônicas, obtemos que u é estrictamente positiva no int. Então udvol 0. Resulta do Lema de Estabilidade de Nunes, que Daqui obtemos u 2 A 2 u 2 dvol n Hudvol ( 1 udvol n + 1 A ( L n + 1 udvol A ) 2 ) 2 Π(N, N)ds L ( udvol ) 2 (3.11) n + 1 A desde que n Hudvol u 2 A 2 u 2 dvol. De (3.10) temos que udvol A Então, de (3.10) e (3.11), concluimos que L na + nh udvol na + L na nha L ( udvol ) 2 na + L n + 1 A n + 1 ( ) 2 L na nha Isto implica que, Portanto O que implica L na L n + 1 ( ) 2 L na nha L 2 nal n 2 A 2 (n + 1)H 2 0 ( 1 + ) 1 + 4(n + 1)H L na 2 2

48 Apêndice Apêndice A A.1 A derivada do determinante Lema A.1. Seja X(t) (a ij (t)) com, t I, uma família suave de matrizes n n, tais que X(0) Id. Então d dt det(x(t)) tr(x (0)) t0 Demonstração. Seja x 11 (t) x 12 (t) x 1n (t) x X(t) 21 (t) x 22 (t) x 2n (t) x n1 (t) x n2 (t) x nn (t) e 1 0 0) X(0) Usando o desenvolvimento de Laplace para o determinante, temos det(x(t)) n ( 1) 1+j x 1j (t)x [1,j] (t) j1 onde x 1j são os cofactores da matriz X(t), e X [1,j] a matriz cofactor, para j 1,..., n.

49 A.1 A derivada do determinante 42 Logo, d det(x(t)) dt t0 n n ( 1) 1+j x 1j(0)X [1,j] (0) + ( 1) 1+j x 1j (0)X[1,j](0) j1 j1 x 11(0) + X [1,1](0) prosseguindo indutivamente x 11(0) + x 22(0) + X [2,2](0). x 11(0) + x 22(0) x nn(0) T r(x (0)) Segue deste Lema o seguinte resultado. Corolário A.1.1. Seja B(t) (b ij (t)) uma família suave de matrizes invertíveis n n. Então para todo s ( ɛ, ɛ), d dt det(b(t)) tr(b (s)b 1 (s)) det(b(s)) ts Demonstração. Seja X(t) B(t)B 1 (s), e com X(s) Id. Pelo lema de acima temos que Então d dt det(x(t)) d ts dt det(b(t)b 1 (s)) ts d dt det(b(t)) det(b 1 (s)) ts det B 1 (s) d dt det(b(t)) ts [det B(s)] 1 d dt det(b(t)) ts T r(x (s) [det B(s)] 1 d dt det(b(t)) ts d dt det(b(t)) T r(b (s)b 1 (s) det B(s)) ts