Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de atemática Programa de Pós-Graduação em atemática Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva Caroline artins da Silva Saba Salvador-Bahia Abril de 015

2 Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva Caroline artins da Silva Saba Dissertação de estrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em atemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de estre em atemática. Orientador: Prof. Dr. Ézio de Araújo Costa Salvador-Bahia Abril de 015

3 Saba, Caroline artins da Silva. Variedades de dimensão 4 com curvatura biortogonal positiva/ Caroline artins da Silva Saba f. : il. Orientador: Prof. Dr. Ézio de Araújo Costa. Dissertação (mestrado) Universidade Federal da Bahia, Instituto de atemática, Salvador, 015. Referências bibliográficas. 1. Geometria Diferencial.. Variedades de dimensão 4(Topologia). 3. Einstein, Variedades de. 4. Variedades riemannianas. I. Costa, Ézio de Araújo. II. Universidade Federal da Bahia. Instituto de atemática. III. Título. CDD CDU

4 Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva Caroline artins da Silva Saba Dissertação de mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em atemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de estre em atemática, aprovada em 16 de abril de 015. Banca examinadora: Prof. Dr. Ézio de Araújo Costa (Orientador) UFBA Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima UFBA Prof. Dr. Ernani de Sousa Ribeiro Júnior UFC

5 À minha mãe e ao meu irmão.

6 Agradecimentos Agradeço, primeiramente, a Deus pela vida e por ter me guiado e me dado forças para alcançar mais esta conquista: a conclusão do estrado em atemática. À minha mãe, meu exemplo, por todo amor, carinho, dedicação e apoio a mim e pela formação da pessoa que hoje sou. Ao meu irmão e à toda minha família, por todo amor e carinho. Ao professor Ézio Costa, por ter aceitado me orientar, pela paciência, pelo apoio e por me conduzir na construção deste trabalho. Aos professores da graduação e do estrado que contribuíram para a minha formação acadêmica. Em especial, à professora Rita, pelo carinho, atenção e por sempre ter me incentivado a estar aqui. Também, à professora Ana Lucia, pelo carinho, apoio, atenção, pelas conversas e pelo incentivo constante na minha formação. Ao professor Ernani Ribeiro e à professora Ana Lucia, por aceitarem participar da banca examinadora da minha dissertação e pelas contribuições dadas para melhorar o meu trabalho. Ao meu namorado, pelo amor, carinho, companheirismo e pelo apoio e incentivo que tem me dado neste momento. Aos meus amigos da graduação. Em especial, à Julianna, pela amizade, pela ajuda sempre que precisei, pelo apoio e incentivo para chegar até aqui. Também, à Ana Paula, pelos estudos juntas, pelo apoio, pelo carinho e pela amizade. Aos meus amigos da pós-graduação, da sala 18, pelo carinho, pela amizade, pelas contribuições nos estudos e ajudas com o Tex. Foi muito bom conviver com todos vocês nesses dois anos. Em especial, à Bruno, pela amizade e por todos os estudos juntos nesses anos de estrado. Por fim, agradeço à Fapesb pelo apoio financeiro.

7 Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível. (São Francisco de Assis)

8 Resumo Um problema clássico em Geometria Diferencial é classificar variedades compactas tanto do ponto de vista topológico, quanto do ponto de vista geométrico. Sabemos que a curvatura (sob as formas mais variadas) pode determinar a topologia ou a geometria de tais variedades. Nesse presente trabalho, estudamos um tipo de curvatura (curvatura biortogonal) que é intermediária entre a curvatura seccional e a curvatura escalar. Em particular, em dimensão 4, essa noção de curvatura tem propriedades interessantes. Nosso principal objetivo é apresentar uma classificação das variedades Riemannianas compactas e orientadas de dimensão 4, 4, que satisfazem as seguintes propriedades: 1. a métrica de 4 é analítica;. o tensor de Weyl tem divergência nula; 3. o mínimo da curvatura biortogonal (K1 ) satisfaz K1 > 0, onde s é 8(3s + 5λ 1 ) a curvatura escalar e λ 1 é o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g. s Palavras-chave: Variedades de dimensão 4; curvatura biortogonal; tensor de Weyl; Fórmula de Weitzenböck; variedades de Einstein.

9 Abstract A classic problem in Differential Geometry is to classify compact manifolds from both the topological point of view as the geometric point of view. We know that the curvature (on different forms) can determine the topology or geometry of such manifolds. In this present work, we study a notion of curvature (biorthogonal curvature) that is between the sectional curvature and the scalar curvature. In particular, in dimension 4, this notion of curvature has interesting properties. Our aim is to present a classification of compact oriented Riemannian manifolds of dimension 4, 4, that satisfy the following properties: 1. the metric of 4 is analitic;. the Weyl tensor has null divergence; 3. the minimum of the biorthogonal curvature (K1 ) satisfies K1 s 8(3s + 5λ 1 ) > 0, where s is the scalar curvature and λ 1 is the first eigenvalue of the Laplacian with respect to g. Keywords: anifolds 4-dimensional; biorthogonal curvature; Weyl tensor; Weitzenböck formula; Einstein manifolds.

10 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Noções Básicas de Geometria Riemanniana Formas O operador estrela(operador de Hodge) Tensor de Weyl e Curvatura Biortogonal 10.1 Tensor de Weyl Decomposição do Operador de Curvatura Curvatura Biortogonal Relação entre o Tensor de Weyl e a Curvatura Biortogonal Fórmula de Weitzenböck, Desigualdade de Kato e Desigualdade de Poincaré Desigualdade de Poincaré Tensor de Weyl Harmônico e Fórmula de Weitzenböck Desigualdade de Kato Variedades de Einstein de Dimensão 4 5 Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva Demonstração do Teorema Principal

11 Introdução Um dos mais belos resultados da Geometria Diferencial Global é o Teorema da Esfera que afirma o seguinte: Teorema: Seja ( n, g), n, uma variedade Riemanniana compacta, orientável e cuja curvatura seccional satisfaz Então n é homeomorfa a uma esfera S n. 1 4 < K 1. Esse resultado foi obtido por Berger, em 1960 (veja []), em dimensão par, e por Klingenberg, em 1961 (veja [10]), em dimensão ímpar. Seaman, em 1991 (veja [13]), apresentou a noção de curvatura biortogonal, que é mais fraca do que a curvatura seccional, e generalizou o Teorema da Esfera: Teorema: Seja ( n, g), n, uma variedade Riemanniana compacta, orientável e cuja curvatura biortogonal satisfaz Então n é homeomorfa a uma esfera S n. 1 4 < K 1. Nessa dissertação, estudaremos a curvatura biortogonal e utilizaremos essa noção para classificar algumas variedades de dimensão 4 com curvatura biortogonal positiva. Consideremos, então, 4 uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de dimensão 4. Existem as seguintes conjecturas sobre tais variedades: Conjectura 1: Se 4 tem curvatura seccional K > 0 então 4 é homeomorfa à esfera S 4 ou ao espaço complexo projetivo CP. Conjectura : Se 4 é uma variedade de Einstein com K > 0 então 4 é isométrica à esfera S 4 ou ao espaço complexo projetivo CP. Em particular, D. Yang provou, em 000 (veja [14]), que a conjectura é verdadeira no seguinte caso: Teorema (Yang): Seja ( 4, g) uma variedade de Einstein compacta orientada de dimensão 4 com curvatura de Ricci igual a 1. Se a curvatura seccional K de ( 4, g) satisfaz a condição 1

12 K ɛ , então ( 4, g) é isométrica à esfera S 4 ou ao espaço complexo projetivo CP. E. Costa provou, em 004 (veja [3]), que o resultado de Yang dado acima continua verdadeiro sob a condição condição K E. Ribeiro, em 014 (veja [1]), melhorou ainda mais esse resultado usando a K Em nossa dissertação, provaremos o teorema dado abaixo, que foi obtido por Costa e Ribeiro, em 014 (veja [5]), e que é uma generalização do Teorema de Yang. Teorema Principal: Seja ( 4, g) uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de dimensão 4, com tensor de Weyl harmônico e curvatura escalar positiva s. Se a métrica g é analítica e K 1 s 8(3s + 5λ 1 ), onde λ 1 representa o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g. Então, 1. 4 é conformemente plana,. ou 4 é isométrica ao espaço complexo projetivo CP com sua métrica canônica. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro capítulo às definições e aos resultados básicos de Geometria Riemanniana que estão relacionadas com o tema proposto. Nos capítulos e 3 apresentamos algumas noções e resultados que serão utilizados na demonstração do Teorema Principal, dado acima. No capítulo 4 apresentamos resultados referentes a variedades de Einstein de dimensão 4. E, no capítulo 5, demonstramos o Teorema Principal.

13 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, introduziremos algumas definições básicas de Geometria Riemanniana e alguns resultados preliminares que serão utilizados nos capítulos posteriores. As definições referentes à Geometria Riemanniana encontram-se no livro de do Carmo [6]. Seja = n, n, uma variedade diferenciável n-dimensional. Denotaremos por X() o conjunto dos campos de vetores de classe C tangentes a n, por D() o anel das funções reais definidas em, de classe C, e por T o fibrado tangente de n. Para cada p, T p denotará o espaço tangente de n em p. 1.1 Noções Básicas de Geometria Riemanniana Definição Uma métrica Riemanniana em é uma correspondência que associa a cada ponto p um produto interno, p, no espaço tangente T p, que varia diferenciavelmente com p no seguinte sentido: Se x : U R n é um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x 1, x,..., x n ) = q e (q) = dx(0,..., 1,..., 0), x i então (q), (q) = g ij (x 1, x,..., x n ) são funções diferenciáveis em U. x i x j Definição Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana. Definição Sejam X, Y, Z X() e f, g C. Uma conexão afim em n é uma aplicação : X() X() X() que satisfaz as seguintes propriedades: (i) fx+gy Z = f X Z + g Y Z (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z (iii) X fy = f X Y + X(f)Y. 3

14 4 Definição Uma conexão afim é dita ser compatível com a métrica, se ela satisfaz a regra do produto, ou seja, X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z. Definição Uma conexão afim em uma variedade diferenciável é dita ser simétrica, quando para todo X, Y X(). X Y Y X = [X, Y ], Definição Uma conexão é dita Riemanniana, se ela for simétrica e compatível com a métrica. Definição A curvatura R de n é uma correspondência que associa a cada par X, Y X() uma aplicação R(X, Y ) : X() X() dada por R(X, Y )Z = Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z, onde Z X() e [X, Y ] = X Y Y X é o colchete de Lie de X e Y. Definição O tensor de curvatura de n, R : X() X() X() X() D(), é definido por onde X, Y, Z, W X(). R(X, Y, Z, W ) = R(X, Y )Z, W, Proposição O tensor de curvatura R(X, Y, Z, W ) satisfaz as seguintes propriedades: (i) R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(Y, X, W, Z); (ii) R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ). Definição Sejam σ um subespaço bidimensional de T p e {X, Y } uma base de σ. A curvatura seccional de σ em p é dada por K(σ) = K(X, Y ) = onde X Y = X Y X, Y. No caso em que X i, X j são ortonormais, R(X, Y, Y, X) X Y, K ij = K(X i, X j ) = R(X i, X j, X j, X i ). Além disso, segue do item (ii) da Proposição que K ij = K ji.

15 5 Definição Seja X T p, com X = 1. Então, a curvatura de Ricci na direção de X é dada por Ric p (X) = n K(X, X i ), i= onde {X 1 = X,..., X n } é uma base ortonormal de T p. Definição A curvatura escalar de n em p é dada por s(p) = n Ric p (X i ), i=1 onde {X 1 = X,..., X n } é uma base ortonormal de T p. Definição Sejam X, Y T p e façamos Ric(X, Y ) = traço da aplicação Z R(X, Z)Y. Escolhendo X tal que X = 1 e uma base ortonormal {Z 1,..., Z n = X} para T p, temos o tensor de Ricci definido por n 1 Ric(X, Y ) = R(X, Z i )Y, Z i. i=1 Definição Uma variedade Riemanniana n, n >, com uma métrica g, é dita ser uma variedade de Einstein, se a mesma tem curvatura de Ricci constante. Outra definição equivalente para variedade de Einstein de dimensão n > é a seguinte Definição ( n, g) é uma variedade de Einstein se, e somente se, o tensor de Ricci é um múltiplo da métrica, isto é, Ric = λg, onde λ é uma constante. Definição ( n,, ) é conformemente plana se, para cada x n, existe um difeomorfismo f : V n V R n, onde V é uma vizinhança de x n e V é uma vizinhança de f(x) R n tal que, para todo p V e todo v 1, v T p n, se tenha v 1, v p = u(p) df p v 1, df p v f(p), onde u : n R é uma função diferenciável positiva e, é a métrica euclidiana.

16 6 1. Formas Definição Seja V um espaço vetorial de dimensão n, com produto interno,. Uma 1-forma em V é um funcional linear f : V R e, como sabemos, existe um único vetor u V tal que f(v) = u, v, v V. Então, podemos identificar f com um vetor u V e usar a notação u(v) = u, v. Definição 1... Uma -forma em V é uma aplicação bilinear antissimétrica α : V V R. Se u e v são dois vetores em V, podemos definir uma -forma u v (bivetor) da seguinte maneira u v : V V R (u v)(x, y) = det Dessa definição, seguem algumas propriedades: ( ) u, x u, y v, x v, y 1. v u = u v. De fato, (v u)(x, y) = det ( v, x v, y u, x u, y ) = v, x u, y u, x v, y = (u v)(x, y). Em particular, u u = 0.. ((λ 1 u 1 + λ u ) v) = λ 1 u 1 v + λ u v. De fato, ( λ1 u 1 + λ u, x λ 1 u 1 + λ u, y det v, x v, y ) = = ( λ 1 u 1, x + λ u, x ) v, y v, x ( λ 1 u 1, y + λ u, y ) = λ 1 ( u 1, x v, y v, x u 1, y ) + λ ( u, x v, y v, x u, y ) = λ 1 (u 1 v)(x, y) + λ (u v)(x, y). O conjunto das -formas em V é um espaço vetorial denotado por Λ (V ). Se {e 1,, e n } é uma base de V, então {e i e j }, com i < j, é uma base para Λ (V ). Podemos definir um produto interno em Λ (V ) da seguinte forma:, : Λ (V ) Λ (V ) R e i e j, e r e k = det ( ei, e r e i, e k e j, e r e j, e k Dadas as -formas α = e i e j, β = e r e k Λ (V ), o produto exterior de α e β pode ser definido como a aplicação: α β : V V V V R ).

17 7 (α β)(v 1, v, v 3, v 4 ) = det( e i, v j ). Dizemos que uma -forma α Λ (V ) é decomponível, se existem u, v V, tais que α = u v. Além disso, dados α, β, γ Λ (V ), temos as seguintes propriedades básicas do produto exterior: α (β + γ) = α β + α γ; (α β) γ = α (β γ); α β = β α; Se α é diferente de zero, então α é decomponível se, e somente se, α α = 0. Agora, conhecendo o espaço Λ, podemos apresentar a seguinte definição: Definição Seja uma variedade Riemanniana de dimensão n. Em cada ponto x, vamos considerar V = T x e Λ x = Λ (T x ). O operador de cuvatura R em x, R : Λ x Λ x é definido por R(X Y ), Z W = R(X Y, Z W ) = R(X, Y, W, Z), onde R é o tensor de curvatura. Observação R é uma aplicação linear simétrica. 1.3 O operador estrela(operador de Hodge) A partir daqui estamos interessados em espaços vetoriais V, de dimensão 4. Seja V um espaço vetorial, de dimensão 4, com produto interno,. Vamos, então, definir o operador estrela. Para isto, considere {e 1, e, e 3, e 4 } uma base ortonormal de V, logo B = {e 1 e, e 1 e 3, e 1 e 4, e e 3, e e 4, e 3 e 4 } é uma base de Λ (V ). Definição O operador estrela : Λ (V ) Λ (V ) é uma aplicação definida nos elementos da base B da seguinte forma (e 1 e ) = e 3 e 4 ; (e 1 e 3 ) = e e 4 ; (e 1 e 4 ) = e e 3 ; (e e 3 ) = e 1 e 4 ; (e e 4 ) = e 1 e 3 ; (e 3 e 4 ) = e 1 e.

18 8 Essa definição é estendida, por linearidade, para os outros elementos de Λ (V ). Lema O operador : Λ (V ) Λ (V ) satisfaz as seguintes condições: (i) = Id; (ii) é auto adjunto; (iii) os autovalores de são ±1. Prova. (i) Pela definição, basta verificar que esta propriedade é válida para os elementos da base B. Neste caso, temos ( (e 1 e )) = (e 3 e 4 ) = e 1 e, ( (e 1 e 3 )) = (e e 4 ) = e 1 e 3, ( (e 1 e 4 )) = (e e 3 ) = e 1 e 4, ( (e e 3 )) = (e 1 e 4 ) = e e 3, ( (e e 4 )) = (e 1 e 3 ) = e e 4, ( (e 3 e 4 )) = (e 1 e ) = e 3 e 4, o que prova a primeira afirmação. (ii) Para mostrar que é auto adjunto, também basta verificar, que essa propriedade é válida, para os elementos da base B. De fato, ( temos ) e3, e 1 e 3, e 3 (e 1 e ), e 1 e 3 = e 3 e 4, e 1 e 3 = det = 0, e 4, e 1 e 4, e 3 pois, como e i e e j são ortonormais, temos que e i, e j = δ j i. Por outro lado, e 1 e, (e 1 e 3 ) = e 1 e, e e 4 = det ( e1, e e 1, e 4 e, e e, e 4 ) = 0, pois, como e i e e j são ortonormais,temos que e i, e j = δ j i. De maneira análoga, conseguimos provar que a propriedade é válida para os demais elementos da base. (iii) Temos, por (i), que = Id, logo det = det Id = 1. Assim, (det ) = 1. Portanto, os autovalores de são ±1. Observação O operador decompõe o espaço Λ (V ) na soma direta ortogonal Λ (V ) = Λ + (V ) Λ (V ), onde Λ ± são os auto espaços de associados aos autovalores ±1, ou seja Λ + (V ) = {α Λ (V ); α = α}, Λ (V ) = {α Λ (V ); α = α}.

19 9 que Sendo dim(v ) = 4, temos que dim(λ V ) = 6 e dim(λ ± ) = 3. { Λ + e1 e + e 3 e 4 = span, e 1 e 3 + e 4 e, e } 3 e + e 4 e 1 É bem conhecido (1.1) e { Λ e1 e e 3 e 4 = span, e 1 e 3 e 4 e, e } 3 e e 4 e 1 (1.) (veja [1]). Os espaços Λ + (V ) e Λ (V ) são chamados de parte autodual e parte antiautodual de Λ (V ), respectivamente.

20 Capítulo Tensor de Weyl e Curvatura Biortogonal Neste capítulo, apresentaremos as definições do tensor de Weyl e da curvatura biortogonal e vamos estabelecer algumas relações entre essas duas noções..1 Tensor de Weyl Definição.1.1. Seja 4 uma variedade Riemanniana, orientada, de dimensão 4. Em cada ponto x, vamos considerar V = T x 4 e Λ x = Λ (T x 4 ). O tensor de Weyl em x, W = W x : Λ x Λ x, é definido por W (X Y ) = R(X Y ) 1 [Ric(X) Y + X Ric(Y )] + s (X Y ), 6 onde s é a curvatura escalar de 4, em x, Ric(Z) = n R(Z, Z i )Z, {Z = Z 1, Z, Z 3, Z 4 } é uma base ortonormal de T x 4 e R é o tensor de curvatura. Observação.1.. W é uma aplicação linear simétrica. i= Em dimensão 4, pela ação do operador estrela, temos que W pode ser decomposto na soma direta ortogonal W = W + W, onde W ± : Λ ± Λ ± são chamados de parte autodual e anti-autodual de W, respectivamente. Logo, por tal decomposição, temos W = W + + W. 10

21 11 Sejam w 1 ± w ± w 3 ± os autovalores de W ±, respectivamente. Sabemos que 3 3 tr W ± = w ± i = 0 e W ± = (w ± i ). i=1 i=1 Podemos caracterizar variedades conformementes planas, utilizando o tensor de Weyl, como segue. Proposição.1.3. Uma variedade n orientada, de dimensão n 4, é conformemente plana se, e somente se, W 0. Prova. Pela definição de variedade conformemente plana, temos que ( n,, ) é conformemente plana se, e somente se, para cada x n, existe um difeomorfismo conforme f : V n V R n, onde V é uma vizinhança de x n e V é uma vizinhança de f(x) R n tal que, para todo p V e todo v 1, v T p n, se tenha v 1, v p = u(p) df p v 1, df p v f(p), onde u : n R é uma função diferenciável positiva e, é a métrica euclidiana. Assim, a métrica de n é conforme à métrica do R n. Sabemos que, em R n, W 0 e a métrica conforme preserva o tensor de Weyl. Logo, em n, W 0. Em dimensão 4, S 4 c (c > 0), H 4 c (c < 0) e R 4 (c = 0) são exemplos de variedades conformemente planas. Podemos também definir variedades semiconformemente planas utilizando o tensor de Weyl, como na definição seguinte. Definição.1.4. Uma variedade 4 orientada, de dimensão 4, é semiconformemente plana se, e somente se, W = 0 ou W + = 0. O espaço complexo projetivo, CP, possui W = 0 e W + 0, ou seja, é uma variedade semiconformemente plana..1.1 Decomposição do Operador de Curvatura Considere ( 4, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimensão 4. Sendo R o operador de curvatura de 4, a matriz desse operador é dada por W + + s 1 Id B R = B W + s 1 Id onde B : Λ Λ + α α + representa o operador sem traço de Ricci de 4 dado por,

22 1 B = Ric s 4 g, em que Ric é o tensor de Ricci de 4 ; s é a curvatura escalar de 4 ; B : Λ + Λ é o operador adjunto e inverso de B. α + α Observação.1.5. Como consequência imediata da Definição , B = 0 se, e somente se, ( 4, g) é uma variedade de Einstein.. Curvatura Biortogonal A noção de curvatura biortogonal foi usada em [11] e [13] por. H. Noronha e W. Seaman, mas a definição foi feita originalmente por E. A. Costa em [4], como apresentaremos a seguir. Seja = n uma variedade compacta de dimensão n 4 e denote por et() o conjunto das métricas Riemannianas em. Para cada métrica g et(), seja s a curvatura escalar de na métrica g e denote por K a curvatura seccional dessa métrica. Para cada x, sejam P 1 e P dois subespaços de dimensão, do espaço tangente T x, que são mutuamente ortogonais. Definição..1. A curvatura seccional biortogonal K, relativa a P 1 e P (em x ), é o número dado por Se n = 4, escrevemos K (P 1, P ) = K(P 1) + K(P ). K (P ) = K(P ) + K(P ), (.1) onde P é o -plano ortogonal à P. funções em : Agora, seja uma variedade Riemanniana de dimensão 4 e considere as seguintes K 1 = min{k (P ); P é um -plano de T x }, (.) K 3 = max{k (P ); P é um -plano de T x }, (.3) e K = s 4 K 1 K 3. (.4)

23 13.3 Relação entre o Tensor de Weyl e a Curvatura Biortogonal Nesta seção, provaremos algumas equações envolvendo os autovalores da parte autodual e anti-autodual do tensor de Weyl e a curvatura biortogonal. Considere ( 4, g) uma variedade Riemanniana orientada, compacta, de dimensão 4. Lema.3.1. Sejam x 4 e {X 1, X, X 3, X 4 } uma base ortonormal orientada de T x 4. Seja também α = X 1 X Λ (T x 4 ) uma -forma unitária. Então α pode ser unicamente escrita como α = α + + α, onde α ± Λ ±, respectivamente, com α + = 1 e α = 1. Prova. Como α = 1, já que α é unitária, temos α, α = 1. Além disso, supondo α = X 1 X, obtemos ( ) X1, X 3 X 1, X 4 α, α = X 1 X, (X 1 X ) = X 1 X, X 3 X 4 = det = 0; X, X 3 X, X 4 pois X 1, X, X 3, X 4 são ortonormais entre si. Como Λ x = Λ + x Λ x, onde Λ + x é o auto espaço associado ao autovalor +1 e Λ x é o auto espaço associado ao autovalor 1, temos que α pode ser escrita como α = α + +α, onde (α + ) = α + e (α ) = α. Daí, segue que 1 = α, α = α + + α, α + + α = α + + α +, α + α = α + + α, pois, como α + Λ + e α Λ, temos α +, α = 0. Por outro lado, temos que 0 = α, α = α + + α, (α + + α ) = α + + α, α + α = α + α +, α + α, α + α = α + α. Portanto, das equações acima, obtemos α + = α = 1. Para mostrar a unicidade, suponhamos que existam β +, β Λ ±, respectivamente, tais que α = β + + β. Então α + + α = β + + β α + β + = β α Como α + β + Λ + x, β α Λ x e Λ + x Λ x = {0}, já que Λ + x Λ x = Λ x, temos que α + β + = 0 α + = β + β α = 0 β = α

24 14 Portanto, α pode ser unicamente escrita como α = α + + α. Isto conclui a prova do Lema. Com as notações do lema acima, a curvatura seccional é dada por onde α = X 1 X = α + + α. K(X 1 X ) = K(α) = R(α), α, Para encontrar a expressão para a curvatura seccional K(α), vamos calcular primeiramente R(α). Daí, obtemos Logo, R(α) = R(α) = W + + s 1 Id B B W + s 1 Id W + (α + ) + s 1 α+ + Bα B α + + W (α ) + s 1 α K(α) = R(α), α ( = W + (α + ) + s 1 α+ + +Bα, B α + + W (α ) + s ) 1 α, (α +, α ) = W + (α + ), α + + s 1 α+ + Bα, α + + W + (α + ), α + + s 1 α+, α + Bα, α + + B α +, α + + W (α ), α + + s 1 α, α + + B α +, α + W (α ), α + s 1 α. Por outro lado, observe que s 1 ( α+ + α ) = s 1, pois α+ + α = 1; α + α.. W + (α + ), α = 0, pois W + (α + ) α, já que W + (α + ) Λ + e α Λ ; α +, α = α, α + = 0, pois α + α ; Bα, α = α +, α = 0 e B α +, α + = α, α + = 0, ambos pelo item anterior; W (α ), α + = 0, pois W (α ) α +, já que W (α ) Λ e α + Λ + ; B α +, α = α +, Bα, pois B é adjunta de B; Além disso, W + (α + ), α + = α +, W + (α + ), W (α ), α = α, W (α ) e Bα, α + = α +, Bα, pois o produto interno é comutativo.

25 15 K 1 Substituindo essas igualdades na expressão de K(α), obtemos K(α) = s 1 + α+, W + (α + ) + α, W (α ) + α +, Bα. Em particular, se α = X 3 X 4 = α + α, temos K(α ) = s 1 + α+, W + (α + ) + α, W ( α ) + α +, B( α ). Como W e B são aplicações lineares, concluímos que K(α ) = s 1 + α+, W + (α + ) + α, W (α ) α +, Bα. Somando as equações de K(α) e K(α ), temos ( s ) K(α) + K(α ) = 1 + α+, W + (α + ) + α, W (α ). Assim, = s 1 + min K(α) + K(α ) = s 1 + α+, W + (α + ) + α, W (α ). Portanto, usando a equação (.), obtemos { α +, W + (α + ) ; α + = 1 } + min Observe que { min α ±, W ± (α ± ) ; α ± = 1 } = w 1 ± α ± = w± 1, onde w 1 ± são os menores autovalores de W ±, respectivamente. Portanto, pela equação (.5), temos K 1 { α, W (α ) ; α = 1 }. (.5) s 1 = w+ 1 + w1. (.6) Argumentando de forma análoga usando a equação (.3), e sabendo que { max α ±, W ± (α ± ) ; α ± = 1 } = w 3 ± α ± = w± 3, onde w ± 3 são os maiores autovalores de W ±, respectivamente, temos K 3 Substituindo (.6) e (.7) em (.4), obtemos s 1 = w+ 3 + w3. (.7) K = s ( s w+ 1 + w1 ) ( s 1 + w+ 3 + w3 ) = s 4 s ( w w 3 + ) ( w + 1 w ) 3

26 16 Finalmente, usando w ± = w ± 1 w ± 3, concluímos que K s 1 = w+ + w (.8) As equações (.6), (.7), e (.8) relacionam os autovalores da parte autodual e anti-autodual do tensor de Weyl com a curvaturva biortogonal. Em dimensão 4, podemos caracterizar variedades conformemente planas utilizando a curvatura biortogonal, como dado na proposição a seguir. Proposição é uma variedade conformemente plana se, e somente se, onde s é a curvatura escalar de 4 em x. K (P ) = s(x) 1, para todo P T x 4, Prova. W 0. Já sabemos que 4 é uma variedade conformemente plana se, e somente se, Por outro lado, (.4), temos que W 0 w + i = w i = 0. Então, usamos (.6), (.7) e (.8) para concluir que K 1 Assim, pelas definições de K 1, K = s 1, K = s 1 e K 3 = s 1. e K 3, dadas pelas equações (.), (.3) e K = s 1, como afirmado.

27 Capítulo 3 Fórmula de Weitzenböck, Desigualdade de Kato e Desigualdade de Poincaré Neste capítulo, definiremos o Laplaciano de uma variedade, o tensor de Weyl harmônico e enunciaremos alguns resultados envolvendo esse tensor e o primeiro autovalor do Laplaciano. 3.1 Desigualdade de Poincaré Nesta seção, definiremos Laplaciano de uma variedade, seu primeiro autovalor e enunciaremos a Desigualdade de Poincaré. Definição Seja uma variedade Riemanniana, de dimensão n. O Laplaciano de, : D() D(), é definido por f = div grad f, f D() Definição Sejam n uma variedade Riemanniana compacta e o Laplaciano de n. Dizemos que um número λ é autovalor de, se existe uma função diferenciável f : n R, f não identicamente nula, tal que f = λf. É um fato conhecido que os autovalores do Laplaciano satisfazem 0 < λ 1 λ... λ n... λ 1 é chamado de primeiro autovalor de. 17

28 18 Pela definição acima, existe f 1 0 tal que f 1 = λ 1 f 1, onde λ 1 0. Em particular, se é compacta, temos, pelo Teorema de Stokes, que f 1dV g = 0. Segue então que f 1dV g = 0. Por outro lado, e f 1 = f 1 f 1 + grad f 1. Sendo compacta temos, novamente por Stokes, que f 1 dv g = 0 e, portanto, f 1 f 1 = λ 1 f 1 (3.1) Segue de (3.1) e (3.) que Logo, λ 1 f 1 f 1 dv g = grad f 1 dv g. (3.) f1 dv g = grad f 1 dv g. λ 1 = grad f 1 dv g f 1 dv g. Proposição O primeiro autovalor do Laplaciano, λ 1, satisfaz a seguinte condição { λ 1 = inf grad } f dv g f ; f 0 e fdv g = 0. dv g Segue da proposição acima a chamada Desigualdade de Poincaré: grad f dv g λ 1 f dv g, (3.3) onde f 0 e fdv g = 0. Observação A desigualdade acima será utilizada na demonstração do Teorema Principal. 3. Tensor de Weyl Harmônico e Fórmula de Weitzenböck Nesta seção, considerando 4 uma variedade Riemanniana orientada de dimensão 4, definiremos tensor de Weyl harmônico e enunciaremos alguns resultados envolvendo esse tipo de tensor. Definição Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e V o espaço dual de V, isto é, V = {f : V R} o espaço dos funcionais lineares de valores reais em V. Um tensor do tipo (k, l) é uma aplicação multilinear F : } V. {{.. V } V }. {{.. V } R. l cópias k cópias

29 19 Definição 3... Um tensor do tipo (0, 4), ou um (0, 4) - tensor, é uma aplicação multilinear F : V V V V R. Em particular, o tensor de Weyl de 4, em x, é uma aplicação multilinear W = W x : Λ x Λ x Λ x Λ x R onde Λ x = Λ (T x 4 ) é o espaço dual de T x 4. (X, Y, Z, W ) W (X Y ), Z W, Definição A divergência formal δ para qualquer (0, 4) - tensor T é dada por onde g é a métrica de 4 δt (X 1, X, X 3 ) = traço g {(Y, Z) Y T (Z, X 1, X, X 3 )}, Definição O tensor de Weyl de 4 é dito harmônico se δw = 0. Pela Proposição.1.3, sobre toda variedade conformemente plana temos que W 0. Logo, δw = 0. Em particular, S 4 tem W 0. Toda variedade de Einstein orientada tem tensor de Weyl harmônico, pois como consequência da expressão (), em [7], temos, em dimensão 4, δw = 1 ( d Ric s ) 6 g = 1 ( d λg s ) 6 g = 1 ( λ s ) dg = 0, 6 já que λ e s são constantes e dg = 0. Como W = W + W e, pela Definição 3..4, temos que W é harmônico se, e somente se, W ± são harmônicos. Agora, conhecendo o Laplaciano e o tensor de Weyl, podemos enunciar a Fórmula de Weitzenböck (conforme em [1]). Proposição Seja 4 compacta. Se o tensor de Weyl de 4 é harmônico, então a Fórmula de Weitzenböck para W ± é dada por onde det W ± = w ± 1 w ± w ± 3. 1 W ± + W ± + s W ± 18 det W ± = 0, A seguinte Proposição foi apresentada por Derdzinski em [8]. Proposição Seja ( 4, g) uma variedade Riemanniana de dimensão 4, com tensor de Weyl harmônico. Em um ponto p, com Ric(p) 1 4 s(p).g, W + (p) e W (p) tem igual espectro, incluindo multiplicidades.

30 0 3.3 Desigualdade de Kato Nesta seção enunciaremos a desigualdade de Kato, que também tem como hipótese o tensor de Weyl harmônico. Antes de enunciar a desigualdade de Kato refinada, mostraremos o seguinte lema, que é a desigualdade de Kato para funções diferenciáveis de valores reais. Lema Seja u : R n R uma função diferenciável. Se grad u 0, então grad grad u tr [ (Hess u) ]. Prova. Sabemos que grad u = n ( ) u. i=1 x i Logo, Derivando o 1 o membro, obtemos Isto nos diz que Portanto, x j ( grad u ) = grad u x j grad u = n i=1 x j grad u = 1 grad u u u. x i x i x j n i=1 n i=1 u u. x i x i x j u u. x i x i x j grad grad u = = = [ n ( ) ( )] 1 n u u grad u x i=1 i x i x j [ n 1 n ( ) u n ( ) ] grad u u x j=1 i=1 i x i=1 i x j [ n 1 n ( ) ] grad u grad u u x j=1 i=1 i x j n n ( ) u = tr [ (Hess u) ], como queríamos demonstrar. j=1 j=1 i=1 x i x j Em [9], LeBrun e Gursky provaram uma desigualdade de Kato refinada. ais precisamente, eles mostraram o seguinte resultado.

31 1 Proposição 3.3. (Desigualdade de Kato). Se W ± são harmônicos, então no conjunto P = {p 4 ; W ± (p) 0} temos respectivamente. grad W ± 3 5 W ± ou d W ± 3 5 W ± ;

32 Capítulo 4 Variedades de Einstein de Dimensão 4 No capítulo 1, já vimos que ( n, g), n >, é uma variedade de Einstein se, e somente se, o tensor de Ricci é um múltiplo da métrica, isto é, Ric = λg, onde λ é uma constante. Neste capítulo, destacaremos alguns resultados envolvendo variedades de Einstein, de dimensão 4. Os exemplos mais simples de variedades de Einstein compactas, de dimensão 4, são: a esfera S 4 c orientável, com Ric p = 3c > 0 e K = c > 0; o espaço projetivo real RP 4, não orientável, com Ric p = 3c > 0 e K = c > 0; o espaço complexo projetivo CP, com curvatura de Ricci constante positiva e o produto de duas esferas S c S c orientável, com Ric p = c > 0 e K 0. Os exemplos mais simples de variedades de Einstein não compactas orientáveis, de dimensão 4, são: o espaço hiperbólico H 4 c, com Ric P = 3c < 0 e K = c < 0 e o produto de dois espaços hiperbólicos H c H c, com Ric p = c > 0 e K 0. O próximo resultado pode ser encontrado em [5]. Proposição Seja 4 uma variedade Riemanniana orientada, de dimensão 4. 4 é uma variedade de Einstein se, e somente se, K(P ) = K(P ), para cada x 4 e para todo - plano P T x 4. Prova. Seja 4 uma variedade de Einstein. Sejam x 4 e {e 1, e, e 3, e 4 } uma base ortonormal orientada de T x 4. Seja P = [e 1, e ] o - plano gerado por e 1 e e e denote por P = [e 3, e 4 ] o - plano ortogonal à P. Como 4 é uma variedade de Einstein, consideremos λ a curvatura de Ricci de 4. Assim, temos que as curvaturas de Ricci nas direções de e 1 e e 3, respectivamente, são dadas por λ = K(e 1, e ) + K(e 1, e 3 ) + K(e 1, e 4 ), λ = K(e 3, e 1 ) + K(e 3, e ) + K(e 3, e 4 ).

33 3 Subtraindo essas duas equações e sabendo que K(e 1, e 3 ) = K(e 3, e 1 ), temos 0 = K(e 1, e ) + K(e 1, e 4 ) K(e 3, e ) K(e 3, e 4 ). (4.1) Novamente, as curvaturas de Ricci nas direções de e e e 4, respectivamente, são dadas por λ = K(e, e 1 ) + K(e, e 3 ) + K(e, e 4 ), λ = K(e 4, e 1 ) + K(e 4, e ) + K(e 4, e 3 ). Subtraindo essas duas equações e sabendo que K(e, e 4 ) = K(e 4, e ), temos 0 = K(e, e 1 ) + K(e, e 3 ) K(e 4, e 1 ) K(e 4, e 3 ). (4.) Somando (4.1) e (4.) e sabendo que K(e, e 3 ) = K(e 3, e ) e K(e 4, e 1 ) = K(e 1, e 4 ), obtemos 0 = K(e 1, e ) K(e 3, e 4 ) K(e 1, e ) = K(e 3, e 4 ). Portanto, como x é arbitrário, deduzimos que K(P ) = K(P ), para cada x 4 e para todo - plano P de T x 4. Reciprocamente, suponhamos K(P ) = K(P ), para todo - plano P de T x 4 e para cada x 4. Sejam x 4 e {X 1, X, X 3, X 4 } uma base ortonormal de T x 4. Então, temos que Ric(X j, X j ) = Ou seja, n n R(X j, X i )X j, X i = ( R(X j, X i )X i, X j ). i= i= Ric(X j, X j ) = Em particular, obtemos que n R(X j, X i )X i, X j. i= Ric(X 1, X 1 ) = R(X 1, X )X, X 1 + R(X 1, X 3 )X 3, X 1 + R(X 1, X 4 )X 4, X 1 = K 1 + K 13 + K 14 ; Ric(X, X ) = R(X, X 1 )X 1, X + R(X, X 3 )X 3, X + R(X, X 4 )X 4, X = K 1 + K 3 + K 4 ; Ric(X 3, X 3 ) = R(X 3, X 1 )X 1, X 3 + R(X 3, X )X, X 3 + R(X 3, X 4 )X 4, X 3 = K 13 + K 3 + K 34 ; Ric(X 4, X 4 ) = R(X 4, X 1 )X 1, X 4 + R(X 4, X )X, X 4 + R(X 4, X 3 )X 3, X 4 = K 14 + K 4 + K 34.

34 4 Como, por hipótese, K(P ) = K(P ), para cada x 4 e para qualquer - plano P de T x 4, temos K 1 = K 34 K 13 = K 4 K 14 = K 3. (4.3) Seja Ric(X 1, X 1 ) = K 1 + K 13 + K 14 = λ(x), para cada x 4. Como X 1, X 1 = X 1 = 1, segue que Ric(X 1, X 1 ) = λ(x) = λ(x) X 1, X 1. Sabendo que, X j, X j = X j = 1, podemos usar (4.3) para concluir que Ric(X, X ) = K 1 + K 3 + K 4 = K 1 + K 14 + K 13 = λ(x) = λ(x) X, X ; Ric(X 3, X 3 ) = K 13 + K 3 + K 34 = K 13 + K 14 + K 1 = λ(x) = λ(x) X 3, X 3 ; Ric(X 4, X 4 ) = K 14 + K 4 + K 34 = K 14 + K 13 + K 1 = λ(x) = λ(x) X 4, X 4. Logo, Ric(X j, X j ) = λ(x) X j, X j, para qualquer X j, e, portanto, pela Definição , temos que 4 é uma variedade de Einstein, o que finaliza a prova da proposição. No teorema seguinte, cuja demonstração encontra-se em [1], Hitchin classificou as variedades de Einstein compactas, semiconformemente planas, com curvatura escalar não negativa. Teorema (Hitchin). Seja 4 uma variedade de Einstein compacta, orientada, semiconformemente plana, de dimensão 4. Então, se s > 0, 4 é isométrica a S 4 ou CP, com suas métricas canônicas.

35 Capítulo 5 Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva Nesse capítulo, demonstraremos o Teorema Principal. Inicialmente, citaremos alguns exemplos de variedades de dimensão 4, com curvatura biortogonal positiva. CP, K 1 S 4 c, K = c > 0; S c S c, 0 K c; RP 4 c, K = c > 0; = s 4 > 0, onde s é a curvatura escalar de CP ; Variedade conformemente plana, com curvatura escalar positiva s. Isso decorre do fato de que K1 = s 1. Teorema (Teorema Principal). Seja ( 4, g) uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de dimensão 4, com tensor de Weyl harmônico e curvatura escalar positiva s. Se a métrica g é analítica e K 1 s 8(3s + 5λ 1 ), onde λ 1 representa o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g, então 1. 4 é conformemente plana, ou. 4 é isométrica ao espaço complexo projetivo CP com sua métrica canônica. Observação As variedades conformemente planas satisfazem a hipótese K 1 = s 1 s 8(3s + 5λ 1 ) 5

36 6 do teorema acima, e o mesmo vale para o CP pois, nessa variedade, temos K 1 = s 4 s 8(3s + 5λ 1 ). Antes de apresentarmos a demonstração do Teorema Principal, provaremos alguns Lemas auxiliares. Lema O valor máximo da função f(x, y, z) = xyz, sujeita às condições x+y+z = 0 e x + y + z 1 = 1, é. 54 Prova. Considere g(x, y, z) = x + y + z e h(x, y, z) = x + y + z 1. Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos grad f(x, y, z) = λ grad g(x, y, z) + µ grad h(x, y, z). Logo, temos o seguinte sistema de equações f x = λ g x + µ h x f y = λ g y + µ h y f z = λ g z + µ h z yz = λ + µx xz = λ + µy xy = λ + µz. (5.1) Além disso, temos { x + y + z = 0 x + y + z = 1. ultiplicando as equações em (5.1) por x, y e z, respectivamente, temos xyz = λx + µx xyz = λy + µy xyz = λz + µz. (5.) Somando as três equações acima, temos 3xyz = λ(x + y + z) + µ(x + y + z ). (5.3) Substituindo (5.) em (5.3), encontramos 3xyz = µ µ = 3xyz. Agora, substituindo o valor de µ em (5.1), obtemos yz = λ + 3x yz (i) xz = λ + 3xy z (ii) xy = λ + 3xyz (iii)

37 7 Fazendo (i) (ii), temos yz xz = 3xyz(x y) z(y x) 3xyz(x y) = 0 z(y x) + 3xyz(y x) = 0 (y x)(z + 3xyz) = 0. Logo, y x = 0 ou z + 3xyz = 0. Vamos analisar os dois casos acima. Caso 1: y x = 0. Se y x = 0, temos y = x. Então, fazendo y = x em x + y + z = 0, obtemos z = x. Substituindo essas igualdades em x + y + z = 1, temos x + x + ( x ) = 1 6x = 1 x = ± Portanto, 6 y = x = ± e z = x = 6 = 6 6 ( ) ( ) ( ) Neste caso, f(x, y, z) = ± ± Caso : z + 3xyz = = ± = ± Se z + 3xyz = 0, temos z(1 + 3xy) = 0, ou seja, z = 0 ou 3xy + 1 = = ± Se z = 0, temos f(x, y, z) = 0 e, como no caso 1 já encontramos um valor positivo para f, 0 não é valor máximo. Se 3xy + 1 = 0, temos xy = 1 3. Assim, f(x, y, z) = 1 z e isto implica que 3 grad f(x, y, z) = (0, 0, 1 ) (0, 0, 0). Logo, f não possui pontos críticos nesse caso. 3 Portanto, tendo analisado os casos 1 e, podemos concluir que o valor máximo 1 de f(x, y, z) é. 54 Lema Se w ± 1 w ± w ± 3 são os autovalores dos tensores W ±, respectivamente, então W ± 6(w ± 1 ). Prova. Sejam w ± 1 w ± w ± 3 os autovalores de W ±, respectivamente. Já sabemos que esses autovalores satisfazem a equação w ± 1 + w ± + w ± 3 = 0.

38 8 Daí, segue que w 1 ± = w ± + w 3 ± ( w 1 ± ) = (w ± + w 3 ± ) (w 1 ± ) = (w ± ) + w ± w 3 ± + (w 3 ± ) (w 1 ± ) w ± w 3 ± = (w ± ) + (w 3 ± ). Somando a equação acima com (w 1 ± ), obtemos (w 1 ± ) w ± w 3 ± = (w 1 ± ) + (w ± ) + (w 3 ± ). Sabemos que W ± = (w 1 ± ) + (w ± ) + (w 3 ± ). Logo, W ± = (w 1 ± ) w ± w 3 ±. Como w 1 ± w ± w 3 ± e w 1 ± + w ± + w 3 ± = 0, devemos ter w 1 ± 0 e w 3 ± 0. Sendo assim, se w ± 0, temos w ± w 3 ± 0, logo w ± w 3 ± 0. Assim, obtemos W ± = (w 1 ± ) w ± w 3 ± (w 1 ± ) 6(w 1 ± ). Por outro lado, como w 1 ± w ±, temos w ± w 1 ±. (5.4) De w ± 1 + w ± + w ± 3 = 0, também temos w ± 3 = w ± 1 w ±. (5.5) Segue de (5.4) e (5.5) que w 3 ± = w 1 ± w ± w 1 ± w 1 ± = w 1 ±. (5.6) E, por (5.4) e (5.6), segue que w ± w 3 ± w 1 ± w 3 ± w 1 ± ( w 1 ± ) = 4(w 1 ± ). Aplicando esta desigualdade em W ± = (w ± 1 ) w ± w ± 3, temos W ± = (w ± 1 ) w ± w ± 3 (w ± 1 ) + 4(w ± 1 ) = 6(w ± 1 ). Assim, em todos os casos, temos W ± 6(w ± 1 ), como queríamos concluir. Lema Se 4 é uma variedade Riemanniana orientada, de dimensão 4, com curvatura escalar positiva s, então: W + + W 6 ( s ) 6 K 1. (5.7)

39 9 Prova. Sejam w ± 1 autovalores de W ±. Pela equação (.6), temos K 1 s 1 = w+ 1 + w1 se, e somente se, w w 1 = K 1 s 6. Assim, pelo Lema e pela definição, obtemos W + + W ± 6 ( w w 1 ) ( = 6 K1 s ), 6 pois w w 1 < 0 e W + + W > 0. Logo, W + + W 6 ( s ) 6 K 1. Lema Se K 1 s 8(3s + 5λ 1 ) e a = 5 6 λ 1 + s, então 6 ( s 6 K 1 ) 4a 5 9 λ 1 4. (5.8) 6a Prova. Seja K 1 s. ultiplicando essa desigualdade por, temos 8(3s + 5λ 1 ) K 1 s 8(3s + 5λ 1 ) = s 4(3s + 5λ 1 ). Somando s 6 a esta desigualdade, obtemos s 6 K 1 s 6 s 4(3s + 5λ 1 ). Agora, multiplicando por 6, temos ( s ) 6 6 K 1 ( ) s 6 6 s 4(3s + 5λ 1 ) = ( ) s(3s + 5λ1 ) 3s 6 1(3s + 5λ 1 ) = ( ) 6s + 10sλ 1 3s 6 1(3s + 5λ 1 ) = ( ) 3s + 10sλ (3s + 5λ 1 ) Logo, 6 ( s 6 K 1 ) ( ) 3s + 10sλ (3s + 5λ 1 )

40 30 Como a = 5 6 λ 1 + s, temos s = 6a 5λ 1. Substituindo s na desigualdade anterior, 3 obtemos ( s ) 6 6 K 1 ( ) 3s + 10sλ 1 6 1(3s + 5λ 1 ) ( ) ( ) 6a 5λ1 6a 5λ1 = λ (6a 5λ 1 + 5λ 1 ) = 6 36a 5λ 1 3 1(6a) = ( 6) 36a 5λ (6a) = 36a 5λ a = 4a 5 9 λ 1 4, como queríamos. 6a 5.1 Demonstração do Teorema Principal Nesta seção, demonstraremos o Teorema Principal. Demonstração. Seja ( 4, g) uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de dimensão 4, com tensor de Weyl harmônico. Logo, a fórmula de Weitzenböck para W + e W nos diz que 1 W ± + W ± + s W ± 18 det W ± = 0. (5.9) Além disso, considere W ± 0 e w ± 1 w ± w ± 3 os autovalores de W ±, respectivamente. Sejam x ± = w± 1 W ±, y± = w± W ± e z± = w± 3 W ±, respectivamente. Como tr W ± = 3 w ± i i=1 x + y + z = 1, pois W ± = Portanto, = 0, temos que x ± + y ± + z ± = 0. Também temos que 3 (w ± i ). Logo, x, y e z satisfazem as hipóteses do Lema i=1 x ± y ± z ± 1 54 w± 1 W ± w ± W ± w ± 3 W ± 1 54 = 6 18.

41 31 Como det W ± = w 1 ± w ± w 3 ±, segue que 6 det W ± 18 W ± 3. (5.10) Como a métrica g é analítica, temos que W ± são analíticas, pois função diferenciável em variedade de métrica analítica é analítica. Como os zeros de função analítica em compactos são finitos, temos que o conjunto é finito, desde que W ± 0. Σ = {p 4 ; W + (p) = 0 ou W (p) = 0} A ideia principal da demonstração é provar que W = 0 ou W + = 0, ou seja, que a variedade é semiconformemente plana e, em seguida, usar o Teorema de Hitchin. Vamos então supor, por contradição, que ( 4, g) não é semi-conformemente plana. Logo, W + 0 e W 0. Então Seja W + dv g > 0 e W dv g > 0. t =... W + dv g... > 0 tal que W dv g ( W + t W )dv g = 0. Considerando a expressão (5.9) para W multiplicada por t, temos t W + t W + s t W 18t det W = 0. (5.11) A fórmula de Weitzenböck para W + é dada por 1 W + + W + + s W + 18 det W + = 0. (5.1) Somando as equações (5.11) e (5.1), obtemos ( t W + 1 ) W + + ( W + + t W ) + + s ( W + + t W ) 18 ( det W + + t det W ) = 0. Calculando a integral sobre na equação acima, obtemos ( t 0 = W + 1 ) W ( + dv g + W + + t W ) dv g s ( + W + + t W ) dv g 18 ( det W + + t det W ) dv g.

42 3 Pelo Teorema de Stokes, ( t W + 1 ) W + dv g = 0. Logo, ( W + + t W ) dv g + s ( W + + t W ) dv g 18 ( det W + + t det W ) dv g = 0 (5.13) Como W é harmônico, W ± também são harmônicos, logo, pela desigualdade de Kato, dada na Proposição 3.3., é válido que 3 d W + 5 W + d W W d W + W + obtemos Logo, 5 3 d W + dv g W + dv g. (5.14) De forma análoga, usando a desigualdade de Kato para W multiplicada por t, 5 3 t d W dv g Somando (5.14) e (5.15), temos 5 ( d W + + t d W ) dv g 3 t W dv g. (5.15) ( W + + t W ) dv g. (5.16) Por outro lado, pela desigualdade dada em (5.10), temos para W + 18 det W + dv g 6 W + 3 dv g. (5.17) Analogamente, temos para W, 18t det W dv g Somando (5.17) e (5.18), 6 ( W t W 3) dv g 6t W 3 dv g. (5.18) 18 ( det W + + t det W ) dv g. (5.19) Logo, aplicando (5.16) e (5.19) em (5.13), temos 5 ( d W + + t d W ) s ( + W + + t W ) dv g 3 ( 6 W t W 3) ( dv g W + + t W ) dv g s ( + W + + t W ) dv g 18 ( det W + + t det W ) dv g = 0. (5.0)

43 33 Por outro lado, observamos que ( d( W + t W ) + d( W + + t W ) ) = ( d W + t d W ) ( + d W + + t d W ) = d W + t d W + d W + t d W + d W + + t d W + d W + t d W = ( d W + + t d W ). Logo, ( d W + + t d W ) = 1 ( d( W + t W ) + d( W + + t W ) ) 1 d( W + t W ). (5.1) Além disso, fazendo f = W + t W na desigualdade de Poincaré, dada por (3.3), e multiplicando a mesma por 1, temos 1 d( W + t W ) dv g λ 1 ( W + t W ) dvg. (5.) Segue de (5.1) e (5.) que ( d W + + t d W ) dv g λ 1 ( W + t W ) dvg. (5.3) Portanto, comparando (5.3) com (5.0), obtemos λ ( 1 W + t W ) s ( dvg + W + + t W ) dv g ( 6 W t W 3) dv g. Então, λ 1 6 ( W + t W + W + t W ) dv g + ( W t W 3) dv g. s ( W + + t W ) dv g A desigualdade acima pode ser reescrita como [ ( 5 0 W 6 λ 1 + s ) ( ) 5 6 W t 3 λ 1 W + W t ( 5 + W + 6 λ 1 + s )] 6 W + dv g. (5.4) Fazendo 5 6 λ 1 + s = a, nós podemos escrever o integrando acima como P (t) = W (a ) 6 W t 5 ( 3 λ 1 W + W t + W + a ) 6 W +.

44 34 Por (5.4), temos que 0 P (t)dv g. Observe que P (t) é um polinômio de grau em t e seu discriminante é dado por = 5 ( 9 λ 1 W + W 4 W + W a ) ( 6 W + a ) 6 W. Vamos mostrar que P (t) 0. Para isso, precisamos mostrar que o coeficiente de t, A = W ( a 6 W ) é positivo e que é menor ou igual a zero. Como W 0, para mostrarmos que A é positivo, basta mostrar que ( a ) 6 W + > 0. Vamos mostrar que ( a 6 W ± ) > 0. Pelo Lema 5.0.9, temos que é válida a espressão (5.7), dada novamente abaixo W + + W ( s ) 6 6 K 1. Além disso, usando a hipótese sobre a curvatura biortogonal, K 1, mostramos no Lema que é válida a expressão (5.8), dada abaixo 6 ( s 6 K 1 Segue das expressões (5.7) e (5.8) que, ) W + + W Como W +, W 0, também temos 4a 5 9 λ a 4a 5 9 λ 1 4. (5.5) 6a 4a 5 W ± W + + W 9 λ a Logo, 5 6 W ± 4a 4a 9 λ 1 4a = a 5λ 1 36a < a. Isto implica que ( a 6 W ± ) > 0, como queríamos mostrar. Portanto, o coeficiente de t, A = W ( a 6 W ) é positivo. Assim, para mostrar que P (t) 0, falta mostrar que 0. Temos = 5 ( 9 λ 1 W + W 4 W + W a ) ( 6 W + a ) 6 W = 5 ( 9 λ 1 W + W 4 W + W a a 6 W a ) 6 W W + W = 5 9 λ 1 W + W 4a W + W + 4a 6 W + W ( W + W + ) 4 W + W W + W = ( W + W ) [ 5 9 λ 1 4a + 4a 6 ( W + W + ) ] 4 W + W.

45 35 θ 0. Consideremos θ = 5 9 λ 1 4a + 4a 6 ( W + W + ) 4 W + W. Como W + W 0, então, para ser menor ou igual a zero, devemos ter Vamos, então, mostrar que θ 0. Usando a expressão (5.5), temos que θ 5 9 λ 1 4a + 4a 4a λ W + W 6a = 5 9 λ λ 1 4a + 4a 4 W + W = 4 W + W 0, já que W +, W 0. Portanto 4 W + 3 W 3 0, como queríamos. Assim P (t) 0 e já tínhamos, por (5.4), 0 P (t)dv g, logo 0 P (t)dv g 0. Então, P (t) 0, ou seja, t é raiz de P (t). Logo, 0 = 4 W + 3 W 3 0. Neste caso, temos W + W = 0 em 4. contradição. W = 0. as, sendo Σ = {p 4 ; W + (p) = 0 ou W (p) = 0} finito, chegamos a uma Portanto, concluímos que 4 é semiconformemente plana e, assim, W + = 0 ou Finalmente, nós definimos os seguintes conjuntos { A = p 4 ; Ric(p) s(p) } 4 g e B = { p 4 ; W + (p) = W (p) }, onde (Ric s ) 4 g representa o operador de Ricci sem traço de ( 4, g). Se A é vazio, pela Definição , concluímos que 4 é uma variedade de Einstein. Nesse caso, como 4 é semiconformemente plana, pelo Teorema de Hitchin(veja T ), podemos concluir que 4 é isométrica a S 4 ou isométrica ao CP, com suas métricas canônicas. Caso contrário, se A é não vazio, então existe um ponto p 4 e um conjunto aberto U tal que p U A. Então, pela Proposição 3..6, temos que W + (p) e W (p) tem igual espectro, ou seja, tem os mesmos autovalores. Logo W + (p) = 3 (w + i ) = 3 (w i ) = W (p), i=1 i=1

46 36 onde w ± i B. são os autovalores de W ±, respectivamente. Portanto, concluímos que U A Considere f = W + W, que é analítica, pois W ± são analíticas. Temos que f = 0 em U, que é aberto. Assim, como U A B, onde B é fechado, e f é analítica, temos que f 0 em 4, o que implica W + = W. Como já concluímos que W + = 0 ou W = 0, temos W + = W = 0, logo W 0. Portanto, pela Proposição.1.3, 4 é conformemente plana. Pela Proposição 4.0.3, sabemos que uma variedade orientada 4 é uma variedade de Einstein se, e somente se, K = K. Vimos também que toda variedade de Einstein 4 tem tensor de Weyl harmônico e métrica analítica. Então, uma consequência do Teorema anterior é o seguinte corolário. Corolário Seja ( 4, g) uma variedade de Einstein compacta, orientada, de dimensão 4, com curvatura de Ricci igual a ρ > 0. Suponha K ρ 1ρ + 5λ 1. Então, ou 4 é isométrica a S 4, com sua métrica canônica, ou 4 é isométrica ao CP, com sua métrica canônica(fubini-study). No início, vimos que D. Yang provou, em [14], que se uma variedade de Einstein compacta, orientada, de dimensão 4, ( 4, g), com curvatura de Ricci igual a 1, satisfaz a condição ( ) K ɛ , 10 então 4 é isométrica a esfera S 4, com sua métrica canônica, ou ao espaço complexo projetivo CP, com a métrica Fubini-Study. D. Yang observou que se ρ = 1 e K ɛ 0 É fácil ver que, sob essas condições, Prova. Seja λ 1 = 8ɛ Temos K ɛ 0 = ρ 1ρ + 5λ 1. ρ ρ = ( 1ρ + 5λ 1 1ρ + 5 8ɛ 0 + ) = 3 ( ) Fazendo ρ = 1 e ɛ 0 = 10 ( ) 10 ρ 1ρ + 40ɛ na equação acima, obtemos ρ 1ρ + 5λ ɛ 0, como queríamos mostrar., então λ 1 = 8ɛ

47 37 Portanto, o Corolário é o resultado obtido por Yang quando ρ = 1 e ɛ 0 ( )

48 Referências Bibliográficas [1] Besse, A., Einstein manifolds, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1983). [] Berger,., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14(1960), [3] Costa, E., On Einstein four-manifolds. Journal of Geometry and Physics. 51(004), [4] Costa, E., A modified Yamabe invariant and a Hopf conjecture. arxiv[math.dg]: v1, (01). [5] Costa, E., Ribeiro Jr., E., Four-dimensional compact manifolds with nonnegative biorthogonal curvature. ichigan. ath. J. 63 (014), [6] Carmo,. do, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IPA, 5 a edição, 011. [7] Derdzinski, A., Riemannian manifolds with harmonic curvature. Lecture Note in ath. 1156, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1984). [8] Derdzinski, A., Riemannian metrics with harmonic curvature on -sphere bundle over compact surfaces. Bull. Soc. ath. France. 116(1988), [9] Gursky,., LeBrun, C., On Einstein manifolds of positive sectional curvature. Ann. Global Anal. Geom. 17(1999), [10] Klingenberg, W., Über Riemannsche annigfaltigkeiten mit positiver Krümmung, Comm. ath. Helv. 35(1961), [11] Noronha,., Positively curved 4-manifolds and the nonnegatively of isotropic curvatures. ichigan. ath. J. 44(1997), [1] Ribeiro Jr., E., Rigidity of four-dimensional compact manifolds with harmonic Weyl tensor. arxiv[math.dg]: v, (014). 38